Post on 02-May-2015
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11
PROCESSI ALEATORI
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.1
PROCESSI ALEATORI
: VARIABILE ALEATORIA ASSOCIATA ALL’ ESPERIMENTO DOVE S=SPAZIO
DEGLI EVENTI E P =PROBABILITA’.
: E’ UNA FUNZIONE NUMERICA ASSOCIATA ALLE USCITE ELEMENTARI
DELL’ ESPERIMENTO .
UN PROCESSO ALEATORIO E’ UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI DEL TEMPO, CIASCUNA
ASSOCIATA AD UNA REALIZZAZIONE
x
x
E S P,
zi
X zi
z X t zi i ,
t0
AD UN ISTANTE FISSATO ,IL PROCESSO ALEATORIO COINCIDE CON UNA VARIABILE ALEATORIA
t0 ,
,
,
2
1
nztx
ztx
ztx
t
t
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.2
ESEMPIO : VARIABILE ALEATORIA, COSTANTE E’ UN PROCESSO ALEATORIO SE .
LE COSINUSOIDI SONO TUTTE IN FASE, MA CON AMPIEZZE CHE DIPENDONO DALLEUSCITE ELEMENTARI DELL’ ESPERIMENTO.
x x tcos , 0 0
x R
t
t
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.3
ESEMPIO :
SEQUENZA DI 0 E 1 EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI (EQUIVALENTI A USCITA
CONVERTITORE A/D).
PROCESSO BINARIO SORGENTE DI BIT A T sec SENZA MEMORIA
ESPERIMENTO ESEGUITO INFINITE VOLTE
X t zi,
ziINTERA SEQUENZA DI 0 E 1.
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.4
ALTERNANZA DI 0 E 1 DIPENDENTE DA UNA DISTRIBUZIONE POISSONIANA.
SE SI MANTIENE COSTANTE LA DENSITA’ DEI PUNTI E SI RIPETE L’ ESPERIMENTO
OTTENGO FUNZIONI NEL TEMPO SIMILI CHE COSTITUISCONO UN PROCESSO
ALEATORIO.
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.5
STATISTICHE DEL I ORDINE
SE SI CONSIDERA UN ISTANTE DI TEMPO “GENERICO” , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE
LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABLITA’ ;
DA CUI SI PUO’ RICAVARE LA RELATIVA DENSITA’ (OPERAZIONE DI DERIVATA).
IN PRATICA SI CONOSCETUTTA LA STATISTICA DEL I ORDINE (FUNZIONE DI
DISTRIBUZIONE E DENSITA’)
F X x t X tx t Pr
STATISTICHE DEL II ORDINE
SE SI CONSIDERANO DUE ISTANTI GENERICI , , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE :
CHE E’ LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CONGIUNTA TRA 2 V.A.
IN MODO ANALOGO SI POSSONO CALCOLARE LE STATISTICHE DI ORDINESUPERIORE A N=2 IN MODO DA CARATTERIZZARE COMPLETAMENTE ILPROCESSO ALEATORIO. IN PRATICA, CI SI FERMA ALLA STATISTICA DI II ORDINE,OSSIA AL CALCOLO DEI PARAMETRI CHE LA DEFINISCONO.
t1
Pr , ,x t X x t X t t1 1 2 2 1 2
F X Xx t x t1 1 2 2
1 2,
t2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.6
,
,
,ˆ
2121
212*
1
21*
2211
2
ttRtxtxE
ttRtxtxE
ttCtxtxtxtxE
ttxtxE
tx
x
x
x
VALORE MEDIO
VARIANZA
FUNZIONE DI COVARIANZA
FUNZIONE DI CORRELAZIONE
(PROC. COMPLESSI)
FUNZIONE DI CORRELAZIONE
(PROC. REALI)
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.7
x t x t*2 2 SE I PROCESSI SONO COMPLESSI ALTRIMENTI x t*
2
STAZIONRIETA’ DI UN PROCESSO ALETORIO
DEF : LE PROPRIETA’ STATISTICHE DEL PROCESSO SONO INVARIANTI ALLE
TRASLAZIONI TEMPORALI.
ALLORA, SE IL PROCESSO E’ STAZIONARIO :
STAZIONARIETA’ IN SENSO STRETTO (S.S.S.) : OGNI STATISTICA E’ INVARIANTE
ALLE TRASLAZIONI NEL TEMPO (DIPENDE SOLO DA ).
Pr , Pr ,x t X x t X x t t X x t t X1 1 2 2 1 1 2 2
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.8
STAZIONARIETA’ IN SENSO LATO (S.S.L.) : SE LA STATISTICA DEL I E DEL II
ORDINE NON DIPENDONO DAL TEMPO t .
SI CONSIDERANO SOLO PROCESSI ALEATORI DEL TIPO S.S.L
SSL
x t x
R t t E x t x t R t t R t tx x x
1 2 1 2 2 1 2 1, con
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.9
SI VERIFICHI SE IL PROCESSO , CON , V.A E’ S.S.L.
V.A. GENERICA.
V.A. CON DENSITA’ UNIFORME TRA E
E INDIPENDENTI TRA LORO
E’ IMPORTANTE L’ ORDINE DI (IN PARTICOLARE NEL CASO DI PROCESSI
COMPLESSI) :
a t cos 0 a a 0 2
t t1 2,
R t t E x t x t
R t t E x t y t
x
xy
1 2 2 1
2 1 1 2
,
,
*
*
AUTOCORRELAZIONE
CROSS-CORRELAZIONE (1)
ESEMPIO 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.10
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.11
NEL CASO DI PROCESSI REALI, SCAMBIANDO LE VARIABILI SI HA :
CHE IN GENERE E’ DIVERSA DA (OSSIA NON E’ INVARIANTE RISPETTO ALLO
SCAMBIO DI V.A.).
NEL CASO DI PROCESSI COMPLESSI SI HA :
SE SI SCAMBIANO GLI ISTANTI TEMPORALI, SI OTTIENE :
R t t E y t x tyx 1 2 1 2,
Rxy
R t t E y t x tyx 1 2 1 2, *
R t t E y t x tyx 2 1 2 1, *
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.12
MA POICHE’ QUESTA E’ COMPLESSA CONIUGATA DELLA (1) , ALLORA :
SE SI TIENE CONTO DEL SIGNIFICATO FISICO DI TALI FUNZIONI, ALLORA :
R t t R t txy yx1 2 2 1, ,*
R t t E x t
C t t E x t x t
x
x
,
,
2
2
POTENZA DEL PROCESSO
POTENZA MENO IL VALOR MEDIO AL QUADRATO2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.13
INOLTRE SI NOTI CHE :
• SEMPRE
• SE SONO 2 V.A. , ALLORA PER CARATTERIZZARLE E’ NECESSARIO
CONOSCERE :
• VALOR MEDIO
• VARIANZA
• COVARIANZA
R t tx , 0
x t x t1 2,
x t
var ,x t E x t x t R t t x tx
22 2
C t t E x t x t x t x t R t t x t x tx x1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.14
SI DEFINISCE QUINDI IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE :
DOVE :
SI NOTI CHE, PER PROCESSI SSL, LA POTENZA DEL PROCESSO E’ COSTANTEMENTE
PERI AL VALORE , QUINDI :
x t x t
x
x x
R t t x t x t
R t t x t R t t x t1 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
,
, ,
R t t x tx 1 1 1
2
,
E ANALOGAMENTE PER x t2
Rx 0
x t x t
x
x
R x
R x1 2
2
20
x t1
1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.15
ESEMPIO 2 : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE
E’ LEGATO ALLA DISTRIBUZIONE POISSONIANA DEI PUNTI :
RICORDO CHE E’ IL NUMERO MEDIO DI PUNTI SULL’ INTERVALLO UNITARIO t
E’ UNA DENSITA’.
