Post on 31-Dec-2016
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
LycéeClemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Étude du dipôle électrostatique
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
I – Définition et approximation dipolaire
On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a.
a2
)( qN − )( qP +Oz
zur
Un tel modèle permet d’étudier :
* Les molécules polaires (par exemple : HCl, H2O)
)( δ+H )( δ−Cl
)2( δ−O
)( δ+H )( δ+H
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
* La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène de solvatation des ions)
a2
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r
θ
On calcule le potentiel puis le champ électrique ( ) créé par le dipôle en un point M de l’espace.
Symétrie de révolution autour de l’axe (Oz) : on choisit M(r,θθθθ) dans le plan des deux charges.
Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges, c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).
)(VgradE −=r
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
II – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire
Le potentiel au point M est (principe de superposition) :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r θ
Nr PrNP r
q
r
qMV
00 4
1
4
1)(
πεπε−=
−=
NP rrqMV
11
4
1)(
0πε
):( aNMretPMravec NP >>==
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Calcul des distances rP et rN :
D’après la relation de Chasles :
En élevant au carré :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r θ
Nr Pr
zuarOPOMPMrr
−=−=
θcos2
.2
222
222
ararr
uararPM
P
z
−+=
−+=rr
On calcule ensuite 1 / rP :
θcos2
11
22ararrP −+
=
( ) 2/122cos2
1 −−+= θarar
rP
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
On rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r θ
Nr Pr
On pose x = a / r (x << 1), alors :
2/1
2
2
cos2111
−
−+= θ
r
a
r
a
rrP
( ) )1(2
111
2/1<<−≈+
−xxx
Un DL au 1er ordre en x donne :
+= θcos1
11
r
a
rrP
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
De la même manière (il suffit de remplacer θθθθ par π π π π −−−− θθθθ et donc cosθθθθ par - cosθθθθ) :
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r θ
Nr Pr
−= θcos1
11
r
a
rrN
Par conséquent :
θcos211
2r
a
rr NP
=−
θπε
cos)2(
4
1)(
20 r
aqMV =
D’où le potentiel :
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur dirigé de la charge négative vers la charge positive) :
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r θ
θπε
cos4
1)(
20 r
pMV =
Alors (décroissance du potentiel en 1 / r2) :
NPquaqp z ==rr
)2(
pr
En notant : rrur /rr
=
)cos.(.
4
1)(
20
θπε
== rzr uu
r
upMV
rrrr
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Retour sur la définition du moment dipolaire :
Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.
p s’exprime en C.m dans le SI.
On définit plutôt le Debye, mieux adapté :
Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire . En déduire les charges + δδδδ et – 2δδδδ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et par l’atome d’oxygène.
Données :
mCD .10.33,3130−=
Dp OH 85,12
=
nmOHOHOH 096,0;104),( ==°== lα
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Le moment dipolaire total de la molécule est :
OHp2
r
)2( δ−O
)( δ+H )( δ+H2
α
OHpr
OHp'r
OHOHOH ppp '2
rrr+=
Avec : δl== OHOH pp '
Par conséquent :
2cos2
2
αδl=OHp
On en déduit :
)10.6,1(3
2cos2
192 Ceep OH −=≈=
αδ
l
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
III – Calcul du champ dans le cadre de l’approximation dipolaire
La relation intrinsèque permet de calculer le champ (en coordonnées polaires) :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r θ
r
VrEr
∂
∂−=),( θ
VgradE −=r
θθθ
∂
∂−=
V
rrE
1),(
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Par conséquent :
30
cos2
4
1
r
pEr
θ
πε=
30
sin
4
1
r
pE
θ
πεθ =
( )θθθπε
uur
pE r
rrrsincos2
4
13
0
+=a2
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r θ
rEr
θEr E
r
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :
Soit l’équation en coordonnées polaires :
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.
020
0 cos4
1)(:)( V
r
pMVMPour ==Σ∈ θ
πε
)(cos2
csteAAr == θ
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :
Soit l’équation en coordonnées polaires :
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.
