Post on 20-Oct-2015
1Matematika Kelas XII Program IPS
1. M e n g g u n a k a n
konsep integral dalam
pemecahan masalah
sederhana.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator
Teliti
Cermat
Teliti dalam menentukan hasil integral fungsi aljabar.
Cermat dalam menentukan batas-batas daerah untuk
dihitung luasnya.
Pada bab ini akan dipelajari:1. Integral sebagai Kebalikan dari Turunan (Antiderivatif)2. Integral Tak Tentu3. Integral Tertentu4. Integral Substitusi5. Integral Parsial6. Luas Daerah di Bawah Kurva
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
1.1 Memahami konsep in-
tegral tak tentu dan in-
tegral tentu.
1.2 Menghitung integral
tak tentu dan integral
tentu dari fungsi
aljabar sederhana.
1.3 Menggunakan integral
untuk menghitung
luas daerah di bawah
kurva.
Menentukan integral fungsi aljabar Menentukan luas daerah di bawah
kurva
Menentukan integral tak tentu
Menentukan integral tertentu
Menentukan rumus fungsi jika
diketahui turunannya
Menentukan luas daerah yang
dibatasi satu kurva
Menentukan luas daerah yang
dibatasi dua kurva
Siswa mampu menentukan integral
fungsi aljabar
Siswa mampu menentukan luas
daerah di bawah kurva
Menentukan integral dengan
metode pengintegralan
Melakukan pengintegralan dengan
metode substitusi
Melakukan pengintegralan dengan
metode parsial
Siswa mampu menentukan integral
dengan metode pengintegralan
Siswa dapat menggunakan konsep integral
dalam pemecahan masalah sederhana
Integral
2 Integral
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: b
(4x3 6x2 + 2x + 3) dx=
+ x3 + 1
+ x2 + 1 +
+ x1 + 1 + 3x + c
=
x4
x3 +
x2 + 3x + c
= x4 2x3 + x2 + 3x + c
2. Jawaban: a
dx =
dx
= (3x 4x) dx=
+ x
+ 1
+ x1 + 1 + c
=
x
x2 + c
= 6 2x2 + c
3. Jawaban: b
f(x) dx = dx= x
dx
=
+ x
+ 1 + c1
=
x
+ c1
=
x + c1
g(x) dx = 2x3 dx= 2
+ x3 + 1 + c2
=
x4 + c2
=
x4 + c2
f(x) dx + g(x) dx =
x +
x4 + c
4. Jawaban: d
f(x) = 3x2 + 6x 5 dan f(1) = 8f(x) = f(x) dx
= (3x2 + 6x 5) dx= 3
x3 + 6
x2 5x + c
= x3 + 3x2 5x + c
f(1) = 8 (1)3 + 3(1)2 5(1) + c = 8 1 + 3 + 5 + c = 8 c = 1
Jadi, f(x) = x3 + 3x2 5x + 1.
5. Jawaban: a
MC = 1.000 8x + 6x2
TC = MC dx = (1.000 8x + 6x2) dx= 1.000x 4x2 + 2x3 + c
x = 0 TC = 40.000 0 0 + 0 + c = 40.000 c = 40.000
Jadi, rumus biaya totalnya adalah
TC = 2x3 4x2 + 1.000x + 40.000.
6. Jawaban: d
(3x2 4x + 5) dx
=
+ = (23 2(2)2 + 5(2)) ((2)3 2(2)2 + 5(2))
= (8 8 + 10) (8 8 10)
= 10 (26) = 36
7. Jawaban: e
(x2 + 6x 8) dx
=
+
= (
(4)3 + 3(4)2 8(4)) (
(2)3 + 3(2)2 8(2))
= (
+ 48 32) (
+ 12 16)
= (
) (
) =
8. Jawaban: d
+ dx = 10 x2 + x
= 10
(9 + 3) (a2 + a) = 10 12 a2 a = 10 a2 + a 2 = 0 (a + 2)(a 1) = 0 a = 2 atau a = 1Jadi, salah satu nilai a adalah 1.
3Matematika Kelas XII Program IPS
9. Jawaban: c
2x + y = 3 x =
x dy =
dy
=
(3 y) dy
=
3y
y2
=
((3
) (3
))
=
(6) = 3
10. Jawaban: b
f(x) dx = 2
2f(x) dx = 2 2
f(x) dx = 2
f(x) dx = 1
f(x) dx =
f(x) dx +
f(x) dx
2 =
f(x) dx + 1
f(x) dx = 2 1 = 1
Jadi,
f(x) dx = 1.
B. Uraian
1. a. x4 dx = + x4 + 1 + c
=
x5 + c
b. dx = x3 dx
=
+ x3 + 1 + c
=
x2 + c
=
+ c
c.
dx = x dx
=
+ x
+ 1 + c
= 2x
+ c
=
+ c
d.
dx = x2 dx
= x dx=
+ x
+ 1 + c
=
x
+ c
=
x2 + c
2. a. f(x) dx = (6x2 3x + 2) dx= 6
x3 3
x2 + 2x + c
= 2x3
x2 + 2x + c
b. f(x) dx = (3x 4 ) dx= (3x 4x) dx= (3x
4x) dx
= 3
x
4
x2 + c
=
x2 2x2 + c
c. f(x) dx = (3x + 2)2 dx= (9x2 + 12x + 4) dx= 9
x3 + 12
x2 + 4x + c
= 3x3 + 6x2 + 4x + c
d. f(x) dx = (2 + 1)(3 2) dx= (6x 2) dx= (6x x
2) dx
= 6
x2
x
2x + c
= 3x2
x 2x + c
4 Integral
3. f(x) = 2x + 2y = f(x) = f(x) dx
= (2x + 2) dx= x2 + 2x + c
Kurva melalui titik (2, 5).
y = x2 + 2x + c
5 = 22 + 2(2) + c 5 = 4 + 4 + c 5 = 8 + c c = 3Jadi, persamaan kurva tersebut y = x2 + 2x 3.
4. MC = 12x 8
TC = MC dx= (12x 8) dx= 6x2 8x + c
TC(5) = 130
6(5)2 8(5) + c = 130 150 40 + c = 130 110 + c = 130 c = 20Jadi, bentuk fungsi biaya total (dalam ribuan
rupiah) adalah TC = 6x2 8x + 20.
5. a. f(x) = 4 6xf(x) = f(x) dx = (4 6x) dx
= 4x 3x2 + c
f(3) = 12 4(3) 3(3)2 + c = 12 12 27 + c = 12 c = 3
Jadi, f(x) = 3x2 + 4x + 3.
b.
f(x) dx =
(3x2 + 4x + 3) dx
=
+ + = (8 + 8 + 6) (1 + 2 3)
= 6 0
= 6
6. f(x) = 12x2 4x + 2
g(x) = 8 2x
a.
g(x) dx =
(8 2x) dx =
= (8 1) (16 4)
= 7 (20)
= 27
g(x) dx =
(8 2x) dx =
= (24 9) (8 1)
= 15 7
= 8
g(x) dx
g(x) dx = 27 8 = 19
b.
=
(12x2 4x + 2) dx
=
+ = (108 18 + 6) (32 8 4)
= 96 (44)
= 140
=
+
= 27 + 8
= 35
+
= 140 + 35 = 175
c.
= 2
5
= 2 140 5 35
= 280 175
= 105
7. a.
10r dr = 10
dr
= 10
= 4(
)= 4(32 0)
= 128
b.
(2p 5) dp =
= (22 5 2) ((1)2 5(1))
= (4 10) (1 + 5)
= 6 6
= 12
c.
+ ) dy
=
+ y2) dy
=
= (
(2)3 (2)1) (
(4)3 (4)1)
5Matematika Kelas XII Program IPS
=
++
=
++
=
= 18
d.
2)(x + 5) dx
=
+ 3x 10) dx
=
+
= 0 (
(2)3 +
(2)2 10(2))
=
20
= 2
6 20
= 23
8. a.
(4x a) dx = 12
= 12(18 3a) (2 a) = 12 16 2a = 12 2a = 4 a = 2
b.
(3 2x) dx = 14
= 14
(3a a2) (3 1) = 14 3a a2 + 4 = 14 a2 3a 18 = 0 (a + 3)(a 6) = 0 a = 3 atau a = 6Jadi, nilai a = 6.
9. y2 = 2 x x = 2 y2
a.
x dy =
(2 y2) dy
=
= ((2
) (2 +
))
= 2
+ 2
= 3
b.
