JENNIFER ALVAREZ PRADA

170542

LOSA MACIZA EN DOS

DIRECCIONES

DISEÑO ESTRUCTURAL II

LOSA MACIZA EN DOS DIRECCIONES

JENNIFER ALVAREZ PRADA

CÓDIGO: 170542

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERIAS

INGENIERIA CIVIL

DISEÑO ESTRUCTURAL II

OCAÑA

2013

DISEÑO ESTRUCTURAL II

LOSA MACIZA EN DOS DIRECCIONES

JENNIFER ALVAREZ PRADA

CÓDIGO: 170542

Presentado a:

MSC. NELSON AFANADOR

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERIAS

INGENIERIA CIVIL

DISEÑO ESTRUCTURAL II

OCAÑA

2013

EJERCICIO

LOSAS MACIZAS EN DOS DIRECCIONES

Figura 1

Losa Maciza Armada en dos direcciones

Figura 2

Detalle de Losa

Materiales

a) Dimensionamiento de la losa.

- La determinación del espesor de la losa recomendada por ACI está ligada a la

ecuación siguiente:

( ( ))

- En el C.9.5.3.2 de la Norma Sismo Resistente 10 se indica que el espesor mínimo de

las losas sin vigas interiores que se extienden entre los apoyos y que tienen una

relación entre los lados no mayor a 2, no bebe ser inferior a:

Losas sin Ábacos 125 mm

La NSR-10 en su numeral C.9.5.3.3. indica que el espesor h mínimo para losas con

vigas que se extienden entre los apoyos en todos los lados debe ser:

Para

(

)

( )

Donde

Como la losa y las vigas se funden con el mismo material, es decir, misma resistencia y

módulo de elasticidad se tiene que:

Figura 3 Figura 4

Viga Borde Viga Interior

Figura 5

Secciones de losa para determinación de rigidez

NOTA: En las losas aligeradas no se calcula relación de rigidez.

Para el ejercicio se asume un espesor de losa

Rigidez de Vigas

Para la determinación de la rigidez de la viga se deben conocer unas relaciones, las cuales son:

- Vigas Borde

De acuerdo a la sección de viga borde se determinan las siguientes relaciones:

Figura 6

Espesor de losa asumida (Sección viga borde)

Con los valores obtenidos se ingresa a la Tabla 1, en las ordenadas con el valor de 2,38 y en las

curvas se busca el valor de 1,43, esto nos permite conocer el valor de f en el eje vertical del plano,

en este caso

f=1,36.

Tabla 1

Rigidez de vigas (Viga de borde)

Al tener los parámetros se determina el valor de la inercia, como la sección de viga en la dirección

larga y corta es la misma, se tiene la siguiente consideración.

- Viga Interior

Figura 7

Espesor de losa asumida (Sección viga interior)

De igual forma que como se obtuvo el valor para la viga borde, se procede con este tipo de viga

empleando la Tabla 2 y las relaciones necesarias para buscar el valor de f, el cual arrojo un valor de

1,58.

Tabla 2

Rigidez de Vigas (Vigas Interiores)

Se tienen que:

Rigidez de la Losa

De acuerdo a la dimensión de la losa y la dirección de análisis se determina la inercia, a

continuación se puede apreciar el cálculo para el panel más grande de acuerdo a los ejes.

Figura 8

Rigideces de la losa

(

)

(

)

Luego de conocer la inercia en las vigas y la losa, se procede a determinar de acuerdo a la

ecuación siguiente:

Se establece un valor promedio, que define la relación entre la rigidez de una sección de viga y la

rigidez a flexión de una franja de losa limitada lateralmente por los ejes centrales de los paneles

adyacentes a cada lado de viga.

∑

Finalmente se calcula el valor del espesor mínimo de losa de acuerdo a las características de la losa

y las vigas.

(

)

( )

( )

El valor obtenido cumple con lo estipulado en el numeral C.9.5.3.2.(a) por lo cual el valor

asumido de 0,21 m cumple con lo estipulado en la NSR-10. Posteriormente se procederá al

diseño de la losa maciza en 2 direcciones.

b) Evaluación de carga

Carga Muerta

De acuerdo al capítulo B.3 se eligen los valores por cargas muertas.

