Post on 13-Mar-2016
description
Lineární algebra pro IT
Ing. Petr Beremlijski, Ph.D.Katedra aplikované matematiky, FEI
petr.beremlijski@vsb.cz, místnost EA 534 (Nová FEI)
http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm
Aplikace I: dopravní problém
Úvodní přednáška LA-IT
S1=100
S2=300
S3=50
O1=100
O2=170
O3=100
O4=80
x1,1
x1,2
x1,3
x2,2
x2,3
x2,4x3,1
x3,4
Aplikace I: dopravní problém
Úvodní přednáška LA-IT
Soustava lineárních rovnic:
x1,1 100, x1,2 0, x1,3 0
x2,2 170, x2,3 100, x2,4 30
x3,1 0, x3,4 50
8010017010050300100
4,34,2
3,23,1
2,22,1
1,31,1
4,31,3
4,23,22,2
3,12,11,1
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
x1,1 50 q, x1,2 50 p q, x1,3 100 p
x2,2 220 p q, x2,3 p, x2,4 80 q
x3,1 50 q, x3,4 q
pro lib. p,q 0 50,100 a qp
Aplikace I: dopravní problém
Úvodní přednáška LA-IT
S1=100
S2=300
S3=50
O1=100
O2=170
O3=100
O4=80
100
00
170
100
30 050
Aplikace I: dopravní problém
8010017010050
300100
,,
10100000000101000000101001000001110000000011100000000111
4,3
1,3
4,2
3,2
2,2
3,1
2,1
1,1
bxA
xxxxxxxx
• Řešitelnost soustavy– soustava nemá řešení
(zboží nelze rozvést)– soustava má jediné řešení
(zboží lze rozvést jediným způsobem)
– soustava má nekonečně mnoho řešení (zboží lze rozvést různým způsobem – možno dále specifikovat jakým)
Úvodní přednáška LA-IT
Maticový zápis soustavy:
Ax b
Aplikace I: dopravní problém
Úvodní přednáška LA-IT
S1=100
S2=300
S3=50
O1=100
O2=170
O3=100
O4=80
c1,1=1c1,2=4c1,3 =2
c2,2=1.5
c2,3=2.5c2,4 =0.5c 3,1
=2
c3,4=0.5
Náklady na přepravu zboží:
1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,4
1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,4
1,1 1,2 1,3
2,2 2,3 2,4
3,1 3,4
1,1 3,1
Nalézt , , , , , , , 0 tak, aby
1 4 2 1.5 2.5 0.5 2 0.5
bylo co nejmenší, a zároveň10030050
100
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x xx x x
x xx x
1,2 2,2
1,3 2,3
2,4 3,4
17010080
x xx x
x x
Aplikace I: dopravní problém
oxbAxxc a kde ,min T
5.025.05.25.1
241
4,3
1,3
4,2
3,2
2,2
3,1
2,1
1,1
cccccccc
c
Úvodní přednáška LA-IT
Optimalizační úloha:
Maticový zápis:
Aplikace II: vyhledávací nástroje
• Knihovny o tisících knih či jiných dokumentů– Manuální indexování pomocí klíčových slov– Boolovské vyhledávání
• Internet o miliónech webových stránek a dalších dokumentů– Vyhledávání na základě podobnosti k dotazu– Statisíce klíčových slov– Automatické indexování
• Vyhledávací nástroje jsou založeny na základech lineární algebry!
