Post on 13-Dec-2018
◦ Considere um gerente que determina que, quando x% da capacidade de produção
de uma fábrica estão sendo usados, o custo total de operação é C centenas de
milhares de reais, onde
𝐶 =8𝑥2 − 636𝑥 − 320
𝑥2 − 68𝑥 − 960
◦ A companhia tem uma política de manutenção preventiva que procura assegurar
que a fábrica esteja sempre funcionando com 80% da capacidade máxima. Que
custo o gerente deve esperar quando a fábrica está funcionando neste nível de
produção ideal?
◦ Entretanto, é possível calcular C(x) para valores que se aproximam de x pela direita
(x>80), quando a fábrica está temporariamente superutilizada; e pela esquerda
(x<80), quando a fábrica está temporariamente subutilizada.
◦ Os valores de C(x) sugerem que C(x) se aproxima do número 7 quando x se aproxima
de 80.
◦ Assim, é razoável que o gerente espere um custo de R$ 700.000,00 quando a fábrica
está funcionando com 80% da capacidade máxima.
x tende a 80 pela esquerda X tende a 80 pela direita
x 79,8 79,99 79,999 80 80,0001 80,001 80,04
C(x) 6,99782 6,99989 6,99999 X 7,000001 7,00001 7,00043
◦ O comportamento da função que aparece neste exemplo pode ser descrito
afirmando que “o limite de C(x) quando x se aproxima de 80 é igual a 7”, ou em
notação matemática:
lim𝑥→80
𝐶 𝑥 = 7
Limite Se f(x) se aproxima de um número L
quando x se aproxima de um número c tanto pela
direita quanto pela esquerda, L é o limite de f(x)
quando x tende a c, o que, em notação
matemática é escrito como
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿
◦ Os limites descrevem o comportamento de uma função perto de um ponto, mas não
necessariamente no próprio ponto.
◦ Na primeira figura o limite existe, mas é diferente do valor da função.
◦ Na segunda e na terceira figura, o limite não existe, pois f(x) tende a valores diferentes
quando x se aproxima de c pela esquerda e pela direita.
Propriedades algébricas
Se lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) existem, então:
I) lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)+lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
II) lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)-lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
III) lim𝑥→𝑐
𝐾𝑓 𝑥 =𝐾 lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) (para qualquer K)
IV) lim𝑥→𝑐
[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ]= lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 [lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)]
V) lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)se lim
𝑥→𝑐𝑔(𝑥) ≠ 0
VI) lim𝑥→𝑐
[𝑓 𝑥 ]𝑝= [ lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)]𝑝 se [lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)]𝑝 existir
Limites de duas funções lineares
■ Para qualquer constante k,
a) lim𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘
b) lim𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
O limite de uma constante é a própria constante e o limite de f(x) = x, quando x tende a
c é c.
y y
c (c,c)
y=k
(c,k)
0 c 0 c
(a) lim𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘 (b) lim𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
Limites de duas funções lineares
Em termos geométricos, a expressão lim
𝑥→𝑐𝑘 = 𝑘
significa que a ordenada
do gráfico da função
constate f(x) = k conserva
o valor k quando x se
aproxima de c.
Analogamente, a expressão lim𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
significa que a ordenada do
gráfico da função linear f(x) =
x se aproxima de c quando x
se aproxima de c.
Cálculo de limites
◦ lim𝑥→−1
(3𝑥3 − 4𝑥 + 8)
◦ lim𝑥→1
3𝑥3−8
𝑥−2
• lim𝑥→2
𝑥+1
𝑥−2• lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥2−3𝑥+2
Determine o limite, caso exista:
a) lim𝑥→−1
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 3
b) lim𝑥→−
1
2
(1 − 5𝑥3)
c) lim𝑥→1
2𝑥+3
𝑥+1
d) lim𝑥→3
2𝑥+3
𝑥−3
e) lim𝑥→3
9−𝑥2
𝑥−3
f) lim𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2
g) lim𝑥→4
(𝑥+1)(𝑥−4)
(𝑥−1)(𝑥−4)
h) lim𝑥→1
𝑥2+4𝑥−5
𝑥2−1
Nos problemas abaixo, determine lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), caso exista.
y y y
c
b
b b
a x a x a x
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = b lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏 lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∄
Limites no infinito
◦ O gerente de uma empresa determina que t meses após começar a fabricação de
um novo produto o número de unidades fabricadas deve ser P milhares, onde
𝑃 𝑡 =6𝑡2 + 5𝑡
(𝑡 + 1)2
O que acontece com a produção a longo prazo?
