La méthode des éléments finis

Compléments

Sonia Fliss

Programme du coursDans ce cours, on ne va démontrer aucun résultat théorique à proprement parler mais l’objectif est d’offrir un certain nombre d’ouvertures sur des problèmes qui vous sont désormais accessibles

Problèmes elliptiques plus complexes

Problèmes en régime temporel

Equations paraboliques (de type équation de la chaleur)

Equations hyperboliques (de type équation des ondes)

Problèmes en régime harmonique (de type équation de Helmholtz)

plus de détails en MAP-ANN2

plus de détails en MAP-ANN2

Elliptique/parabolique/hyperboliqueEquations elliptiques (exemple : equation de Laplace)

��u = f, dans Ωdans Ω+ conditions aux limites

modèle stationnaire (thermique, électrostatique, membrane élastique, écoulement potentiel)

Equations paraboliques (de type équation de la chaleur)�u�t � �u = f, dans ΩΩ� R+

�dans Ω+ conditions aux limites + 1 condition initiale

modèle instationnaire (diffusion thermique, chimique, neutronique, fluide visqueux incompressible)

Irréversibilité, décroissance de l’énergie, principe du maximum, propagation à vitesse infinie

�2u�t2 � c2�u = f, dans Ω

Equations hyperboliques (de type équation des ondes)

Ω� R+�dans Ω

+ conditions aux limites + 2 conditions initialesmodèle instationnaire (propagation d’ondes, électromagnétisme, élastodynamique)

Réversibilité, conservation de l’énergie, propagation à vitesse finie

plus de détails en MAP-ANN2

des éléments ont été vus en MA103

�� · � = J

Equations elliptiques - élasticitéProblèmes issus de la physique

Elasticité linéaire (mécanique des milieux continus) : elle concerne les petites déformations d’un objet

� =12

�� u + (� u)��

Déformation (gradient symétrisé) � u u

� dans ΩEquilibre des contraintes

� = �Tr(�)I + 2µ� = A : �Loi de comportement de Hooke � � � �

source

coefficients de Lamé

u champ de déplacement � tenseur de contraintes

� · n = 0�CL de type surface libre sur ∂Ω \ Γsur �u = 0uCL de type encastrement u

Equations elliptiques - élasticitéFormulation variationnelle et méthode de Galerkin

Formulation “ingénieur”

Formulation variationnelle (en 2D et vecteur à 2 composantes)dans le cas des conditions de Dirichlet sur tout le bord

Approximation éléments finis

L’inégalité de Korn (équivalent de l’inégalité de Poincaré) permet de montrer la coercivité de la forme bilinéaire

K�9 = �*

�� =

�

��xx�yy2�xy

�

� A =

�

�2µ + � � 0

� 2µ + � 00 0 µ

�

�

�?u t.q. �v � (H10(Ω))2,

�

Ω�(u) : A : �(v) dΩ =

�

Ωf · v dΩ

�C, �v � H10(Ω)2, �v�H1(Ω)2 � C�

Ω�(v) : �(v) dΩ

Exemples numériquesEquations elliptiques - élasticité

Equations elliptiques - élasticitéExemples numériques

� · R = �(Y � Y�)

Equations elliptiques - élasticitéExemples numériques

Equations elliptiques - élasticitéExemples numériques

Equations elliptiques - élasticitéExemples numériques

Equations elliptiques - élasticitéExemples numériques

Cadre non-linéaire

Elasticité non linéaire I =��

��Y + (�Y)� + (�Y)� · �Y

�

Approximation éléments finis

Résolution par une méthode de Newton +(U�)

+(U�)

+(U�)

H+(U�)

H+(U�)

UO+� � UO = �(H+(UO))��+(UO)

U�U�U�U�H+(U�)

