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La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea
de Matemtica
Gustavo Cruz Ampuero gcruz@colegiosperuanos.edu.pe
Esquema
1. Introduccin
2. La Oportunidad de Aprendizaje (ODA)
3. La Demanda Cognitiva
3.1 Propuesta de Stein
3.2 Propuesta de PISA
4. Hallazgos y necesidad de inclusin de la demanda cognitiva en el
bagaje profesional del docente del rea de matemtica en el
Per
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 2
Introduccin
Los sistemas educativos que consiguen mejores resultados en
sus estudiantes vienen trabajando el rea de matemtica de
una manera muy distinta a la tradicional y que an persiste en
nuestro pas.
As, se tienen propuestas como las del NCTM (el enfoque
centrado en la resolucin de problemas), la de la prueba PISA
(enfoque fenomenolgico de Freudenthal), el EOS (Godino),
entre otros.
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Introduccin
Estas propuestas presentan como denominador comn:
El entendimiento de la educacin matemtica de una manera
ms compleja, ms all de simplemente los contenidos.
Toman el concepto de proceso cognitivo (con diferentes
nombres).
Consideran la importancia de la relevancia de las situaciones
propuestas a los estudiantes.
Incorporan una diferente concepcin de matemtica a la
tradicional.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 4
Introduccin
En particular, toman a la matemtica como una ciencia en
permanente cambio y expansin.
A la educacin matemtica como una propuesta para que los
estudiantes desarrollen competencias, donde incluyen
procesos de pensamiento.
Asimismo, en sus bases se identifica una manera de entender
el aprendizaje como un proceso en el que el estudiante (o el
grupo de estudiantes) tiene un rol activo.
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Introduccin
La presente propuesta se formula desde lo que Skemp llama
matemtica relacional:
una matemtica que privilegia los procesos de pensamiento para que
el estudiante pueda apropiarse de ellos y paulatinamente usarlos en
las vastas y muy variadas situaciones que le demanda el mundo actual.
Se contrapone a la concepcin tradicional de la matemtica (matemtica
instrumental):
Que considera a la matemtica como un conjunto ordenado de
conocimientos que el estudiante debe aprender para emplearlos en
las situaciones ad hoc que se le plantean en la clase.
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LA OPORTUNIDAD DE APRENDIZAJE (ODA)
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La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 7
ODA
Los estudios realizados en el TIMSS (1996) la presentan como
un factor importante a considerar para conocer la calidad de
un sistema educativo.
Calidad Educativa: la medida en la que la totalidad de estudiantes alcanzan las metas de aprendizaje propuestas.
La ODA, entonces, puede ser entendida como el conjunto de
situaciones de aprendizaje a las que ha tenido acceso el
estudiante.
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Diferentes niveles del Currculo
Para presentar el modelo, se apela a la definicin de tres tipos
de currculo:
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 9
C. Intencional
C. Implementado
C. Aprendido
Componentes de la ODA
Actualmente, a la ODA se le reconocen factores considerados
como importantes en diversos estudios, tales como:
La cobertura curricular: se refiere al grado en que los docentes
desarrollan las competencias, capacidades y contenidos de la
estructura curricular.
La demanda cognitiva: Nivel de complejidad que demanda una
tarea a partir del tipo de habilidad cognitiva que se exige al
estudiante.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 10
LA DEMANDA COGNITIVA
3
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 11
La Demanda Cognitiva
Se entiende la demanda cognitiva como la caracterizacin que
se hace de las tareas que se proponen al estudiante, segn la
complejidad de los procesos cognitivos involucrados en la
resolucin de dicha tarea.
Es la clasificacin de las tareas segn los procesos intelectuales
que debe emplear el estudiante para resolverla.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 12
Tarea: cada una de las actividades que se le proponen al estudiante dentro del desarrollo del rea. No se refiere en especfico a las tareas para la casa ni a las tareas para el cuaderno, aunque quedan incluidas.
