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PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 1
VETORES
1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V
k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V
2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou
falsa cada uma das afirmações abaixo:
coplanares são EG e FG,AB)i coplanares são HF e CB,EG)j
coplanares são FG e DB,AC)k coplanares são CF e BG,AB)l
coplanares são CF e DC,AB)m ABCplano ao ortogonal é AE)n
BCG plano ao ortogonal é AB)o HEF. plano ao paralelo é DC)p
RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F
i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V
BCAF)d
CGAB)c
HGAB)b
BFDH)a
⊥
⊥
−=
=
coplanares são CG e BC,AB)h
ED//BG)g
|DF||AG|)f
HFAC)e
=
=
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
PROF.ª CARMEM LÚCIA
EDDE)e
MCBL)d
OPBC)c
PHAM)b
OFAB)a
−=
−=
=
=
=
FG//AJ)j
LD//JO)i
HI//AC)h
FIKN)g
MGAO)f
=
=
AMPN)o
NBPN)n
ECPE)m
BLAM)l
EGAB)k
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
|BL||AM|)t
NP2AO)s
|AC||AJ|)r
MFIF)q
|FP||AC|)p
=
=
=
=
=
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3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o
ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa
cada uma das afirmações:
DHOH)e
BOOC)d
HGDO)c
CHAF)b
OGEO)a
−=−
−=−
=
=
=
HG//GF)j
CD//AF)i
DB21
OA)h
BDAC)g
COEH)f
=
=
−=−
FEOB)o
HFAO)n
CBEO)m
OHAB)l
OC//AO)k
−=
⊥
⊥
⊥
RESP: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V
i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V
4)Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com
origem no ponto A:
AKAC)d
DCAC)c
BDAB)b
CNAC)a
+
+
+
+
OEAO)h
ANAK)g
BLAM)f
EOAC)e
−
+
+
+
PBBNBL)l
NFPNLP)k
CBBC)j
NPMO)i
++
++
−
−
RESP: a) AN b) AD c) AB d) AO e) AM f) AK
g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l)0
5)Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com
origem no ponto A:
EHBF)c
DEBC)b
CGAB)a
+
+
+
FBEF)f
EHCG)e
BCEG)d
−
+
−
FHDAEG)h
AEADAB)g
++
++
RESP: AF)a AE)b HA)c AB)d AH)e AF)f AG)g AD)h
6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com
origem no ponto A:
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AF2AE2)c
FGEH)b
CHOC)a
+
+
+
OC2OE2)f
BGEO)e
EFEH)d
+
+
+
FGFE)h
EHBC21
)g
+
+
AOFOAF)j
HOOG)i
++
−
RESP: AE)a AC)b c) AC AB)d AO)e AD)f AH)g AD)h AO)i AC)j
7)Determine as somas que se pedem:
RESP: ACe) BGd)2 BGc)2 EFb) AC)a .
8)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos
coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste
sólido, sabendo que A (2, –1,2).
RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)
9) Determine x para que se tenha DCBAρρ
= , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).
RESP: x=2
10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e
outro paralelo ao vetor (1,1). RESP: x = 3 e y = 4
11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que
GCFGEFAE)e
BHBGFGEFHE)d
BCBGBF)c
BFDBED)b
AGHBGCDHCDAD)a
+++
++++
++
++
+++++
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a) AB21
AC = b) BA32
CAρρ
= . RESP: a) x = 1 e y = 2 b) 35
x = e y =3
12) Dados os vetores aρ
=( 2,–1 ) e bρ=( 1,3) , determinar um vetor x
ρ, tal que:
a) [ ]2
xab)ax(2
21
x32
ρρρρρρ +=−++ b)
2ax
b31
x2a4ρρρρρ +
−=−
RESP: a) xρ
=
−7
12,
73 b)
−=933
,952
xρ
13) Dados os vetores a
ρ=(–1,1,2) e b
ρ=( 2,0,4), determine o vetor v
ϖ, tal que:
( )[ ]2
vabav2
3v2
)aρρρρρ
ρ−
=−+− ( )[ ]2
av4b
bav2v32
)bρρρ
ρρρρ −−=−+−
RESP:
−−=56
,3,527
v)aρ
−−=5
12,3,
524
v)bρ
14)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no
sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?
RESP: (9,7,11)
15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:
a)os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de
mesmo comprimento;
b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de
mesmo comprimento.
RESP:
−25
,1,0C)a , ( )2,3,2D − e
−23
,5,4E ; b)
−37
,35
,32
F e
−35
,3
13,
310
G .
16)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor vϖ
do ℜ3, calcular sua terceira
coordenada z, de maneira que vϖ
= 13. RESP: z=± 3
17)Sejam os pontos M(1,−2,−2) e P(0,−1,2), determine um vetor vϖ
colinear à PM e tal
que .3v = RESP:
±=
6
4,
6
1,
6
1v µµ
18)Achar um vetor xρ
de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor vρ
=6 iρ
–2 jρ
–3kρ
.
RESP:
−−=7
12,
78
,7
24xρ
19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):
a) determinar a natureza do triângulo;
b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
RESP: a) isósceles b) MAρ
= 22
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20) Sejam k2-ji2b e k3j2iaρρρρρρρρ
+=−+= . Determine um versor dos vetores abaixo:
a)aρ
+ bρ B) 2a
ρ–3b
ρ c) 5a
ρ+4b
ρ
RESP: a) 43
1u =ρ
(3,3,–5) b) )0,1,4(17
1u −=ρ
c) 894
1u =ρ
(13,14,–23)
21) Determine um vetor da mesma direção de vϖ
=2 iρ
– jρ
+2kρ
e que:
a) tenha norma (módulo) igual a 9;
b) seja o versor de vϖ
;
c) tenha módulo igual a metade de vϖ
.
RESP: a) wρ
=6(6,–3,6) b)31
u =ρ
(2,–1,2) c)21
p =ρ
(2,-1,2)
22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são
CAρ
=(4,2,–3) e DBρ
=(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)
23)Sabendo que A (1,−1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o
quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.