Equations elliptiques - élasticité

K(U) = F G(U) = K(U) � F = 0=�

V�dG(Uk)W= V�dK(Uk)W

=

�

Ωdue(ukh)(wh) : A : due(ukh)(vh) dΩ

+

�

Ωe(ukh) : A : d2ue(ukh)(wh, vh) dΩ

�v � H10(Ω)2,

�

Ωe(u) : A : due(u)(v) dΩ =

�

Ωf · v dΩ

Equations paraboliquesProblèmes issus de la physique

Thermique : phénomènes de conduction et convection de la chaleur

x la variable d’espace, t le tempsla températureT

densité chaleur spécifique

tenseur de conductivitéthermique

champs de vecteurs vitesse

source de chaleur

f�(x)�cpT�t � div(K(x)�T) + u(x) · �T = fT T

Tdans Ω, ∀t > 0

Equations paraboliquesProblèmes issus de la physique

Thermique : phénomènes de conduction et convection de la chaleur

x la variable d’espace, t le temps

f�(x)�cpT�t � div(K(x)�T) + u(x) · �T = fT T

Tdans Ω, ∀t > 0

la températureT

sur T , ∀t > 0condition aux limites de type thermostat T(·, t) = T�(t) �

1 condition initiale

Ω ΩT(x, t = 0) = T0(x) dans T

condition aux limites de type flux �T · n = gT g sur ∂Ω \ Γ, ∀t > 0K

ou condition aux limites de type mixte �T · n = gT , ∀t > 0K �(8� 8�)

Equations paraboliquesProblème modèle

On cherche u solution de l’EDP parabolique modèle

Ω

�u�t � div(K(x)�u) = f dans Ωf

0 sur u = 0

uuu �Ω,

u(x, t = 0) = u0(x)u dans Ω

, ∀t ∈ [0,T], ∀t ∈ [0,T]

A quel espace appartient u ? Le problème est-il bien posé ?

Comment en calculer une approximation ?Convergence de l’approximation?

plus de détails en MAP ANN 2

où est strictement positive bornéef � L2(0,T; L2(Ω))f u0 � L2(Ω)uetK

Equations paraboliquesProblème modèle

On cherche u solution de l’EDP parabolique modèle

�u�t � div(K(x)�u) = f dans Ωf

0 sur u = 0

u uu �Ω,

u(x, t = 0) = u0(x)u dans Ω

, ∀t ∈ [0,T], ∀t ∈ [0,T]

u

Chercher u dans

L2(0,T;H10(Ω)) ∩ C0(0,T; L2(Ω)) solution de

ddt

∫

Ωu vdΩ+

∫

ΩK(x)∇u ·∇vdΩ =

∫

Ωf(·, t)v dΩ , ∀v ∈ H10(Ω)u u

u(x, t = 0) = u0(x)u dans Ω

Ce problème est équivalent à

Equations paraboliquesProblème modèle

Chercher u dans

L2(0,T;H10(Ω)) ∩ C0(0,T; L2(Ω)) solution de

ddt

∫

Ωu vdΩ+

∫

ΩK(x)∇u ·∇vdΩ =

∫

Ωf(·, t)v dΩ , ∀v ∈ H10(Ω)u

u

u

u(x, t = 0) = u0(x)u dans Ωoù est strictement positive bornée

f � L2(0,T; L2(Ω))f u0 � L2(Ω)uetK

Théorème : La solution existe et est unique

pour l’existence : (Meth 1) Théorie des semi groupes (Th. de Hille Yosida) (Meth 2) Décomposition spectrale (MA206)pour l’unicité : Egalité d’énergie

Equations paraboliquesProblème modèle

Chercher u dans

L2(0,T;H10(Ω)) ∩ C0(0,T; L2(Ω)) solution de

ddt

∫

Ωu vdΩ+

∫

ΩK(x)∇u ·∇vdΩ =

∫

Ωf(·, t)v dΩ , ∀v ∈ H10(Ω)u

u

u

u(x, t = 0) = u0(x)u dans Ω

Décroissance de l’énergie

Continuité de la solution par rapport aux données

Principe du maximum

Caractère régularisant de l’équation

Vitesse de propagation “infinie”

