Post on 03-Apr-2015
Les ondes électromagnétiques dans le vide
I) Équation de propagation dans le vide
1) Équations de Maxwell dans le vide
L’équation locale de Maxwell – Faraday :
tB
rotE
L’équation locale du flux magnétique :
divB = 0
Les équations locales de Maxwell :
ρε0
div 0E
L’équation locale de Maxwell – Gauss :
L’équation locale de Maxwell – Ampère :
μ μ ε μ ε0 0 0 0 0 . . .t tE E
rotB j
Les équations locales de Maxwell :
Les ondes électromagnétiques dans le vide
I) Équation de propagation dans le vide
1) Équations de Maxwell dans le vide
2) Équation de propagation
L’équation de propagation de E :
t t
rotBBrot rotE rot
μ ε μ ε2
0 0 0 0 2 . .t t t
E Erot rotE
rot(rotE) = grad(divE) – E = – E
Finalement :
L’équation de propagation de E :
Δ μ ε2
0 0 2 . tE
E 0
Δ
μ ε
2
2 2
0 0
1
c t1
c .
EE 0
L’équation de propagation de B :
μ ε μ ε0 0 0 0 . .
t trotEE
rot rotB rot
μ ε2
0 0 2 .tB
rot rotB
rot(rotB) = grad(divB) – B = – B
Finalement :
L’équation de propagation de B :
Δ μ ε2
0 0 2 . tB
B 0
Δ
μ ε
2
2 2
0 0
1
c t1
c .
BB 0
Les ondes électromagnétiques dans le vide
II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques
1) Rappel des solutions
En coordonnées cartésiennes :
E = Ex.ux + Ey.uy + Ez.uz
B = Bx.ux + By.uy + Bz.uz
Δ2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 21 f f f f 1 f
f 0c t x y z c t
f = Ex, Ey, Ez, Bx, By ou Bz
ε μ0 0
1c
.
Rappel :
Nous admettons qu’en vertu de la linéarité de l’équation scalaire de D’Alembert à trois dimensions, toute solution est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout l’espace :
espace
f(M,t) F( . c.t) G( . c.t)u,
r u r u
Les ondes électromagnétiques dans le vide
II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques
1) Rappel des solutions
2) Définitions des O.E.M.P.P.H.
Définitions des O.E.M.P.P.H.
On appelle onde électromagnétique plane progressive harmonique, O.E.M.P.P.H., une solution des équations de Maxwell dont les six composantes du champ électromagnétique sont des O.P.P.H de même pulsation et de même vecteur d’onde k.
Seules leurs amplitudes A0 et leurs phases à l’origine 0 sont a priori différentes.
Les ondes électromagnétiques dans le vide
II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques
1) Rappel des solutions
2) Définitions des O.E.M.P.P.H.
3) Notation complexe
Notation complexe
E(M,t) = E0x.cos(t – k.r + 0x).ux +E0y.cos(t – k.r + 0y).uy +E0z.cos(t – k.r + 0z).uz.
Ex = Re(Ex), Ey = Re(Ey) et Ez = Re(Ez)
même écriture pour B.
Notation complexe
Ex = E0x.expj(t – k.r) avec E0x = E0x.expj0x.
même écriture pour B.
Ez = E0z.expj(t – k.r) avec E0z = E0z.expj0z.
Ey = E0y.expj(t – k.r) avec E0y = E0y.expj0y.
Notation complexe
avec E0 = E0x.ux + E0y.uy + E0z.uz
avec B0 = B0x.ux + B0y.uy + B0z.uz.
E = Ex.ux + Ey.uy + Ez.uz = E0.expj(t – k.r).
B = Bx.ux + By.uy + Bz.uz = B0.expj(t – k.r).
Notation complexe
E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)]
ω j .tE
E
k.r = kx.x + ky.y + kz.zk = kx.ux + ky.uy + kz.uz
x jk .xE
E y jk .
yE
E z jk .
zE
E
Notation complexe
. . .x y zx y zu u u
divE = .E = – jk.E ;
E = 2(E) = (– jk)2.E = – k2.E ;
rotE = x E = – jk x E
E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)]
Les ondes électromagnétiques dans le vide
II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques
1) Rappel des solutions
2) Définitions des O.E.M.P.P.H.