(x + x2) dy
=
((2 y2) + (2 y2)2) dy
=
(2 y2 + 4 4y2 + y4) dy
=
(6 5y2 + y4) dy
=
y3 +
y5
= (6
+
) 0
= 4
10. a.
2g(x) dx = 6 2
g(x) dx = 6
g(x) dx = 3
b.
(2f(x) 3g(x)) dx
= 2
f(x) dx 3
g(x) dx
= 2(8) 3(3)
= 7
6 Integral
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
Misalkan u = x2 12
= 2x 2x dx = du
2x(x2 12)4 dx = (x2 12)4 2x dx= u4 du=
u5 + c
=
(x2 12)5 + c
2. Jawaban: c
Misalkan u = x2 6x + 2
= 2x 6
= 2(x 3)
du = 2(x 3) dx (x 3)(x2 6x + 2) dx= (x2 6x + 2)(x 3) dx= u
du
=
u du
=
(
u2) + c
=
u2 + c
=
(x2 6x + 2)2 + c
3. Jawaban: e
Misalkan u = x2 2
= 2x du = 2x dx
2x dx = 2x dx= du=
du
=
+ c
=
u + c
=
(x2 2) + c
4. Jawaban: c
Misalkan u = 3x2 + 9x 1
= 6x + 9 = 3(2x + 3)
(2x + 3) dx =
++
dx
= (3x2 + 9x 1) (2x + 3) dx=
=
du
=
2u
+ c
=
+ + c
5. Jawaban: a
8x(6x
dx
=
x(6x
6 dx
=
x(6x
d(6x 1)
=
x d
(6x
=
(x
(6x
(6x
dx)
= x(6x
(6x
6 dx
= x(6x
(6x
+ c
= x(6x
(6x
+ c
6. Jawaban: a
f(x) dx = 6Misalkan u = 5 x
= 1 dx = du
x = 1 u = 5 1 = 4x = 4 u = 5 4 = 1
f(5 x) dx=
f(u)(du)
=
f(u)(du)
=
f(u) du = 6
7Matematika Kelas XII Program IPS
7. Jawaban: b
Misalkan u = 4 2x
= 2 dx =
x = 1 u = 4 2 = 2x = 2 u = 4 4 = 0
(4 2x)4 dx =
u4
=
u4 du
=
=
(05 25)
=
(32)
= 3,2
8. Jawaban: d
Misalkan u = 3x2 2
= 6x du = 6x dx
3x(3x2 2)2 dx =
(3x2 2)2 3x dx
=
u2(
du)
=
u2 du
=
=
=
=
((3 2)3 (0 2)3)
=
(1 (8))
=
(9)
=
9. Jawaban: c
Misalkan u = 9 x3 du = 3x2 dx
du = x2 dx
dx = (9 x3) x2 dx
=
du = (2)u
+ c
=
+ c =
+ c
dx =
=
=
=
=
10. Jawaban: c
x dx=
x 4 dx
=
x(4x +
d(4x + 1)
=
x d
(4x +
=
(x
(4x +
(4x +
dx)
=
(
x (4x +
(4x +
4 dx)
=
(
x(4x +
(4x +
) + c
+ dx=
+ + =
((
2 27
243) (0
))
=
(36
+
)
=
=
= 4
B. Uraian
1. a. Misalkan u = 5 x
= 1 dx = du
dx =
(du)
= 2 u du= 2 2u
+ c
= 4 + c
8 Integral
b. Misalkan u = x2 3
= 2x 2x dx = du
2x(x2 3)3 dx = (x2 3)3 2x dx= u3 du=
u4 + c
=
(x2 3)4 + c
c. Misalkan u = 2x 3
= 2 dx =
(4x 6) dx= (2(2x 3)(2x 3) dx= 2 (2x 3) dx= 2 u
= u du=
u
+ c
=
(2x 3)2 + c
d. Misalkan u = 4 3x2
= 6x x dx =
dx = 3 (4 3x2)2 x dx
= 3 u2
=
u2 du
=
u1 + c
=
+ c
=
+ c
=
+ c
2. Misalkan u = x2 4x 1
= 2x 4 du = (2x 4) dx = 2(2 x) dx
(2 x) dx =
du
x = 0 u = 0 0 1 = 1x = 2 u = 4 8 1 = 5
dx =
4x 1)2 (2 x) dx=
( ) du
=
du
=
=
=
=
(
)
=
3. Misalkan u = x4 3x3 + 2
= (4x3 9x2) dx
+ dx=
(x4 3x3 + 2)2(4x3 9x2) dx
=
u2 du
=
=
+ = (
+
+ )
= (
)
= (
) =
4. a. x (2x 1)4 dxMisalkan
u = x
= 1
du = dxdv = (2x 1)4 dx
v = (2x 1)4 dx= (2x 1)4
d(2x 1)
=
(2x 1)4 d(2x 1)
=
(2x 1)5
=
(2x 1)5
9Matematika Kelas XII Program IPS
u dv = uv v du x (2x 1)4 dx= x
(2x 1)5
(2x 1)5 dx
=
x(2x 1)5
(2x 1)5 2 dx
=
x(2x 1)5
(2x 1)6 + c
=
x(2x 1)5
(2x 1)6 + c
b.
+ dx = (3x + 2)(x 4)
dx
Misalkan
u = 3x + 2
= 3
du = 3 dxdv = (x 4)
dx
v = (x 4) dx= (x 4) d(x 4)=
(x 4)
= 2(x 4)
u dv = uv v du
+ dx
= (3x + 2) 2(x 4)
2(x 4) 3 dx= (6x + 4) 6 (x 4)
d(x 4)
= (6x + 4) 6
(x 4)
+ c
= (6x + 4) 4(x 4) + c= (6x + 4 4x + 16) + c= (2x + 20) + c
5. a. Misalkan
u = 4x du = 4 dxdv =
dx =
dx
v =
dx
=
(1)dx
=
d(4 x)
= 2
u dv = uv v du
dx
= 4x d(2
)= 4x (2
) (2
) 4 dx
= 8x
8
(1) dx
= 8x
8
d(4 x)
= 8x
8
+ c
= 8x
+ c
Jadi, f(x) dx = 8x
+ c.
b.
f(x) dx =
= (24
) (0
)
=
+
=
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
Persamaan garis:
2x + 3y 12 = 0
3y = 2x + 12 y =
x + 4
Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y =
x +
4 dan sumbu X pada interval 1 x 3. Luasdaerah yang diarsir:
L =
( x + 4) dx
10 Integral
2. Jawaban: c
Luas daerah yang diarsir:
L =
y dx
=
(4 x2) dx
=
= (4
) (4 +
)
=
(
)
=
= 7
satuan luas
3. Jawaban: d
Luas daerah yang diarsir:
L =
y dx
=
(x2 + 3x + 10) dx
=
+ +
= (
+
+ 50) (
+
10)
=
+
+ 50 + 10
=
+
+ 60
= 42 + 36 + 60
= 54 satuan luas
4. Jawaban: c
Daerah yang diarsir dibatasi parabola
y = x2 + 1 dan sumbu X pada interval 0 x 2.Luas daerah yang diarsir:
L =
(x2 + 1) dx
=
x3 + x
= (
+ 2) 0
= 4
satuan luas
5. Jawaban: c
Daerah yang diarsir dibatasi
oleh parabola y = (3 x)2
dan sumbu X pada interval
0 x 3.Luas daerah yang diarsir:
L =
(3 x)2 dx
=
(9 6x + x2) dx
=
+
= (27 27 + 9) 0
= 9 satuan luas
6. Jawaban: d
Perpotongan kedua kurva:
Substitusikan y = ke x + y 6 = 0.
x + 6 = 0 ( )2 + 6 = 0 ( + 3)( 2) = 0 = 3 atau = 2 (tidak ada) x = 4
Y
X
y = 4 x2
3 2 1 0 1 2 3
4
Y
X
y = x2 + 3x + 10
2 10 1 2 3 4 5
10
Y
X
y =
x + y 6 = 0
0 4 6
I II
11Matematika Kelas XII Program IPS
Daerah I dibatasi oleh kurva y = dan sumbu
X pada interval 0 x 4.Luas daerah I: LI =
dx
Daerah II dibatasi oleh garis y = 6 x dan sumbu X
pada interval 4 x 6.Luas daerah II: LII =
(6 x) dx
Luas daerah yang diarsir:
L = LI + LII =
dx +
(6 x) dx
=
dx
(x 6) dx
7. Jawaban: c
Luas daerah yang diarsir:
L =
4x dx +
(6 + 5x x2) dx
= 2x2
+ 6x +
x2
x3
= (18 0) + ((36 + 90 72) (18 +
9))
= 18 + 54 31
= 40
satuan luas
8. Jawaban: b
Luas daerah yang diarsir:
L =
((4 x2) (x + 2)) dx
=
(2 x2 + x) dx
=
+
= (2(2)
(2)3 +
(2)2) 0
= 4
+ 2
=
satuan luas
9. Jawaban: c
y = x2
y = 2x
0 = x2 2x
x(x 2) = 0 x = 0 atau x = 2Diperoleh batas integrasi x = 0 dan x = 2.
