LINGKARANSofyan Mahfudy

KAPAN MANUSIA MENGENAL LINGKARAN?

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

KAPAN MANUSIA MENGENAL LINGKARAN?

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

KAPAN MANUSIA MENGENAL LINGKARAN?

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

KAPAN MANUSIA MENGENAL LINGKARAN?

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

APA KELEBIHAN LINGKARAN?

Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk yang paling sempurna

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

APA KELEBIHAN LINGKARAN?

Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk yang paling sempurna

Memiliki beberapa sifat yang istimewa:

Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang memiliki keliling paling minimum. Dimensi 3 padanannya bola

APA KELEBIHAN LINGKARAN?

Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk yang paling sempurna

Memiliki beberapa sifat yang istimewa:

Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang memiliki keliling paling minimum. Dimensi 3 padanannya bola

APA KELEBIHAN LINGKARAN?

Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk yang paling sempurna

Memiliki beberapa sifat yang istimewa:

Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang memiliki keliling paling minimum. Dimensi 3 padanannya bola

Selain identik dengan roda, lingkaran cocok untuk penutup saluran air karena ia tidak akan jatuh ke dalam lubangnya

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

APA KELEBIHAN LINGKARAN?

Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk yang paling sempurna

Memiliki beberapa sifat yang istimewa:

Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang memiliki keliling paling minimum. Dimensi 3 padanannya bola

Selain identik dengan roda, lingkaran cocok untuk penutup saluran air karena ia tidak akan jatuh ke dalam lubangnya

APA KELEBIHAN LINGKARAN?

Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk yang paling sempurna

Memiliki beberapa sifat yang istimewa:

Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang memiliki keliling paling minimum. Dimensi 3 padanannya bola

Selain identik dengan roda, lingkaran cocok untuk penutup saluran air karena ia tidak akan jatuh ke dalam lubangnya

Perbandingan keliling dan diameter selalu konsisten, selanjutnya perbandingan tersebut disebut dengan 𝜋 (Archimedes menemukan pendekatan 𝜋 ini 287-212 SM)

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

APA KELEBIHAN LINGKARAN?

Nilai 𝜋 (phi) seribu digit pertama

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

DEFINISI LINGKARAN

Definisi: “Lingkaran adalah himpunan titik pada bidang sedemikian sehingga segmen garis yang ditarik dari masing-masing titik pada himpunan itu, ke suatu titik tertentu adalah kongruen”

Selanjutnya titik tertentu tersebut disebut dengan titik pusat lingkaran

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

DEFINISI LINGKARAN

Definisi: “Lingkaran adalah himpunan titik pada bidang sedemikian sehingga segmen garis yang ditarik dari masing-masing titik pada himpunan itu, ke suatu titik tertentu adalah kongruen”. Notasi ⊙

Selanjutnya titik tertentu tersebut disebut dengan jari-jari lingkaran

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

O

PQ

R

DEFINISI LINGKARAN

Definisi: “Jari-jari lingkaran adalah segmen garis yang ditarik dari sembarang titik pada lingkaran ke pusat lingkaran tersebut”

Segmen OR, OQ , dan OP adalah jari-jari lingkaran

sehingga OR = OQ = OP

O

PQ

R

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

.O

A B

Sisi lengkung 𝐴𝐵 (pada lingkaran) adalah tali busur

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

.O

A B

𝐴𝐵 adalah diameter

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

.O

A B

𝑂𝑃 adalah apotema

Q

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

.O

A B

𝐴𝐵 adalah tali busur

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

.O

A B

Daerah hijau adalah tembereng

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

.O

A

B

∠𝐴𝑂𝐵 adalah sudut pusat

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

.O

A

B

C

∠𝐴𝐶𝐵 adalah sudut keliling

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

.O

R

S

Daerah ROS adalah juring

BEBERAPA DALIL

Dalil 14: “Semua jari-jari lingkaran adalah kongruen”

(silahkan dibuktikan)

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

Diketahui lingkaran O dan lingkaran M berpotongan di A dan B seperti pada gambar berikut. Buktikan OM garis bagi ∠AOB