Approximation de Galerkin

Equations paraboliquesSemi-discrétisation en espace

u

Soit un espace de dimension finie . Vh ⊂ H10(Ω) �� < +�

dans solution du problème semi discretuh C0(0,T;Vh)On chercheSoit une base de (��, . . . ,���) ��

⇥� � ��, ��⇥,uh(·, t = 0) = u0huh

ddt

∫

Ωuh widΩ+

∫

ΩK(x)∇uh ·∇widΩ =

∫

Ωf(·, t)widΩuhuh

�i, j � {1, . . . , nh}, wj(Si) = �ij

Pour les EF de Lagrange P1

�� �� =nh�

l=1(Sl)wlu0u0het(·, t) =

nh�

l=1(Sl, t)wl

limh�0

u0h = u0 L2(Ω)danstelle que

Soit une base de (��, . . . ,���) ��

Approximation de GalerkinSoit un espace de dimension finie . Vh ⊂ H10(Ω)

Equations paraboliquesSemi-discrétisation en espace

u

�� < +�

����En décomposant dans cette base�� (·, t) =nh�

j=1(t)wj

nh∑

j=1

ddtuj(t)

∫

Ωwj widΩ+

nh∑

j=1uj(t)

∫

ΩK(x)∇wj ·∇widΩ =

∫

Ωf(·, t)widΩ ⇥� � ��, ��⇥,����

Mij =∫

Ωwj wi dΩ Kij =

∫

ΩK(x)∇wj ·∇wi dΩ

Li(t) =∫

Ωf(·, t)wi dΩ =(t)Ui ui (t)

où

Soit une base de (��, . . . ,���) ��

Approximation de GalerkinSoit un espace de dimension finie . Vh ⊂ H10(Ω)

Equations paraboliquesSemi-discrétisation en espace

u

�� < +�

�� ��En décomposant dans cette base�� (·, t) =nh�

j=1(t)wj

Le système matriciel équivalent est

M ddtU+KU = LU U

Mij =∫

Ωwj wi dΩ Kij =

∫

ΩK(x)∇wj ·∇wi dΩ

Li(t) =∫

Ωf(·, t)wi dΩ =(t)Ui ui (t)

où

Théorème : Il existe une unique solution U ∈ C0(0,T;Rnh)

(t)

Soit une base de (��, . . . ,���) ��

Approximation de GalerkinSoit un espace de dimension finie . Vh ⊂ H10(Ω)

Equations paraboliquesSemi-discrétisation en espace

u

�� < +�

�� ��En décomposant dans cette base�� (·, t) =nh�

j=1(t)wj

Le système matriciel équivalent est

M ddtU+KU = LU U (t)

Système différentiel du 1er ordre en temps⇒

UU(t = 0) = U0

u0hest construit à partir deU0où

,

On cherche dans solution de

Equations paraboliquesDiscrétisation totale

u

M ddtU+KU = LU U

U C0(0,T;Rnh)

U∀t ∈ [0,T]

Approximation par différence finie en tempsvoir le cours de MA103

, ,...ddtU(n∆t)U Un+1 − Un

∆tUnUn+1 Un − Un−1

∆tUn Un−1

U(n∆t)U Un Un+1, Un−1 ,...

∀n ∈ N, n∆t ≤ T , on espère que se rapproche deUn U(n∆t)UOn va écrire des équations discrètes pour .Un

U(t = 0) = U0(t)

n∆ttn = ∆t

On cherche solution de

Equations paraboliquesDiscrétisation totale

u

Un( )n

θ = 0 schéma explicite

θ = 1 schéma impliciteθ = 1/2 schéma de Crank Nickolson

Schéma implicite MUn+1 − Un

∆t +KUn+1 = L(tn+1)Un+1

Un+1Un

Schéma explicite MUn+1 − Un

∆t +KUn = L(tn)Un+1 UnUn

θ− schéma

MUn+1 − Un

∆t +K(θUn+1 + (1− θ)Un

)= θL(tn+1) + (1− θ)L(tn)Un+1Un+1

UnUn

∀n ∈ N, n∆t ≤ T ∈ RnhUn( )

n∆ttn = ∆t

On cherche solution de

Equations paraboliquesConvergence

u

Un( )n

MUn+1 − Un

∆t +K(θUn+1 + (1− θ)Un

)= θL(tn+1) + (1− θ)L(tn)Un+1Un+1

UnUn∀n ∈ N, n∆t ≤ T

= U0U0

∀n ∈ N, n∆t ≤ T U(n∆t)U vérifie l’équation à un près.O(�tp)

θ− θ = 1/2Proposition (consistance) Le schéma est d’ordre 1 en temps sauf pour où il est d’ordre 2.