Luas daerah yang diarsir:
L =
(2x x2) dx
= x2
x3
= (22
(2)3) 0
= 4
=
satuan luas
10. Jawaban: e
Daerah I pada interval 2 x 4 dan dibatasi olehgaris y
1 = x 2 dan sumbu X.
Luas daerah I:
LI =
y1 dx
=
(x 2) dx
=
= (8 8) (2 4)
= 0 (2)
= 2 satuan luas
0
Y
X3
y = 6 + 5x x2
6
y = 4x
1
6
0
Y
X
2
y = 4 x2
4
y = x + 22
Y
X
0 2 4 5
y2 = x2 6x + 8
y1 = x 2
I
II
12 Integral
Daerah II pada interval 4 x 5 dan dibatasi olehgaris y
1 = x 2 dan parabola y
2 = x2 6x + 8.
Luas daerah II:
LII
=
(y1 y2) dx
=
((x 2) (x2 6x + 8)) dx
=
(7x x2 10) dx
=
= (
50) (56
40)
= 4
(5
)
= 1
satuan luas
Luas daerah yang diarsir:
L = LI + L
II
= 2 + 1
= 3
satuan luas
B. Uraian
1. a. Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua
bagian.
Daerah I dibatasi parabola y =
x2 dan
sumbu X pada interval 0 x 2.Daerah II dibatasi garis y = 4 x dan
sumbu X pada interval 2 x 4.Luas daerah yang diarsir:
L = LI + LII
=
x2 dx +
(4 x) dx
=
x3
+ 4x
x2
= (
0) + (16 8) (8 2)
=
+ 2
= 3
satuan luas
b. Daerah yang diarsir dibatasi parabola
y = 8 2x2 dan garis y = 2 x pada interval
0 x 2.Luas daerah yang diarsir:
L =
((8 2x2) (x + 2)) dx
=
(6 2x2 + x) dx
=
+
= 12
+ 2 0
= 8
satuan luas
2. a. Daerah D dibatasi garis y = 2x, y = 3 x, dan
sumbu X.
b. Luas daerah D:
L =
2x dx +
(3 x) dx
= x2
+ 3x
x2
= (1 0) + (9
) (3
)
= 1 + 4
2
= 3 satuan luas
3. Jawaban:
Daerah D dibatasi pa-
rabola y = x2 + x + 6 dan
garis y = 2x + 4.
y = 2x + 4
y = x2 + x + 6
0 = x2 + x 2
(x + 2)(x 1) = 0 x = 2 atau x = 1Diperoleh batas pengintegralan 2 x 1.
0
Y
X3
y = 3 x
1
y = 2x
3
2
13Matematika Kelas XII Program IPS
Luas daerah yang diarsir:
L =
((x2 + x + 6) (2x + 4)) dx
=
(x2 x + 2) dx
=
x3
x2 + 2x
= (
+ 2) (
2 4)
= (1
) (3
)
= 4
satuan luas
4. a.
b. Luas daerah D
LI =
(y1 y2) dx
=
((x + 2) x2) dx
=
(x + 2 x2) dx
=
+
= (
+ 2
)
=
+
=
LII =
(y2 y1) dx
=
(x2 (x + 2)) dx
=
(x2 + x 2) dx
=
+
= (
+
4) (
+
2)
= (
2) (
+
2)
=
2 + 2
=
=
=
Luas daerah yang diarsir:
L = LI + LII
=
+
=
= 3
Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas.
5. a. Titik potong antara kedua kurva
(x + 2)2 = 10 x2
x2 + 4x + 4 = 10 x2 2x2 + 4x 6 = 0 x2 + 2x 3 = 0 (x 1) (x + 3) = 0 x = 1 atau x = 3
Y
X
x = 2y
1 = x + 2
y2 = x2
2 1 0 1 2
4
3
2
1 III
y = (x + 2)2
y = 10 x2
Y
X3 1
D
14 Integral
b. Luas daerah D
L =
((10 x2) (x + 2)2) dx
=
((10 x2) (x2 + 4x + 4)) dx
=
(6 2x2 4x) dx
=
= (6
2) (18 (
) 18)
= (3
) (18)
= 21
Jadi, luas daerah D adalah 21
satuan luas.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: a
(2x + 3) dx = + x1 + 1 + 3x + c
=
x2 + 3x + c
= x2 + 3x + c
2. Jawaban: a
x(2 + 3x) dx = (2x + 3x2) dx= 2
x2 + 3
x3 + c
= x2 + x3 + c
3. Jawaban: b
(x + 3)(3x 1) dx= (3x2 + 8x 3) dx= 3 x2 dx + 8 x1 dx 3 x0 dx=
+ x2 + 1 +
+ x1 + 1
+ x0 + 1 + c= x3 + 4x2 3x + c
4. Jawaban: c
3x3 dx = 3 x dx= 3
x
+ c
=
x4 + c
5. Jawaban: d
dx = x2 dx
= x dx=
x
+ c
=
x2 + c
6. Jawaban: c
f(x) = 4x 3f(x) = f(x) dx
= (4x 3) dx= 2x2 3x + c
f(1) = 9
2(1)2 3(1) + c = 9 2 + 3 + c = 9 c = 4Jadi, f(x) = 2x2 3x + 4.
7. Jawaban: a
f(x) = f(x) dx= (x2 + 3x 1) dx=
x3 +
x2 x + c
f(1) =
13 +
12 1 + c =
+
1 + c =
+ c =
c = 0
Jadi, f(x) =
x3 +
x2 x.
8. Jawaban: b
= 3x2 + 4x 5
Persamaan kurva:
y = (3x2 + 4x 5) dx = x3 + 2x2 5x + cKurva melalui titik (1, 2).
(1, 2) 2 = 1 + 2 5 + c c = 4
Persamaan kurva: y = x3 + 2x2 5x + 4
9. Jawaban: d
MC = 8x 5
TC = MC dx= (8x 5) dx= 4x2 5x + c
15Matematika Kelas XII Program IPS
TC(5) = 80
4(52) 5(5) + c = 80 100 25 + c = 80 75 + c = 80 c = 5Jadi, TC = 4x2 5x + 5.
10. Jawaban: d
2x(8 x2) dx =
(16x 2x3) dx
=
=
= (32 8) 0
= 24
11. Jawaban: d
1) dx =
= (32 3) (b2 b)
= 6 b2 + b
1) dx = 6 6 b2 + b = 6 b2 b = 0 b (b 1) = 0 b = 0 atau b = 1Jadi, salah satu nilai b yang memenuhi adalah 1.