IN GENERALE :
Pr
!n t k e
t
kt
k
!
.Pr 121221 k
ttekttn
ktt
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.16
E INDIPENDENTI SE GLI INTERVALLI NON SONO SOVRAPPOSTI.
SI DEFINISCE PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE (PTC)
DOVE E’ IL NUMERO DI PUNTI NELL’ INTERVALLO (0,t).
n t t n t t1 2 3 4, ,
x tn t
n t
1
1
se e' pari
se e' dispari
n t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.17
PARTENDO DA t=0 OVE x(t)=1, POICHE’ n(t)=0 E’ PARI, SI HANNO COMMUTAZIONI
DA +1 A -1 E VICEVERSA OGNIQUALVOLTA E’ PRESENTE UN PUNTO.
SE MANTANGO LA STESSA DENSITA’ E RIPETO L’ ESPERIMENTO OTTENGO UNA
DIVERSA SEQUENZA.
IL LORO INSIEME FORMA IL PROCESSO ALEATORIO.
SI CALCOLI IL VALOR MEDIO :
E x t x t x t 1 1 1 1Pr Pr
-1
+1
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.18
DOVE, ESSENDO EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI :
ANALOGAMENTE :
Pr Pr Pr Pr .....
! !.....
x t n t n t n t
e et
et
ee e
t t t
tt t
1 0 2 4
2 4
2
2 4
Pr Pr Pr ....
!....
x t n t n t
e tt
ee et t
t t
1 1 3
3 2
3
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.19
QUINDI :
LA MEDIA E’ DIPENDENTE DAL TEMPO PROCESSO NON STAZIONARIO.
SI CALCOLI LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.
E x t e t 2
1,1Pr1,1Pr1-
1,1Pr1,1Pr1
,
2121
2121
2121
txtxtxtx
txtxtxtx
txtxEttRx
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.20
QUINDI (LEGGE DI BAYES) :
DOVE
MENTRE LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA IMPLICA UN NUMERO PARI DI
COMMUTAZIONI NELL’ INTERVALLO .
Pr x t ee et
t t
1 12
1
1 1
Pr , Pr Pr /x t x t x t x t x t1 2 1 2 11 1 1 1 1
t t2 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.21
ANALOGAMENTE SI OTTIENE (RICORDANDO CHE : E ).
Pr ,x t x t
ee e
ee et
t tt t
t t t t
1 21 1
2 21
1 1
2 1
2 1 2 1
cosh xe ex x
2
2senh
xx eex
R t t e t t e t t
e t t e t t
xt t t
t t t
1 2 1 1 2 1
1 1 2 1
1 2 1
1 2 1
, cosh senh cosh
cosh senh senh
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.22
ESSENDO FUNZIONE PARI SI HA
SE SI VUOLE RENDERE IL PROCESSO STAZIONARIO, ALLORA SI CONSIDERI :
e t t t t e
e
t t t t
2 1 2 1
2 1 2 12
2
cosh senh
R t tx 1 2,
R t t ex 1 22,
y t a x t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.23
DOVE CON UGUAL PROBABILITA’ ED INDIPENDENTEMANTE DA x(t) ALLORA :
POICHE’
IL VALOR MEDIO E’ ORA COSTANTE, MENTRE
DATO CHE
ORA IL PROCESSO E’ S.S.L.
OSS : SI NOTI CHE ORA NON ESISTE PIU’ IL VALORE PREVILEGIATO +1 NELL’ ORIGINE DEI TEMPI.
a 1
R t tx 1 2,
E y t E a E x t E a 0 0
E y t y t E ax t ax t E a R t t R t tx x1 2 1 22
1 2 1 2 , ,
E a 2 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.24
ESEMPIO 3 : DISTRIBUZIONE POISSONIANA(PROCESSO TELEGRAFICO)
SI CONSIDERI LA DISTRIBUZIONE DI POISSON :
DOVE E’ LA DENSITA’, CIOE’ IL NUMERO MEDIO DI ATTRAVERSAMENTI PER LOZERO NELL’ UNITA’ DI TEMPO. LA PROBABILITA’ DI AVERE PUNTI IN E IN , CON E NON SONO SOVRAPPOSTI E INDIPENDENTI.
IL PROCESSO ALEATORIO SI OTTIENE FACENDO VARIARE UN SEGNALE TEMPORALE IN RELAZIONE A TALE DISTRIBUZIONE.
R
Pr
!k punti in t e
t
kt
k
k1 t1 k2
t2 t1 t2
n t n t 1 2
V0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.25
LA DISTRIBUZIONE DI POISSON E’ LEGATA A PROBLEMI FISICI COME I CONTEGGI
DELLE CHIAMATE TELEFONICHE, LE EMISSIONI RADIOATTIVE,CODE.
LA STATISTICA DI TALE PROCESSO x(t) E’ DATA DA :
DATO CHE PER PROCESSI REALI :
E x t
E x t x t R V ex
0
02 2
VALORE MEDIO
R R E x t x t V ex x 02 2
Rx
12
V02
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.26
OSS : VA A ZERO TANTO PIU’ RAPIDAMENTE QUANTO E’ MAGGIORE, OSSIA
POCA “MAMORIA” SE GRANDE.
OSS : SE IL PROCESSO E’ REALE E SSL LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’
PARI
SE IL PROCESSO E’ SSL ALLORA NON VARIA SE INCREMENTO
L’ ISTANTE t DI UNA QUANTITA’ ARBITRARIA c .
Rx
R E x t x t R E x t x tx x
Rx
R E x t c x t c
R E x t c x t R R
x
x x x
MA SE ALLORA :c
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.27
PROPRIETA’ DEI PROCESSI S.S.L. REALI
•
•
DIM :
R R funzione pari
R R con
x x
x x
0 0
E x t x t sempre
E x t E x t R
E x t E x t R
R R
x
x
x x
2
2 2
2 2
0
2 0
0
0
c.v.d
MA
ALLORA
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.28
• POTENZA DEL PROCESSO (attenzione alle unita’ di misurax(t) si può
vedere come tensione su una resistenza di 1ohm : potenza [watt]=[volt]2 /[ohm]).
LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ESPRIME IL LEGAME CHE C’E’ TRA 2
CAMPIONI (LEGAME DI COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE) . INFATTI, SE
ALLORA :
Rx 0
E x t x 0
x t x tx
x
R
Rx
00,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.29
QUESTA E’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NORMALIZZATA
INFATTI, DATE 2 V.A. x E y , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE VALE:
ALLORA SE E SI HA CHE :
x t x t 1
xy
xy
x y
E x x y y
E x x E y y
2 2
x x t y x t
x t x t
E x t x x t x
E x t x
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.30
OSSIA :
CHE SINTETIZZA LA RELAZIONE ESISTENTE TRA 2 CAMPIONI DEL SEGNALE NEL
CASO CHE , RAPPRESENTA LA MEMORIA DEL SEGNALE
NELL’ ULTIMO ESEMPIO, SI NOTI CHE LA MEMORIA SI PERDE DOPO CIRCA
QUINDI MAGGIORI LE COMMUTAZIONI NELL’ UNITA’ DI TEMPO ( ALTO) MINORE E’
LA MEMORIA DEL PROCESSO.
x t x tx
x
R x
R x
2
20
x 0 Rx 3 4
1
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.31
ESEMPIO :PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE
SI CONSIDERI UN PTC SIFFATTO :
TALE PROCESSO y(t) E’ IN RELAZIONE COL PRECEDENTE x(t) MEDIANTE:
ALLORA :
y t
x t
1
2
E y t
E x t
1
2
1
2
t
y(t)1
x t+1
-1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.32
INOLTRE :
IN GENERALE, SE SI HANNO 2 PROCESSI CON E
ALLORA E
R E y t y t E x t x t Ry x 1
41 1
1
4
1
4
x t x 0 y t x t c y c R t R t cy x 2
12
Ry
12
14
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.33
ESEMPIO : PROCESSO ALETORIO COSINUSOIDALE
SI CONSIDERI :
IL PROCESSO E’ PERIODICO, INFATTI CONQUINDI :
E x t R E ax 01
22
0 cos
x t x t t t 0 00
2
E
a
tatx cos 0V.A. QUALUNQUE
V.A. CON DENSITA’ UNIFORMA TRA 0 E 2
t
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.34
CIOE’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI PROCESSI PERIODICI E’
PERIODICA DI PERIODO UGUALE A QUELLO DEL PROCESSO.