∈ RnhUn( )

n∆ttn = ∆t

On cherche solution de

Equations paraboliques

u

Un( )n

MUn+1 − Un

∆t +K(θUn+1 + (1− θ)Un

)= θL(tn+1) + (1− θ)L(tn)Un+1Un+1

UnUn∀n ∈ N, n∆t ≤ T

= U0U0

Définition (stabilité)Le schéma est stable si la solution reste bornée quand et le pas du maillage h tendent vers 0.

∆t

∈ RnhUn( )

n∆ttn = ∆t

Si le schéma est inconditionnellement stableThéorème (stabilité)

Si le schéma est stable ssiθ < 1/2

θ ≥ 1/2∆th2 ≤ 2

C(Ω)(1− 2θ)

Convergence

La preuve n’utilise pas la méthode de Fourier Preuve étudiée en MAP-ANN2

On cherche solution de

Equations paraboliques

u

Un( )n

MUn+1 − Un

∆t +K(θUn+1 + (1− θ)Un

)= θL(tn+1) + (1− θ)L(tn)Un+1Un+1

UnUn

n∆ttn =

∀n ∈ N, n∆t ≤ T

= U0U0

∈ RnhUn( )

Soit ∀n ∈ N, n∆t ≤ T Unj=

nh∑

j=1wjunh

où une base de (��, . . . ,���) Vh ⊂ H10(Ω)

Si dans et si et h tendent vers 0 en respectant la condition de stabilité alors

Théorème (convergence)limh→0

u0h = u0 L2(Ω) ∆t

lim(h,∆t)→0

maxn<NT

∥u(·, tn)− unh∥L2 = 0

∆t

Convergence

Equations paraboliquesAlgorithme de calcul

un∆ttn =

(2) Initialisation = U0U0

∆t

(1) Calcul des matrices élements finis et (i) Assemblage(ii) Pseudo-élimination

KM

(M+∆tθK) Un+1 = (M−∆t(1− θ)K) Un

+∆tθL(tn+1) +∆t(1− θ)L(tn)

(ii) Résolution du système linéaireUn+1

(i) Calcul du second membre au temps tn+1

Li(tn+1) =∫

Ωf(·, tn+1)wi dΩ

(3) Boucle sur chaque pas de temps, n ∈ !1,NT − 1"

Ω1

Ω2

Equations paraboliquesSimulation numérique

u

Exemple du TP2

K =K1 in Ω1K2 in Ω2

�T�t � div(K(x)�T) = SS dans Ω , ∀t ∈ [0,T]T T

T(x, t = 0) = T0(x) dans ΩTsur u = 0 �Ω,, ∀t ∈ [0,T]TΓT

Equations paraboliquesSimulation numérique

u

Exemple du TP2

Ω1

Ω2

EF P1 + schéma implicite

h=0.1 ∆t = 0.01

Ω1

Ω2

Equations paraboliquesSimulation numérique

u

Exemple du TP2 EF P1 + schéma implicite

h=0.02 ∆t = 0.01

Régularité de la solution

Décroissance de l’énergie

Propagation à vitesse infinie

Equations paraboliquesSimulation numérique

u

Exemple du TP2 EF P1 + schéma explicite

h=0.1 ∆t = 0.001

condition CFL non respectée

Ω1

Ω2

(xi, yj)xi = x0 + i∆xyj = y0 + j∆y

Approximation

et op. d’approx. de A et L Ah LhAhuh(xi, yj, tn) = f(xi, yj, tn)Lhuh(xi, yj, tn) = g(xi, yj, tn)

uhuh

Equations paraboliquesDifférences finies vs Elements finis

u

Différences finies Eléments finisFormulation ponctuelle (éq d’équilibre)