3.1 Clasificacin de Stein
Tareas de baja
demanda cognitiva
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Tareas de Alta
demanda cognitiva
Las tareas de baja demanda cognitiva
Se subdividen en:
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Tareas de
memorizacin
Procedimientos
sin conexiones
Ejemplos de tareas de baja demanda cognitiva
Halla:
Cmo se llama, segn su
nmero de trminos, un
polinomio completo de
segundo grado?
Dos magnitudes pueden ser
directa o ..
proporcionales.
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Tareas de memorizacin
Qu es un nmero primo?
(oralmente) 8 x 4 =
Qu es el permetro?
Cunto suma la medida
de los ngulos de un
tringulo?
Las tareas de baja demanda cognitiva
Reproduccin de datos, reglas, frmulas o definiciones previamente
aprendidas.
No pueden ser resueltas utilizando procedimientos pues el
procedimiento no existe o el tiempo es demasiado corto.
No son ambiguas: tareas que incluyen una reproduccin exacta de
material visto previamente y que es reproducido clara y directamente
segn el enunciado.
No tienen conexiones con conceptos o significados subyacentes a los
datos, reglas, frmulas o definiciones aprendidos o evocados.
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Tareas de memorizacin
Ejemplos de tareas de baja demanda cognitiva
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Halla la generatriz de: 0,33
Escribe 407 en el tablero posicional
Efecta:
Calcula el promedio de: 7; 12 y 8
Resuelve: 23 + 8 + 398.
Halla el cociente de:
Procedimientos sin conexiones
Ejemplos de tareas de baja demanda cognitiva
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Procedimientos sin conexiones
Las tareas de baja demanda cognitiva
Son algoritmos cuyo uso
es requerido por la tarea
o basado en
aprendizajes previos,
experiencias o dado por
la tarea.
Existe una pequea
ambigedad acerca de lo
que se requiere hacer y
sobre cmo hacerlo.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 19
Procedimientos sin conexiones
No tienen conexin con conceptos o
significados subyacentes a los
procedimientos usados.
Centrados en obtener una respuesta
correcta ms que en desarrollar la
comprensin de las nociones
involucradas.
Requieren explicaciones que se
enfocan nicamente en descubrir el
proceso usado.
En general, las tareas de baja demanda cognitiva
Constituidas tanto por la
memorizacin de
informacin, como por la
ejecucin de los llamados
procedimientos sin
conexiones.
Son las tareas rutinarias que
se aprenden por repeticin.
Para su ejecucin no es
necesaria la comprensin de
las nociones involucradas, ni
las razones, contextos o
lmites de su uso.
Solo es necesario aprender
el procedimiento para
ejecutarlas.
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Tareas de Alta demanda cognitiva
Procedimientos con conexiones
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Hacer matemtica
Ejemplos de tareas de alta demanda cognitiva
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 22
Pinta de amarillo los nmeros, segn la secuencia:
Qu observas? Hay alguna regularidad en los nmeros pintados?
Qu nmeros han sido pintados?
Qu nmeros han sido dejados sin pintar?
Procedimientos con conexiones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ejemplos de tareas de alta demanda cognitiva
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 23
Pinta de rojo los nmeros, segn la secuencia:
Qu observas? Hay alguna regularidad en los nmeros pintados?
Qu nmeros han sido pintados?
Fjate en las cifras de los nmeros de cada diagonal
Procedimientos con conexiones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Ejemplos de tareas de alta demanda cognitiva
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 24
Procedimientos con conexiones La siguiente figura representa
los 5/4 de la unidad. Cul es
la unidad?
(Penalva, 2011)
Enfocan la atencin en el uso
de procedimientos destinados
a desarrollar niveles ms
profundos de comprensin de
conceptos e ideas
matemticas.
Sugieren vas que constituyen
una extensin de
procedimientos generales con
conexiones cercanas a ideas
conceptuales subyacentes.
Las tareas de alta demanda cognitiva
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 25
Procedimientos con conexiones
Se representan de mltiples
formas (por ejemplo: diagramas visuales, manipulativos, smbolos,
situaciones problemticas).