QUINDI :MEMORIA PERIODICA COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PERIODICO ”MEMORIA STRUTTURALE”
t0
Rx 1
22E a
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.35
RUMORE BIANCO
E’ UN PARTICOLARE PROCESSO ALEATORIO DOVE :
CHE NEL CASO STAZIONARIO DIVENTA :
• LA CORRELAZIONE TRA 2 CAMPIONI IN E E’ SEMPRE 0 (CAMPIONI SCORRELATI SE )
R t t q t t t q tx 1 2 1 2 1 1 0, ,
R c cx , 0
t1 t2t t1 2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.36
• NON E’ POSSIBILE STABILIRE CON CERTEZZA LA POTENZA DEL PROCESSO ( )
• SE ALLORA TALE PROCESSO SI CHIAMA RUMORE BIANCO
• UN PROCESSO SI DICE NORMALE O GAUSSIANO SE I SUOI CAMPIONI
PRESI AD ISTANTI ARBITRARI, SONO V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE.
Rx 0
E x t 0
x t x t x tn1 2, , ....,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.37
PROCESSO BINARIO SEMICASUALE
SI CONSIDERI UN PROCESSO BINARIO SIFFATTO :• LE COMMUTAZIONI AVVENGONO A INTERVALLI FISSI DI LUNGHEZZA
T.• I DUE VALORI SONO ASSUNTI CON UGUAL PROBABILITA’.• L’ ORIGINE DEI TEMPI COINCIDE CON UNA COMMUTAZIONE (PER
TUTTE LE REALIZZAZIONI).• IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA (OSSIA COMMUTAZIONI
INDIPENDENTI TRA LORO).
V0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.38
ESEMPIO : LANCIO RIPETUTO DELLA MONETA (+V0=TESTA, -V0=CROCE).
V0
V0
V0
V0
T
t
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.39
SE SI CONSIDERA UN PROCESSO x(t) SIFFATTO, ALLORA :
E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE
SI CONSIDERI E DIVIDIAMO IN DUE CASI :
1) INTERVALLI DI COMMUTAZIONE DIVERSI INDIPENDENTI
E x t 0
R t t E x t x tx 1 2 1 2,
t t2 1
t t T2 1
R t t E x t x t E x t E x tx 1 2 1 2 1 2 0,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.40
2)
SI SCELGA E
(NEL CASO COMPLETAMENTE ARBITRARIO, SARA’ SEMPRE POSSIBILE
SCRIVERE )
QUINDI DISTA DA E DI CONSEGUENZA PUO’ TROVARSI NELLO
STESSO INTERVALLO DI COMMUTAZIONE OPPURE IN QUELLO SUCCESSIVO.
t t T2 1
t T t t1 2 10 ,
t KT t1 1*
t1*
t2 t1 t2
0 T 2T 3T t
t1 t1
t2 t2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.41
• SE E SONO NELLO STESSO INTERVALLO, ALLORA :
• SE E SONO IN INTERVALLI ADIACENTI, ALLORA :
ALLORA LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NON DIPENDE DA , MA
ANCHE DALLA POSIZIONE DI PROCESSO NON STAZIONARIO.
t1 t2
t1 t2
E x t x t V1 2 02
E x t x t1 2 0
t t2 1t1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.42
ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALEPROCESSO BINARIO SIMILE A QUELLO PSEUDOCASUALE :• CADENZA FISSA T.• 2 VALORI EQUIPROBABILI• FASE CASUALE, CIOE’ LA DISTANZA DEL PIU’ VICINO ISTANTE DI
COMMUTAZIONE DALL’ ORIGINE DEI TEMPI E’ ALEATORIA (CON DENSITA’
UNIFORME). • ASSENZA DI MEMORIA TRA INTERVALLI SUCCESSIVI
V0
V0
V0
V0
T
t
tt
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.43
DATA L’ IPOTESI DI PROCESSO S.S.L., SI CALCOLI IL VALOR MEDIO E LA FUNZIONE
DI AUTOCORRELAZIONE.
•
OSSIA SI DEVONO MEDIARE I VALORI CHE IL PROCESSO ASSUME IN TUTTE LE
REALIZZAZIONI PER UN ISTANTE GENERICO.
• FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE
x E x t MEDIA DI INSIEME
x E x p xi ii 1
2
0 DATA L’ EQUIPROBABILITA’ DI V0
R E x t x tx
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.44
IL PRODOTTO PUO’ VALERE OPPURE , ALLORA
MA SE E APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA IL
PRODOTTO VALE
SE E NON APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA SI
DEVONO CONSIDERARE LE POSSIBILITA’ CONDIZIONALI (NOTARE CHE GLI
IMPULSI SONO TRA LORO INDIPENDENTI).
x t x t V02 V0
2
R V V V Vx Pr Pr02
02
02
02
t t V0
2
t t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.45
SI RICORDA CHE :
DOVE :
E
QUINDI :
P A P B P A Bi ii /
B Sii
B Bi j 0
R t t t stesso ervallo E x t x t stesso ervallo
t t t diversi ervalli E x t x t diversi ervalli
x
Pr , int / int
Pr , int / int
S
B
B
B
B
A
i
1
2
3
S
Bi
B1
B2
B3A
….. …..
…..
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.46
SI SUPPONGA :
ALLORA E INTERVALLI DIVERSI
IN QUANTO
T t t Rx 0
Pr , int
Pr , int
t t stesso ervallo
t t diversi ervallo
E x t x t
0
1
0
E
PERCHE’ LA PROBABILITA’ DI AVERE O E’ PARI A 1/2 .V0
2 V02
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.47
EQUIVALE A TENER FISSA L’ ORIGINE E SCEGLIERE A CASO t NELL’ INTERVALLO
T (CASUALITA’ DELL’ ORIGINE).
ALLORA E STESSO INTERVALLO SE t E’ NEL SOTTOINTERVALLO
T-t t
T
Pr Pr int
Pr int
t in T t t stesso ervalloT
T
t t diversi ervalloT
,
,
////////////T
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.48
MA :
E x t x t stesso ervallo V
E x t x t diversi ervalli
RT
Tx
/ int
/ int
02
0
( CON UGUAL PROBABILITA’)V02
Rx V0
2
T T
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.49
QUINDI :
SI RICORDI CHE, PER UN PROCESSO A VALOR MEDIO NULLO, IL COEFFICIENTE DI
CORRELAZIONE TRA DUE CAMPIONI VALE :
OSSIA SI PUO’ FARE PREVISIONE SUL CAMPIONE CORRENTE A PARTIRE DA UNO
NOTO SE IL CORRENTE DISTA MENO DI T DAL CAMPIONE NOTO.
RT
TV se T
altrovex
02
0
x t x tx
x
R
R 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.50
AD ESEMPIO, LA STIMA LINEARE:
QUINDI SE x E y SONO DUE CAMPIONI DELLO STESSO SEGNALE ( ).
CHE E’ LA STIMA A MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO (EQM).
y yy
xxy
x y
x t x t xx t x t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.51
ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALE CONDIZIONATO
SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO :• PROCESSO BINARI CASUALE CON CONDIZIONAMENTO DEL VALORE CORRENTE
SU QUELLO SUCCESSIVO.