Carga Viva

En el capítulo B.4 se establece el valor de carga muerta de acuerdo a la ocupación o uso, en

este caso residencial (cuartos privados y sus corredores).

Las cargas deben ser aumentadas, para eso se emplea la siguiente ecuación donde se tienen

en cuenta solamente cargas vivas y muertas.

c) Dimensiones de las franjas centrales y de borde de los paneles.

A continuación se podrá apreciar los valores de franja central y de borde para el panel A. Dichas

características son iguales a las del PANEL C.

Figura 9

Franja Central (Panel A)

Figura 10

Franja de Columna (Panel A)

De igual forma se determinaron los valores de la franja central y de borde para el panel B, las cuales

coinciden con el PANEL D.

Figura 11

Franja Central (Panel B)

Figura 12

Franja de Columna (Panel B)

Para la determinación de la altura efectiva en la losa se asumió varilla N° 4. A continuación se

calculara el valor de d para cada dirección.

- Dirección Corta

Figura 13

Altura Efectiva (Dirección Corta)

- Dirección Larga

Figura 14

Altura Efectiva (Dirección Larga)

d) Determinación de los coeficientes para momentos.

El cálculo de los valores de momento y cortante se realizara para cada tipo de panel y cada

dirección. Para ello es necesario conocer la relación

para cada tipo de panel.

PANEL A = PANEL C

En este caso el panel A tiene 2 bordes discontinuos

PANEL B = PANEL D

En este caso el panel A tiene 2 bordes discontinuos

De acuerdo a la Tablas C.13.9 de la NSR-10 se determina el valor del coeficiente para el momento

negativo, y momentos positivos para carga muerta y viva de la losa.

- Para el Panel A del ejercicio la relación no aparece exactamente en los rangos de las

tablas 3, 4, 5 y 6 por lo cual se debe se debe interpolar para obtener el coeficiente. En las

Tablas se puede apreciar seleccionado con color rojo y azul los valores que se interpolaran

para el caso de m=0,82.

- Los valores de momentos y cortantes para el Panel B se seleccionaron con una elipse de

color verde, puesto que no hay necesidad de realizar interpolación puesto que el valor de

m=0,9 se encuentra en la tabla.

Tabla 3

Coeficiente para momento negativo en la losa

La interpolación arrojo el siguiente valor como coeficiente de momento negativo de losa para el

panel A:

El valor del coeficiente de momento negativo de losa para el panel B:

Tabla 4

Coeficiente de momento positivo de carga muerta en la losa

Para el panel A la interpolación de los datos para una relación de 0,82 arroja como momentos

positivos por carga muerta en la losa los valores siguientes:

El valor del coeficiente de momento por carga muerta de la losa para el panel B:

Tabla 4

Coeficiente de momento positivo de carga viva en la losa

La determinación del coeficiente de momento positivo por carga viva de la losa se cálculo por

medio de una interpolación lineal, obteniendo los siguientes resultados para el panel A.

El valor del coeficiente de momento positivo por carga viva de la losa para el panel B:

Tabla 5

Relación de la carga

La determinación de la relación de carga se calculó por medio de una interpolación lineal,

obteniendo los siguientes resultados para el panel A.

Los valores de la relación de carga son los siguientes:

e) Determinación de los momentos en la losa.

FRANJA CENTRAL

Los momentos en el panel A son iguales a los del panel C, debido a que poseen iguales

dimensiones y tienen dos bordes discontinuos (Caso 4) por lo cual los valores coinciden.