12. Jawaban: d
dx = 4
ax3 dx = 4
= 4
(
) = 4
(
1) = 4
(
) = 4
= 4
4a = 36 a = 9
13. Jawaban: b
f(x) dx = 3
2g(x) dx = 4 2
g(x) dx = 4
g(x) dx = 2
(2f(x) g(x)) dx
= 2
f(x) dx
g(x) dx
= 2(3) (2)
= 8
14. Jawaban: b
(3x 2)2 dx = 8
(3x 2)2 dx =
(3x 2)2 dx = 5
(3x 2)2 dx =
(3x 2)2 dx +
(3x 2)2 dx
= 8 + (5) = 3
15. Jawaban: e
Misalkan u = 2x + 5
= 2
du = dx
dx =
du
= 3 u2 du= 3
u1 + c
=
+ c
=
+ + c
16. Jawaban: c
Misalkan u = 3x2 1
= 6x du = 6x dx
3x(3x2 1)2 dx = (3x2 1)2 3x dx= u2(
du)
=
u2 du
=
u3 + c
=
(3x2 1)3 + c
16 Integral
17. Jawaban: d
Misalkan u = 1 + 2x x2
= 2 2x = 2(x 1)
(x 1) dx =
+ dx= (1 + 2x x2)3 (x 1) dx= u3
=
u3 du
=
u2 + c
=
(1 + 2x x2)2 + c
=
+ + c
18. Jawaban: b
Misalkan u = 1 2x2
= 4x du = 4x dx
dx = (1 2x2)
(4x dx)
= u du=
u
+ c
= 2 + c
= 2 + c
19. Jawaban: c
Misalkan u = x2 3x + 8
= 2x 3 du = (2x 3) dx
dx = (x2 3x +
2(2x 3) dx
=
2 du
= 2
+
+ c
= 2 2
+ c
= 4 + c
= 4 + c
20. Jawaban: d
Misalkan u = x2 2
= 2x du = 2x dx
4x(x2 2)4 dx =
(x2 2)4 4x dx
=
u4(2 du)
= 2
u4 du
= 2
=
=
(25 (2)5)
=
(32 (32))
=
(64)
=
21. Jawaban: c
3x + dx =
+ 6x dx
=
( ) + d (3x2 + 1)
=
+
=
(
+ + )
=
(8 1)
=
22. Jawaban: c
Misalkan
u = 4x du = 4 dxdv = (x 2)3 dx
v = (x 2)3 dx= (x 2)3 d(x 2)=
(x 2)4
u dv = uv v du
17Matematika Kelas XII Program IPS
4x(x 2)3 dx= (4x)
(x 2)4
(x 2)4 (4 dx)
= x(x 2)4 (x 2)4 d(x 2)= x(x 2)4
(x 2)5 + c
=
(x 2)4 (5x (x 2)) + c
=
(4x + 2)(x 2)4 + c
23. Jawaban: d
Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (2
x)2 dan sumbu X pada interval 0 x 2.Luas daerah yang diarsir:
L =
(2 x)2 dx
=
(4 4x + x2) dx
=
+
= (8 8 +
) 0
=
satuan luas
24. Jawaban: c
Luas daerah yang diarsir:
L =
y dx
=
(x2 + 4x + 5) dx
=
+ +
= (
+ 32 + 20) (
+ 2 + 5)
= (
+ 52) (
+ 7)
=
+
+ 52 7
=
+ 45 = 21 + 45
= 24 satuan luas
25. Jawaban: c
L =
+ 4x) dx
=
= (9 + 18) (
+ 2) = 7
satuan luas
26. Jawaban: a
Tentukan titik potong antara kedua kurva
y = x2 x2 = x
y = x x2 x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 atau x = 1
L =
(x x2) dx
=
= (
) 0
=
satuan luas
27. Jawaban: e
y = 2 x2 4x 3 = 2 x2 4x 5 = 0 (x + 1)(x 5) = 0 x = 1 atau x = 5
Parabola dan garis berpotongan di titik (1, 0) dan
(5, 0).
Y
X
y = x2 + 4x + 5
8
5
1 0 1 2 3 4 5
Y
X0 1 2 3 4
y = x2 + 4x
0
Y
X
y = x2 4x 3
51
y = 22
18 Integral
Luas daerah yang diarsir:
L =
(2 (x2 4x 3)) dx
=
(x2 + 4x + 5) dx
=
(x2 4x 5) dx
=
x3 2x2 5x
= ((
50 25) (
2 + 5))
= (33
2
)
= 36 satuan luas
28. Jawaban: e
Luas daerah pada interval 0 x 1
LI =
((2 x) x2) dx
=
(2 x x2) dx
=
= (2(1)
(1)2
(1)3) 0
= 2
=
satuan luas
Luas daerah pada interval 1 x 2
LII =
(x2 (2 x)) dx
=
(x2 + x 2) dx
=
+
= (
+ 2 4) (
+
2)
=
(
)
=
satuan luas
Luas daerah yang diarsir:
L = LI + LII
=
+
=
= 3 satuan luas
29. Jawaban: c
Menentukan titik potong antara kedua kurva
y = x2 x 2
y = x + 1
0 = x2 2x 3
(x + 1)(x 3) = 0 x = 1 atau x = 3
Luas daerah yang diarsir:
L =
(y1 y2) dx =
((x + 1) (x2 x 2)) dx
=
(2x x2 + 3) dx
=
+
= (9 9 + 9) 0
= 9 satuan luas
30. Jawaban: c
Titik potong kedua kurva:
y1 = y2 6x x2 = x2 2x 2x2 8x = 0 2x(x 4) = 0 x = 0 atau x = 4
Y
X
y1 = x + 1
y2 = x2 x 2
1
1
2
0 2 3
Y
X0 2 4
y = 6x x2
y = x2 2x
6
19Matematika Kelas XII Program IPS
Luas=
((6x x2) (x2 2x)) dx
=
(8x 2x2) dx
=
= 4(4)2
(4)3 0
=
satuan luas
B. Uraian
1. a. (2x + 3)(3x 2) dx= (6x2 + 5x 6) dx= 6
x3 + 5
x2 6x + c
= 2x3 +
x2 6x + c
b. (3 2 )2 dx= (9 12x + 4x) dx= 9x 12
x
+ 4
x2 + c
= 9x 8x + 2x2 + c
2. a.
dx =
(3 2x) dx
=
= (3 1) (0 0)
= 2
b.
(12 14x + x2) dx
= 12x 7x2 +
x3
= (24 28 +
) (12 7 +
)
= 6
3. a.
y dx =
(2x + 1) dx
= x
2 + x
= (16 + 4) (1 + (1))
= 20
b.
(y2 y) dx
=
((2x + 1)2 (2x + 1)) dx
=
(4x2 + 4x + 1 2x 1) dx
=
(4x2 + 2x) dx
=
x3 + x2
= (
+ 4) 0
= 14
4. a. f(x) = mx 4f(1) = 2 m 4 = 2
m = 6Diperoleh f(x) = 6x 4f(x) = f(x) dx = (6x 4) dx
= 3x2 4x + c
f(1) = 3 3(1)2 4(1) + c = 3 3 + 4 + c = 3 c = 4
Jadi, f(x) = 3x2 4x 4.
b. f(x) dx = (3x2 4x 4) dx= x3 2x2 4x + c
5. Misalkan u = x2 x + 8
= 2x 1 du = (2x 1) dx
(6x 3) + dx= 3 + (2x 1)dx= 3 du= 3 u du= 3
u
+ c
= 2 + c
= 2u + c
= 2(x2 x + 8) + + c6. Misalkanu = x2 4x + 2
= 2x 4 du = (2x 4) dx
x = 0 u = 0 0 + 2 = 2x = 1 u = 1 4 + 2 = 1
20 Integral
dx
=
(x2 4x + 2)2 4(2x 4) dx
= 4
u2 du
= 4
= 4
= 4(
)
= 4 (
)
= 6
7.
4x(x 3)3 dxTurunan Integral
4x (x 3)3
4
(x 3)4
0
(x 3)5
4x(x 3)4 dx
=
=
=
=
+
=
+
= (1)4
(16 + 3) (1)4
(8 + 3)
=
=
= 1
Jadi,
4x(x 3)3 dx = 1
.
8. a. Titik potong kurva dengan sumbu X
x2 4x + 3 = 0
(x 1)(x 3) = 0 x = 1 atau x = 3
L =
(x2 4x + 3) dx
=
+
= ((9 18 + 9) (
2 + 3))
= (0 1
)
= 1
satuan luas
b. Titik potong kurva dengan sumbu X
8 2x2 = 0
2x2 = 8 x2 = 4 x = 2 atau x = 2L =
2x2) dx
=
= (8 2
23) (8 (2)
(2)3)
= (16
) (16 (
)
= 10
(10
)
= 21
satuan luas
9.
LI =
x3 dx
=
= (
04
(3)4)
+
3 0 3
Y
X
I
II
21Matematika Kelas XII Program IPS
= (0
)
=
satuan luas
LII simetris dengan L
I L
II =
satuan luas
Jadi, L = LI + L
II=
+
=
= 40
satuan luas
10. a. Daerah D
b. Luas daerah D
L =
(y1 y2) dx
=
((x2 + 3x + 4) (x2 3x 4)) dx
=
(2x2 + 6x + 8) dx
=
+ +
= (
+ 48 + 32) (
+ 3 8)
= (
+ 80) (
5)
=
+ 85
=
+
=
= 41
Jadi, luas daerah D adalah 41
satuan luas.
Y
X
y1 = x2 + 3x + 4
y2 = x2 3x 4
4
4
1 0 4
22 Program Linear
2. Menyelesaikan masalah
program linear.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator
Rasa ingin
tahu
Menanyakan cara membuat model matematika dari
permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan
pertidaksamaan linear dan program linear.