Au(x, y; t) = f(x, y; t)Lu(x, y; t) = g(x, y; t)

dans Ωsur ∂Ω

uu

On essaie d’approcher u pontuellement. u(xi, yj) ∼ ui,j

Idée générale

u u

Formulation intégrale (éq énergétique)

u ∈ Va(u, v) = l(v), ∀v ∈ V

Trouver uu

Idée généraleOn essaie d’approcher u globalement.

Vh ∼ V

espace d’approx. de

Approximation �

�T� = �T�

Vh V

a(uh, vh) = l(vh), ∀vh ∈ VhTrouver uh � Vhuhuh

△u(xi, yj)ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

∆x2ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

∆y2

∼Exemple

u u u u

uuu−

−

−Exemple

∫

Ω∇u ·∇v

∫

Ω∇uh ·∇vh∼

Vh espace d’EF de Lagrange P1

conduit à des systèmes linéaires creux

méthode simple à mettre en oeuvre

la géométrie doit être simple (rectangulaire)

les conditions aux limites doivent être simples

plus difficile de monter en ordre...

conduit à des systèmes linéaires creux

pas de restriction sur la géométrie

la prise en compte de toutes conditions aux limites est

simple et systèmatique

méthode plus complexe conceptuellement...

... mais facile à adapter pour monter en ordre

Equations hyperboliquesProblèmes issus de la physique

Ondes et vibrations : mouvement d’une corde ou d’une surface vibrante (modélisation des instruments de musique)

densité de la membrane tension de la membrane source (si la membrane est frappée)

dans Ω, ∀t > 0σ∂2u∂t2 − T△u = fu u

x la variable d’espace, t le tempsle déplacement latéral de la membraneu

Equations hyperboliquesProblèmes issus de la physique

Ondes et vibrations : mouvement d’une corde ou d’une surface vibrante (modélisation des instruments de musique)

x la variable d’espace, t le tempsle déplacement latéral de la membraneu

dans Ω, ∀t > 0σ∂2u∂t2 − T△u = fu u

sur , ∀t > 0�si la membrane est fixée... u = 0usur ∂Ω \ Γ, ∀t > 0CL de type surface libre ∇u · n = 0u

u(x, t)

dans Ωécart de position u(x, t = 0) = u0(x)u∂tu(x, t = 0) = u1(x)écart de vitesse dans Ωu

Equations hyperboliquesProblèmes issus de la physique

Elasticité linéaire (mécanique des milieux continus) : elle concerne les petites déformations d’un objet

� =12

�� u + (� u)��

Déformation (gradient symétrisé) � u u

dans Ω, ∀t > 0��2u�t2 � � · � = fconservation de la quantité de mvtu

�

� = �Tr(�)I + 2µ� = A : �loi de comportement de Hooke � � � �

masse volumique

source

coefficients de Lamé

u champ de déplacement � tenseur de contraintesx la variable d’espace, t le temps

Problèmes issus de la physiqueElasticité linéaire (mécanique des milieux continus) : elle concerne les petites déformations d’un objet

��2u�t2 � � · � = f

� =12

�� u + (� u)��

� = �Tr(�)I + 2µ� = A : ��

�

u

u u

�

� � �

u champ de déplacement � tenseur de contraintesx la variable d’espace, t le temps

Equations hyperboliques

dans Ω, ∀t > 0conservation de la quantité de mvt

loi de comportement de Hooke

Déformation (gradient symétrisé)

� · n = 0�CL de type surface libre sur , ∀t > 0∂Ω \ Γsur , ∀t > 0�u = 0uCL de type encastrement u

