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LA TEORIA DELLA RELATIVITÀ GENERALE
di Leonardo Rubino leonrubino@yahoo.it per www.fisicamente.net Maggio 1993 – Rev. 00 Giugno 2011 – Rev. 01 Agosto 2011 – Rev. 02
Indice: -Indice. Pag.1 -Introduzione. Pag.2 -Capitolo 1: Premesse di Geometria. Pag.4 Par. 1.1: Formalismo, lunghezze di archi e aree di superfici curve. Pag.4 Par. 1.2: Geometria differenziale di base. Pag.7 Par. 1.3: Geometria differenziale dello spazio. Pag.10 -Capitolo 2: Le grandezze salienti della Teoria della Relatività Generale. Pag.17 Par. 2.1: Concetti introduttivi sulla Relatività Generale. Pag.17 Par. 2.2: Sul tensore metrico ed altre grandezze salienti. Pag.19 Par. 2.3: Sulla Trasformazione di Lorentz in Relatività Generale. Pag.24 Par. 2.4: Il 4-vettore Momento-Energia ed il Tensore Momento-Energia. Pag.25 Par. 2.5: Idrodinamica relativistica. Pag.28 Par. 2.6: L’Equazione della geodetica. Pag.29 Par. 2.7: La relazione tra µνg e λ
µνΓ . Pag.30
Par. 2.8: Il limite Newtoniano. Pag.30 Par. 2.9: Il Tensore di Curvatura di Riemann-Christoffel. Pag.31 -Capitolo 3: Le Equazioni del Campo Gravitazionale di Einstein. Pag.33 Par. 3.1: Le dieci Equazioni del Campo Gravitazionale di Einstein. Pag.33 -Capitolo 4: Tests classici della teoria di Einstein. Pag.35 Par. 4.1: La metrica. Pag.35 Par. 4.2: La soluzione di Schwarschild. Pag.36 Par. 4.3: Le equazioni generali del moto. Pag.37 Par. 4.4: La deflessione della luce da parte del Sole. Pag.38 Par. 4.5: Calcolo alternativo della deflessione, con profili di antagonismo alla TRG. Pag.40 Par. 4.6: La precessione del perielio dei pianeti. Pag.42 -APPENDICI. Pag.45 Appendice 1: La Teoria Della Relatività Ristretta. Pag.45 Appendice 2: Come io vedo l’Universo (Unificazione Gravità Elettromagnetismo). Pag.70 -Bibliografia. Pag.87
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La cosa più vicina all’intelligenza è la semplicità. Introduzione. La Teoria della Relatività Generale (TRG) è un’estensione della Teoria della Relatività Ristretta (o Speciale) (TRR) esposta in App. 1, necessaria ad Einstein per spiegare la Gravitazione. Il termine gravità richiama il termine accelerazione; vedremo infatti al Par. 2.1 che, laddove coi sistemi di riferimento c’è accelerazione, rotazione e gravità, la metrica non è più semplice come nella TRR. Inoltre, la TRG spiega la gravità come una curvatura dello spazio, o meglio, dello spazio-tempo (spazio-tempo matematico, nell’opinione di chi scrive) determinata dalla materia (e dall’energia!) immersa in tale spazio-tempo. E’ un po’ come quando, ad esempio, si pone una sfera di piombo su un materasso: in prossimità della sfera si ha uno sprofondamento ad imbuto e in tale zona il materasso appare incurvato. Potremmo dunque dire che tale area di materasso incurvato è il campo gravitazionale della sfera di piombo. Se ora lanciamo un pallino sul materasso, lo stesso, attriti a parte, procederà, indisturbato, di moto rettilineo uniforme sul materasso piatto, finchè, avvicinandosi all’area incurvata e sprofondata, non inizierà ad accelerare (cadere) verso la sfera di piombo. La materia, nella TRG, ha lo spazio-tempo come binari su cui muoversi; se dunque questi vengono incurvati, le traiettorie seguite dalla materia saranno curve. Se poi la sfera è così massiva da sprofondare completamente nel materasso, allora l’imbuto diventerà una sacca strozzata, ciò che chiameremmo buco nero, e dalla stessa non uscirebbe più neanche la luce. In TRG vale poi il Principio di Equivalenza, secondo cui un campo gravitazionale può essere annullato da una accelerazione e non è dunque possibile distinguere, in senso assoluto, una accelerazione da un campo gravitazionale. Si immagini infatti l’Ascensore di Einstein, in cui una persona ferma ad un piano grava ovviamente sul pavimento dell’ascensore col suo peso; se però tagliamo il cavo dell’ascensore, questo inizierà a trovarsi in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre e l’uomo all’interno galleggerà come in un’astronave priva di gravità, poiché lui cade e l’ascensore pure e il pavimento di quest’ultimo gli sfuggirà sempre da sotto i piedi. Dunque, una accelerazione, quella di caduta, ha annullato l’effetto della gravità; e contemporaneamente, ad ascensore fermo, la persona all’interno, invece di concludere che era fermo e sospeso in un campo gravitazionale (gravando coi piedi sul pavimento) poteva anche concludere che non vi era nessun campo gravitazionale, ma che l’ascensore stava accelerando verso l’alto, spingendo sotto le suole delle sue scarpe. Con l’esempio del materasso abbiamo introdotto il concetto di curvatura dello spazio-tempo (matematico) causato dalla materia/energia. L’equazione tensoriale, che noi qui dimostreremo, che esprime appunto la corrispondenza tra materia/energia e curvatura è l’Equazione tensoriale del Campo Gravitazionale di Einstein:
µνµνµν πGTRgR 821
−=−
Il primo membro, tutto in R, ad indicare “raggio di curvatura”, esprime appunto le caratteristiche geometriche dello spazio contenente materia/energia, e l’entità di tale materia/energia è invece data dal secondo membro, col tensore momento-energia µνT , il
quale, come vedremo, in alcune sue componenti è, ad esempio, proporzionale alla densità ρ ecc.
Forse solo nell’opinione di chi scrive (in quanto il concetto che segue, così come tante altre cose, non l’ho mai letto su nessun libro) anche l’equazione di Newton sul campo gravitazionale esprime una corrispondenza tra caratteristiche geometriche dello spazio e presenza di materia:
2
2
dtrdar
r= , r
rMmGam ˆ2−=
r , →→→
→→→ rrMG
dtrd ˆ22
2
−=r
infatti, il primo membro dell’ultima equazione, ossia 2
2
dtrd r
, ossia la derivata seconda della
posizione spaziale nel tempo, è appunto una caratteristica geometrica dello spazio, mentre
il secondo membro rrMG ˆ2− ci informa sull’entità di M!
Sin dalla sua nascita, ufficialmente nel 1916, la TRG è sempre stata vista da molti con perplessità, in quanto in essa la complessità, sia matematica che concettuale, non manca proprio e dunque sostenere che così tante ipotesi e così tanti calcoli conseguenti possano portare ad equazioni che siano sempre ben salde alla realtà, qualche volta ha portato più di qualche critico a definirla una teoria un po’ azzardata (weird, in inglese). I tests classici del Cap. 4 sono incoraggianti in senso opposto, anche se pure lì le premesse, le supposizioni ed i calcoli non scarseggiano e poi, ad esempio, nel calcolo della deflessione della luce delle stelle ad opera del Sole, durante una eclissi nel 1919, la precisione di misura forse era parecchio vicina al valore misurato. Ed esistono poi spiegazioni alternative ed antagoniste alla TRG per spiegare deflessione della luce e precessione del perielio dei pianeti. Nell’opinione di chi scrive, la TRG è sicuramente una splendida e meravigliosa teoria fisico matematica, più matematica che fisica, forse la più bella che c’è, ma è altrettanto vero che contiene profili appunto un po’ azzardati. Penso che la TRG sia la classica teoria falsificabile alla Popper, un po’ come un modello interpretativo che va bene per spiegare parecchi fenomeni, ma che però non è l’essenza piena del fenomeno spiegato. E poi, supposta la realtà dell’interpretazione geometrica della curvatura, resterebbe da spiegare come mai la materia la causa; sì, la causa, ma perché? Constatare non equivale pienamente a spiegare ed a giustificare ed a rendere plausibile. Nella TRG la gravità è solo attrattiva ed Einstein, nella sua Teoria dei Campi Unificati, riassumendo un po’, dopo aver utilizzato il concetto di curvatura in TRG per spiegare l’attrazione gravitazionale, utilizzò il concetto di torsione per tentare di spiegare anche le forze repulsive dell’elettricità. Purtroppo senza successo, ossia senza che le sue nuove equazioni del campo unitario (mi pare 33) trovassero un qualche riscontro nell’Universo reale. Il lavoro di Einstein, dunque, non si esaurì con la TRG; egli, infatti, morì nel 1955 in un letto d’ospedale con carta e penna in mano! Io, personalmente, penso che la forza di gravità sia una macroscopica forza che si compone di microscopiche forze elettrostatiche tra le particelle, positive e negative, che compongono l’Universo, e che possono considerarsi distribuite in modo random (vedi App. 2). Infatti, dimostro in Appendice 2 che l’energia elettrostatica corrispondente ad un elettrone in una coppia elettrone-positrone, che è:
ere2
041
⋅πε
è esattamente pari all’energia gravitazionale conferita ad un elettrone da tutta la massa dell’Universo UnivM a distanza UnivR , cioè:
Univ
eUniv
RmGM
Si ha dunque:
Univ
eUniv
e RmGM
re
=⋅2
041πε
!!
E non pare proprio un caso anche il fatto che se si considera l’Universo come composto da soli elettroni e positroni (armoniche fondamentali, di massa em ) , in numero N, si ha banalmente che:
851075,1 ⋅≅=e
Univ
mMN
e, fin qui, ancora nulla di strano, se non fosse che ci accorgiamo che se moltiplico la radice di N ( 421013,4 ⋅≅N ) per il raggio classico dell’elettrone er , otteniamo esattamente
mRrN Unive281018,1 ⋅≅≅ , il raggio dell’Universo! E la spiegazione di ciò, in perfetta sintonia
con l’equivalenza tra elettricità e gravità appena esposta, è stata dedotta in App. 2/nel Par.4.1. Dunque l’attrazione(/repulsione) particella-antiparticella, ossia le oscillazioni veloci delle coppie particella-antiparticella, nel comporsi tra loro, danno luogo alla oscillazione lenta dell’Universo (Big Bang, espansione, contrazione, Big Crunch). Noi ora siamo nell’era della contrazione, cioè la materia si sta contraendo tutta verso in centro di massa dell’Universo, da cui l’apparire della forza di gravità attrattiva che viviamo ogni giorno, mentre centinaia di miliardi di anni fa, quando l’Universo si espandeva, la gravità era (conseguentemente) di tipo repulsivo (vedere sempre App. 2, a supporto di tutto ciò), da cui la perfetta similitudine tra l’elettricità (attrattiva e repulsiva) e la gravità (anch’essa attrattiva e repulsiva); solo che quando la Terra è nata, la gravità aveva smesso già da un pezzo di essere repulsiva! Capitolo 1: Premesse di Geometria. Par. 1.1: Formalismo, lunghezze di archi e aree di superfici curve. la sfera ed il cerchio: Con riferimento alla figura 1, vogliamo rappresentare con una formula la superficie di una sfera Σ : Fig. 1.1: La sfera.
x
circonferenza equatoriale max
y
z
φ
θ
P(r, θ, φ)
r Σ
In coordinate cartesiane, basta usare il Teorema di Pitagora per ottenere tale formula: 2222 rzyx =++ (1.1)
Invece, verso le più maneggevoli coordinate sferiche, si ha, molto banalmente ed intuitivamente:
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=Σ
r (1.2)
dove ovviamente Στr è il vettore che descrive (muovendosi) tutta la superficie della sfera.
Si vede che le componenti sono funzione di due parametri (θ e ϕ ). Ovviamente, nel caso più semplice di un cerchio γ , si avrebbe:
yrxr ˆ)sin(ˆ)cos( θθτ γ +=r
(1.3) e qui si vede che invece le componenti sono funzione di un solo parametro (θ ), se r=cost. Fig. 1.2: Il cerchio. Le (1.1) e (1.2) si possono dunque scrivere, in forma più generale, come funzioni, rispettivamente, di 2 e 1 parametri:
zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ
r ( ϕθ ,, =vu e r=r(u,v)) (1.4)
yuxu ˆ)(ˆ)( 21 τττ γ +=r
( θ=u e r=r(u)) (1.5)
E’ ovvio che se nelle (1.4) e (1.5) i vari iτ non hanno le espressioni che hanno nelle (1.2) e (1.3), ma bensì ne hanno altre, di generiche, allora esse (sempre le (1.4) e (1.5)) possono rappresentare non più sfera e cerchio, ma altre superfici e curve del tutto generiche. Ora, volendoci avvicinare un po’ più alle coordinate cartesiane (x,y)=(x,f(x)), effettiuiamo nella (1.5) un cambio di parametro (u >>> x) in modo tale che si abbia:
yxfxxyuxu ˆ)(ˆˆ)(ˆ)( 21 +=+= τττ γr
(1.6)
Riterremo dunque la (1.4) l’espressione generale di una superficie, e la (1.6) quella generale di una curva. lunghezza di un arco su una curva: Fig. 1.3: Lunghezza di un arco.
x
y
θ r
P(r, θ)
x
y
)(uBτr
)(uAτr
)(uBτ
r- )(uAτ
r= )(uγτ
r∆ γ
Con riferimento alla figura 1.3, se )(uBτr
tende a )(uAτr , allora )(uγτ
r∆ , diverrà un )(ud γτ
r;
non solo; esso corrisponderà all’arco infinitesimo ldr
su γ . Possiamo dunque scrivere che:
)(udld γτrr
= , da cui:
∫∫∫∫∫−−−−−
+=+====)(
2
)(
2221
)()()(
))('1(])))(())([()(')(BAlBAlBAlBAlBAl
duxfdudu
uddu
udduuudldl ττττ γγ
rrr
(1.7) e notiamo, altresì, dalla composizione vettoriale di Fig. 1.3, che )(ud γτ
rrisulta essere
tangente a γ , in quanto la tocca in un solo punto, e dunque il vettore
duud
t)(γτ
rr
= (1.8)
è un vettore tangente a γ . area di una superficie curva: Riprendiamo la (1.4), che qui riportiamo: zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ
r.
Fig. 1.4: Areola su una superficie curva. Ora, con riferimento alla Figura 1.4, si abbia appunto una superficie curva Σ ed una curva
)(tγ su di essa. E’ ovvio che se voglio sostenere che la curva )(tγ sta proprio su Σ , allora si deve avere che i due parametri u e v di Σ devono essere funzione del parametro unico t di )(tγ : Ora, sappiamo dalla (1.8) che la derivata del vettore γτ
r che descrive una curva, rispetto al
suo parametro t, ci dà il vettore tangente tra tale curva. Parimenti, allora, la derivata del
vettore Στr che descrive la superficie Σ fornisce un vettore t
r tangente alla superficie
stessa, e se la derivata è effettuata sul parametro t della curva )(tγ che sta su Σ , allora, ovviamente, tale vettore tangente sarà pure la tangente della curva )(tγ . Tale parentela è analiticamente esplicitabile vedendo i due parametri u e v come funzioni del parametro t della curva: )(tuu = e )(tvv = . Allora, la tangente alla curva )(tγ sarà:
dtdv
dvd
dtdu
dud
dtdt ΣΣΣ +==
τττrrr
r (1.9)
Dunque, sempre con riferimento alla Figura 1.4, per la (1.9) si vede che il vettore
tangente tred i vettori
dud Στ
r e
dvd Στ
r stanno sullo stesso piano, in quanto costituiscono una
composizione a tre, come appunto in figura. Ora, dal momento che il prodotto vettoriale tra due vettori (modulo = prodotto dei moduli per il seno dell’angolo tra loro) dà come
tr
)(tγ
dud Στ
r
dvd Στ
r Σ
risultato ancora un vettore che è ortogonale ai primi due, allora, per ottenere il vettore
normale alla superficie Σ , effettuo il prodotto vettoriale tra dud Στ
r e
dvd Στ
re se poi voglio il
versore n (modulo unitario) dividerò per il modulo del vettore normale:
dvd
dud
dvd
dud
nΣΣ
ΣΣ
×
×=
ττ
ττ
rr
rr
ˆ (versore normale) (1.10)
Per quanto riguarda l’area di una superficie (in generale) curva, sappiamo dalla geometria elementare che l’area di un trapezio è data dal prodotto dei due lati per il seno dell’angolo da essi formato e ricordando la definizione di prodotto vettoriale riportata qui sopra,
possiamo allora dire che l’areola Σd individuata dai due vettorini dud Στ
r e
dvd Στ
r(Fig. 1.4) è:
dvd
dudd ΣΣ ×=Σ
ττrr
, da cui, per integrazione su tutto u e v:
dudvdv
ddudd
vu∫∫∫−
ΣΣ
Σ
×=Σ=Σττrr
(1.11)
Par. 1.2: Geometria differenziale di base. Fig. 1.5: Triedro fondamentale.
Abbiamo visto con la (1.8) che il vettore )(')(
)( udu
udut γ
γ ττ rr
r== è tangente alla curva )(uγ .
Volendo noi un versore t (modulo unitario), avremo:
)(')('
)(ˆuu
utγ
γ
ττr
r
= (versore tangente) (1.12)
Quindi, sempre con la (1.8) abbiamo visto che l’operazione di derivazione fornisce un vettore ortogonale. Deriviamo ora la (1.12), ottenendo il versore normale )(ˆ un :
)(ˆ)(ˆ utdudun = (versore normale) (1.13)
Per ultimo, definiamo il versore binormale )(ˆ ub , ovviamente nel seguente modo, utilizzando il prodotto vettoriale:
)(ˆ)(ˆ)(ˆ unutub ×= (versore binormale) (1.14)
)(uγ
)(ˆ ut )(ˆ ub
)(ˆ un
)(uP
)(')('
)(ˆuu
utγ
γ
ττr
r
=
)(ˆ)(ˆ utdudun = (triedro fondamentale con parametro generico u) (1.15)
)(ˆ)(ˆ)(ˆ unutub ×= Vedemmo poi con la (1.7) che la lunghezza di un arco è pari a:
∫∫∫∫ ====−−−
u
uBAsBAsBAs
duuduuudsdus0
)(')(')()()()()(
γγγ τττrrrr
(1.16)
da cui: )(')(' ududsus γτ
r== .
Se ora nel triedro (1.15) effettuiamo un cambio di parametro (u >>> s, con s parametro intrinseco), si avrà:
)('1)('
)()]([')('
usu
dsdu
duud
sus γγ
γγ ττ
ττr
rrr
=== , da cui:
1)(')('
)(' ==usu
s γγ
ττ
rr
. Poi:
22 ))('(
)('')(')(''
))('(
)('')(')(')('')(''
usdsduusuu
usdsduusuus
dsduu
sγγγγ
γ
τττττ
rrrrr −
=−
=
ed otteniamo così il triedro fondamentale nella parametrizzazione intrinseca:
)(')(ˆ sst γτr
=
)('')(''
)(ˆss
snγ
γ
ττr
r
= (triedro fondamentale con parametro intrinseco s) (1.17)
)('')('')('
)(ˆ)(ˆ)(ˆs
sssnstsb
γ
γγ
τττ
r
rr×
=×=
Fig. 1.6: Triedro fondamentale nella parametrizzazione intrinseca.
)(sγ
)(ˆ st )(ˆ sb
)(ˆ sn
)(sP
curvatura e raggio di curvatura:
)('' sγτr
è nullo per le rette, mentre è 0≠ sulle circonferenze ecc.
)('' sγτ
r è definito come CURVATURA di γ in )(sγτ
r.
)(''1)(
ss
γτρ r= (1.18)
è il RAGGIO DI CURVATURA. Esempio del cerchio (sul piano x-y):
222 ryx =+ (z=0)
)cos(cosrsrrx == α , )sin(sin
rsrry == α , z=0 (dove rs α= è l’arco di circonferenza),
dunque: )0),sin(),cos((),,()(rsr
rsrzyxs ==γτ
r da cui:
)0),cos(),sin(()',','()(
)('rs
rszyx
dssd
s −=== γγ
ττ
rr e dunque:
)0),sin(1),cos(1()'','',''()('
)(''rs
rrs
rzyx
dssd
s −−=== γγ
ττ
rr
, da cui, ancora:
r
zyxs 1'''''')('' 222 =++=γτr (curvatura)!!
la torsione:
)('ˆ sb è // a )(ˆ sn ; infatti:
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)('')(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ))(ˆ)(ˆ()(ˆ sndsdstsn
dsdstsnssn
dsdstsnst
dsdsnst
dsdsb
dsd
×=×+×=×+×=×= γτr
Ora osserviamo che, essendo )(ˆ sn un versore (modulo 1 costante), )(ˆ sndsd non
rappresenta una variazione del modulo di )(ˆ sn , ossia lungo la sua estensione di vettore, ma, di conseguenza, è una variazione solo ortogonalmente allo stesso )(ˆ sn , dunque
possiamo dire che: )(ˆ sndsd ⊥ )(ˆ sn , e parlandosi di terna ortogonale, si ha anche che
(ovviamente) )](ˆ)(ˆ[ sndsdst × // )(ˆ sn e dunque viene ad essere proporzionale a )(ˆ sn :
)(ˆ)(
1)('ˆ sns
sbτ
−= ; (1.19)
)(1sτ
è la TORSIONE di γ in )(sγτr
.
Vi è ora un legame tra curvatura e torsione, espresso dalle seguenti: formule di Frénet:
dalle prime due delle (1.17) e dalla (1.18) si ha la seguente: )(ˆ)(
1)('ˆ sns
stρ
= . Poi, si ha la
(1.19):
)(ˆ)(
1)('ˆ sns
sbτ
−= . Inoltre, dall’ultima delle (1.17) scaturisce che: )(ˆ)(ˆ)(ˆ stsbsn ×= e quindi:
)(ˆ)(
1)(ˆ)(
1
)(ˆ)(
1)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(
1)('ˆ)(ˆ)(ˆ)('ˆ))(ˆ)(ˆ()(ˆ
sts
sbs
sns
sbstsns
stsbstsbstsbdsdsn
dsd
ρτ
ρτ
−=
=×+×−=×+×=×=
da cui le formule di Frénet:
)(ˆ)(
1)('ˆ sns
stρ
=
)(ˆ)(
1)('ˆ sns
sbτ
−= (formule di Frénet) (1.20)
)(ˆ)(
1)(ˆ)(
1)('ˆ sts
sbs
snρτ
−=
Curiosità: un corpo che si muove lungo una curva potrà ovviamente avere una accelerazione tangenziale at ed una accelerazione centrifuga ac che, dalla fisica, sappiamo essere v2 /r. Vediamo ora se le nostre equazioni e tutto il formalismo finora esposto confermano ciò. Si ha:
)(ˆ)()(
stdtds
dtds
dssd
dtsd
== γγ ττrr
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(
1)()(ˆ)(ˆ)()(ˆ)( 2
22
22
2
2
2
2
snvstaaaasnsdt
dsstdt
sdds
stddtdsst
dtsd
dtsd
tct ρρτ γ +=+==+=+=
rrrr
c.v.d.
Par. 1.3: Geometria differenziale dello spazio. prima forma fondamentale: abbiamo visto con la (1.4) che una superficie è rappresentabile come segue:
zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ
r , ossia: ),( vuΣΣ = ττ
rr ed in forma differenziale:
dvdudvdv
ddududd vu ττ
τττ
rrrr
r+=+= ΣΣ
Σ
Definiamo allora la 1^ forma fondamentale di ),( vuΣτr come segue:
2222 2)()(2)( GdvFdudvEdudvdudvduddI vvvuuu ++=⋅+⋅+⋅=⋅= ΣΣ ττττττττrrrrrrrr
con )( uuE ττ
rr⋅= , )( vuF ττ
rr⋅= , )( vvG ττ
rr⋅=
Se ora si effettua un cambio di parametri ( ),( vuτr >>>> ),(* φθτ
r), cambiano i coefficienti E,
F e G, ma I=I*:
=+++=+==⋅=2**2**2 )()(),(* dvdudvdudddddddI vuvu φφτθθτφτθττττφθ φθφθ
rrrrrrr
),()()( 22**2**** dvduIddvdudvdu vuvvuu ==+=+++= τττφτθτφτθτ φθφθrrrrrrr
lunghezza di un arco: Si abbia un arco ))(),(( tvtuττ
rr= ; (1.21)
qui compaiono ancora i due parametri u e v caratteristici delle superfici, ma avendo sottolineato la loro reciproca dipendenza da un sol parametro comune t, la (1.21) è allora anche l’espressione di una curva (su cui l’arco). Per la lunghezza s tra a e b, si ha allora, ovviamente:
=++=⋅== ∫∫∫ dtdtdv
dtdu
dtdv
dtdudt
dtd
dtddt
dtds
b
a vuvu
b
a
b
a
2/12/1 ]))([()( τττττττ rrrrrrr
dtdtdvG
dtdv
dtduF
dtduE
b
a
2/122 ])(2)([∫ ++= (1.22)
area A della superficie: Con la (1.11) vedemmo che dudvdddAA
vuvu
A∫∫∫−
×== ττrr
Ora, dal momento che vale la seguente identità vettoriale: 2222
bababarrrrrr
⋅−=× , si ha
allora: 22 FEGdd vu −=× ττrr
e dunque:
dudvFEGdudvdddAA
vuvuvu
A∫∫∫∫∫−−
−=×== 2ττrr (1.23)
-esempio 1: lunghezza di una circonferenza: abbiamo già visto con la (1.2) che la sfera (Fig. 1.1) si rappresenta con la seguente equazione:
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r
. Se ora consideriamo la circonferenza equatoriale massima (vedi Fig. 1.1), la stessa la si individua ponendo φ=90°, da cui:
)ˆ0.....(ˆ)sin(ˆ)cos( zyrxr ++= θθτr
ed ho una ))(),(())(),(( trttvtu θτττrrr
== , proprio come nella (1.21), da cui:
yrxr ˆ)cos(ˆ)sin( θθτθ +−=r
yxr ˆsinˆcos θθτ +−=
r ,
22222 cossin rrrE =+=⋅= θθττ θθ
rr, 0sincossincos =+−=⋅= θθθθττθ rrF r
rr,
1sincos 22 =+=⋅= θθττ rrG rr, e la (1.22) ci fornisce dunque (r=cost 0=→
dtdr ):
CrTT
rTrdtrdtdtdEdt
dtdE
dtdtdrG
dtdr
dtdF
dtdEdt
dtdvG
dtdv
dtduF
dtduEs
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
=======
=++=++=
∫∫∫
∫∫
ππ
ωωθθ
θθ
22])([
])(2)([])(2)([
2/12
2/1222/122
cioè proprio la circonferenza del cerchio!!! -esempio 2: superficie della sfera: consideriamo sempre la nostra sfera (Fig. 1.1), che per la (1.2) si rappresenta con la seguente equazione:
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r
, da cui: yrxr ˆ)sincos(ˆ)sinsin( ϕθϕθτθ +−=
r
zryrxr ˆ)sin(ˆ)cossin(ˆ)coscos( ϕϕθϕθτϕ −+=r
ϕττ θθ22 sinrE =⋅=
rr, 0=⋅= ϕθ ττ
rrF , 2rG =⋅= ϕϕ ττrr
e, per la (1.23), si ottiene:
220
22
2242
422cos2sin
sin0sin
rrrddr
ddrddrddFEGdAAA
ππϕπϕϕθ
ϕθϕϕθϕϕθ
π
ϕθ
ϕθϕθϕθ
=⋅=−==
==−=−==
∫∫
∫∫∫∫∫∫∫−−−
e cioè proprio la superficie della sfera che noi tutti conosciamo!!!
---------------------------- seconda forma fondamentale: riscriviamo qui la (1.10), che ci fornisce un vettore/versore N
r normale alla superficie:
vu
vuNττττrr
rrr
××
= ; si ha poi, ovviamente: 1=Nr
e NNdNNddrrrr
⋅=⋅== 2)()1(0 , da cui:
NNdrr
⊥ . (1.24) Se così è, allora Nd
rgiace sulla superficie, e dunque è esprimibile, a maggior ragione,
come segue (u,v):
dvNduNdvvNdu
uNNd vu
rrrr
r+=
∂∂
+∂∂
= (1.25)
Possiamo ora definire la seconda forma fondamentale II:
22
22
2)())((
NdvMdudvLdudvNdudvNNduNdvNduNdvduNddII vvuvvuuuvuvu
++=
=−+−−=++−=⋅−=rrrrrrrrrrrrrr
τττττττ
proprietà di II: visto che si ha che: Nvu
rrr⊥),( ττ , segue che uuuuuu NNN
rrrrrr⋅+⋅=⋅= τττ )(0 ,
vuuvvu NNNrrrrrr
⋅+⋅=⋅= τττ )(0 , uvvuuv NNNrrrrrr
⋅+⋅=⋅= τττ )(0 , vvvvvv NNNrrrrrr
⋅+⋅=⋅= τττ )(0 ,
quindi: uuuu NNrrrr
⋅−=⋅ ττ , vvvv NNrrrr
⋅−=⋅ ττ , vuuv NNrrrr
⋅−=⋅ ττ , uvvu NNrrrr
⋅−=⋅ ττ e allora:
NL uu
rr⋅= τ , NM uv
rr⋅= τ , NN vv
rr⋅= τ da cui:
NddvNdudvNduNNdvMdudvLduII vvuvuu
rrrrrrrr⋅=⋅+⋅+⋅=++= ττττ 22222 22
curvatura normale: Se si ha una superficie S contenente una curva C e se P è un punto su C, la (1.20-1) ci fornisce il vettore curvatura, mentre definiamo curvatura )('ˆ st n normale a C in P la
proiezione del vettore curvatura )('ˆ st sulla normale Nr
(ed Nr
è il versore )(ˆ sn della (1.10)):
NNstst n
rr))('ˆ()('ˆ ⋅= e la componente lungo N
r è: Nsttn
r⋅= )('ˆ .
Ora, visto che Nstr
⊥)(ˆ , si ha:
NdsdstNstNst
dsd rrr
⋅+⋅==⋅ )(ˆ)('ˆ0))(ˆ( , da cui: NdsdstNst
rr⋅−=⋅ )(ˆ)('ˆ e allora:
III
dsNdd
dsNd
dssd
NdsdstNsttn =
⋅−=−=⋅−=⋅= 2
)()(ˆ)('ˆ
rrrrrrγγ ττ
, in quanto il numeratore Nddrr
⋅γτ è
proprio la definizione di II, mentre 2ds lo si può valutate derivando la (1.22) e quadrando, e si ha proprio I. esempio: curvatura normale della sfera abbiamo già visto con la (1.2) che la sfera (Fig. 1.1) si rappresenta con la seguente equazione:
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r
da cui: yrxr ˆ)sincos(ˆ)sinsin( ϕθϕθτθ +−=
r
zryrxr ˆ)sin(ˆ)cossin(ˆ)coscos( ϕϕθϕθτϕ −+=r
yrxr ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕθϕθτθθ −−=r
yrxr ˆ)coscos(ˆ)cossin( ϕθϕθτθϕ +−=
r
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτϕϕ −−−=r
zryrxrN ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθ −−−=r
ϕττ θθ22 sinrE =⋅=
rr, 0=⋅= ϕθ ττ
rrF , 2rG =⋅= ϕϕ ττrr
, ϕτθθ2sinrNL =⋅=
rr, 0=⋅= NM
rrθϕτ
rNN =⋅=rr
ϕϕτ , da cui:
rGddFdEdNddMdLdtn
122
22
22
=++++
=ϕϕθθϕϕθθ !!!
curvature e direzioni principali: le due direzioni, perpendicolari tra loro, dove nt assume valori massimo e minimo, sono dette direzioni principali e le corrispondenti curvature normali t1 e t2 sono le curvature principali. Teorema: t0 è principale con direzione principale du0,dv0 se e solo se du0,dv0 e t0 soddisfano le condizioni:
0)()( 0000 =−+− dvFtMduEtL 0)()( 0000 =−+− dvGtNduFtM (1.26)
dimostrazione: tn è un estremante se (tn=II/I)
0),( 00
=dvdu
n
dudt e 0
),( 00
=dvdu
n
dvdt , cioè: 0
)0,0(
2 =⋅−⋅
dvduI
IIIIII dudu e:
0)0,0(
2 =⋅−⋅
dvduI
IIIIII dvdv . Ora, moltiplicando per I, si ha:
0)0,0(
=−dvdu
dudu IIIIII , e: 0
)0,0(
=−dvdu
dvdv IIIIII ma: 000 ),( tdvdu
III
= , dunque:
0
)0,0(0 =−
dvdududu ItII e 0
)0,0(0 =−
dvdudvdv ItII . Essendo ora:
MdvLduIIdu 22 += e FdvEduIdu 22 += e dunque:
0)()( 00000 =+−+ FdvEdutMdvLdu 0)()( 00000 =+−+ GdvFdutNdvMdu
e cioè l’asserto. Riscriviamo ora le (1.26) nel seguente modo:
0)()( =−+− dvtFMdutEL 0)()( =−+− dvtGNdutFM
e moltiplichiamo membro a membro:
0)()2()( 222 =−+−+−− MLNtFMGLENtFEG . (1.27) Le due soluzioni sono le curvature principali. curvatura di Gauss e curvatura media: dividendo la (1.27) precedente per )( 2FEG − , otteniamo: 022 =+− KHtt , con:
)(21
21 ttH += (curvature media) e 21ttK = (curvatura di Gauss). ( 2
2
FEGMLNH
−−
= )
equazioni di Gauss-Weingarten:
uτr
, vτr
, ed Nr
abbiamo visto che sono linearmente indipendenti (ortogonali) e dunque possiamo utilizzarli come base per scrivere le loro derivate:
Nbvuuu
rrrr11
211
111 +Γ+Γ= τττ
Nbvuuv
rrrr12
212
112 +Γ+Γ= τττ
Nbvuvv
rrrr22
222
122 +Γ+Γ= τττ (1.28)
NN vuu
rrrr1
21
11 γτβτβ ++=
NN vuv
rrrr2
22
12 γτβτβ ++=
Gauss
Weingarten
dove i kijΓ sono i simboli di Christoffel di 2^ specie.
Abbiamo visto con la (1.24) che: NNdrr
⊥ e la (1.25) ci dice che Ndr
è esprimibile in termini di vu NN
rr, , da cui discende che ),( vu NNN
rrr⊥ e, per le equazioni di Weingarten,
possiamo scrivere che: NNNNNN vuu
rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅= 1
21
110 γτβτβ
NNNNNN vuv
rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅= 2
22
120 γτβτβ
ma sappiamo anche che: 0=⋅=⋅ NN vu
rrrrττ e 1=⋅ NN
rr , da cui: 021 == γγ e quindi le
(1.28) si semplificano un po’, come segue:
Nbvuuu
rrrr11
211
111 +Γ+Γ= τττ
Nbvuuv
rrrr12
212
112 +Γ+Γ= τττ
Nbvuvv
rrrr22
222
122 +Γ+Γ= τττ (1.29)
vuuN τβτβrrr
21
11 +=
vuvN τβτβrrr
22
12 +=
Scriviamo le (1.29), più semplicemente, in forma TENSORIALE, più compendiosa:
Nbijijij
rrr+Γ= α
αττ (i,j=1,2) (1.30)
e ricordiamoci bene che, con la (1.30), si è appena iniziato a fare uso della CONVENZIONE DI EINSTEIN, secondo cui, se in un termine un indice è ripetuto, su esso è sottintesa la sommatoria su quell’indice. Infatti, nel termine α
ατr
ijΓ della (1.30), α è ripetuto e dunque
tale termine darà due valori, esattamente come succede nelle equazioni (1.29) di Gauss. Il TENSORE METRICO ijg :
rivediamo un attimo la nostra terminologia sin qui usata, usando forme un po’ più compendiose:
1uu = , 2uv = , ),( vuu ì = , ii u∂∂
=τ
τr
r, jiij uu ∂∂
∂=
ττ
rr
2
;
+++=⋅+⋅+⋅=⋅= 1221
2112
1111
2222
2121
1111 2 dudugdudugdudugdududududududdI ττττττττ
rrrrrrrr
kiik
ki
kiik dudugdudugdudug ==+ ∑
,
2222 , con: Eg =11 , Fgg == 2112 , Gg =22 e:
gFEGgggggggg
g =−=−=
= 2
222122112221
1211det (1.31)
Inoltre: 2
21
1 duNduNNdrrr
+= e:
=−−−−=⋅−= 2222
1212
2121
1111 duduNduduNduduNduduNNddII
rrrrrrrrrrτττττ
∑=+++=ki
kiik dudubdudubdudubdudubdudub
,
2222
1221
2112
1111
con: Lb =11 , Mbb == 2112 , Nb =22 e: bMLNbbbbbbbb
b =−=−=
= 2
222122112221
1211det .
Moltiplichiamo ora scalarmente le eq. di Gauss per kτr
si ha:
ijkkijkijkijkijkijkij gNb Γ=Γ=Γ=+Γ=⋅+Γ=⋅ αα
αα
αα
αα τττττττττ
rrrrrrrrrr0 ( 2,1,, =jiα )
Gauss
Weingarten
ijkΓ sono i simboli di Christoffel di 1^ specie.
Ricordiamo poi che: ji
ji gg δαα = (definizione di jgα ), con j
iδ che è la Delta di Kronecker, e
vale 0 se ji ≠ e 1 se ji = ; infatti: ji
ji
ji
ji
ji gg δττττττττττ α
αα
αα
α =⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 1rrrrrrrrrr, in
quanto iτr e jτ
r sono, per definizione, normali, se ji ≠ (definizione di jτr
).
Da ciò si ha allora: kij
kij
kij
kij ggg Γ=Γ=Γ=Γ α
αβαβ
αββ δ e dunque: α
α ijkijk g Γ=Γ e
αα
ijkk
ij g Γ=Γ . (1.32)
Si ha che: jkiikjkij
ug
Γ+Γ=∂∂
(1.33)
dimostrazione: si ha, per definizione di ijg , che: jiijg ττ
rr⋅= , da cui:
jkiikjjkijikkij
ug
Γ+Γ=⋅+⋅=∂∂
ττττrrrr
------------------
Si ha poi che: )(21
kij
jki
iik
ikj ug
ug
ug
∂∂
−∂∂
+∂∂
=Γ (1.34)
dimostrazione:
si ha, per la (1.33), che: kijjikiik
ug
Γ+Γ=∂∂ , ijkkjij
ki
ug
Γ+Γ=∂∂ e jkiikjk
ij
ug
Γ+Γ=∂∂
, (si tratta
sempre della (1.33), ma con indici ogni volta diversi, ma, del resto, gli indici hanno valore 1 e 2, indipendentemente dal loro nome), da cui l’asserto.
------------------ Segue che:
)(21
αααα
ug
ug
ug
g ijji
ijkk
ij ∂∂
−∂∂
+∂
∂=Γ (1.35)
e inoltre, moltiplicando la (1.32) αα
ijkk
ij g Γ=Γ in entrambi i membri per µαg (reciproco di αkg ) , dove appunto, per definizione di reciproco: kkgg µ
αµα δ= , si ha:
αµαα
µαµα δ ijk
ijkk
ij ggg Γ=Γ=Γ , ossia, rimuovendo in quest’ultima kµδ a condizione di porre
k=µ nel suo primo membro, si ha:
µµαα ijij g Γ=Γ e, grazie a quest’ultima, la (1.33) jkiikjk
ij
ug
Γ+Γ=∂∂
diventa:
µαµ
µµ kiikjjkiikjk
ij ggug
Γ+Γ=Γ+Γ=∂∂
(1.36)
------------------ Moltiplicando scalarmente per jτ
rle equazioni di Weingarten (1.29) α
ατβrr
iiN = , si ottiene:
jijijiij gNb αα
αα βττβτ =⋅=⋅=−
rrrr; ponendo ora: j
ij
i gbb αα= , si ha:
ji
ji
ji
ji
ji gggbb βδββ α
αγαγ
αγγ −=−=−== ; dunque α
ατrr
ii bN −= , con:
αα
ijj
i bgb = e αα ijij bgb =
i simboli (tensori) di Riemann di 1^ e 2^ specie:
kmijjmikmijk bbbbR −= (2^ specie, tensore di rango 4) (1.37)
ijkijk RgR ααρρ = (1^ specie, tensore di rango 4) (1.38)
mijkR è il tensore di curvature di Riemann covariante ρijkR è il tensore di curvature di Riemann misto
Ovviamente: ρρ
αααρ
ααρρ
kijjikkijjikijkijk bbbbbbbbgRgR −=−== )( (1.39)
Per la (1.37), si ha: mijkimjk RR −= , mijkmikj RR −= ; inoltre 0=mijkR se i primi due indici, o gli
ultimi due, coincidono, dunque, solo quattro componenti sono diverse da zero e sono: bMLNbbbbRR =−=−== 2
2112112221211212 e bMLNbbbbRR −=−−=−== )( 21122211221121221
Notiamo che: )(12122
2
GaussKg
Rgb
FEGMLN
===−− . (1.40)
------------------ Si ha che: α
ββα
ββααα
kijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( (1.41)
dimostrazione: Nbijijij
rrr+Γ= α
αττ >>>
++ΓΓ+Γ=++Γ+Γ==∂∂
)()()()( NbNbNbu kkijkijkijkijkijkijijkk
ij rrrrrrrrr
αββ
αα
αα
αα
αα τττττ
τ
NbbbbbbNb kijkijkijkijkijkijkij
rrrr])([])[()()( +Γ+−ΓΓ+Γ=−++ α
αα
ααβ
βαα
α ττ
dove si è usata la eq. di Weingarten αατrr
ii bN −= .
Analogamente: Nbbbb jikjikjikjikjikikj
rrr])([])[( +Γ+−ΓΓ+Γ= α
αα
ααβ
βα ττ
Ora, le derivate del terzo ordine sono indipendenti dall’ordine di derivazione se e solo se: ikjijk ττ
rr= , ossia:
0])()([])()[( =−Γ−+Γ++−ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=− Nbbbbbbbb jikjikkijkijjikkijjikkijjikkijikjijk
rrrrα
αα
αα
αααβ
βαβ
βαα τττ
e dato che 1τr
, 2τr
ed Nr
sono linearmente indipendenti, l’equazione precedente equivale a dire che:
0])()[( =+−ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ αααβ
βαβ
βααjikkijjikkijjikkij bbbb (1.42)
0])()([ =−Γ−+Γ jikjikkijkij bbbb αα
αα
La (1.42), mediante la (1.39), fornisce: αβ
βαβ
βαααkijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( , cioè l’asserto.
Capitolo 2: Le grandezze salienti della Teoria della Relatività Generale . Par. 2.1: Concetti introduttivi sulla Relatività Generale. Si rilegga innanzitutto l’Introduzione a pag. 2. Inoltre, sappiamo dalla TRR (in App. 1) che la contrazione di Lorentz avviene nella direzione del moto, dunque, se si ha un sistema in rotazione, o un punto che ruota, ad esempio, su un cerchio, ci si troverà a muoversi, in certe fasi lungo x, poi lungo x ed y, poi magari anche lungo z, dunque la contrazione di Lorentz non agisce sempre lungo una sola coordinata e, dunque, il cerchio percorso risulterebbe, agli occhi si un sistema di
riferimento in rotazione, dunque non inerziale, schiacciato, in qualche modo, dunque modificato geometricamente. Se, infatti, in un sistema inerziale I abbiamo:
222222 dzdydxdtcd −−−=τ , ( kiik ddd ξξητ −=2 ,vedere oltre) (2.1)
in un altro sistema I’ in accelerazione lungo x rispetto al primo, si avrà:
2
21' atxx +=
'yy =
'zz = 'tt = e: ''' dtatdxdx += 'dydy =
'dzdz =
'dtdt = da cui:
222222 '')''(' dzdyatdxdtcd −−+−=τ oppure (2.2)
22222222 ''''''2')'( dzdydxdtdxatdttacd −−−−−−=τ (2.3) Se poi abbiamo anche un altro sistema I’ col piano x-y in rotazione (a velocità angolare ω ) rispetto a quello del primo, avendosi il seguente sistema di trasformazione:
tytxx ωω sin'cos' −= tytxy ωω cos'sin' +=
Fig. 2.1: Due sistemi di riferimento, uno in rotazione rispetto all’altro. e ricordando che, banalmente, ad esempio, dtttd ⋅= ωωω cos)(sin ecc, si ha per 2τd :
222222222 ''''''2'''2)]''([ dzdydxdtdyxdtdxydtyxcd −−−−++−= ωωωτ (2.4) e si vede che in nessun caso ((2.2), (2.3), e (2.4), che sono del tipo νµ
µντ dxdxgd −=2 ;
vedere oltre) si può ridurre 2τd , tramite trasformazioni temporali, alla somma algebrica
x’
x
y y’
tωθ =
ω
dei quadrati dei differenziali delle quattro coordinate, come nella (2.1) e come sarebbe invece per un altro sistema di riferimento inerziale. Dunque, la presenza di accelerazioni rettilinee dei sistemi di riferimento (che possono annullare i campi gravitazionali) e anche centrifughe/centripete, ossia centrali, come per la gravità (ad esempio, in seguito a rotazioni), introducono termini misti che cambiano la metrica, e dunque la geometria dello spazio/spazio-tempo. Da qui l’esigenza di formulare una teoria relativistica per la gravitazione (TRG). Par. 2.2: Sul tensore metrico ed altre grandezze salienti. Quando abbiamo trattato le equazioni di Gauss-Weingarten, poco sopra, abbiamo visto che uτ
r, vτ
r , ed N
r sono linearmente indipendenti (ortogonali) e dunque sono un sistema
di riferimento anche loro, ma curvilineo, e locale, in quanto giacciono su un punto della superficie, e quando ci si muove su di essa, tale terna si sposta ed essi cambiano pure di direzione. Ecco dunque un valido esempio di sistema di riferimento curvilineo, nell’opinione di chi scrive, ovviamente. In tutte le equazioni presentate nel capitolo precedente sulla geometria, gli indici i, j, k ecc variavano da 1 a 2 o anche 3. Ora, addentrandoci un po’ più nell’ambito dell’Universo e, quindi della Relatività Generale, prendiamo innanzitutto atto del fatto che il nostro Universo appare tridimensionale, dunque, per gli indici, avremo una variabilità che giunge almeno fino a tre, e poi, visto che, come esposto anche in App. 1 sulla Relatività Ristretta, esiste un Universo matematicamente quadridimensionale (per la fisica ufficiale, esso è anche realmente quadridimensionale; per me invece no!), in cui si ha covarianza, dunque conservazione, nel passaggio da un sistema inerziale all’altro, allora, con Einstein, iniziamo una volta per tutte a considerare l’Universo in chiave quadridimensionale e basta; dunque, gli indici di tutte le equazioni geometriche presentate nel capitolo precedente, avranno d’ora in poi gli indici con una variabilità a quattro valori e la quarta componente è quella temporale (ct). Varrà poi la convenzione di Einstein, secondo cui se in un termine di un’equazione un indice compare due volte, allora è sottintesa la somma su esso. Riportiamo qui le principali, che ci serviranno:
ααττrr
ijij Γ= (Eq. di Gauss in forma più compendiosa; tutto in αijΓ ) (i,j=1,2,3,4) (2.5)
(questa ci dà anche la derivata del versore)
kiik dudugd −=2τ (i,j=1,2,3,4) (tensore metrico ikg /de-quadridistanza quadro 2τd ) (2.6)
)(21
αααα
ug
ug
ug
g ijji
ijkk
ij ∂∂
−∂∂
+∂
∂=Γ (i,j=1,2,3,4) (simbolo di Christoffel di 2^ specie) (2.7)
αβ
βαβ
βαααkijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( (i,j=1,2,3,4) (Tensore di curvatura di Riemann misto) (2.8)
Il tensore metrico ikg , nel caso ci si trovi in spazi euclidei, si riduce al tensore di Minkowski
ikη (vale 1 per i=k=1,2,3 e vale -1 per i=k=4; vale 0 per i diverso da k) e senza termini
misti, cioè con i,k diversi, ηik=0; infatti, si avrebbe ( ctzyxu i ,,,= ):
22222 )(ctzyxddd kiik +−−−=−= ξξητ , proprio come nella Relatività Ristretta (App. 1) e le
iξ denoterebbero il sistema euclideo di coordinate. Passando a sistemi curvi ( idξ >>>> idx ), si ha:
νµµν
νµνµ
ξξηξξητ dxdxgdxdx
xxddd
ki
ikki
ik −=∂∂
∂∂
−=−=2 , con (2.9)
νµµνξξ
ηxx
gki
ik ∂∂
∂∂
= (2.10)
che è l’equazione di passaggio da un sistema all’altro. In futuro riserveremo, per gli indici, tendenzialmente le lettere dell’alfabeto comune (i,j,k ecc) in caso di spazi euclidei ( ikη ) e le lettere dell’alfabeto greco ( νµ, ecc) per gli spazi curvi µνg , a forte gravità.
------------------ Abbiamo visto con le (1.1) e (1.2) che una sfera si può rappresentare tramite un’equazione che contenga le tre coordinate cartesiane classiche (x,y,z) oppure anche fissando un raggio e facendo variare due angoli ( ϕθ ,,r ):
2222 rzyx =++ (x,y,z) zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=Σ
r ( ϕθ ,,r )
Ora, nel caso in cui si effettui un cambiamento di sistema di coordinate (x,y,z) >>>> (x’,y’,z’) con il secondo magari traslato e ruotato rispetto al primo, ci saranno delle classiche equazioni di passaggio da un sistema all’altro, ma i due sistemi di coordinate avranno sempre la stessa rappresentazione grafica di assi che si estendono dall’origine all’infinito, in positivo come in negativo.
2222 ''' rzyx =++ (x’,y’,z’) Ciò, però, nell’ambito della geometria euclidea, o non curvilinea, se vogliamo. Fig. 2.2: Due diversi sistemi di riferimento “euclidei”. Se ora io suppongo di dover passare da un sistema come quello di Fig. 2.2 ad uno in cui lo spazio è, per qualche motivo, incurvato, magari dalla gravità della materia e dell’energia, come sostenuto in Relatività Generale, allora la geometria euclidea non mi è più sufficiente
x’
x
y y’
z
z’
e quella curvilinea, non euclidea “alla Riemann” mi è più di aiuto. Infatti, nell’opinione di chi scrive, nel passare da un sistema normale ad uno “curvo”, non si può più avere la rappresentazione di Fig. 2.2, ma il sistema curvo avrà un aspetto di terna di assi cartesiani rettilinei solo nell’infinitesimo (“d” = de), come in Fig. 2.3, in quanto, essendo lo stesso appunto curvo, appena mi allontano dall’origine “0”, l’asse si incurva e non ho più alcuna forma di linearità e di proporzionalità. Fig. 2.3: Caso di sistema di coordinate curvilinee. Avrò dunque un sistema di equazioni di passaggio da un sistema euclideo ( iξ ) ad uno curvilineo ( ix ), nell’ambito dell’infinitesimo, per quanto appena detto, e che sarà, in generale, di questo tipo:
),,,( 432111 xxxxξξ =
),,,( 432122 xxxxξξ = (2.11) ),,,( 432133 xxxxξξ =
),,,( 432144 xxxxξξ = e viceversa:
),,,( 432111 ξξξξxx =
),,,( 432122 ξξξξxx = (2.12) ),,,( 432133 ξξξξxx =
),,,( 432144 ξξξξxx = e per le equazioni di conversione delle espressioni per le superfici e per gli oggetti geometrici (τ
r ), si ha ovviamente ( ),,,(ˆˆˆˆ 43214321 ξξξξξξξξτ =+++= tkjir e ( ),,,( 4321
44
33
22
11 xxxxxxxx =+++= τττττ
rrrrr):
tx
kx
jx
ixx
ˆˆˆˆ1
4
1
3
1
2
1
1
11 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ξξξξτ
τr
r
tx
kx
jx
ixx
ˆˆˆˆ2
4
2
3
2
2
2
1
22 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ξξξξτ
τr
r
tx
kx
jx
ixx
ˆˆˆˆ3
4
3
3
3
2
3
1
33 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ξξξξτ
τr
r (2.13)
tx
kx
jx
ixx
ˆˆˆˆ4
4
4
3
4
2
4
1
44 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ξξξξτ
τr
r
e inoltre, ovviamente:
dx dy
dz dz’
dy’ dx’
0 0
44
13
3
12
2
11
1
11 dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξ
ξ
44
23
3
22
2
21
1
22 dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξ
ξ
44
33
3
32
2
31
1
33 dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξ
ξ (2.14)
44
43
3
42
2
41
1
44 dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξ
ξ
e allora: ===+++= ),,,(),,,(ˆˆˆˆ 432143214321 dxdxdxdxddddtdkdjdidd ξξξξξξξξτ
r
τττττττrrrrrrr ddxdxdxdxdxd i
i ==+++== 44
33
22
11 (2.15)
e dunque ( 4321 ,,, dxdxdxdx ) sono le componenti di τr nella base curvilinea ( 4321 ,,, ττττ
rrrr).
Esiste ora una quaterna reciproca ( 4321 ,,, ττττrrrr
) tale che, per definizione: j
ij
i δττ =⋅rr
. Riprendendo ora un attimo la (2.15), dove è palesemente utilizzata la convenzione di Einstein, si ha: i
idxd ττrr
= Se ora vogliamo effettuare un cambiamento di base curvilinea, con coordinate da idx a
ldx' , scriveremo ovviamente che: ll
ii dxdx '' ττ
rr= e, moltiplicando entrambi i membri per
iτr
, si ha: il
li dxdx ττrr
⋅= '' , ma è anche vero che (come per le (2.14)): ll
ii dx
xxdx ''∂
∂= ; segue
che: ill
i
xx
ττrr
⋅=∂∂ '
', ossia:
l
i
il xx'
'∂∂
= ττrr
(2.16)
e la (2.16) è l’equazione per il cambiamento di base. Legge di trasformazione delle componenti di un 4-vettore: sia i
iVV τrr
= un generico vettore espresso con le coordinate curvilinee nella base iτr
; nella
base l'τr si avrà invece: l
lVV '' τrr
= e, per la (2.16):
ii
il
il
ll V
xxVVV τττ
rrrr=
∂∂
=='
''' , con:
l
ili
xxVV'
'∂∂
= (2.17)
che è la equazione di trasformazione delle componenti di un 4-vettore per cambiamento di
base. Banalmente, la sua inversa è: l
ili
xxVV
∂∂
=''
------------------
Legge di trasformazione delle componenti di un 4-tensore: nell’App. 1 sulla Relatività Ristretta abbiamo ricordato che si ottiene un tensore T di rango n quando moltiplico tra loro le componenti di n vettori. Si abbiano dunque due vettori V ed S: (dove stiamo contemporaneamente ricordando come si trasformano le loro componenti)
ν
µνµ
xxVV
∂∂
='' e σ
λσλ
xxSS
∂∂
='' >>>>
µλσ
λ
ν
µνσ
σ
λ
ν
µσν
σ
λσ
ν
µνλµµλ '''''''''' T
xx
xxT
xx
xxSV
xxS
xxVSVT =
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
== ed ecco come si
trasformano le componenti di un tensore di rango 2. Si procede poi similmente per tensori di rango superiore. derivazione di un 4-vettore: si abbia un 4-vettore: µ
µτrr
VV = ; deriviamolo:
νσσ
µµ
µ
µ
ττ
dxdV
dxdV
dxVd r
rr
+= , (2.18)
gli indici cambiano da un termine all’altro, perchè essi variano su quattro valori e non devono necessariamente essere contemporaneamente gli stessi nei vari termini. Moltiplichiamo ora il secondo membro della (2.18) per la quantità unitaria µ
µ ττrr
⋅
µµ
νσσ
µ
µ
µ τττ rrrr
][dxdV
dxdV
dxVd
+= ; bene, la quantità tra le quadre è la derivate covariante ed è
un tensore, per quanto finora detto: µ
νσσ
µ
µµ
νσσ
µ
µµν τ
τΓ+=+= V
dxdV
dxdV
dxdVV r
r
; (derivata covariante) (2.19)
con i µ
νσΓ detti Simboli di Christoffel (connessione affine) e già introdotti con la (1.30). Inoltre, per il sistema (2.13), potremmo scrivere, più in forma vettoriale compendiosa, che
µ
α
αα
µξ
ητx∂
∂= ∑ )(r , da cui una forma duale per la quaterna reciproca µτ
r (tale che, per def.
di reciprocità: νµν
µ δττ =rr
): α
µ
µµ
µ
ξητ
∂∂
= ∑ x)(r e dunque il coefficiente µνσΓ nella (2.19)
possiamo anche esprimerlo nel seguente modo:
α
µ
νσ
α
µαα
µ
µσ
α
ανµ
νσµ
νσ ξξ
ηηξ
ηξ
ηττ
∂∂
∂∂∂
=∂∂
∂∂
==Γx
xxx
xdxd
dxd 2
)(rr
, che, inserito nella (2.19), può essere
anche scritto in modo più semplice, senza i coefficienti unitari η:
α
µ
νσ
αµ
νσ ξξ
∂∂
∂∂∂
=Γx
xx
2
(2.20)
Poi, già nell’App. 1 sulla Relatività Ristretta, abbiamo ricordato che una tale derivata (di un vettore) dà un tensore. Si vede poi che tale derivata è un tensore (di rango 2) già solo per il fatto che gli addendi che la compongono contengono due indici, appunto come un tensore 2. Inoltre, la (1.30) del capitolo precedente sulla Geometria è un esempio di derivata di un vettore (versore) che appare appunto come tensore 2.
derivazione di un tensore:
si ha che: µσλρ
µσλ
σρν
νσλ
µρν
µσλρ
µσρλ k
k TTTTx
T Γ−Γ+Γ+∂∂
=; (2.21)
infatti ( µσλT sono solo le componenti, senza “versori” e inoltre 1== µ
µµ
µ δττrr
):
T(tensore)= λσµ
µσλ τττ
rrrT , da cui:
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂ )()()()())(()( σ
σλ
µνρµν
λµ
µλ
σνρνσλ
λσµ
µσλρ
λσµ
µσλρ ττττττττττττττττ
rrrrrrrrrrrrrrrr
xT
xTT
xT
x
µσρλ
µσλρ
µσλ
σρν
νσλ
µρν
µσλρ
λλσµρ
µσ τττττ ;)()( TTTTTxx
T kkk
k =Γ−Γ+Γ+∂∂
=∂∂
−rrrrr cvd.