RESP: (2,2), (0,−4), e (10,6)
24) Dados os vetores uρ
=(3,2), vϖ
=(2,4) e wρ
=(1,3), exprimir wρ
como a combinação linear
de uρ
e vϖ
. RESP: v87
u41
wρρρ
+−=
25) Dados os vetores aρ
=(3,–2,1),bρ=(–1,1,–2) e c
ρ=(2,1,–3), determinar as coordenadas
do vetor vϖ
=(11,–6,5) na base { }c,b,aρρρ
=β . RESP: cb3a2vρρρρ
+−=
26)Escreva o vetor vϖ
=(4,−1,0) , na base { }321 v,v,vρρρ
=β ,sendo 1vρ
=(1,0,0) , 2vρ
=(3,2,1) e
3vρ
=(−1,−1,1). RESP: 321 v331
v31
v3
16v
ρρρρ+−=
27)Dois vetores aρ
=(2,–3,6) e bρ=(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as
coordenadas do vetor cρ sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores
aρ
ebρ
,sabendo que cρ
= 423 . RESP: cρ
=( µ 3, ±15, ± 12)
28) Dados os vetores aρ
=(1,–1,0), bρ=(3,–1,1), c
ρ=(2,2,1) e d
ρ=(4,–3,1). Determinar o vetor
vϖ
=(x,y,z), tal que : ( vϖ
+aρ
) // bρ e ( v
ϖ+ c
ρ) // d
ρ. RESP: v
ρ=( –10,4,–3)
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PRODUTO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR
29) Sendo uρ
= ( 2,3,1) e vρ
= ( 1,4, 5) . Calcular:
a) uρ
• vρ
b) (uρ
– vρ
) c)(uρ
+ vρ
)2 d) (3uρ
– 2 vρ
)2 e) (2uρ
-3 vρ
)•(uρ
+2 vρ
)
RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28
30)Sendo aρ
=(2,–1,1), bρ
=(1,–2,–2) e cρ
=(1,1,–1). Calcular um vetor vρ
=(x,y,z), tal que
vρ
• aρ
= 4, vρ
• bρ
= –9 e vρ
• cρ
= 5. RESP: vρ
=(3,4,2)
31)Sejam os vetores aρ
=(1,–m,–3),bρ
=(m+3,4–m,1)e cρ
=(m,–2,7).Determinar m para que
aρ
•bρ
=(aρ
+bρ
)•cρ
. RESP: m=2
32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2),
B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). RESP: –1 ou 5
13
33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD .
RESP: a) Paralelogramo b) 22,44631022121
arccos 0 ′′′==α .
34) Os vetores uρ
e vρ
formam um ângulo de 600. Sabe-se que uρ
=8 e vρ
=5,
calcule:
a)uρ
+ vρ
b) uρ
– vρ
c) 2uρ
+3 vρ
d) 4uρ
– 5 vρ
RESP: a) 129 b)7 c) 721 d) 849
35) Os vetores aρ
e bρ
formam um ângulo de 1500, sabe-se que aρ
= 3 e que
bρ
= 2 , Calcule:
a) aρ
+bρ
b) aρ
–bρ
c) 3aρ
+2bρ
d) 5aρ
– 4bρ
RESP: a) 235 − b) 235 + c) 21835 − d) 260107 +
36)Determinar o valor de x para que os vetores 1vρ
= x iρ
–2 jρ
+3kρ
e 2vρ
=2 iρ
– jρ
+2kρ
, sejam
ortogonais. RESP: x=–4
37)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores aρ
=(2,6,–1) e bρ
=(0,–2,1).
RESP:
±±=32
,31
,32
c µρ
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38)Dados aρ
=(2,1,–3) e bρ
=(1,–2,1), determinar o vetor vρ
⊥aρ
, vρ
⊥bρ
e vρ
=5.
RESP: ( )1 ,1 ,1 3
35v ±=ρ
39)Dados dois vetores aρ
=(3,–1,5) e bρ
=(1,2,–3), achar um vetor xρ
, sabendo-se que ele é
perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: xρ
•aρ
=9, e xρ
•bρ
=–4.
RESP: xρ
=(2,–3,0) 40)Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:
RESP: a)0 b)0 c)0 d) 3a e 2a e)a2 f) ( )333 a,a,a
g) 445433
cos arc 0 ′≅ h) 137031
cos arc 0 ′≅
41)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos
de um triângulo retângulo isósceles. RESP: θ=arc cos54
,θ ≅360 52'11,6''
42)Um vetor vρ
forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados
positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que vρ
= 3. RESP: ( )1,1,13v =ρ
.
43)Um vetor unitário vρ
forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os
outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de vρ
.
RESP:
=
46
,46
,21
vρ
ou
−−
46
,46
,21
44) O vetor ( )2,1,1v −−−= forma um ângulo de 600 com o vetor BAρ
, onde A (0,3,4) e
B(m, −1,2). Calcular o valor de m. RESP: m=–34 ou m=2
45)Os vetores aρ
e bρ
formam um ângulo θ= 6π
, calcular o ângulo entre os vetores pρ
=aρ
+bρ
e qρ
= aρ
– bρ
, sabendo que aρ
= 3 e bρ
= 1. RESP: cosθ=7
72,θ≅40053'36,2''
( )cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o
aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o)g
OGABEDf) OBOE)c
CGEGe) ODOA)b
OG e OBd) OCOA)a
⋅⋅
⋅⋅
⋅
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46) Dados uρ
=(2,–3,–6) e vρ
=3 iρ
–4 jρ
–4kρ
, determine:
a) a projeção algébrica de vρ
sobre uρ
( norma do vetor projeção de vρ
sobre uρ
);
b) 0 vetor projeção de vρ
sobre uρ
. RESP: a)6 b) ( )6,3,276
−−
47)Decomponha o vetor vρ
=(–1,2,–3) em dois vetores aρ
e bρ
, tais que aρ
// wρ
e bρ
⊥ wρ
, com
wρ
=(2,1,–1). RESP:
−=21
,21
,1aρ
e
−−=25
,23
, 2bρ
48)São dados os vetores 1vρ
= (1,1,1), 2vρ
=(–1,2,3) e 3vρ
=(26,6,8). Decompor o vetor 3vρ
em dois vetores xρ
e yϖ
ortogonais entre si, sendo xρ
simultaneamente ortogonal a
1vρ
e a 2vρ
. RESP: xρ
=(1,–4,3) e yρ
=(25,10,5)
49)São dados 1vρ
=(3,2,2) e 2vρ
=(18,–22,–5), determine um vetor vρ
, que seja ortogonal à
1vρ
e a 2vρ
, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que vρ
=28.