2 conditions initiales dans ∂tu(x, t = 0) = u1(x)u(x, t = 0) = u0(x) Ωuu

Equations hyperboliquesProblèmes issus de la physique

Acoustique linéaire : l’onde sonore dans un fluide est définie à partir de la pression acoustique et la vitesse des particules

x la variable d’espace, t le tempsp pression du fluide

quand le fluide est en plus en écoulement : aéroacoustique

Equations de Maxwell : étude des phénomènes électromagnétiques (équations vectorielles)

et les champs électrique et magnétiquex la variable d’espace, t le tempsE H

Equations hyperboliquesProblème modèle

On cherche u solution de l’EDP hyperbolique modèle

ΩA quel espace appartient u ? Le problème est-il bien posé ?

Comment en calculer une approximation ?Convergence de l’approximation?

plus de détails en MAP ANN 2

où c est la vitesse de propagation supposée constanteff � L1(0,T; L2(Ω)) , etuu0 � H10(Ω) u1 � L2(Ω)u

�2u�t2 � c2�u = f dans Ωf

0 sur u = 0u

uu �Ω,

u(x, t = 0) = u0(x)u dans Ω

, ∀t ∈ [0,T], ∀t ∈ [0,T]

�tu(x, t = 0) = u1(x)u dans Ω

Problème modèle

u

Théorème : La solution existe et est unique

Chercher u dans

solution de

∀v ∈ H10(Ω)

u(x, t = 0) = u0(x)u dans Ω

C0(0,T;H10(Ω)) ∩ C1(0,T; L2(Ω))d2dt2

∫

Ωu vdΩ+ c2

∫

Ω∇u ·∇vdΩ =

∫

Ωf(·, t)v dΩ ,uu

�tu(x, t = 0) = u1(x)u dans Ωoù ff � L1(0,T; L2(Ω)) , etuu0 � H10(Ω) u1 � L2(Ω)u

Equations hyperboliques

Continuité de la solution par rapport aux données

Chercher u dans

solution de

∀v ∈ H10(Ω)

u(x, t = 0) = u0(x)u dans Ω

C0(0,T;H10(Ω)) ∩ C1(0,T; L2(Ω))d2dt2

∫

Ωu vdΩ+ c2

∫

Ω∇u ·∇vdΩ =

∫

Ωf(·, t)v dΩ ,uu

�tu(x, t = 0) = u1(x)u dans Ω

Problème modèle

u

où ff � L1(0,T; L2(Ω)) , etuu0 � H10(Ω) u1 � L2(Ω)u

Equations hyperboliques

Conservation de l’énergie

Conservation de la régularité

Vitesse de propagation finie

Approximation de GalerkinSemi-discrétisation en espace

u

Soit une base de (��, . . . ,���) ��

Soit un espace de dimension finie . Vh ⊂ H10(Ω) �� < +�

�� ��En décomposant dans cette base�� (·, t) =nh�

j=1(t)wj

M d2dt2U+ c2KU = L

Le système matriciel équivalent est

U U

Mij =∫

Ωwj wi dΩ

Li(t) =∫

Ωf(·, t)wi dΩ =(t)Ui ui (t)

où

(t)Kij =

∫

Ω∇wj ·∇wi dΩ

Théorème : Il existe une unique solution U ∈ C1(0,T;Rnh)

Equations hyperboliques

dtU(t = 0) = U1

Soit une base de (��, . . . ,���) ��

Approximation de GalerkinSoit un espace de dimension finie . Vh ⊂ H10(Ω)

Semi-discrétisation en espace

u

�� < +�

�� ��En décomposant dans cette base�� (·, t) =nh�

j=1(t)wj

Le système matriciel équivalent est

Système différentiel du 2eme ordre en temps⇒

UU(t = 0) = U0

Usont construits à partir de etu0hU0où U1et u1h

Equations hyperboliques

M d2dt2U+ c2KU = LU U (t)

Discrétisation totale (schéma saute mouton)

u

Proposition (consistance) Le schéma est d’ordre 2 en temps et en espace

On cherche solution deUn( )n ∀n ∈ N, n∆t ≤ T ∈ RnhUn( )

n∆ttn = ∆t

MUn+1 − 2Un + Un−1

∆t2 + c2KUn = L(tn)Un+1 UnUnUn−1

U0, U1 donnés

Equations hyperboliques

Théorème (convergence)Sous des hypothèses sur la régularité de u et le schéma de démarrage, le schéma converge sous la condition CFL.