(in quanto : νµ
ν
µµ
νµ
ν
τττ
τδττ
xxxxk
kkk ∂∂
+∂∂
==∂∂
=∂∂
rrr
rrr 0 , da cui: ν
µν
µ τττ
τxx
kk ∂
∂−=
∂∂
rrr
r )
Par. 2.3: Sulla Trasformazione di Lorentz in Relatività Generale. Riprendiamo un attimo la (2.9), dove sappiamo dall’App. 1 sulla Relatività Ristretta che
2τd è Lorentz invariante: δγ
γδδγ
δ
β
γ
α
αββα
αβ ηηητ dxdxdxdxxx
xxdxdxd −=
∂∂
∂∂
−=−=''''2 , con:
δ
β
γ
α
αβγδ ηηxx
xx
∂∂
∂∂
='' (2.22)
Differenziamo ora la (2.22) rispetto ad εx :
εδ
β
γ
α
αβδ
β
εγ
α
αβ ηηxx
xxx
xx
xxx
∂∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂
=''''0
22
; ora, sommiamo a quest’ultima la stessa con γ ed ε
scambiati e poi sottraiamo sempre la stessa con ε e δ scambiati, ottenendo:
δ
β
εγ
α
αβηxx
xxx
∂∂
∂∂∂
=''20
2
>>>>> 0'2
=∂∂
∂εγ
α
xxx , la cui soluzione è:
αβαβ
α axx +Λ=' (Trasformazioni di Lorentz) (2.23)
Questa, unitamente alla (2.22), fornisce: βδ
αγαβδ
β
γ
α
αβγδ ηηη ΛΛ=∂∂
∂∂
=xx
xx '' .
Inoltre, la (2.23) in forma differenziale è: γαγ
α dxdx Λ=' . (2.24)
Valutiamo ora gli elementi della matrice di Lorentz (o del tensore di Lorentz) αβΛ :
Dalle Trasformazioni di Lorentz (A1.8) in App. 1, abbiamo che (// e ⊥ si riferiscono alla direzione di moto):
)(' //// tVxxrrr
−= γ , ⊥⊥ = xx rr' , )(' 2cxVttrr
⋅−= γ ; inoltre, ovviamente, si ha che:
2// )(VVVxxr
rrr⋅= e //xxx rrr
−=⊥ , sicchè:
tVVVVxxx
rr
rrrrγγ −⋅−+= 2))(1(' e (2.25)
)(' 2cxVttrr
⋅−= γ
mentre per la (2.24), si ha: ββ dxdx ii Λ=' , da cui, lasciando l’alfabeto comune (i,j ecc) per le
tre componenti spaziali, 0 come quarto coefficiente temporale e quello greco per tutto:
00' dxdxdx iji
ji Λ+Λ= (per la (2.24)) (2.26)
02
1))(1(' dxVcV
VVxddxdx ii
ii γγ +⋅−+=rr (per le (2.25)) (2.27)
(qui l’ultimo termine ha segno + e non – perché cdtdx −=0 ) Dal confronto tra le (2.26) e (2.27), si ha:
ii Vc1
0 γ+=Λ e jii
jij VV
V 2)1( −
+=Λγ
δ , e facendo nostra la normalizzazione c=1, per
emplificare un po’ le espressioni:
ii Vγ+=Λ0 e jii
jij VV
V 2)1( −
+=Λγ
δ (Tensore di Lorentz)
dove il prodotto Vxd
rr⋅ della (2.27) ha reso solo la componente j
jVdx nella (2.26), in
quanto nella (2.26) compariva solo jdx . Se la T. di Lorentz diretta è data dalla (2.24): γα
γα dxdx Λ=' quella inversa, evidentemente, la
indichiamo così: αλα
γ '' dxdx Λ= . Allora, come del resto vedemmo anche in App. 1 sulla Relarività Ristretta, non solo le componenti spaziali (x) e temporali (ct) si possono trasformare con Lorentz, ma anche i quadrivettori ed i quadritensori lo fanno:
βαβ
α VV Λ=' δ
εξξβ
εα
γδ
γαβ TT ΛΛΛ=' (ricordando che le componenti di un tensore si ottengono moltiplicando
quelle dei vettori) Par. 2.4: Il 4-vettore Momento-Energia ed il Tensore Momento-Energia. premessa sulla Delta di Dirac: per definizione, la Delta di Dirac deve soddisfare la seguente equazione:
xdyxxfyf 33 )()()( ∫ −=rrrr
δ
Praticamente, messa nell’integrale (che, ricordiamolo, è una sommatoria anch’esso), fornisce sempre la funzione integranda f, ma di altra variabile. Si veda un qualche buon testo sulla trasformata di Fourier per avere utili versioni della Delta di Dirac. premessa su correnti e densità (di materia/energia): se in vari punti )(txn
r ho energia (e dunque anche materia) con densità volumica ]/[ 3mJen , per avere quella totale dovrò ovviamente sommare su n:
∑ −=n
nn txxetx ))((),( 3 rrrδε ,
dove la Delta di Dirac mi garantisce il giusto valore di ne nella sommatoria per ogni posizione )(txn
r.
Per quanto riguarda invece la corrispondente densità di corrente di materia/energia ),( txJ rr, si ha ovviamente:
dttxdtxxetxJ n
nnn
)())((),( 3r
rrrr∑ −= δ
infatti, ]/[ 3mJen moltiplicato per ]/[)( smdt
txd nr
ci dà proprio una corrente di joule al metro
quadro.
In componenti: dt
tdxtxxexJ n
nnn
)())(()( 3α
α δ∑ −=rr
e, ovviamente: ε=0J e cttxn =)(0 .
Ora, la sommatoria è sui punti n; per avere il totale, bisogna integrare anche sul tempo:
')'())'((')())'((')( 4
dttdxtxxedtxJtxxdtxJ n
nnnn
ααα δδ ∑∫∫ −=−= ; moltiplicando ora numeratore e
denominatore per c, visto che il “de” tempo proprio è 'cdtd =τ , avremo:
ττ
τδτα
α
ddxxxedxJ n
nnn
)())(()( 4∑∫ −=
)(xJ α è un 4-vettore, perchè tale è ττα
ddxn )(
.
Inoltre, =−∂∂
−=−∂∂
=⋅∇ ∑∑ dttdxtxx
xe
dttdxtxx
xetxJ
in
nni
nn
in
nnin
)())(()())((),( 33 rrrrrrrδδ
),())((3 txt
txxt
en
nnrrr
εδ∂∂
−=−∂∂
−= ∑ . Portando ora ),( txt
rε
∂∂
− insieme con ),( txJ rrr⋅∇ , avremo
la quadridivergenza (vedi anche App.1):
0)( =∂∂ xJx
αα (è evidente l’invarianza su Lorentz). (2.28)
Inoltre, ),()()( 303 txxdxJxdenergmatQ rε∫∫ ⋅==−
------------------ il 4-vettore momento-energia: Già è stato trattato, tale vettore, nell’ambito della Relatività Ristretta (App. 1).
Ovviamente,τ
αα
ddxmp 0= ;poi α
αα
ττf
dxdm
ddp
== 2
2
0 e
γτ dtdtcVxddtcd =−=−= 2/1222/1222 )1()(rr
da cui, per la componente tridimensionale e per quella temporale:
Vmprr
γ0= e cmcEp γ000 == e quindi: (2.29)
τ
ββ
ddxcEp )( 2
0= . (2.30)
Ovviamente, per Lorentz: βαβ
α pp Λ=' .
(*): In realtà considereremo la massa m come massa riferita unità di volume [kg/m3]
il TENSORE momento-energia:
∑ −=n
nn txxtptxT ))(()(),( 30 rrrδαα (“0” è la componente temporale) (2.31)
∑ −=n
n
in
ni txx
dttdxtptxT ))(()()(),( 3 rrr
δαα (“i” fa invece riferimento alle tre componenti spaziali)
e, nell’insieme, in modo più compendioso:
∑ −=n
nn
n txxdt
tdxtpxT ))(()()()( 3 rrδ
βααβ ( cttxn =)(0 ) (2.32)
La prima è effettivamente un momento (p) e la seconda è effettivamente un’energia (p x v). Come in precedenza, si è sommato sulle particelle n. (Sommando poi anche sul tempo, si avrebbe, anche qui dopo aver moltiplicato numeratore
e denominatore per c: ∑∫ −=n
nn
n xxddxpdT ))((4 τδ
ττ
βααβ )
Ora, la (2.32), tramite la (2.30), diventa:
∑ −=n
nn
nn txxcE
ppxT ))(()/(
)( 32
rrδ
βααβ
Si nota la simmetria )()( xTxT βααβ = ; inoltre, )(xT αβ è un tensore e, come tale, per Lorentz, si trasforma come segue:
γδβδ
αγ
αβ TT ΛΛ=' . (2.33)
Inoltre, proprio come fatto in precedenza per giungere alla (2.28), tramite la quadri divergenza, si ha:
=−∂∂
−=−∂∂
=∂∂ ∑∑
nni
n
in
nn
ni
in
ni
i txxxdt
tdxtptxxxdt
tdxtptxTx
))(()()())(()()(),( 33 rrrrrδδ ααα
∑∑ −+∂∂
−=−∂∂
−=n
nn
nnn txx
dttdptxT
ttxx
ttp ))(()(),())(()( 303 rrrrr
δδα
αα
in quanto ),(0 txTt
rα
∂∂ nell’ultima riga si compone appunto, per la regola della derivazione di
un prodotto, dei due termini che ha a destra ed a sinistra.
Dunque, ),())(()( 30 txGtxxdt
tdpTx
Tt
Tx n
nni
i
rrr αα
αββ
αα δ =−=∂∂
=∂∂
+∂∂ ∑ , ossia:
ααββ GT
x=
∂∂ , con:
∑∑∑ −=−=−=n
nnn
nn
nn
n txxtfdtdtxx
ddp
dtdtxx
dttdptxG ))(()())(()())(()(),( 333 rrrrrrr
δτ
δτττ
δ ααα
α
dove τ
αα
ddpf n
n = è ovviamente una forza.
Se le particelle sono libere, allora constpn =α e dunque >>>> 0=∂∂ αβ
β Tx
!!!
Par. 2.5: Idrodinamica relativistica. E’ ora molto importante dare una forma al tensore momento-energia αβT , in quanto vedremo che, nel limite newtoniano della gravitazione relativistica, una sua componente compare )( 00T , suggerendoci così di coinvolgere, quando si esce dalla situazione limite, appunto tutto αβT . Per semplicità, considereremo ora c=1 (normalizzazione). Vediamo ora che βααβαβ ρη UUppT )( ++= e, per campi di intensità qualsiasi:
νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (c=1) (2.34) dimostrazione: denotiamo co simbolo ~ le grandezze che si riferiscono ad un sistema in quiete; inoltre, dalla (2.32) si evince che, a secondo membro, vi è un prodotto di una quantità di moto [(kg/m3)(m/s)] per una velocità [(m/s)] (ricordare l’osservazione (*) a pag. 26) e dunque: massa x velocità x velocità (=J) fratto m3, cioè una pressione p. (2.35) Quando poi la quantità dx/dt=d(ct)/dt=c è quella corrispondente all’indice zero, come per la (2.31), allora si avrà a secondo membro il prodotto p0 (mc, vedi la (2.29)) per c, ma per l’osservazione (*) di pag. 26, m è una ρ e dunque si ha un ρc2. Riassumendo:
ijij pT δ=~ ][Pa , 0~~ 00 == ii TT , ρ=00~T , ossia ( 2cρ con c=1 ][Pa ) (2.36) Essendo ora T un tensore, trasformiamolo secondo Lorentz, in accordo con la (2.33), per ottenere i suoi valori per un sistema generico, ossia non in quiete:
γδβδ
αγ
αβ TT ~ΛΛ= ; si otterrà: (
222 11
)(11
VcV −=
−=γ , con c=1)
jiijij VVppT 2)( γρδ ++=
ii VpT 20 )( γρ+=
)( 2200 ργ += pVT infatti, tenendo conto che, per il Tensore di Lorentz, si ha:
γ=Λ00 , ii Vγ=Λ0 ( iV
c1
γ con c=1), ii Vγ=Λ0 ( iVc1
γ con c=1), jii
jij VV
V 2)1( −
+=Λγ
δ , segue che:
)(])([)~(~~ 22222000000
00
0000 pVpVTTTTi
i
i
iiii +=+=ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ∑∑ ργγργγδ
δγ
=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+=ΛΛ+=ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ∑ )()(~~~ 000202000000
00l
ilk
iki
ii
i
jj
ij
ijjj
ij
iii pVpVTTTT ργργγδδγ
(k,l ≠ 0,i e j può valere i, oppure k,l)
+−
+−
++= kkiiii VV
VVVV
VpV γγ
γγ
ργ ))1())1()(1[( 2222
=−
+−
+−
++=−
+ )])1()())1()())1()([]))1(2
22
22
222 V
VVV
VVV
VVVpVVV
VV likiiiiilli γγ
γγ
γγγργγ
γ
)(
)1(])()()[()1(
2
22222
2
ργ
γγγργγ
γγργ
+=
=−++=++−
++=
pV
VpVpVVVVV
VpVpV
i
iiilkiiii
Invece, per il calcolo di ijT , separiamo i due casi: (i=j e i ≠ j)
+−
++=≠=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= pV
VVilkTTTTTT iillil
il
kkik
ik
iiii
ii
iiiiii 22
2220000 ])1()(1[)(),(~~~~~ γ
ργγδδγ
+++−
++=−
+−
+ ])()()[()1()()(])1([])1([ 2224
22222
22
2lkiiiliki VVV
VVppVp
VVVp
VVV γ
ργγγ
++=−
+−
++=−
+ ργγγ
ργγ 22
22
2
2222
22 )()1()(2)1()()()1()(2 iiiii Vp
VVp
VVppV
VVp
=++=−++=+−−
+ 222222
222
22 )()()1()()()21()1()( γργγργγ
γ iii
ii VpVpVVpVp
VVp
)()( 22 ργ ++= pVp i . (poichè 22
2
2
2 )1(γ
γγ==
−cV
se c=1)
Nel caso invece di i ≠ j: +=≠=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ργγδ
δγjikkj
kik
jjjj
ij
iiji
ii
jijiij VVjikTTTTTT 20000 ),(~~~~~
+−
+−
+−−
++ ])1()(1][)1([])1(][)1()(1[ 22
2222
VV
VVVp
VVV
VVp jjijii γγγγ
+−
+−
+=−
+−
+ == 4
22
22
2)0(2)0()1()()1(])1(][)1([
VVVVp
VVpVVV
VVV
VVVp jiijijikjjkkiik γγ
ργγ
δγ
δ
+−
+=−
+−
+−
+ 22
4
22
4
22
2)1(2)1()()1()()1(
VVpVVV
VVVVp
VVVVp
VVpV jijijikjijji γ
ργγγγ
=−
+−
+=++−
+ 2
2
22222
4
2 )1()1(2])()()[()1(V
VpVV
VpVVVVVVV
VpV jijijikjiji γγργ
γ
)()12()1( 22
2 ργγγ
ργ +=−+−
+= pVVV
VpVVV jijiji (poichè 22
2
2
2 )1(γ
γγ==
−cV
se c=1).
In totale:
2)( γρδ jiijij VVppT ++= (per le componenti spaziali) βααβαβ ρη UUppT )( ++= (per tutte e 4 le componenti, ma in campi deboli ( αβη ))
dove ìii
i Vdtdx
ddxU γγ
τ=== e cU γ=0 .
Per ultimo, per campi gravitazionali qualsiasi ( αβη >>>> αβg ): νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (c=1) cvd.
Par. 2.6: L’Equazione della geodetica. Un paracadutista in caduta libera non ha un pavimento su cui il suo corpo può gravare, dunque lui, tra sé e sé, non avverte accelerazione di gravità, e si sente come sospeso nel vuoto e si accorge che sta cadendo solo se guarda gli altri oggetti attorno che si muovono. Per una particella in caduta libera, dunque, vi è ovviamente un sistema di riferimento in cui 0=ar , ossia:
02
2
=∂∂
τξ α
(caduta libera in coordinate euclidee) (2.37)
con kiik ddd ξξητ −=2 .
Possiamo però vedere la (2.37) nel seguente modo:
ττξ
τξ
τξ
ττξ νµ
νµ
αµ
µ
αµ
µ
αα
ddx
ddx
xxdxd
xddx
xdd
∂∂∂
+∂∂
=∂∂
==∂∂ 2
2
2
2
2
)(0
Moltiplichiamo ora entrambi i membri per α
λ
ξ∂∂x e teniamo conto del fatto che:
λµα
λ
µ
α
δξ
ξ=
∂∂
∂∂ x
x si avrà:
02
2
=Γ+τττ
νµλµν
λ
ddx
ddx
dxd (caduta libera in coordinate curvilinee) (2.38)
(equazione della geodetica, dove geodetica, qui sulla Terra, è la rotta minima tra una località e l’altra)
con α
λ
νµ
αλµν ξ
ξ∂∂
∂∂∂
=Γx
xx
2
.
Par. 2.7: La relazione tra µνg e λ
µνΓ .
Già ricavammo tale relazione in un contesto tutto geometrico (vedere la (1.35)). Ricaviamo ora la stessa relazione partendo da un calcolo diretto:
Sappiamo già che: ν
β
µ
α
αβµνξξ
ηxx
g∂∂
∂∂
= ; applichiamo ora a quest’ultima λx∂∂ :
αβνλ
β
µ
α
αβν
β
µλ
α
λµν η
ξξη
ξξxxxxxxx
g∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂∂
=∂∂ 22
; ricordando ora che λ
αλµννµ
α ξξxxx ∂
∂Γ=
∂∂∂2
segue che:
ρµρ
λνρνρ
λµαβρ
α
µ
αρλναβν
β
ρ
αρλµλ
µν ηξξ
ηξξ gg
xxxxxg
Γ+Γ=∂∂
∂∂
Γ+∂∂
∂∂
Γ=∂∂
(2.39)
Similmente, si calcolano poi µλν
xg
∂∂ e ν
µλ
xg
∂∂
, da cui:
kkg
xg
xg
xg
λµννµλ
µλν
λµν Γ=
∂∂
−∂∂
+∂∂
2 ; definendo ora una matrice (o tensore) reciproco νσg tale che:
σν
νσ δkkgg = , si avrà, dunque:
)(21
νµλ
µλν
λµννσσ
λµ xg
xg
xg
g∂∂
−∂∂
+∂∂
=Γ , (2.40)
esattamente ciò che ottenemmo in ambito puramente geometrico appunto nel Capitolo 1. Par. 2.8: Il limite Newtoniano. Sappiamo che nel limite newtoniano (V<<c): 2222222222 dtcdtVdtcxddtcd ≅−=−=
rrτ
Ciò equivale a dire che cdtctddtdxddxddxdtdxV iiì ==∝<<∝= /)(//// 00 ττ , ossia appunto: ττ ddxddxi // 0<< .
Con ciò, la (2.38) diviene: 0)( 2002
2
=Γ+ττ
µµ
ddt
dxd (con la convenzione c=1); inoltre, essendo,
in tale limite, il campo stazionario, µνg tende a µνη (cost) e allora le derivate temporali di
µνg sono nulle e allora, per la (2.40):
νµνµ
xgg
∂∂
−=Γ 0000 2
1 e αβαβαβ η hg += , con 1<<αβh e quindi: βαβα η
xh
∂∂
−=Γ 0000 2
1 e:
0)(21
002
2
2
=∇= hddt
dxd
ττ
r da cui:
021
002
2
=∇= hdt
xd r e (2.41)
02
2
=τd
td da cui: Cddt
=τ
.
Ora, sappiamo dalla gravitazione di Newton che: rr
mMGam ˆ2−=r , da cui: r
rGMa ˆ2−=
r , ma:
φ∇=−∇= )(ˆ2 rGMr
rGM (con
rGM
−=φ ) e quindi: φ−∇== 2
2
dtxdar
re da quest’ultima con la
(2.41), emerge che: consth +−= φ200 ; visto che all’infinito 000 == φh , allora const=0 e:
)21(21000000 φφη +−=−−=+= hg (2.42) equazione di Poisson: definiamo ora, con ovvietà, il flusso del vettore accelerazione ar :
)(arΦ ; si ha: Ω−=−=−=⋅−=⋅=Φ GMdr
dSGMdSr
GMdSurr
GMSdaad n222 cosˆˆ)( θ
rrr, da cui:
GMdGMSdaaS
π4)( −=Ω−=⋅=Φ ∫∫rrr
, ma: dVzyxMV∫= ),,(ρ , da cui:
dVaDivofTheoremforSdadVzyxGa
VSV ∫∫∫ ⋅∇==⋅=−=Φrrrrr .___),,(4)( ρπ , e cioè:
),,(4 zyxGa ρπ−=⋅∇rr
Adesso, visto che si ha dall’analisi matematica che 2
ˆ)1(
rr
r−=∇
r, allora: ar−=∇φ e quindi:
ρπφφ G42 =∇=∆ (Equazione di Poisson) (2.43) Par. 2.9: Il Tensore di Curvatura di Riemann-Christoffel.
Al paragrafo 2.7 abbiamo dimostrato che )(21
νµλ
µλν
λµννσσ
λµ xg
xg
xg
g∂∂
−∂∂
+∂∂
=Γ , e cioè
esattamente ciò che ottenemmo al Cap. 1 , con la (1.35), in chiave puramente geometrica. Ora, sarebbe possibile, sebbene in forma un po’ ampollosa, esplicitare la forma del tensore di curvatura di Riemamm-Christoffel tramite calcoli diretti, puramente matematici, proprio in analogia col Par. 2.7, ma si ottiene appunto quanto ottenuto al Cap. 1 con la (1.41), che qui riportiamo, ottenuta in chiave più prettamente geometrica e dove useremo lettere greche per gli indici, per denotare che parliamo qui di campi gravitazionali di intensità qualsiasi e ricordando altresì che qui tali indici sono a quattro valori (spazio-tempo), tre spaziali ed uno temporale:
λνη
ηµ
λη
ηµνν
λµ
λµνλ
νηηµ
λη
ηµνν
λµ
λµν
λµν ΓΓ−ΓΓ+
∂Γ∂
−∂Γ∂
=ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= kkk
kkkkkk xxR )()( (2.43)
e anche kk RgR λµνλσσ
µν = da cui pure: σµνλσλµν kk RgR = e ricordando l’espressione (2.40) per
cabΓ :
+∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
== )]([21)]([
21
ρµ
µρρµσρ
νλσρµν
µρν
νρµσρ
λσσµνλσλµν x
gxg
xg
gx
gxg
xg
xg
gx
gRgR kkkkkk
][ σνη
ηµ
ση
ηµνλσ ΓΓ−ΓΓ+ kkg (2.44)
Ora, sappiamo che ρλ
σρλσ δ=gg , da cui: 0)( =
∂∂ σρ
λσ ggxk e dunque, tenendo anche conto
della (2.39), ossia della seguente: µαµ
µµ kiikjk
ij ggug
Γ+Γ=∂∂
si ha:
)( ηλησησ
ηλ
σρλσ
σρσρλσ gggg
xgg
xg kkkk Γ+Γ−=
∂∂
−=∂∂ (2.45)
dove è stato ovviamente effettuato un piccolo aggiustamento degli indici, che, ricordiamolo, hanno una valenza di genericità, ossia, poco importa se uso j o k; è importante che essi varino su quattro valori, come ormai sappiamo, e che la loro ripetizione sia coerente. Ritornando alla (2.44), la stessa diventa, grazie alla (2.45):
+ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ−∂∂
∂+
∂∂∂
−∂∂
∂−
∂∂∂
= σµηλ
ηνσησ
ηνλ
σµνηλ
ησησ
ηλλν
µµν
λλ
µνµ
λνλµν kkk
kkkkk gggg
xxg
xxg
xxg
xxgR ][][)][
21 2222
][ σ
νηηµ
ση
ηµνλσ ΓΓ−ΓΓ+ kkg e cioè:
][)][21 2222
σµν
ηλ
σµ
ηνλησλν
µµν
λλ
µνµ
λνλµν ΓΓ−ΓΓ+
∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂∂
−∂∂
∂= kk
kkkkk g
xxg
xxg
xxg
xxgR (2.46)
Come, del resto, abbiamo fatto anche alla fine del Par. 1.3, deduciamo tre proprietà del tensore kRλµν , che sono di verifica diretta:
-Simmetria λµνλµν kk RR =
-Antisimmetria νµλνλµµλνλµν kkkk RRRR =−=−=
-Ciclicità 0=++ µλνµνλλµν kkk RRR
Il tensore di Ricci:
kk RgR λµνλν
µ = ( µµ kk RR = ) (2.47)
e si verifica direttamente che: νµλλν
νλµλν
µλνλν
µ kkkk RgRgRgR +=−=−=
E’ poi palese la parentela strettissima di tale tensore con la curvatura di Gauss (vedi la (1.40), bidimensionale), da cui appunto il nome di tensore di curvatura. L’Identità di Bianchi: ponendoci in un sistema di coordinate localmente inerziale (campo gravitazionale non forte) i vari c
abΓ sono nulli; infatti, la differenza tra l’equazione della geodetica in uno spazio euclideo (2.37) e quella di uno spazio fortemente incurvato dalla gravità, ossia la (2.38),
sta proprio nella comparsa di un cabΓ . In un sistema di coordinate localmente inerziale,
dunque, la (2.46) fornisce (derivazione ;η espressa dalla presenza di ηx∂∂ ):
)][21 2222
; λνµ
µνλ
λµν
µλν
ηηλµν xxg
xxg
xxg
xxg
xR kk
kkk ∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂∂
−∂∂
∂∂∂
= (2.48)
e quindi, per verifica diretta, si ha che:
0;;; =++ νηλµλµηνηλµν kkk RRR
Contraendo (moltiplicando con), in quest’ultima, νλ, con λνg , si ha: 0;;; =+− ν
νηµµηηµ kkk RRR e, contraendo ancora:
0;;; =−− ν
νηµ
µηη RRR che equivale a scrivere anche (gli ultimi due termini sono simili:
2x >>> 1/2):
0)21( ; =− µ
µη
µη δ RR e 0)
21( ; =− µ
µνµν RgR (2.49)
Capitolo 3: Le Equazioni del Campo Gravitazionale di Einstein. Par. 3.1: Le dieci Equazioni del Campo Gravitazionale di Einstein. Si tratta di 16 equazioni, in realtà, in quanto le stesse contengono tensori di rango 2, ossia a due indici, ognuno dei quali può assumere 4 valori, e dunque 4x4=16, ma tali equazioni non sono tutte linearmente indipendenti tra loro, ossia contengono dei doppioni, e quelle indipendenti sono appunto dieci. Sappiamo dalla (2.42) che )21(00 φ+−=g (punto di contatto con la teoria di Newton e base di partenza), mentre dalle (2.36) sappiamo che, per materia non relativistica:
ρρ == 200 cT (con normalizzazione c=1); si ha poi che:
0022
002
00 882)]21([ GTGgg πρπφφ −=−=∇−=+−∇=∇=∆ ossia:
00002 8 GTg π−=∇ ; possiamo quindi, per estensione, suopporre che valga un’eguaglianza
del tipo: αβαβ πGTG 8−= e, per campi gravitazionali di intensità qualsiasi:
µνµν πGTG 8−=
Deduciamo ora cinque particolarità che µνG deve evidentemente avere:
A)per definizione, µνG è un tensore, visto che il tensore momento-energia µνT lo è
B) µνG consiste di termini con derivate seconde del tensore metrico (ciò guardando 002g∇ )
C) µνG è simmetrico come µνT
D)siccome µνT è conservato ( 0; =µµνT ) allora anche µνG e simili lo sono ( 0; =µµνG )
E)per campi stazionari deboli, non relativistici, si ha: 002gG ∇=µν
A e B vogliono che µνG sia proporzionale al tensore di curvatura (2.46) o meglio la (2.48),
palesemente composto da derivate seconde del tensore metrico. Inoltre, la simmetria degli indici vuole che il tensore di curvatura sia rappresentato dal tensore di Ricci µµ kk RR = e dall’altrettanto simmetrico µ
µRR = (vedi paragrafo sul tensore
di Ricci): RgCRCG µνµνµν 21 += (3.1)
ma, con le (2.49), abbiamo anche visto che:
0)21( ; =− µ
µν
µν δ RR , da cui: νµ
µν
µµν δ ;;; 2
121 RRR == ; moltiplichiamo ora la (3.1) per µµg :
µν
µν
µν RgCRCG 21 += e νννν
µµν
µµν ;2
1;2;
1;2;1; )
2(
2RCCRCRCRCRCG +=+=+=
Per la particolarità D, o 2
12
CC −= o 0; =νR ; la seconda è da escludere poiché:
µµ
µνµν
µµ πGTRCCRCggCG 8)4()( 2121 −=+=+= , quindi, se ν
ν xRR ∂∂=; si annulla,
altrettanto deve accadere a νµµ xT ∂∂ , ma noi non siamo ancora nel caso di materia non
relativistica.
Allora: )21(1 RgRCG µνµνµν −= (3.2)
Ora, grazie alla particolarità E, calcoliamo C1: per sistemi non relativistici, si ha sempre:
00TTij << , ossia: 00GGij << , da cui, per la (3.2) qui sopra: RgR ijij 21
≅ ; inoltre, αβαβ η≅g
(tensore di Minkowski) e dunque: RRkk 23
≅ e 200RR ≅ .
La (3.2) con 0==νµ ( 0000 η≅g ) fornisce:
0010000100 2)2)1(21( RCRRCG =−−= ; inoltre, per campi deboli possiamo scrivere (vedi la
(2.46) con cabΓ =0 o direttamente la (2.48)):
)][21 2222
λνµ
µνλ
λµν
µλν
λµν xxg
xxg
xxg
xxgR kk
kkk ∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂∂
−∂∂
∂= e kk RR λµν
λνµ η= ; essendo il campo statico, le
derivate temporali si annullano:
0020000
200
2
0000 210
21)(
21)(
21 g
xxg
xxgRR ji
ij ∇=−∂∂
∂=
∂∂∂
== ηηηη λνλν
νλλν , da cui:
002
1002
100 212 gCgCG ∇=∇= , da cui ( 11 =C ) RgRG µνµνµν 2
1−= e quindi:
µνµνµν πGTRgR 821
−=− (3.3)
che sono le equazioni del campo gravitazionale di Einstein, che riscriviamo:
µνµνµν πGTRgR 821
−=−
che ci dicono che la curvatura ( RR ,µν∝ ) dello spazio-tempo è uguale alla presenza di
materia-energia ( µνT∝ ) nello stesso!!!
Contraendo ora con µνg , si ha: µµπGTRR 82 −=− , ossia µ
µπGTR 8= e quindi:
)21(8 λ
λµνµνµν π TgTGR −−= (altra forma delle equazioni di Einstein).
Nel vuoto, f(T)=0 e quindi 0=µνR .
Capitolo 4: Tests classici della teoria di Einstein. Par. 4.1: La metrica. Si abbia sempre c=1, come convenzione semplificatrice. Definiamo un tensore metrico generale, per cui un campo gravitazionale sia statico e isotropico; statico significa che il tensore metrico non dipende dal tempo, riguardo la sua forma e le sue caratteristiche, con chiaro riferimento ai coefficienti. Isotropico significa che vi è dipendenza dagli invarianti irrotazionali; sappiamo infatti che la norma di un vettore ed il prodotto scalare tra due vettori sono invarianti per rotazione:
22 xx rr= , 2)( xdr
, xdx rr⋅
Tutto ciò per coordinate ortogonali quasi minkowskiane (quasi αβη ) νµ
µντ dxdxgd −=2 , 2222 )())(()(2)( dxrCdxxrDdxdtxrEdtrFd −⋅−⋅−=τ (4.1) 2/1)( xxr rr
⋅= e, in coordinate sferiche:
ϕθ cossin1 rx = ϕθ sinsin2 rx =
θcos3 rx =
)sin)(())(()(2)( 2222222222 ϕθθτ drdrdrrCdrrDrdtdrrrEdtrFd ++−−−= Definiamo ora l’applicazione lineare )(' rtt φ+= ed eliminiamo gli elementi non diagonali (misti) ponendo:
)()(
rFrrE
drd
−=φ
; esiste una rototraslazione/applicazione lineare che mi riduce a forma
canonica la forma quadratica qui sopra: )sin)(()(')( 222222222 ϕθθτ drdrdrrCdrrGdtrFd ++−−= , con:
))()()(()(
22
rFrErDrrG +=
Definiamo 22 )(' rrCr = ; otteniamo allora la forma standard: )sin('')'(')'( 2222222 ϕθθτ ddrdrrAdtrBd +−−= (4.2)
con )()'( rFrB = 2))()(2
1)()()(1()'( −++=
drrdC
rCr
rGrCrA
A noi interessa dunque la forma standard (4.2):
x
X2
z θ
φ
P(r, θ, φ)
x1
X3
rr
rdθ
dr
ϕθdr sin
)sin()()( 2222222 ϕθθτ ddrdrrAdtrBd +−−= e dal confronto con l’espressione generale della metrica (2.9), si evince che: )(rAgrr = , 2rg =θθ , θϕϕ
22 sinrg = , )(rBgtt −= e siccome
µνg è ortogonale, si ha che: )(1 rAg rr −= , 2−= rgθθ , θϕϕ 22 sin −−= rg , )(1 rBg tt −−= .
Sapendo poi che, per la (2.40): )(21
ρµν
µρν
νρµλρλ
µν xg
xg
xg
g∂∂
−∂∂
+∂∂
=Γ , emerge che le sole
quantità non nulle sono:
drrdA
rArrr
)()(2
1=Γ ,
)(rArr −=Γθθ ,
)(sin 2
rArr θ
ϕϕ −=Γ , dr
rdBrA
rtt
)()(2
1=Γ ,
rrr1
=Γ=Γ θθ
θθ ,
θθθϕϕ cossin−=Γ ,
rrr1
=Γ=Γ ϕϕ
ϕϕ , θϕ
ϕθϕθϕ cot=Γ=Γ ,
drrdB
rBtrt
ttr
)()(2
1=Γ=Γ .
Calcoliamo ora il tensore di Ricci ( νλ = in λµνkR della (2.43)):
λλη
ηµ
λη
ηµλλ
λµ
λµλ
µ ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂
−∂Γ∂
= kkk
kk xxR e ricordiamo che kx∂
Γ∂ λµλ è simmetrico su µ e k , anche
per eventuale verifica diretta; dunque, in totale, troviamo che:
)()('1)
)()('
)()(')(
)()('(
41
)(2)(''
rArA
rrBrB
rArA
rBrB
rBrBRrr −+−=
)(1)
)()('
)()('(
)(21
rArBrB
rArA
rArR ++−+−=θθ
θθϕϕ θ RR ⋅= 2sin , )()('1)
)()('
)()(')(
)()('(
41
)(2)(''
rArB
rrBrB
rArA
rArB
rArBRtt −++−= , 0=µνR per νµ ≠ .
Par. 4.2: La soluzione di Schwarschild. Sappiamo già che: 22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= Inoltre, nel vuoto 0=µνR , quindi
0=== ttrr RRR θθ ; (4.3) notiamo inoltre che:
)''(1BB
AA
rABR
AR ttrr +−=+ e, per la (4.3), si ha:
BB
AA ''
−= , cioè:
constrBrA =)()( . (4.4)
Poi, per ∞→r , il tensore metrico µνg deve approssimarsi al tensore di Minkowski µνη in
coordinate sferiche, ossia: 1)(lim)(lim == ∞→∞→ rBrA rr , da cui, per la (4.4):
)(1)(rB
rA = e usando quest’ultima nelle espressioni per θθR ed rrR , si ha:
)()('1 rBrrBR ++−=θθ e )(2)('
)()('
)(2)(''
rrBrR
rrBrB
rBrBRrr
θθ=+= ; ponendo 0=θθR si ha:
1)()(')( =+= rBrrBrrBdrd , da cui: constrrrB +=)( .
Inoltre, per ∞→r : φ2100 −−=−== Bggtt → (r
GM−=φ )→
]21[)(r
GMrB −= e 1]21[)( −−=r
GMrA e cioè, infine:
222222122 sin]21[]21[ ϕθθτ drdrdrr
GMdtr
GMd −−−−−= − (4.5)
(Soluzione di Schwarschild) Par. 4.3: Le equazioni generali del moto. Sappiamo dunque che 22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= e teniamo inoltre conto
della equazione della geodetica (2.38): 02
2
=Γ+dpdx
dpdx
dpxd λν
ννλ
µ
(in p generico, per ora): si
ha allora, facendo variare µ :
222
222
2
)()(2)(')(
)(sin)(
)()(
)(2)('0
dpdt
rArB
dpd
rAr
dpd
rAr
dpdr
rArA
dprd
+−−+=ϕθθ
(4.6)
22
2
)(cossin20dpd
dpdr
dpd
rdpd ϕ
θθθθ
−+= (4.7)
dpd
dpd
dpdr
dpd
rdpd θϕ
θϕϕ cot220 2
2
++= (4.8)
dpdr
dpdt
rBrB
dptd
)()('0 2
2
+= (4.9)
Ora, siccome il campo è isotropico, poniamo 2πθ = e dunque le ultime due, (4.8) e (4.9) diventano:
0]ln[ln 2 =+ rdpd
dpd ϕ e 0]ln[ln =+ B
dpdt
dpd , da cui:
Jdpdr =ϕ2 (costante) (4.10)
constBdpdt
= (=1, per scelta) (4.11)
da cui: Bdp
dt 1= . Inserendo ora le (4.10), (4.11) e la condizione ( 2πθ = ) usata prima,
nella (4.6), si ha:
)()(2)('
)()(
)(2)('0 23
22
2
2
rBrArB
rArJ
dpdr
rArA
dprd
+−+= e moltiplicando ora per dpdrrA )(2 :
0])(
1))(([ 2
22 =−+
rBrJ
dpdrrA
dpd cioè:
ErBr
JdpdrrA −=−+
)(1))(( 2
22 (costante) (4.12)
Facendo poi sistema tra la condizione ( 2πθ = ) usata prima, la (4.10), (4.11) e (4.12), si ottiene:
22 Edpd =τ (4.13)
Sappiamo che E=0 per i fotoni e E>0 per particelle materiali. Siccome A(r) è sempre positivo, si ha che la particella può raggiungere r solo se (vedi la (4.12)):
)(1
2
2
rBE
rJ
−≤+ . Usando poi la (4.11) nelle (4.10), (4.12) e (4.13), si ottiene:
)(2 rJBdtdr =ϕ (4.14)
ErBr
Jdtdr
rBrA
−=−+)(
1)()()(
2
22
2 (4.15)
e 222 )( dtrEBd =τ (4.16)
Sappiamo ora che, per campi deboli: φ21 =−B → Jdtdr =ϕ2 e
21
2)(
21
2
22 E
rJ
dtdr −
≅++ φ (4.17)
in quanto: )21()(21
1)(
1φ
φ−−≅≅
+−=− perTaylor
rB
La (4.17) ha una analoga nella meccanica classica di Newton. Per orbite generali, r=r(φ); sappiamo poi che:
Jdpdr =ϕ2
ErBr
JdpdrrA −=−+
)(1))(( 2
22
eliminando dp, si ha: 2222
4 )(11)()(
JE
rBJrddr
rrA
−=−+ϕ
, (4.18)
con soluzione:
∫−−
±=2/1
2222
2/1
)1)(
1(
)(
rJE
rBJr
drrAϕ (4.19)
Par. 4.4: La deflessione della luce da parte del Sole. Fig. 4.1: La deflessione della luce da parte del Sole.
Δφ
)(∞ϕ
γ
)(rϕ
r
b r0
RS
0
0
delSoleS RR = ; b è il parametro d’urto. All’infinito, )()sin( ∞∞ −≅−= ϕϕϕϕ rrb e:
dtdrr
dtdV ≅−=− ∞ )cos( ϕϕ ; V è la velocità di moto (costante). Essendo all’infinito A=B=1,
inserendo queste due relazioni nelle (4.14) e (4.15), si ha:
bVJ = ed (4.20) 21 VE −= (4.21)
La (4.21) è banale; per ottenere invece la (4.20), osserviamo che:
)( ∞−≅ ϕϕrb , da cui: ϕϕϕ rddr +−= ∞ )(0 , da cui: JbVrdtdr
dtdr ==−−= ∞ )(2 ϕϕϕ
Per 0rr = si ha che 0/ =ϕddr e la (4.18) allora diviene: 2/12
00 )1
)(1( VrB
rJ +−= e la (4.19)
diviene, con facili passaggi:
∫∞
− −+−+−+∞=
r
rV
rBV
rBrr
drrAr2/1
212
0
22
0
2
2/1
]1)1)(
1)(1)(
1(1[
)()()( ϕϕ (4.22)
La variazione totale di φ è: ∞− ϕϕ )(2 0r , mentre se il raggio di luce procedesse indisturbato, si avrebbe una variazione pari a π , quindi, con riferimento alla Fig. 4.1, si ha: πϕϕϕ −−=∆ ∞)(2 0r ; per un fotone, 12 =V e la (4.22) fornisce:
rdr
rBrB
rrrAr
r
21
02
0
2/1 ]1))()(())[(()()(
−∞
∫ −=∞−ϕϕ (4.23)
Usando ora gli sviluppi (di Taylor) dovuti a Robertson:
....21)( ++=r
GMrA , ....21)( +−=r
GMrB , si ha:
...])(
21][1)[(]1)(2)()[(
1...])11(21[)(1]....21
....21[)(1)
)()(()(
00
2
00
02
0
2
0
0
2
0
02
0
02
0
++
−−=−−
+≅
≅−+−+=−+−
+−=−
rrrGMr
rr
rrrrGM
rr
rr
rrGM
rr
rGM
rGM
rr
rBrB
rr
L’ultima eguaglianza è verificabile direttamente. La (4.23) diviene, per Taylor:
(per la risoluzione dei primi due integrali, si ponga xrr cos0 = , mentre per il terzo si porrà
trr
=0 e l’integrale sarà tt
+−
11 )
drrrr
GMrr
GMrr
rrAr
r....]
)(1[]1)[(1)()()(
00
21
2
0
2/1 ++
++−=∞−−
∞
∫ϕϕ ossia:
1°
Int. 2° Int.
3° Int.
...])(111[)(sin)()(0
020
0
01 ++−
−−−++=∞− −
rrrr
rr
rGM
rrr ϕϕ e dunque:
0
4r
GM=∆ϕ e ricordando la nostra normalizzazione (c=1), si ha infine: 2
0
4cr
GM=∆ϕ ; con
mRr S8
0 1095,6 ⋅== e kgM S301097,1 ⋅= , si ha:
''75,1=∆ϕ , in ottimo accordo con i dati sperimentali. In realtà, quando nel 1919 fu effettuata una spedizione in Brasile per la misura di tale deflessione della luce delle stelle da parte del Sole, in occasione di una eclissi, la precisione della misura era dello stesso ordine di grandezza del risultato. Par. 4.5: Calcolo alternativo della deflessione, con profili di antagonismo alla TRG. Questo metodo (Firk) fa leva sulla variazione di velocità che la luce subisce quando si approssima ad una massa; per tale ragione, ravvedo dei profili di antagonismo alla pura TRG. Esistono poi anche altri metodi, più o meno simili, che si basano su tale supposizione (ad esempio Wåhlin) e pare che, considerando cifre decimali lontane, siano anche più conformi ai dati sperimentali. Ricordiamo innanzitutto che, per Schwarzschild (vedi, ad esempio, la (4.5)):
22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= ; (4.24) Sappiamo poi che, in generale: 2222 )()( xddtcd r
−=τ ed essendo, per un fotone, 222 )()( dtcxd =
r, segue che: 02 =τd , da cui, per la (4.24):
2222222 sin)()(0 ϕθθ drdrdrrAdtrB −−−= ; inoltre, considerando luce che viaggia radialmente verso il Sole, possiamo annullare le componenti in θd e ϕd :
22 )()(0 drrAdtrB −= ; (4.25) la velocità della luce è dtdrc = lontano dalla massa del Sole, mentre in prossimità dello stesso vale la (4.25), dalla quale si ricava che:
crArBcdtdrV ≠== 2/1))()(( ; Dal Par. 4.2 abbiamo i valori di A(r) e B(r), in cui, però, nel momento dei calcoli, va tenuto conto che non è più c=1; quindi:
]21[)( 2rcGMrB −= e ]21[]21[)( 2
12 rc
GMrcGMrA +≅−= −
dagli sviluppi in serie sulla variabile 22rcGM , si ha banalmente che:
]21[]221][
221[)]21[]21[( 222
2/122 rc
GMrcGM
rcGM
rcGM
rcGMcV −≅−−≅+−= , ossia: ]21[ 2rc
GMcV −≅
Fig. 4.2: Le velocità dei fronti d’onda.
Angolo di deflessione
Fronte d’onda
cV ≅
cV ≅
cV ≅
cV < Sole
Con riferimento alla Figura 4.2, la parte di fronte d’onda che è più lontana dalla massa M ha velocità c, mentre quella più vicina ha velocità cV < . Fig. 4.3: Schema per i calcoli. Ora, con riferimento invece alla Figura 4.3, si ha:
222 )( xRyr ++= (eq. di un cerchio); (4.26) applichiamo ora l’operatore y∂∂ alla (4.26), ottenendo:
)(2)(2 Ryyrr +=∂∂ da cui: rRyyr /)( +=∂∂ e sulla superficie della massa M: rRyr
y=∂∂
→0
Ora: yr
crGM
rcGMc
ryr
rV
yr
yV
∂∂
=−∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
22
2])21[( , da cui:
crGMR
rR
crGM
yr
crGM
yV
yy32
02
0
222==
∂∂
=∂∂
→→
.
Calcoliamo ora la differenza tra i cammini dx e dx’ dei fronti d’onda a distanza verticale y ed y+dy, alle quali la luce ha velocità rispettivamente pari a V e V’: dx’=V’dt e dx=Vdt, da cui: dx’- dx =V’dt-Vdt=dt(V’-V) ; (4.27) inoltre, si ha, per Taylor: dyyVVV )(' ∂∂+= , ossia: dyyVVV )(' ∂∂=− e la (4.27) diventa:
dydtyVdxdx )(' ∂∂=− (4.28) Poi, sempre dalla Figura 4.3 e dalla (4.28), si ha:
VdxyVdtyVdydxdxd )()()'( ∂∂=∂∂=−=α . La deflessione totale α∆ subita tra ∞− e ∞+ è, considerando che, in tale range, V è quasi sempre uguale a c (tranne che appena in prossimità di M):
∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−∂∂≅∂∂==∆ dxyV
cdxyV
Vd )(1)(1αα e, in prossimità della superficie di M (y=0):
222/122222/3222322
)(2
)(221
RcGMR
xRRx
cGMR
xRdx
cGMRdx
crGMR
c⋅=
+=
+==∆
+∞
∞−
∞+
∞−
∞+
∞− ∫∫α , cioè:
''75,142 ==∆
RcGM
α , proprio come ottenuto al Par. 4.4!!!
Onde piane di luce
y=0
Sole (M)
y
x dy
r
y
x R
dx’=V’dt
dx=Vdt
Par. 4.6: La precessione del perielio dei pianeti. Fig. 4.4: La precessione del perielio di Mercurio. Per i pianeti ed in particolare per Mercurio, nei secoli, si nota che il perielio si sposta.
In +r e −r , si ha che 0=ϕd
dr. Sappiamo poi già che (vedi la (4.18)):
2222
4 )(11)()(
JE
rBJrddr
rrA
−=−+ϕ
; quest’ultima, in +r e −r , diventa: 222 )(11
JE
rBJr−=−
±±
,
da cui: 22
22
)()(−+
−
−
+
+
−
−=
rrrB
rrB
r
E e 22
2
11)(
1)(
1
−+
−+
−
−=
rr
rBrBJ (4.29)
Si ha: ∫− −−
+= −
r
r
rJE
rBJr
drrArr2/1
2222
2/1
]1)(
1[
)()()( ϕϕ , da cui, per le (4.29), si ha:
∫−
−−
−−
+−
−+
+−−
+−−−
−− −
−−−−
=−r
rdrrrA
rrBrBrrrBrBrrBrBrrr 22/12/1
21122
112112
)(]1)]()([
)]()([)]()([[)()( ϕϕ (4.30)
La variazione totale di φ è: )()(2 −+ −=∆ rr ϕϕϕ . In assenza di precessione si avrebbe:
ππ 22 = . La precessione dell’orbita vale: πϕϕϕ 2)()(2 −−=∆ −+ rr .
Ricordiamo ora gli sviluppi di Robertson di pag. 39:
....21)( ++=r
GMrA , ....21)( +−=r
GMrB
Abbiamo bisogno di uno sviluppo al 2° ordine per 1−B , altrimenti nella (4.30) B non dà
nessun contributo 21r
∝ . Per )(1 rB− abbiamo allora:
....421)( 2
221 +++≅−
rMG
rGMrB .
a
r+ r-
ae ⋅
21 ea −
un fuoco=Sole
Con tali sviluppi, la radice nella (4.30) può ridursi ad una forma quadratica in r1 ; si può
comunque notare che tale quantità si annulla per ±= rr , quindi:
)11)(11(1)]()([
)]()([)]()([21122
112112
+−−−
+−
−+
+−−
+−−−
− −−=−−
−−−=
rrrrC
rrBrBrrrBrBrrBrBrR
C può essere determinata eseguendo il ∞→rlim :
)]()([)](1[)](1[
11
1212
−−
+−
−+
−−
−+−
+
−−−−
=rBrBrr
rBrrBrC ; ora, fattorizzando al numeratore ed al denominatore:
MGrr )(2 +− − si ottiene: )11(21−+
+−≅rr
MGC ; con tali risultati nella (4.30), si ottiene:
∫−
+−
−+−
−−
+++≅≅−
r
r
rrrrr
drr
GM
rrMGrr
2/12 )]11)(11[(
]1[)]11(1[.........)()( ϕϕ ; definiamo ora:
Ψ−++=−+−+
sin)11(21)11(
211
rrrrr (4.31)
si ottiene: ( 2π−=Ψ→= −rr ; inoltre, basta ricavare dr in funzione di Ψd nella (4.31) e sostituire nell’integrale in dr:
Ψ−−+Ψ++≅≅−−+−+
− cos)11(21]
2)][11(
231[.........)()(
rrMG
rrMGrr π
ϕϕ .
Per la (4.31), all’afelio 2π=Ψ , quindi: )6(2)()(2LMGrr π
πϕϕϕ =−−=∆ −+ [rad/rev]
dove )11(21
−+
+=rr
L (semilato retto).
Sapendo ora che aer )1( ±=± ed aeL )1( 2−= (vedi nota (**) sotto), si ha: )6(LMGπ
ϕ =∆ e,
ricordando la nostra normalizzazione iniziale (c=1), si ha: )6( 2LcMGπ
ϕ =∆ ; per Mercurio
mL 9103,55 ⋅= , da cui ''1038,0=∆ϕ . Ora, siccome in un secolo Mercurio compie 415 rivoluzioni, si ha ''03,43sec =∆ oloϕ , in ottimo accordo con i dati sperimentali, visto che i primi rilievi su Mercurio risalgono al 1765 e Clemence, nel 1943, calcolò:
''45,0''11,43 ±=∆ϕ . ----------------------------
(**): alcune considerazioni sull’ellisse: Fig. 4.5: L’ellisse. Si ha, per la definizione stessa di ellisse, che: d(P,F)=ed(P,d), dove e è l’eccentricità e d è la direttrice. Dunque: 2222)( xeypx =+− , da cui 02)1( 2222 =+−+− ppxyxe ; con facili calcoli otteniamo che, per 0<e<1,
12
2
2
2
=+by
ax , con )1/( 2epea −= e 21 eab −= , ma sappiamo anche che 22 cab −= (dalla
definizione di ellisse), quindi, per confronto: cea =⋅ . Considerando poi anche l’altro fuoco, si ha che: d(P,F)+ d(P,F’)=cost=2a; infatti: d(P,F)=ed(P,d) e d(P,F’)=ed(P,d’) e d(P,F)+ d(P,F’)=e[d(P,d)+ d(P,d’)]=costante, ovviamente (per simmetria).