RESP: vρ
=(–8,–12,24)
50)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as
coordenadas do vetor HMρ
, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.
RESP: HMρ
=(2,2,1)
PRODUTO VETORIAL
51) Dados os vetores u
ρ=( –1,3,2), v
ρ=(1,5,–2) e w
ρ=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos
vetores:
a) uρ
× vρ
b) vρ
× wρ
c) vρ
×(uρ
× wρ
)
d) ( vρ
×uρ
)× wρ
e)(uρ
+ vρ
)×(uρ
+ wρ
) f) (uρ
– wρ
)× wρ
RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(−24,−72,48) e)(24,0,64)
f)(–3,–13,18)
52)Determinar o vetor xρ
, paralelo ao vetor ao vetor wρ
=(2,–3,0) e tal que xρ
× uρ
= v , onde
uρ
=(1,–1,0) e v =(0,0,2). RESP: xϖ
=(4.–6,0)
53) Determinar o vetor vρ
, sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,−3,1) e ao vetor
b =(1,−2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10)k7j2i(v =−+• . RESP: ( )1,5,7v =
54)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que wvu ×= ,sendo
)1,1,1(u −= e )1,1,2(w −= . RESP: v =(1,0,1)
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55) Dados os vetores 1vρ
=(0,1,−1), 2vρ
=(2,0,0) e 3vρ
=(0,2,−3).Determine um vetor vϖ
, tal
que vϖ
// 3vρ
e vϖ
× 1vρ
= 2vρ
. RESP: vϖ
=(0,4,−6)
56)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1vρ
=(–1,–1,0) e 2vρ
=(0,–1–1).
RESP: ( )1,1,13
1−±
57) Ache uρ
tal que uρ
= 33 e uρ
é ortogonal a vρ
=(2,3,−1) e a wρ
=(2,−4,6). Dos uρ
encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP: ( )3,3,3u −−=
58)São dados os vetores 1vρ
= (1,1,1), 2vρ
=(–1,2,3) e 3vρ
=(26,6,8). Decompor o vetor 3vρ
em dois vetores xρ
e yϖ
ortogonais entre si, sendo xρ
simultaneamente ortogonal a
1vρ
e a 2vρ
. RESP: xρ
=(1,–4,3) e yρ
=(25,10,5)
59) Dado o vetor 1vρ
=(3,0,−1).Determine o vetor vρ
=(x,y,z), sabendo-se que vρ
é ortogonal
ao eixo OX, que vρ
× 1vρ
= 146 , e que vρ
• 1vρ
=−4. RESP: )4 6, ,0(v ±=ρ
60) São dados 1vρ
=(3,2,2) e 2vρ
=(18,–22,–5), determine um vetor vρ
, que seja ortogonal à
1vρ
e a 2vρ
, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que vρ
=28.
RESP: vρ
=(–8,–12,24)
61)Sendo 1vρ
=(–2,1,–1) e 2vρ
=(0,y,z), calcule y e z de modo que 1vρ
× 2vρ
= 4 3 e que
o vetor vρ
= 1vρ
× 2vρ
faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. RESP: (0,±2,±2)
62) Resolva os sistemas abaixo:
a)
=+−•
=−+×
2)kj2i4(x
0)kj3i2(xρρρρ
ρρρρρ
=+•
+=++−×
2)ki2(v
k8i8)kj2i(v)b ρρρ
ρρρρρ
−−=×
−=−•
k3j2i3)0,3,2(v
2)2,1,3(v)c ρρρρ
ρ
RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)
63) Dados os vetores uρ
=(1,−1,1) e vρ
=(2,−3,4), calcular:
a) A área do paralelogramo de determinado por uρ
e vρ
;
b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor uρ
.
RESP: a)A= .a.u6 b) .c.u2h =
64)Dados os vetores uρ
=(2,1,−1) e vρ
=(1,−1,α), calcular o valor de α para que a área do
paralelogramo determinado por uρ
e vρ
seja igual a 62 u.a.(unidades de área).
RESP: α=3
65) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o
vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 10
RESP: (0,3,0) ou
0,
51
,0
66)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,−1), B(−2,0,1) e C(1,−2,0).
Determine a altura relativa ao lado BC. RESP: .c.u7353
h =
67) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o vetor
BC , onde A (5,1,3), B(−3,9,3) e C(1,1,2). RESP: ua9
2128A =
68) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e
N(0,–1,3). RESP: d=7353
u.c.
PRODUTO MISTO
69)Qual é o valor de x para que os vetores a
ρ=(3,–x,–2), b
ρ=(3,2,x) e c
ρ=(1,–3,1) sejam
coplanares. RESP: x=14 ou x=–2
70)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k)
sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1
71)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos
vetores uρ
= 2 iρ
– jρ
+kρ
e vρ
= iρ
– jρ
e wρ
=x iρ
+ jρ
–3kρ
, seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3
72)Sejam os vetores uρ
=(1,1,0), vρ
=(2,0,1) e v2u3w1 −= , v3uw 2 += e k2jiw 3
ρρρ−+= .
Determinar o volume do paralelepípedo definido por 1w , 2w e 3w . RESP: V=44 u.v.
73)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular
as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.
RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0)
74)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de
m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos
vetores AC,AB e AD . RESP: m=6 ou m=2
75)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o
dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1).
RESP: (–1,0,0) ou
0,0,
31
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 11
76)Sendo uρ
=(1,1,0), vρ
=(2,1,3) e wρ
=(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o
volume do tetraedro ABCD, onde B=A+uρ
. C=A+ vρ
e D=A+ wρ
.