3) Notation complexe
4) Équation de dispersion et structure de l’onde
a) Relation de dispersion
Les ondes électromagnétiques dans le vide
II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques
4) Équation de dispersion et structure de l’onde
a) Relation de dispersion
b) Structure des ondes planes progressives dans le vide
Re(k.E) = k.Re(E) = k.E = 0 : u.E = 0
Le champ électrique E est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ;Dans le vide, les O.E.M.P.P.H. sont dites transverses électriques, T.E.
divE = 0 donne .E = – jk.E = 0 ou k.E = 0
Structure des O.P.P.H. dans le vide
Re(k.B) = k.Re(B) = k.B = 0 : u.B = 0
Le champ magnétique B est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ;Dans le vide, les O.E.M.P.P.H. sont dites transverses magnétiques, T.M.
divB = 0 donne .B = – jk.B = 0 ou k.B = 0
Structure des O.P.P.H. dans le vide
Structure des O.P.P.H. dans le vide
x E = – jk x E = – j.B
k x E = .B
tB
rotE
ω x
kB E
Re(k x E) = Re(.B)
donne
donne k x Re(E) = .Re(B)
Structure des O.P.P.H. dans le vide
x B = – jk x B = j.0.0.E
k x B = – .0.0.Edonneμ ε0 0 .
tE
rotB
– k x B = .0.0.E
ω2 c x
kE B
Structure des O.P.P.H. dans le vide
Si l’onde plane progressive harmonique se propage dans le sens de u :
ω
ck u
x cu
B E E = c.B x u
Cette relation montre que le trièdre (u, E, B) est un trièdre orthogonal direct
u kE
B
Structure des O.P.P dans le vide
L’ensemble de ces résultats constitue la structure des O.E.M.P.P.H. dans le vide. Cette structure du champ électromagnétique ne fait pas apparaître la pulsation . Ainsi les résultats obtenus pour les O.E.M.P.P.H. s’étendent par sommation aux O.E.M.P.P. non nécessairement harmoniques.
Dans le vide, les O.E.M.P.P. sont transverses et (u, E, B) forme un trièdre orthogonal direct
Les ondes électromagnétiques dans le vide
III) Aspect énergétique
Les ondes électromagnétiques dans le vide
III) Aspect énergétique
1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.E.M.P.P.
a) Le vecteur de Poynting
Π εμ μ μ
22
00 0 0
x E.B B c. .E .c.
E Bu u u
Compte tenu de la structure d’une O.E.M.P.P., son vecteur de Poynting vaut :
Le vecteur de Poynting pour une O.E.M.P.P. est colinéaire à u, de même sens et perpendiculaire aux plans d’onde.
u k
L’intensité énergétique d’une O.E.M.P.P., notée I, est définie comme la puissance moyenne par unité de surface transférée par l’onde électromagnétique à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u
Les ondes électromagnétiques dans le vide
III) Aspect énergétique
1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.E.M.P.P.
a) Le vecteur de Poynting
b) L’énergie volumique
εμ
2 20
em e m0
.E Bu u u
2 2
En M, à la date t :
εμ
22
em e m 00
Bu 2u 2u .E
Π ε 20 em .E .c. u . eu v
Les ondes électromagnétiques dans le vide
III) Aspect énergétique
1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.E.M.P.P.
2) Vitesse de propagation de l’énergie
Théorème de Poynting
Π emudiv 0
t
Cette relation constitue l’équation locale de la conservation de l’énergie électromagnétique sans source en M, à la date t.
En absence de charge et de courant :
Théorème de Poynting
Σ
Π emdU.d 0
dtS
Cette relation constitue l’équation globale de la conservation de l’énergie électromagnétique sans source.
En absence de charge et de courant :
Les ondes électromagnétiques dans le vide
IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H.
E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy
On a choisi l’origine des temps de manière à prendre nulle une des phases à l’origine.
est le déphasage de la composante Ey sur Ex.
E0x et E0y sont des constantes positives.
Si ]0, [, Ey est en avance sur Ex.
Si ]– , 0[, Ey est en retard sur Ex.
On appelle état de polarisation de l’onde toute relation entre les composantes Ex(z,t) et Ey(z,t).
Les ondes électromagnétiques dans le vide
IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H.
1) Polarisation elliptique ou circulaire
elliptique gauche
elliptique droite
z
y
x
Ey
z xE
E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy
Si ]– , 0[, la polarisation est elliptique - gauche
Si ]0, [, la polarisation est elliptique - droite
circulaire gauche circulaire droite
y
z x
E
z
y
x
E
πΦ
2
E0x = E0y = E0
πΦ
2
E0x = E0y = E0
Les ondes électromagnétiques dans le vide
IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H.
1) Polarisation elliptique ou circulaire
2) Polarisation rectiligne
Le champ électrique est polarisé rectilignement s’il garde une direction fixe au cours de la propagation
E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy
= 0 ou :
E = E0x.cos(t – k.z).ux E0y.cos(t – k.z).uy
rectiligne R13
z
y
x
E
z
y
x
E
–
rectiligne R24
= 0
=
Les ondes électromagnétiques dans le vide
IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H.
1) Polarisation elliptique ou circulaire
2) Polarisation rectiligne
3) Récapitulatif
Récapitulatif
Dans le plan z = 0, E = E0x.cos(t).ux + E0y.cos(t + ).uy
= 0 Polarisation rectiligne R13
= Polarisation rectiligne R24
] – , 0[ Polarisation elliptique gauche
]0, [ Polarisation elliptique droite
E0x = E0y et si = – Polarisation circulaire gauche
E0x = E0y et si = Polarisation circulaire droite
π2
π2