----------------------------
Fuoco=(p,0)
x
y=direttrice
P(x,y)
Appendici: App. 1: La Teoria Della Relatività Ristretta
Indice dell’App. 1: -Indice dell’App. 1. Pag.1 -App. 1-Introduzione. Pag.1 -App. 1-Capitolo 1: Concetti introduttivi fondamentali. Pag.3 App. 1-Par. 1.1 Trasformazioni di Galilei. Pag.3 App. 1-Par. 1.2: Trasformazioni (relativistiche) di Lorentz. Pag.3 App. 1-Par. 1.3: La contrazione delle lunghezze, o di Lorentz. Pag.5 App. 1-Par. 1.4: Dilatazione del tempo (Paradosso dei Gemelli). Pag.6 App. 1-Par. 1.5: Il quadrivettore posizione. Pag.6 App. 1-Par. 1.6: Legge Relativistica di Trasformazione delle Velocità. Pag.7 App. 1-Par. 1.7: Il Tempo Proprio τd di una particella. Pag.8 -App. 1-Capitolo 2: La relatività delle energie. Pag.9 App. 1-Par. 2.1: Il quadrivettore momento-energia (o momento lineare). Pag.9 App. 1-Par. 2.2: Il quadrivettore velocità. Pag.9 App. 1-Par. 2.3: La quadriforza. Pag.9 App. 1-Par. 2.4: E0=m0c2. Pag.10 App. 1-Par. 2.5: Energia cinetica relativistica. Pag.11 -App. 1-Capitolo 3: Fenomeni relativistici. Pag.11 App. 1-Par. 3.1: Tempo e gravità: la gravità rallenta il tempo! Pag.11 App. 1-Par. 3.2: Volume dei solidi in moto. Pag.12 App. 1-Par. 3.3: L’equazione delle onde, o di D’Alembert, vale in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Pag.12 App. 1-Par. 3.4: L’esperimento di Fizeau. Pag.13 App. 1-Par. 3.5: Effetto Doppler Relativistico (longitudinale). Pag.14 App. 1-Par. 3.6: Il Paradosso dei Gemelli spiegato con l’Effetto Doppler Relativistico! Pag.14 App. 1-Par. 3.7: L’Esperimento di Michelson e Morley. Pag.15 -App. 1-Capitolo 4: L’Elettrodinamica relativistica. Pag.16 App. 1-Par. 4.1: La forza magnetica è niente altro che una (relativistica) forza elettrica di Coulomb(!) Pag.16 App. 1-Par. 4.2: Il quadrivettore densità di corrente. Pag.19 App. 1-Par. 4.3: Il tensore del campo elettromagnetico. Pag.20 -App. 1-SUBAPPENDICI: Pag.22 App. 1-Subapp. 1: Trasformazioni di Lorentz consecutive. Pag.22 App. 1- Subapp. 2: Effetto Doppler (relativistico) Trasversale. Pag.22 App. 1- Subapp. 3: Le trasformazioni della quadrivelocità. Pag.24 App. 1- Subapp. 4: Le trasformazioni della quadriforza. Pag.24 App. 1- Subapp. 5: Il quadrivettore accelerazione e le trasformazioni delle accelerazioni. Pag.25 App. 1- Subapp. 6: Come io vedo l’Universo (Unificazione Gravità Elettromagnetismo). Pag.26 App. 1-Introduzione: Tempo non è niente altro che il nome che viene dato ad una relazione matematica di rapporto tra due spazi differenti; quando dico che per andare da casa al lavoro ho impiegato il tempo di mezz’ora, dico semplicemente che il percorrimento dello spazio che separa casa mia dall’azienda in cui lavoro è corrisposto allo spazio di mezza circonferenza orologio percorsa dalla punta della lancetta dei minuti. A mio avviso, nulla di misterioso o di spazialmente quadridimensionale dunque, come invece proposto nella TRR (Teoria della Relatività Ristretta). A livello matematico, invece, il tempo può essere sì considerato una quarta dimensione, così come, se introduco la temperatura, ho poi una quinta dimensione, e così via. La velocità della luce (c=299.792,458 km/s) è un limite superiore di velocità non per mistero inspiegabile o per principio, come sostenuto nella TRR ed anche dallo stesso Einstein, ma bensì perché (sempre a mio avviso) un corpo non può muoversi a casaccio ed a proprio piacimento, nell’Universo in cui è in caduta libera a velocità c, in quanto lo stesso è vincolato a tutto l’Universo circostante, come se quest’ultimo fosse una tela di ragno che, quando la preda cerca di muoversi, condiziona il movimento della stessa, e tanto più quanto i movimenti vogliono essere ampi (v~c), cioè, per restare all’esempio della tela di ragno, se la mosca intrappolata vuole solo muovere un’ala, può farlo quasi
incondizionatamente (v<<c), mentre se vuole proprio compiere delle volate da una parte all’altra della tela (v~c), la tela si fa sentire (massa che tende all’infinito ecc). Si veda, a tal proposito, il Subappendice 1.6. La teoria di Einstein si fonda comunque formalmente su due principi: -Principio di Relatività: le leggi fisiche assumono la stessa forma in tutti i sistemi inerziali (cioè in moto relativo a velocità costante); non avendo infatti senso il moto assoluto rispetto ad un etere immobile che non esiste (vedi App.1-Par. 3.7) tutti i sistemi di riferimento sono laboratori alla pari per verificarvi le leggi della fisica e non esistono dunque sistemi di riferimento privilegiati (tranne che, a mio avviso, quello del centro di massa dell’Universo). In ogni caso, l’esperimento di Michelson e Morley (App.1-Par. 3.7) segnò la fine dell’etere e spalancò le porte alla TRR. -Principio di Costanza della Velocità della Luce: la velocità della luce nel vuoto ha in ogni sistema di riferimento inerziale sempre il valore c=300.000 km/s. Non importa dunque se la insegui a 299.000 km/s o se fuggi da essa sempre con tale velocità; la luce nel vuoto sfuggirà o ti rincorrerà sempre a 300.000 km/s! (c=299.792,458 km/s) Nell’opinione di chi scrive, c’è nella TRR una forma di contraddizione; la velocità della luce appare infatti “assoluta”, non “relativa”, parlandosi qui di “relatività”. Il fatto è che le velocità tra i vari oggetti nell’Universo sono relative appunto tra loro, ma esiste una velocità assoluta (o quasi) c con cui tutti gli oggetti nell’Universo cadono verso il centro di massa dello stesso; da cui l’assolutezza di c. E si spiega anche come mai gli oggetti in quiete risultano possedere energia m0c2 (App.1-Par. 2.4), energia che Einstein conferì appunto alla massa in quiete, senza purtroppo dirci che tale massa invece non è mai in quiete, poiché cade con velocità c verso il centro di massa dell’Universo, guarda caso. Si veda, a tal proposito, la mia opinione personale completa, in merito, in Appendice 2. Se giunge alle orecchie di un uomo comune il fatto che la luce ha velocità uguale per “tutti” gli osservatori inerziali, quand’anche con determinati moti relativi tra loro, la cosa può cadere lì. Se però giunge alle orecchie di un uomo particolare, come Einstein, le conseguenze che questi può intuire sono sconvolgenti. Questo piccolo esperimento che segue, condotto con un orologio a luce a bordo di un’astronave, dimostra che il fatto che la velocità della luce è c per “tutti” implica che il tempo sia relativo, da cui il Paradosso dei Gemelli (App.1-Par. 1.4) ecc: Fig. A1: Orologio a luce in quiete. Fig. A2: Orologio a luce in movimento a velocità V. Come si vede dalla figura A1, ogni volta che la luce (frecce blu) compie il tragitto dalla sorgente allo specchio e ritorno, l’orologio a luce segna, ad esempio, un secondo, oppure un certo tempo t’. Il tragitto in blu schematizzato in figura A1 è visto da chi è in quiete rispetto ad esso, cioè con chi è sull’astronave con l’orologio stesso. Chi invece è sulla Terra e osserva l’orologio in viaggio sull’astronave, vedrà la luce compiere tragitti obliqui e più lunghi, come in figura A2, in quanto, mentre la luce scende, lo specchio si sposta, e mentre risale, la sorgente si sposta ancora. Ora, parlandosi qui di luce, il comportamento della stessa, mentre scende, non è come quello di una valigia che cade dalla cappelliera di un vagone ferroviario, che è vista cadere verticalmente dal passeggero e in traiettoria parabolica dall’osservatore fermo sulla banchina della stazione, impiegando per entrambi lo stesso tempo di caduta, in quanto nel secondo caso (parabolico) la velocità di caduta risulta maggiore; qui si parla appunto di luce, dunque la sua velocità deve essere la stessa per tutti, e cioè c; ma, se così è, allora chi osserva il tragitto obliquo più lungo deve concludere che il tempo impiegato dalla luce per compiere un ciclo di discesa e risalita deve essere più lungo. Dunque, pur parlandosi dello stesso orologio e dello stesso evento, i due osservatori, sulla durata, giungono a risultati diversi, e dunque alla relatività del tempo ed a tutte le sue conseguenze. Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo di figura A2, si ha:
222222 ' tVtctc += , da cui: 2
2
1'cVtt −= e cioè, in generale: tt <' e t’ tende a zero per V che tende a c! Ricordo
che t’ è il tempo dell’astronauta in viaggio con l’orologio a luce, mentre t è il tempo trascorso sulla Terra. Se il fenomeno è vero per la cosa più veloce che esiste (la luce), figuriamoci per gli orologi tradizionali a lancette e per quelli biologici (esseri viventi)!
00:01 00:02 00:02
ct
Vt
ct’
sorgente di luce
contatore
specchio
ct’
V V
Negli anni settanta, utilizzando i sensibilissimi orologi atomici, è stata dimostrata la dilatazione del tempo, sulla Terra, tra due orologi atomici inizialmente sincronizzati, dopo che uno dei due ha compiuto un volo aereo, subendo una leggerissima, ma ben rilevata, dilatazione del tempo. App. 1-Capitolo 1: Concetti introduttivi fondamentali. App. 1-Par. 1.1: Trasformazioni di Galilei. Le stesse forniscono semplicemente le relazioni tra coordinate spaziali (e tempo), per due sistemi di riferimento in moto relativo, ma nell’ambito della fisica classica, dove cioè la velocità della luce c non è un limite superiore. Fig. A1.1: Sistemi di riferimento in moto relativo. Si ha ovviamente che:
tVrrrrrrr
+=+= ''00' , (A1.1) da cui, per le componenti (t=t’):
'' Vtxx += 'yy =
'zz = (A1.2) 'tt =
e per le inverse, si ha, ovviamente:
Vtxx −=' yy ='
zz =' (A1.3) tt ='
Le (A1.2) ed (A1.3) sono le Trasformazioni di Galilei.
Derivando la (A1.1), si ottiene poi: Vvvrrr
+= ' che vale come teorema di addizione delle velocità della fisica classica. App. 1-Par. 1.2: Trasformazioni (relativistiche) di Lorentz. Premetto che le Trasformazioni di Lorentz nascono prima della Teoria della Relatività (su cui la stessa si fonda) ed in un contesto tutto elettromagnetico. Le stesse sono dunque l’equivalente relativistico di quelle di Galilei e valgono dunque nel momento in cui si ammette che la velocità della luce è un limite massimo di velocità nell’Universo e che vale c per (~)ogni osservatore. -PRIMA DEDUZIONE: supponendo un moto relativo lungo x, correggiamo le componenti x delle Trasformazioni di Galilei tramite un coefficiente k, come segue:
)(' Vtxkx −= (A1.4)
)''( Vtxkx += (A1.5)
y y’
z z’
x _ x’
P
0 0’
rr 'rr
Vr
Ora, per un fotone si ha, ovviamente: tVckct )(' −= e tVckct )( += , in quanto la luce ha la stessa velocità c nei due sistemi di riferimento, da cui,
moltiplicando membro a membro:
)1('' 2
2222
cVcttkttc −= , da cui:
2
2
2 11
1
1β−
=
−
=
cV
k (A1.6)
Inoltre, dalla (A1.5) si ha: )'(1' xkx
Vt −= ed usando in quest’ultima la (A1.4), si ha:
][)]11([1)]([1' 22 xcVtk
kVxtkkt
Vkxx
kVVtxk
kx
Vt −=−−=+−=−−= (A1.7)
in quanto, per la (A1.6), si ha che: 2
2
2 )11(cV
k=− .
Con lo stesso procedimento che ci ha condotti alla (A1.7) si deduce poi anche l’espressione per t. In conclusione, ecco le Trasformazioni di Lorentz:
21)('
β−
−=
Vtxx
yy ='
zz =' (A1.8)
2
2
1
)('
β−
−=
xcVt
t
21)''(
β−
+=
Vtxx
'yy =
'zz = (A1.9)
2
2
1
)''(
β−
+=
xcVt
t
-SECONDA DEDUZIONE: Sappiamo che c=cost in tutti i sistemi di riferimento. Ora, con riferimento alla Fig. A1.1, quando 0=0’ e t=t’, dall’origine viene emessa luce per onde sferiche ed in modo isotropico e si può dunque scrivere che:
0)( 22222 =++− zyxtc e 0)'''(' 22222 =++− zyxtc in quanto la luce ha la stessa velocità c nei due sistemi di riferimento. Dunque:
)'''(')( 2222222222 zyxtczyxtc ++−=++− e per raggi propagantisi lungo x (y=y’ e z=z’): 222222 '' xtcxtc −=− . Poniamo ora ( 1−=i ): ξ=ix , '' ξ=ix , η=ct e '' η=ct ; si ha:
2222 '' ηξηξ +=+ , la cui soluzione è:
θηθξξ sincos' −=
θηθξη cossin' += (A1.10) ed in forma differenziale:
θηθξξ sincos' ddd −=
θηθξη cossin' ddd += A(1.11)
Notiamo ora che rispetto all’origine “0”, 0=dtdx
, in quanto il sistema di riferimento (0,x,y,z) è fermo rispetto a se
stesso. Invece, Vdtdx
−=''
, in quanto il sistema (0’,x’,y’,z’) si muove con velocità V rispetto a “0” e di conseguenza:
0=ηξ
dd
e cVi
dd
−=''
ηξ
, ma dal rapporto tra le (A1.11) si ha che:
θθθ
θθηξ
θθηξ
θηθξθηθξ
ηξ tg
dddd
dddd
dd
−=+−
=+
−=
+−
=cos0sin0
cossin
sincos
cossinsincos
''
e dunque: βθ icVitg ==
ma sappiamo dalla trigonometria che: 22 1
11
1cosβθ
θ−
=+
=tg
e:
22 11sin
β
β
θ
θθ
−=
+=
itg
tg e dunque le (A1.10) diventano:
21'
β
ηβξξ
−
−=
i e
21'
β
ηξβη
−
+=
i ossia:
21)('
β−
−=
Vtxx
yy ='
zz ='
21
)('
β
β
−
−=
xc
tt
e cioè ancora le (A1.8). In modo analogo si giunge poi alle (A1.9). App. 1-Par. 1.3: La contrazione delle lunghezze, o di Lorentz. Gli oggetti in movimento a velocità confrontabili con quella della luce risultano più corti, agli occhi dell’osservatore in quiete. Se quest’ultimo compie delle misurazioni per determinare la lunghezza dello sfuggente corpo in moto, il metodo più efficace che ha è quello di utilizzare delle sorgenti di luce (la cosa più veloce che esiste), illuminando la prua e la poppa del corpo in moto, al fine di determinarne le rispettive posizioni, momento per momento. Solo che la luce che usa ha velocità costante, nonché limitata, ed il risultato sarà quello di un corpo più corto. Realtà o apparenza misurativa? Convinciamoci sin da subito che la realtà (che osservo) e l’apparenza misurativa sono la stessa cosa, come non può che essere! Sia l la lunghezza di un segmento nel sistema O di quiete:
lxx AB =− . In O’ (in moto), per le Trasf. di Lorentz:
'11
)(
1
)()()'(')'(''
222llxxVtxVtx
txtxl ABAABBAB =
−=
−
−=
−
−−−=−=
βββ , in quanto nel sistema O la misura del
segmento ha senso se i due estremi vengono rilevati “simultaneamente” (tA=tB). Col tendere di v verso c, cv=β tenderà ad 1 e il radicale tenderà a zero, e con esso anche l! Dunque, la misura l rilevata in O sarà pari a quella l’ rilevata in O’ per una quantità minore di 1, cioè l’osservatore immobile (O) vedrà un oggetto più corto.
App. 1-Par. 1.4: Dilatazione del tempo (Paradosso dei Gemelli). Sembra strano, ma anche il tempo può essere ed è relativo. Ovviamente, ogni osservatore, nel suo, vede il tempo scorrere sempre allo stesso ritmo; non è che se uno viaggia a velocità prossime a quelle della luce sente il suo cuore rallentare. E’ poi il confronto tra i due osservatori di due sistemi che sono stati in moto relativo che mostra la differenza nel come i due tempi sono scorsi. Dunque, per le Trasf. di Lorentz, in O’ (sistema in movimento): AB ttt ''' −=∆ , mentre in O (sistema di quiete):
21''''
β
ββ
−
−−+=−=∆
cxtcxtttt AABBAB , ma, per ipotesi, BA xx '' = , poiché nel sistema O’ (O’,x’,y’,z’) l’orologio
è immobile, in quanto viaggia col sistema O’ stesso, dunque:
21'β−
∆=∆
tt
Col tendere di v verso c, cv=β tenderà ad 1 e il radicale tenderà a zero, e con esso anche 't∆ ! Due gemelli si separano perché uno dei due parte per un viaggio spaziale di un mese a velocità vicine a quelle della luce; ritornato sulla Terra trova il suo gemello invecchiato di trent’anni! (Paradosso dei Gemelli) A circa 260.000 km/s si ha il dimezzamento, cioè il radicale varrà ½ e i due tempi scorreranno uno la metà dell’altro. Si veda poi anche la dimostrazione della dilatazione del tempo con l’orologio a luce (in Introduzione) e quella in chiave di Effetto Doppler Relativistico (App.1-Par. 3.6). App. 1-Par. 1.5: Il quadrivettore posizione. Invece di scrivere i vettori posizione con le classiche tre componenti x, y e z, scriviamoli in forma matematicamente quadridimensionale, aggiungendo anche il tempo; ciò ci tornerà molto utile. Preciso però che, nell’opinione (motivata) di chi scrive, il nostro Universo è e resta a tre dimensioni e l’aggiunta di una quarta dimensione è un fatto puramente matematico; sfido infatti chiunque ad indicarmi col dito indice la quarta dimensione di un qualsivoglia oggetto presunto quadridimensionale. Nella TRR di oggigiorno, si parla invece di una effettiva quarta dimensione! Bene, allora: ),,,( 4321 xxxxx = , che equivale a dire anche: (x,y,z,ct).
Con tale nuova terminologia, le Trasformazioni di Lorentz divengono:
411' xxx βγγ −= 411 '' xxx βγγ +=
22' xx = 22 'xx =
33' xx = 33 'xx = (A1.12)
414' xxx γβγ +−= 414 '' xxx γβγ +=
Con cV=β e 21
1β
γ−
= .
Si può verificare che la distanza spazio-temporale tra due punti è invariante per Trasformazioni di Lorentz, cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali:
24
23
22
21
224
23
22
21
2 )'()'()'()'()'()()()()()( xxxxxxxxxx ∆−∆+∆+∆=∆=∆−∆+∆+∆=∆ (A1.13)
(Questa espressione è una sorta di Teorema di Pitagora in quattro dimensioni). Per la dimostrazione di ciò, si utilizzino, nella (A1.13), le Trasformazioni di Lorentz qui sopra, con i Δxi in luogo degli xi, e si verifichi appunto l’egualianza. In altre parole, lunghezza tridimensionale e tempo sono relativi, mentre la loro composizione quadridimensionale è assoluta. Ecco perché si è detto che la definizione delle grandezze fisiche tramite quattro componenti ci sarebbe tornata utile. Si possono dunque applicare le Trasformazioni di Lorentz a tutti i quadrivettori, nella forma delle (A1.12).
------------- In forma matriciale, le Trasformazioni di Lorentz possono essere così scritte: (si ricordi il prodotto matriciale, con le componenti della riga della prima matrice moltiplicate per le rispettive componenti della colonna della seconda matrice, sommando poi tali prodotti per ottenere la componente della matrice prodotto appunto)
⋅
−
−
=
4
3
2
1
4321
0001000010
00
)',',','(
xxxx
xxxx
γβγ
βγγ
e (A1.14)
⋅
=
4
3
2
1
4321
''''
0001000010
00
),,,(
xxxx
xxxx
γβγ
βγγ
(A1.15)
mentre in forma tensoriale: (si utilizza la convenzione di Einstein, cioè, se in un termine un indice è ripetuto, si considera sottointesa la sommatoria su quell’indice)
kkii xx α=' (i,k=1,2,3,4) a secondo membro, k è ripetuto, quindi si somma su di esso (A1.16)
iikk xx ''α= (i,k=1,2,3,4) (A1.17)
App. 1-Par. 1.6: Legge Relativistica di Trasformazione delle Velocità. Se sto camminando alla velocità di 5 km/h in un vagone ferroviario che, a sua volta, viaggia alla velocità di 100 km/h rispetto alla banchina, avrò, rispetto alla banchina, una velocità totale di 105 km/h. Questa è fisica classica. Quando però le due velocità iniziano ad essere confrontabili con quelle della luce, la semplice composizione per somma algebrica non vale più, ed iniziano a vigere le equazioni che stiamo per scrivere; anche perché, se no, qualche somma algebrica semplice rischierebbe di farci comparire una velocità totale superiore a c, cosa impossibile. Dunque, abbiamo per definizione che:
dtdxvx = '
'' dtdxv x =
dtdyvy = '
'' dtdyv y =
dtdzvz = '
'' dtdzv z =
Differenziando ora le Trasformazioni di Lorentz, si ha:
21
)''(β−
+=
Vdtdxdx
'dydy =
'dzdz =
2
2
1
)''(
β−
+=
dxcVdt
dt da cui:
)''(
)''(
2 dxcVdt
Vdtdxdt
dxvx
+
+==
)''(
1'
2
2
dxcVdt
dydt
dyvy
+
−==
β
)''(
1'
2
2
dxcVdt
dzdt
dzvz
+
−==
β
Se ora divido numeratore e denominatore di queste ultime per dt’, si ha:
)'1(
)'(
2cVv
Vvvx
xx
+
+=
)1(
)('2c
VvVvv
x
xx
−
−=
)'
1(
1'
2
2
cVv
vv
y
yy
+
−=
β (A1.18) e analogamente:
)1(
1'
2
2
cVv
vv
y
yy
−
−=
β
)'1(
1'
2
2
cVv
vvz
zz
+
−=
β
)1(
1'2
2
cVv
vvz
zz
−
−=
β
Per 1<<cV e 1<<c
vx ci si riconduce al caso classico (galileiano) di somma algebrica.
Per rifarsi un attimo al caso del vagone ferroviario in cui una persona cammina all’interno, se si pone ),0,0,'(' cvv x=
e ),0,0,( cvv x= , dalle (A1.18) si ha che:
)'1(
)'(
2cVv
Vvvx
xx
+
+= (A1.19)
e se cVv x ==' , allora cvx = , e non 2c! Dunque, se il treno si muove di suo a velocità c ed io all’interno di esso
corro a velocità c, io, rispetto alla banchina, avrò una velocità risultante pari a c e non a 2c! La (A1.19) rappresenta il Teorema Relativistico di Addizione delle Velocità. Altro esempio: due missili che viaggiano ciascuno a velocità c/2 si incrociano; a che velocità xv si incrociano dunque?
ccc
ccccvx <==
+
+=
54
45)4
1(
)22(
2
2 !
App. 1-Par. 1.7: Il Tempo Proprio τd di una particella. Se una particella è ferma in (O’,x’,y’,z’), ossia se la stessa si muove appunto con O’, ossia se O’ è il suo sistema di riferimento “proprio”, allora: dx’= dy’= dz’=0 e:
2222222222 ''000)( dtcdtcdtcdzdydxds −=−++=−++= , da cui:
dtcv
dtdl
cdt
dtcdzdydx
cdsddt 2
22
222
222
1)(111' −=−=++
−=== τ (tempo proprio, invariante, in quanto
tale è cds
).
Dunque, quando si eseguono calcoli riguardanti una particella, viene spontaneo utilizzare per essa appunto il suo tempo proprio:
γτ
dtdtcvd =−= )1( 2
2
.
App. 1-Capitolo 2: La relatività delle energie. App. 1-Par. 2.1: Il quadrivettore momento-energia (o momento lineare). Sappiamo dalla fisica classica che il momento lineare, o quantità di moto, è dato dal prodotto della massa per la velocità. Ora, nel caso relativistico, per quanto visto finora, definiremo innanzitutto un quadrivettore e poi la velocità intesa come dx/dt avrà come dt il tempo proprio τd , che è caratteristico appunto della particella in esame, per la quale si va a definire il quadrivettore:
pmcpmcvmdtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
ddxm
ddxm
ddxm
ddxmp
====
===
),(),(),,,(
)1
,1
,1
,1
(),,,(
4321
4030201040
30
20
10
rr
γγγγττττ
dove vr è il vettore (tridimensionale) velocità, pr è il momento lineare tridimensionale,
dtdxmmc 4= è la componente quadridimensionale,
γτ
dtd = è il tempo proprio e 00
1mmm γ
γ== è la massa
dinamica, che coincide con la massa a riposo m0 solo se v=0. Si inizia quindi ad introdurre già il concetto di massa relativa, che cresce con la velocità, divenendo infinita per v=c. Come già accennato in precedenza, i moduli dei quadrivettori sono “assoluti”, cioè invarianti per trasformazioni di Lorentz; infatti:
220
22
2
2
2022222222
422
)()1(
)( cmvc
cv
mvcmcmvmppp −=−−
−=−−=−=−=r
= costante, cioè non funzione di v.
In Relatività esiste dunque un Universo (matematicamente quadridimensionale) descritto da quadrivettori, dove le grandezze non variano così arbitrariamente con la velocità e dove dunque le leggi della natura preservano una certa coerenza, indipendentemente dallo stato di moto. App. 1-Par. 2.2: Il quadrivettore velocità.
Lo definiamo ovviamente come segue: τdxdv = , dove si usa il tempo proprio τd per motivi già esposti. Numeratore e
denominatore sono entrambi invarianti, e dunque anche v lo è. Si ha:
),(),,,(),,,(),,,( 43214321 cvcvvvdt
dxdtdx
dtdx
dtdx
ddx
ddx
ddx
ddxv zyx γγγγγγγγγγ
ττττr
====,
e dunque, per il modulo di tale quadrivettore: 222222 ccvv −=−= γγ (costante!). (A2.1)
App. 1-Par. 2.3: La quadriforza. Così come in fisica classica la forza è data dalla derivata della quantità di moto nel tempo, in relatività definiamo la quadriforza come derivata del quadrivettore momento-energia nel tempo (tempo proprio):
))(),(())(,(),(),,,( 00044321 cmdtdvm
dtdcm
ddp
ddFFFFFF
dpd
F γγγγγτττ
rrr===== ; (A2.2)
si ha dunque che: Ffvmdtd rrr
=⋅= γγγ )( 0 , (A2.3)
( fvmdtd rr
=)( 0γ è la forza “classica” e a maggior ragione quando 1=γ )
da cui: )()(0
vdd
mF
vdtd r
rr
γτ
γγ == , cioè, in componenti:
)()(0
ii
i vdd
mFv
dtd
γτ
γγ == (i=x,y,z) (A2.4)
e poi, riguardo la quarta componente: 40 )( Fcmdtd
=γγ (A2.5)
e quindi: )()(0
4 cdd
mFc
dtd
γτ
γγ == . (A2.6)
Differenziamo ora la (A2.1), cioè la seguente equazione: 22222222222222 ccvvvcvv zyx −=−++=−= γγγγγγ , ottenendo:
))(2)(2
)(2)(2())()()()((0 2222
cddcv
ddv
vddvv
ddvc
ddv
ddv
ddv
dd
zz
yyxxzyx
γτ
γγτ
γ
γτ
γγτ
γγτ
γτ
γτ
γτ
−+
++=−++=
cioè: ))()()()((0 cddcv
ddvv
ddvv
ddv zzyyxx γ
τγγ
τγγ
τγγ
τγ −+++= , ossia, per la (A2.4) e la (A2.6):
)(00
4
000 mFc
mFv
mF
vmFv z
zy
yx
x γγγγ −+++= e per la (2.3) ( Ffrr
=⋅γ ):
)(00
4
000 mFc
mfv
mf
vmfv z
zy
yx
x γγ
γγ
γγ
γ −+++= , cioè:
)(4 vfc
F rr⋅=
γ. (A2.7)
Tornando ora alla (A2.2), si ha finalmente la quadriforza, o Forza di Minkowski:
))(,( vfc
fd
pdF rrr
⋅==γ
γτ
(A2.8)
Per le equazioni di trasformazione di tale quadriforza, si veda il Subappendice 1.4. App. 1-Par. 2.4: E0=m0c2.
Per la (A2.5) si ha che: 40 )( Fcmdtd
=γγ , mentre per la (A2.7) si ha: )(4 vfc
F rr⋅=
γ. Dunque:
)()( 0 vfc
cmdtd rr
⋅=γ
γγ , ossia: vfcmdtd rr
⋅=)( 20γ , ossia ancora:
dEdLdtvfcmd ==⋅=rr
)( 20γ (A2.9)
La (A2.9) è esattamente l’espressione dell’energia in fisica classica se 1=γ ; l’integrazione della (A2.9) con costante d’integrazione uguale a zero fornisce:
20cmE γ= (A2.10)
In realtà la (A2.10) vale solo per energie guadagnate (come negli acceleratori di particelle), mentre per energie cedute (Universo collassante o Fisica Atomica degli elettroni che scendono di livello) vale la seguente, che io mi attribuisco:
20
1 cmEγ
= (Rubino)
(si veda anche l’Appendice 2; per una convincente dimostrazione della stessa, prego contattarmi: leonrubino@yahoo.it ). Dunque, una particella di massa m0 possiede energia totale:
)1( 2
2
202
0
cv
cmcmE−
== γ (A2.11)
e a “riposo” ( 0=v e dunque 1=γ ) energia di “riposo”: 2
00 cmE = (A2.12)
App. 1-Par. 2.5: Energia cinetica relativistica. La differenza tra la (A2.11) e la (A2.12) fornisce ovviamente la pura energia cinetica di una particella:
)1)1(
1()1(
2
2
20
20
20
200 −
−
=−=−=−=
cv
cmcmcmcmEEEK γγ (A2.13)
Sviluppando ora in Serie di Taylor l’espressione per )1(
1
)1(
12
2
2 βγ
−=
−
=
cv
, si ha, per v<<c (β<<1):
.....83
211
)1(1 42
2+++=
−= ββ
βγ , cioè: 2
22
21
21)1(
cv
=≅− βγ e per la (A2.13):
202
22
02
0 21)
21()1( vm
cvcmcmEK ==−= γ (v<<c) e cioè la nota espressione classica (di Newton) per l’energia
cinetica! Si veda poi la deduzione della (A2.13) in Appendice 2, a partire dalle caratteristiche dell’Universo in contrazione. App. 1-Capitolo 3: Fenomeni relativistici. App. 1-Par. 3.1: Tempo e gravità: la gravità rallenta il tempo! Anche la gravità rallenta il tempo! In montagna il tempo scorre più velocemente che a valle. Ovviamente, sulla Terra, la differenza è impercettibile, ma su una stella di neutroni, o in un buco nero, l’effetto è intensissimo. gHmE 0=∆ (delta energia del salto di quota)
ν∆=∆ hE (delta energia del calo di freq. di un fotone)
Dalle due: hgHm0=∆ν .
Per un fotone, νhE = , ma in relatività: 20cmE = , da
cui, per un fotone: 20 chm ν= e dunque, per ν∆ :
2cgHνν =∆ ed essendo il tempo l’inverso della
frequenza, si ha: tt∆=∆ νν e dunque:
tcgHt 2=∆ . Dunque, su un tempo t, si ha un
rallentamento Δt dato dalla gravità! Fig. A3.1: Montagna, gravità e tempo.
Sappiamo che la velocità di fuga di un corpo celeste di massa M e raggio R vale: R
GMV 2= . Se su quel corpo un
oggetto viene lanciato verticalmente alla velocità di fuga, esso uscirà dal campo gravitazionale del corpo celeste ed andrà verso l’infinito, senza più ricadere. Un buco nero è un corpo così compresso (M grande ed R piccolo) che la velocità di fuga sulla sua superficie raggiunge il valore della velocità della luce e dunque neanche la luce vi sfugge, da cui il nome di buco nero; inoltre, per quanto detto sopra, si può affermare che in un buco nero il tempo è pressoché fermo!
H
Fotone in discesa con freq. aumentata dalla gravità
Fotone in salita con freq. diminuita dalla gravità
App. 1-Par. 3.2: Volume dei solidi in moto. I solidi in moto risultano ruotati. --Osservatore— Fig. A3.2: Corpo visto in quiete. Fig. A3.3: Corpo visto in moto.
zyxV ∆∆∆= (volume del solido per un osservatore solidale allo stesso)
22 11'''' ββ −=∆∆−∆=∆∆∆= VzyxzyxV (volume del solido per un osservatore che vede il solido in
movimento a velocità V lungo x). Ovviamente, per le Trasformazioni di Lorentz, essendo il moto lungo x, solo Δx subisce contrazione. Tuttavia, l’osservatore in quiete vede il punto B in ritardo rispetto ad A, in quanto B è più distante di A ed il ritardo vale L/c, ovviamente. Come ulteriore conseguenza, B appare spostato indietro di un tratto pari a (L/c)V=βL. Si ha: Lsin φ= βL, da cui: sin φ= β e φ=arcsin β. In definitiva, il corpo appare dunque ruotato! Ed una sfera invece continua ad apparire come tale. App. 1-Par. 3.3: L’equazione delle onde, o di D’Alembert, vale in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Le onde elettromagnetiche nel vuoto, e dunque anche la luce, si propagano, come noto, seguendo l’equazione delle onde:
=∂∂
−∆==∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2 101tctczyxφ
φφφφφ
φ
Ora notiamo preliminarmente che, per le Trasformazioni di Lorentz, si ha (derivando le stesse):
γ=∂∂
xx'
, Vtx
γ−=∂∂ '
, 2'
cV
xt
γ−=∂∂
, γ=∂∂
tt '
, 1''=
∂∂
=∂∂
zz
yy
, 0......'''==
∂∂
=∂∂
=∂∂
xy
zx
yx
Per l’analisi matematica, si ha, in 0’: )','( trrφφ = , e dunque:
')(
''
''
''
''
' tV
xxt
txz
zxy
yxx
xx ∂∂
−+∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ φ
γφ
γφφφφφ
; inoltre:
''2)
''(
2
222
2
4
2
2
2
2
2
txVcV
tcV
xx ∂∂∂
−−
∂∂
+∂∂
=∂∂ φφφ
γφ
e similmente, per le altre coordinate:
'' txV
t ∂∂
+∂∂
−=∂∂ φ
γφ
γφ
e ''
2)''
(2
2
2
2
222
2
2
txV
txV
t ∂∂∂
−∂∂
+∂∂
=∂∂ φ
γφφ
γφ
e 2
2
2
2
'yy ∂∂
=∂∂ φφ
, 2
2
2
2
'zz ∂∂
=∂∂ φφ
da cui, per sostituzione nell’equazione delle onde, si ha:
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
'1
'''1
tczyxtczyx ∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ φφφφφφφφ
c.v.d.
Δx
Δy A D
B
C
Δz L
L L
B
L
L
V
B’
V
φ
Lsin φ
App. 1-Par. 3.4: L’esperimento di Fizeau. Nel 1849, molto prima della formulazione della Teoria della Relatività Ristretta da parte di Einstein (1905), il fisico francese A.H.L. Fizeau condusse degli studi sulla velocità della luce nell’acqua e nei fluidi in movimento. Fig. A3.4: Esperimento di Fizeau.
Nell’acqua in quiete la luce ha velocità skmsmncv /000.225
33,1/103 8
≅⋅
== , dove n=1,33 è l’indice di rifrazione
dell’acqua. Se ora l’acqua, o comunque il fluido nel quale si va a misurare la velocità della luce, scorre a sua volta con velocità V, allora, secondo i risultati di Fizeau, la velocità complessiva della luce nel fluido in scorrimento è:
)11( 2nV
ncv −+= , (A3.1)
in totale disaccordo con la fisica classica, secondo cui si dovrebbe avere più semplicemente: Vncv += .
Anni dopo, la TRR ha dato una spiegazione teorica della (A3.1). Infatti, per il Teorema di Addizione delle Velocità espresso dalla (A1.19), si può scrivere che:
)1(
)(
)1(
)(
2 ncV
Vnc
ncVc
Vnc
v+
+=
+
+= ; ora, moltiplicando numeratore e denominatore per )1(
ncV
− , si ha:
2
2
2
2 )(1
)11(
)(1
)1)((
)1(
)(
ncV
ncV
nV
nc
ncV
ncVV
nc
ncV
Vnc
v−
−−+=
−
−+=
+
+= , ma le quantità
ncV 2
a numeratore e 2)(ncV
a
denominatore sono ciascuna trascurabile (<<1) rispetto agli altri addendi e possono essere appunto trascurate, da cui
l’asserto: )11( 2nV
ncv −+= .
Acqua
V
V
Acqua
Prisma inverso Specchio
P
P=lamina semitrasparente
Sorgente di luce
App. 1-Par. 3.5: Effetto Doppler Relativistico (longitudinale). Fig. A3.5: Effetto Doppler longitudinale (esempio di sorgente S in allontanamento da R con velocità V (β)). L’antenna sorgente invia a quella ricevente segnali elettromagnetici di periodo TS; Per il fenomeno della dilatazione del tempo l’antenna ricevente li riceverà con un periodo T’S tale che:
)1('
2β−= S
STT ; inoltre, l’allontanamento di S determinerà un ST '∆ tra un fronte d’onda e l’altro pari a:
)1()1(''
22 ββ
β −=
−==∆ SSS
STT
cV
cVTT ; dunque, si avrà in totale per TR:
RSS
SSSSSSR
TTT
TTTTTTT
=−+
=+−
=
=++−
=+−
=−
+−
=∆+=
)1()1(
)1()1(
)1()1()1(
)1()1()1()1(
''222
ββ
ββ
βββ
βββ
ββ
che riscriviamo: )1()1(
ββ
−+
= SR TT ; (S ed R in allontanamento) (A3.2)
lo stesso vale se è il ricevitore ad allontanarsi. Se poi S ed R sono in avvicinamento, per gli stessi ragionamenti, vale la seguente:
)1()1(
ββ
+−
= SR TT (S ed R in avvicinamento). (A3.3)
Per una trattazione più generale dell’argomento, si veda il Subappendice 1.2. App. 1-Par. 3.6: Il Paradosso dei Gemelli spiegato con l’Effetto Doppler Relativistico! Supponiamo che uno dei due gemelli parta per un viaggio spaziale a velocità pari a 3/5 c=180.000 km/s, in allontanamento dalla Terra per 25 min (misurati sulla Terra) e poi inverta la rotta e ritorni sulla Terra alla stessa velocità, impiegando dunque altri 25 min. Si trascurino ovviamente, per semplicità, le fasi di accelerazione e decelerazione. Ora, per dimostrare che la dilatazione del tempo agisce anche sulla frequenza cardiaca del gemello in viaggio (ma sempre agli occhi del gemello sulla Terra, nonché al reincontro dei gemelli a fine viaggio), supponiamo, per semplicità, che entrambi i gemelli abbiano un battito cardiaco al secondo e che il gemello sulla Terra trasmetta un impulso radio (dunque a velocità c) ogni secondo, cioè ogni suo battito cardiaco, verso l’astronave, per tenere informato il fratello gemello in viaggio sulla propria frequenza cardiaca. Ricordiamo che per il gemello “vecchio” (old) che resta sulla Terra il viaggio dura, per ipotesi, 25+25=50 min (3000 battiti cardiaci), mentre, se la dilatazione del tempo è vera, per il gemello giovane (young) la durata sarà di (V=3/5 c, cioè β=3/5):
)2591(min50)1()1( 2
2
2
22
cc
cVTTT oldoldyoung −=−=−= β =40min (=2400 battiti cardiaci)
Invece, sotto un’analisi Doppler del fenomeno, possiamo dire che, per la (A3.2), il gemello sulla Terra (old) trasmette i suoi battiti cardiaci ogni secondo, ma dal gemello in viaggio essi verranno ricevuti, nella fase di andata, ogni due secondi; infatti, durante l’andata (“to”):
c c c
Antenna Sorgente S Antenna Ricevitore R
V
sstoTtoT oldyoung 2)5/3(1)5/3(1
1)1()1(
)()( =−+
=−+
=ββ
e dunque, durante l’andata, il gemello in viaggio, il cui tempo
di andata è di 20 min=1200s=1200 battiti, ha ricevuto dal fratello sulla Terra un battito ogni 2s, cioè solo 600 battiti. Dunque, il gemello in volo, durante i suoi 20 min(=1200s) di andata, ha constatato su se stesso ovviamente 1200 battiti e ne ha ricevuti però solo 600 del fratello sulla Terra. Dopo 20 min del gemello in volo, la rotta si inverte ed inizia il ritorno verso la Terra, di altri 20 min (sempre secondo il tempo del gemello in volo). In questi altri 20 min di ritorno (“from”), però, il gemello sulla Terra trasmette sempre ogni secondo, ma quello in volo ora riceve ogni mezzo secondo; infatti, ora, per la (A3.3):
ssfromTfromT oldyoung 5,0)5/3(1)5/3(1
1)1()1(
)()( =+−
=+−
=ββ
, dunque, durante questi suoi altri 20 min=1200s=
=1200 battiti su se stesso, il gemello in volo riceve ben 2400 battiti dal fratello dalla Terra. Dunque, il gemello in volo, durante gli altri suoi 20 min(=1200s) di ritorno, ha constatato su se stesso ovviamente altri 1200 battiti e ne ha ricevuti però ben 2400 dal fratello dalla Terra. Riassumiamo: in totale, durante il suo intero viaggio di 20+20=40 min, il gemello in volo ha contato ovviamente 1200+1200=2400 battiti cardiaci su se stesso e ben 600+2400=3000 battiti cardiaci dal fratello gemello rimasto sulla Terra. Deve per forza ritenersi più giovane!!! App. 1-Par. 3.7: L’Esperimento di Michelson e Morley.
Fig. A3.6: Apparecchiatura di Michelson (interferometro). Fig. A3.7: Percorsi luminosi e rispettive velocità.
S
S1
S2
Cannocchiale e interferometro
L – sorgente luminosa r1
r2
S – specchio semiriflettente S1, S2 - specchi
S2
S
S
l2
22tV ⋅
S
S1
l1
c+V
c-V
22 Vc −
V V c c
22 Vc −
Prima di Einstein si pensava che le onde elettromagnetiche, e dunque anche la luce, dovessero necessariamente propagarsi in un mezzo, così come avviene per le onde sonore nell’aria. Si suppose dunque che lo spazio fosse permeato da un gas invisibile e leggerissimo, detto etere. La Terra ruota intorno al Sole con una velocità V di circa 30 km/s, dunque si muoverebbe nell’etere con tale velocità e la luce emessa da una sorgente luminosa solidale con la Terra stessa dovrebbe dunque avere, in generale, una velocità diversa da c (c±V lungo la direzione di moto della Terra e 22 Vc − trasversalmente). Nel 1886 si iniziò a preparare l’esperimento, che doveva dimostrare il movimento della Terra nell’etere. A Cleveland venne bloccato il traffico durante l’esperimento, per evitare vibrazioni; l’apparecchiatura fu posta su una lastra di pietra galleggiante in un pozzo di mercurio, per effettuare la rotazione dell’apparecchiatura di 90° senza vibrazioni. Ora, con l1 lungo il moto della Terra, per il cammino di andata e ritorno compiuto dalla luce, si ha:
)1(12
22111
1 cVcl
Vcl
Vclt
−=
−+
+= e per il moto trasversale lungo l2:
)1(122
222
222
2cVc
lVc
lt−
=−
=
Facendo giungere i due raggi su un interferometro per farli appunto interferire, gli stessi giungerebbero con un Δt pari a:
)]1()21([2))1()1(
(2 221
22222
122
212 cVlcVl
ccVl
cVl
cttt +−+≅
−−
−=−=∆
in quanto si ha che 410−≅cV , 822 10−≅cV e kxx k +≅+ 1)1( .
La lunghezza d’onda della luce utilizzata era m7105,5 −⋅=λ e sappiamo che a λ corrisponde l’angolo giro π2 ; possiamo dunque scrivere la seguente proporzione che coinvolge l’angolo di sfasamento δ tra i due raggi e la differenza di cammino cΔt:
δπλ tc∆
=2
, da cui: λ
πδ
tc∆=
2.
Fissando la lunghezza di un braccio e regolando quella dell’altro tramite una vite micrometrica, si può rendere cΔt dell’ordine di λ, realizzando il fenomeno di interferenza voluto. Ora, senza variare la geometria dell’apparecchiatura, la si ruoti di 90°; i ruoli di l1 ed l2 si invertiranno e si avrà:
)]1()21([2))1()1(
(2''' 222
22122
222
112 cVlcVl
ccVl
cVl
cttt +−+≅
−−
−=−=∆
e inoltre si avrebbe: 4,010105,5
22'2
'2
872
221 ≅
⋅=
+=
∆−∆=
−=
∆ −− m
mcVlltctc
λλπδδ
πδ
, cioè, con la rotazione
dell’interferometro si dovrebbe osservare uno spostamento delle frange di interferenza pari a 0,4 volte la distanza λ fra due massimi successivi. In realtà, nulla di tutto ciò fu osservato, nonostante la sensibilità degli strumenti fosse tale che si potesse avere anche
01,02
=∆πδ
!
Michelson si dichiarò dunque deluso dall’esperimento, visto che non venne dimostrato il movimento della Terra nell’etere. La questione venne risolta nel 1905 da un impiegato dell’Ufficio Brevetti di Berna, un certo Albert Einstein, che suggerì di cessare di cercare di dimostrare il moto della Terra nell’etere, per il semplice fatto che l’etere non esiste! Aggiungo io che la materia oscura dei giorni nostri presto farà la stessa fine. App. 1-Capitolo 4: L’Elettrodinamica relativistica. App. 1-Par. 4.1: La forza magnetica è niente altro che una (relativistica) forza elettrica di Coulomb(!) A tal proposito, immaginiamo la seguente situazione, dove vi è un conduttore, ovviamente composto da nuclei positivi e da elettroni, e poi un raggio catodico (di elettroni) che scorre parallelo al conduttore:
Fig. A4.1: Conduttore non percorso da corrente, visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. Sappiamo dal magnetismo che il raggio catodico non sarà deflesso verso il conduttore perché in quest’ultimo non scorre nessuna corrente che possa determinare ciò. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che ogni singolo elettrone del raggio è respinto dagli elettroni del conduttore con una forza F-
identica a quella F+ con cui è attratto dai nuclei positivi del conduttore. Passiamo ora alla situazione in cui nel conduttore scorra invece una corrente con gli e- a velocità u:
Fig. A4.2: Conduttore percorso da corrente (con gli e- a velocità u), visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. In quest’ultimo caso, sappiamo dal magnetismo che il raggio di elettroni deve deflettere verso il conduttore, in quanto siamo nel noto caso di correnti parallele e di verso concorde, che devono dunque attrarsi. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che dal momento che gli elettroni nel conduttore inseguono, per così dire, quelli del fascio, i primi, visti dal sistema di quiete del fascio (I’), avranno una velocità minore rispetto a quella che risultano avere i nuclei positivi, che invece sono fermi nel conduttore. Risulterà, perciò, che gli spazi immaginabili tra gli elettroni del conduttore subiranno una contrazione relativistica di Lorentz meno accentuata, rispetto ai nuclei positivi, e dunque ne risulterà una densità di carica negativa minore della densità di carica positiva, e dunque gli elettroni del fascio verranno elettricamente attratti dal conduttore. Ecco la lettura in chiave elettrica del campo magnetico. Ora, è vero che la velocità della corrente elettrica in un conduttore è molto bassa (centimetri al secondo) rispetto alla relativistica velocità della luce c, ma è anche vero che gli elettroni sono miliardi di miliardi …, e dunque un piccolo effetto di contrazione su così tanti interspazi determina l’apparire della forza magnetica. Ora, però, vediamo se la matematica ci dà quantitativamente ragione su quanto asserito, dimostrandoci che la forza magnetica è una forza elettrica anch’essa, ma vista in chiave relativistica. Consideriamo allora una situazione semplificata in cui un elettrone e- , di carica q, viaggi, con velocità v, parallelo ad una corrente di nuclei con carica Q+ (a velocità u): Fig. A4.3: Corrente di cariche positive (a velocità u) ed elettrone a velocità v nel sistema di quiete del lettore I.
e- e-
p+
e- e- e- e- e- e- e- e-
p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+
e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-
Raggio catodico
Conduttore
F -
F +
Direzione del raggio catodico v
x’
y’ z’
I’
Direzione della corrente I, con e- a velocità u
e- e-
p+
e- e- e- e- e-
p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+
e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-
Raggio catodico
Conduttore
F -
F +
Direzione del raggio catodico v
x’
y’ z’
I’
r
Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+
q-
220 1 cudd −=
F
v
u
x’
y’ z’
I’
x
y
I z
a) Valutazione di F in chiave elettromagnetica, nel sistema I : Ricordiamo innanzitutto che se ho N cariche Q, in linea, a distanza d una dall’altra (come in figura A4.3), allora la densità di carica lineare λ sarà:
dQdNQN =⋅⋅=λ . Ora, sempre con riferimento alla Fig. A4.3, nel sistema I, per l’elettromagnetismo l’elettrone sarà sottoposto alla forza di Lorentz )( BvEqFl ×+= che si compone di una componente originariamente già elettrica e di una magnetica:
qrdQq
rqEFel )
21()
21(
00 πεπλ
ε==⋅= dovuta all’attrazione elettrostatica di una distribuzione lineare di cariche Q,
e:
rdQu
rudQ
rtQ
rIFmagn π
µπ
µπ
µπ
µ22
)(22 0000 ==== (Biot e Savart).
Dunque: 220
0
00
0 11)1(
2)
221(
cuuv
rdQq
rdQuv
rdQqFl
−−=−= µ
εππµ
πε , (A4.1)
dove il segno meno indica che la forza magnetica è repulsiva, in tale caso, visti i segni reali delle due correnti, e dove la distanza d0 di quiete risulta contratta a d, per Lorentz, nel sistema I in cui le cariche Q hanno velocità u
( 220 1 cudd −= ).
b) Valutazione di F in chiave elettrica, nel sistema I’ di quiete di q: nel sistema I’ la carica q è ferma e dunque non costituisce nessuna corrente elettrica, e dunque sarà presente solo una forza elettrica di Coulomb verso le cariche Q:
220
000 '11)
21()
2'1()
2'1(''
curdQqq
rdQq
rqEF el
−===⋅=
πεπεπλ
ε , (A4.2)
dove u’ è la velocità della distribuzione di cariche Q nel sistema I’, che si compone di u e v tramite il noto teorema relativistico di addizione delle velocità:
)1()(' 2cuvvuu −−= , (A4.3)
e d0, questa volta, si contrae appunto secondo u’: 220 '1' cudd −= .
Notiamo ora che, con un po’ di algebra, vale la seguente relazione (vedi la (A4.3)):
22
222222
)1()1)(1('1
cuvcvcucu
−−−
=− , che sostituita nel radicale della (A3.2) fornisce:
2222
20
000 11)1()
21()
2'1()
2'1(''
cvcucuv
rdQqq
rdQq
rqEF el
−−
−===⋅=
πεπεπλ
ε (A4.4)
Vogliamo ora confrontare la (A4.1) con la (A4.4), ma ancora non possiamo, perché una fa riferimento ad I e l’altra ad I’; rapportiamo allora elF ' della (A4.4) in I anch’essa e, per fare ciò, osserviamo che, per la definizione stessa di forza, in
I’:
2222'
'
1)_(
1)'_('
cvIinF
cvtp
tpIinF el
I
I
I
Iel
−=
−∆
∆=
∆∆
= , con II pp ∆=∆ ' in quanto p∆ si estende lungo y, e non
lungo la direzione del moto relativo, dunque per le T. di Lorentz non subisce variazione, mentre t∆ ovviamente sì. Si ha allora:
22
2222
20
0
22 111
)1()2
1(1)'_(')_( cvcvcu
cuvrdQqcvIinFIinF elel −
−−
−=−=
πε =
)_(1
)1()2
1(22
20
0
IinFcu
cuvrdQq el=
−
−=
πε (A4.5)
Ora, dunque, possiamo confrontare la (A4.1) con la (A4.5), in quanto ora entrambe fanno riferimento al sistema I. Riscriviamole una sopra l’altra:
2200
00
0 11)1(
2)
221()_(
cuuv
rdQq
rdQuv
rdQqIinFl
−−=−= µ
εππµ
πε
22200
022
20
0 11)1(
21)1()
21()_(
cucuv
rdQq
cucuv
rdQqIinFel
−−=
−
−=
εεππε
Possiamo dunque dire che le due equazioni sono identiche se è verificata la seguente identità: 001 µε=c , e la
stessa è nota sin dal 1856. Essendo dunque identiche le due equazioni, la forza magnetica risulta ricondotta ad una forza elettrica di Coulomb, e dunque è compiuta l’unificazione dei campi elettrico e magnetico!! App. 1-Par. 4.2: Il quadrivettore densità di corrente. Si hanno ovviamente le seguenti equazioni sulla densità di carica:
00 dt
dQ=ρ , 0
021
γρβτ
ρ =−
==dt
dQddQ
Si noti poi che vale la seguente equazione che testimonia anche l’invarianza della carica elettrica: τρρ ddt =00 .
Sappiamo poi dalla fisica che la densità di corrente vale vj rrρ= .
Viene allora spontaneo definire il quadrivettore densità di corrente nel seguente modo:
),(),( 00 cvcjj γργρρrr
== ; si noti la similitudine con il quadrivettore momento-energia:
),(),( 00 cmvmmcpp γγrr
== . Si ha poi:
220
24
22cjjj ρ−=−=
r e inoltre, potendo applicare le Trasformazioni di Lorentz ad un quadrivettore, come detto allo
App.1-Par. 1.5 – eq. (A1.12), si ha:
411' jjj βγγ −= )(' Vjj xx ργ −=
22' jj = yy jj ='
33' jj = oppure anche: zz jj =' (A4.6)
414' jjj γβγ +−= )(' 2 xjcV
−= ργρ
con cV=β e 21
1β
γ−
= .
Adesso, al fine di mostrare con i quadrivettori e in modo più compatto quanto esposto all’ App.1-Par. 4.2, consideriamo un filo percorso da corrente stazionaria I in un riferimento k e sia I diretta lungo x; se in tale sistema si pone una carica q con velocità v lungo x, si ottiene un movimento di q ad opera del solo campo B, poiché E=0, in quanto, in media, vi sono in un conduttore tante cariche positive quante sono quelle negative. Se però ci poniamo ora in un sistema k’ che si muove con velocità V=v rispetto a k, in k’ q è ferma ed in teoria dovrebbe scomparire la forza magnetica; ma ciò è contrario al Principio di Relatività (vedi Introduzione). Deve quindi comparire in k’ un campo elettrico; infatti:
−++= jjj , ),0(),( nqccjj == +++
ρr
[n]=[numero di q coinvolte/m3] e
),(),( nqcvnqcjj −−== −−−
rrρ , il primo termine qui è negativo perché il verso di v è opposto a quello
convenzionale di I (in quanto qui q<0) ed il secondo termine anche è negativo, sempre perché qui q<0. Per le Trasformazioni di Lorentz (A1.12) si ha allora (v=V): nqVj x γ−==+' )(' nqVnqvj x +−=− γ
nqγρ =+' )(' 2cvVnqnq +−=− γρ
ed essendo ora −+ −≠ '' ρρ , deve comparire un campo elettrico.
App. 1-Par. 4.3: Il tensore del campo elettromagnetico. Premessa sui tensori: Un vettore è un tensore di rango 1. Per noi, poi, è sufficiente dire che ottengo un tensore di rango 2 quando eseguo il prodotto delle componenti di due vettori c e b:
),,,()( 4321 cccccc i = , ),,,()( 4321 bbbbbb k = → kiik bcA = Con le (A1.16) e (A1.17) abbiamo visto come esprimere le Trasformazioni di Lorentz:
llii cc 'α= (i,m=1,2,3,4) e m
mkk bb 'α= (k,l=1,2,3,4) e dunque:
iklmmk
liml
mk
likiik AAbcbcA ==== ''' αααα (A4.7)
che è la legge di trasformazione di un tensore di rango 2. Notiamo poi che si ottiene un tensore di rango 2 anche derivando le componenti di un vettore b rispetto alla coordinata x:
llii bb 'α= , k
kmm xx α=' >>> k
mk
m
xx
α→∂∂ '
m
lkm
li
k
ml
li
mk
m
m
i
k
i
xb
xxb
xxx
xb
xb
''')'(
''
' ∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
ααα ; dunque, tale derivata si trasforma come le componenti di un
tensore 2, dunque è un tensore 2. Premessa sull’elettromagnetismo: sappiamo dall’elettromagnetismo che i campi elettrico e magnetico (vettore induzione B) possono essere espressi in funzione dei potenziali elettrodinamici φ ed A:
tAE
∂∂
−∇−=r
rrϕ e (A4.8)
ABrrr
×∇= (A4.9)
e conosciamo anche la Condizione di Lorentz: 012 =
∂∂
+⋅∇=∂∂
+⋅∇t
Atc
A ϕεµ
ϕ rrrr , (A4.10)
nonché l’Eq. di Continuità: 0=∂∂
+⋅∇t
j ρrr. (A4.11)
Sempre dall’elettromagnetismo sappiamo inoltre che:
=−=∂∂
−∆ερϕ
ϕ 2
2
21
tc φ e (A4.12)
=−=∂∂
−∆ jtA
cA
rr
rµ2
2
21
Ar
(A4.13)
e ricordiamo che già definimmo il quadrivettore densità di corrente j:
),,,(),( ρρ cjjjcjj zyx==r
( ρii vj = ).
------------------
Viene ora spontaneo definire il Quadrivettore Potenziale o Quadripotenziale Φ :
),,,(c
AAA zyxϕ
=Φ ; infatti, così facendo, le (A4.12) e (A4.13) si possono così riassumere:
kk jµ−=Φ e definendo la quadridivergenza ))(
()(44 ctctxyx
div∂
∂+∇=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=rr
si ha anche,
banalmente:
04 =∇ jr
per l’Equazione di Continuità (A4.11) e 04 =Φ∇r
per la Condizione di Lorentz (A4.10).