RESP: S= ua219
,V= uv65
77)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,−2,4) ,C(2,1,−3) e D(0,−6,0).
RESP: .c.u11
64h =
78)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) ,
B(1,1,–3) e C(–1,–3,0). RESP: 581745
u.c.
79)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(−1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto
pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:
a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1
uv;
b)a área e o perímetro da face NMQ;
c)os ângulos internos da face MNQ;
d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.
RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= 33 u.a., 2p= 12363 + u.c.
c)α=300, β=900, γ=600 d)33
1u.c.
80)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as
coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos
demais, determine:
a) as coordenadas do vértice D;
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é
igual a 72 u.v. RESP: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7)
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 12
81)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D,
tal que DOρ
, AOρ
× BOρ
e AOρ
× COρ
sejam coplanares, DOρ
• BOρ
= –28 e que o volume do
tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)
RETA NO ℝℝℝℝ3
82) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos
seguintes casos:
a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor vρ
=(3,1,4);
b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ;
c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor
diretor vρ
=(2,–2,3);
d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos
A(5,–2,3) e B(–1,–4,3);
e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 2
1z3
4y52x
:r−
=+
=−+
;
f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor vρ
= (–2,0,–2);
g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor vρ
=(8,3,0);
h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;
i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.
RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) ,
+=+−=
+=
m41z
m2y
m31x
, 4
1z1
2y3
1x −=
+=
− ,
+=+=
9y4z
7y3x
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) ,
−=+−=
+=
m53z
m1y
m2x
, 52z
y3x−+
==− ,
+−=−=
13x5z
3xy;
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) ,
+=−−=
+=
m33z
m22y
m21x
, 3
3x22y
21x −
=−+
=−
,
=
−−=
y23
z
1yx ;
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) ,
−=+=+=
2z
m5y
m31x
, 2z ; 5y3
1x−=−=
− ;
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 13
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) ,
=+=−=
m2z
m31y
m52x
, 2z
31y
52x
=−
=−−
,
+=
+−=
22z3
y
24z5
x ;
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) ,
+==
+−=
m9z
7y
m6x
, 7 y; 9z6x =−=+ ;
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) ,
===
4z
m3y
m8x
, 4z ; 3y
8x
== ;
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) ,
=−=1z
2y ;
i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) ,
==
0y
8x.
83) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de
vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do
triângulo. RESP: 11z
33y
22x
−−
=−
=−
.
84) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações
reduzidas da bissetriz interna do ângulo A O B e determine sua interseção com o lado
AB.
RESP:
=
=
z57
y
z57
x e
45
,411
,47
P .
85) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao
ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas.
RESP: θ = arc cos 31
,θ ≅ 700 31'43,6''
86) A reta 3z
54
42x
:r =+
=−
, forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos
pontos A(0,−5,−2) e B(1,n−5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 14
87) Determine as equações reduzida da reta r na variável x definida pelos pontos A (2,–
1,4) e B= 21 rr ∩ , com
+=+=
=
−−
=−
=−
m2z
m21y
m3x
:r e 21z
43y
21x
:r 21 .
RESP:
+=+−=2xz
1xy
88) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das
retas:
a) 28z
1044y2
x:r e 3z4
y22
3x:s
−+
=−
=+=−
=−
, e que passa pelo ponto P(2,3,5);
b) 3
z2-y-2
4 x:r e 3z34y2
22x
:s−
==++=−
=−
, e que passa pelo ponto P(2,–3,1);
c)
+=−−=
18x10z
3x2y:r e
+−=
−=
227y6
z
21y2
x:s , e que passa pelo ponto P(3,−3,4).
RESP: a)t:
+=+=−=
m125z
m53y
m2x
+=+−=
+=
m61z
m73y
m42x
:t)b c)
+=+−=
−=
m34z
m133y
m43x
:t
80)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de
r:P=(−6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta
+=−=5zy
2z3x:s , e que forma ângulos agudos
congruentes com os eixos coordenados. RESP:
+=+=
6xz
11xy:t
90) São dadas as retas
−=+=
1z2y
1zx:r e
−=+=
5zy
3zx:s e o ponto A(3,–2,1). Calcule as
coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que
A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2)
91) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã
reta 24z
1y12x
:r−−
=+=−−
. RESP:
32
,35
,31
'O
92) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta
42z
1y2
1x:s
+=+=
+. RESP:
−21
101,
2120
,212
'A
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 15
93) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é
perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP:
+=+=
−=
m5z
m24y
1x
:r
94)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à
reta 12z
2y
31x
:s−+
==−
. RESP: P= (2,−1,3)+m(−13,3,−33)
95)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(−1,−3,1), que seja
concorrente com a reta
−=−=
2z2y
1z3x:r e seja ortogonal ao vetor ( )1,0,2v −= .