CONSEGUENZA : LA MEMORIA DEL PROCESSO CAMBIA DIVERSA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.SI SUPPONGA :
IN QUESTO CASO CONVIENE SCINDERE IL PROBLEMA, OSSIA CONSIDERANDO VALORI DI VIA VIA CRESCENTI.
Pr / . Pr / . V V V V0 0 0 00 8 0 8
ISTANTE CORRENTE ISTANTE PRECEDENTE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.52
10CASO :
ANALOGAMENTE AL CASO PRECEDENTE
INFATTI :
0 T
Pr , int ; / int
Pr , int ; / int
t t stesso ervalloT
TE x t x t stesso ervallo V
t t diversi ervalliT
E x t x t diversi ervalli
02
0
x(t) x(t+) x(t) x(t+) PROBABILITA’
0.5x0,8=0.4
0.5x0.2=0.1
0.5x0.2=0.1
0.5x0,8=0.4
V0
V0
V0
V0
V0
V0
V0
V0
V02
V02
V02
V02
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.53
ALLORA :
QUINDI :
ORA PER =T , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE NON E’ NULLO, QUINDI E’
POSSIBILE FARE PREVISIONE
E x t x t ervalli adiacenti
V V V V V
/ int
. . . . .
0 4 01 01 0 4 0 602
02
02
02
02
RT
TV
TV Tx
0
2020 6 0.
Rx
V02
0 6 02. V
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.54
20CASO :
ORA t E t+ POSSONO APPARTENERE A INTERVALLI ADIACENTI OPPURE NON ADIACENTI.
INTERVALLI ADIACENTI t IN 2T- (\\\\\\\\)INTERVALLI NON ADIACENTI t IN -T (||||||)
T T 2
\\\\\\\\\\\\ ||||||||||
2T
T2T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.55
ALLORA :
DOVE :
E
R t t ervalli adiacenti E x t x t ervalli adiacenti
t t ervalli non adiacenti E x t x t ervalli non adiacenti
x
Pr , int / int
Pr , int / int
Pr , int
/ int .
t t ervalli adiacentiT
T
E x t x t ervalli adiacenti V
2
0 6 02
Pr , intt t ervalli non adiacenti
T T
T
T
T
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.56
SI RICAVA
CON UN GRAFO :
AD ESEMPIO, SE ALLORA LA PROBABILITA’ CHE E’
0.8x0,8+0.2x0.2=0.68 E CHE
E ANALOGAMENTE PER .
E x t x t ervalli non adiacenti int
x t VV
V
V
VV
V
0
0
0
0
0
0
0
0.8
0.2
0.8
0.8
0.2
0.2
x t V 0 x t V 0
x t V 0
V0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.57
COSI’ ALL’ AUMENTARE DI ,LA MEMORIA DIMINUISCE.
QUINDI :
E x t x t
V V V V V
/
. . . . .
intervalli non adiacenti
1
20 68 0 32 0 32 0 68 0 360
202
02
02
02
Rx
V02
-2T -T T 2T
60%36%
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.58
OSS. : SI NOTI CHE LA CONDIZIONE
OSSIA UNA MEMORIA CHE IMPONE PIU’ PROBABILI CAMBI DI SEGNI,
SI OTTERRA’
P V V P V V 0 0 0 0 0 2/ / .
T
2T
3T
Rx
V02
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.59
ESEMPIO : PROCESSO MULTILIVELLO CASUALE
SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO :
OSSIA :• UNA SERIE DI IMPULSI RETTANGOLARI DI DURATA T.• AMPIEZZA MULTIPLA DI V E SIMMETRICA RISPETTO ALLO ZERO MEDIA
NULLA.• LIVELLI EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI TRA INTERVALLI SUCCESSIVI• N=2M LIVELLI.
x t K V K M , ,2,...., 1
V
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.60
FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :
MA (COME NEL CASO DI PROCESSI CASUALI SENZA MEMORIA)
R E x t x t
P t t E x t x t
P t t E x t x t
x
, /
, /
stesso intervallo stesso intervallo
intervalli diversi intervalli diversi
E x t x t
P t tT
T
E x t x tM
K VK
M
/
,
/
intervalli diversi
stesso intervallo
stesso intervallo
0
1 2 2
1
POICHE’ INTERVALLI EQUIPROBABILI
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.61
POICHE’ :
CON PROBABILITA’ 1/M.
SI NOTI CHE LA MEDIA RAPPRESENTA ANCHE LA POTENZA DEL SEGNALE,
QUINDI :
x t x t K V 2 2 SEMPRE
E x t2
RT
T MK V Tx
K
M
1 2 2
1
Rx
-T +T
1 2 2
1MK V
K
M
NEL CASO DI DUE PROCESSI E SI PUO’ CALCOLARE LA FUNZIONE DI
CROSS-CORRELAZIONE CHE ESPRIME LA DIPENDENZA TRA I DUE PROCESSI.
x t y t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.62
ESEMPIO : PROCESSO ALEATORIO COMPLESSO
QUESTO PROCESSO E’ UNA ASTRAZIONE CHE SERVE PER RAPPRESENTARE
PROCESSI REALI .
• V.A. AVENTI MEDIA NULLA
• MEDIA DEL PROCESSO
x t a eii
j ti
ai
E a i
E a a E a
i
i j i i
0
0 2 2
,
E SCORRELATE E VARIANZA
x t E x t 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.63
• FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :
E’ SSL.
R t t E x t x t
E a e a e
E a a e
R t t e R t t
x
ij t
kj t
ii
i kki
x ij t t
xi
i k
j it j k t
i
1 2 1 2
1 22
2 1
1 2
1 2
1 2
,
, ,
*
*
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.64
PROCESSI ALEATORI E STAZIONARI
• LA CONOSCENZA DI E E’ SUFFICIENTE PER TROVARE• IL PROBLEMA E’ ANALOGO AL CASO DELLA DEFINIZIONE DI UNA V.A. y DATA
LA V.A. x E LA RELAZIONE • SI TRATTERANNO SOLO SISTEMI LTI . CARATTERIZZATI DALLA RISPOSTA
ALL’ IMPULSO O ANALOGAMENTE
x t
y t
h t
H
y t
h t
y g x
H
h t
x t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.65
ESEMPIO DI SISTEMI NON LTI :
y
x
a
a
x
y
QUADRATORE
g x ax a 2 0 ,
HARD LIMITER
g xa x
a x
per
per
0
0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.66
SE E’ NOTO E STAZIONARIO, ALLORA SI CONOSCE IL VALORE MEDIO
E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ,
QUINDI IL VALOR MEDIO DI E’:
x t x Rx
y t
E y t E x h t d x h t d
x h t dt xH y
=
0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.67
LA FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE :
LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :
R E x t y t E x t h x t d
E x t x t h d R h d R h R
xy
x x xy
R E x h t d y t h t E x y t d
h t R t d
y
xy
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.68
SE SI EFFETTUA IL CAMBIO DI VARIABILE ALLORA :t d d
2* fHfSfHfHfSfSRhhR
hRdRhR
dRhR
XXYyx
xyxyy
xyy
CON UN ULTERIORE CAMBIO d d
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.69
ESEMPIO (FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE)SE SI HA UN SISTEMA LTI CON SCONOSCIUTA, ALLORA PONENDO IN INGRESSO
UN RUMORE BIANCO CON
h t R cx
h t
H
x t CORRELATORE
y t
x t
Rxy
E CON LO SCHEMA DI FIGURA OTTENGO :
OSSIA LA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL SISTEMA (A MENO DI UNA COSTANTE)
R R h c h c hxy x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.70
ESEMPIO (FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE)SI CONSIDERI UN INTEGRATORE IDEALE (PASSA-BASSO), CON IN INGRESSO UN
RUMORE BIANCO :
h t
H
y t x t
RUMORE BIANCO
1 t Rx
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.71
h t
t
h t
t
T0
T0
Ry
T0 T0
a T20
a
a
DOVE : R h hy
SI OSSERVI CHE :
R a T a d h d
E y t y t R
y
T
y
0
0
20
2 2
0
0
E’ L’ ENERGIA DELLA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL FILTRO
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.72
SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DI
UN PROCESSO ALETAORIO
LO SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA E’ DEFINITO COME L’INTEGRALE DI FOURIER
DELLA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.