Limites no infinito
◦ O comportamento “a longo prazo” é uma questão de interesse tanto para os
economistas como para os físicos, biólogos e outros profissionais.
◦ Um biólogo pode estar interessado em estimar o tamanho de uma colônia de
bactérias após um longo tempo.
◦ Um industrial pode querer saber qual será o custo médios para fabricar um certo
produto se o nível de produção aumentar indefinidamente.
◦ Na matemática, o símbolo de infinito, ∞ é usado para representar o aumento sem
limite de uma variável ou resultado deste aumento.
Limites no infinito se os valores da função f(x) tendem para um número L
quando x aumenta sem limite, escrevemos:
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
Analogamente escrevemos:
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑀
Quando os valores de f(x) tendem para o número M quando x diminui sem limite.
L
M
• A notação lim𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝐿 significa que quando x aumente sem limite, a curva de
f(x) tende para a reta horizontal x = L, enquanto lim𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝑀 significa que a
curva de f(x) tende para a reta horizontal y = M quando x diminui sem limite.
• As retas y = L e y = M que aparecem neste contexto recebem o nome de
assíntotas horizontais da curva de f(x).
Regra das potências inversas
◦ Se A e k são constantes com 𝑘 > 0 e 𝑥𝐾 é definida para qualquer x,
lim𝑥→+∞
𝐴
𝑘𝑥= 0
e
lim𝑥→−∞
𝐴
𝑘𝑥= 0
Método para determinar o limite no
infinito de 𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
◦ 1º passo: Divida todos os termos de f(x) pela maior potência de x que aparece no
polinômio do denominador, q(x).
◦ 2º passo: Calcule lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) ou lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) usando as propriedades algébricas dos limites
e as regras das potências inversas.
Exercícios
◦ Calcule os limites:
a) lim𝑥→+∞
2𝑥2+3𝑥+1
3𝑥2−5𝑥+2
b) lim𝑥→+∞
𝑥3 − 4𝑥2 − 4
c) lim𝑥→−∞
(1 − 2𝑥)(𝑥 + 5)
d) lim𝑥→−∞
𝑥2−2𝑥+3
2𝑥2+5𝑥+1
e) lim𝑥→+∞
2𝑥+1
3𝑥2+2𝑥−7
f) lim𝑥→+∞
3𝑥2−6𝑥+2
2𝑥−9
Limites Unilaterais e Continuidade
◦ Função contínua é aquela cujo gráfico pode ser traçado sem que a “caneta” se
afaste do papel.
◦ Nem todas as funções possuem esta propriedade.
◦ Uma função não é contínua quando seu gráfico possui um “buraco” ou um “salto”.
Limites Unilaterais
◦ Se f(x) tende a L quando x tende a c pela esquerda (x<c), escrevemos:
lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝐿
◦ Se f(x) tende a M quando x tende a c pela direita (x>0), escrevemos:
lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝑀
Exemplo 3
◦ No caso da função:
𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 22𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
Determine os limites unilaterais lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) e lim𝑥→2+
𝑓(𝑥)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8
Existência de um Limite
◦ O lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) existe se e apenas se os limites unilaterais lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 e lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 existirem e
forem iguais, caso em que:
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥
Exemplo 5
◦ Determine se o lim𝑥→1
𝑓 𝑥 existe, onde:
𝑓 𝑥 =𝑥 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1
−𝑥2 + 4𝑥 − 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Continuidade
◦ O gráfico de f(x) possui um “salto” no ponto x = c se os limites unilaterais lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 e
lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 não são iguais.
◦ Três formas pelas quais uma função pode possuir um “salto ou um buraco” no ponto x
= c estão representadas nos gráficos acima.
O primeiro gráfico lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 ≠f(c)
O segundo gráfico Salto finito: lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 ≠ lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥
O terceiro gráfico Salto infinito: lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 é finito mas lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = +∞
Continuidade
◦ Uma função f é contínua no ponto c se três condições são satisfeitas:
a) 𝑓(𝑐) é definida
b) lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) existe
c) lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)
Se 𝑓(𝑥) não é contínua no ponto c, dizemos que o ponto c é um ponto de
descontinuidade.
Exemplo
◦ Discutir a continuidade da função:
a) ℎ 𝑥 =𝑥 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 12 − 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4