------------------ Ora, dalle (A4.8) e (A4.9) si ha:
3
2
2
31 xxz
AyABB yz
x ∂Φ∂
−∂Φ∂
=∂
∂−
∂∂
== , )(4
1
1
41 xx
ct
Ax
EE xx ∂
Φ∂−
∂Φ∂
=∂
∂−
∂∂
−==ϕ
ecc; quindi E e B non sono
esprimibili tramite due quadrivettori, ma sono esprimibili insieme tramite un quadritensore di rango 2, in quanto dimostrammo che la derivata di un vettore è un tensore 2:
)(k
i
i
kik xx
cF∂Φ∂
−∂Φ∂
= ; scriviamo ora le componenti di Fik in forma matriciale:
−−−−−−
=
00
00
zyx
zxy
yxz
xyz
ik
EEEEcBcBEcBcBEcBcB
F , e con la (A4.7) abbiamo dimostrato che Fik si trasforma nel seguente
modo: lmmk
liik FF 'αα= . (A4.14)
Si noti che Fik è antisimmetrico, cioè Fik=-Fki. Ovviamente, poi:
−−−−−−
=
0''''0''''0''''0
'
zyx
zxy
yxz
xyz
ik
EEEEcBcBEcBcBEcBcB
F
Ricordando ora che a secondo membro della (A4.14) è sottintesa la sommatoria su l ed m, che sono infatti ripetuti, e sviluppando appunto tale equazione, otteniamo le trasformazioni del campo elettromagnetico:
xx EE '= xx BB '=
)''( zyy VBEE += γ )''( 2 zyy EcVBB −= γ
)''( yzz VBEE −= γ )''( 2 yzz EcVBB += γ
nonché le sue inverse:
xx EE =' xx BB ='
)(' zyy VBEE −= γ )(' 2 zyy EcVBB += γ
)(' yzz VBEE += γ )(' 2 yzz EcVBB −= γ
App. 1-SUBAPPENDICI: App. 1-Subapp. 1: Trasformazioni di Lorentz consecutive. k >>> V >>> k’ >>> W >>> k’’ Abbiamo tre sistemi di riferimento k, k’ e k’’ e V e W sono le rispettive velocità relative.
Con le seguenti notazioni: cV
=1β , c
W=2β , 2
11 11 βγ −= , 222 11 βγ −= ,
21c
VWWVU
+
+= e
cU
=β
si ha, per le T. di Lorentz applicate consecutivamente:
)''(1 Vtxx += γ con )''( 11 x
ctt β
γ += e
)''''(' 2 Wtxx += γ con )''''(' 22 x
ctt β
γ += e, per sostituzione:
xtWVx
tWVxxVtWtxx
=+
+++=
=+++=+++=
)''1
'')(1(
]'')('')1[()''''''''(
212121
21212121
ββββγγ
ββγγββγγ (A.1.1)
e analogamente: )'')1(
1'')(1(21
22121 xWVc
ttββ
ββγγ+
+++= ; (A.1.2)
ora notiamo che si ha:
=+++−++=+−−=+ 22121
22
2121
22
21
221
22
212121 )1()]2(21[1)1()1)(1(1)1( ββββββββββββββββγγ
γββββ =−=++−= 2222121 11)]1()([11 cU , e quindi le (A.1.1) e (A.1.2) si riscrivono così:
)''''( Utxx += γ con )''''()''''( 2 xc
txcUtt β
γγ +=+= , dunque, invece di compiere due T. di
Lorentz ( 1γ ,V e 2γ ,W), se ne compie solo una, ma utilizzando γ ed U. App. 1- Subapp. 2: Effetto Doppler (relativistico) Trasversale. Rappresentiamo un’onda elettromagnetica che si propaga, tramite il suo campo elettrico E:
)(0
rktieEErrr
⋅−= ω ; tale campo si propaga lungo r e sappiamo che λπ2
=kr
e Tπ
ω2
= per cui:
Tk ωλ =r
, cioè: kc
Tkrr
===ω
λω ; (A.2.1)
rktI rr⋅−= ω è evidentemente un invariante, ma è anche esprimibile come il prodotto di due quadrivettori
(evidentemente invarianti): (4-vettore posizione e 4-vettore d’onda) ),(),( ckkctrrI ωrr
⋅−= .
Ricordiamo ora che, per la (A.2.1), c
k ω=
r e consideriamo un’onda luminosa che si propaga in un sistema k’(V) sul
piano x’, y’ e formante un angolo θ’ con x’; le componenti di 'kr
saranno:
'cos)'('cos''1 θωθ ckk == , 'sin)'('sin''2 θωθ ckk == , 0'3 =k e ')'('4 kck == ω .
Per le T. di Lorentz, si ha, invece, in un sistema k: )''( 411 kkk βγ += , 22 'kk = , 33 'kk = e )''( 144 kkk βγ += ; ora, poichè anche k3=0, anche nel sistema k il
raggio si propaga su x,y; quindi, si ha: ),0,sin,cos(ccc
k ωθ
ωθ
ω= ; calcoliamo ora dunque ω e θ: a tal proposito,
dalla trasformazione di k’4 si ha: )'cos''( θω
βω
γω
ccc+= oppure:
)'cos1(')1(
)'cos1('2
θβγωβ
θβωω +=
−
+= (A.2.2)
mentre dalla trasformazione di k’1 si ha: )''cos'(coscccω
βθω
γθω
+= e tenendo conto della (A.2.2), si ha:
)'cos1()'(cos)'(cos'cos
θββθ
βθγωω
θ+
+=+= (A.2.3)
Notiamo poi ancora che la trasformazione di k’2 e la (A.2.2) ci danno:
)'cos1('sin'sin
)'cos1()1(
'sin'sin2
θβγθ
θθβ
βθ
ωω
θ+
=+
−== (A.2.4)
e dalle (A.2.3) e (A.2.4) si ha ancora: )cos1(
sin'sinθβγ
θθ
−= , che è poi anche la (A.2.4) con θ’ e θ scambiati e con
(-β) al posto di β; il tutto per la relatività del moto. ------------------------
Supponiamo ora una sorgente ω’ in quiete in un sistema k’(θ’); allora, dalla (A.2.3) si ha:
)cos1()(cos'cos
θββθ
θ−
−= (utile per determinare subito θ da θ’) ((A.2.3) con θ’ e θ scambiati e con (-β) al posto di β),
da cui, con un po’ di calcolo:
θββ
θβcos1
)1()'cos1(2
−−
=+ e la (A.2.2) diviene:
θββ
ωωcos1
)1('
2
−−
= (A.2.5)
Qui ω’ è la ω della sorgente in moto e ωω ≠' . Dunque, se nel sistema k si vede arrivare la radiazione sotto un angolo πθ = , significa che la radiazione proviene da destra, dal sistema k’ in allontanamento lungo l’asse x, e si può dunque
parlare di Effetto Doppler Longitudinale (Par. 3.5) ed in tal caso 1coscos −== πθ e dalla (A.2.5) con sorgente in
allontanamento ( πθ = ) si ha: )1()1('
ββ
ωω+−
= (A.2.6)
>>> )1()1('
ββ
−+
= TT , mentre col sistema k’ in avvicinamento (θ=0 >>> cos θ=1), si ha:
)1()1('
ββ
ωω−+
= (A.2.7)
>>> )1()1('
ββ
+−
= TT , proprio come nel Par. 3.5.
Curiosità: sviluppando in serie di β (<<1), le (A.2.6) e (A.2.7) si ottiene: )1(' βωω −≅ e )1(' βωω +≅ da cui:
βωω
ωωω
m=∆
=−
'''
, formula molto usata in astrofisica e cosmologia per il red shift (si ricorda poi che πνω 2= e
c=λν ). Per passare dal caso di emettitore in moto a quello di osservatore in moto e viceversa, basta poi scambiare β con – β (V con –V) e ω’ con ω. In ogni caso, quando c’è avvicinamento (o allontanamento) le formule per l’Effetto Doppler Relativistico longitudinale sono le stesse indipendentemente da chi dei due si avvicina. Se il sistema k si vede invece arrivare la radiazione con 2πθ = , dall’alto, allora possiamo parlare di Effetto Doppler Relativistico TRASVERSALE; in tal caso non si ha allontanamento o avvicinamento, ma l’unico effetto di tipo Doppler è
imputabile alla sola dilatazione del tempo; infatti, anche dalla (A.2.5), con 2πθ = , si ha: )1(' 2βωω −= .
Sviluppando, con β<<1, si ha: )2
1('2β
ωω −≅ (secondo grado in β, dunque un effetto meno visibile del
longitudinale). Tale effetto fu osservato per la prima volta da Ives nel 1938 e confermò in pieno la teoria. Inoltre, la diversità tra θ’ e θ conferma anche il fenomeno dell’ABERRAZIONE della luce, secondo cui se sei in moto vedi la luce giungerti sotto un angolo diverso, un po’ come quando in viaggio in macchina vedi la pioggia cadere in obliquo sul parabrezza. E dalle (A.2.3) e (A.2.4) si ha:
)'(cos)1('sin 2
βθβθ
θ+−
=tg .
App. 1- Subapp. 3: Le trasformazioni della quadrivelocità. Abbiamo definito all’ App.1-Par. 2.2 il quadrivettore velocità:
),,,(),(),,,(),,,(),,,( 432143214321 uuuucvcvvv
dtdx
dtdx
dtdx
dtdx
ddx
ddx
ddx
ddxv zyx ===== γγγγγγγγγγ
ττττr
Applicando le T. di Lorentz, si ha: )(' 411 uuu β−Γ= , 22' uu = , 33' uu = , )(' 144 uuu β−Γ= ;
ora, si noti che Γ è definito dalla V del sistema 0’ in moto (e β=V/c), mentre γ si riferisce alla velocità v che la
particella ha in 0, e 'γ alla v’ che la particella ha in 0’. Sostituendo ora agli u i valori corrispondenti:
)('' Vvv xx γγγ −Γ= , yy vv γγ ='' , zz vv γγ ='' , )(' xvcc γβγγ −Γ= ;
e dall’ultima si ha:
)1(
1'
2 xvcV
−Γ=
γγ
, (A.3.1)
che sostituita nelle prime tre: )('
' Vvv xx −Γ=γγ
, yy vv'
'γγ
= , zz vv'
'γγ
= dà la trasformazione delle velocità. Nel
caso delle trasformazioni inverse, in luogo della (A.3.1) si avrà: )1(' 2 xv
cV
+Γ=γγ
.
Segue dalla (A.3.1) che se la particella è in quiete in 0 (v=0 >> 1=γ ), allora Γ='γ , da cui v’=-V , cioè in 0’ la particella ha velocità –V (ovvio). App. 1- Subapp. 4: Le trasformazioni della quadriforza. All’ App.1-Par. 2.3 abbiamo introdotto la Forza di Minkowski, o quadriforza:
),,,())(,( 4321 FFFFvfc
fd
pdF =⋅==
rrr γγ
τ.
Per le T. di Lorentz: )(' 411 FFF β−Γ= , 22' FF = , 33' FF = , )(' 144 FFF β−Γ= . Introducendo ora in tali equazioni di trasformazione le componenti della Forza di Minkowski, si ottiene:
))(('' vfc
ff xxrr
⋅−Γ= γβ
γγ , yy ff γγ ='' , zz ff γγ ='' , ))(()''(' xfVvfvf γγγ −⋅Γ=⋅rrrr
, da cui:
))(('
' vfc
ff xxrr
⋅−Γ=β
γγ
, yy ff'
'γγ
= , zz ff'
'γγ
= , ))(('
)''( xVfvfvf −⋅Γ=⋅rrrr
γγ
, che, per la (A.3.1)
divengono:
x
x
x
vcV
vfc
ff
21
))(('
−
⋅−=
rrβ
,
x
yy
vcV
ff
2
2
1
1'
−
−=
β ,
x
zz
vcV
ff2
2
1
1'
−
−=
β ,
x
x
vcV
Vfvfvf21
)()''(
−
−⋅=⋅
rrrr
che sono le equazioni di trasformazione della quadriforza.
App. 1- Subapp. 5: Il quadrivettore accelerazione e le trasformazioni delle accelerazioni. Ovviamente, il quadrivettore accelerazione è definibile come segue:
),,,(),,,( 432124
2
23
2
22
2
21
2
2
2
aaaad
vdd
xdd
xdd
xdd
xdd
xda ====ττττττ
Per le prime tre componenti (spaziali) si ha: ( 3,2,1=α )
22222
)1()(
1)(
ββγ
γγ
τγ ααα
ααα −+
−=+==
cvvvv
dtdv
dtdv
ddtv
dtda &&
, in quanto:
2
33
2)
)1(1(
cvv
dtd
dtd &&&
γββγ
β
γγ ==
−== . Riguardo invece a4 :
224
2
4 )1()(
2)(
βββγ
γγγ
τγ
−=====
cvvc
dtdc
dtdc
ddtc
dtda
&& e dunque:
))1(
)(,()2
),(( 2242
2
βββγγ
γγγ
−+==
vvvvdt
dcvdtda
&&& ; si noti che nel sistema in cui la particella è a riposo (v=0, β=0)
si ha: xva &=)0(1 , yva &=)0(
2 , zva &=)0(3 , 0)0(
4 =a , cioè la parte spaziale di a coincide con quella tridimensionale
ordinaria. Si ha inoltre: 022>= va & ed essendo
2a un invariante, la disegualianza è sempre verificata e a è dunque
di tipo spazio. Per giungere ora alle equazioni di trasformazione dell’accelerazione, di consideri che:
dtdvv =& e
dtdvv ''=& ; inoltre, )(tvv xx = e )'('' tvv xx = (coerentemente). Denominiamo poi:
cvx
x =β e c
v xx
'' =β ; otteniamo allora dalle (A1.18) che:
22 )'1(1
' xx
x
dvdv
ββγ += , 2)'1(
)''''(1
' x
xy
xy
y
y dvdv
dvdv
ββγ
βββ
+
−−= e 2)'1(
)''''(1
' x
xz
xz
z
z dvdv
dvdv
ββγ
βββ
+
−−= .
Da queste si ha poi:
22 )'1('
x
xx
dvdvββγ +
= , 2)'1()''''('
x
yxxyyy
dvdvdvdv
ββγβββ
+−−
= e 2)'1()''''('
x
zxxzzz
dvdvdvdvββγ
βββ+
−−= ;
dividendo ora tali relazioni con la seguente nota relazione (delle T. di Lorentz) )''( dxc
dtdt βγ += , si ha:
xx
x aa ')'1(
133 ββγ +
= , 32 )'1()''''('
x
xyyxyy
aaaa
ββγβββ
+−+
= e 32 )'1()''''('
x
xzzxzz
aaaaββγ
βββ+
−+=
che sono appunto le equazioni di trasformazione dell’accelerazione. Notiamo, per ultimo, che tali equazioni contengono la velocità; quindi, se l’accelerazione tridimensionale è costante in un sistema di riferimento inerziale, varierà nel tempo in tutti gli altri!
App. 2: Come io vedo l’Universo (Unificazione Gravità Elettromagnetismo).
Indice dell’App. 2: -Indice dell’App. 2. Pag.26 -App. 2-Capitolo 1: Un nuovo Universo, cento volte più grande, massivo e vecchio. Pag.26 App. 2-Par. 1.1: Niente materia oscura! Pag.26 App. 2-Par. 1.2: L’accelerazione cosmica aUniv. Pag.28 App. 2-Par. 1.3: La nuova densità dell’Universo. Pag.29 App. 2-Par. 1.4: Ulteriori considerazioni sul significato di aUniv. Pag.29 App. 2-Par. 1.5: Ulteriori conferme ed incoraggiamenti da parte di altre branche della fisica. Pag.30 App. 2-Par. 1.6: Sulle discrepanze tra la velocità di rotazione calcolata e quella osservata, nelle galassie. Pag.31 -App. 2-Capitolo 2: L’unificazione della forza elettromagnetica con quella gravitazionale (Rubino). Pag.32 App. 2-Par. 2.1: L’effetto di MUniv sulle particelle. Pag.32 App. 2-Par. 2.2: La scoperta dell’essenza comune di gravità ed elettromagnetismo. Pag.33 App. 2-Par. 2.3: L’entità oscillatoria dell’Universo tutto e delle particelle. Pag.34 -App. 2-Capitolo 3: L’unificazione della forza magnetica con quella elettrica. Pag.35 App. 2-Par. 3.1: La forza magnetica è niente altro che una forza elettrica di Coulomb(!). Pag.35
-App. 2-Capitolo 4: Giustificazione dell’equazione eUniv rNR = precedentemente utilizzata per l’unificazione della forza elettrica con quella gravitazionale (Rubino). Pag.38
App. 2-Par. 4.1: L’equazione eUniv rNR = (!). Pag.38
-App. 2-Capitolo 5: “aUniv“ come responsabile assoluta di tutte le forze. Pag.39 App. 2-Par. 5.1: Tutto da “aUniv“. Pag.39 App. 2-Par. 5.2: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze. Pag.39 App. 2-Par. 5.3: Altre considerazioni sulla composizione dell’Universo in coppie +/-. Pag.40 App. 2-Par. 5.4: La Teoria della Relatività altro non è che la interpretazione dell’Universo di oscillazioni appena descritto, in contrazione a velocità c ed accelerazione auniv. Pag.40 App. 2-Par. 5.5: Sulla “Relatività” delle energie cedute. Pag.42 -App. 2-SUBAPPENDICI. Pag.42 App. 2-Subppendice 1: Costanti fisiche. Pag.42 App. 2-Capitolo 1: Un nuovo Universo, cento volte più grande, massivo e vecchio. App. 2-Par. 1.1: Niente materia oscura! SULLE DISCREPANZE TRA LA DENSITA’ ρUniv CALCOLATA E QUELLA OSSERVATA: Ricercare il 99% della materia dell’Universo, dopo che la si è dichiarata invisibile, mi sembra alquanto strano. Si dice infatti che la materia oscura dovrebbe essere molta di più di quella visibile (dalle 10 alle 100 volte di più).
Gli astrofisici misurano un valore di ρ dell’Universo visibile pari, o intorno, a: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . La cosmologia prevalente di oggigiorno, nel calcolo della densità media dell’Universo, giunge invece ad un valore ρ pari a (vedere anche la (A1.6)):
3262 /102)34/( mkgGH localWrong
−⋅≅= πρ (valore troppo elevato!) . (A1.1)
Assumiamo ora per Hlocal (costante di Hubble locale – vedi la (A1.7) più sotto) il valore plausibile di:
])([10338,2)/(75 18 msmMpcskmH local
−⋅≅⋅≅ (A1.2)
confermato dalle innumerevoli misurazioni, ad esempio, sull’ammasso di galassie della Chioma (vedi la (A1.7) più sotto) e ciò conferma dunque anche il fatto che gli oggetti più lontani mai osservati si allontanano ad una velocità vicina a quella della luce:
OldUniversolocal RcH −≈ / , da cui: luceanniMpcHcR localOldUniv _105,134000/ 9⋅≈≈≈− (A1.3)
Inoltre, si calcola la velocità di un corpo “gravitante” di massa m ai confini dell’Universo visibile, banalmente, imponendo la seguente eguaglianza tra forza centrifuga e forza gravitazionale:
22
/ OldUnivOldUnivOldUniv
RMmGR
cmam −−−
⋅⋅=⋅=⋅ , (A1.4)
da cui, tenuto anche conto della (A1.3), segue che:
kgHGcM localOldUniv533 1067,1)/( ⋅≅⋅=− (A1.5)
e quindi:
3262333 /102)34/(])(
34[)()
34/( mkgGH
HcGHcRM locallocal
localOldUnivOldUnivWrong−
−− ⋅≅=== πππρ (A1.6)
cioè appunto la (A1.1) (valore troppo elevato!) Bene, anzi, male; tale valore è di quattro ordini di grandezza superiore al valore di densità osservato e, dunque, misurato dagli astrofisici. E poi le galassie sono troppo “leggère” per ruotare così velocemente (vedere oltre). Ed ecco che si è deciso di mettersi alla ricerca di materia oscura, e non di poca, visto che essa dovrebbe essere molta di più di quella visibile (dalle 10 alle 100 volte di più).
Invece, gli astrofisici misurano dunque un valore di ρ pari, o intorno, a: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Cerchiamo un attimo di capire quali scelte arbitrarie, nei decenni, abbiano potuto portare a tale discrepanza. Dalle osservazioni di Hubble in poi, emerse che le galassie lontane e gli ammassi di galassie si allontanano da noi con certe velocità, determinate da misure dello spostamento verso il rosso. Ma non solo; più si osservano quelle lontane e più si rilevano velocità di allontanamento maggiori e pare giustamente che ci sia una legge che leghi la distanza di tali oggetti da noi e la velocità con cui essi si allontanano, sempre da noi. La Fig. A1.1 qui sotto è una foto dell’ammasso di galassie della Chioma, sul quale sono disponibili centinaia di misurazioni; bene, sappiamo che tale ammasso dista da noi: Δx=100 Mpc = 3,26 108 a.l. = 3,09 1024 m e si allontana da noi ad una velocità: Δv=6870 km/s=6,87 106 m/s. Fig. A1.1: Ammasso della Chioma. Parlando appunto della legge di Hubble ed utilizzando i dati dell’ammasso della Chioma, quanto si osservava (e si osserva tutt’oggi), in forma matematica, è esprimibile come segue:
])([1022,2 18 msmxvH local
−⋅≅∆∆= , (A1.7)
cioè un buon valore per la costante di Hubble “locale”, utilizzata ancor oggi dalla Cosmologia (prevalente).
App. 2-Par. 1.2: L’accelerazione cosmica aUniv. A conferma di quanto appena detto, abbiamo anche visto con la (A1.3) che si ottiene sempre lo stesso valore di costante
di Hubble locale se, invece dei dati sull’ammasso della Chioma, si utilizza l’intero nostro Universo visibile, di 13,5 910 a.l. di raggio ed espandentesi approssimativamente a velocità c. Ma per gli stessi ragionamenti fatti finora per giungere alla definizione di Hlocal, possiamo anche dire che se le galassie, con l’allontanarsi, aumentano la loro velocità, allora sono sottoposte ad un’accelerazione aUniv , e, dalla fisica, sappiamo che, banalmente:
tvttatax ∆⋅∆=∆⋅∆⋅=∆⋅=∆21)(
21
21 2 , da cui:
vxt
∆∆⋅
=∆2
, che usata nella definizione di accelerazione
aUniv , ci dà:
2122
/1062,72
)(2 sma
xv
vx
vtva UnivUniv
−⋅≅=∆⋅
∆=
∆∆⋅
∆=
∆∆
= , accelerazione cosmica (Wåhlin) (A1.8)
avendo utilizzato i dati dell’ammasso della Chioma. E’ questa l’accelerazione con cui perlomeno tutto il nostro Universo visibile accelera verso il centro di massa dell’Universo intero. VEDREMO ORA CHE QUESTO PICCOLO OGGETTO CHE ABBIAMO APPENA VALUTATO, E CIOE’ aUniv, CHE E’ UN OGGETTO DI CUI, EVIDENTEMENTE, NON SI TIENE BEN CONTO, CI PERMETTE DI CONCLUDERE CHE LA DENSITA’ CALCOLATA DELL’UNIVERSO E’ ESATTAMENTE QUELLA MISURATA DAGLI ASTROFISICI E CI PERMETTERA’ ANCHE DI GIUSTIFICARE LE ALTE VELOCITA’ DI ROTAZIONE DELLE GALASSIE, SEMPRE SENZA STARE A CERCARE LA MATERIA OSCURA
pena però il dover accettare che viviamo in un Universo che ha un raggio almeno 100 volte quello dei 13,5 910 a.l. predicato oggigiorno, e con una massa molto più grande dell’1,67 1053 kg, valutata a pag. 71, e sempre predicata oggigiorno come massa dell’Universo tutto, e non di quello a noi visibile (vedere oltre). Dipaniamo la matassa: Partiamo dunque dalla scoperta rappresentata dalla (A1.8), secondo cui stiamo accelerando e dalla (A1.4), secondo cui:
NewUnivUniv R
ca−
=2
, da cui, per il nuovo raggio dell’Universo:
macRUniv
NewUniv28
2
1017908,1 ⋅≅=− . (A1.9)
Tale valore è un centinaio di volte quello precedentemente calcolato nella (A1.3) e sarebbe però il raggio compreso tra il centro di massa dell’Universo ed il luogo dove siamo ora noi, luogo in cui la velocità della luce vale c. ((non essendo evidentemente noi esattamente ai confini di tale Universo, si dimostra che l’estensione totale è più grande
di un fattore 2 , cioè RUniv-Tot=1,667 1028m.)) In ogni caso, si viaggia su dimensioni lineari dell’ordine di 100 volte quelle contemplate nella cosmologia prevalente. In un certo senso, di materia che non vediamo ce n’è, ma sta oltre il range dei nostri telescopi, e non dentro le galassie o tra le galassie, materia (quella oscura) che andrebbe a scombussolare le leggi della gravitazione, che invece reggono bene. Sempre dalla (A1.4) si ha ora che:
2/ NewUnivNewUnivUniv RMmGam −−⋅⋅=⋅ , da cui:
kgGRaM NewUnivUnivNewUniv552 1059486,1/ ⋅=⋅= −− (A1.10)
Questo valore, ancora una volta, è 100 volte quello della cosmologia prevalente della (A1.5) ed è la massa entro il raggio RUniv-New , mentre quella entro il totale RUniv-Tot non è nota.
Dalle (A1.9) ed (A1.10) scaturisce poi che: Univ
Univ
RGMc =2 (~Eddington). (A1.11)
App. 2-Par. 1.3: La nuova densità dell’Universo. VENIAMO ORA AL CALCOLO DELLA NUOVA DENSITA’ DELL’UNIVERSO:
3303 /1032273.2)34/( mkgRM NewUnivNewUniv
−−− ⋅=⋅= πρ !!! (A1.12)
molto, ma molto prossima a quella osservata e misurata dagli astrofisici e già riportata a pag. 70. La natura, per fortuna, offre anche dei segnali che incoraggiano e, anzi, convincono, nel perseguimento di una determinata strada, quando conferme di ciò che si è intuito giungono da altri settori della fisica del tutto distanti da quello in cui ci si sta muovendo. A tal proposito, premetto che il raggio classico dell’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) è definito eguagliando la sua energia E=mec2 a quella elettrostatica immaginata sulla sua superficie (in senso classico):
ee r
ecm2
0
2
41πε
=⋅ , da cui:
mcm
ere
e15
2
2
0
108179,24
1 −⋅≅⋅
=πε
(A1.13)
Adesso, sempre in senso classico, se immagino, ad esempio, di calcolare l’accelerazione di gravità su un elettrone, come se lo stesso fosse un piccolo pianetino, devo scrivere banalmente che:
2e
exex r
mmGgm ⋅=⋅ , da cui:
2124
4320
22 1062,78 sma
ecGm
rmGg Univ
e
e
ee
−⋅==== επ !!! (A1.14)
cioè esattamente il valore ottenuto nella (A1.8) per tutt’altra via, macroscopica, e non microscopica, come nel caso della (A1.14). Del resto, i comportamenti gravitazionali dell’Universo e degli elettroni che lo compongono, perchè dovrebbero essere diversi tra loro? App. 2-Par. 1.4: Ulteriori considerazioni sul significato di aUniv. Beh, certo che se la materia mostra attrazione reciproca in forma di gravità, allora siamo in un Universo armonico oscillante in fase di contrazione, che si sta contraendo tutto verso un punto comune che è il centro di massa di tutto l’Universo. Infatti, l’accelerare verso il centro di massa ed il mostrare proprietà attrattive gravitazionali sono due facce della stessa medaglia. Inoltre, tutta la materia intorno a noi mostra di voler collassare: se ho una penna in mano e la lascio, essa cade, dimostrandomi che vuole collassare; poi, la Luna vuole collassare nella Terra, la Terra vuole collassare nel Sole, il Sole nel centro della Via Lattea, la Via Lattea nel centro del suo ammasso e così via, e, dunque, anche tutto l’Universo collassa. No? Ma allora come si spiegherebbe che vediamo la materia lontana, intorno a noi, allontanarsi e non avvicinarsi? Beh, facile: se tre paracadutisti si lanciano in successione da una certa quota, tutti e tre stanno cadendo verso il centro della Terra, dove poi idealmente si incontreranno, ma il secondo paracadutista, cioè quello che sta in mezzo, se guarda in avanti, vede il primo che si allontana da lui, in quanto ha una velocità maggiore, poiché si è buttato prima, mentre se guarda indietro verso il terzo, vede anche questi allontanarsi, in quanto il secondo, che sta facendo tali rilevamenti, si è lanciato prima del terzo, e dunque ha una velocità maggiore e si allontana dunque pure da lui. Allora, pur convergendo tutti, in accelerazione, verso un punto comune, si vedono tutti allontanarsi reciprocamente. Hubble era un po’ come il secondo paracadutista che fa qui i rilevamenti. Solo che non si accorse dell’esistenza della accelerazione di gravità g (aUniv) come background. Ricordo poi che recenti misurazioni su supernove di tipo Ia in galassie lontane, utilizzate come candele standard, hanno dimostrato che l’Universo sta effettivamente accelerando, fatto questo che è contro la teoria della nostra presunta attuale espansione post Big Bang, in quanto, dopo che l’effetto di una esplosione è cessato, le schegge proiettate si propagano, sì, in espansione, ma devono farlo ovviamente non accelerando.
Poi, dai rapporti attuali delle abbondanze di 235U e 238U , elementi trans-CNO formatisi durante l’esplosione della supernova originaria, si evince che (forse) la Terra ed il sistema solare hanno solo cinque o sei miliardi di anni, ma ciò non contraddice quanto appena detto sulla reale età dell’Universo, in quanto non si escludono sub-cicli che hanno dato origine alle galassie ed ai sistemi solari, di durata ben minore dell’età complessiva dell’Universo. Riguardo il periodo TUniv dell’Universo, sappiamo dalla fisica che: v=ωR e T/2πω = , e, nel caso dell’Universo
intero: c=ωRUniv e UnivT/2πω = , da cui:
scRT Univ
Univ201047118,22
⋅==π
(7.840 miliardi di anni) (A1.15)
E per il valore della frequenza angolare: sradRc NewUniversoUniv /1054,2/ 20−− ⋅=≅ω , ed esso è il parametro giusto
per una reinterpretazione della costante di Hubble globale globalH , che vale localH solo nell’Universo a noi visibile
( GlobalUniv H=ω ).
App. 2-Par. 1.5: Ulteriori conferme ed incoraggiamenti da parte di altre branche della fisica. 1) Ricordiamo preliminarmente la legge di Stephan-Boltzmann:
4Tσε = [W/m2], dove )(1067,5 428 KmW−⋅=σ E’ ora interessantissimo notare che se si immagina che un elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) irradi tutta l’energia che lo costituisce nel tempo TUniv , si ottiene una potenza che è esattamente ½ della costante di Planck in watt! Infatti:
WhT
cmL WUniv
ee
342
10316,321 −⋅===
(Non deve stupire il coefficiente ½; infatti, ai livelli fondamentali di energia, esso sempre compare, come, ad esempio, sul primo orbitale dell’atomo di idrogeno, dove la circonferenza dell’orbitale dell’elettrone (2πr) è proprio
DeBroglieλ21 dell’elettrone. E lo stesso fotone è rappresentabile come se racchiuso in un cubetto di lato
photonλ21 ).
2) Inoltre, notiamo che un elettrone e l’Universo hanno lo stesso rapporto luminosità – massa:
infatti, WT
cMLUniv
UnivUniv
512
1080,5 ⋅== (per definizione) e risulta quindi vero che:
e
W
Unive
Univ
e
e
e
UnivUniv
Univ
Univ
Univ
Univ
m
h
Tc
mT
cm
mL
Tc
MT
cM
ML 2
12
2
2
2
====== e per la legge di Stephan-Boltzmann, sia all’Universo
che ad un “elettrone” si può, per così dire, attribuire la stessa temperatura della radiazione cosmica di fondo:
424
TRL
σπ
= , da cui: Kr
h
rL
RL
RLT
ee
e
Univ
Univ 73,2)4
21
()4
()4
()4
( 41
24
1
24
1
24
1
2 ≅====σπσπσπσπ
!!!
E tutto ciò non è più vero se si usano i valori della cosmologia prevalente! 3) Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg come conseguenza dell’essenza dell’Universo macroscopico accelerante ad Univa :
per tale principio, dal momento che il prodotto Δx Δp deve stare al disopra della quantità 2/h , con il segno dell’eguaglianza, quando Δx è massimo, Δp deve essere minimo, e viceversa:
2/h≥∆⋅∆ xp e 2/minmax h=∆⋅∆ xp ( π2/h=h )
Ora, come maxp∆ consideriamo, per l’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!), la quantità
)(max cmp e ⋅=∆ e come minx∆ per l’elettrone, dal momento che lo stesso altro non è che un’armonica
dell’Universo che lo contiene (così come un suono può essere considerato come composto dalle sue armoniche), avremo 2
min )2( πUnivax =∆ , come conseguenza diretta delle caratteristiche dell’Universo che lo contiene; infatti, per la
(A1.15), 2UnivUnivUniv aR ω= , in quanto si sa dalla fisica che Ra 2ω= , e poi UnivUnivUniv T πνπω 22 == , e come
eω dell’elettrone (che è armonica dell’Universo) si considera dunque la “ Univν – esima” parte di Univω , cioè:
UnivGlobalUnivUnive H ννωω == , come se l’elettrone o una coppia elettrone-positrone possono compiere
oscillazioni a mo’ di quelle dell’Universo, ma con un rapporto velocità - ampiezza non pari alla Costante di Hubble
(globale), bensì con la stessa fratto Univν e, dunque, se per l’Universo tutto è vero che: 2UnivUnivUniv aR ω= , per
l’elettrone: 2222min )2()()()( πννωωUniv
UnivGlobal
Univ
UnivUniv
Univ
e
Univ aH
aaax ====∆ , da cui:
342minmax 10527,0
)2(−⋅==∆⋅∆
πUniv
eacmxp [Js] e questa quantità ( 3410527,0 −⋅ Js), guarda caso, è proprio 2/h !!
4) Come fatto in precedenza, premetto che il raggio classico dell’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) è definito eguagliando la sua energia E=mec2 a quella elettrostatica immaginata sulla sua superficie (in senso classico):
ee r
ecm2
0
2
41πε
=⋅ , da cui:
mcm
ere
e15
2
2
0
108179,24
1 −⋅≅⋅
=πε
Sempre in senso classico, se immagino di calcolare l’accelerazione di gravità su un elettrone, come se lo stesso fosse un piccolo pianetino, devo scrivere banalmente che:
2e
exex r
mmGgm ⋅=⋅ , da cui:
2124
4320
22 1062,78 sma
ecGm
rmGg Univ
e
e
ee
−⋅==== επ !!!
5) Sappiamo che la quantità 137
1=α è il valore della Costante di Struttura Fine e l’espressione νh
rGm
e
e2
assume
tale valore solo se ν è quella dell’Universo da noi appena descritto, cioè:
Unive
e hr
Gmνα
2
1371
== , dove notoriamente Univ
Univ T1
=ν (vedi la (A1.15)) !!
6) Se suppongo, per semplicità, che l’Universo sia composto solo da armoniche come gli elettroni −e (e/o i positroni
+e ), essi saranno, in numero, pari a: 851075,1 ⋅≅=e
Univ
mMN (~Eddington); la radice quadrata di tale numero è:
421013,4 ⋅≅N (~Weyl).
Notiamo ora, con sorpresa, che mrN e281018,1 ⋅≅ (!), cioè proprio il valore di UnivR ottenuto nella (A1.9)
( mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= ) !!!
App. 2-Par. 1.6: Sulle discrepanze tra la velocità di rotazione calcolata e quella osservata, nelle galassie. Fig. A1.2: Galassia di Andromeda (M31). Imponiamo, ad una stella periferica in rotazione in una galassia, l’equilibrio tra forza centrifuga e forza di attrazione gravitazionale verso il centro di massa della galassia stessa:
Galassia di Andromeda (M31): Distanza: 740 kpc; RGal=30 kpc; Massa visibile MGal = 3 1011MSun; Massa stimata(+Dark) M+Dark = 1,23 1012MSun; MSun=2 1030 kg; 1 pc= 3,086 1016 m;
2
2
Gal
Galstar
Galstar R
MmGRvm = , da cui:
Gal
Gal
RGMv =
Nel caso invece si consideri anche il contributo mareale dovuto ad aUniv , e cioè dovuto anche a tutto l’Universo circostante, si ha:
GalUnivGal
Gal RaR
GMv += ; vediamo dunque, nel caso, ad esempio, della M31, a quanti RGal (quante k volte) di
distanza dal centro della galassia il contributo di aUniv riesce a sopperire alla necessità di considerare dark matter:
GalUnivGal
Gal
Gal
Dark kRakR
GMkR
GM+=+ , da cui: 4
)(2 ≅
−= +
GalUniv
GalDark
RaMMGk , dunque a 4RGal l’esistenza di aUniv
ci permette di avere i valori di velocità di rotazione osservati, senza far ricorso alla materia oscura. Inoltre, a 4RGal il contributo alla rotazione dovuto ad aUniv domina. Per ultimo, osservo che aUniv non ha invece effetto su oggetti piccoli come il sistema solare; infatti, in tale caso:
14,11092,8 8 ≅>>⋅≅ −−
SoleTerraUnivSoleTerra
Sun RaR
MG .
E’ ovvio che queste considerazioni sul legame tra aUniv e la velocità di rotazione delle galassie sono ampiamente aperte ad ulteriori speculazioni e la formula tramite la quale si può tener conto dell’effetto mareale di Univa nelle galassie può
assumere una forma ben più complessa di quelle qui sopra, ma non sembra proprio un caso che un po’ tutte le galassie hanno dimensioni che stanno in un range abbastanza stretto (3 – 4 RMilky Way o non molto di più) e, in ogni caso, non con raggi di decine o di centinaia di RMilky Way , ma, al massimo, di qualche unità. E’ infatti la componente dovuta all’accelerazione cosmica che, annullando, in certe fasi, l’accelerazione centripeta nella galassia, andrebbe a sfrangiare la galassia stessa, ed eguaglia, ad esempio, nella M31, la componente gravitazionale propria ad un valore di raggio pari a:
MaxGalUnivMaxGal
M RaRGM
−−
=31 , da cui: 3131 5,2 M
Univ
MMaxGal R
aGMR ≅=− , ed infatti i raggi massimi osservati nelle
galassie sono all’incirca di tale taglia.
--------------------------------------------- App. 2-Capitolo 2: L’unificazione della forza elettromagnetica con quella gravitazionale (Rubino). App. 2-Par. 2.1: L’effetto di MUniv sulle particelle.
a) Ricordo che dalla definizione di er della (A1.13): 22
041 cm
re
ee
=⋅πε
e dalla (A1.11): Univ
Univ
RGMc =2 (~Eddington),
segue che:
Univ
eUniv
e RmGM
re
=⋅2
041πε
!! (A2.1)
b) Alternativamente, sappiamo che la Costante di Struttura Fine vale 1 su 137 ed è espressa dalla seguente equazione:
ch
e
π
πεα
2
41
1371
2
0== (Alonso-Finn), ma notiamo anche che la quantità 137
1 è data dalla seguente espressione, che
può essere evidentemente ritenuta, a tutti gli effetti, altrettanto valida come espressione per la Costante di Struttura Fine:
Emanable
MinBox
Univ
e
e
EE
hr
Gm_
2
1371
===ν
α , dove notoriamente Univ
Univ T1
=ν .
MinBoxE _ è la più piccola scatoletta di energia dell’Universo (l’elettrone), mentre EmanableE è la minima energia
emanabile, visto che Univν è la più piccola frequenza.
Tra parentesi, α è anche data dal rapporto tra la velocità dell’elettrone nell’atomo di idrogeno e la velocità della luce:
hcecv Hine 02
__ 2εα == , oppure ancora come rapporto tra la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone (che è la
minima λ di e- quando è libero ed alla velocità massima c) e la lunghezza d’onda di e- appunto sul primo orbitale di H:
)()( __1 HineeeHCompton vmhcmh== −λλα . E’ altresì vero che 0are=α , con 529,00 =a Å, che è il raggio
di Bohr. Potremo dunque stabilire la seguente uguaglianza e trarre le relative conseguenze (Rubino):
Univ
e
e
hr
Gm
ch
e
νπ
πεα
22
0
2
41
)137
1( === , da cui: e
eUniv
e
e
globale
e
Univ rGmR
rGm
Hc
rGmce
2222
0 241
===πνπε
avendo utilizzato anche la (A1.15).
Dunque, si può scrivere che: e
e
Univ rGm
Re 22
041
=πε
(ed anche questa equazione intermedia mostra una strettissima
parentela tra elettromagnetismo e gravità, ma procediamo oltre…)
Ora, se si immagina momentaneamente, e per semplicità, che la massa dell’Universo sia composta da N tra elettroni −e
e positroni +e , potremo scrivere che:
eUniv mNM ⋅= , da cui: e
eUniv
Univ rNNmGM
Re
=2
041πε
,
oppure ancora: e
eUniv
Univ rNmGM
NRe
=⋅)(4
1 2
0πε . (A2.2)
Se ora ipotizziamo che eUniv rNR = (vedi anche la (A4.2)), oppure, ciò che è lo stesso, NRr Unive =
, allora la
(A2.2) diventa:
Univ
eUniv
e RmGM
re
=⋅2
041πε
!! (Rubino) cioè appunto ancora la (A2.1).
Ora, notiamo innanzitutto che l’aver supposto che eUniv rNR = è correttissimo, in quanto, dalla definizione di N data
poco fa e dalla (A1.10), si ha che:
851075,1 ⋅≅=e
Univ
mMN (~Eddington), da cui: 421013,4 ⋅≅N (~Weyl) e mrNR eUniv
281018,1 ⋅≅= , cioè
proprio il valore di UnivR ottenuto nella (A1.9).
App. 2-Par. 2.2: La scoperta dell’essenza comune di gravità ed elettromagnetismo. La (A2.1) è di fondamentale importanza ed ha un significato molto preciso (Rubino) in quanto ci dice che l’energia
elettrostatica associata ad un elettrone in una coppia elettrone-positrone ( −+ee adiacenti) è né più, né meno che
l’energia gravitazionale conferita alla stessa da tutto l’Universo UnivM alla distanza UnivR ! (e viceversa…)
Dunque, un elettrone, lanciato gravitazionalmente da una enorme massa UnivM per un tempo lunghissimo UnivT e
attraverso un lunghissimo cammino UnivR, acquista una energia cinetica di origine gravitazionale tale che, se poi è
chiamato a restituirla tutta insieme, in un attimo, tramite, ad esempio, un urto, e tramite dunque una oscillazione della
molla costituita appunto dalla coppia −+ee , deve appunto trasferire una tale energia gravitazionale, accumulata nei
miliardi di anni, che se fosse da attribuire solo alla energia potenziale gravitazionale della esigua massa dell’elettrone stesso, sarebbe insufficiente per parecchi ordini di grandezza.
Ecco, dunque, che l’effetto di restituzione immediata, da parte di −e , di una grande energia gravitazionale accumulata,
che abbiamo visto essere Univ
eUniv
RmGM
, fa “apparire” l’elettrone, sul momento, e in un range più ristretto ( er ), capace
di liberare energie derivanti da forze molto più intense della gravitazionale, oppure, come se fosse capace di una speciale forza gravitazionale con una speciale Costante di Gravitazione Universale G’ ben più grande di G:
e
ee
e
ee
ee rmmG
rmm
me
me
⋅=⋅⋅⋅ ')4
1(0πε
; dunque, nel momento eventuale della restituzione immediata di energia da
parte dell’elettrone, c’è l’effetto rincorsa dovuto alla sua eterna caduta libera (gravitazionale) nell’Universo. E, di riflesso, la gravità è l’effetto di composizione di tante piccole forze elettrostatiche.
Faccio altresì notare che l’energia espressa dalla (A2.1), guarda caso, è proprio pari a 2cme !!!, cioè proprio una sorta di
energia cinetica di rincorsa posseduta dalle coppie elettrone-positrone in caduta libera, e che Einstein conferì anche alla materia in quiete, senza purtroppo dirci che quella materia, appunto, non è mai in quiete rispetto al centro di massa dell’Universo, visto che siamo tutti inesorabilmente in caduta libera, anche se tra noi ci vediamo fermi, da cui la sua
essenza di energia cinetica di origine gravitazionale 2cme :
Univ
eUniv
ee R
mGMrecm =⋅=
2
0
2
41πε
.
App. 2-Par. 2.3: L’entità oscillatoria dell’Universo tutto e delle particelle. Si parla di oscillazioni perché è così che si trasmette l’energia, specie in un urto, ed anche in quello tra, ad esempio, due palle da biliardo, dove le oscillazioni nel punto di contatto ci sono, e come, anche se non si vedono (quelle degli elettroni periferici, delle molecole, degli atomi ecc, nel punto di scontro). Si parla qui di oscillazioni in modo proprio, anche perché un sistema Sole/pianeta o un semplice atomo di idrogeno, oppure una coppia elettrone-positrone e-e+, che sono governati dalle leggi dell’elettromagnetismo, si comportano come delle vere e proprie molle: infatti, in coordinate polari, per l’elettrone in orbita intorno al protone, in un atomo di idrogeno, si ha l’equilibrio tra forza di attrazione elettrostatica e forza centrifuga:
3
2
2
2
0
22
2
0 41)(
41
rmp
rer
dtdm
reF
eer +−=+−=
πεϕ
πε , dove ω
ϕ=
dtd
e 2rmrrmrvmp eee ωω ==⋅=
Valutiamo ora l’energia corrispondente, integrando tale forza nello spazio:
2
22
0 241
rmp
redrFU
er +−=−= ∫ πε
. (A2.3)
Fig. A2.1: Grafico dell’energia. Il punto di minimo in (r0,U0) è punto di equilibrio e di stabilità (Fr=0) e lo si calcola annullando la derivata prima della (A2.3) (e cioè ponendo appunto Fr=0). Inoltre, in r0, la curva esprimente U è visivamente approssimabile con una parabola UParab e cioè, in quell’intorno, si può scrivere:
02
0 )( UrrkUParab +−= , e la corrispondente forza è: )(2 0rrkrUF Parabr −−=∂∂−=
che è, guarda caso, una forza elastica a tutti gli effetti ( kxF −= - Legge di Hooke). Inoltre, la legge gravitazionale cui l’Universo obbedisce, mostra una forza che varia con il quadrato della distanza, proprio come quella elettrostatica, dunque anche la forza gravitazionale porta alla legge di Hooke per l’Universo.
--------------------------------------------- Tramite la (A2.1) e la sua interpretazione abbiamo ricondotto la forza elettrica a quella gravitazionale; riconduciamo ora la forza magnetica a quella elettrica, in modo tale da chiudere il cerchio ed effettuare l’unificazione del campo elettromagnetico con quello gravitazionale. E tutti questi campi, per ultimo, sono riconducibili all’accelerazione cosmica aUniv , visto che la gravità lo è. App. 2-Capitolo 3: L’unificazione della forza magnetica con quella elettrica. App. 2-Par. 3.1: La forza magnetica è niente altro che una forza elettrica di Coulomb(!). A tal proposito, immaginiamo la seguente situazione, dove vi è un conduttore, ovviamente composto da nuclei positivi e da elettroni, e poi un raggio catodico (di elettroni) che scorre parallelo al conduttore: Fig. A3.1: Conduttore non percorso da corrente, visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico.
r
U
U
2
2
2 rmp
e
re2
041πε
−
r0
Uo
2
42
00 2
)4
1(pemU e
πε−=
02
0 )( UrrkUParab +−=
e- e-
p+
e- e- e- e- e- e- e- e-
p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+
e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-
Raggio catodico
Conduttore
F -
F +
Direzione del raggio catodico (v)
x’
y’ z’
I’
Sappiamo dal magnetismo che il raggio catodico non sarà deflesso verso il conduttore perché in quest’ultimo non scorre nessuna corrente che possa determinare ciò. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che ogni singolo elettrone del raggio è respinto dagli elettroni del conduttore con una forza F-
identica a quella F+ con cui è attratto dai nuclei positivi del conduttore. Passiamo ora alla situazione in cui nel conduttore scorra invece una corrente con gli e- a velocità u:
Fig. A3.2: Conduttore percorso da corrente (con gli e- a velocità u), visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. In quest’ultimo caso, sappiamo dal magnetismo che il raggio di elettroni deve deflettere verso il conduttore, in quanto siamo nel noto caso di correnti parallele e di verso concorde, che devono dunque attrarsi. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che dal momento che gli elettroni nel conduttore inseguono, per così dire, quelli del fascio, i primi, visti dal sistema di quiete del fascio (I’), avranno una velocità minore rispetto a quella che risultano avere i nuclei positivi, che invece sono fermi nel conduttore. Risulterà, perciò, che gli spazi immaginabili tra gli elettroni del conduttore subiranno una contrazione relativistica di Lorentz meno accentuata, rispetto ai nuclei positivi, e dunque ne risulterà una densità di carica negativa minore della densità di carica positiva, e dunque gli elettroni del fascio verranno elettricamente attratti dal conduttore. Ecco la lettura in chiave elettrica del campo magnetico. Ora, è vero che la velocità della corrente elettrica in un conduttore è molto bassa (centimetri al secondo) rispetto alla relativistica velocità della luce c, ma è anche vero che gli elettroni sono miliardi di miliardi …, e dunque un piccolo effetto di contrazione su così tanti interspazi determina l’apparire della forza magnetica. Ora, però, vediamo se la matematica ci dà quantitativamente ragione su quanto asserito, dimostrandoci che la forza magnetica è una forza elettrica anch’essa, ma vista in chiave relativistica. Consideriamo allora una situazione semplificata in cui un elettrone e- , di carica q, viaggi, con velocità v, parallelo ad una corrente di nuclei con carica Q+ (a velocità u): Fig. A3.3: Corrente di cariche positive (a velocità u) ed elettrone a velocità v nel sistema di quiete del lettore I. a) Valutazione di F in chiave elettromagnetica, nel sistema I : Ricordiamo innanzitutto che se ho N cariche Q, in linea, a distanza d una dall’altra (come in figura A3.3), allora la densità di carica lineare λ sarà:
dQdNQN =⋅⋅=λ . Ora, sempre con riferimento alla Fig. A3.3, nel sistema I, per l’elettromagnetismo l’elettrone sarà sottoposto alla forza di Lorentz )( BvEqFl ×+= che si compone di una componente originariamente già elettrica e di una magnetica:
qrdQq
rqEFel )
21()
21(
00 πεπλ
ε==⋅= , dovuta all’attrazione elettrostatica di una distribuzione lineare di cariche Q
e:
Direzione della corrente I, con e- a velocità u
e- e-
p+
e- e- e- e- e-
p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+
e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-
Raggio catodico
Conduttore
F -
F +
Direzione del raggio catodico (v)
x’
y’ z’
I’
r
Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+
q-
220 1 cudd −=
F
v
u
x’
y’ z’
I’
x
y
I z
rdQu
rudQ
rtQ
rIFmagn π
µπ
µπ
µπ
µ22
)(22 0000 ==== (Biot e Savart).
Dunque: 220
0
00
0 11)1(
2)
221(
cuuv
rdQq
rdQuv
rdQqFl
−−=−= µ
εππµ
πε , (A3.1)
dove il segno meno indica che la forza magnetica è repulsiva, in tale caso, visti i segni reali delle due correnti, e dove la distanza d0 di quiete risulta contratta a d, per Lorentz, nel sistema I in cui le cariche Q hanno velocità u
( 220 1 cudd −= ).
b) Valutazione di F in chiave elettrica, nel sistema I’ di quiete di q: nel sistema I’ la carica q è ferma e dunque non costituisce nessuna corrente elettrica, e dunque sarà presente solo una forza elettrica di Coulomb verso le cariche Q:
220
000 '11)
21()
2'1()
2'1(''
curdQqq
rdQq
rqEF el
−===⋅=
πεπεπλ
ε , (A3.2)
dove u’ è la velocità della distribuzione di cariche Q nel sistema I’, che si compone di u e v tramite il noto teorema relativistico di addizione delle velocità:
)1()(' 2cuvvuu −−= , (A3.3)
e d0, questa volta, si contrae appunto secondo u’: 220 '1' cudd −= .
Notiamo ora che, con un po’ di algebra, vale la seguente relazione (vedi la (A3.3)):
22
222222
)1()1)(1('1
cuvcvcucu
−−−
=− , che sostituita nel radicale della (A3.2) fornisce:
2222
20
000 11)1()
21()
2'1()
2'1(''
cvcucuv
rdQqq
rdQq
rqEF el
−−
−===⋅=
πεπεπλ
ε (A3.4)
Vogliamo ora confrontare la (A3.1) con la (A3.4), ma ancora non possiamo, perché una fa riferimento ad I e l’altra ad I’; rapportiamo allora elF ' della (A3.4) in I anch’essa e, per fare ciò, osserviamo che, per la definizione stessa di forza, in
I’:
2222'
'
1)_(
1)'_('
cvIinF
cvtp
tpIinF el
I
I
I
Iel
−=
−∆
∆=
∆∆
= , con II pp ∆=∆ ' in quanto p∆ si estende lungo y, e non
lungo la direzione del moto relativo, dunque per le T. di Lorentz non subisce variazione, mentre t∆ ovviamente sì. Si ha allora:
22
2222
20
0
22 111
)1()2
1(1)'_(')_( cvcvcu
cuvrdQqcvIinFIinF elel −
−−
−=−=
πε =
)_(1
)1()2
1(22
20
0
IinFcu
cuvrdQq el=
−
−=
πε (A3.5)
Ora, dunque, possiamo confrontare la (A3.1) con la (A3.5), in quanto ora entrambe fanno riferimento al sistema I. Riscriviamole una sopra l’altra:
2200
00
0 11)1(
2)
221()_(
cuuv
rdQq
rdQuv
rdQqIinFl
−−=−= µ
εππµ
πε
22200
022
20
0 11)1(
21)1()
21()_(
cucuv
rdQq
cucuv
rdQqIinFel
−−=
−
−=
εεππε
Possiamo dunque dire che le due equazioni sono identiche se è verificata la seguente identità: 001 µε=c , e la
stessa è nota sin dal 1856. Essendo dunque identiche le due equazioni, la forza magnetica risulta ricondotta ad una forza elettrica di Coulomb, e dunque è compiuta l’unificazione dei campi elettrico e magnetico!!
---------------------------------------------
App. 2-Capitolo 4: Giustificazione dell’equazione eUniv rNR = precedentemente utilizzata per
l’unificazione della forza elettrica con quella gravitazionale (Rubino).
App. 2-Par. 4.1: L’equazione eUniv rNR = (!).
Abbiamo innanzitutto già verificato che l’equazione eUniv rNR = , utilizzata nella (A2.2), è corretta di per sé, in
quanto, a livello numerico, è esatta. Ed è altresì giustificabile pure in chiave oscillatoria ed ora vediamo come; tale equazione ci dice che il raggio dell’Universo è uguale al raggio classico dell’elettrone moltiplicato per la radice quadrata del numero di elettroni (e positroni) N di cui l’Universo può ritenersi composto. (Sappiamo che in realtà, la quasi totalità della materia dell’Universo non è composta da coppie e+e- ma da coppie p+e- di atomi di H, ma a noi ora interessa vedere l’Universo scomposto in mattoni fondamentali, o in armoniche fondamentali, e sappiamo che l’elettrone ed il positrone lo sono, in quanto sono stabili, mentre il protone pare che stabile non sia, e dunque non è un’armonica fondamentale e dunque neanche un mattone fondamentale.) Supponiamo ora che ogni coppia e+e- (o, per il momento, anche p+e- (H), se preferite) sia una piccola molla (fatto peraltro già giustificato dai ragionamenti compiuti intorno alla (A2.3)), e che l’Universo sia una grande molla oscillante (ed attualmente in contrazione verso il suo centro di massa) con ampiezza di oscillazione pari ovviamente ad RUniv , che si compone di tutte le micro oscillazioni delle coppie e+e-. E, per ultimo, chiariamo che tali micromolle sono distribuite alla rinfusa nell’Universo, come non può che essere, dunque una oscilla verso destra, l’altra verso sinistra, l’altra in su, l’altra ancora in giù, e così via. In più, i componenti e+ ed e- di ogni coppia non sono fissi, dunque non considereremo N/2 coppie oscillanti con ampiezza 2re, ma N elettroni/positroni oscillanti ad re. Fig. A4.1: L’Universo rappresentato come un insieme di tante (N) molle oscillanti in direzione casuale, o come grossa molla oscillante unica. Ora, essendo le micro oscillazioni orientate a caso, la loro composizione random è schematizzabile come in figura A4.2.