Pada bab ini akan dipelajari:1. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel2. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel3. Nilai optimum suatu fungsi objektif4. Model matematika dari masalah program linear5. Penyelesaian masalah program linear
2.1 Menyelesaikan sistem
pertidaksamaan linear
dua variabel.
2.2 Merancang model mate-
matika dari masalah
program linear.
2.3 Menyelesaikan model
matematika dari masa-
lah program linear dan
penafsirannya.
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
Menentukan daerah penyelesaian
sistem pertidaksamaan linear dua
variabel
Menentukan sistem pertidak-
samaan linear dua variabel dari
suatu daerah penyelesaian
Menyelesaikan sistem persamaan
linear dua variabel
Menentukan nilai optimum fungsi
objektif
Menentukan nilai optimum fungsi
objektif menggunakan metode uji
titik sudut
Menentukan nilai optimum fungsi
objektif menggunakan metode garis
selidik
Siswa dapat menyelesaikan
masalah program linear
Menyelesaikan model matematika
Menafsirkan penyelesaian model
matematika
Merancang dan menyelesaikan
model matematika masalah program
linear
Menerjemahkan dan menyelesaikan
permasalahan menggunakan
program linear
Program Linear
Mendeskripsikan dan menyelesaikan
sistem pertidaksamaan linear dua
variabel
Siswa mampu menyelesaikan
sistem pertidaksamaan linear
Siswa mampu menentukan nilai
optimum suatu fungsi
Siswa mampu menyelesaikan
masalah program linear
23Matematika Kelas XII Program IPS
4) Daerah penyelesaian di atas sumbu X, maka
y 0.Jadi, sistem pertidaksamaannya:
x 0; y 0; 3x + 2y 6; 2x + 3y 124. Jawaban: a
Garis 3x + 2y = 21 melalui titik (0,
) dan titik
(7, 0).
Daerah penyelesaian 3x + 2y 21 di kanan garisdari 3x + 2y = 21.
Garis 2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan titik
(6, 0).
Daerah penyelesaian 2x + 3y 12 di kiri garis2x + 3y = 12.
Daerah penyelesaian x 0 di kiri sumbu Y dandaerah penyelesaian y 0 di atas sumbu X.Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidak-
samaan tersebut adalah:
5. Jawaban: d
1) Garis x + y = 3 melalui titik (9, 0) dan titik (0, 3).
Daerah penyelesaian x + y 3 dibatasi garisx + y = 3 dan tidak memuat (0, 0).
2) Garis y x = 0 melalui titik (0, 0) dan titik (5, 5).
Daerah penyelesaian y x 0 dibatasi garisy x = 0 dan membuat titik (0, 3)
3) Garis 5y x = 20 melalui titik (0, 4) dan titik (5,
5). Daerah penyelesaian 5y x 20 dibatasigaris 5y x = 20 dan memuat titik (0, 0).
4) Derah penyelesaian y 0 merupakan daerahdi atas sumbu X.
Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan keempat
daerah tersebut yaitu daerah IV.
6. Jawaban: b
1) Daerah penyelesaian y 2x di kanan garisy = 2x.
2) Daerah penyelesaian 3y 2x di kiri garis3y = 2x.
3) Daerah penyelesaian 2y + x 20 di kiri garis2y + x = 20.
4) Daerah penyelesaian x + y 3 di kanan garisx + y = 3.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: b
Garis 3x 5y = 15 memotong sumbu X di titik (5,
0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 3).
Uji titik (0, 0) ke 3x 5y 15 3 0 5 0 15(bernilai benar).
Daerah penyelesaian 3x 5y 15 dibatasi garis3x 5y = 15 dan memuat titik (0, 0).
Jadi, grafik daerah
himpunan penyele-
saiannya seperti grafik
di samping.
2. Jawaban: c
Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan
titik (0, 1):
=
++
=
+
x 2y = 2 2y x = 2Titik (1, 0) pada daerah penyelesaian.
Uji titik (1, 0) ke 2y x:
2y x 0 (1) = 1 < 2Jadi, pertidaksamaannya 2y x < 2.
3. Jawaban: c
1) Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan
titik (0, 3):
+
= 1 (kali 6)
3x + 2y = 6Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian uji titik
(1, 1) ke 3x + 2y:
3(1) + 2(1) = 1 6Jadi PtLDV-nya 3x + 2y 6.
2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan
(6, 0):
+
= 1 (kali 24)
4x + 6y = 24 2x + 3y = 12Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian uji titik
(1, 1) ke 2x + 3y.
2 1 + 3 1 = 5 < 12Jadi, PtLDV-nya 2x + 3y 12
3) Daerah penyelesaian di kanan sumbu Y,
maka x 0.
X
Y
0 5
3
Y
X
7 6 0
4
24 Program Linear
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
Dari gambar terlihat daerah penyelesaian ber-
bentuk segi empat.
7. Jawaban: b
1) Garis x 3y = 3 melalui titik (3, 0) dan titik
(0, 1).
Uji titik (0, 0) ke x 3y 3:0 3 0 3 (bernilai salah)Daerah penyelesaian x 3y 3 dibatasigaris x 3y = 3 dan tidak memuat titik (0, 0).
2) Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan titik
(0, 4).
Uji titik (0, 0) ke 3x + 4y 12:3 0 + 4 0 12 (bernilai benar)Daerah penyelesaian 3x + 4y 12 dibatasigaris 3x + 4y = 12 dan memuat titik (0, 0).
3) Daerah penyelesaian yang memenuhi y 0di atas sumbu X.
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
Daerah yang diarsir berbentuk segitiga.
Panjang alas = AC = 3 1 = 2
Garis x 3y = 3 dan 3x + 4y = 12 berpotongan di
titik B.
3x + 4y = 12 1 3x + 4y = 12
x 3y = 3 3 3x 9y = 9
13y = 21
y =
x =
Diperoleh koordinat B (
,
).
Tinggi segitiga = xB =
L =
a t
=
AC xB
=
2
=
= 1
Jadi, luas daerah yang diarsir 1
satuan.
8. Jawaban: e
a.
ABCD berbentuk trapesium.
Luas ABCD =
AB(AD + BC)
=
5(3 + 6)
= 22
satuan
b.
ABCD berbentuk layang-layang.
Luas ABCD =
AC BD
=
7 4 = 14 satuan
c.
ABCD berbentuk persegi.
Y
X0
10
3
3 20
y = 2x
3y = 2x
2y + x = 20
x + y = 3
Y
X
x 3y = 3
3
3x + 4y = 12
4
C
1B
A
3
0
Y
X
A
B C
D3
0 12
2
y = 3
y = 2
Y
X
A
B
C
D4
2
2x + y = 2
2x 5y = 4
0
Y
X
A
B
C
D5
3
2
0 1 32
2x 3y = 13
2x 3y = 0
3x + 2y = 13
3x + 2y = 0
25Matematika Kelas XII Program IPS
Luas ABCD = AB BC
= = 13 satuan
d.
ABCD berbentuk segitiga.
Luas ABCD =
BC AD
=
8 5 = 20 satuan
e.
ABCD berbentuk belah ketupat.
Luas ABCD = AB BC
=
= 12 satuan
9. Jawaban: b
1) Pada pilihan a, d, dan e, titik (1, 2) dan (2, 1)
tidak memenuhi pertidaksamaan y 0 karena2 < 0 dan 1 < 0.
2)
Titik (1, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 1) di dalam daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan pilihan b.
3) Pada pilihan c, titik (1, 2) tidak memenuhi
pertidaksamaan 5x 3y 15 karena5 1 3(2) = 11 15.
Jadi, sistem pertidaksamaan yang benar pilihan b.
10. Jawaban: c
a.
Daerah penyelesaian berbentuk jajargenjang.
b.
Daerah penyelesaian berbentuk segi empat.
c.
Daerah penyelesaian berbentuk belah
ketupat.
d.
Daerah penyelesaian berbentuk layang-
layang.
Y
X
A
B C
3
0 5
2
x y = 1
y = 2
5x + 3y = 19
Y
X
A
B
C
D
4
04 2
2
3x 2y = 2
3x + 2y = 23x 2y = 14
3x + 2y = 10
Y
X4 3 2 1 1 2 3
5x 3y = 15
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
3x + 5y = 15
3x + 4y = 12
Y
X
3x + 2y = 4
y = 1
y = 2
3x + 2y = 11
1
2
2 0 3 5
Y
X
2x 3y = 6
2x + 3y = 62x 3y = 18
2x + 3y = 6
6 3 0
4
2
Y
X
y = 2
x + 3y = 4
2x y = 2x = 4
4 0 2
2
2
Y
X
y x = 0
2x 5y = 20
2x + 5y = 0
x + y = 4
2 0 5
2
4
26 Program Linear
Y
X
y = 1
y = 2
x + y = 13x y = 13
5 4 0 3
1
2
e.