A pesar de que se sigan procesos
generales, no pueden ser
resueltos descuidadamente.
Se necesita conectar las ideas
conceptuales que subyacen a los
procedimientos, a fin de
completar exitosamente la tarea y
desarrollar su compresin.
El equipo de bsquet est conformado
por:
Hoy, Carlos (170 cm) se integra al
equipo. Su inclusin aumentar o
disminuir la estatura promedio del
equipo? Por qu?
Nombre Estatura (cm)
Pancho 180
Daniela 165
Csar 150
Martha 170
Rosa 155
Ejemplos de tareas de alta demanda cognitiva
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 26
Hacer matemtica
Ordena los nmeros en la
serpiente, de manera que
cada tres sumen 13.
Con tres palitos de
madera, se puede formar
un tringulo:
Siempre
A veces
Nunca
Justifica tu respuesta.
Ejemplos de tareas de alta demanda cognitiva
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Hacer matemtica
Sombrea 6 cuadrados pequeos en un rectngulo de
4 x 10. Usando el rectngulo, explica cmo se
determina cada una de las siguientes preguntas:
a) El porcentaje del rea sombreada.
b) La expresin decimal del rea sombreada.
c) La fraccin que representa el rea sombreada
(Cueto , 2003. Pg. 63)
Las tareas de alta demanda cognitiva
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Requieren un pensamiento complejo y no
algortmico (no existe una va predecible, una aproximacin bien realizada, una va dada por la
tarea, la instruccin o un ejemplo trabajado).
Llevan a explorar y entender la naturaleza
de los conceptos, procedimientos o
relaciones matemticas.
Demandan monitoreo y autorregulacin de
los procesos cognitivos.
Llevan a conocimientos y experiencias
relevantes, y a hacer un uso adecuado de
ellos a travs de la tarea.
Hacer matemtica Requieren que se analice
la tarea y examine para
delimitar las posibles
estrategias de solucin.
Pueden involucrar cierto
nivel de ansiedad para el
estudiante, debido a la
naturaleza impredecible
del proceso de solucin
que se necesita.
3.2 Clasificacin de PISA: Grupos de competencia
Reproduccin
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 29
Conexiones
Reflexin
Ejemplo del grupo Reproduccin
Calcula: 5 + 3 x 7
Resuelve la ecuacin: 7x 3 = 13x + 15
Halla el promedio de: 7; 12; 8; 14; 15; 9.
Escribe 69% como una fraccin.
Si se depositan S/. 1 000 en una cuenta de ahorros de un
banco, a una tasa de inters del 4%. Cunto dinero habr en la
cuenta despus de un ao?
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 30
Reproduccin
Est referido tanto a la memorizacin como a la evocacin de informacin (datos, hechos, terminologa).
La repeticin de ejecuciones.
Actividades rutinarias, en las que el estudiante no debe hacer ninguna adaptacin al contenido involucrado.
Procedimientos sin contexto y sin conexiones, tal y como fueron enseados.
Aprendizajes que no implican la posibilidad de ser adaptados o transferidos.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 31
Ejemplos del grupo Conexiones
Mara vive a dos kilmetros del centro educativo y Martn a
cinco. A qu distancia viven uno del otro? (PISA)
Una pizzera sirve dos tipos de pizza del mismo grosor pero de
distinto tamao. La ms pequea tiene un dimetro de 30 cm, y
cuesta 30 soles. La ms grande tiene un dimetro de 40 cm, y
cuesta 40 soles. Cul de las pizzas cuesta menos? Por qu?
(PISA)
En el saln 9 nios llevaron chompa y 11 trajeron su tarea. Si hay
14 en el saln, es esto posible? Explica.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 32
Conexiones
Situaciones en las que se debe hacer ligeras adaptaciones o
establecer alguna relacin del contenido aprendido, con otros
aprendizajes.
Se presentan en un contexto algo distinto al contexto en el que
se aprendi.