Fig. A4.2: Composizione delle N micro oscillazioni err
distribuite casualmente a formare l’oscillazione globale RUniv.
UnivR
er
x
y
z
NUnivR
r
err
err
err
err
err
err
err
err
err
err
Possiamo scrivere ovviamente che: eN
UnivN
Univ rRR rrr+= −1 ed il prodotto scalare di N
UnivRr
con se stesso fornisce:
21212 2)()( eeN
UnivN
UnivN
UnivN
UnivN
Univ rrRRRRR +⋅+==⋅ −− rrrr; prendendo ora la media:
22121212 )(2)()( eN
UniveeN
UnivN
UnivN
Univ rRrrRRR +=+⋅+= −−− rr, (A4.1)
visto che 02 1 =⋅−e
NUniv rR rr
, dal momento che err
può essere orientate in modo casuale su 360° (o su π4 sr, se vi va),
e dunque un vettore che media con esso, come nella espressione precedente, fornisce un valore nullo.
Riscriviamo allora la (A4.1): 2212 )()( eN
UnivN
Univ rRR += − e procedendo, su di essa, per induzione, dal momento
che (sostituendo N con N-1 e così via):
22221 )()( eN
UnivN
Univ rRR += −− , e poi: 22322 )()( eN
UnivN
Univ rRR += −− ecc, si ottiene:
222222212 0..........2)()()( eeeN
UniveN
UnivN
Univ rNrNrRrRR =+==+=+= −− , cioè:
22)( e
NUniv rNR = , da cui, estraendo la radice di entrambi i membri:
eeUnivN
Univ rNrNRR ⋅=== 22)( , e cioè:
eUniv rNR ⋅= !!! (Rubino) (A4.2)
E’ comunque noto, in fisica, che, ad esempio, il cammino R compiuto per N passi r successivi effettuati in direzione casuale è proprio la radice di N per r (vedi, ad esempio, gli studi sul moto Browniano).
--------------------------------------------- App. 2-Capitolo 5: “aUniv“ come responsabile assoluta di tutte le forze. App. 2-Par. 5.1: Tutto da “aUniv“. Sempre in linea con quanto detto finora, la stessa accelerazione cosmica aUniv è responsabile della gravità tutta e dunque anche di quella terrestre. Infatti, solo perché la Terra è abbastanza densa, ha una accelerazione di gravità sulla sua superficie pari a g=9,81 m/s2, mentre, se tutt’oggi la si potesse considerare come composta di elettroni sparsi a caso, un
po’ come in Fig. A4.1 per l’Universo, allora la stessa avrebbe un raggio pari a eEarthee
Earth rNrm
M⋅=⋅ , e
l’accelerazione di gravità sulla sua superficie sarebbe:
2122
/1062,7)(
smarN
MGg UniveEarth
EarthNew
−⋅==⋅
= !!!
Dunque, ancora una volta, possiamo dire che la forza di gravità è una conseguenza del collasso dell’Universo con accelerazione aUniv, e le accelerazioni di gravità che si incontrano, di volta in volta, per ogni oggetto celeste, sono diverse da aUniv nella misura in cui tali oggetti sono particolarmente più compressi.
--------------------------------------------- App. 2-Par. 5.2: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze. Fig. A5.1: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze.
aUniv
GRAVITA’
causa di causa di ELETTRICITA’
MAGNETISMO
FORZA DEBOLE
causa di
(Rubino) (Einstein) (Maxwell)
FORZA FORTE (Lavori in corso)
(through meson exchanges?)
App. 2-Par. 5.3: Altre considerazioni sulla composizione dell’Universo in coppie +/-. Lo scaricarsi completo di ogni singola mollettina, che rappresenta la coppia elettrone-positrone, altro non è che l’annichilazione, con trasformazione in fotoni delle due particelle. In tal modo, la coppia non sarà più rappresentata da un’onda piccata in un dato luogo ed in un dato momento (ad esempio )()sin( vtxvtx −− , o la cugina di
quest’ultima, cioè la )( vtx −δ di Dirac), dove la parte piccata starebbe a testimoniare la carica della molla, ma sarà
rappresentata da una funzione del tipo )sin( ctx − , omogenea lungo tutta la sua traiettoria, quale il fotone è. Ciò avverrà quando il collasso dell’Universo nel suo centro di massa sarà completo. Inoltre, l’essenza delle coppie e+e-, o, in quest’era, delle e-p+, è necessaria per la non violazione del Principio di Conservazione dell’Energia. Infatti, l’Universo, che nella sua fase di contrazione massima verso una singolarità, pare svanire nel nulla, o originarsi dal nulla, nel processo inverso a mo’ di Big Bang, rappresenterebbe una violazione di tale principio di conservazione, se non fosse per il Principio di Indeterminazione, secondo cui una energia ΔE è comunque legittimata a comparire, purchè sia di durata inferiore a Δt, nella misura in cui 2h≤∆⋅∆ tE , cioè, essa può comparire a patto che l’osservatore non abbia tempo sufficiente, in relazione ai suoi mezzi di misura, per determinarla, giungendo quindi alla constatazione della violazione. E, di riflesso, tutto l’Universo, che di coppie +/- è composto, gode di questa proprietà. E la comparsa di un ΔE composto da una coppia di particelle, vede le stesse prima separarsi, e dunque avere carica uguale, mentre l’annichilirsi successivo dopo un Δt testimonia una attrazione successiva, e dunque l’assunzione di cariche opposte. Dunque, la comparsa e l’annichilazione equivalgono alla espansione e contrazione dell’Universo. Se dunque fossimo in un Universo in fase di espansione, la gravità non esisterebbe, anzi esisterebbe all’incontrario, e non è dunque vero che solo la forza elettrica può essere repulsiva, ma anche la gravità può esserlo (con Universo in fase di espansione); ora non lo è, ma lo fu! La considerazione filosofica più immediata che si può fare, in tale scenario, è che, come dire, tutto può nascere (comparire), purchè muoia, e sufficientemente in fretta; e così la violazione è evitata, o meglio, non è dimostrata/dimostrabile, ed il Principio di Conservazione dell’Energia è preservato, e la contraddizione della comparsa di energia dal nulla è aggirata, anzi, di più, è contraddetta essa stessa. Il protone, poi, gioca il ruolo del positrone, nei confronti dell’elettrone ed è più pesante di quest’ultimo per la possibilità di esistere che il caso non ha potuto negargli, nell’ambito del Principio Antropico Cosmologico, portando, un siffatto protone, all’esistenza dell’atomo e, dunque, delle cellule e della vita che si interroga su di esso. Al momento del collasso dell’Universo, il protone irradierà tutta la sua massa, divenendo positrone ed annichilendosi con l’elettrone. E trova qui risposta anche il quesito sul perché, nel nostro Universo, la materia ha prevalso sull’antimateria: infatti questo non è vero; considerando il protone, ossia un futuro, nonchè ex, positrone, come l’antimateria dell’elettrone, e viceversa, l’equilibrio è perfetto. App. 2-Par. 5.4: La Teoria della Relatività altro non è che la interpretazione dell’Universo di oscillazioni appena descritto, in contrazione a velocità c ed accelerazione auniv. Sulla composizione delle velocità: 1) Caso di un corpo di massa m. Se in un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, ho un corpo di massa m in quiete, potrò scrivere:
01 =v e 021 2
11 == mvE . Se ora gli conferisco energia cinetica, esso passerà alla velocità v2, tale che, ovviamente:
222 2
1 mvE = ed il suo delta energia di energia GUADAGNATA E↑∆ (delta up) sarà:
222
2212 )(
21)0(
210
21 vmvmmvEEE ∆=−=−=−=∆↑ , con 12 vvv −=∆ .
Ora, il fatto che ho ottenuto un v∆ che è semplicemente pari a 12 vv − è un caso del tutto PARTICOLARE e vale solo quando si parte da fermi, e cioè quando v1 = 0.
In caso contrario: 221
22
21
2212 )(
21)(
21
21
21 vmvvmmvmvEEE V∆=−=−=−=∆↑ , dove V∆ è un delta
vettoriale: )( 21
22 vvvV −=∆ ; possiamo dunque affermare che, a parte il caso particolare in cui si parta da fermi (v1
= 0), se si è già in moto, non si avrà un delta semplice, ma bensì uno vettoriale; ma questa è semplice fisica di base. 2) Caso della Terra. In un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, la Terra (E-Earth) ruota intorno al Sole con energia totale:
SE
ESunEETot R
mMGvmE−
−= 2
21
, e con energia cinetica 2
21
EEK vmE = . Se ora conferiamo alla Terra un delta up
E↑∆ di energia cinetica per farla saltare dalla sua orbita a quella di Marte (M-Mars), allora, analogamente al caso
precedente del punto 1, si ha:
22222 )(21)(
21
21
21 vmvvmvmvmE VEMEEMEEE ∆=−=−=∆↑ , con )( 22
MEV vvv −=∆ , e dunque anche qui i
delta di velocità sono di tipo vettoriale ( V∆ ). 3) Caso dell’Universo. In un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, se ad un corpo di massa m0 che mi appare in quiete voglio fargli raggiungere la velocità V, devo conferirgli un delta v appunto, ma per quanto esposto nelle pagine precedenti, essendo noi già in movimento nell’Universo (ed a velocità c), come per i punti 1 e 2 qui sopra, tale delta v deve sottostare alla seguente eguaglianza (vettoriale):
)( 22SpeedUnivAbsNewV vcvV −−−−=∆= , (A5.1)
dove SpeedUnivAbsNewv −−− è la nuova velocità assoluta che il corpo di massa m0 risulta avere non rispetto a noi, ma nel
contesto dell’Universo e rispetto al suo centro di massa. Infatti, un corpo è inesorabilmente legato all’Universo in cui si
trova, nel quale, guarda caso, esso, già di suo si muove con velocità c e possiede dunque una energia intrinseca 20cm .
Nella fattispecie, dovendo io apportare energia cinetica Ek al corpo m0 per fargli acquisire velocità V (rispetto a me), e considerando che, ad esempio, in una molla con una massa attaccata ad un’estremità, per la legge del moto armonico ho, per la velocità, una legge armonica del tipo:
ααω sinsin)( MaxMax VXv == ( αsincv SpeedUnivAbsNew =−−− , nel nostro caso),
e per l’energia armonica si ha una legge armonica del tipo:
αsinMaxEE = ( αsin)( 20
20 KEcmcm += , nel nostro caso),
ricavando αsin dalle due equazioni precedenti ed eguagliando, si ottiene:
KSpeedUnivAbsNew Ecm
cmcv+
=−−− 20
20 ,
e sostituendo tale valore di SpeedUnivAbsNewv −−− nella (A5.1), otterrò:
VEcm
cmccvcvVK
SpeedUnivAbsNewV =+
−=−=∆= −−− ])([)( 22
0
20222 , che riscrivo:
])([ 22
0
202
KEcmcmccV+
−= (A5.2)
Se ora ricavo EK dalla (A5.2), ottengo:
)11
1(
2
2
20 −
−
=
cV
cmEK !!! che è esattamente l’energia cinetica relativistica di Einstein!
Aggiungendo ora a tale EK cinetica l’energia intrinseca (che ha anche a “riposo” – riposo rispetto a noi, non rispetto al centro di massa dell’Universo) del corpo m0, ottengo l’energia totale:
20
20
2
2
2
2
20
20
20
1
1)11
1( cmcm
cV
cV
cmcmcmEE K ⋅=
−
=−
−
+=+= γ , e cioè la ben nota
20cmE ⋅= γ (della TRR). (A5.3)
Tutto ciò dopo che abbiamo supposto di apportare energia cinetica ad un corpo in quiete (rispetto a noi). La (A5.3) funziona benissimo, dunque, negli acceleratori di particelle, dove le particelle guadagnano energia, ma ci sono casi
(Universo collassante e Fisica Atomica) dove le masse perdono energia ed irraggiano, invece di guadagnarla, ed in tali casi la (A5.3) è completamente inapplicabile, in quanto la stessa vale per energie apportate, non rimosse. App. 2-Par. 5.5: Sulla “Relatività” delle energie cedute. In caso di energie rimosse (fase ulteriore del moto armonico), vale la seguente:
20
1 cmE ⋅=γ
(Rubino) (A5.4)
che è intuitiva già solo per il fatto che, con l’aumentare della velocità, il coefficiente γ1 mi abbassa m0, riducendola appunto, a favore della irradiazione, e cioè della perdita, di energia, cosa purtroppo non prevista, nei termini della (A5.4), nella Teoria della Relatività. Per una (convincente) deduzione della stessa (A5.4) e di alcune sue implicazioni, però, sono da me disponibili ulteriori trattazioni a riguardo. Utilizzando la (A5.4) in Fisica Atomica per valutare le energie di ionizzazione ZE↓∆ di atomi con singolo elettrone, ma
con numero atomico Z variabile, ci si riconduce, ad esempio, alla seguente equazione, che rispecchia egregiamente i dati sperimentali:
])2
(11[ 2
0
22
hcZecmE eZ ε
−−=∆↓ (A5.5)
e per atomi con numero quantico n qualsiasi ed orbitali qualsiasi:
])4
(11[ 2
0
22
hcnZecmE enZ ε
−−=∆ −↓ (Wåhlin) (A5.6)
Orbitale (n) Energia (J) Orbitale (n) Energia (J) 1 2,1787 10-18 5 8,7147 10-20 2 5,4467 10-19 6 6,0518 10-20 3 2,4207 10-19 7 4,4462 10-20 4 1,3616 10-19 8 3,4041 10-20
Tab. A5.1: Livelli energetici nell’atomo di idrogeno H (Z=1), come da (A5.6). L’applicazione della qui inappropriata (A5.3) non porta invece ai dati sperimentali, ma bensì al ricorso di complesse correzioni ed equazioni di correzione (Fock-Dirac ecc), che tenterebbero appunto di “correggere” una applicazione appunto errata. Anche per avere delle chiare dimostrazioni delle (A5.5) e (A5.6), sono da me disponibili ulteriori files e trattazioni.
--------------------------------------------- App. 2-SUBAPPENDICI. App. 2-Subppendice 1: Costanti fisiche.
Costante di Boltzmann k: KJ /1038,1 23−⋅
Accelerazione Cosmica aUniv: 212 /1062,7 sm−⋅
Distanza Terra-Sole AU: m1110496,1 ⋅
Massa della Terra MTerra: kg241096,5 ⋅
Raggio della Terra RTerra: m610371,6 ⋅
Carica dell’elettrone e: C19106,1 −⋅−
Numero di elettroni equivalente dell’Universo N: 851075,1 ⋅
Raggio classico dell’elettrone re: m1510818,2 −⋅
Massa dell’elettrone me: kg31101,9 −⋅
Costante di Struttura Fine )1371(≅α : 31030,7 −⋅
Frequenza dell’Universo Univν : Hz211005,4 −⋅
Pulsazione dell’Universo )( globalUniv H=ω : srad201054,2 −⋅
Costante di Gravitazione Universale G: 2211 /1067,6 kgNm−⋅
Periodo dell’Universo UnivT : s201047,2 ⋅
Anno luce a.l.: m151046,9 ⋅
Parsec pc: mla 161008,3.._26,3 ⋅=
Densità dell’Universo ρUniv: 330 /1032,2 mkg−⋅
Temp. della Radiaz. Cosmica di Fondo T: K73,2
Permeabilità magnetica del vuoto μ0: mH /1026,1 6−⋅
Permittività elettrica del vuoto ε0: mF /1085,8 12−⋅
Costante di Planck h: sJ ⋅⋅ −3410625,6
Massa del protone mp: kg271067,1 −⋅
Massa del Sole MSun: kg3010989,1 ⋅
Raggio del Sole RSun: m81096,6 ⋅
Velocità della luce nel vuoto c: sm /1099792458,2 8⋅
Costante di Stephan-Boltzmann σ: 428 /1067,5 KmW−⋅
Raggio dell’Universo (dal centro fino a noi) RUniv: m281018,1 ⋅
Massa dell’Universo (entro RUniv) MUniv: kg551059,1 ⋅ Grazie per l’attenzione. Leonardo RUBINO E-mail: leonrubino@yahoo.it
--------------------------------------------------------------- Bibliografia: 1) (M.M. Lipschutz) GEOMETRIA DIFFERENZIALE, Schaum. 2) (Steven Weinberg) GRAVITATION AND COSMOLOGY(Principles and Applications of the General Theory of Relativity), John Wiley & Sons. 3) (S. Greco e P. Valabrega) LEZIONI DI MATEMATICA, Vol. 2- Geometria Analitica e Differenziale, Levrotto & Bella. 4) (F.W.K. Firk) ESSENTIAL PHYSICS - Part 1-Relativity, Gravitation etc – F. Yale University. 5) (L. Wåhlin) THE DEADBEAT UNIVERSE, 2nd Ed. Rev., Colutron Research. 6) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN I-II e III – Zanichelli. 7) (Lionel Lovitch-Sergio Rosati) FISICA GENERALE, Elettricità, Magnetismo, Elettromagnetismo Relatività Ristretta, Ottica, Meccanica Quantistica , 3^ Edizione; Casa Editrice Ambrosiana-Milano. 8) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I – Meccanica-Termodinamica, Liguori. 9) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA II – Elettromagnetismo-Ottica, Liguori. 10) (R. Sexl & H.K. Schmidt) SPAZIOTEMPO – Vol. 1, Boringhieri. 11) (V.A. Ugarov) TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA, Edizioni Mir. 12) (A. Liddle) AN INTRODUCTION TO MODERN COSMOLOGY, 2nd Ed., Wiley. 13) (A. S. Eddington) THE EXPANDING UNIVERSE, Cambridge Science Classics. 14) ENCYCLOPEDIA OF ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS, Nature Publishing Group & Institute of Physics Publishing. 15) (Keplero) THE HARMONY OF THE WORLD. 16) (H. Bradt) ASTROPHYSICS PROCESSES, Cambridge University Press.
--------------------------------------------------------------
THE GENERAL THEORY OF RELATIVITY
by Leonardo Rubino
leonrubino@yahoo.it for www.fisicamente.net
May 1993 – Rev. 00 June 2011 – Rev. 00
August 2011 – Rev. 02 Contents: -Contents. Page.1 -Introduction. Page.2 - Chapter 1: Preamble on Geometry. Page.4 Par. 1.1: Formalism, lengths of arcs and areas of curved surfaces. Page.4 Par. 1.2: Base differential Geometry. Page.7 Par. 1.3: Space differential Geometry. Page.10 - Chapter 2: The main quantities in the Theory of General Relativity. Page.17 Par. 2.1: Introductory concepts on General Relativity. Page.17 Par. 2.2: On the metric tensor and other main quantities. Page.18 Par. 2.3: On the Lorentz Transformation in the General Relativity. Page.24 Par. 2.4: The 4-vector Momentum-Energy and the Tensor Momentum-Energy. Page.25 Par. 2.5: Relativistic Hydrodynamics. Page.27 Par. 2.6: The geodetic Equation. Page.29 Par. 2.7: The relation between µνg and λ
µνΓ . Page.28
Par. 2.8: The Newtonian limit. Page.30 Par. 2.9: The Riemann-Christoffel Curvature Tensor. Page.31 - Chapter 3: The Einstein’s Equations of the Gravitational Field. Page.33 Par. 3.1: The ten Einstein’s Equations of the Gravitational Field. Page.33 - Chapter 4: Classic tests of Einstein’s theory. Page.34 Par. 4.1: The metric. Page.34 Par. 4.2: The Schwarschild’s Solution. Page.36 Par. 4.3: The general equations of motion. Page.36 Par. 4.4: The deflection of light by the Sun. Page.38 Par. 4.5: An alternative calculation of the deflection, with profiles of antagonism to GTR. Page.39 Par. 4.6: The precession of the perihelion of planets. Page.41 -APPENDIXES. Page.44 Appendix 1: The Special Theory of Relativity. Page.44 Appendix 2: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). Page.69 -Bibliography. Page.86
Simplicity is the closest thing to intelligence. Introduction. The General Theory of Relatività (GTR) is an extension of the Special Theory of Relativity (or Restricted) (STR) shown in App. 1; it was necessary for Einstein to explain the Gravitation. The word gravity reminds the word acceleration; in fact, we will see in Par. 2.1 that where there is an acceleration, rotation and gravity with a reference system, the metric is not simple anymore as in STR. Moreover, the GTR explains gravity as a curvature of the space, or better of the space-time (mathematic space-time, in the opinion of the writer) caused by matter (and by the energy!) which is in such space-time. It’s like when, for instance, you put a ball of lead on a mattress: around the sphere you have a funnel-like hollow and there, the mattress is curved. Then, we can say that in such an area where the mattress is curved is the gravitational field of the ball of lead. If now we throw a small ball over the mattress, and neglecting frictions, it will move uniformly on a straight line, over the flat side of the mattress until, as it approaches the curved hollow, it will fall towards the ball of lead. Matter, in GTR, sees the space-time as a railway over which it can move; therefore, if this railway is curved, the trajectories followed by the matter will be curved. Then, if the ball of lead is so heavy that it completely sinks into the mattress, then the funnel will become like a closed bag and we would call it a black hole, and from it nothing would come out, not even light. In the GTR the Equivalence Principle holds, according to which a gravitational field can be cancelled by an acceleration and so it is not possibile to absolutely tell an acceleration from a gravitational field. In fact, let us consider the Einstein Elevator, in which a guy, standing stopped at a floor, rests with his weight on the floor of the elevator; if now we cut the cable holding the elevator, it will start a free falling in the terrestrial gravitational field and the guy inside will float as if in a space ship where there is no gravity, as he is falling with the elevator and with its floor and this floor will always fall under his feet. Therefore, an acceleration, that of the free falling, has cancelled the gravitational effect; and, at the same time, when the elevator is stopped, the guy inside it, instead of thinking that he was standing in a gravitational field (as he is resting on the floor of the elevator) could have thought that there weren’t any gravitational fields, but that the elevator was accelerating upwards, so pushing the soles of his shoes. Through the example of the mattress we have just introduced the concept of the (mathematical) space-time curvature, caused by the matter/energy. The tensor equation, which will be here proved, and which shows the correspondence between the matter/energy and the curvature indeed, is the Einstein Gravitational Field tensor Equation:
µνµνµν πGTRgR 821
−=−
Its left side, all in R, shows the “curvature radius” and the geometric characteristics of the space in which the matter/energy is, and the measure of such a matter/energy is, on the contrary, given by the right side, through the momentum-energy tensor µνT , that, as we will see, in some of its components, is proportional to the density ρ etc. Perhaps, only in the opinion of the writer (as the thought which follows, as well as many others, hasn’t been ever read on any books by me) the Newton classic gravitational
equation shows a correspondence between geometrical characteristics and the presence of matter:
2
2
dtrdar
r= , r
rMmGam ˆ2−=
r , →→→
→→→ rrMG
dtrd ˆ22
2
−=r
in fact, the left side of the last equation, that is 2
2
dtrd r
, that is the second derivative of the
spatial position, over the time, is a geometric characteristic of the space indeed, while the
right side rrMG ˆ2− tells us about M!
Since the time when it was born, officially in 1916, the GTR has been always seen by many people with suspects, as it’s full of complexity, mathematical as well as conceptual; so, thinking that so many hypothesis and relevant calculations can lead to equations which stick to reality, sometimes led some critics to hold it as a weird theory. Classic tests in Chapt. 4 are encouraging in the opposite direction, even though also there the preambles, the suppositions and calculations are a lot, and then, for instance, in the calculation of the deflection of the light of stars by the Sun, during an eclipse in 1919, the accuracy of the measurement was very close to the result. Moreover, there are also alternative explanations and in competition with the GTR, to explain the deflection of light and the precession of the perihelion of planets. In the opinion of the writer, GTR is for sure a beautiful physical-mathematical theory, mathematical more than physical, maybe the most beautiful, but it’s also true that it has somewhat weird concepts inside. I think that the GTR is the typical falsifiable Popper-like theory, like if it were an interpretative model which works to explain many phenomena, but that it’s not the real essence of the phenomena just explained. And then, provided that the geometric interpretation of the curvature is real, we should still explain why the matter causes it; ok, it causes that, but why? To see is not the same as to explain and justify. In the GTR, the gravity is just attractive and Einstein, in his Theory of Unified Fields (let’s sum up a bit, out of brevity) after having used the concept of curvature in the GTR to explain the gravitational pull, also used the concept of torsion to try to explain also the repulsive forces of the electricity. All this unfortunately without success, that is, his unitary field equations (maybe 33) couldn’t be proved in the real Universe. Therefore, Einstein work didn’t finish with the GTR; in fact, he died in 1955 in a bed in a Hospital, with paper and pen in his hands! I personally think the force of gravity is a macroscopic force which is made of microscopic and electric forces among particles, positive and negative, which make the Universe, and that can be considered as randomly spread (see App. 2). In fact, I prove in Appendix 2 that the electric energy of an electron in an electron-positron pair, which is:
ere2
041
⋅πε
Is exactly the gravitational energy given to an electron by all the mass of the Universe UnivM at a distance UnivR , that is:
Univ
eUniv
RmGM
Therefore, we have:
Univ
eUniv
e RmGM
re
=⋅2
041πε
!!
And it really doesn’t seem to be just by chance the fact that if we see the Universe as if made just by electrons and positrons (fundamental harmonics, whose mass is em ), and whose number is N, we easily have:
851075,1 ⋅≅=e
Univ
mMN
and nothing is strange, so far, but we realize that if we multiply the square root of N ( 421013,4 ⋅≅N ) by the classic radius of the electron er , we get exactly
mRrN Unive281018,1 ⋅≅≅ , that is, the radius of the Universe! And an explanation of all this,
in a perfect harmony with the equivalence of electricity and gravity just shown, has been put in App. 2/at Par.4.1. Therefore, the attraction (/repulsion) particle-antiparticle, that is, the fast oscillations of the particle-antiparticle pairs, in composing together, generate the slow oscillation of the Universe (Big Bang, expansion, contraction, Big Crunch). Now, we are in the era of the contraction, that is, the matter is contracting all towards the centre of mass of the Universe, and that’s why we see the actractive force of gravity every day, but hundreds of billion of years ago, when the Universe was expanding, the gravity was (as a consequence) repulsive-like (see still App. 2, as a support of all this), from which the similarity between the electricity (attractive and repulsive) and the gravity (also attractive and repulsive); “unfortunately”, when the Earth was born, the gravity already stopped to be repulsive a very long time before! Chapter 1: Preamble on Geometry. Par. 1.1: Formalism, lengths of arcs and areas of curved surfaces. the sphere and the circle: with reference to figure 1, we want to represent through a formula the surface of a sphere Σ : Fig. 1.1: The Sphere. In Cartesian coordinates, we just use the Pythagorean Theorem to get such a formula:
2222 rzyx =++ (1.1) On the contrary, with the more friendly spherical coordinates, we have, very easily and intuitively:
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=Σ
r (1.2)
x
max equatorial circumference
y
z
φ
θ
P(r, θ, φ)
r Σ
where, of course, Στr is the vector which describes (by moving) all the surface of the
sphere. We see that the components are a function of two parameters (θ e ϕ ). Of course, in the simpler case of a circle γ , we would have:
yrxr ˆ)sin(ˆ)cos( θθτ γ +=r
(1.3) and here we see that the components are a function of just one parameter (θ ), if r=const. Fig. 1.2: The Circle. (1.1) and (1.2) can therefore be written in a more general form, as functions of respectively 2 and 1 parameters:
zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ
r ( ϕθ ,, =vu and r=r(u,v)) (1.4)
yuxu ˆ)(ˆ)( 21 τττ γ +=r
( θ=u and r=r(u)) (1.5)
Of course, if in (1.4) and (1.5) all the iτ don’t have the expressions they have in (1.2) and (1.3), but they have other ones, generic ones, then they (still (1.4) and (1.5)) can represent not anymore the sphere and the circle, buth other generic surfaces and curves. Now, if we get a bit closer to the Cartesian coordinates, (x,y)=(x,f(x)), we make in (1.5) a change of parameter (u >>> x) so that we then have:
yxfxxyuxu ˆ)(ˆˆ)(ˆ)( 21 +=+= τττ γr
(1.6)
We will so consider (1.4) as the general expression for a surface and (1.6) that of a curve. length of an arc on a curve: Fig. 1.3: Length of an arc. With reference to figure 1.3, if )(uBτ
r tends to )(uAτ
r , then )(uγτr
∆ will become a )(ud γτr
;
not only; it will correspond to the infinitesimal arc ldr
on γ . We can so write that:
)(udld γτrr
= , from which:
∫∫∫∫∫−−−−−
+=+====)(
2
)(
2221
)()()(
))('1(])))(())([()(')(BAlBAlBAlBAlBAl
duxfdudu
uddu
udduuudldl ττττ γγ
rrr
(1.7)
x
y
θ r
P(r, θ)
x
y
)(uBτr
)(uAτr
)(uBτ
r- )(uAτ
r= )(uγτ
r∆ γ
and we also see from the vectorial composition in Fig. 1.3, that )(ud γτr
is tangent to γ , as
it meets it just in one point, and therefore the vector
duud
t)(γτ
rr
= (1.8)
is tangent to γ . area of a curved surface: Let’s consider again (1.4), and we report it here again: zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ
r.
Fig. 1.4: Small area on a curved surface. Now, with reference to Figure 1.4, we have a curved surface Σ , indeed, and a curve )(tγ on it. Of course, if I want to say that the curve )(tγ is really on Σ , then both parameters u and v of Σ must be a function of the only parameter t of )(tγ : Now, we know from (1.8) that the derivative of the vector γτ
r which represents a curve,
over its parameter t, yields the tangent vector tr, to the curve. By the same token, then
the derivative of the vector Στr which represents the surface Σ yields a vector t
r tangent to
the surface itself, and if the derivative is calculated on the parameter t of the curve )(tγ which lies on Σ , then, of course, such a tangent vector will be also the tangent of the curve )(tγ . Such a relationship can be analytically shown by seeing the two parameters u and v as functions of the parameter t of the curve: )(tuu = and )(tvv = . Then, the tangent to the curve )(tγ will be:
dtdv
dvd
dtdu
dud
dtdt ΣΣΣ +==
τττrrr
r (1.9)
So, still with reference to Figure 1.4, for the (1.9) we see that the tangent vector trand
vectors dud Στ
r and
dvd Στ
r lie on the same plane, as they are a three element composition, as
well as in the figure, indeed. Now, as the vectorial product of two vectors (modulus = product of moduli by the sine of the angle between them) yields a vector again, which is normal to the original vectors, then, in order to obtain the vector normal to the surface Σ
we carry out the vectorial product between dud Στ
r and
dvd Στ
rand if, then, I also want the
versor n (unitary modulus) I will divide by the modulus of the normal vector:
tr
)(tγ
dud Στ
r
dvd Στ
r Σ
dvd
dud
dvd
dud
nΣΣ
ΣΣ
×
×=
ττ
ττ
rr
rr
ˆ (normal versor) (1.10)
For what the area of a surface (in general) is concerned, we know from the elementary geometry that the area of a trapezium is given by the product of both sides by the sine of the angle formed by them, and if we also remind the definition of vectorial product above
reported, we can then say that the small area Σd delimited by the two small vectors dud Στ
r
and dv
d Στr
(Fig. 1.4) is:
dvd
dudd ΣΣ ×=Σ
ττrr
, from which, by integration over all u and v:
dudvdv
ddudd
vu∫∫∫−
ΣΣ
Σ
×=Σ=Σττrr
(1.11)
Par. 1.2: Base differential Geometry. Fig. 1.5: Fundamental Trihedron.
We saw with (1.8) that the vector )(')(
)( udu
udut γ
γ ττ rr
r== is tangent to the curve )(uγ . As
we want a versor t (unitary modulus), we’ll have:
)(')('
)(ˆuu
utγ
γ
ττr
r
= (tangent versor) (1.12)
So, still with (1.8) we saw that the derivation operation yields a normal vector. Now, we derive the (1.12), so getting the normal versor )(ˆ un :
)(ˆ)(ˆ utdudun = (normal versor) (1.13)
At last, we define the binormal versor )(ˆ ub , of course in the following way, by using the vectorial product:
)(ˆ)(ˆ)(ˆ unutub ×= (binormal versor) (1.14)
)(')('
)(ˆuu
utγ
γ
ττr
r
=
)(ˆ)(ˆ utdudun = (fundamental trihedron with generic parameter u) (1.15)
)(ˆ)(ˆ)(ˆ unutub ×=
)(uγ
)(ˆ ut )(ˆ ub
)(ˆ un
)(uP
We saw through (1.7) that the length of an arc is:
∫∫∫∫ ====−−−
u
uBAsBAsBAs
duuduuudsdus0
)(')(')()()()()(
γγγ τττrrrr
(1.16)
from which: )(')(' ududsus γτ
r== .
If now, in the trihedron (1.15), we make a change of parameter (u >>> s, with s as an intrinsic parameter), we’ll have:
)('1)('
)()]([')('
usu
dsdu
duud
sus γγ
γγ ττ
ττr
rrr
=== , from which:
1)(')('
)(' ==usu
s γγ
ττ
rr
. Then:
22 ))('(
)('')(')(''
))('(
)('')(')(')('')(''
usdsduusuu
usdsduusuus
dsduu
sγγγγ
γ
τττττ
rrrrr −
=−
=
and so we get the fundamental trihedron in the intrinsic parameterization:
)(')(ˆ sst γτr
=
)('')(''
)(ˆss
snγ
γ
ττr
r
= (fundamental trihedron with the intrinsic parameter s) (1.17)
)('')('')('
)(ˆ)(ˆ)(ˆs
sssnstsb
γ
γγ
τττ
r
rr×
=×=
Fig. 1.6: Fundamental trihedron in the intrinsic parameterization. Curvature and radius of curvature:
)('' sγτr
is zero for lines, while it is 0≠ on circles etc.
)('' sγτ
r is defined as CURVATURE of γ in )(sγτ
r.
)(''1)(
ss
γτρ r= (1.18)
is the RADIUS OF CURVATURE.
)(sγ
)(ˆ st )(ˆ sb
)(ˆ sn
)(sP
Example on a circle (on the plane x-y):
222 ryx =+ (z=0)
)cos(cosrsrrx == α , )sin(sin
rsrry == α , z=0 (where rs α= is the arc on the circle),
therefore: )0),sin(),cos((),,()(rsr
rsrzyxs ==γτ
r from which:
)0),cos(),sin(()',','()(
)('rs
rszyx
dssd
s −=== γγ
ττ
rr and so:
)0),sin(1),cos(1()'','',''()('
)(''rs
rrs
rzyx
dssd
s −−=== γγ
ττ
rr
, from which, again:
r
zyxs 1'''''')('' 222 =++=γτr (curvature)!!
the torsion:
)('ˆ sb is // to )(ˆ sn ; in fact:
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)('')(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ))(ˆ)(ˆ()(ˆ sndsdstsn
dsdstsnssn
dsdstsnst
dsdsnst
dsdsb
dsd
×=×+×=×+×=×= γτr
Now, we notice that as )(ˆ sn is a versor (modulus 1 constant), )(ˆ sndsd does not represent
a variation of the modulus of )(ˆ sn , that is, along its extension as a vector, but, as a
consequence, it is just a normal to )(ˆ sn variation, so we can say that: )(ˆ sndsd ⊥ )(ˆ sn , and
as we are talking about an orthogonal trihedron, we also have that (of course)
)](ˆ)(ˆ[ sndsdst × // )(ˆ sn and so it shows to be proportional to )(ˆ sn :
)(ˆ)(
1)('ˆ sns
sbτ
−= ; (1.19)
)(1sτ
is the TORSION of γ in )(sγτr
.
Now, there is a link between curvature and torsion and it’s expressed by the following: Frénet formulas:
from the first two of (1.17) and from (1.18) we have the following: )(ˆ)(
1)('ˆ sns
stρ
= . Then,
we have the (1.19):
)(ˆ)(
1)('ˆ sns
sbτ
−= . Moreover, from the last of the (1.17) we get: )(ˆ)(ˆ)(ˆ stsbsn ×= and so:
)(ˆ)(
1)(ˆ)(
1
)(ˆ)(
1)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(
1)('ˆ)(ˆ)(ˆ)('ˆ))(ˆ)(ˆ()(ˆ
sts
sbs
sns
sbstsns
stsbstsbstsbdsdsn
dsd
ρτ
ρτ
−=
=×+×−=×+×=×=
from which we have the Frénet formulas:
)(ˆ)(
1)('ˆ sns
stρ
=
)(ˆ)(
1)('ˆ sns
sbτ
−= (Frénet formulas) (1.20)
)(ˆ)(
1)(ˆ)(
1)('ˆ sts
sbs
snρτ
−=
Curio: a body moving along a curve can have a tangential acceleration at and a centrifugal one ac , of course, and from physics we know it’s v2 /r. Now, let’s see if all the equations and all the formalism presented so far show this. We have:
)(ˆ)()(
stdtds
dtds
dssd
dtsd
== γγ ττrr
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(
1)()(ˆ)(ˆ)()(ˆ)( 2
22
22
2
2
2
2
snvstaaaasnsdt
dsstdt
sdds
stddtdsst
dtsd
dtsd
tct ρρτ γ +=+==+=+=
rrrr
.
Par. 1.3: Space differential Geometry. first fundamental form: we saw through (1.4) that a surface can be represented as follows:
zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ
r , that is: ),( vuΣΣ = ττ
rr and in a differential form:
dvdudvdv
ddududd vu ττ
τττ
rrrr
r+=+= ΣΣ
Σ
So, let’s define the 1st fundamental form for ),( vuΣτr as follows:
2222 2)()(2)( GdvFdudvEdudvdudvduddI vvvuuu ++=⋅+⋅+⋅=⋅= ΣΣ ττττττττrrrrrrrr
where )( uuE ττ
rr⋅= , )( vuF ττ
rr⋅= , )( vvG ττ
rr⋅=
If now we make a change of parameters ( ),( vuτr >>>> ),(* φθτ
r), we’ll have a change in the
coefficients E, F and G, but I=I*:
=+++=+==⋅=2**2**2 )()(),(* dvdudvdudddddddI vuvu φφτθθτφτθττττφθ φθφθ
rrrrrrr
),()()( 22**2**** dvduIddvdudvdu vuvvuu ==+=+++= τττφτθτφτθτ φθφθrrrrrrr
length of an arc: we have an arc on ))(),(( tvtuττ
rr= ; (1.21)
here, we still see the two parameters u and v, typical for surfaces, but as we pointed out their common dependance from one single parameter t, then (1.21) is also the expression for a curve (on which the arc is). About the length s between a and b, we then have, of course:
=++=⋅== ∫∫∫ dtdtdv
dtdu
dtdv
dtdudt
dtd
dtddt
dtds
b
a vuvu
b
a
b
a
2/12/1 ]))([()( τττττττ rrrrrrr
dtdtdvG
dtdv
dtduF
dtduE
b
a
2/122 ])(2)([∫ ++= (1.22)
area A of the surface: by the (1.11), we saw that dudvdddAA
vuvu
A∫∫∫−
×== ττrr
Now, as the following vectorial identity holds: 2222
bababarrrrrr
⋅−=× , then we have: 22 FEGdd vu −=× ττ
rrand so:
dudvFEGdudvdddAA
vuvuvu
A∫∫∫∫∫−−
−=×== 2ττrr (1.23)
-example 1: length of a circle: we already saw through (1.2) that the sphere (Fig. 1.1) is represented by the following equation:
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r
. If now we consider the maximum equatorial circle, (see Fig. 1.1), you can get it by putting φ=90°, from which:
)ˆ0.....(ˆ)sin(ˆ)cos( zyrxr ++= θθτr
and then we have a ))(),(())(),(( trttvtu θτττrrr
== , just like in (1.21), from which:
yrxr ˆ)cos(ˆ)sin( θθτθ +−=r
yxr ˆsinˆcos θθτ +−=
r ,
22222 cossin rrrE =+=⋅= θθττ θθ
rr, 0sincossincos =+−=⋅= θθθθττθ rrF r
rr,
1sincos 22 =+=⋅= θθττ rrG rr, and so (1.22) yields (r=const 0=→
dtdr ):
CrTT
rTrdtrdtdtdEdt
dtdE
dtdtdrG
dtdr
dtdF
dtdEdt
dtdvG
dtdv
dtduF
dtduEs
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
=======
=++=++=
∫∫∫
∫∫
ππ
ωωθθ
θθ
22])([
])(2)([])(2)([
2/12
2/1222/122
that is really the length of a circle!!! -example 2: the surface of the sphere: we still consider the same sphere (Fig. 1.1), which, through (1.2), is shown by the following equation:
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r
, from which: yrxr ˆ)sincos(ˆ)sinsin( ϕθϕθτθ +−=
r
zryrxr ˆ)sin(ˆ)cossin(ˆ)coscos( ϕϕθϕθτϕ −+=r
ϕττ θθ22 sinrE =⋅=
rr, 0=⋅= ϕθ ττ
rrF , 2rG =⋅= ϕϕ ττrr
and for the (1.23), we get:
220
22
2242
422cos2sin
sin0sin
rrrddr
ddrddrddFEGdAAA
ππϕπϕϕθ
ϕθϕϕθϕϕθ
π
ϕθ
ϕθϕθϕθ
=⋅=−==
==−=−==
∫∫
∫∫∫∫∫∫∫−−−
That is really the surface of the sphere we all know!!!
---------------------------- second fundamental form: let’s write again the (1.10), which supplies a vector/versor N
r normal to the surface:
vu
vuNττττrr
rrr
××
= ; we then have, of course: 1=Nr
and NNdNNddrrrr
⋅=⋅== 2)()1(0 , from
which: NNdrr
⊥ . (1.24) If it’s so, then Nd
rlies on the surface, and so it can be expressed as follows (u,v):
dvNduNdvvNdu
uNNd vu
rrrr
r+=
∂∂
+∂∂
= (1.25)
Now we can define the second fundamental form II:
22
22
2)())((
NdvMdudvLdudvNdudvNNduNdvNduNdvduNddII vvuvvuuuvuvu
++=
=−+−−=++−=⋅−=rrrrrrrrrrrrrr
τττττττ
properties of II: as we have: Nvu
rrr⊥),( ττ , then uuuuuu NNN
rrrrrr⋅+⋅=⋅= τττ )(0 ,
vuuvvu NNNrrrrrr
⋅+⋅=⋅= τττ )(0 , uvvuuv NNNrrrrrr
⋅+⋅=⋅= τττ )(0 , vvvvvv NNNrrrrrr
⋅+⋅=⋅= τττ )(0 ,
therefore: uuuu NNrrrr
⋅−=⋅ ττ , vvvv NNrrrr
⋅−=⋅ ττ , vuuv NNrrrr
⋅−=⋅ ττ , uvvu NNrrrr
⋅−=⋅ ττ and so:
NL uu
rr⋅= τ , NM uv
rr⋅= τ , NN vv
rr⋅= τ from which:
NddvNdudvNduNNdvMdudvLduII vvuvuu
rrrrrrrr⋅=⋅+⋅+⋅=++= ττττ 22222 22
normal curvature: if we have a surface S which contains a curve C and if P is a point on C, the (1.20-1) supplies the vector curvature, while we define the curvature )('ˆ st n normal to C in P the
projection of the curvature vector )('ˆ st on the normal Nr
(and Nr
is the versor )(ˆ sn of (1.10)):
NNstst n
rr))('ˆ()('ˆ ⋅= and the component along N
r is: Nsttn
r⋅= )('ˆ .
Now, as Nstr
⊥)(ˆ , we have:
NdsdstNstNst
dsd rrr
⋅+⋅==⋅ )(ˆ)('ˆ0))(ˆ( , from which: NdsdstNst
rr⋅−=⋅ )(ˆ)('ˆ and so:
III
dsNdd
dsNd
dssd
NdsdstNsttn =
⋅−=−=⋅−=⋅= 2
)()(ˆ)('ˆ
rrrrrrγγ ττ
, as the numerator Nddrr
⋅γτ is really
the definition of II, while 2ds can be figured out by deriving (1.22) and then squaring, and we’ll really have I. example: normal curvature of the sphere: we already saw with (1.2) that the sphere (Fig. 1.1) is represented by the following equation:
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r
, from which: yrxr ˆ)sincos(ˆ)sinsin( ϕθϕθτθ +−=
r
zryrxr ˆ)sin(ˆ)cossin(ˆ)coscos( ϕϕθϕθτϕ −+=r
yrxr ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕθϕθτθθ −−=r
yrxr ˆ)coscos(ˆ)cossin( ϕθϕθτθϕ +−=
r
zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτϕϕ −−−=r
zryrxrN ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθ −−−=r
ϕττ θθ22 sinrE =⋅=
rr, 0=⋅= ϕθ ττ
rrF , 2rG =⋅= ϕϕ ττrr
, ϕτθθ2sinrNL =⋅=
rr, 0=⋅= NM
rrθϕτ
rNN =⋅=rr
ϕϕτ , from which:
rGddFdEdNddMdLdtn
122
22
22
=++++
=ϕϕθθϕϕθθ !!!
curvatures and main directions: the two orthogonal directions where nt has its maximum and minimum values, are known as main directions and the relevant normal curvatures t1 and t2 are the main curvatures. Theorem: t0 is main and with main direction du0,dv0 if and only if du0,dv0 and t0 satisfy the conditions:
0)()( 0000 =−+− dvFtMduEtL 0)()( 0000 =−+− dvGtNduFtM (1.26)
proof: tn is a bound if (tn=II/I)
0),( 00
=dvdu
n
dudt and 0
),( 00
=dvdu
n
dvdt , that is: 0
)0,0(
2 =⋅−⋅
dvduI
IIIIII dudu and:
0)0,0(
2 =⋅−⋅
dvduI
IIIIII dvdv . Now, if we multiply by I, we have:
0)0,0(
=−dvdu
dudu IIIIII , and: 0
)0,0(
=−dvdu
dvdv IIIIII but: 000 ),( tdvdu
III
= , so:
0)0,0(
0 =−dvdu
dudu ItII and 0)0,0(
0 =−dvdu
dvdv ItII . Now, as:
MdvLduIIdu 22 += and FdvEduIdu 22 += and so:
0)()( 00000 =+−+ FdvEdutMdvLdu 0)()( 00000 =+−+ GdvFdutNdvMdu
that is, what we wanted to prove. Now, we rewrite the (1.26) in the following way:
0)()( =−+− dvtFMdutEL 0)()( =−+− dvtGNdutFM
and we multiply side to side:
0)()2()( 222 =−+−+−− MLNtFMGLENtFEG . (1.27) The two solutions are the main curvatures. Gauss curvature and mean curvature: by dividing the previous equation (1.27) by )( 2FEG − , we get: 022 =+− KHtt , where:
)(21
21 ttH += (mean curvature) and 21ttK = (Gauss curvature). ( 2
2
FEGMLNH
−−
= )
Gauss-Weingarten equations: we saw uτ
r, vτ
r , and N
r are linearly independent (orthogonal) and so we can use them as
a base to write their derivatives: Nbvuuu
rrrr11
211
111 +Γ+Γ= τττ
Nbvuuv
rrrr12
212
112 +Γ+Γ= τττ
Nbvuvv
rrrr22
222
122 +Γ+Γ= τττ (1.28)
NN vuu
rrrr1
21
11 γτβτβ ++=
NN vuv
rrrr2
22
12 γτβτβ ++=
Where the kijΓ are the 2nd kind Christoffel simbols.
We saw by (1.24) that: NNdrr
⊥ and the (1.25) tells us that Ndr
can be espressed in terms of vu NN
rr, , from which we have that ),( vu NNN
rrr⊥ and, according to the Weingarten
equations, we can write that: NNNNNN vuu
rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅= 1
21
110 γτβτβ
NNNNNN vuv
rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅= 2
22
120 γτβτβ
but we also know that: 0=⋅=⋅ NN vu
rrrrττ and 1=⋅ NN
rr , from which: 021 == γγ and so
(1.28) get easier, as follows: Nbvuuu
rrrr11
211
111 +Γ+Γ= τττ
Nbvuuv
rrrr12
212
112 +Γ+Γ= τττ
Nbvuvv
rrrr22
222
122 +Γ+Γ= τττ (1.29)
vuuN τβτβrrr
21
11 +=
vuvN τβτβrrr
22
12 +=
Gauss
Weingarten
Gauss
Weingarten
Let’s write (1.29), more simply, in a TENSOR form, more completely: Nbijijij
rrr+Γ= α
αττ (i,j=1,2) (1.30)
and let’s not forget that by (1.30) we have just started to use the EINSTEIN CONVENTION, according to which if in a term an index is repeated, then on it we have to sum up. In fact, in the term α
ατr
ijΓ in (1.30), α is repeated and so this term will yield two
values, as well as happens in the Gauss equations (1.29). THE METRIC TENSOR ijg :
let’s review our terminology used so far, using more compendious forms:
1uu = , 2uv = , ),( vuu ì = , ii u∂∂
=τ
τr
r, jiij uu ∂∂
∂=
ττ
rr
2
;
+++=⋅+⋅+⋅=⋅= 1221
2112
1111
2222
2121
1111 2 dudugdudugdudugdududududududdI ττττττττ
rrrrrrrr
kiik
ki
kiik dudugdudugdudug ==+ ∑
,
2222 , with: Eg =11 , Fgg == 2112 , Gg =22 and:
gFEGgggggggg
g =−=−=
= 2
222122112221
1211det (1.31)
Moreover: 2
21
1 duNduNNdrrr
+= and:
=−−−−=⋅−= 2222
1212
2121
1111 duduNduduNduduNduduNNddII
rrrrrrrrrrτττττ
∑=+++=ki
kiik dudubdudubdudubdudubdudub
,
2222
1221
2112
1111
with: Lb =11 , Mbb == 2112 , Nb =22 and: bMLNbbbbbbbb
b =−=−=
= 2
222122112221
1211det .
By scalarly multiplying Gauss equations by kτr
, we have:
ijkkijkijkijkijkijkij gNb Γ=Γ=Γ=+Γ=⋅+Γ=⋅ αα
αα
αα
αα τττττττττ
rrrrrrrrrr0 ( 2,1,, =jiα )
ijkΓ are the 1st kind Christoffel symbols.
Then, remember that: ji
ji gg δαα = (by definition of jgα ), with j
iδ which is the Kronecker’s Delta, and is 0 if ji ≠ and 1 if ji = ; in fact:
ji
ji
ji
ji
ji gg δττττττττττ α
αα
αα
α =⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 1rrrrrrrrrr, as iτ
r and jτr are, by definition,
normal, if ji ≠ (definition of jτr
). From this, we have: k
ijk
ijk
ijk
ij ggg Γ=Γ=Γ=Γ ααβ
αβαβ
β δ and so: αα ijkijk g Γ=Γ and
αα
ijkk
ij g Γ=Γ . (1.32)
We have: jkiikjkij
ug
Γ+Γ=∂∂
(1.33)
proof: we have, by definition of ijg , that: jiijg ττ
rr⋅= , from which:
jkiikjjkijikkij
ug
Γ+Γ=⋅+⋅=∂∂
ττττrrrr
------------------
Then, we also have: )(21
kij
jki
iik
ikj ug
ug
ug
∂∂
−∂∂
+∂∂
=Γ (1.34)
proof:
we have, according to (1.33), that: kijjikiik
ug
Γ+Γ=∂∂ , ijkkjij
ki
ug
Γ+Γ=∂∂ and jkiikjk
ij
ug
Γ+Γ=∂∂
,
(it’s still about (1.33), but with indexes every time different, but, all in all, indexes have values 1 and 2, whatever their name is), from which we have what we wanted to prove.
------------------ It follows that:
)(21
αααα
ug
ug
ug
g ijji
ijkk
ij ∂∂
−∂∂
+∂
∂=Γ (1.35)
and moreover, by multiplying (1.32) αα
ijkk
ij g Γ=Γ in both sides by µαg (the reciprocal of αkg ) , where, by definition of reciprocal: kkgg µ
αµα δ= , we have: αµα
αµαµα δ ij
kij
kkij ggg Γ=Γ=Γ ,
that is, by removing kµδ and provided that k=µ , in the left side, we have:
µµαα ijij g Γ=Γ and by using the last equation, the (1.33) jkiikjk
ij
ug
Γ+Γ=∂∂
becomes:
µαµ
µµ kiikjjkiikjk
ij ggug
Γ+Γ=Γ+Γ=∂∂
(1.36)
------------------ By scalarly multiplying by jτ
r, the Weingarten equations (1.29) α
ατβrr
iiN = , we get:
jijijiij gNb αα
αα βττβτ =⋅=⋅=−
rrrr; if now we put: j
ij
i gbb αα= , we have:
ji
ji
ji
ji
ji gggbb βδββ α
αγαγ
αγγ −=−=−== ; therefore α
ατrr
ii bN −= , with:
αα
ijj
i bgb = e αα ijij bgb =
the symbols (tensors) of Riemann (1st and 2nd kind):
kmijjmikmijk bbbbR −= (2nd kind, rank 4 tensor) (1.37)
ijkijk RgR ααρρ = (1st kind, rank 4 tensor) (1.38)
mijkR is the covariant Riemann curvature tensor ρijkR is the combined Riemann curvature tensor
Of course: ρρ
αααρ
ααρρ
kijjikkijjikijkijk bbbbbbbbgRgR −=−== )( (1.39)
According to (1.37), we have: mijkimjk RR −= , mijkmikj RR −= ; moreover 0=mijkR if the first
two indexes or the last two are the same; therefore, just four components are not zero, and are:
bMLNbbbbRR =−=−== 22112112221211212 and bMLNbbbbRR −=−−=−== )( 2
1122211221121221
We notice that: )(12122
2
GaussKg
Rgb
FEGMLN
===−− . (1.40)
------------------ We have: α
ββα
ββααα
kijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( (1.41)
proof: Nbijijij
rrr+Γ= α
αττ >>>
++ΓΓ+Γ=++Γ+Γ==∂∂
)()()()( NbNbNbu kkijkijkijkijkijkijijkk
ij rrrrrrrrr
αββ
αα
αα
αα
αα τττττ
τ
NbbbbbbNb kijkijkijkijkijkijkij
rrrr])([])[()()( +Γ+−ΓΓ+Γ=−++ α
αα
ααβ
βαα
α ττ
where we used the Weingarten equation αατrr
ii bN −= .