Daerah penyelesaian berbentuk trapesium.
Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyele-
saiannya berbentuk belah ketupat pilihan c.
B. Uraian
1. 1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan
titik (2, 0):
=
=
2y + 6 = 3x 3x 2y = 6Daerah penyelesaian di kanan garis 3x 2y =
6, maka pertidaksamaannya 3x 2y 6.2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan
titik (6, 0):
=
=
6y 24 = 4x 2x + 3y = 12Daerah penyelesaian di kiri garis 2x + 3y =
12, maka pertidaksamaannya 2x + 3y 12.3) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan
titik (2, 0):
=
+=
2y + 6 = 3x 3x 2y = 6Daerah penyelesaian di kiri garis 3x 2y = 6,
maka pertidaksamaannya 3x 2y 6.4) Daerah penyelesaian di kanan sumbu Y dan
di atas sumbu X maka x 0 dan y 0.Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah:
3x 2y 62x + 3y 123x 2y 6
y 0x 0
2. a. 1) Garis x y = 2 melalui titik (0, 2) dan
titik (2, 0).
Daerah penyelesian x y 2 dibatasigaris x y = 2 dan memuat titik (0, 0).
2) Garis 2x + 3y = 16 melalui titik (0,
)
dan titik (8, 0).
Daerah penyelesaian 2x + 3y 16dibatasi garis 2x + 3y = 16 dan memuat
titik (0, 0).
3) Garis x y = 3 melalui titik (0,3) dan
titik (3, 0).
Daerah penyelesaian x y 3 dibatasigaris x y = 3 dan memuat titik (0, 0).
4) Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (0, 2) dan
titik (3, 0).
Daerah penyelesaian 2x + 3y 6 dibatasigaris 2x + 3y = 6 dan tidak memuat titik
(0, 0).
5) Daerah penyelesaian x 0 di kanansumbu Y dan daerah penyelesaian y 0di atas sumbu X.
Daerah penyelesaian:
b. 1) Garis x + y = 2 melalui titik (2, 0) dan titik
(0, 2).
Daerah penyelesaian x + y 2 dibatasigaris x + y = 2 dan tidak memuat titik
(0, 0).
Garis x y = 2 melalui titik (2, 0) dan
(0, 2).
Daerah penyelesaian x y 2 dibatasigaris x y = 2 dan memuat titik (0, 0).
Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan
(0, 6).
Daerah penyelesaian x + y 6 dibatasigaris x + y = 6 dan memuat (0, 0).
Garis x 2y = 6 melalui titik (6, 0) dan
(0, 3).
Daerah penyelesaian x 2y 6 dibatasigaris x 2y = 6 dan memuat titik (0, 0).
Y
X
3
x y = 2
x y = 3
2x + 3y = 16
2x + 3y = 6
2 3 8
2
27Matematika Kelas XII Program IPS
Daerah penyelesaian:
3. a. 1) Garis 2x + y = 10 melalui titik (5, 0) dan
titik (0, 10).
Daerah penyelesaian 2x + y 10 dibatasigaris 2x + y = 10 dan memuat titik (0, 0).
2) Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan titik
(0, 6).
Daerah penyelesaian x + y 6 dibatasigaris x + y = 6 dan memuat titik (0, 0).
3) Garis x + 2y = 10 melalui titik (10, 0) dan
titik (0, 5).
Daerah penyelesaian x + 2y 0 dibatasigaris x + 2y = 10 dan memuat titik (0, 0).
4) Daerah penyelesaian x 0 di kanansumbu Y dan daerah penyelesian y 0di atas sumbu X.
Daerah penyelesaian:
b. Daerah himpunan penyelesaian:
LI = LVI =
2 1 = 1 satuan
LII = LIII = LIV = 2 2 = 4 satuan
LV =
2 2 = 2 satuan
Luas daerah himpunan penyelesaian.
= LI + LII + LIII + LIV + LV + LVI= 3 LII + 2 LI + LV = 3 4 + 2 1 + 2
= 12 + 2 + 2 = 16 satuan
Jadi, luas daerah himpunan penyelesaiannya
16 satuan luas.
4.
1) Persamaan garis yang melalui titik A(4, 4)
dan D(0, 4) adalah y = 4.
Daerah penyelesaian di bawah garis y = 4
sehingga pertidaksamaannya y 4.2) Persamaan garis yang melalui titik A4, 4)
dan B(4, 0) adalah x = 4.
Daerah penyelesaian di kanan garis x = 4
sehingga pertidaksamaannya x 4.3) Persamaan garis yang melalui titik B(4, 0)
dan titik C(3, 3):
=
=
+ +
= x + 4
y = 3x 12 3x + y = 12Daerah penyelesaian di kanan garis 3x + y
= 12 maka pertidaksamaannya 3x + y 12.4) Persamaan garis yang melalui titik C(3, 3)
dan titik D(0, 4):
=
=
=
3y 12 = 7x 7x + 3y = 12Daerah penyelesaian di kiri garis 7x + 3y
= 12 maka pertidaksamaannya 7x + 3y 12.Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah
y 4x 4
3x + y 127x + 3y 12
Y
X
6 x y = 2
2
3
2 2 6
x + y = 6
x + y = 2
x 2y = 6
0 5 6 10X
Y
x + 2y = 10
x + y = 6
2x + y = 1010
6
5
I
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
V
VIIV
II
III
Y
X
A
B
C
D
4 0 3
4
3
28 Program Linear
5.
Diagonal-diagonal daerah penyelesaian adalah
AC dan BD.
Panjang AC = + =
+ + =
+ = = =
Panjang BD = + =
+ + += + = =
Jadi, panjang diagonal-diagonal daerah penyelesai-
an sistem pertidaksamaan adalah dan .
A
Y
X
5
2
0
2
3
4
5x y = 13
B
C
D
x + 2y = 4
5x 2y = 20
2 32
3x + 5y = 19
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + 3y:
Jadi, nilai maksimum f(x, y) = x + 3y adalah 18.
2. Jawaban: a
Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan titik
(8, 0) adalah 8x + 8y = 64 x + y = 8 . . . (1)Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan titik
(12, 0) adalah 4x + 12y = 48 x + 3y = 12 . . . (2)Menentukan perpotongan garis x + y = 8 dan
x + 3y = 12.
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2):
x + 3y = 12
x + y = 8
2y = 4 y = 2Substitusi y = 2 ke x + y = 8:
x + 2 = 8 x = 6Diperoleh titik potong kedua garis (6, 2).
Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(12, 0),
B(6, 2), dan C(0, 8).
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y:
Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4yadalah 26.
3. Jawaban: b
Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan
(0, 4) adalah 4x 2y = 8 atau 2x y = 4.
Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan
(0, 2) adalah 2x 3y = 6.
Persamaan garis yang melalui titik (7, 0) dan
(0, 7) adalah x + y = 7.
Garis 2x 3y = 6 dan x + y = 7 berpotongan di
titik C(3, 4).
Garis 2x y = 4 dan x + y = 7 berpotongan di titik
D(1, 6).
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y x.
Nilai minimum fungsi obyektif f(x, y) = 3y x
adalah 6.
4. Jawaban: e
Persamaan fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y.
Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan
(0, 2) adalah y x = 2.
Persamaan garis yang melalui (4, 0) dan (0, 2)
adalah x 2y = 4.
Persamaan garis yang melalui (2, 0) dan (0, 4)
adalah 2x + y = 4.
Persamaan garis yang melalui (6, 0) dan (0, 4)
adalah 2x + 3y = 12.
Titik A adalah titik potong antara garis x 2y = 4
dan 2x + y = 4.
x 2y = 4 1 x 2y = 4
2x + y = 4 2 4x + 2y = 8 +
5x = 4
x =
Titik Pojok
(2, 0)
(4, 1)
(6, 4)
(2, 5)
(0, 1)
f(x, y) = x + 3y
2 + 3(0) = 2
4 + 3(1) = 7
6 + 3(4) = 18
2 + 3(5) = 17
0 + 3(1) = 3
Titik Pojok
A(12, 0)
B(6, 2)
C(0, 8)
f(x, y) = 3x + 4y
3(12) + 4(0) = 36
3(6) + 4(2) = 26
3(0) + 4(8) = 32
A(0, 4)
B(0, 2)
C(3, 4)
D(1, 6)
3 4 0 = 12
3 2 0 = 6
3 4 3 = 9
3 6 1 = 17
Titik Pojok f(x, y) = 3y x
29Matematika Kelas XII Program IPS
Y
X0
12
8
6 8
A
B(4, 4)
C
2x + y = 12
x + y = 8
x 2y = 4
2y = 4
+ 4 = 2y
= 2y
= y
Diperoleh titik A (
,
).