E PERMETTE DI CONOSCERE LA DISTRIBUZIONE DELLA POTENZA DEL PROCESSO
IN FREQUENZA.
ANALOGAMENTE, LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE
S R e dx xj
R S e dx xj
1
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.73
POICHE’ LA POTENZA DEL SEGNALE EQUIVALE A :
L’ INTEGRALE DI HA SIGNIFICATO DI POTENZA (DOVRA’ ESSERE QUINDI
SEMPRE POSITIVA ) .
INOLTRE, E’ SEMPRE REALE E PARI POICHE’ E’ PARI E REALE.
DATO IL SIGNIFICATO DI SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA SI HA CHE :
E x t R S dx x2 0
1
2
Sx
S x Rx
21
21
2
2 potenza di tra e 1
S d x tx S x
2 2 1 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.74
SI CONSIDERI PERCIO’ IL PROCESSO E LO SI FACCIA PASSARE IN UN
BANCO DI FILTRI PASSA-BANDA IDEALI IN MODO DA COPRIRE TUTTO LO SPETTRO
DELLE FREQUENZE.
x t
x t
H1
H2
Hn
y t1
y t2
y tn
4 2 2 4
1
H H1 H2 H3
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.75
PERTANTO L’ N-ESIMO FILTRO SARA’ DISPOSTO
ALLORA LE USCITE RAPPRESENTANO LA SCOMPOSIZIONE DEL
PROCESSO IN FREQUENZA.
QUINDI DATO CHE :
Hn
2 1n 2 1n 1 2
1
y t y tn1 , ....,
y t x tnn
S S HY X nn n 2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.76
SI CALCOLI LA POTENZA DI TRA E ,OVVERO E
ALLORA DATO CHE
IN FREQUENZA RISULTA
x t 1 2 1 2 3 n 2 2 1n
S S dx yn n
1
22
S S H H S Hy x x * 2
( IMPORTANTE )
R R h hy x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.77
QUINDI DALLA (2) SI HA :
OSSIA LA PORZIONE DI POTENZA DEL SEGNALE ASSOCIATA ALLA BANDA
CONSIDERATA.
S H S d S dy x xn
n
n
1
22
1
22
2 3
2 1
1
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.78
ALTRA DIMOSTRAZIONE :PER DEFINIZIONE DI SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA , L’ INTEGRALE DI
SU UN DOMINIO LIMITATO DEVE FORNIRE LA POTENZA RELATIVA A QUEL
DOMINIO. INFATTI SE CONSIDERIAMO UNA BANDA COMPRESA TRA E ,
ALLORA SI DEVE VERIFICARE CHE :
SI CONSIDERI ALLORA :
S x S x
1 2
1
2
1
22
1
1
2
S d S dx x
POTENZA DI TRA E
E E
x t 1
2
1 2
x t H 1 2
x tf CON
1 2 1
2
H
1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.79
SARA’ UN PROCESSO COSTITUITO DALLE COMPONENTI DI
COMPRESE TRA E
ALLORA PER DEFINIZIONE
MA DATO CHE
ALLORA
x tf x t 1 2
Potenza x t E x t S df f x f
2 1
2
S
Sx
x
f
1
01 21
per
altrove
E X S d S df x x2 1
2
1
22
1
1
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.80
QUINDI UN PROCESSO ALEATORIO SI PUO’ CARATTERIZZARE EQUIVALENTEMENTE
COME :
IN OGNI CASO, E RAPPRESENTANO LA MEMORIA DEL PROCESSO.
x
Rx x
S x
Rx S x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.81
ESEMPIO : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE
R ex 2
12
Rx
12
OSSIA QUANDO SI DIMEZZA E, ESSENDO , IL COEFF. DI
CORRELAZIONE E’ RIDOTTO DEL 50%.
LA TRASFORMATA DI FOURIER DI E’ :
1
2Rx x 0
Rx
S x
2 22= FUNZIONE DI
CAUCHY
Sx
2 2
MAX
0.5 MAX
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.82
RAGGIUNGE LA META’ DEL SUO VALORE MAX QUANDOSI VEDE CHE 2 FORNISCE ANCHE UN PARAMETRO DELLA LARGHEZZA IN FREQUENZA (OSSIA DELLA MEMORIA ) ELEVATO POCA MEMORIA NEL TEMPO E BANDA GRANDE ( AUTOCORRELAZIONEIMPULSIVA ) PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE .
• FORNISCE INFORMAZIONI SULLE POSSIBILITA’ DI UN SEGNALE DI PASSARE SU UN CANALE.
• SI CONSIDERI UN CANALE CON BANDA PASSANTE 02 MHz SUL QUALE SI VUOLE TRASMETTERE UN SEGNALE BINARIO CASUALE CON INTERVALLO =1 sec.
S x 2
S x
V
V
0
0
1 sec
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.83
LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’ (SE I DUE LIVELLI SONO EQUIPROBABILIE IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA) :
SI PUO’ CALCOLARE LA IL TRIANGOLO PUO’ ESSERE RICAVATO DALLA CONVOLUZIONE DI 2 RETTANGOLI :
CHE IN FREQUENZA VALE :
Rx
V02
T T
S Rx x
T
2 T2
T
T
TTsinc
Tsen
2
22
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.84
ALLORA E’ IL PRODOTTO DI 2 SINC, CIOE’ :
ORA E’ POSSIBILE CONFRONTARE LA CARATTERISTICA DEL CANALE CONLO SPETTRO DEL SEGNALE.SI VEDE CHE PER IL CANALE :
MENTRE IL LOBO PRINCIPALE DEL PROCESSO E’ TALE CHE :
QUINDI LA BANDA UTILE DEL FILTRO COMPRENDE OLTRE AL LOBO CENTRALEANCHE I PRIMI LOBI LATERALI.
S x
sincT
2
2
S x
Hc
2T
4T
Hc
c 2 2 10 4 106 6 radsec
x T
22 106 rad
sec
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.85
ESEMPIO : CANALE CON RUMORE
I CANALI REALI PRESENTANO ANCHE IL PROBLEMA DEL RUMORE OLTRE CHEDELLA LIMITAZIONE IN BANDA.
ALLORA SI VUOLE SAPERE SE UN SEGNALE PUO’ PASSARE ATTRAVERSO IL CANALE E SE VIENE AFFETTO DAL RUMORE INTRINSECO AL CANALE STESSO.• LA PRIMA VERIFICA E’ ANALOGA AL CASO PRECEDENTE.• PER LA SECONDA, SI DEVE STABILIRE SE LO SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DEL RUMORE E’ SUFFIC. PIU’ BASSO DI QUELLO DEL SEGNALE.
CANALE L.T.I.
x t n t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.86
• IN CASO CONTRARIO, OVVERO SE SONO CONFRONTABILI, SI DEVE SPOSTARE
IN BANDA IL SEGNALE IN MODO DA TROVARE ALL’ INTERNO DELLA BANDA DEL
CANALE, UNA ZONA DOVE IL RUMORE HA DENSITA’ BASSA.• SI CONSIDERI UN SEGNALE AVENTE PARI A :
• CANALE AVENTE BANDA UTILE PARI A 10 MHz
x t S x
S fx
f0.5 2 MHz
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.87
• RUMORE COMPRESO IN BANDA 0.55 MHz AVENTE AMPIEZZA CONFRONTABILE CON QUELLA DEL SEGNALE.