Aplicar definiciones, clasificar, identificar elementos o
caractersticas, problemas rutinarios que demandan establecer
ciertas relaciones entre el contenido involucrado.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 33
Ejemplos del grupo Reflexin
En cierto pas, el presupuesto nacional de defensa es de $30 millones
para 1980. El presupuesto total de ese ao es de $500 millones. El
siguiente ao, el presupuesto de defensa es de $35 millones, mientras
que el presupuesto total es de $605 millones. La inflacin durante el
periodo cubierto por los dos presupuestos asciende al 10 por ciento.
Ha sido invitado a dar una conferencia para una sociedad pacifista. Usted trata
de explicar que el presupuesto de defensa disminuy durante este periodo.
Explique cmo hara esto.
Ha sido invitado a dar una conferencia para una academia militar. Usted trata
de explicar que el presupuesto de defensa aument durante este periodo.
Explique cmo hara esto.
(PISA)
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 34
Reflexin
Referidas a situaciones novedosas y/o complejas en las que se
debe producir una transformacin o nuevas relaciones de lo
aprendido.
Por lo general, se presentan en un contexto a partir del cual el
estudiante debe seleccionar la informacin relevante y trabajar
estableciendo nuevas relaciones entre los conceptos o sus
representaciones.
Resolver problemas novedosos y complejos, evaluar, proponer
alternativas, producir un nuevo objeto, sintetizar, definir,
justificar.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 35
HALLAZGOS Y NECESIDAD DE INCLUSIN DE LA DEMANDA COGNITIVA EN EL BAGAJE PROFESIONAL
DEL DOCENTE DEL REA DE MATEMTICA EN EL PER
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La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 36
Resultados de algunos estudios (Cueto, 2003)
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 37
Empleando las categoras de
Stein
Cuadernos de
trabajo
Cuadernos de los
estudiantes
Baja demanda
cognitiva
Memorizacin 24%
92%
23%
99% Procedimientos sin
conexiones 67% 76%
Empleando las categoras de
Stein
Cuadernos de
trabajo
Cuadernos de los
estudiantes
Baja demanda
cognitiva
Memorizacin 24%
92%
23%
99% Procedimientos sin
conexiones 67% 76%
Alta demanda
cognitiva
Procedimientos con
conexiones 8%
8%
1%
1%
Haciendo matemtica 0% 0%
Total (786) 100% (715) 100%
Resultados de algunos estudios (Cuglievan et al, 2006)
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 38
Baja, 89%
Media 11%
Alta 0%
Baja
Media
Alta
Resultados de algunos estudios (Cuglievan et al, 2006)
Trascripcin: Escribe en 10
en 10 a partir de 1 000 010,
hasta 1 300 000
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 39
El resultado son treinta mil nmeros.
Este ejercicio no es difcil, mas bien es
innecesariamente tedioso, y de baja
demanda cognitiva. Esto refleja la
concepcin del rea que maneja el
docente, la cual est centrada en los
contenidos matemticos .
Este tipo de ejercicios demanda procesos mecnicos que el estudiante resuelve usando algoritmos. Por repeticin se aprende informacin que puede ser til, sin embargo en el caso de este ejercicio, qu sentido tiene memorizar treinta mil nmeros que van de diez en diez? (Pg. 379)
Resultados de algunos estudios (Cuglievan et al, 2006)
Posibles razones de la persistencia de una matemtica tradicional:
La concepcin instrumental acerca de la matemtica, que subsiste entre los docentes y que se evidencia a partir de la reiterada prctica de procedimientos que le proponen a sus estudiantes.
La an incipiente comprensin de lo que actualmente se entiende por problema (la persistencia de entender el problema como una situacin de aplicacin de un procedimiento).
La falta de cuestionamiento a su propia concepcin de matemtica que lo lleva a reproducir las formas de aprender que el docente us durante su propia escolaridad, por sobre las propuestas didcticas que se proponen actualmente.
La concepcin del aprendizaje como un proceso ms bien repetitivo y pasivo, que debe seguir el estudiante (por sobre la actividad intelectual y la reflexin).
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 40
Inclusin de la Demanda Cognitiva
Se propone tener en cuenta la demanda cognitiva de las tareas
que se proponen a los estudiantes.