Figura 15

Panel A continúo en dos lados. (Caso 4)

- DIRECCIÓN CORTA PANEL A

Momento positivo por carga muerta:

(

)

Momento positivo por carga viva:

(

)

El momento total en dirección corta es:

Momento negativo en el borde continuo:

(

)

Momento negativo en el borde discontinuo (eje 1), se determina de acuerdo a la NSR-10 en su

título C. 13.9.4.2. como:

Fuerza cortante y reacciones:

- DIRECCIÓN LARGA PANEL A

Momento positivo por carga muerta:

(

)

Momento positivo por carga viva:

(

)

El momento total en dirección larga es:

Momento negativo en el borde continuo:

(

)

Momento negativo en el borde discontinuo (eje A),

Fuerza cortante y reacciones:

Los paneles B y D tienen iguales dimensiones y se clasifican cono Caso 4 por poseer dos

bordes discontinuos, por lo cual los momentos coinciden para los 2 paneles.

Figura 16

Panel B continúo en dos lados. (Caso 4)

- DIRECCIÓN CORTA PANEL B

Momento positivo por carga muerta:

(

)

Momento positivo por carga viva:

(

)

El momento total en dirección corta es:

Momento negativo en el borde continuo:

(

)

Momento negativo en el borde discontinuo (eje 1),

Fuerza cortante y reacciones:

- DIRECCIÓN LARGA PANEL B

Momento positivo por carga muerta:

(

)

Momento positivo por carga viva:

(

)

El momento total en dirección larga es:

Momento negativo en el borde continuo:

(

)

Momento negativo en el borde discontinuo (eje C),

Fuerza cortante y reacciones:

FRANJAS DE BORDE

PANEL A

Figura 17

Panel A franja de borde (Caso 4)

- DIRECCIÓN CORTA PANEL A

El momento total en dirección corta es:

Momento negativo en el borde continuo:

Momento negativo en el borde discontinuo:

- DIRECCIÓN LARGA PANEL A

El momento total en dirección corta es:

Momento negativo en el borde continuo:

Momento negativo en el borde discontinuo:

PANEL B

Figura 18

Panel B franja de borde (Caso 4)

- DIRECCIÓN CORTA PANEL B

El momento total en dirección corta es:

Momento negativo en el borde continuo:

Momento negativo en el borde discontinuo:

- DIRECCIÓN LARGA PANEL B

El momento total en dirección corta es:

Momento negativo en el borde continuo:

Momento negativo en el borde discontinuo:

f) Ajuste y equilibrio de momentos en cada dirección

Para cada uno de los momentos de las franjas centrales y de las franjas de borde o de

columna de cada una de las direcciones analizadas, se les realizó la verificación necesaria

para determinar el valor del momento equilibrado cuando no coincidan los momentos

determinados para los paneles de acuerdo a los coeficientes de la NSR-10 en su título C.9..

DIRECCIÓN CORTA (Y) Paneles A-C

- Franja Central

Figura 19

Momentos Franja Central (Paneles A-C)

El cálculo de las cuantía se realizó por medio de la siguiente ecuación,

(

)

Los valores necesarios para determinar el valor de la cuantía se establecen en las Tablas 6 y 7, de

igual forma es importante tener en cuenta que se trabajó con cuantía mínima de 0,0018 para

.

d (m) 0,17365

b (m) 1

fc´ (MPa) 24,5 Mpa

fy (MPa) 420 MPA

0,9

Tabla 6

Datos generales (Dirección Corta de Losa)

En la tabla 7 se puede apreciar los valores de la cuantía, el área de acero y el refuerzo a

flexión necesario para la franja central analizada.

FRANJA CENTRAL DIRECCION CORTA (Y)

PANELES A-C

EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3

Mu

(KN*m/m) -7,52 22,55 -39,42 22,55 -7,52

6,6421E-04 2,0196E-03 3,5889E-03 2,0196E-03 6,6421E-04

0,0018 0,00201961 0,0035889 0,0020196 0,0018

As (mm2) 312,57 350,7052765 623,212485 350,70354 312,57

Separación 0,41 0,37 0,21 0,37 0,41

Refuerzo

Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,2 1 N°4@0,4

Refuerzo

Inferior 1 N°4@0,37 1 N°4@0,37

Tabla 7

Refuerzo a flexión franja central (Paneles A-C)

- Franja de Borde

Figura 20

Momentos Franja De Borde (Paneles A-C)