• ESISTE UNA BANDA UTILE TRA 5 E 10 MHz ( SENZA RUMORE ).• SI EFFETTUA UNA MODULAZIONE CON FREQUENZA DI PORTANTE 7.5 MHz DEL
TIPO :
50 7.5 MHz 10 MHz
Hc
f
x t t DSBcos . sec 0 062 7 5 10 rad
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.88
• ALLORA SI AVRA’ IN FREQUENZA :
• LA TRASMISSIONE AVVIENE SENZA PROBLEMI DI RUMORE.• NECESSITA’ DI UN DEMODULATORE CHE RIPORTI IN BANDA BASE.
5 7.5
S fxm
f MHz
H fc
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.89
ERGODICITA’
• PROCESSO ALEATORIO INSIEME DI REALIZZAZIONI• STATISTICA DEL PROCESSO RICHIEDE MEDIE D’ INSIEME• ERGODICITA’ E’ UNA PARTICOLARE PROPRIETA’ DEI PROCESSI CHE
PERMETTE DI APPROSSIMARE LE MEDIE D’ INSIEME SENZA CALCOLARLE DIRETTAMENTE, MA LAVORANDO SU UNA SOLA REALIZZAZIONE CIASCUNA REALIZZAZIONE CONTIENE TUTTA L’ INFORMAZIONE RIGUARDO IL PROCESSO (OVVERO TUTTA LA STORIA).
MEDIA D’ INSIEME MEDIA TEMPORALE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.90
ESEMPI :
1)
PERCHE’ SE TAGLIO CON FINESTRE NEL TEMPO UNA REALIZZAZIONE QUALSIASI
NON SI CAPISCANO LE V.A. (SONO COSTANTI ENTRO UNA REALIZZAZIONE)
2) PROCESSO BINARIO CASUALE (ERGODICO)
• SI PARLERA’ DI PROCESSI ERGODICI NELLA MEDIA E NELL’ AUTOCORRELAZIONE
x t a t a cos , , 0 v.a.
a,
NON ERGODICO
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.91
STIMA DI
DOVE :• E’ UNA REALIZZAZIONE GENERICA DEL PROCESSO
• E’ UNA V.A. , QUINDI SI PUO’ VALUTARE MEDIANTE LA MEDIA E LA VARIANZA (STIMA NON POLARIZZATA E ASINTOTICAMENTE STABILE)
VERIFICA (NON POLARIZZAZIONE) :
E x t
xT
x t dtT
T
1
2
x t
x
E x x E xT
E x t dt xT
T
1
2PROCESSO STAZIONARIO
xx
P x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.92
VERIFICA (STABILITA’) :
QUINDI, PONENDO E NELLE IPOTESI DI PROCESSO STAZIONARIO SI PUO’
NOTARE CHE LUNGO TALE RETTA LA FUNZIONE INTEGRANDA E’ COSTANTE.
x
T
T
T
T
T
T
T
T
E x x E x ET
x x d d
TE x x d d
2 2 2 22
2
1
4
1
4
T
T
T T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.93
INOLTRE, DATO CHE SIA CHE VARIANO DA -T A +T -2T +2T.
INCREMENTANDO DI UN TRATTO d , OSSIA -=d E CALCOLANDO L’ AREA
DELLA STRISCIA RISULTANTE, SI PUO’ TRASFORMARE L’ INTEGRALE DOPPIO IN
SEMPLICE.
QUINDI L’ AREA DELLA STRISCIA VALE E
T
T
2T
d
d
2T d
E xT
T R dT T
R dxT
T
xT
T
22
2
2
2
21
42
1
21
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.94
PERCIO’
RICORDANDO CHE
E NEL CASO
ALLORA ASSUME VALORE MASSIMO PER =0 FINO AD ANNULLARSI.
QUINDI SE SI HA UN PROCESSO CON FUNZ. DI AUTOCORRELAZIONE LIMITATA,
OSSIA
xT
T
xT TR d x2
2
221
21
2
x xR x2 2
x Rx x 0 2
12
T
limT
xT
T
TR d
1
20
2
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.95
E’ GARANTITO CHE
COSI’ SI E’ DIMOSTRATO CHE UN PROCESSO ERGODICO NELLA MEDIA
OVVERO LA STIMA DELLA MEDIA CONVERGE ALLA MEDIA VERA QUANDO T CRESCE.
x T
2 0
lim limT T
T
T
xT
x t dt x
1
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.96
STIMA DI
PROCESSI ERGODICI NELL’ AUTOCORRELAZIONE
• E’ NECESSARIO CONOSCERE UNA REALIZZAZIONE DI CHE DURI ALMENO 2T+ .
• SICCOME L’ INTERVALLO DI OSSERVAZIONE E’ T , SI PREFERISCE RIDEFINIRE TALE STIMA COME :
Rx
x t
lim limT
xT
T
T
xRT
x t x t dt R
1
2
RT
x t x t dtx
T
1
0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.97
TALE STIMA E’ NON POLARIZZATA, INFATTI :
TALE STIMA VALE PER E SI PONE PER(NON SI CONOSCE IL PROCESSO AL DI FUORI DI T). POLARIZZAZIONEPOICHE’ FORZO IL VALORE PER . I VALORI MIGLIORI LI OTTENGO PER PICCOLI.SI DIMOSTRA CHE LA STIMA E’ POCO STABILE AL CRESCERE DI .
E R ET
x t x t dtT
E x t x t dt
TR dt R
x
T T
x
T
x
1 1
1
0 0
0
0 T Rx 0 T
Rx 0 T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.98
STIMA INDIRETTA DI
SI OSSERVA CHE
DOVE E’ PARI AL PRODOTTO DI REALE PER UNA FINESTRA
TEMPORALE UNITARIA DI DURATA 2T. QUINDI :
S x
S R e d R e dx xj
xT
Tj
E S E R e d R e dx xT
Tj
xT
Tj
E S ST
Tx x sen
,
Rx Rx
COSTANTE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.99
CHE IMPLICA UNA PERDITA DI RISOLUZIONE . COSI’ SE SI VUOLE AVERE UNA
RISOLUZIONE IN FREQ. PARI A , ALLORA :
2
T DOVE E’ LA LARGHEZZA DEL LOBO PRINCIPALE DEL SINC.
2T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.100
STIMA DIRETTA DI
SI DEVE VERIFICARE LA STABILITA’ ASINTOTICA E LA NON POLARIZZAZIONE.
S x
T
dtetxST
tjx
1ˆ2
0
E S E x e x e d d
R e d d
xj j
TT
x
TTj
00
00
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.101
SI DIMOSTRA IN MANIERA ANALOGA AL CASO PRECEDENTE CHE
QUESTO EQUIVALE A CONSIDERARE
(COME PER STIMA INDIRETTA) IN QUESTO CASO, SI DEVE EFFETTUARE LA
TRASFORMATA DI FOURIER DEL
PRODOTTO TRA E UN TRIANGOLO SIFFATTO
E S T R e d TxT
T
xj
0PER
R Tx 0 SI INTRODUCE POLARIZZAZIONE PER PER T
Rx
T T
T
E S S
T
Tx x
sen
2
2
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.102
QUESTA VOLTA IL LOBO PRINCIPALE HA LARGHEZZA (FINESTRA DELL’
INTEGRALE DI FOURIER E’ QUI ’ [ 0,T ], ANZICHE’ [ -T,T ] COME PER LA STIMA
INDIRETTA.