RESP: 2
1_z13y
1x:s =−+
=+
PLANO
96) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor vρ
=(2,–3,1);
b)possui o ponto A(1,−2,1) e é paralelo aos vetores kjiaρρρρ
−+= e k2jibρρρρ
−+= ;
c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);
d) passa pelos pontos P(−2,1,0),Q(−1,4,2) e R(0,−2,2);
e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(−3,−1,3) e C(4,2,3);
f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores vρ
=(2,–1,1) e wρ
=( –3,1,−2);
g) possui o ponto P(2,−1,3) e é paralelo ao plano XOZ;
h) contém as retas 21z
22y
37x
:r−−
=−
=−
e 4
5z32y
21x
:s−
=−+
=−
;
i) contém as retas 3z1y2x
:r +=+= e 2z
22y
41x
:s =−
=+
;
j) que contém as retas 0z,22y
22x
:s e
4z
ty
t3x
:r =−−
=+
=−=
+−=;
k)contém as retas 4z
1y
21-x
:s e 1x3z
3x2yr =
−=
−=+=
;
l) passa pela reta 1z2y
21x
−==−
e é paralelo à reta 4
4z12y
23x −
=−−
=−
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 16
RESP: a)π:2x−3y+z−7=0 b)π:x−y−z=0 c)π:12x+2y−9z+22=0
d) π:12x+2y−9z+22=0 e)π:6x−14y−z+7=0 f)π:x+y−z−5=0
g)π:y+1=0 h) π:2x−16y−13z+31= 0 i)π:y−z−2=0
j)π:4x+4y+3z=0 k)π:11x+2y−5z−11=0 l)π:3x−2y−2z−1=0
97) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:
a)
=++=−−+
01yx
01zy2x b)
=+++=−+−
04z2y3x
03zyx3
c)
=++=−−−013y3x2
08zy2x d)
=−−+=−−−07zy2x
01zy2x3
RESP: a)r:P=(−3,2,0)+m(−1,1,1) b) 21z
2yx−−
=−=
c)7
z
2729
y
372
x:r =
−
+=
+ d)
47z
4y2x −
=+=
98)Forme a equação do plano que possui um ponto M(−2,1,3) e que é perpendicular à
reta z3
1y2x
:r −=−
= . RESP: π:2x+ 3y−z +4=0
99)Dado o ponto P(5,2,3)e o plano π:2x+y+z−3=0,determinar:
a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a π;
b) a projeção ortogonal de P sobre π;
c) o ponto P’ simétrico de P em relação a π;
d) a distância de P ao plano π.
RESP: a)
t3z
t2y
t25x
r
====+=
b) I(1,0,1) c)P’(−3, −2, −1) d) 62d =
100)Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,−3) e B(3,2,5)
RESP: π:x+4z−6=0
101)Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,−2,2) e B(−3,1,−2) e é
perpendicular ao plano π: 2x+y−z+8-0. RESP: π:x−12y−10z−5=0
102) Um plano π, traçado por P(3,3,−1) intercepta os semi-eixos coordenados positivos
OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que ||OB||2||OA|| = e
|| OC||3 ||OA|| = .Estabeleça a equação geral de π. RESP: π;x+2y+3z−6=0
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 17
103)Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos planos
π1: 3x–2y–z−1=0 e π2: x +2y−z−7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,−1).
RESP: π:9x+2y−5z−13=0
104)Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é
paralela a cada uma dos planos π1: 2x–y–z+1=0 e π2:x+3y+z+5=0.
RESP:
=−=
+−=
t7x
t3y
t21x
105)Determinar equação geral do plano π,que passa ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular
aos planos π1: 2x –y –4z– 6 = 0 e π2: x + y + 2z -3 = 0. RESP: π:2x−8y+ 3z=0
106)Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,−2,−1) e a reta
=+−+=−++
07zyx2
01zy2x. RESP: π:2x+3y+x+1=0
107) Determinar a equação do plano π , que passa pelo ponto P(2,5,3) e é perpendicular
à reta r, interseção dos planos π1: x−2y+z−1=0 e π2:3x+2y−3z+5=0.
RESP: π: 2x+3y+4z−31=0
108)Determinar a equação do plano que passa pela reta
=+++=+++04z3y4x
06z5y2x3:r , é
paralelo à reta 31z
35y
31x
:s−+
=−
=−
. RESP: π:3x+2y+5z+6=0
109)Dados os planos π1:2x+y−3z+1=0, π2:x+y+z+1=0 e π3:x−2y+z+5=0, ache uma
equação do plano que contém π1∩π2 e é perpendicular a π3. RESP: π:x + y + z +1=0
110)Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano
π:5x+4y−10z−20=0. RESP: VT=320
u.v.
111)Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano π: x−y+z−2 =0.
RESP: R: A'(3,2,4)
112) Determine uma equação da reta t, simétrica de 1
z2
2y3x:r
−=
−=− , em relação ao
plano π:2x+y−z+2=0. RESP: 2
2z2y
71x
:s−
=+=−−
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 18
113) Dado o plano π1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a
equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano π1 e é paralelo ao
plano π2:x−3=0. RESP: π: 0103
x =+
114) Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e zy2
1x:s ==
−. Seja A o ponto onde s fura
o plano π:x−y+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos onde r fura os planos XOZ e
XOY,respectivamente. Calcule a área de triângulo ABC. RESP: S= ua23
115)Determinar a equação simétrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,−4,−1), e pelo
meio do segmento de reta
=−−−=−++05z2y3x3
026z5y4x3:s ,compreendido entre os planos
π1:5x+3y−4z+11=0 e π2: 5x+3y−4z−41=0. RESP: 3
1z5
5y2
2x:r
+=
+=
−
116) Dados o ponto P(1,3−1), o plano π:x+z=2 e a reta s:P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha
uma equação da reta r que passa por P, é paralela a π e dista 3 da reta s.
RESP: r:P=(1,3,−1)+m(−1,0,1)
COORDENADAS POLARES E
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
117)Dois dos vértices de um triângulo eqüilátero são os pontos A(0 , 75 0 ) e B( 3, 180 0 ).
Ache as coordenadas polares do terceiro vértice.
RESP: C )120,3( 0 e C’( 3, -2400) ou C’(3,-1200)
118)Lado de um hexágono mede 4 u.c. Determine as coordenadas polares dos vértices
deste hexágono quando seu centro coincidir com o pólo do sistema e um de seus
vértices pertencerem ao eixo polar.
RESP: A (4, 00 ) , B( 4,600) , C( 4,1200), D( 4,1800) ,E( 4,2400) e F( 4,3000)
119)Determine as coordenadas polares dos vértices de um quadrado ABCD, sabendo-se
que o pólo é o ponto O'(1,2), que o eixo polar é paralelo ao eixo OX e que tem o
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 19
mesmo sentido deste. Sendo dados as coordenadas cartesianas dos vértices: A (4,2),
B(7,5), C(4.8) e D(1,5). RESP: A (3,00) , B ( )'3026,53 0 , C( 53 ,63,50 ), D(3,900)
120)Num sistema de coordenadas polares são dados os dois vértices
π−
94
,3A e
π4
3,5B do paralelogramo ABCD e o ponto de interseção das diagonais coincide com
o pólo. Achar as coordenadas polares dos outros dois vértices.
