Post on 14-Sep-2018
Le rotateur frappé: Rapport avec la localisation d’Anderson et réalisation
expérimentale
Équipe Chaos Quantique
1
Groupe de travail NLSE-CEMPI
10/9/2012
Matthias Lopez Benoît Vermersch Radu Chicireanu J.F. Clément Véronique Zehnlé Pascal Szriftgiser JCG
Dominique Delande Nicolas Cherroet
Gabriel Lemarié
PhLAM LKB LPT
Le modèle d’Anderson
2 /34
𝐻𝑢𝑛 = 𝑉𝑛𝑢𝑛 + 𝑇𝑢𝑛+1 + 𝑇𝑢𝑛−1
Liaisons fortes (“tight-binding”)
Aléatoire: −𝑊
2< 𝑉𝑛 <
𝑊
2
Modèle d’Anderson
Quantum dynamics in (perfect) lattices
3
-2
-1
0
1
2
0
5
10
15
20
25
300
5
10
15
20
25
30
Perfect crystal: Delocalized Bloch waves → diffusive dynamics
Conducteur
/34
Ordered crystal
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Quantum dynamics in disordered lattices
4
Disordered crystal
Insulator
-2
-1
0
1
2
3
0
5
10
15
20
25
300
5
10
15
20
25
30
/34
Disordered crystal: Localized states (3D: mobility edge)
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Simple picture of Anderson dynamics
5 /34
∆𝐸
𝑡~ℏ/∆𝐸
~ℏ/𝑊
ℏ/𝑇=
𝑇
𝑊 Nombre de sites visités ~
𝑇
𝑊≪ 1 Localisation
𝑇
𝑊≫ 1 Diffusion
Temps de tunneling
Temps de séjour
Impact of the Anderson model
6 /34
5300 citations
Increase of computer power
« End of citing life »
Cold-atom experiments
One-parameter scaling
Consequences and limitations
8
• 1D : Exponential localization of the eigenfunctions 𝜓~exp 𝑥 − 𝑥0 /ℓ • Suppression of the diffusion → Insulator
• 3D → « Mobility edge » → Metal-insulator transition
• “One-particle” model → No particle interactions
• Zero-temperature
• Oversimplified description of a crystal lattice
Limitations of the Anderson model
/34
Consequences of the Anderson model
Transition d’Anderson pour les nuls
10 /34 10
L
𝑅~𝐿𝑟
𝜓𝑜𝑢𝑡2 = 𝑡𝐿 𝜓𝑖𝑛
2 𝑅 𝐿 =1 − 𝑡𝐿
𝑡𝐿= 1 + 𝑟 𝐿 − 1
𝑟 ≪ 1
𝑅~𝑟𝐿
𝑟 ≫ 1
Insulator Insulator
La transition d’Anderson pour les nuls
11 /34
L
L
L
𝑅~𝐿𝑟
𝑟 ≪ 1
Conductor
/𝐿2 ~𝐿−1 𝑅~𝑟𝐿
𝑟 ≫ 1
Insulator
/𝐿2 𝑟 = 𝑟𝑐
𝑅~𝐿𝛼
𝛼 =𝑑 ln𝑅
𝑑 ln 𝐿
𝛼 < 0 𝛼 > 0
La transition d’Anderson pour les nuls
12 /34
2D
4D
5D
rln
Ld
Rd
ln
ln
Insu
lato
r Conduct
or
1D
3D
𝑅 = 𝐿𝑟
𝑅 = 𝐿𝑟/𝐿
𝑅 = 𝐿𝑟/𝐿2
𝑅 = 𝐿𝑟/𝐿3
𝑅 = 𝐿𝑟/𝐿4
Experiments in condensed-matter and ultracold atoms
13
Condensed matter
• Decoherence (ill-defined quantum phases)
• No access to the wave function
• Electron-electron coulombian interactions
/34
Ultracold atoms
• Control of decoherence
• Access to probability distributions (and even the full wavefunction)
• Control of interactions (Feschbach resonance)
Experiments with ultracold atoms
14
“3D”: S. S. Kondov et al., Three-Dimensional Anderson Localization of Ultracold Fermionic Matter, Science 334, 66 (2011)
1D: J. Billy et al., Direct observation of Anderson localization of matter-waves in a controlled disorder, Nature 453, 891 (2008)
“3D” : F. Jendrzejewski et al., Three-dimensional localization of ultracold atoms in an optical disordered potential, Nature Physics 8, 398 (2012)
/34
Le rotateur frappé “déplié”
16 /34 16
Mouvement libre
p
Frappe (kick)
𝐻𝐾𝑅 =𝑝2
2+ 𝐾 cos 𝑥 𝛿(𝑡 − 𝑛)
𝑛
p+Dp
Comment faire cela avec des atomes froids?
17 /34 17 17
“Potentiel optique” 𝑉~𝐼(𝑥)
Δ→ 𝐼0 cos 2𝑘𝑥
𝑝𝑎𝑓𝑡𝑒𝑟 = 𝑝𝑏𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒 + 2ℏ𝑘
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Comment faire cela avec des atomes froids?
