LIMITA FUNKCIE

-okolím bodu a nazývame interval v R

Pravé okolie bodu a

Ľavé okolie bodu a

0),,()( aaaO

0),,()(

aaaO

0),,()(

aaaO

Heineho definícia limity funkcie

Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom okolí O(a) bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre každú postupnosť

takú, že xn D(f), xn a,

má postupnosť funkčných hodnôt

limitu rovnajúcu sa číslu b, .

1}{ nnx axnn

lim

1)}({ nnxf

bxf nn

)(lim

))(limlim,),(,}{(

)(lim

1 bxfaxaxfDxx

bxf

nn

nn

nnnn

ax

Z definície limity vyplýva, že

neexistuje, ak sa podarí nájsť dve také postupnosti,

pre ktoré

a

bxfax

)(lim

1}{ nnx

1}{ nnx

axxaxaxfDxx nn

nn

nnnn

limlim,,),(,

)(lim)(lim nn

nn

xfxf

31

1lim,

1coslim

3

10

x

xneexistuje

x xx

Cauchyho definícia limity

Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom okolí O(a) bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre každé kladné číslo ɛ > 0 existuje také kladné číslo > 0, že pre každé x O(a), x a je f(x) O(b) .

))()(),(,0,0(

)(lim

bOxfaxaOx

bxfax

))(0,0,0(

)(lim

bxfax

bxfax

0sin

lim,1sin

lim0

x

x

x

x

xx

Funkcia nemá v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre nejaké (aspoň jedno) ɛ-okolie čísla b,

Oɛ(b) = (b − ɛ, b + ɛ)

δ-okolie bodu a,

O(a) = (a − δ, a + δ)

z definície neexistuje.

1])[sgn(lim,1])[sgn(lim

])[sgn(lim

00

0

xxxx

neexistujexx

xx

x

Limita funkcie zľava – Heineho definícia

Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom ľavom okolí O-

(a) bodu a.

Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu zľava rovnajúcu sa číslu b .

))(limlim,,}{(

)(lim

1 bxfaxaxx

bxf

nn

nn

nnn

ax

Limita funkcie sprava – Cauchyho definícia

Nech je funkcia f definovaná pre všetky x a na nejakom pravom okolí O+

(a) bodu a.

Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu sprava rovnajúcu sa číslu b .

))()()(,0,0(

)(lim

bOxfaOx

bxfax

Limita funkcie f v bode a existuje práve vtedy, ak existuje v bode a limita sprava aj limita zľava a tieto sa rovnajú.

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax

Základné vlastnosti limity funkcie

1. Funkcia môže mať v bode a len jednu limitu.

2. Ak má funkcia f v bode a limitu, potom existuje také okolie bodu a, na ktorom je funkcia f ohraničená.

3. Ak f(x) = c, c R, tak

Racxf

ax

)(lim

4. Ak , potom

a)

b)

c)

d)

BxgAxfaxax

)(lim,)(lim

BAxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim))()((lim

BAxgxfxgxfaxaxax

.)(lim).(lim))().((lim

0)(,),(,0,0

,)(lim

)(lim

)(

)(lim

xgaxaOxB

B

A

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

zmysel a))((

ymajú výraz ),(,0ak

))(lim())((lim

)(

)(lim)(

Bxg

Bxg

ax

xg

ax

Axf

axaOx

Axfxf ax

5. Limita troch funkcií, Ak

6. Ak na nejakom okolí O(a) bodu a platí

potom aj

Poznámka: Vlastnosti 1) – 6) platia aj pre jednostranné limity.

bxgxhxgxf

axaOxbxhxf

ax

axax

)(lim potom ),()()(

),(0,ak a )(lim)(lim

,)(lim a )()( bxgaxxgxfax

bxfax

)(lim

Nevlastná limita funkcie v bode a

))(),(,0,(

)(lim

KxfaxaOxRK

xfax

))(),(,0,(

)(lim

KxfaxaOxRK

xfax

Ďalšie vlastnosti limity funkcie v bode a

7. Ak

platí

axaOx

xgbxfaxax

),(,0

,0)(lim,)(lim

)(

)(lim potom ,0

)(

)(

)(

)(lim potom ,0

)(

)(

xg

xf

xg

xf

xg

xf

xg

xf

ax

ax

8. Ak je funkcia f v nejakom okolí O(a) bodu a

ohraničená a platí , potom

a)

b)

))()((lim xgxfax

0)(

)(lim xg

xf

ax

)(lim xgax

Limita a nevlastná limita funkcie

v nevlastných bodoch

Nech je funkcia f definovaná na intervale (a, ).

))()(:,0(

)(lim

bOxfAxRA

bxfx

))(:,(

)(lim

KxfAxRARK

xfx

))(:,(

)(lim

KxfAxRARK

xfx

Nech je funkcia f definovaná na intervale (-, a).

))()(:,0(

)(lim

bOxfAxRA

bxfx

))(:,(

)(lim

KxfAxRARK

xfx

))(:,(

)(lim

KxfAxRARK

xfx