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

3. Diperoleh OA ≅ OB dan MA ≅ MB [dalil 14]O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

3. Diperoleh OA ≅ OB dan MA ≅ MB [dalil 14]O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

3. Diperoleh OA ≅ OB dan MA ≅ MB [dalil 14]

4. Diperoleh juga bahwa OM≅ OM [sifat refleksif] O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

3. Diperoleh OA ≅ OB dan MA ≅ MB [dalil 14]

4. Diperoleh juga bahwa OM≅ OM [sifat refleksif]

5. Karena OA ≅ OB , MA ≅ MB , dan OM≅ OMmaka ∆ OAM ≅ ∆ OBM [postulat sis, sisi, sisi]

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

3. Diperoleh OA ≅ OB dan MA ≅ MB [dalil 14]

4. Diperoleh juga bahwa OM≅ OM [sifat refleksif]

5. Karena OA ≅ OB , MA ≅ MB , dan OM≅ OMmaka ∆ OAM ≅ ∆ OBM [postulat sis, sisi, sisi]

6. Akibatnya ∠AOM ≅ ∠BOM [definisi poligon kongruensi]

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

3. Diperoleh OA ≅ OB dan MA ≅ MB [dalil 14]

4. Diperoleh juga bahwa OM≅ OM [sifat refleksif]

5. Karena OA ≅ OB , MA ≅ MB , dan OM≅ OMmaka ∆ OAM ≅ ∆ OBM [postulat sis, sisi, sisi]

6. Akibatnya ∠AOM ≅ ∠BOM [definisi poligon kongruensi]

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

3. Diperoleh OA ≅ OB dan MA ≅ MB [dalil 14]

4. Diperoleh juga bahwa OM≅ OM [sifat refleksif]

5. Karena OA ≅ OB , MA ≅ MB , dan OM≅ OMmaka ∆ OAM ≅ ∆ OBM [postulat sis, sisi, sisi]

6. Akibatnya ∠AOM ≅ ∠BOM [definisi poligon kongruensi]

7. Kita simpulkan bahwa OM garis bagi ∠AOB [definisi garis bagi sudut]

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

CONTOH APLIKASI PADA SOAL

BUKTI:1. Dari O dan M dapat dibuat ruas garis OM [postulat...]

2. Seperti no.1 dapat dibuat OA, OB, MA, dan MB[postulat...]

3. Diperoleh OA ≅ OB dan MA ≅ MB [dalil 14]

4. Diperoleh juga bahwa OM≅ OM [sifat refleksif]

5. Karena OA ≅ OB , MA ≅ MB , dan OM≅ OMmaka ∆ OAM ≅ ∆ OBM [postulat sis, sisi, sisi]

6. Akibatnya ∠AOM ≅ ∠BOM [definisi poligon kongruensi]

7. Kita simpulkan bahwa OM garis bagi ∠AOB [definisi garis bagi sudut

TERBUKTI

O

A

B

M

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

BEBERAPA DALIL YANG LAIN

Dalil 71: “Jika dua sudut pusat suatu lingkaran kongruen, maka busur-busur di hadapan sudut pusat tersebut juga kongruen” (bukti hal 120)

Dalil 72: “Jika dua busur suatu lingkaran kongruen, maka sudut-sudut pusat yang menghadap busur tersebut juga kongruen” (silahkan dibuktikan)

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

BEBERAPA DALIL YANG LAIN

Dalil 71: “Jika dua sudut pusat suatu lingkaran kongruen, maka busur-busur di hadapan sudut pusat tersebut juga kongruen” (bukti hal 120)

Dalil 72: “Jika dua busur suatu lingkaran kongruen, maka sudut-sudut pusat yang menghadap busur tersebut juga kongruen” (silahkan dibuktikan)

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

BEBERAPA DALIL YANG LAIN

Dalil 71: “Jika dua sudut pusat suatu lingkaran kongruen, maka busur-busur di hadapan sudut pusat tersebut juga kongruen” (bukti hal 120)

Dalil 72: “Jika dua busur suatu lingkaran kongruen, maka sudut-sudut pusat yang menghadap busur tersebut juga kongruen” (silahkan dibuktikan)

Dalil 73: “Jika pada suatu lingkaran dua tali busur kongruen, maka busur-busur yang berkorespondensi kongruen” (bukti hal 121)

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

BEBERAPA DALIL YANG LAIN

Dalil 74: “Jika pada suatu lingkaran dua busur kongruen, maka tali busur-tali busur yang berkorespondensi kongruen” (buktikan)

sofyan mahfudy - IAIN Mataram

BEBERAPA DALIL YANG LAIN

Dalil 74: “Jika pada suatu lingkaran dua busur kongruen, maka tali busur-tali busur yang berkorespondensi kongruen” (buktikan)

Dalil 74: “Apotema merupakan bisector tegak lurus dari tali busur” (bukti hal: 121)

sofyan mahfudy - IAIN Mataram