Similarly: Nbbbb jikjikjikjikjikikj
rrr])([])[( +Γ+−ΓΓ+Γ= α
αα
ααβ
βα ττ
Now, the third order derivatives are not depending on the order of derivation if and only if:
ikjijk ττrr
= , that is:
0])()([])()[( =−Γ−+Γ++−ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=− Nbbbbbbbb jikjikkijkijjikkijjikkijjikkijikjijk
rrrrα
αα
αα
αααβ
βαβ
βαα τττ
and as 1τr
, 2τr
and Nr
are linearly independent, the last equation means that: 0])()[( =+−ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ ααα
ββα
ββαα
jikkijjikkijjikkij bbbb (1.42)
0])()([ =−Γ−+Γ jikjikkijkij bbbb αα
αα
The (1.42), through the (1.39), yields: αβ
βαβ
βαααkijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( , that is what we
wanted to show. Chapter 2: The main quantities in the Theory of General Relativity. Par. 2.1: Introductory concepts on General Relativity. First of all, please read again the Introduction on page 2. Moreover, we know from STR (in App. 1) that the Lorentz contraction happens just in the direction of the movement, so, if we have a rotating system or a point which rotates, for instance, around a circle, the movement will be sometimes along x, then along x and y, then also along z; therefore, the Lorentz contraction is not acting still on just one coordinate and so, the run circle will appear as squashed, when seen by a rotating reference system, therefore, not inertial somehow, and therefore geometrically modified. As a matter of fact, if:
222222 dzdydxdtcd −−−=τ , ( kiik ddd ξξητ −=2 ,see after) (2.1)
then, in another system I’ which is accelerating along x with respect to the former one, we’ll have:
2
21' atxx +=
'yy =
'zz = 'tt = and: ''' dtatdxdx += 'dydy =
'dzdz =
'dtdt = from which:
222222 '')''(' dzdyatdxdtcd −−+−=τ or (2.2)
22222222 ''''''2')'( dzdydxdtdxatdttacd −−−−−−=τ (2.3) If, then, we also have another system I’ whose plane x-y is rotating (with angular velocity ω ) with respect to that of the former system, as we then have the following transformation system:
tytxx ωω sin'cos' −= tytxy ωω cos'sin' +=
Fig. 2.1: Two reference systems, one rotating with respect to the other. and remembering that, easily, for instance, dtttd ⋅= ωωω cos)(sin etc, we have for 2τd :
222222222 ''''''2'''2)]''([ dzdydxdtdyxdtdxydtyxcd −−−−++−= ωωωτ (2.4) and we can see that in no cases ((2.2), (2.3), and (2.4), which are of the kind
νµµντ dxdxgd −=2 ; see after) we can reduce 2τd , by means of time transformations, to the
algebraic summation of the squares of the differentials of the four coordinates, as in (2.1) and as would be, on the contrary, for another inertial reference system. Therefore, the presence of linear accelerations of reference systems (that can cancel gravitational fields) and also centrifugal/centripetal ones, that is, central ones, such as for the gravity (for instance, after rotations), introduce combined terms which change the metric, and so the geometry of the space-time. From this comes the need to formulate a relativistic theory for gravitation (GTR). Par. 2.2: On the metric tensor and other main quantities. When we have dealt with the Gauss-Weingarten equations, just before, we saw that uτ
r,
vτr
, and Nr
are linearly independent (orthogonal) and so they really are a reference system, but curvilinear, and local, as they lie on a point of a surface, and when we move on it, such a tern moves and they also change their direction. That’s a valid example of a curvilinear reference system, in the opinion of the writer, of course. In all the equations introduced in the last chapter on geometry, indexes i, j, k etc changed from 1 to 2 or also 3. Now, getting a bit deeper in the Universe, and so in the General Relativity, we first of all notice that our Universe looks tridimensional, therefore, on
x’
x
y y’
tωθ =
ω
indexes, we’ll have a variability which reaches at least three, and then, as also shown in App. 1 on Special Relativity, there exists a mathematically four-dimensional Universe (for the standard physics it’s also really four-dimensional; to me, it’s not!), in which there is covariance, and so conservation, when passing from an inertial system to another, then, with Einstein, we start once and for all to consider the Universe on a four-dimensional basis and that’s it; therefore, the indexes of all the geometrical equations introduced in the last chapter, will have, from now on, all indexes with a variability on four values and the fourth value is the time one (ct). Then, the Einstein’s convention will hold, according to which if in a term of an equation an index is present twice, then the summation over it is understood. We report here the mains, which will be needed by us:
ααττrr
ijij Γ= (Gauss’ equations in a more compendious form; all in αijΓ ) (i,j=1,2,3,4) (2.5)
(this gives us also the derivative of a versor)
kiik dudugd −=2τ (i,j=1,2,3,4) (metric tensor ikg /de-square four-distance 2τd ) (2.6)
)(21
αααα
ug
ug
ug
g ijji
ijkk
ij ∂∂
−∂∂
+∂
∂=Γ (i,j=1,2,3,4) (1st kind Christoffel symbol) (2.7)
αβ
βαβ
βαααkijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( (i,j=1,2,3,4) (Riemann combined curvature tensor) (2.8)
The metric tensor ikg , in case we are dealing with Euclidean spaces, reduces to Minkowski’s tensor ikη (it’s 1 for i=k=1,2,3 and it’s -1 for i=k=4; it’s 0 when i is different from k) and without combined terms, that is, if i,k are not the same, then ηik=0; in fact, we should then have ( ctzyxu i ,,,= ):
22222 )(ctzyxddd kiik +−−−=−= ξξητ , just like in Special Relativity (App. 1) and the iξ
would represent the Euclidean coordinate system. Then, when passing to curvilinear systems ( idξ >>>> idx ), we’ll have:
νµµν
νµνµ
ξξηξξητ dxdxgdxdx
xxddd
ki
ikki
ik −=∂∂
∂∂
−=−=2 , with (2.9)
νµµνξξ
ηxx
gki
ik ∂∂
∂∂
= (2.10)
which is the link equation from one system to another. In the future we’ll keep for the indexes the letters of the common alphabete (i,j,k etc) in case of Euclidean spaces ( ikη ) and those of the Greek alphabete ( νµ, etc) for curvilinear spaces µνg , with strong gravity.
------------------ We saw with (1.1) and (1.2) that a sphere can be represented through an equation in which there are the three classic Cartesian coordinates (x,y,z) or also by fixing a radius and making two angles change ( ϕθ ,,r ):
2222 rzyx =++ (x,y,z) zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=Σ
r ( ϕθ ,,r )
Now, in case we make a change of coordinate system (x,y,z) >>>> (x’,y’,z’) where the latter is, for instance, shifted and rotated with respect to the former, there will be classic equations to go from one system to another, but both system will still have the same graphical representation by axes stretching from the origin to infinite, in positive as well as in negative.
2222 ''' rzyx =++ (x’,y’,z’) but all this in the Euclidean geometry, or non curvilinear, if we like. Fig. 2.2: Two different “Euclidean” reference systems. If now we suppose to go from a system as that in Fig. 2.2 to another in which the space is, for any reason, curved, for instance by the gravity of matter and energy, as supposed in the General Relativity, then the Euclidean geometry isn’t enough anymore and the curvilinear one, the non Euclidean Riemann-like is more helpful. In fact, in the opinion of the writer, when passing from a standard system to a curvilinear one, you cannot have the representation of Fig. 2.2, but the curvilinear one will look like a tern of straight Cartesian axes only in the infinitesimal range (“d” = de), as per Fig. 2.3; in fact, as it’s curved, as long as you get farther from the origin “0”, every single axis bends and loses any linearity and proportionality. Fig. 2.3: Case of curvilinear coordinate systems. Therefore, we’ll have a system of link equations from an Euclidean system ( iξ ) to a curvilinear one ( ix ), in the infinitesimal range, for all what just said so far, and that will be, in general, like this:
),,,( 432111 xxxxξξ =
),,,( 432122 xxxxξξ = (2.11) ),,,( 432133 xxxxξξ =
),,,( 432144 xxxxξξ =
x’
x
y y’
z
z’
dx dy
dz dz’
dy’ dx’
0 0
and vice versa:
),,,( 432111 ξξξξxx =
),,,( 432122 ξξξξxx = (2.12) ),,,( 432133 ξξξξxx =
),,,( 432144 ξξξξxx = and for the conversion equations for the expressions for the surfaces and for geometrical object (τ
r ), we obviously have ( ),,,(ˆˆˆˆ 43214321 ξξξξξξξξτ =+++= tkjir and ( ),,,( 4321
44
33
22
11 xxxxxxxx =+++= τττττ
rrrrr):
tx
kx
jx
ixx
ˆˆˆˆ1
4
1
3
1
2
1
1
11 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ξξξξτ
τr
r
tx
kx
jx
ixx
ˆˆˆˆ2
4
2
3
2
2
2
1
22 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ξξξξτ
τr
r
tx
kx
jx
ixx
ˆˆˆˆ3
4
3
3
3
2
3
1
33 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ξξξξτ
τr
r (2.13)
tx
kx
jx
ixx
ˆˆˆˆ4
4
4
3
4
2
4
1
44 ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=ξξξξτ
τr
r
and moreover, of course:
44
13
3
12
2
11
1
11 dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξ
ξ
44
23
3
22
2
21
1
22 dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξ
ξ
44
33
3
32
2
31
1
33 dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξ
ξ (2.14)
44
43
3
42
2
41
1
44 dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξ
ξ
and so: ===+++= ),,,(),,,(ˆˆˆˆ 432143214321 dxdxdxdxddddtdkdjdidd ξξξξξξξξτ
r
τττττττrrrrrrr ddxdxdxdxdxd i
i ==+++== 44
33
22
11 (2.15)
and therefore ( 4321 ,,, dxdxdxdx ) are the components of τr in the curvilinear base
( 4321 ,,, ττττrrrr
).
There exist a reciprocal set of four numbers ( 4321 ,,, ττττrrrr
) that, by definition: j
ij
i δττ =⋅rr
. Now, if we go back for a while to the (2.15), where we plainly used the Einstein’s convention, we have: i
idxd ττrr
=
If now we want to make a change of curvilinear base, with coordinates from idx to ldx' , we will obviously write: l
li
i dxdx '' ττrr
= and, by multiplying both sides by iτr
, we’ll have:
il
li dxdx ττrr
⋅= '' , but it’s also true that (as well as for (2.14)): ll
ii dx
xxdx ''∂
∂= ; therefore:
ill
i
xx
ττrr
⋅=∂∂ '
', that is:
l
i
il xx'
'∂∂
= ττrr
(2.16)
and (2.16) is the equation for the base change. Law of transformation for the components of a 4-vector: let i
iVV τrr
= be a generic vector expressed by curvilinear coordinates in the base iτr
; in
another base l'τr , we will have: l
lVV '' τrr
= and, according to the (2.16):
ii
il
il
ll V
xxVVV τττ
rrrr=
∂∂
=='
''' , with:
l
ili
xxVV'
'∂∂
= (2.17)
which is the transformation equation for the components of a 4-vector after a base
change. Very simply, its inverse is: l
ili
xxVV
∂∂
=''
------------------ Law of transformation for the components of a 4-tensor: in App. 1 on Special Relativity we said that we can get a tensor T with rank n when we multiply the components of n vectors. So, if we have two vectors V and S: (where we are simultaneously reminding how their components transformate)
ν
µνµ
xxVV
∂∂
='' e σ
λσλ
xxSS
∂∂
='' >>>>
µλσ
λ
ν
µνσ
σ
λ
ν
µσν
σ
λσ
ν
µνλµµλ '''''''''' T
xx
xxT
xx
xxSV
xxS
xxVSVT =
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
== and this is how the
components of a rank 2 tensor transformate. Then, you can proceed similarly for higher rank tensors. Derivation of a 4-vector: we have a 4-vector: µ
µτrr
VV = ; let’s derive it:
νσσ
µµ
µ
µ
ττ
dxdV
dxdV
dxVd r
rr
+= , (2.18)
Indexes changes from one term to another, as they change on four values and must not necessarily be simultaneously the same in all terms. Now, multiply the right side of (2.18) by the unitary (=1) quantity µ
µ ττrr
⋅ :
µµ
νσσ
µ
µ
µ τττ rrrr
][dxdV
dxdV
dxVd
+= ; well, the quantity between the brackets is the covariant
derivative and is a tensor, for all that has been said so far: µ
νσσ
µ
µµ
νσσ
µ
µµν τ
τΓ+=+= V
dxdV
dxdV
dxdVV r
r
; (covariant derivative) (2.19)
where µ
νσΓ are said the Christoffel’s symbols (affine connection) and already introduced by (1.30). Moreover, for the system (2.13), we could write, in a more compendious vectorial form:
µ
α
αα
µξ
ητx∂
∂= ∑ )(r , and, from this, we also have a dual form for the reciprocal set of four
µτr (so that, by definition of reciprocity: ν
µνµ δττ =rr
): α
µ
µµ
µ
ξητ
∂∂
= ∑ x)(r and so the coefficient
µνσΓ in (2.19) can be espressed also in the following way:
α
µ
νσ
α
µαα
µ
µσ
α
ανµ
νσµ
νσ ξξ
ηηξ
ηξ
ηττ
∂∂
∂∂∂
=∂∂
∂∂
==Γx
xxx
xdxd
dxd 2
)(rr
, that, if inserted in (2.19), can be also
written in a simpler way, without the unitary coefficients η:
α
µ
νσ
αµ
νσ ξξ
∂∂
∂∂∂
=Γx
xx
2
(2.20)
Then, already in App. 1 on Special Relativity, we reminded that such a derivative (of a vector) gives a tensor. We also notice that such a derivative is a tensor (rank 2) just because the terms which make it, have two indexes, just like a tensor 2. Moreover, (1.30) in the last chapter on Geometry is an example of a derivative of a vector (versor) which looks like a tensor 2, indeed. derivation of a tensor:
we have: µσλρ
µσλ
σρν
νσλ
µρν
µσλρ
µσρλ k
k TTTTx
T Γ−Γ+Γ+∂∂
=; (2.21)
in fact ( µσλT are just the components, without “versors” and, moreover 1== µ
µµ
µ δττrr
):
T(tensor)= λσµ
µσλ τττ
rrrT , from which:
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂ )()()()())(()( σ
σλ
µνρµν
λµ
µλ
σνρνσλ
λσµ
µσλρ
λσµ
µσλρ ττττττττττττττττ
rrrrrrrrrrrrrrrr
xT
xTT
xT
x
µσρλ
µσλρ
µσλ
σρν
νσλ
µρν
µσλρ
λλσµρ
µσ τττττ ;)()( TTTTTxx
T kkk
k =Γ−Γ+Γ+∂∂
=∂∂
−rrrrr cvd.
(as: νµ
ν
µµ
νµ
ν
τττ
τδττ
xxxxk
kkk ∂∂
+∂∂
==∂∂
=∂∂
rrr
rrr 0 , da cui: ν
µν
µ τττ
τxx
kk ∂
∂−=
∂∂
rrr
r )
Par. 2.3: On the Lorentz Transformation in the General Relativity. Let’s go back to (2.9), and we know from App. 1 on Special Relativity that 2τd is Lorentz invariant:
δγγδ
δγδ
β
γ
α
αββα
αβ ηηητ dxdxdxdxxx
xxdxdxd −=
∂∂
∂∂
−=−=''''2 , with:
δ
β
γ
α
αβγδ ηηxx
xx
∂∂
∂∂
='' (2.22)
Let’s differentiate (2.22) on εx :
εδ
β
γ
α
αβδ
β
εγ
α
αβ ηηxx
xxx
xx
xxx
∂∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂
=''''0
22
; now, we sum to this the same, but with γ and ε
swapped and then we subtract the same equation, but with ε and δ swapped, so getting:
δ
β
εγ
α
αβηxx
xxx
∂∂
∂∂∂
=''20
2
>>>>> 0'2
=∂∂
∂εγ
α
xxx , whose solution is:
αβαβ
α axx +Λ=' (Lorentz Transformation) (2.23)
This one, together with (2.22), yields: βδ
αγαβδ
β
γ
α
αβγδ ηηη ΛΛ=∂∂
∂∂
=xx
xx '' .
Moreover, (2.23) in a differential form is: γαγ
α dxdx Λ=' . (2.24)
Let’s figure out the elements of the Lorentz matrix (or of the Lorentz tensor) αβΛ :
from the Lorentz Transformations (A1.8) in App. 1, we have that (// and ⊥ refers to the direction of the movement):
)(' //// tVxxrrr
−= γ , ⊥⊥ = xx rr' , )(' 2cxVttrr
⋅−= γ ; moreover, of course, we have:
2// )(VVVxxr
rrr⋅= e //xxx rrr
−=⊥ , and so:
tVVVVxxx
rr
rrrrγγ −⋅−+= 2))(1(' and (2.25)
)(' 2cxVttrr
⋅−= γ
While, for (2.24), we have: ββ dxdx ii Λ=' , from which, using the common letters (i,j etc) for
the three spatial components, 0 as the fourth time coefficient and the Greek letters for all of them:
00' dxdxdx iji
ji Λ+Λ= (for (2.24)) (2.26)
02
1))(1(' dxVcV
VVxddxdx ii
ii γγ +⋅−+=rr (for (2.25)) (2.27)
(here, the last term has got a + and not a – because cdtdx −=0 ) By comparing (2.26) and (2.27), we have:
ii Vc1
0 γ+=Λ and jii
jij VV
V 2)1( −
+=Λγ
δ , and if we use the normalization c=1, out of
simplicity:
ii Vγ+=Λ0 e jii
jij VV
V 2)1( −
+=Λγ
δ (Lorentz Tensor)
where the product Vxd
rr⋅ in (2.27) yielded just the component j
jVdx in (2.26), as in (2.26)
there was just jdx . If the direct Lorentz T. is given by (2.24): γα
γα dxdx Λ=' , then, the inverse one will be
represented as follows: αλα
γ '' dxdx Λ= . Therefore, as also seen in App. 1 on Special Relativity, not only the spatial components (x) and temporal (ct) can be Lorentz transformed, but also 4-vectors and 4-tensors can:
βαβ
α VV Λ=' δ
εξξβ
εα
γδ
γαβ TT ΛΛΛ=' (remembering that the components of a tensor are obtained by
multiplying those of vectors) Par. 2.4: The 4-vector Momentum-Energy and the Tensor Momentum-Energy. Preamble on the Delta of Dirac: By definition, the Delta of Dirac must satisfy the following equation:
xdyxxfyf 33 )()()( ∫ −=rrrr
δ
In practice, if you put it in the integral (which is a summation) it yields the same integrated function f, but of a different variable. See some good books on the Fourier Transform to have useful versions of the Delta of Dirac. Preamble on currents and densities (of matter/energy): if in various points )(txn
r we have energy (and so also matter) with a volume density
]/[ 3mJen , in order to have the total one, we obviously have to sum on n:
∑ −=n
nn txxetx ))((),( 3 rrrδε ,
where the Delta of Dirac gives the right value for ne in the summation for every position )(txn
r.
About the relevant current density of matter/energy ),( txJ rr, we obviously have:
dttxdtxxetxJ n
nnn
)())((),( 3r
rrrr∑ −= δ
in fact, ]/[ 3mJen , multiplied by ]/[)( smdt
txd nr
, really gives a current of joule per square
meter.
In components: dt
tdxtxxexJ n
nnn
)())(()( 3α
α δ∑ −=rr
and, of course: ε=0J and cttxn =)(0 .
Now, this summation is over the points n; in order to have the total value, one must integrate also over the time:
')'())'((')())'((')( 4
dttdxtxxedtxJtxxdtxJ n
nnnn
ααα δδ ∑∫∫ −=−= ; now, by multiplying numerator
and denominator by c, as “de” proper time is 'cdtd =τ , we’ll have:
ττ
τδτα
α
ddxxxedxJ n
nnn
)())(()( 4∑∫ −=
)(xJ α is a 4-vector, ad so ττα
ddxn )(
is.
Moreover, =−∂∂
−=−∂∂
=⋅∇ ∑∑ dttdxtxx
xe
dttdxtxx
xetxJ
in
nni
nn
in
nnin
)())(()())((),( 33 rrrrrrδδ
),())((3 txt
txxt
en
nnrrr
εδ∂∂
−=−∂∂
−= ∑ . If now we bring ),( txt
rε
∂∂
− together with ),( txJ rrr⋅∇ , we
will have the 4-divergence (see also App.1):
0)( =∂∂ xJx
αα (the invariance on Lorentz is clear). (2.28)
Moreover, ),()()( 303 txxdxJxdenergmatQ rε∫∫ ⋅==−
------------------ the 4-vector momentum-energy: we already dealt with it in Special Relativity (App. 1).
Of course,τ
αα
ddxmp 0= ; then α
αα
ττf
dxdm
ddp
== 2
2
0 and
γτ dtdtcVxddtcd =−=−= 2/1222/1222 )1()(rr
from which, for the tridimensional component and for the temporal one:
Vmprr
γ0= and cmcEp γ000 == and so: (2.29)
τ
ββ
ddxcEp )( 2
0= . (2.30)
Of course, for Lorentz: βαβ
α pp Λ=' .
(*): In reality, we will consider the mass m as a mass referred to the unity of volume [kg/m3] the TENSOR momentum-energy:
∑ −=n
nn txxtptxT ))(()(),( 30 rrrδαα (“0” is the temporal component) (2.31)
∑ −=n
n
in
ni txx
dttdxtptxT ))(()()(),( 3 rrr
δαα (“i” , on the contrary, refers to the three spatial
components) and, all together, in a more compendious form:
∑ −=n
nn
n txxdt
tdxtpxT ))(()()()( 3 rrδ
βααβ ( cttxn =)(0 ) (2.32)
The first one is a moment (p), actually, and the second is an energy, indeed (p x v). As before, we summed over the particles n. (Then, by summing also over the time, we’d have, here too, after having multiplied
numerator and denominator by c: ∑∫ −=n
nn
n xxddxpdT ))((4 τδ
ττ
βααβ )
Now, (2.32), through (2.30), becomes:
∑ −=n
nn
nn txxcE
ppxT ))(()/(
)( 32
rrδ
βααβ
We notice the simmetry )()( xTxT βααβ = ; moreover, )(xT αβ is a tensor and, being so, according to Lorentz, transforms, as follows:
γδβδ
αγ
αβ TT ΛΛ=' . (2.33)
Moreover, just like previously done to get (2.28), through the 4-divergence, we have:
=−∂∂
−=−∂∂
=∂∂ ∑∑
nni
n
in
nn
ni
in
ni
i txxxdt
tdxtptxxxdt
tdxtptxTx
))(()()())(()()(),( 33 rrrrrδδ ααα
∑∑ −+∂∂
−=−∂∂
−=n
nn
nnn txx
dttdptxT
ttxx
ttp ))(()(),())(()( 303 rrrv δδ
ααα
as ),(0 txTt
rα
∂∂ in the last equation is made of those two terms it has on its sides, for the
rule of the derivation.
Therefore, ),())(()( 30 txGtxxdt
tdpTx
Tt
Tx n
nni
iα
ααβ
βαα δ =−=
∂∂
=∂∂
+∂∂ ∑ rr
, that is:
ααββ GT
x=
∂∂ , with:
∑∑∑ −=−=−=n
nnn
nn
nn
n txxtfdtdtxx
ddp
dtdtxx
dttdptxG ))(()())(()())(()(),( 333 rrrrrrr
δτ
δτττ
δ ααα
α
where τ
αα
ddpf n
n = is obviously a force.
If particles are free, then constpn =α and so >>>> 0=∂∂ αβ
β Tx
!!!
Par. 2.5: Relativistic Hydrodynamics. Now, it’s very important to find a form for the tensor momentum-energy αβT , as we’ll see that in the Newtonian limit of the relativistic gravitation, a component of it appears )( 00T , so suggesting to involve, once we are out of the limit situation, all αβT indeed. Out of simplicity, now we consider that c=1 (normalization). Now we see that βααβαβ ρη UUppT )( ++= and for fields of any intensity:
νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (c=1) (2.34) proof: let’s put the symbol ~ over the quantities which refer to a system at rest; moreover, from (2.32), we have that, in the right side, there is a product of a moment [(kg/m3)(m/s)] by a velocity [(m/s)] (remind the note (*) on page 26) and so: mass x velocity x velocity (=J) divided by m3, that is a pressure p. (2.35) Then, when the quantity dx/dt=d(ct)/dt=c is that which corresponds to the index zero, as per (2.31), then we’ll have on the right side the product p0 (mc, see (2.29)) by c, but according to the note (*) on page 26, m is a ρ and so we have ρc2. Let’s sum up:
ijij pT δ=~ ][Pa , 0~~ 00 == ii TT , ρ=00~T , that is: ( 2cρ with c=1 ][Pa ) (2.36)
As T is a tensor, let’s transform it according to Lorentz, as per (2.33), to get its values for a generic system, that is, not at rest:
γδβδ
αγ
αβ TT ~ΛΛ= ; we’ll have: (
222 11
)(11
VcV −=
−=γ , with c=1)
jiijij VVppT 2)( γρδ ++=
ii VpT 20 )( γρ+=
)( 2200 ργ += pVT in fact, as, according to the Lorentz Tensor, it is:
γ=Λ00 , ii Vγ=Λ0 ( iV
c1
γ with c=1), ii Vγ=Λ0 ( iVc1
γ with c=1), jii
jij VV
V 2)1( −
+=Λγ
δ , it follows
that: )(])([)~(~~ 22222000000
00
0000 pVpVTTTTi
i
i
iiii +=+=ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ∑∑ ργγργγδ
δγ
=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+=ΛΛ+=ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ∑ )()(~~~ 000202000000
00l
ilk
iki
ii
i
jj
ij
ijjj
ij
iii pVpVTTTT ργργγδδγ
(k,l ≠ 0,i and j can be i, or k,l)
+−
+−
++= kkiiii VV
VVVV
VpV γγ
γγ
ργ ))1())1()(1[( 2222
=−
+−
+−
++=−
+ )])1()())1()())1()([]))1(2
22
22
222 V
VVV
VVV
VVVpVVV
VV likiiiiilli γγ
γγ
γγγργγ
γ
)(
)1(])()()[()1(
2
22222
2
ργ
γγγργγ
γγργ
+=
=−++=++−
++=
pV
VpVpVVVVV
VpVpV
i
iiilkiiii
On the contrary, for the calculation of ijT , let’s split this in two cases: (i=j e i ≠ j)
+−
++=≠=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= pV
VVilkTTTTTT iillil
il
kkik
ik
iiii
ii
iiiiii 22
2220000 ])1()(1[)(),(~~~~~ γ
ργγδδγ
+++−
++=−
+−
+ ])()()[()1()()(])1([])1([ 2224
22222
22
2lkiiiliki VVV
VVppVp
VVVp
VVV γ
ργγγ
++=−
+−
++=−
+ ργγγ
ργγ 22
22
2
2222
22 )()1()(2)1()()()1()(2 iiiii Vp
VVp
VVppV
VVp
=++=−++=+−−
+ 222222
222
22 )()()1()()()21()1()( γργγργγ
γ iii
ii VpVpVVpVp
VVp
)()( 22 ργ ++= pVp i . (as 22
2
2
2 )1(γ
γγ==
−cV
if c=1)
On the contrary, if i≠ j: +=≠=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ργγδ
δγjikkj
kik
jjjj
ij
iiji
ii
jijiij VVjikTTTTTT 20000 ),(~~~~~
+−
+−
+−−
++ ])1()(1][)1([])1(][)1()(1[ 22
2222
VV
VVVp
VVV
VVp jjijii γγγγ
+−
+−
+=−
+−
+ == 4
22
22
2)0(2)0()1()()1(])1(][)1([
VVVVp
VVpVVV
VVV
VVVp jiijijikjjkkiik γγ
ργγ
δγ
δ
+−
+=−
+−
+−
+ 22
4
22
4
22
2)1(2)1()()1()()1(
VVpVVV
VVVVp
VVVVp
VVpV jijijikjijji γ
ργγγγ
=−
+−
+=++−
+ 2
2
22222
4
2 )1()1(2])()()[()1(V
VpVV
VpVVVVVVV
VpV jijijikjiji γγργ
γ
)()12()1( 22
2 ργγγ
ργ +=−+−
+= pVVV
VpVVV jijiji (as 22
2
2
2 )1(γ
γγ==
−cV
if c=1).
Totally:
2)( γρδ jiijij VVppT ++= (for the spatial components) βααβαβ ρη UUppT )( ++= (for all 4 components, but in weak fields ( αβη ))
where ìii
i Vdtdx
ddxU γγ
τ=== e cU γ=0 .
At last, for any gravitational fields ( αβη >>>> αβg ): νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (c=1) .
Par. 2.6: The geodetic Equation. A free falling parachutist does not have any floor over which his body can rest; therefore, he does not detect any gravitational acceleration and he feels as if floating in the vacuum. He realizes he is falling only if he looks at the moving objects around. Therefore, for a free falling particle, there is a reference system in which 0=ar , that is:
02
2
=∂∂
τξ α
(free falling in Euclidean coordinates) (2.37)
with kiik ddd ξξητ −=2 .
But we can see (2.37) in the following way:
ττξ
τξ
τξ
ττξ νµ
νµ
αµ
µ
αµ
µ
αα
ddx
ddx
xxdxd
xddx
xdd
∂∂∂
+∂∂
=∂∂
==∂∂ 2
2
2
2
2
)(0
If we multiply both sides by α
λ
ξ∂∂x and consider that:
λµα
λ
µ
α
δξ
ξ=
∂∂
∂∂ x
x , we’ll have:
02
2
=Γ+τττ
νµλµν
λ
ddx
ddx
dxd (free falling in curvilinear coordinates) (2.38)
(equation of the geodetic, where geodetic, on the Earth, is the shortest path between two places)
with α
λ
νµ
αλµν ξ
ξ∂∂
∂∂∂
=Γx
xx
2
.
Par. 2.7: The relation between µνg and λ
µνΓ .
We already got such a relation in a context all geometric (see (1.35)). Now we get the same relation starting from a direct calculation:
We already know that: ν
β
µ
α
αβµνξξ
ηxx
g∂∂
∂∂
= ; now we apply λx∂∂ to it:
αβνλ
β
µ
α
αβν
β
µλ
α
λµν η
ξξη
ξξxxxxxxx
g∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂∂
=∂∂ 22
; if we now remember that λ
αλµννµ
α ξξxxx ∂
∂Γ=
∂∂∂2
, we
have:
ρµρ
λνρνρ
λµαβρ
α
µ
αρλναβν
β
ρ
αρλµλ
µν ηξξ
ηξξ gg
xxxxxg
Γ+Γ=∂∂
∂∂
Γ+∂∂
∂∂
Γ=∂∂
(2.39)
Similarly, we also calculate µλν
xg
∂∂ and ν
µλ
xg
∂∂
, from which:
kkg
xg
xg
xg
λµννµλ
µλν
λµν Γ=
∂∂
−∂∂
+∂∂
2 ; now, by defining a reciprocal matrix (or tensor) νσg so that:
σν
νσ δkkgg = , we’ll have, therefore:
)(21
νµλ
µλν
λµννσσ
λµ xg
xg
xg
g∂∂
−∂∂
+∂∂
=Γ , (2.40)
which is exactly what we got in a purely geometrical context in Chapter 1. Par. 2.8: The Newtonian limit. We know that in the Newtonian limit (V<<c): 2222222222 dtcdtVdtcxddtcd ≅−=−=
rrτ
This is to say that cdtctddtdxddxddxdtdxV iiì ==∝<<∝= /)(//// 00 ττ , that is, indeed: ττ ddxddxi // 0<< .
So, (2.38) becomes: 0)( 2002
2
=Γ+ττ
µµ
ddt
dxd (with the convention c=1); moreover, as, in this
limit, the field is stationary, µνg tends to µνη (const) and so the temporal derivatives of
µνg are zero, and so, according to (2.40):
νµνµ
xgg
∂∂
−=Γ 0000 2
1 e αβαβαβ η hg += , with 1<<αβh and so: βαβα η
xh
∂∂
−=Γ 0000 2
1 and:
0)(21
002
2
2
=∇= hddt
dxd
ττ
r from which:
021
002
2
=∇= hdt
xd r and (2.41)
02
2
=τd
td from which: Cddt
=τ
.
Now, we know from Newton’s gravitation that: rr
mMGam ˆ2−=r , from which: r
rGMa ˆ2−=
r ,
but: φ∇=−∇= )(ˆ2 rGMr
rGM (con
rGM
−=φ ) and so: φ−∇== 2
2
dtxdar
rand from both this one
and (2.41), we have: consth +−= φ200 ; as at infinite: 000 == φh , then const=0 and:
)21(21000000 φφη +−=−−=+= hg (2.42)
Poisson’s equation: now, we define, with simplicity, the flux of the acceleration vector ar :
)(arΦ ; we have: Ω−=−=−=⋅−=⋅=Φ GMdr
dSGMdSr
GMdSurr
GMSdaad n222 cosˆˆ)( θ
rrr, from
which: GMdGMSdaa
Sπ4)( −=Ω−=⋅=Φ ∫∫
rrr, but: dVzyxM
V∫= ),,(ρ , from which:
dVaDivofTheoremforSdadVzyxGa
VSV ∫∫∫ ⋅∇==⋅=−=Φrrrrr .___),,(4)( ρπ , that is:
),,(4 zyxGa ρπ−=⋅∇rr
Now, as we know from mathematics that 2
ˆ)1(
rr
r−=∇
r, then: ar−=∇φ and so:
ρπφφ G42 =∇=∆ (Poisson’s Equation) (2.43) Par. 2.9: The Riemann-Christoffel Curvature Tensor.
At Par. 2.7 we proved that )(21
νµλ
µλν
λµννσσ
λµ xg
xg
xg
g∂∂
−∂∂
+∂∂
=Γ , that is, exactly what we got at
Chapter 1, through (1.35), in a purely geometrical basis. Now, it could be possible, but a bit boring, to deduct the form of the Riemamm-Christoffel curvature tensor through direct calculations, purely mathematical, exactly like in Par. 2.7, but we would get exactly what already obtained at Chapter. 1 with (1.41), here reported again, and obtained in a more suitable geomertical basis and where we will use Greek letters for the indexes, to show that here we are talking about gravitational fields with any intensity and also reminding here that those indexes have four values each (space-time), three for space and one for time:
λνη
ηµ
λη
ηµνν
λµ
λµνλ
νηηµ
λη
ηµνν
λµ
λµν
λµν ΓΓ−ΓΓ+
∂Γ∂
−∂Γ∂
=ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= kkk
kkkkkk xxR )()( (2.43)
and also kk RgR λµν
λσσµν = , from which, also: σ
µνλσλµν kk RgR = and reminding the expression
(2.40) for cabΓ :
+∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
== )]([21)]([
21
ρµ
µρρµσρ
νλσρµν
µρν
νρµσρ
λσσµνλσλµν x
gxg
xg
gx
gxg
xg
xg
gx
gRgR kkkkkk
][ σνη
ηµ
ση
ηµνλσ ΓΓ−ΓΓ+ kkg (2.44)
Now, we know that ρλ
σρλσ δ=gg , from which: 0)( =
∂∂ σρ
λσ ggxk and so, also through
(2.39), that is, the following: µαµ
µµ kiikjk
ij ggug
Γ+Γ=∂∂
, we have:
)( ηλησησ
ηλ
σρλσ
σρσρλσ gggg
xgg
xg kkkk Γ+Γ−=
∂∂
−=∂∂ (2.45)
where we have made a small rearranging of indexes, which have (those indexes) generic values, that is, we don’t care if we use j or k; what’s important is that they can have all four values, as we already know, and that their repetition is consistent. If we go back to (2.44), it becomes, through (2.45):
+ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ−∂∂
∂+
∂∂∂
−∂∂
∂−
∂∂∂
= σµηλ
ηνσησ
ηνλ
σµνηλ
ησησ
ηλλν
µµν
λλ
µνµ
λνλµν kkk
kkkkk gggg
xxg
xxg
xxg
xxgR ][][)][
21 2222
][ σ
νηηµ
ση
ηµνλσ ΓΓ−ΓΓ+ kkg that is:
][)][21 2222
σµν
ηλ
σµ
ηνλησλν
µµν
λλ
µνµ
λνλµν ΓΓ−ΓΓ+
∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂∂
−∂∂
∂= kk
kkkkk g
xxg
xxg
xxg
xxgR (2.46)
As already made at the end of Par. 1.3, we deduce three properties of the tensor kRλµν ,
which are directly verifiable: -Simmetry λµνλµν kk RR =
-Antisimmetry νµλνλµµλνλµν kkkk RRRR =−=−=
-Cyclicity 0=++ µλνµνλλµν kkk RRR
The Ricci Tensor:
kk RgR λµνλν
µ = ( µµ kk RR = ) (2.47)
and one can directly verify that : νµλλν
νλµλν
µλνλν
µ kkkk RgRgRgR +=−=−=
It’s then clear the strong relationship of such a tensor with the Gauss curvature (see (1.40), bidimensional), from which its name curvature tensor, indeed. The Bianchi’s Identity: if we put ourselves in a locally inertial reference system (not strong gravitational field) all
cabΓ are zero; in fact, the difference between the geodetic equation of an Euclidean space
(2.37) and that of a space strongly curved up by gravity, that is, the (2.38), is really the presence of a c
abΓ . In a locally inertial coordinate system, therefore, (2.46) yields
(derivation ;η expressed by the presence of ηx∂∂ ):
)][21 2222
; λνµ
µνλ
λµν
µλν
ηηλµν xxg
xxg
xxg
xxg
xR kk
kkk ∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂∂
−∂∂
∂∂∂
= (2.48)
and so, by direct verification, we have:
0;;; =++ νηλµλµηνηλµν kkk RRR
By contracting (by multiplying with), in the above equation, νλ, with λνg , we have: 0;;; =+− ν
νηµµηηµ kkk RRR and by contracting again:
0;;; =−− ν
νηµ
µηη RRR which is the same as to say also that (the last two terms are similar:
2x >>> 1/2):
0)21( ; =− µ
µη
µη δ RR and 0)
21( ; =− µ
µνµν RgR (2.49)
Chapter 3: The Einstein’s Equations of the Gravitational Field. Par. 3.1: The ten Einstein’s Equations of the Gravitational Field. They are 16 equations, actually, as they contain rank 2 tensors, that is, with two indexes each, and everyone of them can have 4 values, and so 4x4=16, but such equations are not all linearly independent among them, that is, there are doubles, and the independent ones are ten, indeed. We know from (2.42) that )21(00 φ+−=g (contact point with Newton’s theory and starting
base), while from (2.36) we know that, for non relativistic matter: ρρ == 200 cT (with
normalization c=1); we also have that: 00
2200
200 882)]21([ GTGgg πρπφφ −=−=∇−=+−∇=∇=∆ , that is:
00002 8 GTg π−=∇ ; so we can suppose, out of extension, that the following equality holds:
αβαβ πGTG 8−= and for gravitational fields of any intensity:
µνµν πGTG 8−=
Let’s deduce, now, five peculiarities µνG must have:
A)by definition, µνG is a tensor, as the momentum-energy tensor µνT is
B) µνG is consisting of terms with second derivatives of the metric tensor (just look at
002g∇ )
C) µνG is symmetric, as well as µνT
D)as µνT is conserved ( 0; =µµνT ), then µνG and similars are, as well ( 0; =µµνG )
E)for weak stationary fields, non relativistic ones, we have 002gG ∇=µν
A and B say that µνG is proportional to the curvature tensor (2.46), or better to (2.48),
clearly made of second derivatives of the metric tensor. Moreover, the symmetry of indexes wants that the curvature tensor is represented by the Ricci tensor µµ kk RR = and by the symmetric, as well, µ
µRR = (see the paragraph on the
Ricci tensor): RgCRCG µνµνµν 21 += (3.1)
but, through (2.49), we have also seen that:
0)21( ; =− µ
µν
µν δ RR , from which: νµ
µν
µµν δ ;;; 2
121 RRR == ; now, multiply (3.1) by µµg :
µν
µν
µν RgCRCG 21 += and νννν
µµν
µµν ;2
1;2;
1;2;1; )
2(
2RCCRCRCRCRCG +=+=+=
For the peculiarity D, 2
12
CC −= or 0; =νR ; the second one must be rejected, as:
µµ
µνµν
µµ πGTRCCRCggCG 8)4()( 2121 −=+=+= , and so, if ν
ν xRR ∂∂=; becomes zero, the
same must happen to νµµ xT ∂∂ , but now we aren’t yet in the case of non relativistic
matter.
Therefore: )21(1 RgRCG µνµνµν −= (3.2)
Now, because of the peculiarity E, we figure out C1: for non relativistic systems, we always have:
00TTij << , that is: 00GGij << , from which, for the above (3.2): RgR ijij 21
≅ ; moreover,
αβαβ η≅g (Minkowski’s tensor) and so: RRkk 23
≅ and 200RR ≅ .
(3.2) with 0==νµ ( 0000 η≅g ) yields:
0010000100 2)2)1(21( RCRRCG =−−= ; moreover, in case of weak fields, we can say (see
(2.46) with cabΓ =0 or directly (2.48)):
)][21 2222
λνµ
µνλ
λµν
µλν
λµν xxg
xxg
xxg
xxgR kk
kkk ∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂∂
−∂∂
∂= and kk RR λµν
λνµ η= ; being the field static, the
temporal derivatives are zero:
0020000
200
2
0000 210
21)(
21)(
21 g
xxg
xxgRR ji
ij ∇=−∂∂
∂=
∂∂∂
== ηηηη λνλν
νλλν , from which:
002
1002
100 212 gCgCG ∇=∇= , from which ( 11 =C ) RgRG µνµνµν 2
1−= and so:
µνµνµν πGTRgR 821
−=− (3.3)
which are the Einstein’s equations of the gravitational field, and we rewrite them:
µνµνµν πGTRgR 821
−=−
which tell us that the curvature ( RR ,µν∝ ) of the space-time is equal to the presence of
matter-energy ( µνT∝ ) in it!!!
Now, by contracting with µνg , we have: µµπGTRR 82 −=− , that is: µ
µπGTR 8= and so:
)21(8 λ
λµνµνµν π TgTGR −−= (another form for the Einstein’s equations).
In the vacuum, f(T)=0 and so 0=µνR .
Chapter 4: Classic tests of Einstein’s theory. Par. 4.1: The metric. We still have c=1, as a simplifying convention. Now, we define a general metric tensor through which a gravitational field is static and isotropic; static means that the metric tensor does not depend on time, about its form and its characteristics, with a clear reference to its coefficients. Isotropic means that there is a dependance from the irrotational invariants; in fact, we know that the norm of a vector and the scalar product between two vectors are invariant for rotations:
22 xx rr= , 2)( xdr
, xdx rr⋅
All this for orthogonal coordinates almost Minkowskian (almost αβη ) νµ
µντ dxdxgd −=2 , 2222 )())(()(2)( dxrCdxxrDdxdtxrEdtrFd −⋅−⋅−=τ (4.1) 2/1)( xxr rr
⋅= and in spherical coordinates:
ϕθ cossin1 rx = ϕθ sinsin2 rx =
θcos3 rx =
)sin)(())(()(2)( 2222222222 ϕθθτ drdrdrrCdrrDrdtdrrrEdtrFd ++−−−= Now, we define the linear application )(' rtt φ+= and get rid of the non diagonal elements (combined) by putting:
)()(
rFrrE
drd
−=φ
; there exists a linear rototranslation/application which reduces to a canonical
form the above quadratic form: )sin)(()(')( 222222222 ϕθθτ drdrdrrCdrrGdtrFd ++−−= , with:
))()()(()(
22
rFrErDrrG +=
Let’s define 22 )(' rrCr = ; then, we get the standard form: )sin('')'(')'( 2222222 ϕθθτ ddrdrrAdtrBd +−−= (4.2)
with )()'( rFrB = 2))()(2
1)()()(1()'( −++=
drrdC
rCr
rGrCrA
We are now interested in the standard form (4.2): )sin()()( 2222222 ϕθθτ ddrdrrAdtrBd +−−= and through a comparison with the general
expression of the metric (2.9), we get: )(rAgrr = , 2rg =θθ , θϕϕ22 sinrg = , )(rBgtt −=
and as µνg is orthogonal, we have that: )(1 rAg rr −= , 2−= rgθθ , θϕϕ 22 sin −−= rg ,
)(1 rBg tt −−= .
Then, as we know that according to (2.40): )(21
ρµν
µρν
νρµλρλ
µν xg
xg
xg
g∂∂
−∂∂
+∂∂
=Γ , it comes out
that the only non zero quantities are:
drrdA
rArrr
)()(2
1=Γ ,
)(rArr −=Γθθ ,
)(sin 2
rArr θ
ϕϕ −=Γ , dr
rdBrA
rtt
)()(2
1=Γ ,
rrr1
=Γ=Γ θθ
θθ ,
θθθϕϕ cossin−=Γ ,
rrr1
=Γ=Γ ϕϕ
ϕϕ , θϕ
ϕθϕθϕ cot=Γ=Γ ,
drrdB
rBtrt
ttr
)()(2
1=Γ=Γ .
Now, we calculate the Ricci tensor ( νλ = in λµνkR of the (2.43)):
λλη
ηµ
λη
ηµλλ
λµ
λµλ
µ ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂
−∂Γ∂
= kkk
kk xxR and we remind that kx∂
Γ∂ λµλ is symmetric over µ and k ,
also by a direct verification; therefore, we totally have:
x
X2
z θ
φ
P(r, θ, φ)
x1
X3
rr
rdθ
dr
ϕθdr sin
)()('1)
)()('
)()(')(
)()('(
41
)(2)(''
rArA
rrBrB
rArA
rBrB
rBrBRrr −+−=
)(1)
)()('
)()('(
)(21
rArBrB
rArA
rArR ++−+−=θθ
θθϕϕ θ RR ⋅= 2sin , )()('1)
)()('
)()(')(
)()('(
41
)(2)(''
rArB
rrBrB
rArA
rArB
rArBRtt −++−= , 0=µνR for νµ ≠ .
Par. 4.2: The Schwarschild’s Solution. We already know that: 22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= Moreover, in the vacuum 0=µνR , so:
0=== ttrr RRR θθ ; (4.3) moreover, we notice that:
)''(1BB
AA
rABR
AR ttrr +−=+ and for the (4.3), we have:
BB
AA ''
−= , that is:
constrBrA =)()( . (4.4)
Then, for ∞→r , the metric tensor µνg must get close to the Minkowski’s tensor µνη in
spherical coordinates, that is: 1)(lim)(lim == ∞→∞→ rBrA rr , from which, for the (4.4):
)(1)(rB
rA = and by using this one in the expressions for θθR and rrR , we have:
)()('1 rBrrBR ++−=θθ and )(2)('
)()('
)(2)(''
rrBrR
rrBrB
rBrBRrr
θθ=+= ; by putting 0=θθR , we have:
1)()(')( =+= rBrrBrrBdrd , from which: constrrrB +=)( .
Moreover, for ∞→r : φ2100 −−=−== Bggtt → (r
GM−=φ )→
]21[)(r
GMrB −= and 1]21[)( −−=r
GMrA and so, finally:
222222122 sin]21[]21[ ϕθθτ drdrdrr
GMdtr
GMd −−−−−= − (4.5)
(Schwarschild’s solution) Par. 4.3: The general equations of motion. We know that 22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= and we also consider the
geodetic equation (2.38): 02
2
=Γ+dpdx
dpdx
dpxd λν
ννλ
µ
(in p generic, for the moment): we have,
by making µ change:
222
222
2
)()(2)(')(
)(sin)(
)()(
)(2)('0
dpdt
rArB
dpd
rAr
dpd
rAr
dpdr
rArA
dprd
+−−+=ϕθθ
(4.6)
22
2
)(cossin20dpd
dpdr
dpd
rdpd ϕ
θθθθ
−+= (4.7)
dpd
dpd
dpdr
dpd
rdpd θϕ
θϕϕ cot220 2
2
++= (4.8)
dpdr
dpdt
rBrB
dptd
)()('0 2
2
+= (4.9)
Now, as the field is isotropic, we put 2πθ = and so the last two equations, (4.8) and (4.9), becomes:
0]ln[ln 2 =+ rdpd
dpd ϕ and 0]ln[ln =+ B
dpdt
dpd , from which:
Jdpdr =ϕ2 (constant) (4.10)
constBdpdt
= (=1, by choice) (4.11)
from which: Bdp
dt 1= . Now, by putting (4.10), (4.11) and the condition ( 2πθ = ) used
before, in the (4.6), we’ll have:
)()(2)('
)()(
)(2)('0 23
22
2
2
rBrArB
rArJ
dpdr
rArA
dprd
+−+= and by multiplying, now, by dpdrrA )(2 :
0])(
1))(([ 2
22 =−+
rBrJ
dpdrrA
dpd that is:
ErBr
JdpdrrA −=−+
)(1))(( 2
22 (constant) (4.12)
If now we make a system with the equations ( 2πθ = ) just used, then the (4.10), (4.11) and (4.12), we get:
22 Edpd =τ (4.13) We know that E=0 for photons and E>0 for material particles. As A(r) is always positive, we have that the particle can reach r only if (see (4.12)):
)(1
2
2
rBE
rJ
−≤+ . Then, by using (4.11) in (4.10), (4.12) and (4.13), we get:
)(2 rJBdtdr =ϕ (4.14)
ErBr
Jdtdr
rBrA
−=−+)(
1)()()(
2
22
2 (4.15)
and 222 )( dtrEBd =τ (4.16)
Now we know that, for weak fields: φ21 =−B → Jdtdr =ϕ2 and
21
2)(
21
2
22 E
rJ
dtdr −
≅++ φ (4.17)
as: )21()(21
1)(
1φ
φ−−≅≅
+−=− forTaylor
rB
(4.17) has got a similar correspondance in Newton’s classic mechanics.
For general orbits, r=r(φ); then, we know that:
Jdpdr =ϕ2
ErBr
JdpdrrA −=−+
)(1))(( 2
22
if we get rid of dp, we have: 2222
4 )(11)()(
JE
rBJrddr
rrA
−=−+ϕ
, (4.18)
whose solution is:
∫−−
±=2/1
2222
2/1
)1)(
1(
)(
rJE
rBJr
drrAϕ (4.19)
Par. 4.4: The deflection of light by the Sun. Fig. 4.1: The deflection of light by the Sun.
SunS RR = ; b is the collision parameter. At the infinite, )()sin( ∞∞ −≅−= ϕϕϕϕ rrb and:
dtdrr
dtdV ≅−=− ∞ )cos( ϕϕ ; V is the motion speed (constant). As at the infinite A=B=1, if
we put these two equations in (4.14) and (4.15), we have:
bVJ = and (4.20) 21 VE −= (4.21)
(4.21) is trivial; in order to get the (4.20), we see that:
)( ∞−≅ ϕϕrb , from which: ϕϕϕ rddr +−= ∞ )(0 , and so: JbVrdtdr
dtdr ==−−= ∞ )(2 ϕϕϕ
For 0rr = we have that 0/ =ϕddr and (4.18) then becomes: 2/12
00 )1
)(1( VrB
rJ +−= and
(4.19) becomes, after an easy calculation:
∫∞
− −+−+−+∞=
r
rV
rBV
rBrr
drrAr2/1
212
0
22
0
2
2/1
]1)1)(
1)(1)(
1(1[
)()()( ϕϕ (4.22)
Δφ
)(∞ϕ
γ
)(rϕ
r
b r0
RS
0
0
The total variation of φ is: ∞− ϕϕ )(2 0r , while, if the ray of light walked unperturbed, we
would have a variation of π , so, with reference to Fig. 4.1, we have: πϕϕϕ −−=∆ ∞)(2 0r ;
for a photon, 12 =V and (4.22) yields:
rdr
rBrB
rrrAr
r
21
02
0
2/1 ]1))()(())[(()()(
−∞
∫ −=∞−ϕϕ (4.23)
Now, by using the (Taylor’s) developments due to Robertson:
....21)( ++=r
GMrA , ....21)( +−=r
GMrB , we have:
...])(
21][1)[(]1)(2)()[(
1...])11(21[)(1]....21
....21[)(1)
)()(()(
00
2
00
02
0
2
0
0
2
0
02
0
02
0
++
−−=−−
+≅
≅−+−+=−+−
+−=−
rrrGMr
rr
rrrrGM
rr
rr
rrGM
rr
rGM
rGM
rr
rBrB
rr
The last equality can be directly verified. (4.23) becomes, for Taylor:
(in order to solve the first two integrals, put xrr cos0 = , while for the third, put t
rr
=0 and
the integral will be tt
+−
11 )
drrrr
GMrr
GMrr
rrAr
r....]
)(1[]1)[(1)()()(
00
21
2
0
2/1 ++
++−=∞−−
∞
∫ϕϕ that is:
...])(111[)(sin)()(0
020
0
01 ++−
−−−++=∞− −
rrrr
rr
rGM
rrr ϕϕ and so:
0
4r
GM=∆ϕ , and if we remind our normalization (c=1), we finally have: 2
0
4cr
GM=∆ϕ ; with
mRr S8
0 1095,6 ⋅== and kgM S301097,1 ⋅= , we have:
''75,1=∆ϕ , in perfect agreement with experimental results. In reality, when in 1919 the deflection of star light by the Sun was measured in Brazil, during an eclipse, the accuracy of the measurement was as big as the measure itself. Par. 4.5: An alternative calculation of the deflection, with profiles of antagonism to GTR. This method (Firk) is based on the variation of velocity the light undergoes when it approaches a mass; for this reason I see profiles of antagonism to pure GTR. Then, there exsist also other methods, more or less similar, based on such a supposition (for instance Wåhlin) and it seems that, if we take into account the smallest cyphers after the point, those results are even more similar to experimental values. First of all, we remind that, according to Schwarzschild (see, for instance, (4.5)):
1st Int.
2nd Int.
3rd Int.
22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= ; (4.24) Then, we know that, in general: 2222 )()( xddtcd r
−=τ and as, for a photon, 222 )()( dtcxd =r
, we have: 02 =τd , from which, for the (4.24):
2222222 sin)()(0 ϕθθ drdrdrrAdtrB −−−= ; moreover, if we consider light radially travelling towards the Sun, we can get rid of the components in θd and ϕd :
22 )()(0 drrAdtrB −= ; (4.25) The speed of light is dtdrc = far from the mass of the Sun, while, close to it, the (4.25) holds, from which we get:
crArBcdtdrV ≠== 2/1))()(( ; From Par. 4.2, we have the values for A(r) and B(r), in which, during calculations, we do not forget that now c=1 does not hold anymore; therefore:
]21[)( 2rcGMrB −= e ]21[]21[)( 2
12 rc
GMrcGMrA +≅−= −
From the developments on the variable 22rcGM , we easily have that:
]21[]221][
221[)]21[]21[( 222
2/122 rc
GMrcGM
rcGM
rcGM
rcGMcV −≅−−≅+−= , that is: ]21[ 2rc
GMcV −≅
Fig. 4.2: The velocities of the wavefronts. With reference to Figure 4.2, the part of wavefront wich is farther from the mass M has speed c, while the closer one has speed cV < . Fig. 4.3: Drawing for calculations. Now, with reference to Figure 4.3, we have:
222 )( xRyr ++= (eq. of a circle); (4.26) now, we apply the operator y∂∂ to (4.26), so having:
)(2)(2 Ryyrr +=∂∂ , from which: rRyyr /)( +=∂∂ and on the surface of the mass M:
Deflection angle
Wavefront
cV ≅
cV ≅
cV ≅
cV < Sun
Plane waves of light
y=0
Sun (M)
y
x dy
r
y
x R
dx’=V’dt
dx=Vdt
rRyry
=∂∂→0
Now: yr
crGM
rcGMc
ryr
rV
yr
yV
∂∂
=−∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
22
2])21[( , from which:
crGMR
rR
crGM
yr
crGM
yV
yy32
02
0
222==
∂∂
=∂∂
→→
.
Now, we calculate the difference between the paths dx and dx’ of wavefronts at a vertical distance y and y+dy, at which light has got velocities V and V’ respectively: dx’=V’dt and dx=Vdt, from which: dx’- dx =V’dt-Vdt=dt(V’-V) ; (4.27) moreover, we have, for Taylor: dyyVVV )(' ∂∂+= , that is: dyyVVV )(' ∂∂=− and (4.27) becomes:
dydtyVdxdx )(' ∂∂=− (4.28) Then, still from Figure 4.3 and from (4.28), we have:
VdxyVdtyVdydxdxd )()()'( ∂∂=∂∂=−=α . The total deflection α∆ from ∞− and ∞+ is, by considering that, in such a range, V is almost always equal to c (except for when it’s right close to M):
∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−∂∂≅∂∂==∆ dxyV
cdxyV
Vd )(1)(1αα and, close to the surface of M (y=0):
222/122222/3222322
)(2
)(221
RcGMR
xRRx
cGMR
xRdx
cGMRdx
crGMR
c⋅=
+=
+==∆
+∞
∞−
∞+
∞−
∞+
∞− ∫∫α , that is:
''75,142 ==∆
RcGM
α , right what we got in Par. 4.4!!!
Par. 4.6: The precession of the perihelion of planets. Fig. 4.4: The precession of the perihelion of Mercury. For planets, and in particular for Mercury, through centuries, we notice that the perihelion moves.
a
r+ r-
ae ⋅
21 ea −
a focus=Sun
In +r e −r , we have that 0=ϕd
dr. Then, we already know that (see (4.18)):
2222
4 )(11)()(
JE
rBJrddr
rrA
−=−+ϕ
; this one, in +r e −r , becomes: 222 )(11
JE
rBJr−=−
±±
,
from which: 22
22
)()(−+
−
−
+
+
−
−=
rrrB
rrB
r
E and 22
2
11)(
1)(
1
−+
−+
−
−=
rr
rBrBJ (4.29)
We have: ∫− −−
+= −
r
r
rJE
rBJr
drrArr2/1
2222
2/1
]1)(
1[
)()()( ϕϕ , from which, for (4.29), we have:
∫−
−−
−−
+−
−+
+−−
+−−−
−− −
−−−−
=−r
rdrrrA
rrBrBrrrBrBrrBrBrrr 22/12/1
21122
112112
)(]1)]()([
)]()([)]()([[)()( ϕϕ (4.30)
The total variation of φ is: )()(2 −+ −=∆ rr ϕϕϕ . If we did not have any precession, we
would have: ππ 22 = . The precession of the orbit is: πϕϕϕ 2)()(2 −−=∆ −+ rr .
We remind the Robertson’s developments on pag. 39:
....21)( ++=r
GMrA , ....21)( +−=r
GMrB
We need a 2nd order development for 1−B , otherwise, in (4.30), B doesn’t yield anything
21r
∝ . For )(1 rB− we then have:
....421)( 2
221 +++≅−
rMG
rGMrB .