Úvodní přednáška LA-IT
Aplikace II: seznam receptů• R1: Čočka po orientálsku
– Ingredience: cca 1/4 kg čočky, 2 rajčata, 1 mrkev, 1 větší cibule, kousek celeru (nemusí být), sůl, olej, špetka saturejky, kari podle chuti
• R2: Fazole s klobásou – Ingredience: 300 g bílých fazolí, 2 bobkové listy, 200 g klobásy, 1 velká
cibule, 2 lžíce hladké mouky, 1 lžíce mleté papriky, 4 lžíce kečupu, 1 palička česneku, majoránka
• R3: Klobásový koláč se špenátem – Ingredience: 250 g polohrubé mouky, 140 g másla, sůl, 1 cibule, 300 g
mraženého špenátu, pepř, muškátový oříšek, 2 lžíce strouhanky, 500 g bílé klobásy v celku, 1 lžíce oleje, 100 g strouhaného sýra (např. goudy), 3 vejce, 6 lžic mléka
Úvodní přednáška LA-IT
Aplikace II: seznam receptů II• R4: Chilli con carne
– Ingredience: 500 g mletého hovězího masa, 200 g červených fazolí, 2 lžíce oleje, 1 cibule, 2 zelené papriky, 500 g rajčat, 2 stroužky česneku, 1 lžíce sladké papriky, 1/2 lžička chilli, 1/2 lžičky oregana, 1/4 lžičky pepře, bobkový list, petželka, sůl
• R5: Argentinská čočka – Ingredience: 350 g čočky, olej, 2-3 velké cibule, 1 klobása, ostrý kečup
Hamé, sůl, pepř• R6: Čočka s kuřecím masem a mandlemi
– Ingredience: 200 g čočky, 500 g kuřecích prsíček, 2 cibule, 100 g plátků mandlí, sůl, kari koření, 2 bobkové listy, olej
Recepty převzaty z www.recepty.cz
Úvodní přednáška LA-IT
Aplikace II: klíčová slova
• Fazole (Fazolí)• Čočka (Čočky)• Kuřecí (Kuřecího)• Hovězí (Hovězího)• Klobása (Klobásy)• Česnek (Česneku)
Je třeba provést indexování
K1 se vyskytuje v R2,4 K2 se vyskytuje v R1,5,6K3 se vyskytuje v R6 K4 se vyskytuje v R4 K5 se vyskytuje v R2,3,5K6 se vyskytuje v R2,4
Úvodní přednáška LA-IT
Aplikace II: matice klíčových slov a dokumentů
• Řádky matice reprezentují klíčová slova
• Sloupce reprezentují dokumenty
• Prvky matice představují počty výskytů klíčových slov v dokumentech
• Sloupcové vektory pak představují výskyt klíčových slov v dokumentech
Úvodní přednáška LA-IT
0 1 0 1 0 01 0 0 0 1 10 0 0 0 0 10 0 0 1 0 00 1 1 0 1 00 1 0 1 0 0
A
Aplikace II: dotazy
• Vyber „zdravý“ recept, tj. který bude obsahovat fazole, čočku a nebo kuřecí maso– Vektorový zápis: q1=[1,1,1,0,0,0]
• Vyber „nezdravý“ leč „chutný“ recept, který obsahuje klobásku a česnek– Vektorový zápis: q2=[0,0,0,0,1,1]
• Výběr receptů tak závisí na „blízkosti“ dotazů q1, q2 k jednotlivým sloupcům matice A– popisují výskyty klíčových slov v jednotlivých dokumentech
Úvodní přednáška LA-IT
Aplikace II: test blízkosti• Vzdálenost bodu dotazu od
bodu definovaného sloupcem matice A
• Cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A
Úvodní přednáška LA-IT
( ,, 1,...,6
|| ||·|| ||)
cosAi
i Ai
q si
q s
62
,1
, 1,...|| || ( ) ,6A Ai k i k
k
q s q s i
Aplikace II: výsledek vyhledávání• Test blízkosti: cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A
Úvodní přednáška LA-IT
1
2
3
4
5
6
cos 0.5774coscos 0cos 0.3333cos
0.3333
0.4082cos 0.8165
1
2
3
4
5
6
cos 0coscos 0.7071cos 0.4082
0.8165
cos 0.5000cos 0
Dotaz q1 Dotaz q2
Čočka s kuřecím masem a mandlemi
Fazole s klobásou
Aplikace III: délka vodiče
Úvodní přednáška LA-IT
Určete potřebnou délku vodiče zavěšeného na sloupech vysokého napětí, pokud jsou sloupy od sebe vzdáleny 12 metrů.
L
u
G
Aplikace III: délka vodiče
huu
huu
121
010
)(tg
)(tg
Úvodní přednáška LA-IT
u0 u1u2 u3
u4
u5u6h h h h h h
P PG
)sin()(tg Malé deformace:
u1- u0
h
h
u2- u1u1
u0 0
1
u22
Linearizace úlohy:
P1
-P1
P0
Aplikace III: délka vodiče
huuPPP
huuPPP
1211
0100
)sin(
)sin(
Úvodní přednáška LA-IT
P
P
u0
u1
0
1
G
PGhuuu
hGh
uuPh
uuP
hGPP
2
210
1201
10
2
)(
Aplikace III: délka vodiče
FhuuuFhuuuFhuuuFhuuuFhuuu
2654
2543
2432
2321
2210
22
22
2
Úvodní přednáška LA-IT
Soustava lineárních rovnic:
0
26
12
0278.0300
81.985.0"lanatuhost "
60
uu
mLhmL
F
gPGF l
1112.021112.021112.021112.021112.02
54
543
432
321
21
uuuuu
uuuuuu
uu
0.27800.44480.50040.44480.2780
5
4
3
2
1
uuuuu
Au=b
Aplikace III: délka vodiče
0192.2278.02
)()0(
22
201
210
uuhuu
Úvodní přednáška LA-IT
[0,u0]
[h,u1]0538.12
0192.20069.20008.20008.20069.20192.2
655443322110
uuuuuuuuuuuuLu
Pokud jsou sloupy od sebe vzdáleny 12 metrů, potřebujeme 12.0538 metrů vodiče.