PERDITA DI RISOLUZIONE MAGGIORE DI QUELLA DELLA STIMA INDIRETTA:
• SEBBENE PIU’ COMODA, LA STIMA DIRETTA NON E’ ASINTOTICAMENTE
STABILE . BENSI’ RESTA DELLO STESSO ORDINE DI , CIOE’ LA
DEVIAZIONE STANDARD DELLO STESSO ORDINE DI IN INTERVALLO
DELL’ ORDINE DEL 100% DEL VALORE VERO.
4T
S Tx
2 0 (SENZA DIMOSTRAZIONE)
4
T
Sx
2 S x2
S Sx x 2
* FISSATO
*
T4
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.102.1
RIMEDIO : CALCOLO DELLA STIMA SU N INTERVALLI DI LUNGHEZZA T/N.
IN TAL MODO, LA STIMA VIENE CALCOLATA COME MEDIA DELLE STIME PARZIALI
E LA RELATIVA VARIANZA SI RIDUCE DI UN FATTORE 1/N. ( SI RIDUCE DI )
,
SS
Nx
x ii
N
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.103
• LA RISOLUZIONE PERO’ E’ PEGGIORATA DI UN FATTORE N.• IL LOBO PRINCIPALE DIVENTA
NOTE :
1) SE HO REALIZZAZIONI MOLTO LUNGHE, DIVIDO IL PROCESSO IN FINESTRE (COMPATIBILMENTE CON LA RISOLUZIONE) E SU OGNI SEGMENTO CALCOLO LA CON LA STIMA DIRETTA. OTTENGO BUONA STABILITA’ SE MEDIO I VARI RISULTATI.
2) SE TROVO UNA CON UN SALTO (IMPULSO) NELL’ ORIGINE
4 4 T T
N
S x
S x x 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.104
STIME DISCRETE DI E
SEGNALI DETERMINISTICI CAMPIONATI
RICOSTRUZIONE :
R Sx x
Tcx
x
, BANDA DEL SEGNALE x(t) IN .
x t x nT
Tt nT
Tt nT
cn
cc
cc
sen
x x Tc
2Tc
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.105
UN PROCESSO ALEATORIO E’ A BANDA LIMITATA SE LA SUA DENSITA’ SPETTRALEDI POTENZA E’ A BANDA LIMITATA.
IN REALTA’, E’ LA FUNZIONE DETERMINISTICA CHE E’ A BANDA LIMITATA,QUINDI CAMPIONABILE E RICOSTRUIBILE PERFETTAMENTE.PER CONTRO, SI POSSONO RICOSTRUIRE SOLO STIME DI REALIZZAZIONI DEL
SEGNALE ORIGINARIO x(t).
S x
x x
S x
Rx
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.106
SI DIMOSTRA CHE TALE STIMA CONVERGE IN MEDIA QUADRATICA AL PROCESSO
ORIGINALE NEL SENSO DELLE PROBABILITA’ (PUO’ DIFFERIRE IN ALCUNI CASI
CHE HANNO PERO’ PROBAB. =0). L’ ERRORE DELLA STIMA HA POTENZA NULLA.
LA BANDA DI , SI PUO’ STIMARE SPERIMENTALMENTE PRIMA DI STIAMARE
sen
,x t x nTT
t nT
Tt nT
Tcn
cc
cc
cx
CON BANDA DI
E x t x t 20
S x x
HPA MISURATORE DI POTENZA STIMA DI x
HPA
c
S x x
S x
x t PxPx PA,ES. Px
MISURATORE DI POTENZA
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.107
STIMA DISCRETA INDIRETTA
ANALOGA AL CASO CONTINUO CON
QUINDI, LO SPETTRO STIMATO:
DOVE
R mTN m T
x nT x n m Tx cc
cn
N m
c
1
0
1
t nT mT T NTc c c , ,
S K R mT ex x cm
NjmT Kc
0
1TRASFORMATA DISCRETA
DI FOURIER
2 2 NT Tc
CHE RISULTA ESSERE LA RISOLUZIONE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.108
STIMA DISCRETA DIRETTA
• L’ INTERVALLO T E’ STATO DIVISO IN SOTTINTERVALLI DI DURATA
• TALE STIMA E’ EFFETTUATA PER CIASCUN SOTTINTERVALLO LUNGO
IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE VALE
E SICCOME , LA RISOLUZIONE RISULTA ESSERE PEGGIORE DELLA PRECEDENTE.
TN To c
N To c
N To c
2
0
N Tc
N N0
STIMA: S K x n ex
jN
Kn
n
N
2
0
12
0
0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.109
FILTRO DI WIENER
• SI CONSIDERI DI AVERE UN SEGNALE SOMMATO AD UN RUMORE :
CON s(t) E n(t) SEGNALI ALEATORI SSL NOTI STATISTICAMENTE, OSSIA E NOTE.
• SI SUPPONGA INOLTRE E E INDIPENDENTI. ALLORA
• SI VUOLE TROVARE UN FILTRO TALE CHE SI OTTENGA IN USCITA UNA STIMA DEL SEGNALE.
x t s t n t
R Rs n
s n s t n t 0
R E s t n t E s t E n tsn 0
h t x t s t n t y t s t
(E’ NATO COME PB. DI STIMA ANTICIPATA: .NOI SEMPLIFICHIAMO IN STIMA IN TEMPO REALE).
s t t 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.110
• COME CRITERIO DI BONTA’ DELLA STIMA SI ADOTTA IL MINIMO ERRORE
QUADRATICO MEDIO (MEQM).• SI RICORDA CHE DATO UN INSIEME DI V.A E SI VUOLE STIMARE
UNA V.A y IN MODO LINEARE, ALLORA
CRITERIO DI ORTOGONALITA’ , OVVERO
x xn1, ...,
y y x x a x cn i ii
, ....,1
E y y x E y yi i 02
MINIMO
2ˆ.min tstsE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.111
NEL CASO IN OGGETTO
DOVE
E s t s t x t z z 0 0
x t s t n t
x t z RAPPRESENTANO TUTTI I VALORI DELL’ OSSERVAZIONE DA - ALL’ ISTANTE PRESENTE t (CAUSALITA’).
s t x t h t x h t d
E s t x h t d x t z z
t
t
0 0
MA
(CAUSALE)
x(t-z) INFINITE xi
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.112
CONSIDERIAMO I SINGOLI PRODOTTI E SCAMBIANDO GLI OPERATORI DI MEDIA E
INTEGRALE, SI OTTIENE
DA CUI
E PONENDO ALLORA
E s t x t z E x x t z h t d zt
0
E s t x t z R t z h t d zx
t
0
t d d
R t z h t d R z h d
R z h d R z h z
x
t
x
x x
0
0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.113
PERTANTO
MA
ALLORA DALLA (1) :
E s t x t z R z h z zx 1 0 EQUAZIONE DI WIENER
E s t x t z E s t s t z n t z R z R z R zs sn s
R z R z h zs x z > 0, EQUAZIONE DI WIENER-HOPF
=0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.114
• E’ POSSIBILE EFFETTUARE STIME ANTICIPATE O CON PREVISIONE (z>t, t>0)
• OPPURE STIME RITARDATE (z> -t).
SI TRATTERANNO SOLO FILTRI NON CAUSALI (z QUALUNQUE) (V. DOPO)
x t t
tt p
x t t
tt p
USO x(t-z) (-,t- t ]
PER STIMARE s(t)
USO x(t-z) (-,t+ t]
t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.115
h t
t
• SI CONSIDERI UN FILTRO NON CAUSALE:
UN FILTRO COSI’ UTILIZZA VALORI DELL’ INGRESSO CHE DEVE ANCORA
OSSERVARE
h t
x t y t
t
ESEMPIO : FILTRO NON CAUSALE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.115.1
SE INVECE CONSIDERO * - < z < +
ALLORA SI PUO’ TRASFORMARE CON FOURIER L’ EQUAZIONE DI WIENER
E POICHE’ I PROCESSI SONO INDIPENDENTI DA CUI
S S Hs x
R z R z R z S S Sx s n x s n
HS
S Ss
s n
FILTRO DI
WIENER
* RITARDO INFINITO
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.116
DATO CHE H() E’ FORMATO DAL RAPPORTO DI FUNZIONI REALI E PARI, SARA’
ANCH’ ESSO REALE E PARI. ANTITRASFORMATO FORNIRA’ UNA h(t) REALE E
PARI (OSSIA NON CAUSALE).