Through such developments, the root in (4.30) can reduce to a quadratic form in r1 ;
anyway, we can notice that such a quantity cancels for ±= rr , therefore:
)11)(11(1)]()([
)]()([)]()([21122
112112
+−−−
+−
−+
+−−
+−−−
− −−=−−
−−−=
rrrrC
rrBrBrrrBrBrrBrBrR
C can be calculated by executing the ∞→rlim :
)]()([)](1[)](1[
11
1212
−−
+−
−+
−−
−+−
+
−−−−
=rBrBrr
rBrrBrC ; now, by factoring on both numerator and denominator:
MGrr )(2 +− − , we get: )11(21−+
+−≅rr
MGC ; with such results in (4.30), we get:
∫−
+−
−+−
−−
+++≅≅−
r
r
rrrrr
drr
GM
rrMGrr
2/12 )]11)(11[(
]1[)]11(1[.........)()( ϕϕ ; now, we define:
Ψ−++=−+−+
sin)11(21)11(
211
rrrrr (4.31)
we get: ( 2π−=Ψ→= −rr ); moreover, we just get dr as a function of Ψd in (56.1) and make a replacement in the integral in dr:
Ψ−−+Ψ++≅≅−−+−+
− cos)11(21]
2)][11(
231[.........)()(
rrMG
rrMGrr π
ϕϕ .
For the (4.31), at the aphelion, 2π=Ψ , so: )6(2)()(2LMGrr π
πϕϕϕ =−−=∆ −+ [rad/rev]
where )11(21
−+
+=rr
L (straight semiside).
Now, as we know that aer )1( ±=± and aeL )1( 2−= (see note (**) below), we have:
)6(LMGπ
ϕ =∆ and, if we do not forget our initial normalization (c=1), we have:
)6( 2LcMGπ
ϕ =∆ ; for Mercury, mL 9103,55 ⋅= , from which ''1038,0=∆ϕ . Now, as in a century
Mercury makes 415 revolutions, we have ''03,43=∆ centuryϕ , in perfect agreement with
experimental measurements, as the very first measurements on Mercury started in 1765, and Clemence, in 1943, calculated:
''45,0''11,43 ±=∆ϕ . ----------------------------
(**): some considerations on the ellipse: Fig. 4.5: The Ellipse. we have, by the definition of ellipse, that: d(P,F)=ed(P,d), where e is the eccentricity and d is the directrix. Therefore: 2222)( xeypx =+− , from which 02)1( 2222 =+−+− ppxyxe ; through easy calculations, we get that, for 0<e<1,
12
2
2
2
=+by
ax , with )1/( 2epea −= and 21 eab −= , but we also know that 22 cab −= (by
the definition of ellipse), so, by comparison: cea =⋅ . Then, if we also take into consideration the other focus, we have: d(P,F)+ d(P,F’)=const=2a; in fact: d(P,F)=ed(P,d) and d(P,F’)=ed(P,d’) and d(P,F)+ d(P,F’)=e[d(P,d)+ d(P,d’)]=constant, of course (by simmetry).
----------------------------
Focus=(p,0)
x
y=directrix
P(x,y)
Appendixes: App. 1: The Special Theory Of Relativity. Contents of App. 1: -Contents of App. 1. Page.1 - App.1-Introduction. Page.1 -App.1-Chapter 1: Fundamental introductory concepts. Page.3 App.1-Par. 1.1 Galilean transformations. Page.3 App.1-Par. 1.2: The (Relativistic) Lorentz Transformations. Page.3 App.1-Par. 1.3: The contraction of length, or of Lorentz. Page.5 App.1-Par. 1.4: Time dilation (Twin Paradox). Page.6 App.1-Par. 1.5: The four-vector position. Page.6 App.1-Par. 1.6: Relativistic Law of Transformation of Velocities. Page.7 App.1-Par. 1.7: The Proper Time τd of a particle. Page.8 -App.1-Chapter 2: The relativity of energies. Page.8 App.1-Par. 2.1: The momentum-energy four-vector (or linear momentum). Page.8 App.1-Par. 2.2: The velocity four-vector. Page.9 App.1-Par. 2.3: The four-force. Page.9 App.1-Par. 2.4: E0=m0c2. Page.10 App.1-Par. 2.5: Relativistic kinetic Energy. Page.11 -App.1-Chapter 3: Relativistic phenomena. Page.11 App.1-Par. 3.1: Time and gravity: gravity slows down the time! Page.11 App.1-Par. 3.2: Volume of moving solids. Page.11 App.1-Par. 3.3: The equation of waves, or of D’Alembert, holds in every inertial reference system. Page.12 App.1-Par. 3.4: The Fizeau experiment. Page.12 App.1-Par. 3.5: Relativistic Doppler Effect (longitudinal). Page.13 App.1-Par. 3.6: The Twin Paradox explained by the Relativistic Doppler Effect! Page.14 App.1-Par. 3.7: The Michelson and Morley experiment. Page.15 -App.1-Chapter 4: Relativistic Electrodynamics. Page.16 App.1-Par. 4.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Page.16 App.1-Par. 4.2: The Current Density four-vector. Page.19 App.1-Par. 4.3: The Electromagnetic Field Tensor. Page.19 - App.1-SUBAPPENDXES: Page.21 App.1-Subapp. 1: Lorentz Transformations in succession. Page.21 App.1- Subapp. 2: Transversal (relativistic) Doppler Effect. Page.22 App.1- Subapp. 3: The Transformations of the four-velocity. Page.24 App.1- Subapp. 4: The transformations of the four-force. Page.24 App.1- Subapp. 5: The acceleration four-vector and the transformations of the acceleration. Page.25 App.1- Subapp. 6: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). Page.26 App.1-Introduction: Time is just the name which has been assigned to a mathematical ratio relation between two different spaces; when I say that in order to go from home to my job place it takes half an hour, I just say that the space from home to my job place corresponds to the space of half a clock circumference run by the hand of minutes. In my own opinion, no mysterious or spatially four-dimensional stuff, as proposed by the STR (Special Theory of Relativity). On the contrary, on a mathematical basis, time can be considered as the fourth dimension, as well as temperature can be the fifth and so on. The speed of light (c=299.792,458 km/s) is an upper speed limit, but neither by an unexplainable mystery, nor by a principle, as asserted in the STR and also by Einstein himself, but rather because (and still in my opinion) a body cannot move randomly in the Universe where it’s free falling with speed c, as it’s linked to all the Universe around, as if the Universe were a spider’s web that when the trapped fly tries to move, the web affects that movement and as much as those movements are wide (v~c), that is, just to stick to the web example, if the trapped fly just wants to move a wing, it can do that almost freely (v<<c), while, on the contrary, if it really wants to fly widely from one side to the other on the web (v~c), the spider’s web resistance becomes high (mass which tends to infinite etc). On this purpose, see Appendix 2.
Anyway, Einstein’s theory is formally founded on two principles: -Principle of di Relativity: laws of phisics have the same form in all inertial systems (i.e. at relative movement with a constant speed); as it doesn’t make any sense an absolute movement with respect to a standing ether which does not exist (see Par. 3.7) all reference systems are equal laboratories to verify in all laws of physics; so there aren’t any privileged reference sysyems (except for, in my opinion, that of the center of mass of the Universe). Anyway, the Michelson and Morley experiment (App.1-Par. 3.7) represented the end of the ether and opened the doors to STR. -Principle of Constancy of the Speed of Light: the speed of light in vacuum has always the same value c=300.000 km/s. Therefore, no matter if you chase it at 299.000 km/s of if you run away from it still with that speed; light in vacuum will run away or chase you still at 300.000 km/s! (c=299.792,458 km/s) In the opinion of the writer, there is something like a contradiction in the STR; the speed of light seems to be an “absolute” object, indeed, and not “relative”, as we are here talking about “relativity”. The point here is that speeds among objects in the Universe are relative with respect to themselves, but there is an absolute (or almost) speed c with which all objects in the Universe fall towards the centre of mass of it; from this the absolute essence of c. And here there is also an explanation of the reason why objects at rest have energy m0c2 (App.1-Par. 2.4), energy given to matter at rest by Einstein, unfortunately without telling us that such a matter is never at rest, as it’s free falling with speed c towards the center of mass of the Universe, as chance would have it. On this purpose, see my complete personal opinion in Appendix 2. If a common man hears the speed of light is the same everywhere and for everybody (all inertial observers), even when they have relative movements at constant speed, nothing happens. On the contrary, if it’s heard by a particular man like Einstein, what he can understand from that can be surprising. The following simple experiment, made by a light clock on a space ship, shows that the fact that the speed of light is c for “everybody” implies that time is relative, from which the Twin Paradox comes (App.1-Par. 1.4) etc: Fig. A1: Light clock not moving. Fig. A2: Light clock moving at speed V. As you can see in Fig. A1, every time light (blue arrows) goes from source to mirror and back, the light clock says, for instance, one second, or a certain time t’. The path in blue shown in Fig. A1 is seen by those who are not moving with respect to the clock, i.e. by who is on the space ship with the clock itself. On the contrary, those who are on the Earth and see the clock moving on the ship, will see the light travelling diagonally longer paths, as shown in Fig. A2, as the mirror moves while the light goes downwards, and the source moves, too, when the light goes back upwards. Now, as we are talking about light, the behaviour of it during its going downwards is not like that of a suitcase falling from the luggage compartment of a railway wagon, which is seen to fall vertically by the passenger on it and by a parabolic trajectory by the observers not moving, on the platform at the station, so taking the same time for both of them, as in the latter case (parabolic) the falling speed is higher; we are here talking about light, therefore its speed must be the same for all, and c; but if it’s so, then those who see the longer diagonal path must say that time taken by light to go down and up must be longer. Therefore, despite we’re talking about just one clock and one event, those two observers come to different results, so to the relativity of time and to all its implications. Using the Pithagorean Theorem on the triangle in Fig. A2, we have:
222222 ' tVtctc += , from which: 2
2
1'cVtt −= and so, in general: tt <' and t’ tends to zero when V tends to c!
I remind you that t’ is the time of the astronaut who is travelling with the clock, while t is the time elapsed on the Earth. If all this is true for the fastest thing (light), then it’s also true for standard hands clocks and also for the biologic ones (living beings)! In the seventies, by using very sensitive atomic clocks, they proved the time dilation on the Earth, between two atomic clocks which were synchronized, at the beginning, after that one of them flew on a plane, underwenting a slight, but well felt, time dilation.
00:01 00:02 00:02
ct
Vt
ct’
light source
counter
mirror
ct’
V V
App.1-Chapter 1: Fundamental introductory concepts. App.1-Par. 1.1: Galilean transformations. They simply give the relations between spatial coordinates (and time), for two reference systems in relative motion, but in classic physics, where the speed of light is not an upper limit. Fig. A1.1: Reference systems in relative motion. We obviously have:
tVrrrrrrr
+=+= ''00' , (A1.1) from which, for the components (t=t’):
'' Vtxx += 'yy =
'zz = (A1.2) 'tt =
and for the reverse ones, we obviously have:
Vtxx −=' yy ='
zz =' (A1.3) tt ='
(A1.2) and (A1.3) are the Galilean Transformations.
By deriving (A1.1), we have: Vvvrrr
+= ' which can be held as the theorem of summation of velocities in classic physics. App.1-Par. 1.2: The (Relativistic) Lorentz Transformations. We know that the Lorentz transformations were born before the Theory of Relativity (which is founded on them) and on an electromagnetic basis. They correspond to the Galilean ones, but on a relativistic basis and they are in force as long as we say that the speed of light is an upper limit in the Universe and it’s c for (~)every observer. -FIRST PROOF: if we suppose a relative motion along x, we correct the x components of the Galilean Transformations through a coefficient k, as follows:
)(' Vtxkx −= (A1.4)
)''( Vtxkx += (A1.5) Now, for a photon, we obviously have:
y y’
z z’
x _ x’
P
0 0’
rr 'rr
Vr
tVckct )(' −= and tVckct )( += , as light has the same speed c in both reference systems, from which, by mutual multiplication of the corresponding sides:
)1('' 2
2222
cVcttkttc −= , from which:
2
2
2 11
1
1β−
=
−
=
cV
k (A1.6)
Moreover, from (A1.5) we have: )'(1' xkx
Vt −= and using (A1.4) in it, we have:
][)]11([1)]([1' 22 xcVtk
kVxtkkt
Vkxx
kVVtxk
kx
Vt −=−−=+−=−−= (A1.7)
as, for (A1.6), we have: 2
2
2 )11(cV
k=− .
By the same way which led us to (A1.7), we also get the expression for t. Finally, here are the Lorentz Transformations:
21)('
β−
−=
Vtxx
yy ='
zz =' (A1.8)
2
2
1
)('
β−
−=
xcVt
t
21)''(
β−
+=
Vtxx
'yy =
'zz = (A1.9)
2
2
1
)''(
β−
+=
xcVt
t
-SECOND PROOF: We know that c=const in all inertial reference systems. Now, with reference to Fig. A1.1, when 0=0’ and t=t’, from the origin light is emitted through spherical waves and isotropically and so we can write that:
0)( 22222 =++− zyxtc and 0)'''(' 22222 =++− zyxtc as light has the same speed c in both reference systems. Therefore:
)'''(')( 2222222222 zyxtczyxtc ++−=++− and for rays along x (y=y’ and z=z’): 222222 '' xtcxtc −=− . Now we say ( 1−=i ): ξ=ix , '' ξ=ix , η=ct and '' η=ct ; we have:
2222 '' ηξηξ +=+ , whose solution is:
θηθξξ sincos' −=
θηθξη cossin' += (A1.10) and in a differential form:
θηθξξ sincos' ddd −=
θηθξη cossin' ddd += (A1.11)
Now we notice that with respect to the origin “0”, 0=dtdx
, as the reference system (0,x,y,z) is not moving with respect
to itself. On the contrary, Vdtdx
−=''
, as the system (0’,x’,y’,z’) moves with speed V with respect to “0” and, as a
consequence: 0=ηξ
dd
and cVi
dd
−=''
ηξ
, but from the ratios between (A1.11) we have that:
θθθ
θθηξ
θθηξ
θηθξθηθξ
ηξ tg
dddd
dddd
dd
−=+−
=+
−=
+−
=cos0sin0
cossin
sincos
cossinsincos
''
and so: βθ icVitg ==
but we know from trigonometry that: 22 1
11
1cosβθ
θ−
=+
=tg
and:
22 11sin
β
β
θ
θθ
−=
+=
itg
tg and so the (A1.10) become:
21'
β
ηβξξ
−
−=
i and
21'
β
ηξβη
−
+=
i , that is:
21)('
β−
−=
Vtxx
yy ='
zz ='
21
)('
β
β
−
−=
xc
tt
and so (A1.8) again. By the same way, we also get (A1.9). App.1-Par. 1.3: The contraction of length, or of Lorentz. Moving objects with speeds close to that of ligth are shorter to not moving observers. If those observers make measurements to get the length of the running body, the best way is to use light sources (the fastest thing), by illuminating the bow and the stern of that body, in order to see the corresponding positions, moment by moment. But that light has a constant speed, and limited, too, and the result will be that of a shorted body. Reality or measuring appearance? Convince yourself immidiately that (observed) reality and the measuring appearence are the same thing, and it must be so! Let l be the length of a segment in the O system:
lxx AB =− . In O’, according to Lorentz Transformations:
'11
)(
1
)()()'(')'(''
222llxxVtxVtx
txtxl ABAABBAB =
−=
−
−=
−
−−−=−=
βββ , as in system O the measurement of
the segment makes sense if both ends are detected “simultaneously” (tA=tB). When v tends to c, cv=β will tend to 1 and the radical will tend to zero, as well as l! Therefore, the length l measured in O will be that measured in O’ by a value less than 1, that is, the observer at rest (O) will detect a shorter object.
App.1-Par. 1.4: Time dilation (Twin Paradox). It sounds strange, but time, too, can be, and is, relative. Of course, every observer, in himself, sees time going by still in the same way; if you move with a speed close to that of light, you will not hear your heart beating slower. The comparison between those two observers which were in relative motion will show the difference on how those two times went by. So, according to Lorentz Transformation, in O’ (moving system): AB ttt ''' −=∆ , whilst in O (system at rest):
21''''
β
ββ
−
−−+=−=∆
cxtcxtttt AABBAB , but, by assumption, BA xx '' = , as in the system O’ (O’,x’,y’,z’) the
clock is at rest, as it’s travelling with the system O’ itself; therefore:
21'β−
∆=∆
tt
When v tends to c, cv=β will tend to 1 and the radical will tend to zero, as well as 't∆ ! Two twins separate as one leaves for a spatial travel one month long and at speeds close to that of ligth; once back to the Earth, he sees the other twin thirty years older! (Twin Paradox) At a speed of 260.000 km/s you have the halving, so the radical will be ½ and those two times will go by one a half of the other. See also the proof of the time dilation by the ligth clock (in the Introduction) and also that on a Doppler Effect basis (App.1-Par. 3.6). App.1-Par. 1.5: The four-vector position. Instead of writing the position vectors with the three classic components x, y and z, let’s write them in a mathematically four-dimensional form, by adding time; this will be very useful. In the (justified) opinion of the writer, our Universe is three-dimensional and the adding of a fourth dimension is a purely mathematical operation; in fact, I defy you to show me the fourth dimension of a whatsoever object which is held four-dimensional. In the nowadays’ STR, a real four dimension is believed! Well, so: ),,,( 4321 xxxxx = , which is the same as: (x,y,z,ct).
By this new terminology, the Lorentz Transformations become:
411' xxx βγγ −= 411 '' xxx βγγ +=
22' xx = 22 'xx =
33' xx = 33 'xx = (A1.12)
414' xxx γβγ +−= 414 '' xxx γβγ +=
where cV=β e 21
1β
γ−
= .
You can prove the space-time distance between two points is invariant for Lorentz Transformations, i.e. it is the same in all inertial reference systems:
24
23
22
21
224
23
22
21
2 )'()'()'()'()'()()()()()( xxxxxxxxxx ∆−∆+∆+∆=∆=∆−∆+∆+∆=∆ (A1.13)
(This expression is a kind of Pitagorean Theorem in four dimensions). In order to prove that, use the Lorentz transformations in (A1.13), where there are Δxi in place of xi, and you check the equality. In other words, three dimension length and time are relative, while their four-dimensional composition is absolute. That’s why we said the definition of physical quantities by four components would have been useful. We can then use the Lorentz transformations on all four-vectors, in the form of (A1.12).
------------- If we use matrixes, Lorentz Transformations can be written in the following way: (remember the matrix product, with the components of the row of the first matrix which are multiplied by the corresponding components of the column of the second matrix, then summing up those products to get the component of the product matrix, indeed)
⋅
−
−
=
4
3
2
1
4321
0001000010
00
)',',','(
xxxx
xxxx
γβγ
βγγ
and (A1.14)
⋅
=
4
3
2
1
4321
''''
0001000010
00
),,,(
xxxx
xxxx
γβγ
βγγ
(A1.15)
while, for the tensor form: (use the Einstein convention, according to which, if in a term an index is repeated, the summation on that index is understood)
kkii xx α=' (i,k=1,2,3,4) on the right side, k is repeated, so you make the summation on it (A1.16)
iikk xx ''α= (i,k=1,2,3,4) (A1.17)
App.1-Par. 1.6: Relativistic Law of Transformation of Velocities. If I’m walking with a speed of 5 km/h in a railway train car which is travelling with a speed of 100 km/h with respect to the platform, I’ll have, with respect to the platform, a total speed of 105 km/h. This is classic physics. On the contrary, when those two speeds get close to that of light, the simple composition by algebraic summation cannot be used anymore, as it would show us a speed higher than that of light c, which must be impossible. Therefore, we have, by definition:
dtdxvx = '
'' dtdxv x =
dtdyvy = '
'' dtdyv y =
dtdzvz = '
'' dtdzv z =
Now, by differentiating the Lorentz Transformations, we have:
21
)''(β−
+=
Vdtdxdx
'dydy =
'dzdz =
2
2
1
)''(
β−
+=
dxcVdt
dt
from which:
)''(
)''(
2 dxcVdt
Vdtdxdt
dxvx
+
+==
)''(
1'
2
2
dxcVdt
dydt
dyvy
+
−==
β
)''(
1'
2
2
dxcVdt
dzdt
dzvz
+
−==
β
If now we divide numerator and denominator of last equations by dt’, we have:
)'1(
)'(
2cVv
Vvvx
xx
+
+=
)1(
)('2c
VvVvv
x
xx
−
−=
)'
1(
1'
2
2
cVv
vv
y
yy
+
−=
β (A1.18) and similarly:
)1(
1'
2
2
cVv
vv
y
yy
−
−=
β
)'1(
1'
2
2
cVv
vvz
zz
+
−=
β
)1(
1'2
2
cVv
vvz
zz
−
−=
β
When 1<<cV and 1<<c
vx we are in the classic case (galileian) of algebraic sum.
If we use again the example of the railway train car, where a guy walks inside, if we say ),0,0,'(' cvv x= and
),0,0,( cvv x= , from (A1.18) we have:
)'1(
)'(
2cVv
Vvvx
xx
+
+= (A1.19)
and if cVv x ==' , then cvx = , and not 2c! Therefore, if the train moves with a speed c and I run inside at c, as
well, with respect to the platform, I’ll have a resulting speed equal to c and not 2c! (1.19) represents the Relativistic Theorem of Addition of Velocities. As an example: two rockets travel each with speed c/2 and meet; at which velocity xv do they meet?
ccc
ccccvx <==
+
+=
54
45)4
1(
)22(
2
2 !
App.1-Par. 1.7: The Proper Time τd of a particle. If a particle is at rest in (O’,x’,y’,z’), i.e. if it moves in O’, indeed, i.e. if O’ is its “proper” reference system, then: dx’= dy’= dz’=0 and:
2222222222 ''000)( dtcdtcdtcdzdydxds −=−++=−++= , from which:
dtcv
dtdl
cdt
dtcdzdydx
cdsddt 2
22
222
222
1)(111' −=−=++
−=== τ (proper time, invariant, as so is cds
).
Therefore, when you make calculations on a particle, you are led to use for it its proper time, indeed:
γτ
dtdtcvd =−= )1( 2
2
.
App.1-Chapter 2: The relativity of energies. App.1-Par. 2.1: The momentum-energy four-vector (or linear momentum). We know from classic physics that the linear momentum is given by the product of the mass by the velocity. Now, in the relativistic case, for what has been said so far, we will define a four-vector and then the velocity as dx/dt will have the
proper time τd instead of dt, which is typical of the particle, indeed, for which we are going to define the four-vector:
pmcpmcvmdtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
dtdxm
ddxm
ddxm
ddxm
ddxmp
====
===
),(),(),,,(
)1
,1
,1
,1
(),,,(
4321
4030201040
30
20
10
rr
γγγγττττ
where vr is the (three-dimension) velocity vector, pr is the three-dimension linear momentum,
dtdxmmc 4= is the 4-dimension component,
γτ
dtd = is the proper time and 00
1mmm γ
γ== is the dynamic mass,
which is the rest mass only if v=0. We have just begun to introduce the concept of relative mass, which is increasing with speed, and becoming infinite when v=c. As already said before, the modules of 4-vectors are “absolute”, i.e. they are invariant for Lorentz T.; in fact:
220
22
2
2
2022222222
422
)()1(
)( cmvc
cv
mvcmcmvmppp −=−−
−=−−=−=−=r
= constant, i.e. it’s not
depending on v. In Relativity there exist a Universe (mathematically 4-dimensional) described by 4-vectors, where quantities are not changing so arbitrarily with speed and where laws of nature preserve some consistency, no matter what the state of motion is. App.1-Par. 2.2: The velocity four-vector.
We obviously define it as follows: τdxdv = , where we use the proper time τd for reasons already shown. Numerator
and denominator are both invariant, so also v is. We have:
),(),,,(),,,(),,,( 43214321 cvcvvvdt
dxdtdx
dtdx
dtdx
ddx
ddx
ddx
ddxv zyx γγγγγγγγγγ
ττττr
====,
and so, as a module for such a 4-vector: 222222 ccvv −=−= γγ (constant!). (A2.1)
Par. 2.3: The four-force. As in classic physics, force is the derivative of the linear momentum with respect to time, in relativity we define the 4-force as the derivative of the momentum-energy 4-vector with respect to time (proper time):
))(),(())(,(),(),,,( 00044321 cmdtdvm
dtdcm
ddp
ddFFFFFF
dpd
F γγγγγτττ
rrr===== ; (A2.2)
so we have: Ffvmdtd rrr
=⋅= γγγ )( 0 , (A2.3)
( fvmdtd rr
=)( 0γ is the “classic” force, and it’s more so when 1=γ )
and so: )()(0
vdd
mF
vdtd r
rr
γτ
γγ == , and by components:
)()(0
ii
i vdd
mFv
dtd
γτ
γγ == (i=x,y,z) (A2.4)
and then, about the fourth component: 40 )( Fcmdtd
=γγ (A2.5)
and so: )()(0
4 cdd
mFc
dtd
γτ
γγ == . (A2.6)
Now, we differentiate (A2.1), that is, the following equation: 22222222222222 ccvvvcvv zyx −=−++=−= γγγγγγ , so getting:
))(2)(2
)(2)(2())()()()((0 2222
cddcv
ddv
vddvv
ddvc
ddv
ddv
ddv
dd
zz
yyxxzyx
γτ
γγτ
γ
γτ
γγτ
γγτ
γτ
γτ
γτ
−+
++=−++=
that is: ))()()()((0 cddcv
ddvv
ddvv
ddv zzyyxx γ
τγγ
τγγ
τγγ
τγ −+++= , and, for (A2.4) and (A2.6):
)(00
4
000 mFc
mFv
mF
vmFv z
zy
yx
x γγγγ −+++= and for (A2.3) ( Ffrr
=⋅γ ):
)(00
4
000 mFc
mfv
mf
vmfv z
zy
yx
x γγ
γγ
γγ
γ −+++= , that is:
)(4 vfc
F rr⋅=
γ. (A2.7)
If now we go back to (A2.2), we finally have the 4-force, or Minkowski force:
))(,( vfc
fd
pdF rrr
⋅==γ
γτ
(A2.8)
To have the transformation equations for such a 4-force, please see Subappendix 1.4. Par. 2.4: E0=m0c2.
According to (A2.5), we have: 40 )( Fcmdtd
=γγ , whilst for (A2.7) we have: )(4 vfc
F rr⋅=
γ. Therefore:
)()( 0 vfc
cmdtd rr
⋅=γ
γγ , that is: vfcmdtd rr
⋅=)( 20γ , that is, again:
dEdLdtvfcmd ==⋅=rr
)( 20γ (A2.9)
(A2.9) is exactly the expression for the energy in classic physics, if 1=γ ; the integration of (2.9) with integration constant equal to zero yields:
20cmE γ= (A2.10)
In reality (A2.10) holds only for gained energies (as in particle accelerators), while for lost energies (collapsing Universe or Atomic Physics of electrons going down in energy levels) the following must be used, and I assume it as mine:
20
1 cmEγ
= (Rubino)
(see also Appendix 2; for a convincing proof of it, please contact me: leonrubino@yahoo.it ). Therefore, a particle whose mass is m0 has got a total energy:
)1( 2
2
202
0
cv
cmcmE−
== γ (A2.11)
and “at rest”( 0=v and so 1=γ ) it has a “rest” energy: 2
00 cmE = (A2.12)
App.1-Par. 2.5: Relativistic kinetic energy. The difference between (A2.11) and (A2.12) obviously yields the pure kinetic energy of a particle:
)1)1(
1()1(
2
2
20
20
20
200 −
−
=−=−=−=
cv
cmcmcmcmEEEK γγ (A2.13)
If now ve develop, according to Taylor, the expression for )1(
1
)1(
12
2
2 βγ
−=
−
=
cv
, we get, for v<<c (β<<1):
.....83
211
)1(1 42
2+++=
−= ββ
βγ , that is: 2
22
21
21)1(
cv
=≅− βγ and for (A2.13):
202
22
02
0 21)
21()1( vm
cvcmcmEK ==−= γ (v<<c) which is the well known classic expression (Newton’s) for the
kinetic energy! In order to have a proof of the (A2.13) starting from a collapsing Universe characteristics, please see into Appendix 2. App.1-Chapter 3: Relativistic phenomena. App.1-Par. 3.1: Time and gravity: gravity slows down the time! Also gravity slows down the time! On a mountain time elapses faster than down in the valley. Of course, on the Earth, the difference is imperceptible, but on a neutron star or in a black hole, that effect is very strong. gHmE 0=∆ (delta energy from the level difference)
ν∆=∆ hE (delta energy due to the freq. decrease of
the photon). From them: hgHm0=∆ν .
For a photon, νhE = , but in relativity: 20cmE = ,
from which, for a photon: 20 chm ν= and so,
for ν∆ : 2cgHνν =∆ and as time is the reciprocal of
the frequency, we have: tt∆=∆ νν and so:
tcgHt 2=∆ . Therefore, over a time t, we have a slow
Fig. A3.1: Mountain, gravity and time. down Δt due to gravity!
We know that the escape velocity of a celestial body whose mass is M and radius R is: RGMV 2= . If on that
body an object is cast vertically with the escape velocity, it will quit the gravitational field of that celestial body and will go towards the infinite, without falling down anymore. A black hole is a body so compressed (big M and small R) that the escape velocity on its surface reaches the speed of light and so not even the light can escape, from which the name of black hole; moreover, for what above said, we can say that in a black hole time is approximately stopped! App.1-Par. 3.2: Volume of moving solids. Moving solids appear rotated. Fig. A3.2: Body seen at rest. Fig. A3.3: Body seen moving.
H
Photon going down, with freq. increased by gravity
Photon going up, with freq. decreased by gravity
Δx
Δy A D
B
C
Δz L
L L
B
L
L
V
--Observer--
B’
V
φ
Lsin φ
zyxV ∆∆∆= (volume of the solid for an observer integral with it)
22 11'''' ββ −=∆∆−∆=∆∆∆= VzyxzyxV (volume of the solid for an observer who sees that solid in
movement with speed V, along x). Of course, for Lorentz Transformations, as the movement is along x, only Δx is contracted. On the other hand, the observer at rest sees point B with a delay with respect to A, and this delay is L/c, obviously. As a further consequence, B appears as moved back about a stretch which is (L/c)V=βL. We have: Lsin φ= βL, from which: sin φ= β and φ=arcsin β. Finally, that body appears rotated! And a sphere goes on appearing as a sphere. App.1-Par. 3.3: The equation of waves, or of D’Alembert, holds in every inertial reference system. Electromagnetic waves in vacuum, an so the light, too, propagates, as well known, respecting the wave equation:
=∂∂
−∆==∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2 101tctczyxφ
φφφφφ
φ
Now, we preliminarily notice that, according to the Lorentz Transformations, we have (by deriving them):
γ=∂∂
xx'
, Vtx
γ−=∂∂ '
, 2'
cV
xt
γ−=∂∂
, γ=∂∂
tt '
, 1''=
∂∂
=∂∂
zz
yy
, 0......'''==
∂∂
=∂∂
=∂∂
xy
zx
yx
According to mathematical analysis, we have, in 0’: )','( trrφφ = , and so:
')(
''
''
''
''
' tV
xxt
txz
zxy
yxx
xx ∂∂
−+∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂ φ
γφ
γφφφφφ
; furthermore:
''2)
''(
2
222
2
4
2
2
2
2
2
txVcV
tcV
xx ∂∂∂
−−
∂∂
+∂∂
=∂∂ φφφ
γφ
and similarly, for the other coordinates:
'' txV
t ∂∂
+∂∂
−=∂∂ φ
γφ
γφ
and ''
2)''
(2
2
2
2
222
2
2
txV
txV
t ∂∂∂
−∂∂
+∂∂
=∂∂ φ
γφφ
γφ
and 2
2
2
2
'yy ∂∂
=∂∂ φφ
, 2
2
2
2
'zz ∂∂
=∂∂ φφ
from which, by substitution in the wave equation, we have:
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
'1
'''1
tczyxtczyx ∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ φφφφφφφφ
that is what we wanted to prove.
App.1-Par. 3.4: The Fizeau experiment. In 1849, a long time before the formulation of the Special Theory of Relativity by Einstein (1905), the French physicist A.H.L. Fizeau carried out studies on the speed of light in water and in moving fluids. Fig. A3.4: Fizeau’s experiment.
Water
V
V
Water
Inverted prism Mirror
P
P=semitransparent plate
Light source
In water at rest, light has velocity skmsmncv /000.225
33,1/103 8
≅⋅
== , where n=1,33 is the refractive index of
water. If now water, or the fluid, in which we are going to measure the speed of light, flows with speed V, then, according to Fizeau’s results, the total velocity of light in the flowing fluid is:
)11( 2nV
ncv −+= , (A3.1)
in total disagreement with classic physics, according to which we should more simply have: Vncv += .
Years later, STR has given a theorethical explanation of (A3.1). In fact, for the Theorem of Addition of Velocities given by (A1.19), we can write that:
)1(
)(
)1(
)(
2 ncV
Vnc
ncVc
Vnc
v+
+=
+
+= ; now, we multiply numerator and denominator by )1(
ncV
− , and we have:
2
2
2
2 )(1
)11(
)(1
)1)((
)1(
)(
ncV
ncV
nV
nc
ncV
ncVV
nc
ncV
Vnc
v−
−−+=
−
−+=
+
+= , but quantities
ncV 2
on the numerator and 2)(ncV
on
the denominator are both negligible (<<1) with respect to the other terms and can be neglected indeed, from which the
assertion: )11( 2nV
ncv −+= .
App.1-Par. 3.5: Relativistic Doppler Effect (longitudinal). Fig. A3.5: Longitudinal Doppler Effect (example of a source S getting farther from R with speed V (β)). The source aerial sends electromagnetic signals to the receiving one, and the periods is TS; Because of the time dilation, the receiving aerial will receive them with a period T’S , so that:
)1('
2β−= S
STT ; moreover, the fact that S is getting farther will cause a ST '∆ among phase fronts, which is:
)1()1(''
22 ββ
β −=
−==∆ SSS
STT
cV
cVTT ; so, we’ll totally have TR:
RSS
SSSSSSR
TTT
TTTTTTT
=−+
=+−
=
=++−
=+−
=−
+−
=∆+=
)1()1(
)1()1(
)1()1()1(
)1()1()1()1(
''222
ββ
ββ
βββ
βββ
ββ
c c c
Source Aerial S Receiving Aerial R
V
and we rewrite it here: )1()1(
ββ
−+
= SR TT ; (S and R getting farther) (A3.2)
The same holds if the receiver is the one who gets farther. If, then, S and R are getting closer, through the same reasonings which led us so far, the following holds:
)1()1(
ββ
+−
= SR TT (S and R getting closer). (A3.3)
For a more general treatment of this subject, see Subappendix 1.2. App.1-Par. 3.6: The Twin Paradox explained by the Relativistic Doppler Effect! Say a twin leaves for a space flight with a velocity equal to 3/5 c=180.000 km/s, getting far away from the Earth for 25 min (measured on the Earth) and then he comes back towards the Earth with the same velocity, so taking another 25 min. Out of simplicity, we neglect the acceleration and deceleration phases. Now, in order to prove that the time dilation acts also on the cardiac (heart) rhythm of the travelling twin (but still in the opinion of the twin at rest on the Earth, and when the twins meet on the Earth, at the end of the flight), say, out of simplicity, both twins have one heartbeat per second and say the twin on the Earth transmits a radio pulse (whose speed is c) every second, i.e. every heartbeat, towards the space ship, in order to inform his travelling twin brother on his own cardiac rhythm. Now, remember that in the opinion of the “older” twin at rest on the Earth, the flight lasts, by supposition, 25+25=50 min (3000 heartbeats), while, if the time dilation is true, for the “younger” travelling twin it lasts (V=3/5 c, that is: β=3/5):
)2591(min50)1()1( 2
2
2
22
cc
cVTTT oldoldyoung −=−=−= β =40min (=2400 heartbeats)
Moreover, under a Doppler analysis of the phenomenon, we can say that for equation (A3.2), the twin on the Earth (old) transmits his heartbeats every second, but the flying twin will receive them, during the first “to” step of the flight, every two seconds; in fact:
sstoTtoT oldyoung 2)5/3(1)5/3(1
1)1()1(
)()( =−+
=−+
=ββ
, so, in the “to” step, the flying twin, whose “to” flight time is
20 min=1200s=1200 heartbeats, has received one heartbeat every 2s from his brother on the Earth, that is just 600 heartbeats. Therefore, the flying twin, during his 20 min(=1200s) “to” flight, has counted on himself 1200 heartbeats, but has received only 600 from his brother on the Earth. After 20 min of the flying twin, the direction of the flight is inverted and the return to the Earth starts, for another 20 min (still according to the time measured by the flying twin). During those further 20 min’s return flight (“from”), on the contrary, the twin on the Earth still transmits every second, but the flying one now receives every half a second; in fact, for equation (A3.3):
ssfromTfromT oldyoung 5,0)5/3(1)5/3(1
1)1()1(
)()( =+−
=+−
=ββ
, so, during those further flyer’s 20 min=1200s=
=1200 heartbeats counted on himself, the flyer receives 2400 heartbeats from his brother on the Earth. Therefore, the flying twin, during his further 20 min(=1200s) return flight, has obviously counted on himself another 1200 hearthbeats and has received 2400 (!) from his brother from the Earth. Sum up of the counts: Totally, during the whole space flight, of 20+20=40 min, the flying twin has obviously counted 1200+1200=2400 hearthbeats on himself and (a piece of!) 600+2400=3000 hearthbeats from his twin brother on the Earth. He must feel younger!!!
App.1-Par. 3.7: The Michelson and Morley experiment.
Fig. A3.6: Michelson’s device (interferometer). Fig. A3.7: Luminous paths and relevant velocities. Before Einstein, they thought that electromagnetic waves, and so the light, had to propagate in a mean, as well as for sounds in the air. They supposed that the space was filled with an invisible and very light gas, the ether. The Earth rotates around the Sun with a speed V around 30 km/s, so it should move through the ether with such a speed and light emitted by a light source which is on the Earth itself should have, in general, a speed different from c (c±V along the direction of rotation of the Earth and 22 Vc − transversally). In 1886 they started to prepare the experiment which should have proved the movement of the Earth through the ether. In Cleveland they stopped the street traffic during the experiment in order not to have vibrations; the device was put on a floating stone slab in a well of mercury, to easily rotate it of 90° without vibrations. Now, if you put l1 along the direction of rotation of the Earth, about the - to and fro - light path, we have:
)1(12
22111
1 cVcl
Vcl
Vclt
−=
−+
+= and for the transversal path along l2:
S
S1
S2
Interferometer and binocular
L – Light source r1
r2
S – semireflective mirror S1, S2 - mirrors
S2
S
S
l2
22tV ⋅
S
S1
l1
c+V
c-V
22 Vc −
V V c c
22 Vc −
)1(122
222
222
2cVc
lVc
lt−
=−
=
If you make both rays enter an interferometer to make them interfere, indeed, they should arrive with a Δt:
)]1()21([2))1()1(
(2 221
22222
122
212 cVlcVl
ccVl
cVl
cttt +−+≅
−−
−=−=∆
as we have 410−≅cV , 822 10−≅cV and kxx k +≅+ 1)1( .
The wavelenght of the used light was m7105,5 −⋅=λ and we know that λ corresponds to the full angle π2 ; therefore, we can write the following proportion, which involves the phase difference δ between the two rays and the path difference cΔt:
δπλ tc∆
=2
, from which: λ
πδ
tc∆=
2.
By fixing the one arm length and adjust the other arm one by a micrometric screw, you can make cΔt of the same size of λ, so making the desired interference phenomenon. Now, without bringing any change to the geometry of the device, rotate it of 90°; the roles of l1 and l2 are so swapped and we’ll have:
)]1()21([2))1()1(
(2''' 222
22122
222
112 cVlcVl
ccVl
cVl
cttt +−+≅
−−
−=−=∆
and we should also have: 4,010105,5
22'2
'2
872
221 ≅
⋅=
+=
∆−∆=
−=
∆ −− m
mcVlltctc
λλπδδ
πδ
, that is, through the
rotation of the interferometer, you should see a shift of the fringes of interference of 0,4 times the distance λ between two subsequent maxima.
In reality, none of all that was observed, despite the accuracy of the devices was as good as to detect a 01,02
=∆πδ
!
Michelson declared himself to be disappointed by that experiment, as he couldn’t prove the movement of the Earth through the ether. The question was solved in 1905 by an employee of the Patent Office of Berne, Albert Einstein, who suggested to cease searching for a proof of the movement of the Earth through the ether, for the simple reason that the ether is not existing! I add that the nowadays’ dark matter will soon end up like it. App.1-Chapter 4: Relativistic Electrodynamics. App.1-Par. 4.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Concerning this, let’s examine the following situation, where we have a wire, of course made of positive nuclei and electrons, and also a cathode ray (of electrons) flowing parallel to the wire: Fig. A4.1: Wire not flown by any current, seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). We know from magnetism that the cathode ray will not be bent towards the wire, as there isn’t any current in it. This is the interpretation of the phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that every single electron in the ray is rejected away from the electrons in the wire, through a force F- identical to that F+ through which it’s attracted from positive nuclei in the wire.
e- e-
p+
e- e- e- e- e- e- e- e-
p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+
e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-
Cathode ray
Wire
F -
F +
Direction of the cathode ray (v)
x’
y’ z’
I’
Now, let’s examine the situation in which we have a current in the wire (e- with speed u)
Fig. A4.2: Wire flown by a current (with e- speed=u), seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). In this case we know from magnetism that the cathode ray must bend towards the wire, as we are in the well known case of parallel currents in the same direction, which must attract each other. This is the interpretation of this phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that as the electrons in the wire follow those in the ray, they will have a speed lower than that of the positive nuclei, in the system I’, as such nuclei are still in the wire. As a consequence of that, spaces among the electrons in the wire will undergo a lighter relativistic Lorentz contraction, if compared to that of the nuclei’s, so there will be a lower negative charge density, if compared to the positive one, so electrons in the ray will be electrically attracted by the wire. This is the interpretation of the magnetic field on an electric basis. Now, although the speed of electrons in an electric current is very low (centimeters per second), if compared to the relativistic speed of light, we must also acknowledge that the electrons are billions and billions…., so a small Lorentz contraction on so many spaces among charges, makes a substantial magnetic force to appear. But now let’s see if mathematics can prove we’re quantitatively right on what asserted so far, by showing that the magnetic force is an electric one itself, but seen on a relativistic basis. On the basis of that, let’s consider a simplified situation in which an electron e- , whose charge is q, moves with speed v and parallel to a nuclei current whose charge is Q+ each (and speed u): Fig. A4.3: Current of positive charge (speed u) and an electron whose speed is v, in the reader’s steady system I. a) Evaluation of F on an electromagnetic basis, in the system I : First of all, we remind ourselves of the fact that if we have N charges Q in line and d spaced (as per Fig. A4.3), then the linear charge density λ will be:
dQdNQN =⋅⋅=λ . Now, still with reference to Fig. A3.3, in the system I, for the electromagnetics the electron will undergo the Lorentz force )( BvEqFl ×+= which is made of an originally electrical component and of a magnetic one:
qrdQq
rqEFel )
21()
21(
00 πεπλ
ε==⋅= due to the electric attraction from a linear distribution of charges Q, and:
rdQu
rudQ
rtQ
rIFmagn π
µπ
µπ
µπ
µ22
)(22 0000 ==== (Biot and Savart).
Direction of the current I, whose e- speed is u
e- e-
p+
e- e- e- e- e-
p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+
e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-
Cathode ray
Wire
F -
F +
Direction of the ray (v)
x’
y’ z’
I’
r
Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+
q-
220 1 cudd −=
F
v
u
x’
y’ z’
I’
x
y
I z
So: 220
0
00
0 11)1(
2)
221(
cuuv
rdQq
rdQuv
rdQqFl
−−=−= µ
εππµ
πε , (A4.1)
where the negative sign tells us the magnetic force is repulsive, in that case, because of the real directions of those currents, and where the steady distance d0 is contracted to d, according to Lorentz, in the system I where charges Q
have got speed u ( 220 1 cudd −= ).
b) Evaluation of F on an electric base, in the steady system I’ of q: in the system I’ the charge q is still and so it doesn’t represent any electric current, and so there will be only a Coulomb electric force towards charges Q:
220
000 '11)
21()
2'1()
2'1(''
curdQqq
rdQq
rqEF el
−===⋅=
πεπεπλ
ε , (A4.2)
where u’ is the speed of the charge distribution Q in the system I’, which is due to u and v by means of the well known relativistic theorem of composition of speeds:
)1()(' 2cuvvuu −−= , (A4.3)
and d0, this time, is contracted indeed according to u’: 220 '1' cudd −= .
We now note that, through some algebraic calculations, the following equality holds (see (A4.3)):
22
222222
)1()1)(1('1
cuvcvcucu
−−−
=− , which, if replacing the radicand in (A4.2), yields:
2222
20
000 11)1()
21()
2'1()
2'1(''
cvcucuv
rdQqq
rdQq
rqEF el
−−
−===⋅=
πεπεπλ
ε (A4.4)
We now want to compare (4.1) with (4.4), but we still cannot, as one is about I and the other is about I’; so, let’s scale
elF ' in (A4.4), to I, too, and in order to do that, we see that, by definition of the force itself, in I’:
2222'
'
1)_(
1)'_('
cvIinF
cvtp
tpIinF el
I
I
I
Iel
−=
−∆
∆=
∆∆
= , where II pp ∆=∆ ' , as p∆ extends along y, and not
along the direction of the relative motion, so, according to the Lorentz transformations, it doesn’t change, while t∆ , of course, does. So:
22
2222
20
0
22 111
)1()2
1(1)'_(')_( cvcvcu
cuvrdQqcvIinFIinF elel −
−−
−=−=
πε =
)_(1
)1()2
1(22
20
0
IinFcu
cuvrdQq el=
−
−=
πε (A4.5)
Now we can compare (4.1) with (A4.5), as now both are related to the I system. Let’s write them one over another:
2200
00
0 11)1(
2)
221()_(
cuuv
rdQq
rdQuv
rdQqIinFl
−−=−= µ
εππµ
πε
22200
022
20
0 11)1(
21)1()
21()_(
cucuv
rdQq
cucuv
rdQqIinFel
−−=
−
−=
εεππε
Therefore we can state that these two equations are identical if the following identity holds: 001 µε=c , and this
identity is known since 1856. As these two equations are identical, the magnetic force has been traced back to the Coulomb’s electric force, so the unification of electric and magnetic fields has been accomplished!!
App.1-Par. 4.2: The Current Density four-vector. We obviously have the following equations on charge density:
00 dt
dQ=ρ , 0
021
γρβτ
ρ =−
==dt
dQddQ
Moreover, notice that the following equation holds; it shows the invariance of the electric charge: τρρ ddt =00 .
Moreover, we know from physics that the current density is:
vj rrρ= .
So, we are led to define the current density 4-vector in the following way:
),(),( 00 cvcjj γργρρrr
== ; note the similarity with the momentum-energy 4-vector:
),(),( 00 cmvmmcpp γγrr
== . Then, we have:
220
24
22cjjj ρ−=−=
r and moreover, as we can apply the Lorentz Transformations to a 4-vector, as said at App.1-
Par. 1.5 – eq. (A1.12), we have:
411' jjj βγγ −= )(' Vjj xx ργ −=
22' jj = yy jj ='
33' jj = or also: zz jj =' (A4.6)
414' jjj γβγ +−= )(' 2 xjcV
−= ργρ
where cV=β e 21
1β
γ−
= .
Now, in order to show by 4-vectors and in a more compact way what shown in App.1-Par. 4.2, we consider a wire flown by a stationary current I in a reference system k and let I be directed along x; if, in such a system, we put a charge q whose speed is v along x, we’ll have a movement of q by the only field B, as E=0, because, on an average, we have in a conductor as many positive charges as the negative ones are. On the contrary, if we place ourselves in a k’ reference system which is moving with speed V=v with respect to k, in k’ q is at rest and theoretically the magnetic force should disappear; but this is unacceptable for the Principle of Relativity (see the Introduction). An electric field must so appear in k’; in fact:
−++= jjj , ),0(),( nqccjj == +++
ρr
[n]=[number of q involved/m3] and
),(),( nqcvnqcjj −−== −−−
rrρ , the first term is negative as the direction of v is opposite to the conventional one
for I (as, here q<0) and the second one is still negative, as well, still because here, q<0. For the Lorentz Transformations (A1.12) we so have (v=V): nqVj x γ−=+' )(' nqVnqvj x +−=− γ
nqγρ =+' )(' 2cvVnqnq +−=− γρ
and as now −+ −≠ '' ρρ , an electric field must appear. App.1-Par. 4.3: The Electromagnetic Field Tensor. Preamble on tensors: A vector is a tensor of rank 1. For us it’s enough to say that we get a rank 2 tensor when we make the product of the components of two vectors c and b:
),,,()( 4321 cccccc i = , ),,,()( 4321 bbbbbb k = → kiik bcA = Through (A1.16) and (A1.17) we have seen how to express the Lorentz Transformations:
llii cc 'α= (i,m=1,2,3,4) and m
mkk bb 'α= (k,l=1,2,3,4) and so:
iklmmk
liml
mk
likiik AAbcbcA ==== ''' αααα (A4.7)
which is the transformation law for a rank 2 tensor. Then, we also notice that we get a rank 2 tensor also when we derive the components of a vector b with respect to the x coordinate:
llii bb 'α= , k
kmm xx α=' >>> k
mk
m
xx
α→∂∂ '
m
lkm
li
k
ml
li
mk
m
m
i
k
i
xb
xxb
xxx
xb
xb
''')'(
''
' ∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
ααα ; therefore, such a derivative transforms as the components
of a rank 2 tensor and so it’s a rank 2 tensor, as well. Preamble on electromagnetism: We know from the electromagnetism that electric and magnetic fields (induction vector B) can be expressed as a function of electrodynamic potentials φ and A:
tAE
∂∂
−∇−=r
rrϕ and (A4.8)
ABrrr
×∇= (A4.9)
and we also know the Lorentz Condition: 012 =
∂∂
+⋅∇=∂∂
+⋅∇t
Atc
A ϕεµ
ϕ rrrr , (A4.10)
and also the Continuity Equation: 0=∂∂
+⋅∇t
j ρrr. (A4.11)
Still from electromagnetism, we also know that:
=−=∂∂
−∆ερϕ
ϕ 2
2
21
tc φ and (A4.12)
=−=∂∂
−∆ jtA
cA
rr
rµ2
2
21
Ar
(A4.13)
and we remind ourselves that we already defined the current density 4-vector j:
),,,(),( ρρ cjjjcjj zyx==r
( ρii vj = ).
------------------
Now, we feel led to define the Potential Four-vector or Four-Potential Φ :
),,,(c
AAA zyxϕ
=Φ ; in fact, so doing, (A4.12) and (A4.13) can be so summarized:
kk jµ−=Φ and if we also define the four-divergence ))(
()(44 ctctxyx
div∂
∂+∇=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=rr
we easily get:
04 =∇ jr
for the Continuity Equation (A4.11) and 04 =Φ∇r
for the Lorentz Condition (A4.10).
------------------
Now, from (A4.8) and (A4.9), we have:
3
2
2
31 xxz
AyABB yz
x ∂Φ∂
−∂Φ∂
=∂
∂−
∂∂
== , )(4
1
1
41 xx
ct
Ax
EE xx ∂
Φ∂−
∂Φ∂
=∂
∂−
∂∂
−==ϕ
etc; therefore, E and B
cannot be espressed through two 4-vectors, but through a rank 2 four-tensor, as we proved the derivative of a vector is a 2-tensor:
)(k
i
i
kik xx
cF∂Φ∂
−∂Φ∂
= ; let’s write the components of Fik as a matrix:
−−−−−−
=
00
00
zyx
zxy
yxz
xyz
ik
EEEEcBcBEcBcBEcBcB
F , and through (A4.7) we have proved that Fik transforms in the following
way: lmmk
liik FF 'αα= . (A4.14)
Notice that Fik is antisymmetric, that is: Fik=-Fki. Then, of course:
−−−−−−
=
0''''0''''0''''0
'
zyx
zxy
yxz
xyz
ik
EEEEcBcBEcBcBEcBcB
F
If now we remind ourselves that on the right side of (A4.14) the summation over l and m is understood, as they are repeated there, and if we develop such an equation, we get the transformation of the electromagnetic field:
xx EE '= xx BB '=
)''( zyy VBEE += γ )''( 2 zyy EcVBB −= γ
)''( yzz VBEE −= γ )''( 2 yzz EcVBB += γ
and also its inverse:
xx EE =' xx BB ='
)(' zyy VBEE −= γ )(' 2 zyy EcVBB += γ
)(' yzz VBEE += γ )(' 2 yzz EcVBB −= γ
SUBAPPENDIXES: Subapp. 1: Lorentz Transformations in succession. k >>> V >>> k’ >>> W >>> k’’ We have three reference systems k, k’ and k’’ and V and W are the relevant relative velocities.
Through the following terminology: cV
=1β , c
W=2β , 2
11 11 βγ −= , 222 11 βγ −= ,
21c
VWWVU
+
+=
and cU
=β , we have, for the Lorentz Transformations applied in succession:
)''(1 Vtxx += γ with )''( 11 x
ctt β
γ += and
)''''(' 2 Wtxx += γ with )''''(' 22 x
ctt β
γ += and, by substitution:
xtWVx
tWVxxVtWtxx
=+
+++=
=+++=+++=
)''1
'')(1(
]'')('')1[()''''''''(
212121
21212121
ββββγγ
ββγγββγγ (A.1.1)
and similarly: )'')1(
1'')(1(21
22121 xWVc
ttββ
ββγγ+
+++= ; (A.1.2)
Now, we see that:
=+++−++=+−−=+ 22121
22
2121
22
21
221
22
212121 )1()]2(21[1)1()1)(1(1)1( ββββββββββββββββγγ
γββββ =−=++−= 2222121 11)]1()([11 cU , and so (A.1.1) and (A.1.2) can be rewritten like that:
)''''( Utxx += γ with )''''()''''( 2 xc
txcUtt β
γγ +=+= , so, instead of carrying out two Lorentz T.
( 1γ ,V and 2γ ,W), you just make one, but usingγ and U. Subapp. 2: Transversal (relativistic) Doppler Effect. If we represent an electromagnetic wave propagating, through its electric field E:
)(0
rktieEErrr
⋅−= ω ; such a field propagates along r and we know that λπ2
=kr
and Tπ
ω2
= so:
Tk ωλ =r
, that is: kc
Tkrr
===ω
λω ; (A.2.1)
rktI rr⋅−= ω is evidently an invariant, but it can also be expressed as the product of two 4-vectors (invariants):
(position 4-vector and wave 4-vector) ),(),( ckkctrrI ωrr
⋅−= .
We know, now, that for (A.2.1), c
k ω=
r and let’s take a light wave propagating in a system k’(V) over the plane x’, y’
and forming an angle θ’ with x’; the components of 'kr
will be:
'cos)'('cos''1 θωθ ckk == , 'sin)'('sin''2 θωθ ckk == , 0'3 =k and ')'('4 kck == ω .
For the Lorentz T. , we have, on the contrary, in a system k: )''( 411 kkk βγ += , 22 'kk = , 33 'kk = and )''( 144 kkk βγ += ; now, as also k3=0, in the system k, too, the ray
propagates on x,y; so, we have:
),0,sin,cos(ccc
k ωθ
ωθ
ω= ; now, we calculate ω and θ: on this purpose, from the transformation of k’4 , we have:
)'cos''( θω
βω
γω
ccc+= , or:
)'cos1(')1(
)'cos1('2
θβγωβ
θβωω +=
−
+= (A.2.2)
while from the transformation of k’1 , we have: )''cos'(coscccω
βθω
γθω
+= and if we consider (A.2.2), we have:
)'cos1()'(cos)'(cos'cos
θββθ
βθγωω
θ+
+=+= (A.2.3)
Then, we notice that the transformation of k’2 and (A.2.2) yield:
)'cos1('sin'sin
)'cos1()1(
'sin'sin2
θβγθ
θθβ
βθ
ωω
θ+
=+
−== (A.2.4)
and from (A.2.3) and (A.2.4) we also have: )cos1(
sin'sinθβγ
θθ
−= , which is, then, (A.2.4) with θ’ and θ swapped
and with (-β) in place of β; all this, for the relativity of the movement. ------------------------
Now, suppose a source ω’ is at rest in a system k’(θ’); then, from (A.2.3) we have:
)cos1()(cos'cos
θββθ
θ−
−= (useful to get θ immediately, from θ’) (it’s the (A.2.3) with θ’ and θ swapped and with (-β) in
place of β), from which:
θββ
θβcos1
)1()'cos1(2
−−
=+ and (A.2.4) becomes:
θββ
ωωcos1
)1('
2
−−
= (A.2.5)
Here ω’ is the ω of the moving source and ωω ≠' . Therefore, if in the system k you see the radiation under an angle πθ = , this means that the radiation comes from right, from the system k’ which is getting farther along the x axis, and
so we can talk about a Longitudinal Doppler Effect (Par. 3.5) and, in this case, 1coscos −== πθ and from (A.2.5)
with the source getting farther ( πθ = ), we have: )1()1('
ββ
ωω+−
= (A.2.6)
>>> )1()1('
ββ
−+
= TT , whilst, when the system k’ getting closer (θ=0 >>> cos θ=1), we have:
)1()1('
ββ
ωω−+
= (A.2.7)
>>> )1()1('
ββ
+−
= TT , just like in App.1-Par. 3.5.