Théorème (stabilité) Le schéma est stable ssi c2∆t2

h2 ≤ 4cste(Ω) (CFL)

Equations hyperboliquesAlgorithme de calcul

un∆ttn = ∆t

(1) Calcul des matrices élements finis et (i) Assemblage(ii) Pseudo-élimination

KM

(i) Calcul du second membre au temps tn+1

Li(tn+1) =∫

Ωf(·, tn+1)wi dΩ

(3) Boucle sur chaque pas de temps, n ∈ !1,NT − 1"(2) Initialisation = U0U0 MU1 = MU0 +∆tMU1U1et +...

(ii) Résolution du système linéaire

MUn+1 = (2M− c2∆t2K)Un −MUn−1 +∆t2L(tn)Un+1

Simulation numérique

u

Equations hyperboliquesModélisation de la timbale 1. Mouvement de la mailloche (mécanique du solide)

Simulation numérique

u

Equations hyperboliquesModélisation de la timbale 2. Mouvement de la peau (surface vibrante)

Simulation numérique

u

Equations hyperboliquesModélisation de la timbale 3. Propagation du son (acoustique linéaire)

On suppose que la source F est harmonique en temps

et on cherche une solution U elle même harmonique

Motivation

u

Equation de Helmholtz

Soit U solution de l’EDP hyperbolique modèle

u = 01c2

∂2U∂t2 −△U = F dans Ω

0 sur UU �Ω, t ∈ R

, t ∈ RU

U(x, t) = Re (u(x)eıωt)U u

Ω

u est alors solution de l’équation de Helmholtz

−ω2

c2 u−△u = f dans Ωsur �Ω,0u = 0u

uu

Remarque : f et u sont à valeurs complexes.On les suppose dans la suite à valeurs réelles.

F(x, t) = Re (f(x)eıωt) ( f ∈ L2(Ω) )

Formulation variationnelle

u

Equation de Helmholtz

Ω

Ce problème est équivalent à la formulation variationnelleu ∈ H10(Ω)∫

Ω∇u ·∇v dΩ− ω2

c2∫

Ωuv dΩ =

∫

ΩfvΩ, ∀v ∈ H1

0(Ω)Trouver u

u u

Question : Ce problème est il bien posé? est un espace de Hilbert muni de la normeH10(Ω) H1La forme linéaire est continue sur H10(Ω)La forme bilinéaire a définie par

a(u, v) =∫

Ω∇u ·∇v dΩ− ω2

c2∫

Ωuv dΩ

est continue.Est elle coercive ?

Formulation variationnelle

u

Equation de Helmholtz

Ω

Ce problème est équivalent à la formulation variationnelleu ∈ H10(Ω)∫

Ω∇u ·∇v dΩ− ω2

c2∫

Ωuv dΩ =

∫

ΩfvΩ, ∀v ∈ H1

0(Ω)Trouver u

u u

Question : Ce problème est il bien posé?

a(v, v) =∫

Ω|∇v|2 dΩ− ω2

c2∫

Ω|v|2 dΩ

Inégalité de Poincaré : ∃Cp > 0, ∀v ∈ H10(Ω),

∫

Ω|v|2 dΩ ≤ Cp

∫

Ω|∇v|2 dΩ

a(v, v) ≥ 1− Cpω2/c21+ Cp ∥v∥2H1(Ω)soit

1− Cpω2/c2 > 0Si a est coercive !!!

Formulation variationnelle

u

Equation de Helmholtz

Ω

Ce problème est équivalent à la formulation variationnelleu ∈ H10(Ω)∫

Ω∇u ·∇v dΩ− ω2

c2∫

Ωuv dΩ =

∫

ΩfvΩ, ∀v ∈ H1

0(Ω)Trouver u

u u

Théorème Si ce problème est bien posé.1− Cpω2/c2 > 0et sinon ?