RESP:
π
π−
94
3,D e 4
,5C
121)Determinar as coordenadas polares dos vértices do quadrado ABCD, sabendo-se
que o eixo polar é a reta paralela a diagonal AC, com o mesmo sentido desta, que o
pólo é o ponto médio de BC e que o lado do quadrado mede 6 cm.
RESP: A (3 5 ,161030') , B(3,–1350), C(3,450) e )03108,53(D 0 ′
122)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares:
a) x2 + y 2 = 25 b) x2 – y2 = 4 c) ( x2 + y 2 )2 = 4 ( x2 - y 2 ) d) x - 3y = 0
e) y 2 + 5x = 0 f) xy =4 g) x2 + y 2 + 4x - 2y = 5 h) ( x2 + y 2 ) 2 - 18 xy = 0
i) 4y2-20x – 25=0 j) 12x2 –4y2 –24x+ 9 = 0 k) x2+ y2 –2y = 0
Obs.: Somente considere a resposta em que ρ > 0.
RESP: a) ρ = 5 b) ρ2cos2θ=4 c) ρ2 = 4 cos 2 θ d) θ = arctg 1 / 3
e) ρsen2θ + 5 cosθ = 0 f) ρ2sen2θ=8 g) ρ2 + 2ρ (2 cos θ - sen θ ) = 5
h) ρ2 = 9 sen 2 θ i)ρ= ( )θ− cos125
j) ρ =θ+ cos42
3 k) ρ=2senθ
123)Transformar as seguintes equações polares em equações cartesianas:
a) ρ = 4 b) θ = 1/ 4 π c) ρ = 8 cos θ d) ρ = 6 sen θ + 3 cos θ
e) ρ = 15 sec θ f) ρ (sen θ + 3 cos θ ) = 3 g) ρ (2 − cos θ ) = 4
h) 2ρ = 2 + cos 2θ i) ρ 2 = 4 cos 2 θ j) ρ = 4 ( 1 + cos θ )
RESP: a) x2 + y2 = 16 b) x = y c) x2 + y2 − 8x = 0 d) x2 + y2 − 3x − 6y = 0
e) x = 15 f)3x−y−3=0 g) 3x2 + 4y2 - 8x −16 = 0 h) 4 (x2 + y 2)3 = ( 3x2 + y2 )2
i) ( x2 + y2 )2 = 4x2 – 4y2 j) 16( x2 + y2) = ( x2 + y2 −4x ) 2
124) Transforme, em relação a um novo sistema de coordenadas de eixos paralelos aos
primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figure os termos do 1o
grau, as equações:
a) x2 + y 2 - 6x + 2y - 6 = 0 b) xy –x + 2y – 10 = 0
c) x2 - 4y2 - 2x + 8y - 7 =0 d) x2 + 4 y 2 - 2x - 16 y + 1 = 0
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e) 30xy +24x-25y-80=0 f)3x2+ 3y2 –10xy –2x+ 14y+27=0
RESP: a) x’’2 + y’’2 = 16, O'(3,−1) b) x’y’=8, O'(−2,1) c) x’’2 - 4y’2 - 4 = 0,
O'(1,1) d) x’2 +4 y’2 - 16 = 0, O'(1,2) e)x’y’=2 ,O’
−54
,65
f) O’ ( 2,1) 3x’2+3y’2 −10x’y’+32=0 g)
′ 0,43
O , 041y4yx4x4 22 =−′+′′−′
125)Transforme as equações abaixo, mediante uma rotação de eixos :
a) x2 + 2 xy + y 2 −32 = 0 b) xy −8 = 0 c) 31 x2 + 10 3 xy + 21 y 2 - 144 = 0
d) 6x2 + 26y2 + 20 3 xy - 324 = 0 e)4x2+ 4xy +y2+ 5 x =1
g) 2xy +6x –8y=0 h) 7x2 – 6 3 xy + 13y2 – 16 =0
RESP: a) x’ = ± 4 θ=450 b) x’2 - y’2 = 16 θ=450
c) 9x’2 + 4y’2 - 36 = 0 θ=300 d) 9x’2 – y’2 – 81= 0 θ=600
e)5x’2+2x’−y’=1,θ=26,20 g) θ=450, x'2–y'2 – 2 x’−7 2 y’=0
h) θ= 300, x’2+4y’2– 4=0
CÔNICAS
ELIPSE
126)Achar a equação de uma elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das
abscissas, e sabendo-se que:
a) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é 53
e = ;
b) seu menor eixo é 10 e a excentricidade e 1312
e = ;
c) C(0,0), eixo menor igual 6, passa pelo ponto ( )2,52P − ;
d) focos F1(3,2) e F2(3,8),comprimento do eixo maior 8.
e) C(0,0), 21
e = ,
29
,3P , ponto da cônica;
f) seus vértices são A1 (−2,2), A2(4,2), B1(1,0), B2(1,4);
g) vértices (7,2) e (1,2), eixo menor=2;
h) C(0,0), ( )1,15P − ponto da cônica, distância focal 8;
RESP: a) 16x2 +25y2 −400=0 b) 25x2 +169y2 − 4225=0;
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 21
c) 036y4x 22 =−+ d) 0207y70x96y7x16 22 =+−−+
e) 0108y4x3 22 =−+ f) 04y36x8y9x4 22 =+−−+
g) 043y36x8y9x 22 =+−++ h) 020y5x 22 =−+
127)A órbita da Terra é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Sabendo-se que o eixo
maior da elipse mede 2.999.338.000 km e que a excentricidade mede 621
. Determine
a maior e a menor distância da Terra em relação a Sol.
RESP: MAD =152.083.016 km; med =147.254.984 km.
128)O centro de uma elipse coincide com a origem. O eixo maior é vertical e seu
comprimento é o dobro do comprimento do eixo menor, sabendo-se que essa elipse
passa pelo ponto
3,
27
P , achar sua equação. RESP: 4x2 +y2 −16=0
129)Uma elipse é tangente ao eixo das abscissas no ponto A(3,0) e ao eixo das
ordenadas no ponto B(0,−4). Formar a equação dessa elipse, sabendo-se que seus
eixos de simetria são paralelos aos eixos de coordenadas.