Výpočet délky:
Norma vektoru:
u0 u1u2 u3
u4
u5u6h h h h h h
Aplikace IV: složitější úloha
Úvodní přednáška LA-IT
At=b
Aplikace V: ještě složitější úloha
Úvodní přednáška LA1
Paralelní řešení
Paralelní řešení
Paralelní řešení
0,00000010,000001
0,000010,0001
0,0010,01
0,11
10100
100010000
1000001000000
Čas řešení log (s)
100 400 1600 6400 25600
Počet neznámých
Gaussova metoda Rozložení oblasti
Škálovatelné algoritmyV případě paralelních algoritmů je výpočetní náročnost přímoúměrná počtu neznámých
Úvodní přednáška LA-IT
Současné superpočítače
• Tianhe-2• Intel Xeon E5• Kylin Linux• 3 120 000 jader• 33.86 PetaFlops
• http://www.top500.org
National University of Defense Technology, Guangzhou,China
IT4Innovations – superpočítač v Ostravě
• Malý klastr – Anselm • zprovozněn v květnu 2013• http://www.it4i.cz/hardware/• https://docs.it4i.cz/anselm-cluster-documentation
• Velký klastr • předpokládáné uvedení do provozu v průběhu
roku 2015• http://www.it4i.cz/hardware/
• www.it4innovations.eu• www.it4i.eu• www.it4innovations.cz• www.it4i.cz
Obsah předmětu• Operace s vektory a maticemi
– vlastnosti těchto operací• Řešení soustav lineárních rovnic• Teorie vektorových prostorů
– řešitelnost soustav lineárních rovnic• Lineární zobrazení a transformace
– zobecnění soustav lineárních rovnic• Multilineární zobrazení, determinanty• Úvod do spektrální analýzy
Úvodní přednáška LA-IT
Cíle předmětu• Seznámení se se základy maticového počtu• Zvládnutí principů řešení soustav lineárních rovnic (řešení,
teoretické souvislosti)• Porozumění pojmu vektorového prostoru (jeho vlastnosti a
použití)• Seznámení se s pojmy, základními vlastnostmi a užitím
lineárních a multilineárních zobrazení a problematikou s nimi související
• Pochopení základních pojmů spektrálni analýzy• Aplikace
Úvodní přednáška LA-IT
Organizace výuky
Cvičení (C)
Demonstrované Cvičení (C1)
Přednáška (P)LB1IKT02, LB1IKT03, LB1IKT09, LB1IKT10
LB1IKT02, LB1IKT03
LB1IKT02 LB1IKT03
LB1IKT09, LB1IKT10
LB1IKT09 LB1IKT10
Úvodní přednáška LA-IT
Hodnocení• Cvičení (max. 30 bodů)
– Písemný test 1 (12 bodů), minimálně 3 body je nutno získat– Písemný test 2 (12 bodů) , minimálně 3 body je nutno získat– 1 písemný test je možno opravit– Zápočtový projekt (6 bodů) , minimálně 3 body je nutno získat– Aktivní účast na „koncových“ cvičeních (aktivní účastí se rozumí
přítomnost na 80% cvičení, očekává se, že student je na cvičení připraven z přednášky a demonstrovaného cvičení, případně samostudiem, a zapojuje se do jeho průběhu, v případě, že student nenaplní toto očekávání, není mu započítána účast)
– Pro udělení zápočtu je nutno získat minimálně 10 bodů a splnit podmínku aktivní účasti.
Úvodní přednáška LA-IT
Hodnocení• Písemná zkouška (max. 70 bodů)
– Ukázka zkouškové písemné práce
• Celkem (max. 100 bodů)– nevyhověl (0-50 bodů)– dobře (51-65 bodů)– velmi dobře (66-85 bodů)– výborně (86-100 bodů)
Úvodní přednáška LA-IT
Literatura• Základní literatura
– Z. Dostál, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2000 – Z. Dostál, V. Vondrák, D. Lukáš, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2012
http://mi21.vsb.cz/modul/linearni-algebra– M. Demlová, B. Pondělíček, Úvod do algebry, ČVUT Praha 1996– Sylaby přednášek na http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm
• Doplňková literatura– L.Šindel, Sbírka úloh z algebry, VŠB-TU Ostrava 2006– B. Budinský, J. Charvát, Matematika I, SNTL Praha 1987 – V. Havel, J. Holenda, Lineární algebra, SNTL/Alfa Praha 1984 – J. Schmidtmayer, Maticový počet a jeho použití v technice, SNTL Praha 1967– J. Vrbický, D. Šalounová, M. Sedláček, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 1994– Sylaby cvičení na http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm
Úvodní přednáška LA-IT