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Acousto-optical modulator
Cold-atom cloud Mirror
𝐻𝐾𝑅 =𝑝2
2+ 𝐾 cos 𝑥 𝛿(𝑡 − 𝑛)
𝑛
𝑥, 𝑝 = 𝑖ℏ
F. L. Moore et al., Atom optics realization of the quantum d-kicked rotator, Phys. Rev. Lett. 75, 4598 (1995)
Solution
20 /34 20 20
Ce n’est pas un rotateur frappé (kicked accelerator)
𝜔
𝜔 − 𝛼𝑡
𝑒−𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡) + 𝑒−𝑖(−𝑘𝑧−𝜔𝑡+𝛼𝑡2)
2
1 + cos 2𝑘𝑧 − 𝛼𝑡2
𝑧𝑛 =𝑛𝜋 + 𝛼𝑡2
2𝑘
g′ =𝛼𝑡2
2𝑘
Le rotateur frappé “simule” le modèle d’Anderson 1D
22 /34 22 S. Fishman et al., Chaos, quantum recurrences, and Anderson localization, PRL 49, 509 (1982)
22
Anderson Kicked rotor
nax
Time periodicity: Floquet analysis
𝑉𝑛𝑢𝑛 + 𝑇𝑟𝑟
𝑢𝑛+𝑟 = 𝐸𝑢𝑛
𝑈 𝑇 = 1 = exp −𝑖𝐾 sin 𝑥
ℏ exp −
𝑖𝑛 2
2ℏ 𝑣(𝜑) = exp −𝑖𝜑 𝑣(𝜑)
𝑣(𝜑) = 𝑣𝑛𝑛
exp −𝑖𝑛𝑥
𝑉𝑛 = tan𝜑 − 𝑛2ℏ /2
2 tan
𝐾 cos 𝑥
2ℏ = 𝑇𝑟
𝑟
exp −𝑖𝑟𝑥
𝑝0 → 𝑝0 + 𝑛 2ℏ𝑘
𝑝 = 𝑛 2ℏ𝑘
Le rotateur frappé “simule” le modèle d’Anderson 1D
23 /34 23 S. Fishman et al., Chaos, quantum recurrences, and Anderson localization, PRL 49, 509 (1982)
23
• Each Floquet state is a realization of the fixed disorder ~ W = cte
“Pseudo” disorder
𝑉𝑛 = tan𝜑 − 𝑛2ℏ /2
2
Random Eq. (1)
Rotateur frappé quasi-périodique
25 /34 25 G. Casati et al., Anderson transition in a one-dimensional system with three incommensurate frequencies, PRL 62, 345 (1989)
25
𝐻3𝐹 =𝑝2
2+ 𝐾 cos 𝑥 1 + 휀 cos 𝜔2𝑡 cos 𝜔3𝑡 𝛿(𝑡 − 𝑛)
𝑛
𝜔2, 𝜔3 irrational
H3F NOT periodic: NO Floquet states
NO Fishman-Grempel-Prangue equivalence
Rotateur frappé quasi-périodique
26 /34 26 26
Good news: H3D is periodic in time : Floquet analysis
Apply Fishman-Grempel-Prangue trick all over again
𝑇𝒏𝑢𝒏 + 𝑉𝒓𝒓
𝑢𝒏+𝒓 = 𝐸𝑢𝒏 𝒏 = 𝑛, 𝑛2, 𝑛3
H3D is equivalent to a 3D Anderson model
𝑇𝒏 = tan𝜑 −
𝑛2ℏ
2− 𝑛2𝜔2 − 𝑛3𝜔3
2ℏ
tan𝐾 cos 𝑥 1 + 𝜖 cos 𝑥2 cos 𝑥3
2ℏ = 𝑉𝒓
𝒓
exp −𝑖𝒓 ⋅ 𝐱
𝐻3𝐷 =𝑝2
2+ 𝜔2𝑝2 + 𝜔3𝑝3 + 𝐾 cos 𝑥 1 + 휀 cos 𝑥2 cos 𝑥3 𝛿(𝑡 − 𝑛)
𝑛
H3D et H3F sont-ils équivalents ?
27 /34 27 27
Ψ 𝑥, 𝑥2, 𝑥3; 0 = 𝜓(𝑥, 0)𝛿(𝑥2)𝛿(𝑥3)
Ψ 𝑥, 𝑥2, 𝑥3; 𝑡 = 𝑈3𝐷(𝑡)Ψ 𝑥, 𝑥2, 𝑥3; 0
≡ 𝑈3𝐹 (𝑡)𝜓(𝑥, 0)
The “underlying unit of nature”: different systems described by the same equations Feynman Lectures in Physics, vol.2 ch. 12
La transition d’Anderson (enfin!)
28 /34 28 28
Localized
Critical
Diffusive
e
K 4 9 0.1
0.8 Metal
Insulator
𝐻3𝐹 =𝑝2
2+ 𝐾 cos 𝑥 1 + 휀 cos 𝜔2𝑡 cos 𝜔3𝑡 𝛿(𝑡 − 𝑛)
𝑛