Titik B adalah titik potong antara garis y x = 2
dan 2x + y = 4.
x + y = 2
2x + y = 4
3x = 6
x = 2x + y = 2
2 + y = 2 y = 0Diperoleh titik B (2, 0).
Titik C adalah titik potong antara garis y x = 2
dan 2x + 3y = 12.
x + y = 2 2 2x + 2y = 4
2x + 3y = 12 1 2x + 3y = 12 +
5y = 8
y =
x +
= 2
2 +
= x
= x
Diperoleh titik C (
,
).
Titik D adalah titik potong antara garis x 2y = 4
dan 2x + 3y = 12.
x 2y = 4 2 2x 4y = 8
2x + 3y = 12 1 2x + 3y = 12 +
7y = 20
y =
x 2y = 4
x 2(
) = 4
x
= 4
x = 4 +
x =
Diperoleh titik D (
,
).
Diperoleh garis selidik sebagai berikut.
g1 5x + 5y = 10g2 5x + 5y = 16g3 5x + 5y = g4 5x + 5y = 26Garis selidik yang menyebabkan nilai f(x, y) mini-
mum adalah 5x + 5y = 10.
5. Jawaban: d
Garis x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (8, 0).
Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan titik (6, 0).
Garis x + y = 8 dan 2x + y = 12 berpotongan di
titik B(4, 4).
Uji (0, 0) Penyelesaian
x + y 8 0 + 0 8 Salah Tidak memuat titik (0, 0)2x + y 12 0 + 0 12 Benar Memuat titik (0, 0)
Uji titik pojok ke fungsi objektif z = x 2y:
Nilai maksimum z = x 2y adalah 4 dan nilai
minimum 24.
Dengan demikian, M = 4 dan m = 24.
Jadi, nilai M m = 4 (24) = 20.
6. Jawaban: b
Garis 2x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (4, 0).
Uji titik (0, 0) ke 2x + y 8.2(0) + 0 8 (salah)
Y
X
A
B
C
D4
2
0 2 62
2
g1
g2g3 g4g
A(0, 8)
B(4, 4)
C(0, 12)
0 2(8) = 16
4 2(4) = 4
0 2(12) = 24
Titik Pojok z = x 2y
30 Program Linear
Daerah 2x + y 8 dibatasi garis 2x + y = 8 dantidak memuat titik (0, 0).
Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan garis y = 4
di titik A(2, 4).
Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan y = 1 di titik
B(
, 1).
Uji titik pojok ke fugnsi objektif f(x, y) = 5x + 10y:
Jadi, nilai minimum SPtLDV tersebut 27,5.
7. Jawaban: c
a. Garis 4x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan
(3, 0).
Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan
(6, 0).
Garis x 2y = 6 melalui titik (0, 3) dan
(6, 0).
Uji titik (0, 0) ke tiap-tiap pertidaksamaan:
b. Garis 4x + y = 12 dan x 2y = 6 berpotongan
di titik A(2, 4).
Garis 2x + y = 12 dan x 2y = 6 berpotongan
di titik D(
,
).
c. Daerah penyelesaian:
d. Uji titik pojok f(x, y) = 10x + 15y:
Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 10x + 15y
adalah 108.
8. Jawaban: d
Persamaan garis selidik: 2x + 3y = k.
Garis g pada gambar berikut merupakan garis
selidik. Persamaan garis g: 2x + 3y = 6.
Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) dicapai di titik
pojok daerah penyelesaian yang dilalui garis
selidik paling kiri.
a.
Garis selidik paling kiri mempunyai persama-
an 2x + 3y = 2 maka nilai minimum f(x, y) =
2x + 3y adalah 2.
b.
Y
X
y = 2
y = 1
8
4
1
0 4 7
2x + y = 8
B C
A D
A(2, 4)
B(
, 1)
C(7, 1)
D(7, 4)
5(2) + 10(4) = 50
5(
) + 10(1) = 27,5
5(7) + 10(1) = 45
5(7) + 10(4) = 75
Titik Pojok f(x, y) = 5x + 10y
4x + y 122x + y 12x 2y 6
0 12 (salah)0 12 (benar)0 6 (benar)
Pertidaksamaan Uji Titik (0, 0)
Tidak memuat
(0, 0)
Memuat (0, 0)
Memuat (0, 0)
Penyelesaian
Y
X
12
3
D
A
B C
x 2y = 6
4x + y = 12
6 3 62x + y = 12
0
A(2, 4)
B(3, 0)
C(6, 0)
D(
,
)
10(2) + 15(4) = 80
10(3) + 15(0) = 30
10(6) + 15(0) = 60
10(
) + 15(
) = 108
Titik Pojok f(x, y) = 10x + 15y
Y
X
x y = 4
x + 3y = 12
2x + 3y = 23x + y = 4
g
c
0
4
2
2
4
2 3 4 6
Y
X
x + y = 7
2x + 3y = 9
x + 3y = 9
3 7 9
7
3
2
g
31Matematika Kelas XII Program IPS
Garis selidik paling kiri mempunyai persama-
an 2x + 3y = 9, maka nilai minimum f(x, y) =
2x + 3y adalah 9.
c.
Garis selidik paling kiri mempunyai persama-
an 2x + 3y = 4, maka nilai minimum f(x, y) =
2x + 3y adalah 4.
d.
Garis selidik paling kiri mempunyai persama-
an 2x + 3y = 2, maka nilai minimum f(x, y) =
2x + 3y adalah 2.
e.
Garis selidik paling kiri mempunyai persama-
an 2x + 3y = 12, maka nilai minimum f(x, y) =
2x + 3y adalah 12.
9. Jawaban: a
Uji titik pojok:
Fungsi objektif f(x, y) = 5.000 x y mempunyai
nilai maksimum 5.000 dan mempunyai nilai
minimum 4.996.
Jadi, fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai
maksimum.
10. Jawaban: c
Misal: x = banyak tanaman anggrek (pot)
y = banyak tanaman hias (pot)
Paling sedikit 30 pot tanaman anggrek.
Diperoleh pertidaksamaan x 30 . . . (1)Paling sedikit 40 pot tanaman hias.
Diperoleh pertidaksamaan y 40 . . . (2)Kios dapat menampung tidak lebih dari 120 pot.
Diperoleh pertidaksamaan:
x + y 120 . . . (3)Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 10.000x + 15.000y
dengan kendala:
x 30y 40
x + y 120
Y
X
5x + 6y = 302x + 3y = 4 3x + 2y = 6
0 2 3 6
g
a
5
3
2
Y
X
x + 4y = 6
5x + 6y = 30
2y 3x = 10
2x + 3y = 2
2 0 3 6
g5
2
Y
X
2x 3y = 0
x + 6y = 30
2x + 3y = 12
x + y = 5
g
d
3 5 6
5
4
2
Titik Pojok
A(0, 1)
O(0, 0)
B(3, 0)
C(2, 2)
f(x, y) = 5.000x x y
5.000 0 1 = 4.999
5.000 0 0 = 5.000
5.000 3 0 = 4.997
5.000 2 2 = 4.996
Y
X
x 2y + 2 = 0
2x + y 6 = 0
AB
C(2, 2)
2 0 3
6
1 O
Jenis Tanaman
Anggrek
Hias
Pembatas
Banyak
x
y
120
Keuntungan
10.000
15.000
32 Program Linear
Kios hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu.
Pertidaksamaan yang memenuhi
x + y 40 . . . (1)Modal yang dimiliki hanya Rp3.000.000,00.
Pertidaksamaan yang memenuhi
60.000x + 80.000y 3.000.000 3x + 4y 150 . . . (2)Banyak sepatu jenis I tidak boleh negatif. Pertidak-
samaan yang memenuhi x 0 . . . (3)Banyak sepatu jenis II tidak boleh negatif. Pertidak-
samaan yang memenuhi y 0 . . . (4)Sehingga diperoleh SPtLDV:
3x + 4y 150x + y 40
x 0y 0
13. Jawaban: c
Misal: x = banyak mobil
y = banyak bus
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 2.000x + 3.500y dengan
kendala:
x + y 586x + 24y 600 x + 4y 100
x 0y 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi objektif
f(x, y) = 2.000x + 3.500y
Nilai maksimum f(x, y) = 2.000x + 3.500y adalah
137.000.