A los docente que ensean el rea de matemtica (no solo
de la especialidad).
En los tres niveles de EBR: inicial, primaria y secundaria
En los procesos de: planificacin, implementacin y
evaluacin del rea de matemtica.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 41
ALGUNOS EJEMPLOS DE TAREAS
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 42
Fases en las que se puede modificar la demanda cognitiva
Tareas tal como
aparecen en los
materiales curriculares
Tareas tal como son
interpretadas por el
profesor
Tareas tal como son
interpretadas por los
alumnos
Aprendizaje del alumno
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 43
Penalva, M. & Llenares, S. 2011
Tipos de tareas
Definicin: Un nmero oblongo, es aquel que es
el producto de dos nmeros consecutivos.
Escribe un ejemplo de un nmero oblongo, de
tres cifras.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 44
Halla el rea de un tringulo rectngulo cuya
hipotenusa mide 13 cm y su permetro, 30 cm.
Pro
po
sici
n
d
e e
jem
plo
s P
rob
lem
as
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 45
Encuentra un nmero que tenga las siguientes
caractersticas:
Tiene tres cifras
El digito central es igual a la suma de los
dgitos de las centenas y unidades
El digito de las unidades es el doble del
dgito de las centenas. Co
nst
rucc
in
d
e
ob
jeto
s
Tabla de mltiples
representaciones
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 46
Completa la tabla de
la izquierda para que
las representaciones
en cada fila sean
equivalentes.
fraccin decimal porcentaje
Grafica como
parte de la
unidad
Grfica como
parte de un
conjunto
0,25
40%
80%
El costo del vidrio para una ventana cuadrada es de S/. 12 por
dm2 y el del marco S/. 24 por dm. Halla una expresin que
calcule es costo, dada la longitud del lado (en dm).
(Adaptado de: Azcrate, C. Deulofeu, J. Funciones y Grficas. Editorial Sntesis. Espaa. 1990)
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 47
Alguno ejemplos tomados del TIMSS*
Para el dominio cognitivo de Razonamiento, se presentan los
siguientes ejemplos:
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 48
*Marcos tericos y especificaciones de evaluacin de TIMSS 2003 / Ina V.S. Mullis... [et al.]. Madrid : Ministerio de Educacin, Cultura y Deporte,
Instituto Nacional de Calidad y Evaluacin, 2002. Pg. 44.
Ej. de octavo: Los primos gemelos son nmeros primos que
tienen un solo nmero entre ellos. As, 5 y 7,
11 y 13, 17 y 19 son pares de primos
gemelos. Haz una conjetura acerca de los
nmeros que hay entre primos gemelos.
Alguno ejemplos tomados del TIMSS*
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 49
*Marcos tericos y especificaciones de evaluacin de TIMSS 2003 / Ina V.S. Mullis... [et al.]. Madrid : Ministerio de Educacin, Cultura y Deporte,
Instituto Nacional de Calidad y Evaluacin, 2002. Pg. 44.
Ej. de cuarto: Dos pintores usan dos latas de pintura para pintar una
pared. Despus tienen que usar la misma clase de
pintura para pintar una pared que es el doble de larga
y el doble de alta. Uno de los dice que necesitarn el
doble de pintura para pintar la pared. Indica si el
pintor tiene razn y aporta razones para respaldar tu
respuesta.
Alguno ejemplos tomados del TIMSS*
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea de Matemtica 50
*Marcos tericos y especificaciones de evaluacin de TIMSS 2003 / Ina V.S. Mullis... [et al.]. Madrid : Ministerio de Educacin, Cultura y Deporte,
Instituto Nacional de Calidad y Evaluacin, 2002. Pg. 45.
Ej. de cuarto: En cierto pas la gente escribe los nmeros como
sigue: 11 lo escriben , 42 es y 26 es
. Cmo escriben 37?
Ej. de octavo: Demostrar que la suma de cualesquiera dos
nmeros impares es un nmero par.
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el rea
de Matemtica
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