Post on 09-May-2019
Lagrange-Multiplikatoren-Methode
Extremwert-Problem mit Nebenbedinungung: f (~x) ! Extr.! unter derNB: g(~x) = �.
Vorgehen:
�. Bilde die Lagrange-Funktion L(~x, �) = f (~x) + �g(~x).�. Bestimme alle ~x mit grad L(~x, �) = ~�.�. Untersuche welche Stellen (globale) Maxima bzw. Minima sind.Nützlich sind dabei die Niveaulinien f (~x) = const.
Die Lösung ~x hängt nicht von � ab! Alle Lösungen ~x vongrad L(~x, �) = ~� sind stationäre Stellen.
��
Beispiel f (x, y) = y � x mit Nebenbed. g(x, y) = x� + y� � � = �
Lagrange-Funktion L(x, y,�) = y � x + �(x� + y� � �). Die stationärenStellen ergeben sich auch grad L(x, y,�) = ~�, d.h.
Lx = ��+ ��x = �,Ly = �+ ��y = �,
L� = x� + y� � � = �.
x = � bzw. y = � ergeben keine stationären Stellen. Deshalb lösenwir die ersten beiden Gleichungen nach � auf und erhalten�� = �
x = � �y () y = �x und setzen das in die dritte Gleichung
ein: �x� = � und wir erhalten � stationäre Stellen P�⇣p
�� ,�
p��
⌘und
P�⇣�
p�� ,
p��
⌘.
��
Erläuterung zum Beispiel
Abbildung ��: Nebenbedingung undNiveaulinien
Ob ein Extremum und welchesvorliegt erkennt man an denNiveaulinien
f (x, y) = y � x = c = const.
Es ergibt sich , dass in⇣p�� ,�
p��
⌘das globale Minimum
vorliegt und in⇣
�p�
� ,p��
⌘das
globale Maximum.
��
Lagrange-Multiplikator-Methode mit mehreren NB
Sind f , g�, . . . , gk einmal stetig (partiell) di�erenzierbar und dieGradienten
gradg�(~x), . . . , gradg�(~x)
für alle ~x 2 M mit
M := {~x 2 Rn : g�(~x) = . . . = gk(~x) = �}
linear unabhängig, dann �ndet man die Lösung desExtremalproblems mit Nebenbedingungen:
f (x�, x�, . . . , xn) ! Extr!
NB :g�(x�, x�, . . . , xn) = . . . = gk(x�, x�, . . . , xn) = �unter den stationären Punkten der Lagrange-Funktion:
L(x�, x�, . . . , xn,��, . . . ,�k) = f (~x) + ��g�(~x) + . . .+ �ngn(~x).
��
Beispiel mit � Nebenbedingungen
f (x, y, z) = x� + y� + z� ! Extr.!
unter den Nebenbedingungeng�(x, y, z) = x� + y� � � = �
(Zylinder)g�(x, y, z) = x + y + z� � = �
(Ebene).
Beide Nebenbedingungen gel-ten gleichzeitig auf der blauenSchnittkurve. Abbildung ��: � Nebenbedingungen
Ansatz: LagrangefunktionL(x, y, z,�, ⌫) = f (x, y, z) + �g�(x, y, z) + µg�(x, y, z), zu lösen:
grad L(x, y, z,�, ⌫) = ~�. ��
Lösung, Teil �
Lx = �x + ��x + ⌫ = � (�)Ly = �y + ��y + ⌫ = � (�)Lz = �z+ ⌫ = � (�)L� = x� + y� � � = � (�)L⌫ = x + y + z� � = � (�)
(�), (�), (�) nach µ au�ösen und gleichsetzen
�µ = �(�+ �)x = �(�+ �)y = �z =) (�+ �)(x � y) = �.
Der Fall � = �� ergibt µ = z = � und (�),(�),(�) sind erfüllt,(�) ergibt y = �� x eingesetzt in (�)x� + (�� x)� = � () �x(x � �) = � ergibt x� = � und x� = �und die Punkte P� = (�; �;�), P� = (�;�;�).
��
Lösung, Teil �
Der Fall x = y ergibt in (�) �x��� = � ()x�/� = ±
p�� = y�/� und
(�) ergibt z = �� �x = �⌥p� die Punkte
P� = (p�� ,
p�� , ��
p�) und
P� = (�p�� ,�
p�� , �+
p�).
Bemerkung: µ ergibt sich dann aus (�) unddann � aus (�) bzw. (�).
P� und P� sind mit f (P�) = �globale Minima,P� ist mit f (P�) = �� �
p� ⇡ �, �� ein
lokales Maximumund P� ist mit f (P�) = �+ �
p� ⇡ �, ��
das globale Maximum.
Abbildung ��: Abstand vomUrsprung � Radius der Kugel,Blaue Kurve entsprichtbeiden Nebenbedingungen
��
�. Extrema in berandeten Bereichen
��
Extrema in berandeten Bereichen B
Als erstes wird die Di�erentialrechnung, so es möglich ist, angewandtund wir untersuchen
�. das freie Extremwertproblem f (~x) ! Extr.!. Liegen dieermittelten stationären Stellen innerhalb von B, dann behaltenwir sie, liegen sie außerhalb oder auf dem Rand von B, dannsind sie nicht von Interesse.
�. Untersuchung einer Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungauf jedem Randstück. Man beachte dabei den Bereich desRandstücks.
Weiterhin sind zu berücksichtigen
�. alle Ecken von B, dass sind die Schnittpunkte von Randkurven(allgemein Schnitt�ächen von Randmengen).
�. Alle Stellen, wo die Di�erentialrechnung nicht anwendbar ist.
��
Beispiel
f (x, y) = �x� + (y � �)�
im Bereich B, der von
x = y,x = � �
�y,x� + (y � �)� = �.
berandet wird. Abbildung ��: Berandeter Bereich
��
Beispiel
f (x, y) = �x� + (y � �)� im Bereich B, der von x = y, x = � ��y und
x� + (y � �)� = � berandet wird.
Abbildung ��: Alle wesentlichenPunkte
��