FRANJA DE COLUMNA DIRECCIÓN CORTA (Y)

PANELES A-C

EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3

Mu

(KN*m/m) -5,01 15,03 -26,29 15,03 -5,01

4,4151E-04 1,3367E-03 2,3630E-03 1,3367E-04 4,4151E-04

0,0018 0,0018 0,002363 0,0018 0,0018

As (mm2) 312,57 312,57 410,33495 312,57 312,57

Separación 0,41 0,41 0,31 0,41 0,41

Refuerzo

Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,3 1 N°4@0,4

Refuerzo

Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4

Tabla 8

Refuerzo a flexión franja de borde (Paneles A-C)

DIRECCIÓN CORTA (Y) Paneles B-D

- Franja Central

Figura 21

Momentos Franja Central (Paneles B-D)

FRANJA CENTRAL DIRECCION CORTA (Y)

PANELES B-D

EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3

Mu

(KN*m/m) -6,52 19,55 -34,28 19,55 -6,52

5,7536E-04 1,7460E-03 3,1050E-03 1,7460E-03 5,7536E-04

0,0018 0,0018 0,003105 0,0018 0,0018

As (mm2) 312,57 312,57 539,18325 312,57 312,57

Separación 0,41 0,41 0,24 0,41 0,41

Refuerzo

Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,24 1 N°4@0,4

Refuerzo

Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4

Tabla 9

Refuerzo a flexión franja central (Paneles BD)

- Franja de Borde

Figura 21

Momentos Franja De Borde (Paneles B-D)

FRANJA DE COLUMNA DIRECCIÓN CORTA (Y)

PANELES B-D

EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3

Mu

(KN*m/m) -4,34 13,03 -22,85 13,03 -4,34

3,8223E-04 1,1567E-03 2,0471E-03 1,1567E-03 3,8223E-04

0,0018 0,0018 0,0020471 0,0018 0,0018

As (mm2) 312,57 312,57 355,478915 312,57 312,57

Separación 0,41 0,41 0,36 0,41 0,41

Refuerzo

Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,35 1 N°4@0,4

Refuerzo

Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4

Tabla 10

Refuerzo a flexión franja de Borde (Paneles BD)

DIRECCIÓN LARGA (X) Paneles A-B

- Franja Central

Figura 22

Momentos Franja Central (Paneles A-B)

d (m) 0,16095

b (m) 1

fc´ (MPa) 24,5 Mpa

fy (MPa) 420 MPA

0,9

Tabla 11

Datos generales (Dirección Larga de Losa)

FRANJA CENTRAL DIRECCION LARGA (X)

PANELES B-D

EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3

Mu

(KN*m/m) -5,11 14,435 -27,275 16,955 -5,35

5,2464E-04 1,4968E-03 2,8687E-03 1,7629E-03 5,4941E-04

0,0018 0,0018 0,0028687 0,0018 0,0018

As (mm2) 289,71 289,71 461,717265 289,71 289,71

Separación 0,45 0,45 0,28 0,45 0,45

Refuerzo

Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,25 1 N°4@0,4

Refuerzo

Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4

Tabla 12

Refuerzo a flexión franja Central (Paneles A-B)

- Franja de Borde

- FRANJA DE COLUMNA DIRECCIÓN CORTA (Y)

PANELES B-D

EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3

Mu

(KN*m/m) -4,34 13,03 -22,85 13,03 -4,34

3,8223E-04 1,1567E-03 2,0471E-03 1,1567E-03 3,8223E-04

0,0018 0,0018 0,0020471 0,0018 0,0018

As (mm2) 312,57 312,57 355,478915 312,57 312,57

Separación 0,41 0,41 0,36 0,41 0,41

Refuerzo

Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,35 1 N°4@0,4

Refuerzo

Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4

Tabla 13

Refuerzo a flexión franja de Borde (Paneles A-B)

-

Figura 23

Momentos Franja De Borde (Paneles A-B)

g) Longitud de Desarrollo

En el numeral C.12.5.1 y el C.12.5.2 se establecen los parámetros para la determinación del gancho

estándar en tracción para barras corrugadas. La longitud de desarrollo se establece mediante la

ecuación siguiente:

√

Donde

MPa

Remplazando en la ecuación se tiene:

√

√

El valor obtenido de longitud de desarrollo debe ser mayor o igual a los valores determinados a

continuación:

Luego de determinar la longitud de desarrollo se procede a calcular la longitud de doblado, donde

se tiene en cuenta la Tabla C.7.2.