RESP: 9x2 +16y2 −54x+128y+193=0
130)Achar a equação da cônica com centro C(3,1), um dos vértices A(3,−2) e
excentricidade 31
. RESP: 017y16x54y8x9 22 =+−−+
131)Determine a equação da elipse de centro C(−2,1), excentricidade 3/5 e eixo maior
horizontal de comprimento 20. RESP: 16x2 +25y2 +64x−50y−1511=0
132)Determine a equação da cônica de C(4,1), um foco (1,1) e excentricidade 31
e = .
RESP: 0511y18x64y9x8 22 =−−−+
133)Determine a equação da cônica de vértices A1(1,8) e A2(1,4) e excentricidade 32
e = .
RESP: 0151y20x18y5x9 22 =−−−+
134)Determine a equação da cônica de focos (–1, –3) e (–1,5), e excentricidade 32
e = .
RESP: 0166y10x18y5x9 22 =−−++
135)Determine a equação da elipse de excentricidade 53
, cujos focos são pontos da reta
y −1=0 e sendo B(−2, 9) um dos extremos do seu eixo menor.
RESP: 01561y50x64y25x16 22 =−=+−
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136)A uma elipse de excentricidade 31
, circunscreve-se um retângulo de lados paralelos
aos eixos coordenados da elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo-se que seu
perímetro vale ( )m2238 + . RESP: 2m 296A =
137)Em cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos,
centro, excentricidade, corda focal, parâmetro e as equações das diretrizes:
a) 136y
100x 22
=+ b) 045y5x9 22 =−+ c) 01yx4 22 =−+
d) 25x2 +16y2 +50x+64y– 311=0 e) 16x2 +25y2 +32x–100y–284=0
f) 064y24x32y3x4 22 =++++ g) 0144y72x48y9x4 22 =++−+
RESP: a)C(0,0), A (±10,0), B(0,±6), F(±8,0), e= 4/5, eixo maior horizontal;
b)C(0,0),A(0,±3),B(± 5 ,0),F(0,±2),e =2/3, eixo maior vertical;
c)C(0,0),A(0,±1),
±
23
,0F ,B(±1/2,0),e= 3 /2, eixo maior vertical;
d) C(−1,−2),A1 (−1,2),A2 (−1,−7), F1(4,0), F2(−1,−5), B1(3,−2), B2 (−5,−2), e =3/5,
eixo maior horizontal;
e) C(−1,2), A1(−6,2), A2 (4,2), F1(3,2), F2(−4,2), B1(−1,−2),B2(−1,6) e =1/2, eixo
maior horizontal;
f)C(−4,−4), A1(−4,0), A2(−4,8), F1(−4,−2), F2(−4,−6), ( )4,324B −±− ,21
e = , eixo
maior vertical;
g)C(6,−4), A1(12,−4), A2(0,−4), ( )4,526F −± , 35
e = , eixo maior horizontal;
HIPÉRBOLE
138)Determine a equação da hipérbole, nos seguintes casos:
a)de focos F(0,±5) e vértices A (0, ±3);
b)que tem focos no eixo das abscissas e eixos real e imaginário 10 e 8 ,
respectivamente;
c) de focos F(3,4) e (3,2) e excentricidade e=2;
d)de focos F (1,5) e (5,5) , eqüilátera
e)eixo real horizontal, eqüilátera, de vértices (−3,−4) e ( −3,4);
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f) de C0,0),que passa pelo ponto (−5,3), é eqüilátera e de eixo real horizontal;
g)que tem eixo real vertical de comprimento 8 e passa pelo ponto (6,5);
h)eixo real sobre o eixo das abscissas ,distância focal é igual a 10 e eixo imaginário 8;
i)eixo real sobre o eixo das ordenadas, as equações das assíntotas x5
12y ±= e
distância focal 52.
j) eixo real horizontal, distância focal é igual a 6 e a excentricidade 23
;
k) eixo real paralelo ao eixo OX, centro no ponto C(−1,−3), comprimento do eixo
imaginário é 54 e excentricidade 23
;
l) C(2, – 3), eixo real vertical, passando pelos pontos (3, –1) e (–1,0)( trabalhosa);
m)centro é o ponto C(0,4), um dos focos é (0,−1) e um de seus pontos
9,3
16P .
RESP: a) 0144y16x9 22 =+− b) 0400y25x16 22 =−−
c) 051y24x24y12x4 22 =++−− d) 051y20x8y2x2 22 =−−−−
e) 025x6yx 22 =++− f) 16yx 22 =−
g) 064y4x 22 =+− h) 0144y9x16 22 =−−
i) 014400y25x144 22 =+− j) 020y4x5 22 =−−
k) 0111y24x10y4x5 22 =−−+− l) 025y48x20y8x5 22 =−−−
m) 0112y128y9x16 22 =+−−
139)O centro de uma cônica está na origem, seu eixo real encontra-se ao longo do eixo
OY e cujas assíntotas são as retas x41
y ±= . Determinar a equação da cônica, se
seus vértices são os pontos A(0,62). RESP: 064y16x 22 =+−
140)Determine a equação da hipérbole que tem como uma assíntota, a reta
0y23x2 =+ eixo horizontal e passa pelo ponto (3,1). RESP: 09y9x2 22 =−−
141)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 2x+y−3=0 e
2x−y−1=0, eixo horizontal e passa pelo ponto (4,6). RESP: 08y2x8yx4 22 =−+−−
142)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 3x−4y+16=0 e
3x+4y−16=0, eixo vertical e que passa pelo ponto
9,3
16.
RESP: 0112y128y16x9 22 =−+−
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143)Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os
focos da elipse 16x2 +25y2 −625=0 e cuja excentricidade é o inverso da
excentricidade da elipse dada. RESP: 0225y9x16 22 =−−
144)Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse 19y
25x 22
=+ Forme a equação
da hipérbole, considerando-se que sua excentricidade é e= 2.