Curio: by a series development on β (<<1), (A.2.6) and (A.2.7) give: )1(' βωω −≅ and )1(' βωω +≅ so:
βωω
ωωω
m=∆
=−
'''
; this formula is very used in astrophysics and cosmology for the red shift (remember that
πνω 2= and c=λν ). In order to go from the case of the moving emitter to that of the moving observer and vice versa, you just swap β with – β (V with –V) and ω’ with ω. In any case, when there is an approaching (or a getting farther) situation, formulae for the Longitudinal Relativistic Doppler Effect are the same, no matter who is approaching. If, on the contraty, system k sees the radiation coming under 2πθ = , from the top, then we can talk about a TRANSVERSAL Relativistic Doppler Effect; in this case you don’t have either a getting farther or an approaching situation, but the only Doppler kind effect is just due to the time dilation; in fact, also from (A.2.5), with 2πθ = , we
have: )1(' 2βωω −= . By developing, with β<<1, we have: )2
1('2β
ωω −≅ (second degree in β, so, a lighter
effect, with respect to the longitudinal one). Such an effect was first observed by Ives in 1938 and this plainly proved the theory. Moreover, the diversity between θ’ and θ also confirms the phenomenon of the light ABERRATION, according to which, if you are moving, you see light coming to you under a different angle, something like when you are driving a car in a rainy day and you see the rain falling askew on the windscreen. And from (A.2.3) and (A.2.4), we have:
)'(cos)1('sin 2
βθβθ
θ+−
=tg .
Subapp. 3: The Transformations of the four-velocity. We have defined the velocity 4-vector in App.1-Par. 2.2:
),,,(),(),,,(),,,(),,,( 432143214321 uuuucvcvvv
dtdx
dtdx
dtdx
dtdx
ddx
ddx
ddx
ddxv zyx ===== γγγγγγγγγγ
ττττr
By applying the Lorentz T. , we have: )(' 411 uuu β−Γ= , 22' uu = , 33' uu = , )(' 144 uuu β−Γ= ;
now, you can see that Γ is defined by the V of the moving system 0’ (and β=V/c), while γ is referred to the velocity v
had by a particle in 0, and 'γ is to v’ had by a particle in 0’. Now, by replacing the u by the relevant values:
)('' Vvv xx γγγ −Γ= , yy vv γγ ='' , zz vv γγ ='' , )(' xvcc γβγγ −Γ= ;
from the last one, we have:
)1(
1'
2 xvcV
−Γ=
γγ
, (A.3.1)
and if you put it in the first three ones:
)('
' Vvv xx −Γ=γγ
, yy vv'
'γγ
= , zz vv'
'γγ
= , it yields the transformations of the velocities.
For the case of the inverse transformations, in place of the (A.3.1), we’ll have: )1(' 2 xv
cV
+Γ=γγ
.
It follows from (A.3.1) that if the particle is at rest in 0 (v=0 >> 1=γ ), then Γ='γ , from which v’=-V , that is, in 0’ the particle has a velocity –V (of course). Subapp. 4: The transformations of the four-force.
At App.1-Par. 2.3 we have introduced the Minkowski Force, or 4-force: ),,,())(,( 4321 FFFFvfc
fd
pdF =⋅==
rrr γγ
τ.
According to the Lorentz T.: )(' 411 FFF β−Γ= , 22' FF = , 33' FF = , )(' 144 FFF β−Γ= . If now we introduce in such equations the components of the Minkowski Force, we have:
))(('' vfc
ff xxrr
⋅−Γ= γβ
γγ , yy ff γγ ='' , zz ff γγ ='' , ))(()''(' xfVvfvf γγγ −⋅Γ=⋅rrrr
, from which:
))(('
' vfc
ff xxrr
⋅−Γ=β
γγ
, yy ff'
'γγ
= , zz ff'
'γγ
= , ))(('
)''( xVfvfvf −⋅Γ=⋅rrrr
γγ
, which, for (A.3.1),
becomes:
x
x
x
vcV
vfc
ff
21
))(('
−
⋅−=
rrβ
,
x
yy
vcV
ff
2
2
1
1'
−
−=
β ,
x
zz
vcV
ff2
2
1
1'
−
−=
β ,
x
x
vcV
Vfvfvf21
)()''(
−
−⋅=⋅
rrrr
which are the transformation equations of the 4-force. Subapp. 5: The acceleration four-vector and the transformations of the acceleration. Of course, the 4-vector acceleration can be defined as follows:
),,,(),,,( 432124
2
23
2
22
2
21
2
2
2
aaaad
vdd
xdd
xdd
xdd
xdd
xda ====ττττττ
For the first three (spatial) components, we have: ( 3,2,1=α )
22222
)1()(
1)(
ββγ
γγ
τγ ααα
ααα −+
−=+==
cvvvv
dtdv
dtdv
ddtv
dtda &&
, as:
2
33
2)
)1(1(
cvv
dtd
dtd &&&
γββγ
β
γγ ==
−== . About a4 :
224
2
4 )1()(
2)(
βββγ
γγγ
τγ
−=====
cvvc
dtdc
dtdc
ddtc
dtda
&& and so:
))1(
)(,()2
),(( 2242
2
βββγγ
γγγ
−+==
vvvvdt
dcvdtda
&&& ; notice that in the system where the particle is at rest, (v=0,
β=0) we have: xva &=)0(1 , yva &=)0(
2 , zva &=)0(3 , 0)0(
4 =a , that is, the spatial part of a is equal to the common
three-dimensional one. Moreover: 022>= va & and, as
2a is an invariant, the inequality is always true and so a is
space-type. In order to get the transformation equations for the acceleration, know that:
dtdvv =& and
dtdvv ''=& ; moreover, )(tvv xx = and )'('' tvv xx = (consistently). Then, let’s name:
cvx
x =β and c
v xx
'' =β ; so, we get from (A1.18) that:
22 )'1(1
' xx
x
dvdv
ββγ += , 2)'1(
)''''(1
' x
xy
xy
y
y dvdv
dvdv
ββγ
βββ
+
−−= and 2)'1(
)''''(1
' x
xz
xz
z
z dvdv
dvdv
ββγ
βββ
+
−−= .
Then, from them, we have:
22 )'1('
x
xx
dvdvββγ +
= , 2)'1()''''('
x
yxxyyy
dvdvdvdv
ββγβββ
+−−
= and 2)'1()''''('
x
zxxzzz
dvdvdvdvββγ
βββ+
−−= ;
if now we divide these equations by the following well known equation (of the Lorentz T.) )''( dxc
dtdt βγ += , we
have:
xx
x aa ')'1(
133 ββγ +
= , 32 )'1()''''('
x
xyyxyy
aaaa
ββγβββ
+−+
= and 32 )'1()''''('
x
xzzxzz
aaaaββγ
βββ+
−+=
which are the equations for the transformation of the accelerations, indeed. At last, we notice those equations have got the velocity inside; therefore, if the three-dimension acceleration is constant, in an inertial reference system, it will change with time in all others!
App. 2: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). Contents of App. 2: -Contents of App. 2. Page 26 -App. 2-Chapter 1: A new Universe, 100 times bigger, more massive and older. Page 26 App. 2-Par. 1.1: No dark matter! Page 26 App. 2-Par. 1.2: Cosmic acceleration aUniv. Page 27 App. 2-Par. 1.3: The new density of the Universe. Page 28 App. 2-Par. 1.4: Further considerations on the meaning of aUniv. Page 29 App. 2-Par. 1.5: Further confirmations and encouragements from other branches of physics. Page 29 App. 2-Par. 1.6: On discrepancies between calculated and observed rotation speeds of galaxies. Page 31 -App. 2-Chapter 2: The unification of electromagnetic and gravitational forces (Rubino). Page 32 App. 2-Par. 2.1: The effects of MUniv on particles. Page 32 App. 2-Par. 2.2: The discovery of the common essence of gravity and electromagnetism. Page 33 App. 2-Par. 2.3: The oscillatory essence of the whole Universe and of its particles. Page 34 -App. 2-Chapter 3: The unification of magnetic and electric forces. Page 35 App. 2-Par. 3.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Page 35
-App. 2-Chapter 4: Justification of the equation eUniv rNR = previously used for the unification of electric and
gravitational forces (Rubino). Page 38
App. 2-Par. 4.1: The equation eUniv rNR = (!). Page 38
-App. 2-Chapter 5: “aUniv“ as absolute responsible of all forces. Page 39 App. 2-Par. 5.1: Everything from “aUniv“. Page 39 App. 2-Par. 5.2: Summarizing table of forces. Page 39 App. 2-Par. 5.3: Further considerations on composition of the Universe in pairs +/-. Page 40 App. 2-Par. 5.4: The Theory of Relativity is just an interpretation of the oscillating Universe just described contracting with speed c and acceleration auniv. Page 40 App. 2-Par. 5.5: On “Relativity” of lost energies. Page 41 -App. 2-SUBAPPENDIXES. Page 42 App. 2-Subappendix 1: Physical constants. Page 42 App. 2-Chapter 1: A new Universe, 100 times bigger, more massive and older. App. 2-Par. 1.1: No dark matter! ON DISCREPANCIES BETWEEN CALCULATED AND OBSERVED DENSITIES ρUniv : The search for 99% of matter in the Universe, after that it has been held invisible sounds somewhat strange. And it’s a lot of matter, as dark matter should be much more than the visible one (from 10 to 100 times more).
Astrophysicists measure a ρ value of visible Universe which is around: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Prevailing cosmology nowadays gives the following value of ρ: (see also (A1.6)):
3262 /102)34/( mkgGH localWrong
−⋅≅= πρ (too high!) . (A1.1)
Let’s use the following plausible value for Hlocal (local Hubble’s constant – see (A1.7) below):
])([10338,2)/(75 18 msmMpcskmH local
−⋅≅⋅≅ (A1.2)
confirmed by many measurements on Coma cluster, for instance, (see (A1.7) below) and this also confirms that the farthest objects ever observed are travelling away with a speed close to that of light:
OldUniverselocal RcH −≈ / , from which: yearlightMpcHcR localOldUniv _105,134000/ 9⋅≈≈≈− (A1.3)
Moreover, one can easily calculate the speed of a “gravitating” mass m at the edge of the visible Universe, by the following equality between centrifugal and gravitational forces:
22
/ OldUnivOldUnivOldUniv
RMmGR
cmam −−−
⋅⋅=⋅=⋅ , (A1.4)
from which, also considering (A1.3), we have:
kgHGcM localOldUniv533 1067,1)/( ⋅≅⋅=− (A1.5)
and so:
3262333 /102)34/(])(
34[)()
34/( mkgGH
HcGHcRM locallocal
localOldUnivOldUnivWrong−
−− ⋅≅=== πππρ (A1.6)
i.e. (A1.1) indeed (too high value!) Good…, sorry, bad; this value is ten thousand times higher than the observed density value, which has been measured by astrophysicists. Moreover, galaxies are too “light” to spin so fast (see further on). As a consequence, they decided to take up searching for dark matter, and a lot of, as it should be much more than the visible one (from 10 to 100 times more).
On the contrary, astrophysicists detect a value for ρ around: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Let’s try to understand which arbitrary choices, through decades, led to this discrepancy. From Hubble’s observations on, we understood far galaxies and clusters got farther with speeds determined by measurements of the red shift. Not only; the farthest ones have got higher speeds and it quite rightly seems there’s a law between the distance from us of such objects and the speeds by which they get farther from us. Fig. A1.1 below is a picture of the Coma cluster, about which hundreds of measurements are available; well, we know the following data about it: distance Δx=100 Mpc = 3,26 108 l.y. = 3,09 1024 m speed Δv=6870 km/s=6,87 106 m/s. Fig. A1.1: Coma cluster. If we use data on Coma cluster to figure out the Hubble’s constant Hlocal, we get:
])([1022,2 18 msmxvH local
−⋅≅∆∆= , (A1.7)
That is a good value for “local” Hubble’s constant. App. 2-Par. 1.2: The cosmic acceleration aUniv. As a confirmation of all we just said, we also got the same Hlocal value from (A1.3) when we used data on the visible
Universe of 13,5 910 l.y. radius and ~c speed, instead of data on Coma cluster. By the same reasonings which led us so far to get the Hlocal constant definition, we can also state that if galaxies increase their own speeds with going farther, then they are accelerating with an acceleration we call aUniv , and, from physics, we know that:
tvttatax ∆⋅∆=∆⋅∆⋅=∆⋅=∆21)(
21
21 2 , from which:
vxt
∆∆⋅
=∆2
, which, if used in the definition of
acceleration aUniv , yields:
2122
/1062,72
)(2 sma
xv
vx
vtva UnivUniv
−⋅≅=∆⋅
∆=
∆∆⋅
∆=
∆∆
= , cosmic acceleration (Wåhlin) (A1.8)
after that we used data on Coma cluster. This is the acceleration by which all our visible Universe is accelerating towards the center of mass of the whole Universe. YOU’LL SEE THIS SMALL ITEM WE’VE JUST CALCULATED (aUniv) IS AN OBJECT NOT WELL TAKEN INTO ACCOUNT AND IT ALLOWS US TO SAY THE DENSITY CALCULATED FOR THE UNIVERSE IS THE SAME AS THE ONE MEASURED BY THE ASTROPHYSICISTS AND IT WILL ALSO JUSTIFY THE HIGH ROTATION VELOCITIES OF GALAXIES, AGAIN WITHOUT ANY SEARCHING FOR DARK MATTER
but, in this case, we have to accept to deal with living in a Universe whose radius is 100 times the 13,5 910 l.y. supported nowadays, and whose mass is much higher than 1,67 1053 kg, calculated at page 157, still supported nowadays and considered as the mass of the whole Universe, and not of that visible to us (see below). Let’s Disentangle the Question: Well then, let’s start from the discovery represented by (A1.8), according to which we are accelerating, and from (A1.4), according to which:
NewUnivUniv R
ca−
=2
, and, as a new radius of the Universe:
macRUniv
NewUniv28
2
1017908,1 ⋅≅=− . (A1.9)
This value is 100 times the one previously calculated in (A1.3) and it should represent the radius between the center of mass of the Universe and the place where we are now, place in which the speed of light is c.
((as we are not exactly on the edge of such a Universe, we can demonstrate the whole radius is larger by a factor 2 , that is RUniv=1,667 1028m.)) Anyway, we are dealing with linear dimensions 100 times those supported in the prevailing cosmology nowadays. We can say that there is invisible matter, but it is beyond the range of our largest telescopes and not inside galaxies or among them; the dark matter should upset laws of gravitations, but they hold very well. Again, from (A1.4) we have:
2/ NewUnivNewUnivUniv RMmGam −−⋅⋅=⋅ , so:
kgGRaM NewUnivUnivNewUniv552 1059486,1/ ⋅=⋅= −− (A1.10)
This value, again, is a hundred times that of nowadays cosmology, in (A1.5) and it represents the mass within the radius RUniv-New , while the one within the whole RUniv-Tot is unknown.
From (A1.9) and (A1.10) we also get: Univ
Univ
RGMc =2 (~Eddington). (A1.11)
App. 2-Par. 1.3: The new density of the Universe. NOW LET’S GO TO THE CALCULATION OF THE NEW DENSITY OF THE UNIVERSE:
3303 /1032273.2)34/( mkgRM NewUnivNewUniv
−−− ⋅=⋅= πρ !!! (A1.12)
very very close to that observed and measured by astrophysicists and already reported at page 158.
Nature fortunately sends encouraging and convincing signs on the pursuit of a way, when confirmations on what one has understood are coming from branches of physics very far from that in which one is investigating. On the basis of that, let’s remind ourselves of the classic radius of an electron (“stable” and base particle in our Universe!), which is defined by the equality of its energy E=mec2 ant its electrostatic one, imagined on its surface ( in a classic sense):
ee r
ecm2
0
2
41πε
=⋅ , so:
mcm
ere
e15
2
2
0
108179,24
1 −⋅≅⋅
=πε
(A1.13)
Now, still in a classic sense, if we imagine, for instance, to figure out the gravitational acceleration on an electron, as if it
were a small planet, we must easily conclude that: 2e
exex r
mmGgm ⋅=⋅ , so:
2124
4320
22 1062,78 sma
ecGm
rmGg Univ
e
e
ee
−⋅==== επ !!! (A1.14)
that is the very value obtained in (A1.8) through different reasonings, macroscopic, and not microscopic, as it was for (A1.14). All in all, why should gravitational behaviours of the Universe and of electrons (making it) be different? App. 2-Par. 1.4: Further considerations on the meaning of aUniv. Well, we have to admit that if matter shows mutual attraction as gravitation, then we are in a harmonic and oscillating Universe in contraction towards a common point, that is the center of mass of all the Universe. As a matter of fact, the acceleration towards the center of mass of the Universe and the gravitational attractive properties are two faces of the same medal. Moreover, all the matter around us shows it want to collapse: if I have a pen in my hand and I leave it, it drops, so showing me it wants to collapse; then, the Moon wants to collapse into the Earth, the Earth wants to collapse into the Sun, the Sun into the centre of the Milky Way, the Milky Way into the centre of the cluster and so on; therefore, all the Universe is collapsing. Isn’t it? So why do we see far matter around us getting farther and not closer? Easy. If three parachutists jump in succession from a certain altitude, all of them are falling towards the center of the Earth, where they would ideally meet, but if parachutist n. 2, that is the middle one, looks ahead, he sees n. 1 getting farther, as he jumped earlier and so he has a higher speed, and if he looks back at n. 3, he still sees him getting farther as n. 2, who is making observations, jumped before n. 3 and so he has a higher speed. Therefore, although all the three are accelerating towards a common point, they see each other getting farther. Hubble was somehow like parachutist n. 2 who is making observations here, but he didn’t realize of the background acceleration g (aUniv). At last, I remind you of the fact that recent measurements on Ia type supernovae in far galaxies, used as standard candles, have shown an accelerating Universe; this fact is against the theory of our supposed current post Big Bang expansion, as, after that an explosion has ceased its effect, chips spread out in expansion, ok, but they must obviously do that without accelerating.
Moreover, on abundances of 235U and 238U we see now (trans-CNO elements created during the explosion of the primary supernova, we see that (maybe) the Earth and the solar system are just (approximately) five or six billion years old, but all this is not against all what just said on the real age of the Universe, as there could have been sub-cycles from which galaxies and solar systems originated, whose duration is likely less than the age of the whole Universe. About TUniv of the Universe, we know from physics that: v=ωR and T/2πω = , and, for the whole Universe:
c=ωRUniv and UnivT/2πω = , from which:
scRT Univ
Univ201047118,22
⋅==π
(7.840 billion years) (A1.15)
About the angular frequency: sradRc NewUniversoUniv /1054,2/ 20−− ⋅=≅ω , and it is a right parameter for a
reinterpretation of the global Hubble’s constant globalH , whose value is localH only in the portion of Universe visible by
us ( GlobalUniv H=ω ).
App. 2-Par. 1.5: Further confirmations and encouragements from other branches of physics. 1) Stephan-Boltzmann’s law:
4Tσε = [W/m2], where )(1067,5 428 KmW−⋅=σ
It’s very interesting to notice that if we imagine an electron (“stable” and base particle in our Universe!) irradiating all energy it’s made of in time TUniv , we get a power which is exactly ½ of Planck’s constants, expressed in watt! In fact:
WhT
cmL WUniv
ee
342
10316,321 −⋅===
(One must not be surprised by the coefficient ½; in fact, at fundamental energy levels, it’s always present, such as, for instance, on the first orbit of the hydrogen atom, where the circumference of the orbit of the electron (2πr) really is
DeBroglieλ21 of the electron. The photon, too, can be represented as if it were contained in a small cube whose side is
photonλ21 ).
2) Moreover, we notice that an electron and the Universe have got the same luminosity-mass ratio:
in fact, WT
cMLUniv
UnivUniv
512
1080,5 ⋅== (by definition) and it’s so true that:
e
W
Unive
Univ
e
e
e
UnivUniv
Univ
Univ
Univ
Univ
m
h
Tc
mT
cm
mL
Tc
MT
cM
ML 2
12
2
2
2
====== and, according to Stephan-Boltzmann’s law, we can
consider that both an “electron” and the Universe have got the same temperature, the cosmic microwave background one:
424
TRL
σπ
= , so: Kr
h
rL
RL
RLT
ee
e
Univ
Univ 73,2)4
21
()4
()4
()4
( 41
24
1
24
1
24
1
2 =====σπσπσπσπ
!!!
And all this is no more true if we use data from the prevailing cosmology! 3) The Heisenberg Uncertainty Principle as a consequence of the essence of the macroscopic and Univa accelerating
Universe: according to this principle, the product Δx Δp must keep above 2/h , and with the equal sign, when Δx is at a maximum, Δp must be at a minimum, and vice versa:
2/h≥∆⋅∆ xp and 2/minmax h=∆⋅∆ xp ( π2/h=h )
Now, as maxp∆ we take, for the electron (“stable” and base particle in our Universe!),
)(max cmp e ⋅=∆ and as
minx∆ for the electron, as it is a harmonic of the Universe in which it is (just like a sound can be considered as made of
its harmonics), we have: 2min )2( πUnivax =∆ , as a direct consequence of the characteristics of the Universe in
which it is; in fact, from (A1.15), 2UnivUnivUniv aR ω= , as we know from physics that Ra 2ω= , and then
UnivUnivUniv T πνπω 22 == , and as eω of the electron (which is a harmonic of the Universe) we therefore take the
“ Univν –th” part of Univω , that is:
UnivUnive νωω = like if the electron of the electron-positron pairs can make oscillations similar to those of the
Universe, but through a speed-amplitude ratio which is not the (global) Hubble Constant, but through HGlobal divided by
Univν , and so, if for the whole Universe: 2UnivUnivUniv aR ω= , then, for the electron:
2222min )2()()()( πννωωUniv
UnivGlobal
Univ
UnivUniv
Univ
e
Univ aH
aaax ====∆ , from which:
342minmax 10527,0
)2(−⋅==∆⋅∆
πUniv
eacmxp [Js] and such a number ( 3410527,0 −⋅ Js), as chance would have it, is
really 2/h !! 4) As we previously did, let’s remind ourselves of the classic radius of an electron (“stable” and base particle in our Universe!), which is defined by the equality of its energy E=mec2 ant its electrostatic one, imagined on its surface ( in a classic sense):
ee r
ecm2
0
2
41πε
=⋅ , so:
mcm
ere
e15
2
2
0
108179,24
1 −⋅≅⋅
=πε
Now, still in a classic sense, if we imagine, for instance, to figure out the gravitational acceleration on an electron, as if it
were a small planet, we must easily conclude that: 2e
exex r
mmGgm ⋅=⋅ , so:
2124
4320
22 1062,78 sma
ecGm
rmGg Univ
e
e
ee
−⋅==== επ !!!
5) We know that 137
1=α is the value of the Fine structure Constant and the following formula νh
rGm
e
e2
yields
the same value only if ν is the one of the Universe we just described, that is: Unive
e hr
Gmνα
2
1371
== , where,
clearly: Univ
Univ T1
=ν (see (A1.15)) !!
6) If I suppose, out of simplicity, that the Universe is made of just harmonics, as electrons −e (and/or positrons +e ),
their number will be: 851075,1 ⋅≅=e
Univ
mMN (~Eddington); the square root of such a number is: 421013,4 ⋅≅N
(~Weyl).
Now, we are surprised to notice that mrN e281018,1 ⋅≅ (!), that is, the very UnivR value we had in (A1.9)
( mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= ) !!!
--------------------------------------------- App. 2-Par. 1.6: On discrepancies between calculated and observed rotation speeds of galaxies. Fig. A1.2: Andromeda galaxy (M31). By balancing centrifugal and gravitational forces for a star at the edge of a galaxy:
2
2
Gal
Galstar
Galstar R
MmGRvm = , from which:
Gal
Gal
RGMv =
On the contrary, if we also consider the tidal contribution due to aUniv , i.e. the one due to all the Universe around, we get:
Andromeda galaxy (M31): Distance: 740 kpc; RGal=30 kpc; Visible Mass MGal = 3 1011MSun; Suspect Mass (+Dark) M+Dark = 1,23 1012MSun; MSun=2 1030 kg; 1 pc= 3,086 1016 m;
GalUnivGal
Gal RaR
GMv += ; let’s figure out, for instance, in M31, how many RGal (how many k times) far away from
the center of the galaxy the contribution from aUniv can save us from supposing the existence of dark matter:
GalUnivGal
Gal
Gal
Dark kRakR
GMkR
GM+=+ , so: 4
)(2 ≅
−= +
GalUniv
GalDark
RaMMGk , therefore, at 4RGal far away, the
existence of aUniv makes us obtain the same high speeds observed, without any dark matter. Moreover, at 4RGal far away, the contribution due to aUniv is dominant. At last, we notice that aUniv has no significant effect on objects as small as the solar system; in fact:
14,11092,8 8 ≅>>⋅≅ −−
SunEarthUnivSunEarth
Sun RaR
MG .
All these considerations on the link between aUniv and the rotation speed of galaxies are widely open to further speculations and the equation through which one can take into account the tidal effects of Univa in the galaxies can
have a somewhat different and more difficult look, with respect to the above one, but the fact that practically all galaxies have dimensions in a somewhat narrow range (3 – 4 RMilky Way or not so much more) doesn’t seem to be like that just by chance, and, in any case, none of them have radii as big as tents or hundreds of RMilky Way , but rather by just some times. In fact, the part due to the cosmic acceleration, by zeroing the centripetal acceleration in some phases of the revolution of galaxies, would fringe the galaxies themselves, and, for instance, in M31, it equals the gravitational part at a radius equal to:
MaxGalUnivMaxGal
M RaRGM
−−
=31 , from which: 3131 5,2 M
Univ
MMaxGal R
aGMR ≅=− ; in fact, maximum radii ever observed in
galaxies are roughly this size.
--------------------------------------------- App. 2-Chapter 2: The unification of electromagnetic and gravitational forces (Rubino). App. 2-Par. 2.1: The effects of MUniv on particles.
We remind you that from the definition of er in (A1.13): 22
041 cm
re
ee
=⋅πε
and from the (A1.11): Univ
Univ
RGMc =2
(~Eddington), we get:
Univ
eUniv
e RmGM
re
=⋅2
041πε
!! (A2.1)
As an alternative, we know that the Fine structure Constant is 1 divided by 137 and it’s given by the following equation:
ch
e
π
πεα
2
41
1371
2
0== (Alonso-Finn), but we also see that 137
1 is given by the following equation, which can be
considered suitable, as well, as the Fine structure Constant:
Emanable
MinBox
Univ
e
e
EE
hr
Gm_
2
1371
===ν
α , where Univ
Univ T1
=ν . MinBoxE _ is the smallest box of energy in the Universe (the
electron), while EmanableE is the smallest emanable energy, as Univν is the smallest frequency.
Besides, α is also given by the speed of an electron in a hydrogen atom and the speed of light ratio:
hcecv Hine 02
__ 2εα == , or also as the ratio between Compton wavelenght of the electron (which is the
minimum λ of e- when it’s free and has the speed of light c) and the wavelength of e- indeed, on the first orbit of H:
)()( __1 HineeeHCompton vmhcmh== −λλα . Moreover, 0are=α , where 529,00 =a Å is the Bohr’s radius.
So, we could set the following equation and deduce the relevant consequences (Rubino):
Univ
e
e
hr
Gm
ch
e
νπ
πεα
22
0
2
41
)137
1( === , from which: e
eUniv
e
e
globale
e
Univ rGmR
rGm
Hc
rGmce
2222
0 241
===πνπε
after that (A1.15) has been used.
Therefore, we can write: e
e
Univ rGm
Re 22
041
=πε
(and this intermediate equation, too, shows a deep relationship
between electromagnetism and gravitation, but let’s go on…)
Now, if we temporarily imagine, out of simplicity, that the mass of the Universe is made of N electrons −e and
positrons +e , we could write:
eUniv mNM ⋅= , from which: e
eUniv
Univ rNNmGM
Re
=2
041πε
,
or also: e
eUniv
Univ rNmGM
NRe
=⋅)(4
1 2
0πε . (A2.2)
If now we suppose that eUniv rNR = (see also (A4.2)), or, by the same token, NRr Unive =
, then (A2.2)
becomes:
Univ
eUniv
e RmGM
re
=⋅2
041πε
!! (Rubino) that is (A2.1) again.
Now, first of all we see that the supposition eUniv rNR = is very right, as from the definition of N above given
(A1.10), we have:
851075,1 ⋅≅=e
Univ
mMN (~Eddington), from which: 421013,4 ⋅≅N (~Weyl) and
mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= , that is the very UnivR value obtained in (A1.9).
App. 2-Par. 2.2: The discovery of the common essence of gravity and electromagnetism. Now, (A2.1) is of a paramount importance and has got a very clear meaning (Rubino) as it tells us that the electrostatic
energy of an electron in an electron-positron pair ( −+ee adjacent) is exactly the gravitational energy given to this pair
by the whole Universe UnivM at an UnivR distance! (and vice versa)
Therefore, an electron gravitationally cast by an enormous mass UnivM for a very long time UnivT and through a long
travel UnivR, gains a gravitationally originated kinetic energy so that, if later it has to release it all together, in a short
time, through a collision, for instance, and so through an oscillation of the −+ee pair - spring, it must transfer a so huge gravitational energy indeed, stored in billion of years that if this energy were to be due just to the gravitational potential energy of the so small mass of the electron itself, it should fall short by many orders of size. Therefore, the effect due to
the immediate release of a big stored energy, by −e , which is known to be Univ
eUniv
RmGM
, makes the electron “appear”,
in the very moment, and in a narrow range ( er ), to be able to release energies coming from forces stronger than the
gravitational one, or like if it were able to exert a special gravitational force, through a special Gravitational Universal Constant G’, much bigger than G:
e
ee
e
ee
ee rmmG
rmm
me
me
⋅=⋅⋅⋅ ')4
1(0πε
; it’s only that during the sudden release of energy by the electron, there is a
run taking effect due to its eternal free (gravitational) falling in the Universe. And, at the same time, gravitation is an effect coming from the composition of many small electric forces.
I also remark here, that the energy represented by (A2.1), as chance would have it, is really 2cme !!!, that is a sort of
run taking kinetic energy, had by the free falling electron-positron pair , and that Einstein assigned to the rest matter, unfortunately without telling us that such a matter is never at rest with respect to the center of mass of the Universe, as we all are inexorably free falling, even though we see one another at rest; from which is its essence of gravitationally
originated kinetic energy 2cme :
Univ
eUniv
ee R
mGMrecm =⋅=
2
0
2
41πε
.
App. 2-Par. 2.3: The oscillatory essence of the whole Universe and of its particles. We’re talking about oscillations as this is the way the energy is transferred, and also in collisions, such as those among billiards balls, where there do are oscillations in the contact point, and how, even though we cannot directly see them (those of peripheral electrons, of molecules, of atoms etc, in the contact point). So, we’re properly talking about oscillations also because, for instance, a Sun/planet system or a single hydrogen atom,
or a −+ee pair, which are ruled by laws of electromagnetism, behave as real springs: in fact, in polar coordinates, for an electron orbiting around a proton, there is a balancing between the electrostatic attraction and the centrifugal force:
3
2
2
2
0
22
2
0 41)(
41
rmp
rer
dtdm
reF
eer +−=+−=
πεϕ
πε , where ω
ϕ=
dtd
and 2rmrrmrvmp eee ωω ==⋅=
Let’s figure out the corresponding energy by integrating such a force over the space:
2
22
0 241
rmp
redrFU
er +−=−= ∫ πε
. (A2.3)
Fig. A2.1: Graph of the energy. The point of minimum in (r0,U0) is a balance and stability point (Fr=0) and can be calculated by zeroing the first derivative of (A2.3) (i.e. setting Fr=0 indeed). Moreover, around r0, the curve for U is visibly replaceable by a parabola UParab, so, in that neighbourhood, we can write:
02
0 )( UrrkUParab +−= , and the relevant force is: )(2 0rrkrUF Parabr −−=∂∂−=
Which is, as chance would have it, an elastic force ( kxF −= - Hooke’s Law). Moreover, the gravitational law which is followed by the Universe is a force which changes with the square value of the distance, just like the electric one, so the gravitational force, too, leads to the Hooke’s law for the Universe.
--------------------------------------------- By means of (A2.1) and of its interpretation, we have turned the essence of the electric force into that of the gravitational one; now we do the same between the electric and magnetic force, so accomplishing the unification of electromagnetic and gravitational fields. At last, all these fields are traced back to aUniv , as gravitation does. App. 2-Chapter 3: The unification of magnetic and electric forces. App. 6-Par. 3.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Concerning this, let’s examine the following situation, where we have a wire, of course made of positive nuclei and electrons, and also a cathode ray (of electrons) flowing parallel to the wire: Fig. A3.1: Wire not flown by any current, seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’).
r
U
U
2
2
2 rmp
e
re2
041πε
−
r0
Uo
2
42
00 2
)4
1(pemU e
πε−=
02
0 )( UrrkUParab +−=
e- e-
p+
e- e- e- e- e- e- e- e-
p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+
e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-
Cathode ray
Wire
F -
F +
Direction of the cathode ray (v)
x’
y’ z’
I’
We know from magnetism that the cathode ray will not be bent towards the wire, as there isn’t any current in it. This is the interpretation of the phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that every single electron in the ray is rejected away from the electrons in the wire, through a force F- identical to that F+ through which it’s attracted from positive nuclei in the wire. Now, let’s examine the situation in which we have a current in the wire (e-
with speed u)
Fig. A3.2: Wire flown by a current (with e- speed=u), seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). In this case we know from magnetism that the cathode ray must bend towards the wire, as we are in the well known case of parallel currents in the same direction, which must attract each other. This is the interpretation of this phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that as the electrons in the wire follow those in the ray, they will have a speed lower than that of the positive nuclei, in the system I’, as such nuclei are still in the wire. As a consequence of that, spaces among the electrons in the wire will undergo a lighter relativistic Lorentz contraction, if compared to that of the nuclei’s, so there will be a lower negative charge density, if compared to the positive one, so electrons in the ray will be electrically attracted by the wire. This is the interpretation of the magnetic field on an electric basis. Now, although the speed of electrons in an electric current is very low (centimeters per second), if compared to the relativistic speed of light, we must also acknowledge that the electrons are billions and billions…., so a small Lorentz contraction on so many spaces among charges, makes a substantial magnetic force to appear. But now let’s see if mathematics can prove we’re quantitatively right on what asserted so far, by showing that the magnetic force is an electric one itself, but seen on a relativistic basis. On the basis of that, let’s consider a simplified situation in which an electron e- , whose charge is q, moves with speed v and parallel to a nuclei current whose charge is Q+ each (and speed u): Fig. A3.3: Current of positive charge (speed u) and an electron whose speed is v, in the reader’s steady system I. a) Evaluation of F on an electromagnetic basis, in the system I : First of all, we remind ourselves of the fact that if we have N charges Q in line and d spaced (as per Fig. A3.3), then the linear charge density λ will be:
dQdNQN =⋅⋅=λ . Now, still with reference to Fig. A3.3, in the system I, for the electromagnetics the electron will undergo the Lorentz force )( BvEqFl ×+= which is made of an originally electrical component and of a magnetic one:
qrdQq
rqEFel )
21()
21(
00 πεπλ
ε==⋅= due to the electric attraction from a linear distribution of charges Q, and:
Direction of the current I, whose e- speed is u
e- e-
p+
e- e- e- e- e-
p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+
e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-
Cathode ray
Wire
F -
F +
Direction of the ray (v)
x’
y’ z’
I’
r
Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+
q-
220 1 cudd −=
F
v
u
x’
y’ z’
I’
x
y
I z
rdQu
rudQ
rtQ
rIFmagn π
µπ
µπ
µπ
µ22
)(22 0000 ==== (Biot and Savart).
So: 220
0
00
0 11)1(
2)
221(
cuuv
rdQq
rdQuv
rdQqFl
−−=−= µ
εππµ
πε , (A3.1)
where the negative sign tells us the magnetic force is repulsive, in that case, because of the real directions of those currents, and where the steady distance d0 is contracted to d, according to Lorentz, in the system I where charges Q
have got speed u ( 220 1 cudd −= ).
b) Evaluation of F on an electric base, in the steady system I’ of q: in the system I’ the charge q is still and so it doesn’t represent any electric current, and so there will be only a Coulomb electric force towards charges Q:
220
000 '11)
21()
2'1()
2'1(''
curdQqq
rdQq
rqEF el
−===⋅=
πεπεπλ
ε , (A3.2)
where u’ is the speed of the charge distribution Q in the system I’, which is due to u and v by means of the well known relativistic theorem of composition of speeds:
)1()(' 2cuvvuu −−= , (A3.3)
and d0, this time, is contracted indeed, according to u’: 220 '1' cudd −= .
We now note that, through some algebraic calculations, the following equality holds (see (A3.3)):
22
222222
)1()1)(1('1
cuvcvcucu
−−−
=− , which, if replacing the radicand in (A3.2), yields:
2222
20
000 11)1()
21()
2'1()
2'1(''
cvcucuv
rdQqq
rdQq
rqEF el
−−
−===⋅=
πεπεπλ
ε (A3.4)
We now want to compare (A3.1) with (A3.4), but we still cannot, as one is about I and the other is about I’; so, let’s scale elF ' in (A3.4), to I, too, and in order to do that, we see that, by definition of the force itself, in I’:
2222'
'
1)_(
1)'_('
cvIinF
cvtp
tpIinF el
I
I
I
Iel
−=
−∆
∆=
∆∆
= , where II pp ∆=∆ ' , as p∆ extends along y, and not
along the direction of the relative motion, so, according to the Lorentz transformations, it doesn’t change, while t∆ , of course, does. So:
22
2222
20
0
22 111
)1()2
1(1)'_(')_( cvcvcu
cuvrdQqcvIinFIinF elel −
−−
−=−=
πε =
)_(1
)1()2
1(22
20
0
IinFcu
cuvrdQq el=
−
−=
πε (A3.5)
Now we can compare (A3.1) with (A3.5), as now both are related to the I system. Let’s write them one over another:
2200
00
0 11)1(
2)
221()_(
cuuv
rdQq
rdQuv
rdQqIinFl
−−=−= µ
εππµ
πε
22200
022
20
0 11)1(
21)1()
21()_(
cucuv
rdQq
cucuv
rdQqIinFel
−−=
−
−=
εεππε
Therefore we can state that these two equations are identical if the following identity holds: 001 µε=c , and this
identity is known since 1856. As these two equations are identical, the magnetic force has been traced back to the Coulomb’s electric force, so the unification of electric and magnetic fields has been accomplished!!
---------------------------------------------
App. 2-Chapter 4: Justification of the equation eUniv rNR = previously used for the unification of electric
and gravitational forces (Rubino).
App. 2-Par. 4.1: The equation eUniv rNR = (!).
First of all, we have already checked the validity of the equation eUniv rNR = , used in (A2.2), as it has proved to be
numerically correct. And it’s also justified on an oscillatory basis and now we see how; such an equation tells us the radius of the Universe is equal to the classic radius of the electron multiplied by the square root of the number of electrons (and positrons) N in which the Universe can be thought as made of. (We know that in reality almost all the matter in the Universe is not made of e+e- pairs, but rather of p+e- pairs of hydrogen atoms H, but we are now interested in considering the Universe as made of basic bricks, or in fundamental harmonics, if you like, and we know that electrons and positrons are basic bricks, as they are stable, while the proton doesn’t seem so, and then it’s neither a fundamental harmonic, and so nor a basic brick). Suppose that every pair e+e- (or, for the moment, also p+e- (H), if you like) is a small spring (this fact has been already supported by reasonings made around (A2.3)), and that the Universe is a big oscillating spring (now contracting towards its center of mass) with an oscillation amplitude obviously equal to RUniv , which is made of all microoscillations of e+e-
pairs. And, at last, we confirm that those micro springs are all randomly spread out in the Universe, as it must be; therefore, one is oscillating to the right, another to the left, another one upwards and another downwards, and so on. Moreover e+ and e- components of each pair are not fixed, so we will not consider N/2 pairs oscillating with an amplitude 2re, but N electrons/positrons oscillating with an amplitude re. Fig. A4.1: The Universe represented as a set of many (N) small springs, oscillating on random directions, or as a single big oscillating spring. Now, as those micro oscillations are randomly oriented, their random composition can be shown as in Fig. A4.2.
Fig. A4.2: Composition of N micro oscillations err
randomly spread out, so forming the global oscillation RUniv.
UnivR
er
x
y
z
NUnivR
r
err
err
err
err
err
err
err
err
err
err
We can obviously write that: eN
UnivN
Univ rRR rrr+= −1 and the scalar product N
UnivRr
with itself yields:
21212 2)()( eeN
UnivN
UnivN
UnivN
UnivN
Univ rrRRRRR +⋅+==⋅ −− rrrr; we now take the mean value:
22121212 )(2)()( eN
UniveeN
UnivN
UnivN
Univ rRrrRRR +=+⋅+= −−− rr, (A4.1)
as 02 1 =⋅−e
NUniv rR rr
, because err
can be oriented randomly over 360° (or over π4 sr, if you like), so a vector averaging
with it, as in the previous equation, yields zero.
We so rewrite (A4.1): 2212 )()( eN
UnivN
Univ rRR += − and proceeding, on it, by induction:
(by replacing N with N-1 and so on):
22221 )()( eN
UnivN
Univ rRR += −− , and then: 22322 )()( eN
UnivN
Univ rRR += −− etc, we get:
222222212 0..........2)()()( eee
NUnive
NUniv
NUniv rNrNrRrRR =+==+=+= −− , that is:
22)( e
NUniv rNR = , from which, by taking the square roots of both sides:
eeUnivN
Univ rNrNRR ⋅=== 22)( , that is:
eUniv rNR ⋅= !!! (Rubino) (A4.2)
Anyway, it’s well known that, in physics, for instance, the walk R made over N successive steps r, and taken in random directions, is really the square root of N by r (see, for instance, studies on Brownian movement).
--------------------------------------------- App. 2-Chapter 5: “aUniv“as absolute responsible of all forces. App. 2-Par. 5.1: Everything from “aUniv“. Still in agreement with what has been said so far, the cosmic acceleration itself aUniv is responsible for gravity all, and so for the terrestrial one, too. In fact, just because the Earth is dense enough, it’s got a gravitational acceleration on its surface g=9,81 m/s2, while if today we could consider it as composed of electrons randomly spread, just like in Fig. A4.1
for the Universe, then it would have a radius eEarthee
Earth rNrm
M⋅=⋅ , and the gravitational acceleration on its
surface would be:
2122
/1062,7)(
smarN
MGg UniveEarth
EarthNew
−⋅==⋅
= !!!
Therefore, once again we can say that the gravitational force is due to the collapsing of the Universe by aUniv, and all gravitational accelerations we meet, time after time, for every celestial object, are different from aUniv according to how much such objects are compressed.
--------------------------------------------- App. 2-Par. 5.2: Summarizing table of forces. Fig. A5.1: Summarizing table of forces.
aUniv
GRAVITY
causes causes ELECTRICITY
MAGNETISM
WEAK FORCE
causes
(Rubino)
(Einstein) (Maxwell)
STRONG FORCE (my works in progress) (through meson exchanges?)
App. 2-Par. 5.3: Further considerations on composition of the Universe in pairs +/-. The full releasing of every single small spring which stands for the electron-positron pair, is nothing but the annihilation, with turning into photons of those two particles. In such a way, that pair wouldn’t be represented anymore by a pointed wave, pointed in certain place and time, (for instance )()sin( vtxvtx −− , or the similar )( vtx −δ of Dirac), where
the pointed part would stand for the charge of the spring, but it will be represented by a function like )sin( ctx − , omogeneous along all its trajectory, and this is what a photon is. This will happen when the collapsing of the Universe in its center of mass will be accomplished. Moreover, the essence of the pairs e+e-, or, in this era, of e-p+, is necessary in order not to violate Principle of Conservation of Energy. In fact, the Universe seems to vanish towards a singularity, after its collapsing, or taking place from nothing, during its inverse Big Bang-like process, and so doing, it would be a violation of such a conservation principle, if not supported by the Indetermination Principle, according to which an energy ΔE is legitimated to appear anyhow, unless it lasts less than Δt, in such a way that 2h≤∆⋅∆ tE ; in other words, it can appear provided that the observer doesn’t have enough time, in comparison to his means of measure, to figure it out, so coming to the ascertainment of a violation. And, by the same token, the whole Universe, which is made of pairs +/-, has this property. And the appearing of a ΔE made of a pair of particles, shows the particles to reject each other first, so showing the same charge, while the successive annihilation after Δt shows a successive attraction, showing now opposite charges. So, the appearing and the annihilation correspond to the expansion and collapsing of the Universe. Therefore, if we were in an expanding Universe, we wouldn’t have any gravitational force, or it were opposite to how it is now, and it’s not true that just the electric force can be repulsive, but the gravitational force, too, can be so (in an expanding Universe); now it’s not so, but it was! The most immediate philosophical consideration which could be made, in such a scenario, is that, how to say, anything can be born (can appear), provided that it dies, and quick enough; so the violation is avoided, or better, it’s not proved/provable, and the Principle of Conservation of Energy is so preserved, and the contradiction due to the appearing of energy from nothing is gone around, or better, it is contradicted it itself. The proton, then, plays the role of a positron, with respect to the electron and it’s heavier than it because of the possibility to exist that the fate couldn’t deny to it, around the Anthropical Cosmological Principle, as such a proton brings to atoms and cells for life which investigates over it. When the collapse of the Universe will happen, the proton will irradiate all its mass and become a positron, ready to annihilate with the electron. And through all this, we also answer the question on the unexplained prevailing of matter over the antimatter: in fact, that’s not true; if we consider the proton, that is a future and ex positron, as the antimatter of the electron, and vice versa, the balance is perfect. App. 2-Par. 5.4: The Theory of Relativity is just an interpretation of the oscillating Universe just described, contracting with speed c and acceleration auniv. On composition of speeds: 1) Case of a body whose mass is m. If in our reference system I, where we (the observers) are at rest, there is a body
whose mass is m and it’s at rest, we can say: 01 =v and 021 2
11 == mvE . If now I give kinetic energy to it, it will
jump to speed v2, so that, obviously: 222 2
1 mvE = and its delta energy of GAINED energy E↑∆ (delta up) is:
222
2212 )(
21)0(
210
21 vmvmmvEEE ∆=−=−=−=∆↑ , with 12 vvv −=∆ .
Now, we’ve obtained a v∆ which is simply 12 vv − , but this is a PARTICULAR situation and it’s true only when it starts from rest, that is, when v1 = 0.
On the contrary: 221
22
21
2212 )(
21)(
21
21
21 vmvvmmvmvEEE V∆=−=−=−=∆↑ , where V∆ is a vectorial delta:
)( 21
22 vvvV −=∆ ; therefore, we can say that, apart from the particular case when we start from rest (v1 = 0), if we
are still moving, we won’t have a simple delta, but a vectorial one; this is simple base physics. 2) Case of the Earth. In our reference system I, in which we (the observers) are at rest, the Earth (E-Earth) rotates around the Sun with a total energy:
SE
ESunEETot R
mMGvmE−
−= 2
21
, and with a kinetic energy 2
21
EEK vmE = . If now we give the Earth a delta up
E↑∆ of kinetic energy in order to make it jump from its orbit to that of Mars (M-Mars), then, just like in the previous
point 1, we have:
22222 )(21)(
21
21
21 vmvvmvmvmE VEMEEMEEE ∆=−=−=∆↑ , with )( 22
MEV vvv −=∆ , and so also here the
speed deltas are vectorial-like ( V∆ ). 3) Case of the Universe. In our reference system I, where we (the observers) are at rest, if we want to make a body, whose mass is m0 and originally at rest, get speed V, we have to give it a delta v indeed, but for all what has been said so far, as we are already moving in the Universe, (and with speed c), as for above points 1 and 2, such a delta v must withstand the following (vectorial) equality:
)( 22SpeedUnivAbsNewV vcvV −−−−=∆= , (A5.1)
where SpeedUnivAbsNewv −−− is the new absolute speed the body (m0) looks to have, not with respect to us, but with
respect to the Universe and its center of mass. As a matter of fact, a body is inexorably linked to the Universe where it is, in which, as chance would have it, it already
moves with speed c and therefore has got an intrinsic energy 20cm .
In more details, as we want to give the body (m0) a kinetic energy Ek , in order to make it gain speed V (with respect to us), and considering that, for instance, in a spring which has a mass on one of its ends, for the harmonic motion law, the speed follows a harmonic law like:
ααω sinsin)( MaxMax VXv == ( αsincv SpeedUnivAbsNew =−−− , in our case),
and for the harmonic energy we have a harmonic law like:
αsinMaxEE = ( αsin)( 20
20 KEcmcm += , in our case),
we get αsin from the two previous equations and equal them, so getting:
KSpeedUnivAbsNew Ecm
cmcv+
=−−− 20
20 ,
now we put this expression for SpeedUnivAbsNewv −−− in (A5.1) and get:
VEcm
cmccvcvVK
SpeedUnivAbsNewV =+
−=−=∆= −−− ])([)( 22
0
20222 , and we report it below:
])([ 22
0
202
KEcmcmccV+
−= (A5.2)
If now we get EK from (A5.2), we have:
)11
1(
2
2
20 −
−
=
cV
cmEK !!! which is exactly the Einstein’s relativistic kinetic energy!
If now we add to EK such an intrinsic kinetic energy of m0 (which also stands “at rest” – rest with respect to us, not with respect to the center of mass of the Universe), we get the total energy:
20
20
2
2
2
2
20
20
20
1
1)11
1( cmcm
cV
cV
cmcmcmEE K ⋅=
−
=−
−
+=+= γ , that is the well known
20cmE ⋅= γ (of the Special Theory of Relativity). (A5.3)
All this after that we supposed to bring kinetic energy to a body at rest (with respect to us). Equation (A5.3) works wery well on particle accelerators, where particles gain energy, but there are cases (collapsing Universe and Atomic Physics) where masses lose energy and radiate, instead of gaining it, and in such cases (A5.3) is completely inapplicable, as it’s in charge for added energies, not for lost ones. App. 2-Par. 5.5: On “Relativity” of lost energies. In case of lost energies (further phase of the harmonic motion), the following one must be used:
20
1 cmE ⋅=γ
(Rubino) (A5.4)
which is intuitive just for the simple reason that, with the increase of the speed, the coefficient γ1 lowers m0 in favour of the radiation, that is of the lost of energy; unfortunately, this is not provided for by the Theory of Relativity, like in (A5.4). For a convincing proof of (A5.4) and of some of its implications, I have further files about. By using (A5.4) in Atomic Physics in order to figure out the ionization energies ZE↓∆ of atoms with just one electron,
but with a generic Z, we come to the following equation, for instance, which matches very well the experimental data:
])2
(11[ 2
0
22
hcZecmE eZ ε
−−=∆↓ (A5.5)
and for atoms with a generic quantum number n and generic orbits:
])4
(11[ 2
0
22
hcnZecmE enZ ε
−−=∆ −↓ (Wåhlin) (A5.6)
Orbit (n) Energy (J) Orbit (n) Energy (J)
1 2,1787 10-18 5 8,7147 10-20 2 5,4467 10-19 6 6,0518 10-20 3 2,4207 10-19 7 4,4462 10-20 4 1,3616 10-19 8 3,4041 10-20
Tab. A5.1: Energy levels in the hydrogen atom H (Z=1), as per (A5.6). On the contrary, the use of the here unsuitable (A5.3) doesn’t match the experimental data, but brings to complex corrections and correction equations (Fock-Dirac etc), which tries to “correct”, indeed, an unsuitable use. Again, in order to have clear proofs of (A5.5) and (A5.6), I have further files about.
---------------------------------------------
App. 2-SUBAPPENDIXES. App. 2-Subppendix 1: Physical constants.
Boltzmann’s Constant k: KJ /1038,1 23−⋅
Cosmic Acceleration aUniv: 212 /1062,7 sm−⋅
Distance Earth-Sun AU: m1110496,1 ⋅
Mass of the Earth MEarth: kg241096,5 ⋅
Radius of the Earth REarth: m610371,6 ⋅
Charge of the electron e: C19106,1 −⋅−
Number of electrons equivalent of the Universe N: 851075,1 ⋅
Classic radius of the electron re: m1510818,2 −⋅
Mass of the electron me: kg31101,9 −⋅
Fine structure Constant )1371(≅α : 31030,7 −⋅
Frequency of the Universe Univν : Hz211005,4 −⋅
Pulsation of the Universe )( globalUniv H=ω : srad201054,2 −⋅
Universal Gravitational Constant G: 2211 /1067,6 kgNm−⋅
Period of the Universe UnivT : s201047,2 ⋅
Light Year l.y.: m151046,9 ⋅
Parsec pc: mla 161008,3.._26,3 ⋅=
Density of the Universe ρUniv: 330 /1032,2 mkg−⋅
Microwave Cosmic Radiation Background Temp. T: K73,2
Magnetic Permeability of vacuum μ0: mH /1026,1 6−⋅
Electric Permittivity of vacuum ε0: mF /1085,8 12−⋅
Planck’s Constant h: sJ ⋅⋅ −3410625,6
Mass of the proton mp: kg271067,1 −⋅
Mass of the Sun MSun: kg3010989,1 ⋅
Radius of the Sun RSun: m81096,6 ⋅
Speed of light in vacuum c: sm /1099792458,2 8⋅
Stephan-Boltzmann’s Constant σ: 428 /1067,5 KmW−⋅
Radius of the Universe (from the centre to us) RUniv: m281018,1 ⋅
Mass of the Universe (within RUniv) MUniv: kg551059,1 ⋅ Thank you for your attention. Leonardo RUBINO leonrubino@yahoo.it
--------------------------------------------------------------- Bibliography: 1) (M.M. Lipschutz) DIFFERENTIAL GEOMETRY, Schaum. 2) (Steven Weinberg) GRAVITATION AND COSMOLOGY(Principles and Applications of the General Theory of Relativity), John Wiley & Sons. 3) (S. Greco e P. Valabrega) LEZIONI DI MATEMATICA, Vol. 2- Geometria Analitica e Differenziale, Levrotto & Bella. 4) (F.W.K. Firk) ESSENTIAL PHYSICS - Part 1-Relativity, Gravitation etc – F. Yale University. 5) (L. Wåhlin) THE DEADBEAT UNIVERSE, 2nd Ed. Rev., Colutron Research. 6) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN I-II e III – Zanichelli. 7) (Lionel Lovitch-Sergio Rosati) FISICA GENERALE, Elettricità, Magnetismo, Elettromagnetismo Relatività Ristretta, Ottica, Meccanica Quantistica , 3^ Edizione; Casa Editrice Ambrosiana-Milano. 8) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I – Meccanica-Termodinamica, Liguori. 9) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA II – Elettromagnetismo-Ottica, Liguori. 10) (R. Sexl & H.K. Schmidt) SPAZIOTEMPO – Vol. 1, Boringhieri. 11) (V.A. Ugarov) TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA, Edizioni Mir. 12) (A. Liddle) AN INTRODUCTION TO MODERN COSMOLOGY, 2nd Ed., Wiley. 13) (A. S. Eddington) THE EXPANDING UNIVERSE, Cambridge Science Classics. 14) ENCYCLOPEDIA OF ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS, Nature Publishing Group & Institute of Physics Publishing. 15) (Keplero) THE HARMONY OF THE WORLD. 16) (H. Bradt) ASTROPHYSICS PROCESSES, Cambridge University Press.
--------------------------------------------------------------