El gancho estándar para el refuerzo se determina de acuerdo al numeral C.12.12.3.

Longitud de gancho y de desarrollo

h) Despiece

DIRECCIÓN CORTA (Y) Paneles A-C

- Franja Central

- Franja Borde

DIRECCIÓN CORTA (Y) Paneles B-D

- Franja Central

- Franja de borde

DIRECCIÓN LARGA (X) Paneles A-B

- Franja Central

- Franja de Borde

i) La cortante que transmite la losa a las vigas es numéricamente igual a las cargas verticales

sobre las vigas reducidas en una cantidad equivalente valor .

Resistencia cortante de la losa

√

Cuando d=0,17365 m

Si la cortante externa es menor que

se concluye que la losa no requiere

refuerzo transversal.

Cuando d=0,16095 m

Si la cortante externa es menor que

se concluye que la losa no requiere

refuerzo transversal.

Sabemos que

- PANEL A

- PANEL A

TUTORIAL

TUTORIAL DE SAP 2000

1) Al abrir el programa se dirige a la barra de menú seleccione la opción FILE y escoja

NEW MODEL para iniciar un nuevo modelo.

Cuando seleccione NEW MODEL aparecerá una ventana donde puede apreciar las

diferentes estructuras que SAP 2000 ofrece, cuando esto ocurre usted establece las

condiciones de inicio, las unidades y el modelo. Para el caso del ejemplo se considerara el

modelo GRID ONLY y se trabajara con KN, m, C como unidades de medida.

Luego de seleccionar la opción GRID ONLY define las líneas que tiene el modelo en sus

diferentes direcciones en un sistema de coordenadas cartesianas. En este caso en X, Y y Z

son 3,3 y 2 líneas respectivamente.

Aparece la ventana de trabajo dividida en dos por una línea vertical, donde se puede

apreciar el modelo en 3D o en cada una de los planos (xy, yz y xz).

Posteriormente se procede a la edición del modelo, se da click derecho en la ventana de

trabajo y se selecciona la opción EDIT GRID DATA…

De la acción anterior aparece una ventana donde se selecciona MODIFY/SHOW SYSTEM…

Posteriormente se despliega un marco donde se pueden editar las dimensiones del modelo.

Para el caso del ejemplo en la casilla DISPLAY GRID AS se elige la opción SPACING la

cual indica que se debe copiar el valor del espaciamiento entre cada línea, este proceso se

debe realizar en las 3 dimensiones.

Al finalizar el proceso de edición del modelo y darle click en el icono OK aparece el

modelo en 3D.

2) Luego de realizado el modelo se procede a definir el material con el que se construir

la estructura se da click en DEFINE – MATERIALS.

Como resultado aparece una ventana donde se escoge la opción ADD NEW MATERIAL…

para agregar un nuevo material.

Finalmente aparece una ventana donde se adicionan las características del material a

emplear en este caso es concreto con un fc´= 24,5 MPA, se determina el módulo de

elasticidad.

3) Se establecen las secciones de los elementos estructurales y sus características. Para

ello se selecciona la DEFINE – SECTION PROPERTIES.

Al escoger la opción FRAME SECTIONS aparece una ventana donde se agregan cada una

de los elementos estructurales.

Aparece una ventana donde se debe elegir el material que en este caso será concreto y se

elige cual es la geometría de la sección, en el caso a colación se establece una sección

rectangular.

La siguiente ventana que se abre indica las dimensiones del elemento estructural y el tipo

de material a emplear.

Es importante tener claro que cuando se están definiendo las características de las secciones

se debe dar click en CONCRETE REINFORCEMENT…

A continuación se puede apreciar una imagen donde se puede evidenciar que se debe

seleccionar la casilla que indica BEAM cuando se trate de una viga o vigueta.