RESP: 012yx3 22 =−−
145)Determine a equação da elipse de centro na origem, cujos vértices coincidem com os
focos da hipérbole 02304y36x64 22 =−− e cujos focos são os vértices da hipérbole.
RESP: 0400y25x16 22 =−+
146)Em cada uma das equações de hipérbole abaixo, determine as coordenadas dos
vértices, focos, centro a excentricidade, corda focal, parâmetro, equação das
diretrizes e das assíntotas.
a) 164y
100x 22
=− b) 9x2 −16y2 =144
c)4x2 −5y2 +20=0 d) x2 −y2 =1
e)x2 −4y2 +6x+24y−31=0 f)16x2 −9y2 −64x−18y+199=0
g)9x2 −4y2 −54x+8y+113=0 h) 063y24x18y4x9 22 =−−+−
RESP: a) C(0,0),A(±10,0), ( )0,412F ± ,541
e = ,eixo real horizontal, 54
y:ass ±= ,
b)C(0,0), A(±4,0), F(±5,0), 45
e = , eixo real horizontal, x43
y:ass ±= ;
c)C(0,0), A(0,±2), F(0,±3), 23
e = , eixo real vertical, x5
52y;ass ±= ,
34
y ±= ;
d)C(0,0), A(±1,0), ( )0,2F ± , 2e = , eixo real horizontal, ass: y=±x;
e)C(−3,3),A1(−1,3), A2(−5,3), ( )3,53F ±− , eixo real horizontal, ass1:x−2y−9=0,ass2:x +
2y−3=0,;
f)C(2,1),A1(2,−3), A2(2,−3), F1(2,−4), F2(2,6), eixo real vertical
,ass1:4x−3y−5=0,ass2:4x−3y−5=0;
g)C(3,1), A1(3,4), A2(3,−2), ( )131,3F ± , ass1:3x−2y−1=0, ass2:3x\=2y−5=0;
h)C(−1,−3), A1(1,−3),A2(−3,−3), ( )3,131F −±− , ass1:3x−2y−3=0 e ass2:2x+2y-
9=0,213
e =
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PARÁBOLA
147)Determinar a equação da parábola:
a) de vértice V(6,−2) , cujo eixo é y +2=0 e que passa pelo ponto (8,2);
b) de foco F(3,3) e diretriz y−1=0;
c) de vértice V(0,3) e diretriz x + 5=0;
e) de foco F(3,3) e diretriz y−5=0;
g)V(3,−6),eixo de simetria paralelo ao OY, e que passa pelo ponto (−3,−10);
i) F(4,3), diretriz 01y =+ ;
k) Eixo // OY,
− 2,23
V passa pelo ponto M(−1,−1);
l) V(4, −1), eixo: y+1=0 e passa pelo ponto (3, −3)
n) F(3,1) e diretriz 01x2:d =− ;
o) V(4,3) e F(4,1)
p) V(1,3), eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, passa pelo ponto P(1,1)
q) V(3,2) , eixo de simetria y+2=0, passa pelo ponto P(2,2)
s) de foco F(–7,3) e diretriz x+3=0;
v) F(5,2), diretriz 07x =− ;
RESP: a) 052x8y4y 2 =+−+ b) 017y4x6x2 =+−−
c) 09X20x6y2 =+−− e) 07y4x6x 2 =−+−
g) 063y9x6x2 =++− i) 024y8x8x 2 =+−−
k) 025yx36x12 2 =+++ l) 015x4y2y2 =−++
n) 039x20y8y4 2 =+−+ o) 08y8x8x 2 =−++
p) 01x8y6y 2 =++− q) 044y4x16y 2 =−++
s) 049y4x6y2 =++− v) 020y4x4y2 =−−+
148)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria horizontal que passa
pelos pontos A(−5,5), B(3,−3) e C(3,1). RESP: 015y2x4y2 =−++ ; V(4,-1), p=-2
149)Determine os pontos de interseção da hipérbole 020y4x 22 =−− com a parábola
0x3y 2 =− . RESP: ( )30,10 ± e ( )6,2 ±
150)Achar a equação da parábola, cuja corda focal liga os pontos (3,5) e (3,−3).
RESP: 09x8y2y2 =+−− ou 039x8y2y2 =−+−
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 26
151)Encontre na parábola 0x8y2 =− um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a
4. RESP: P(2,4) ou P(2,−4)
152)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos
pontos A(0,0), B(2,2,) e C(-4,20). RESP:
−41
,21
V ; 21
P = ; 0yxx 2 =−−
153)Dada uma elipse de centro na origem, distância focal 8 e comprimento do eixo maior
12 e eixo maior paralelo ao eixo OX. Considere uma parábola que tem por diretriz, a
reta suporte do eixo menor da elipse e por foco, o foco à direita do cento da elipse.
Determine a equação da parábola. RESP: 016x8y 2 =+−
154)Determinar as coordenadas do vértice, foco, a equação da diretriz e o parâmetro das
seguintes parábolas:
a) y2 −6x=0 b) x2 −5y=0 c)y2 +4x=0 d) y2 −4x+8=0
e)x2 −6y−2=0 f)x2 −6x+9y+63=0
j) y2 −8y−8x+40=0 k)y2 −8x−6y−7=0
RESP: a)V(0,0),
0,23
F , d:2x+3=0, eixo de simetria horizontal,CVD;
b) V(0,0).
45
,0F , d: 4y+5=0, eixo de simetria vertical, CVC;
c)V(0,0), F(−1,0). d: x = 1,eixo de simetria horizontal, CVE ;
d)V(2,0), F(3,0), d:x−1=0,eixo de simetria horizontal, CVD ;
e)
−31
,0V , ,67
,0F
d: 6y +11=0, eixo de simetria vertical, CVC;
f)V(3,−6),
−4
33,3F , d:4y +15=0, eixo de simetria vertical, CVB;
i)V(4,−1), F(3,−1), d:x −5=0,eixo de simetria horizontal, CVE ;
k)V(−2,3), F(0,3), d:x +4=0,eixo de simetria horizontal, CVD;
PROF: CARMEM LÚCIA - LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - 27
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