020
0 cos4
1)(:)( V
r
pMVMPour ==Σ∈ θ
πε
)(cos2
csteAAr == θ
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Deux charges ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle électrostatique)
+ q- q
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Lignes de champs :
a2
)( qN − )( qP +Oz
zur
M
r θ
rEr
θEr E
r
Ligne de champs
Sur la ligne de champ passant par M :
0rrr
=∧ Erd
θθ
θθ
uEuEE
udrudrrd
rr
r
rrr
rrr
+=
+=
0=− rEdrEdr θθ
Soit :
θ
θ
E
dr
E
dr
r
=
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :
On sépare les variables :
Soit :
θ
θ
θ sincos2
drdr=
θ
θθ
θ
θ
sin
)(sin2
sin
cos2
dd
r
dr==
))(ln(sin)(ln2θdrd =
On note r = r0 pour θθθθ = ππππ / 2, alors, en intégrant, on obtient l’équation en coordonnées polaires des lignes de champs (r0 est un paramètre) :
20
2
0
sin)ln(sinln θθ rrsoitr
r==
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Deux charges ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle électrostatique)
+ q- q
Animations Rousseau
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
V – Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle
On considère un dipôle électrostatique plongé dans un champ électrique E0qui peut être supposé uniforme à l’échelle du dipôle.
Quel est l’effet de ce champ sur le dipôle ?
Système étudié : le dipôle (rigide)
Référentiel d’étude : celui du laboratoire (supposé galiléen)
)( qN −
)( qP +
O
0Er
0Eqr
0Eqr
−
Le dipôle est soumis aux deux forces
et de résultante nulle.
Le dipôle est globalement soumis àun « couple de forces », dont le moment par rapport à O vaut :
0Eqr
0Eqr
−
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
)( qN −
)( qP +
O
0Er
0Eqr
0Eqr
−
Soit :
)( 00 EqONEqOPM O
rrr−∧+∧=
00)( ENPqEqONOPM O
rrr∧=∧−=
0EpM O
rrr∧=
Sous l’effet d’un champ électrique, le dipôle se met à tourner afin de s’aligner selon le sens du champ (p et E0 dans le même sens, position
d’équilibre stable).
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
)( qN −
)( qP +
O
0Er
0Eqr
0Eqr
−
Soit
Étude énergétique :
Soit V le potentiel dont dérive le champ E0 ; l’énergie potentielle du dipôle (rigide) dans ce champ est :
0.EpE p
rr−=
)()()( NVqPqVE p −+=
[ ])()( NVPVqE p −=
On rappelle que (E0 est un champ de gradient) :
Par conséquent, avec dV = V(P) – V(N) :
Et donc :
dVrdE −=rr
.0
NPONOPrd =−=r
).( 0 NPEqE p
r−=
Ep est minimale (position d’équilibre stable) quand p et E0 ont même sens.
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Application (solvatation des ions) :
+δδδδ−−−−δδδδ
+
+
−−−−δδδδ
−−−−δδδδ
−−−−δδδδ−−−−δδδδ
−−−−δδδδ
+δδδδ
+δδδδ
+δδδδ+δδδδ
+δδδδ
Lignes de champs
Ion positif (Na+ par exemple)
Molécule polaire H2O
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
VI – Quadripôle électrostatiqueExercice n°5 (modèle de la molécule de CO2) :
Soit un ensemble de trois charges alignées : 2 q en O, - q en A(+ a,0) et - q en B(- a,0).
Calculer le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé àla distance r de O, en supposant r >> a.
)( qB − )( qA −)2( qOz
zur
M
r θ
On rappelle le développement limité(à l’ordre 2, pour x << 1) de :
( ) 22/1
8
3
2
111 xxx +−≈+
−
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
)( qB − )( qA −)2( qOz
zur
M
r θ
)cos31(4
)(2
3
2
0
θπε
−=r
aqMV
r
VrEr
∂
∂−=),( θ
θθθ
∂
∂−=
V
rrE
1),(
Topographie : voir diapositive suivante
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Trois charges ponctuelles
(+ 2q, – q et - q)
(Quadripôle électrostatique)
+ 2q - q- q