ESEMPIO :
ALLORA
SK
S N
s
n
2 2
0
PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE
RUMORE BIANCO
H K
KN
2 2
2 2 0
2 2 SIMILE ALLO SPETTRO DEL SEGNALE s(t).
SI PUO’ RENDERE IL FILTRO DI WIENER CAUSALE IMPONENDO UN RITARDO t0 E
CONSIDERANDO TALE ISTANTE COME ORIGINE (STIMA CON RITARDO).
R Nn 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.116.1
h t
tt0
h(t) E’ NON CAUSALE PERO’, ESSENDO h(t) 0 PER t<t0 POSSO RENDERLO CAUSALE INTRODUCENDO UN RITARDO t0 E TRONCANDO h(t) PER t<t0 .
QUINDI: STIMA CON RITARDO t0
h t'
tt0
h t t' 0
x t s t y t t= 0
t t0 t t 0
ASPETTO L’ ISTANTE t+ t0 PER FARE LA STIMA USANDO I VALORI DA x(t) A
x(t+ t0) CHE RISPETTO A t, SONO VALORI “FUTURI”
s t
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.116.2
LO STESSO TIPO DI PROBLEMA SI PUO’ AFFRONTARE NEL DISCRETO:
QUESTO PROBLEMA SI PUO’ RISOLVERE ANCHE CON IL FILTRO DI KALMAN (PIU’
VELOCE PERCHE’ DI TIPO RICORSIVO).
x k s k n k
y k s k
E’ LA STIMA (MEQM) CHE SI VUOLE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.117
FILTRO A MASSIMO S/N
• SI VUOL RILEVARE UN SEGNALE IMPULSIVO IMMERSO NEL RUMORE.• AMPIEZZA DEL SEGNALE E POSIZIONE SCONOSCIUTI.
NOTA : IL FILTRO DI WIENER CERCA DI AVERE UN SEGNALE VICINO A ,
CIOE’ NE VUOLE SALVARE LA “FORMA”. IN QUESTO CASO VOGLIO (S/N) MAX.
• MODELLO :
s t s t
H f
G fn
x tr y tD
G fn DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA DEL RUMORE
S/N= SIGNAL to NOISE RATIO= SNRRAPPORTO AMPIEZZE
RAPPORTO POTENZE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.118
COSI’ :
x t A p t t p t
A tr r
r
0
0
,
,
t
y tD A n AD 0
t0 t td0
IMPULSO
NON NOTI
y t x t n t h t y tx t h t
n t h t
t
D r Dr
d
EVENTUALE RITARDO
INTRODOTO DALLA h(t)
COMPON. SEGNALE
COMPON. RUMORE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.119
DATE QUESTE IPOTESI, IL SEGNALE IN FREQUENZA VALE
CHE HA ENERGIA PARI A
QUINDI PER RILEVARE L’ IMPULSO, IL FILTRO H(f) DEVE MINIMIZZARE IL RUMORE
IN CORRISPONEDENZA DI UN ISTANTE , MASSIMIZZANDO L’ ENERGIA
DELL’ IMPULSO IN:
x tr
X f A P f e P f p tr rj t 0 DOVE
E X f df A P f df A p tR R r r
22
22 En.di
t t td 0
X f H f Y fr D COMPONENTE SEGNALE DI
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.120
• SI VUOLE DETERMINARE IL PICCO A DEL SEGNALE ALL’ ISTANTE
IN TERMINI DI H(f) E P(f).
t t td 0
A H f X f A H f P f e dfr t t t rj t
d
d1
0
SE E{n(t)}=0 max max maxS
N
A
D N D
Pot.SegnalePot.Rumore
2
2
n t y tD D COMP.RUMORE DI
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.121
E ASSUMENDO IL RUMORE A MEDIA NULLA, INDIPEND. DAL SEGNALE, SI HA :
INFATTI
DOVE
n nDH f G f df2
2
n N
j t
t
ND D DS f e df S f df2
0
S f H f G fN nD
2
n t y tD D COMP.RUMORE DI
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.122
• SI VUOLE MASSIMIZZARE IL RAPPORTO TRA LA POTENZA (L’ AMPIEZZA AL
QUADRATO) DI PICCO A2 E LA VARIANZA DEL RUMORE, OVVERO
DOVE H(f) E’ INCOGNITO (NON CONOSCO INOLTRE E
nD
2
S
N
AA
H f P f e df
H f G f dfD MAX nMAX
r
j t
nD
d
2
2
2
2
potenza di picco delsegnale ( )potenza del rumore
t = td
A tr d
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.123
SI APPLICA LA DISUGUAGLIANZA DI SCHWARTZ :
IN QUESTO CASO, QUINDI
V f W f df
V f df
W f dfV f
W f
*
2
2
2
FUNZIONI ARBITRARIE
V f H f G f
W fA P f e
G f
A H f P f e
V f
n
rj t
n
rj td d
*
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.124
E SI OTTIENE IL VALORE MASSIMO QUANDO V(f) E’ PROPORZIONALE A W(f) .QUINDI, SE
SI AVRA’
V f
KW fAr
AA
P f
G fdf
n MAX
rn
2
2
2
(MAX DELLA DISEGUAGLIANZA DI SCHWARTZ)
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.125
IN TAL MODO :
DOVE K E’ UNA COSTANTE ARBITRARIA
• ESSENDO PROPORZIONALE A E INVERSAMENTE
PROPORZIONALE A , IL FILTRO ENFATIZZA LE FREQUENZE DOVE IL
SEGNALE E’ ALTO E DE-ENFATIZZA LE FREQUENZE DOVE LO SPETTRO DEL
RUMORE E’ ALTO.
V fK
AW f
K
AA
P f e
G fH f G f
H f KP f e
G f
r rr
j t
n
n
OPT
j t
n
d
d
*
*
H fOPT P f G fn
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.126
• NEL CASO DI RUMORE BIANCO :
E LA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DIVENTA :
• IL NOME MATCHED FILTER (O FILTRO ADATTATO) PROVIENE PROPRIO DA CHE HA LA FORMA DELL’ IMPULSO ROVESCIATO E RITERDATO DI (VEDI TEORIA DELLA DECISIONE).
• PUO’ SUCCEDERE CHE IL FILTRO ADATTATO POSSA RISULTARE NON CAUSALE E QUINDI NON REALIZZABILE (EVENTUALMENTE, REALIZZABILE CON INTRODUZIONE DI RITARDO).
S
N
A AP f df
E
MAX n MAX
r R
2 222 2
h tK
P f eK
p t tOPTj t
dd
1 2 2
*
P f R p t pari
h tOPT td
G fn
2
G fn
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.127
ES. SEGNALE SINUSOIDALE IN RUMORE
ORIG. CAUSALE STAZIONARIO
ERGODICO.
DOMANDA : STIMA DI DA UNA REGISTRAZIONE DI y(t).
y t x t n t a t n t
A
n t
cos
,
0
0
INCOGNITE (COSTANTI)
V.A. UNIF. DISTRIB. IN [0,2] (“ORIG. CAUSALE”)
GAUSSIANO, BIANCO, ADDITIVO (INDIP. SEGNALE)
0