⇒ ∃� ∈ ���(�), �(�, �) = �

Formulation variationnelle

u

Equation de Helmholtz

Ω

Ce problème est équivalent à la formulation variationnelleu ∈ H10(Ω)∫

Ω∇u ·∇v dΩ− ω2

c2∫

Ωuv dΩ =

∫

ΩfvΩ, ∀v ∈ H1

0(Ω)Trouver u

u u

Théorème Si ce problème est bien posé.1− Cpω2/c2 > 0et sinon ?

(0,0)

(2,2)

Exemple supposons �2/c2 > 2π2

a(vn,p, vn,p) = (n2 + p2)π2 − ω2/c2alorssoit vn,p(x, y) = sin(nπx) sin(pπy) ∈ H1

0(Ω)

a(v1,1, v1,1) = 2π2 − ω2/c2 < 0pour n=p=1a(vn,p, vn,p) > 0pour n et p assez gd

a n’est pas coercive!!!

Théorème L’alternative de Fredholm permet d’établir que ce problème est bien posé sauf pour une quantité dénombrable de fréquences . ω

Formulation variationnelle

u

Equations de Helmholtz

Ce problème est équivalent à la formulation variationnelleu ∈ H10(Ω)∫

Ω∇u ·∇v dΩ− ω2

c2∫

Ωuv dΩ =

∫

ΩfvΩ, ∀v ∈ H1

0(Ω)Trouver u

u u

Ω

On utilise un autre cadre théorique.

plus de détails en MAP ANN 2

Peut on calculer une approximation de u?Convergence de l’approximation?

On va effectuer la discrétisation de manière formelle.

Equations de Helmholtz

KU− ω2

c2 MU = L

Soit une base de (��, . . . ,���) ��

Approximation de GalerkinSoit un espace de dimension finie . Vh ⊂ H10(Ω)

Discrétisation

u

�� < +�

�� ��En décomposant dans cette base��Le système matriciel équivalent est

U U

Mij =∫

Ωwj wi dΩ

=

où Kij =∫

Ω∇wj ·∇wi dΩ

Li =∫

Ωfwi dΩ Ui ui

=���

�=���

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

= 1ω

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

= 1.5ω

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

= 2ω

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

= 2.2ω

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

= 2.2224ω

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

= 2.3ω

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

= 2.5ω

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

= 3ω

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0u

Equations de HelmholtzSimulation numérique

u

Exemple du TP3

dans Ω−ω2 u−△u = fu u

sur �Ω,0u = 0uAh(ω) = −ω2M+K

ω !→ (Ah(ω))−1

Compte rendu du TP à rendre le 14/11 à vos chargés de Td

u

��v�t � ���v + (�v0 · �)�v = f � 1

��ppvv v dans Ω, ∀t > 0

div v = 0v dans Ω, ∀t > 0v(·, t) = vΓ(t)v sur , ∀t > 0��v · n = gv sur ∂Ω \ Γ, ∀t > 0

v(x, t = 0) = v0(x)v dans Ωg

Plus difficile que précédemment

Il existe des méthodes numériques basées sur un cadre plus général que celui du th. de Lax Milgram (EF mixtes)

introduits en MAP ANN 2

Mécanique des fluides (vers des méthodes plus complexes...)

Systèmes couplés

Systèmes couplésSimulation numérique

u

Interaction fluide-structure (vers des méthodes plus complexes...)

A retenirProblèmes en régime temporel

Equations paraboliques (de type équation de la chaleur)

Equations hyperboliques (de type équation des ondes)

La discrétisation en espace peut se faire par EF, la discrétisation en temps par DF (attention à la condition CFL si elle existe)

Problèmes en régime harmonique (de type équation de Helmholtz)

Le problème est toujours bien posé sauf pour une quantité dénombrable de fréquences . Pour ces fréquences, pas de convergence de la méthode EF!