Cuando se trate de una columna se selecciona la variable COLUMN y se asigna el número

de las varillas a emplear en la estructura en lo concerniente a la columna.

4) Se debe definir las características de la losa para ello se debe seleccionar la opción

AREA SECTIONS… la cual se desprende de la barra de herramientas en su casilla

DEFINE.

Luego de seleccionar esa herramienta aparece una ventada donde se escoge la opción ADD

NEW SECTION…

Al darle click aparece otra ventana donde se definen las características de la losa. Para el

caso del ejemplo se puede apreciar en cada casilla las características del elemento

estructura.

5) Se definen las características de las cargas que soportara la estructura, para ello

primero se da click en LOAD PATTERNS…

Al realizar ese proceso se abre una ventana donde debemos definir como SAP 2000 debe

asumir las cargas vivas o muertas, en este caso a SELF WEIGHT MULTIPLIER se le asigna

como valor cero.

A continuación se procede a definir las combinaciones de carga con las que será analizada

el modelo estructural. Seleccionar LOAD COMBINATIONS…

Como resultado de seleccionar esa casilla aparece una ventada donde debemos escoger

ADD NEW COMBO… para adicionar la combinación.

Al realizar el proceso anteriormente descrito se genera una ventada donde se establece la

combinación a emplear en el análisis de la estructura que se modela.

6) En el costado izquierdo de la pantalla se selecciona la opción DRAW

FRAME/CABLE.

Con la cual se puede asignar al modelo los diferentes elementos estructurales, es decir,

vigas y columnas. Para poder realizar dicho proceso se selecciona cada uno de los

elementos de acuerdo a la sección que se está asignando.

Columnas

Vigas

Luego se procede a empotrar la estructura, para ello se selecciona la planta x-y cuando z=0.

Cuando se selecciona se puede apreciar una cruz.

Luego de seleccionar la planta se da click en ASSIGN – JOINT – RESTRAINYS.

Como resultado de la selección de los puntos y de darle click a la casilla RESTRAINTS, se

desprende una ventada donde se pueden apreciar los diferentes tipos de apoyos con los

cuales pueden definirse los tipos de restricciones. En este caso la estructura se empotara.

Finalmente se puede apreciar como la estructura es empotrada, lo que genera restricciones

al movimiento.

7) Se selecciona la losa y se le asigna restricción.

En la pantalla se puede observar el resultado de asignar una restricción.

8) Para asignar las cargas que soportara la estructura en este modelo, primero se

selecciona toda la planta cuando z=3 m.

Después se da click en la barra de menú y se escoge la casilla que se aprecia en la figura

siguiente.

De la ventana que se desprende del paso anterior, se puede apreciar una casilla RIGID

ZONE FACTOR a la cual se le asigna un valor de 0,5 como factor de rigidez.

9) Se da click derecho en QUICK DRAW AREA para definir el área de losa por

paneles.

En la siguiente figura se puede apreciar un rectángulo rojo con líneas discontinuas que

indica que se realizó la selección.

Se deben seleccionar cada uno de los paneles para poder asignar las cargas.

Para asignar las cargas se da click en la opción UNIFORM TO FRAME (SHELL).

Como resultado del paso anterior aparece una ventana donde se registra el valor de la carga

muerta y repitiendo el proceso se asigna el valor por carga la viva. Para el caso del ejemplo

L= 1,8 KN/m2

y D= 9,41 KN/m2.

Finalmente se procede a correr la estructura para las combinaciones de carga establecidas y

los valores de cargas, se da click en la opción RUN NOW.

Los valores de momento de franja y de columna no se pueden comparar, puesto que como

se desarrolló la losa maciza se empleó el método de los coeficientes, y los momentos

suministrados por SAP no coinciden con los realizados a mano.

A continuación se mostraran los las cargas sobre las vigas del presente ejercicio. Estos

valores son un parámetro de verificación de la carga sobre la losa maciza.