Jadi, jika tempat parkir penuh biaya parkir
maksimum mencapai Rp137.000,00.
Daerah penyelesaian SPtLDV:
Uji titik pojok ke f(x, y) = 10.000x + 15.000y
Nilai maksimum f(x, y) = 10.000x + 15.000y adalah
1.650.000.
Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh
Rp1.650.000,00.
11. Jawaban: d
Persamaan garis yang melalui titik (4, 0) dan titik
(0, 8) adalah 2x + y = 8.
Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan titik
(0, 4) adalah 2x + 3y = 12.
Perpotongan garis 2x + y = 8 dan 2x + 3y = 12
adalah:
2x + y = 8 2x + y = 8
2x + 3y = 12 2x + 2 = 8 x = 3
2y = 4
y = 2Diperoleh titik potong garis 2x + y = 8 dan 2x + 3y
= 12 adalah (3, 2).
Uji titik pojok daerah penyelesaian terhadap fungsi
objektif f(x, y) = 5x + 4y.
Diperoleh nilai maksimum bentuk objektif f(x, y) =
5x + 4y adalah 23.
12. Jawaban: a
Misal: x = banyak sepatu jenis I
y = banyak sepatu jenis II
Y
120
40
C(30, 90)
B(80, 40)
A(30, 40)
X0
x = 30 x + y = 120120
y = 40
Titik Pojok
A(30, 40)
B(80, 40)
C(30, 90)
f(x, y) = 10.000x + 15.000y
10.000(30) + 15.000(40) = 900.000
10.000(80) + 15.000(40) = 1.400.000
10.000(30) + 15.000(90) = 1.650.000
Titik Pojok
(0, 0)
(4, 0)
(3, 2)
(0, 4)
f(x, y) = 5x + 4y
5(0) + 4(0) = 0
5(4) + 4(0) = 20
5(3) + 4(2) = 23
5(0) + 4(4) = 16
Sepatu
Jenis I
Jenis II
Pembatas
Banyak
x
y
40
Harga
60.000
80.000
3.000.000
Jenis Kendaraan
Mobil
Bus
Pembatas
Banyak
x
y
58
Luas
6
24
600
Biaya Parkir
2.000
3.500
Y
XA
C
58
25
0 58 100
B(44, 14)
x + 4y = 100x + y = 58
Titik Pojok
O(0, 0)
A(58, 0)
B(44, 14)
C(0, 25)
f(x, y) = 2.000x + 3.500y
2.000(0) + 3.500(0) = 0
2.000(58) + 3.500(0) = 116.000
2.000(44) + 3.500(14) = 137.000
2.000(0) + 3.500(25) = 87.500
33Matematika Kelas XII Program IPS
14. Jawaban: a
Uji setiap titik pojok ke dalam fungsi tujuan.
Jadi, fungsi tujuan yang memiliki nilai sama di titik
C dan D adalah f(x, y) = 2x + y.
15. Jawaban: d
Misalkan: x = banyak sapi
y = banyak kambing
Jenis Hewan Banyak Harga Beli Keuntungan
Sapi x 9.000.000 1.300.000
Kambing y 600.000 200.000
Pembatas 15 43.200.000
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y
dengan kendala:
x + y 159.000.000x + 600.000y 43.200.000 15x + y 72x 0y 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y:
Titik Pojok f(x, y) = 1.300.000x + 200.000y
O (0,0) 1.300.000(0) + 200.000(0) = 0
A(
, 0) 1.300.000(
) + 200.000(0) = 6.240.000
B (4, 12) 1.300.000(4) + 200.000(12) = 7.600.000
C (0, 15) 1.300.000(0) + 200.000(15) = 3.000.000
Nilai f(x, y) terbesar 7.600.000 dicapai di titik
B(4,12) atau pada saat x = 4 dan y = 12.
Jadi, pendapatan terbesar diperoleh jika Pak
Mahmud membeli 4 ekor sapi dan 12 ekor kambing.
B. Uraian
1. a. Persamaan garis g adalah x y = 10.
Koordinat titik A(0, 25).
Garis selidik yang melalui titik A memiliki
persamaan x y = 25.
Koordinat titik B(15, 5).
Garis selidik yang melalui titik B memiliki
persamaan x y = 10.
Koordinat titik C(30, 40).
Garis selidik yang melalui titik C memiliki
persamaan x y = 10.
Persamaan garis melalui titik (10, 0) dan
(0, 25) adalah 5x 2y = 50.
Garis 5x 2y = 50 dan y = 40 berpotongan
di titik D.
Substitusi y = 40 ke 5x 2y = 50 diperoleh:
5x 2 40 = 50
5x 80 = 50 5x = 30 x = 6Diperoleh koordinat itik D(6, 40).
Garis selidik yang melalui titik D(6, 40)
memiliki persamaan x y = 36.
Jadi, nilai maksimumnya 10 dan nilai
minimumnya 36.
b. Persamaan garis g adalah x + y = 4.
Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan
(0, 4) adalah 2x y = 4.
Persamaan garis yang melalui titik A dan B
adalah 2x + y = 12.
Persamaan garis yang melalui titik C dan D
adalah x + y = 12.
Garis 2x y = 4 dan 2x + y = 12 berpotongan
di titik A.
2x y = 4
2x + y = 12 + 4x = 8
x = 2 y = 8
Diperoleh koordinat titik A(2, 8).
Garis 2x y = 4 dan x + y = 12 berpotongan
di titik D.
2x y = 4
x + y = 12 + 3x = 8
x =
y =
Diperoleh koordinat titik D(
,
).
Garis selidik yang melalui titik A(2, 8) memiliki
persamaan x + y = 10.
Garis selidik yang melalui titik B(6, 0) memiliki
persamaan x + y = 6.
f(x, y)
A(2, 4)
B(4, 2)
C(6, 2)
D(3, 8)
2x + y
8
10
14
14
x + y
6
6
8
11
3x 2y
2
8
14
7
x + 2y
10
8
10
19
2x + 3y
16
14
18
30
X
x + y = 15
15A
O
B(4, 12)
15x + y = 72
C15
Y
72
34 Program Linear
Garis selidik yang melalui titik C(12, 0)
memiliki persamaan x + y = 12.
Garis selidik yang melalui titik D(
,
)
memiliki persamaan x + y = 12.
Jadi, nilai maksimumnya 12 dan nilai
minimumnya 6.
2. a. Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan titik
(0, 24).Daerah penyelesaian 2x + y 24 dibatasigaris 2x + y = 24 dan memuat titik (0, 0).Garis x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan titik(0, 6).Daerah penyelesaian x + 2y 12 dibatasigaris x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0).Garis x y = 2 yang melalui titik (2, 0) dan(0, 2).Daerah penyelesaian x y 2 dibatasi garisx y = 2 dan memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian x 0; y 0 di kuadran I.Daerah penyelesaian:
Garis x y = 2 dan x + 2y = 12 berpotongandi titik A.x y = 2x + 2y = 12
3y = 14
y =
x =
Diperoleh koordinat titik A(
,
).
Garis 2x + y = 24 dan x y = 2 berpotongan
di titik C.2x + y = 24
x y = 2 +
3x = 22
x =
y =
Diperoleh koordinat titik A(
,
).
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 6y 3x:
Jadi, nilai maksimumnya 34.
b. Garis 3y x = 12 melalui titik (0, 4) dan titik
(12, 0).
Daerah penyelesaian 3y x 12 di kiri garis3y x = 12.
Garis y x = 20 melalui titik (0, 20) dan titik
(20, 0).
Daerah penyelesaian y x 20 di kanan garisy x = 20.
Garis y + 2x = 32 melalui titik (0, 32) dan titik
(16, 0).
Daerah penyelesaian y + 2x 32 di kanangaris y + 2x = 32.
Daerah penyelesaian x 24 di kiri garisx = 24.
Titik potong garis 3y x = 12 dan garis
y + 2x = 32 adalah A(12, 8).
Titik potong garis y x = 20 dan y + 2x = 32
adalah D(4, 24).
Titik potong garis 3y x = 12 dan x = 24
adalah B(24, 12).
Titik potong garis y x = 20 dan x = 24 adalah
C(24, 44).
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = x + 2y:
Diperoleh nilai minimum 28.
Y
XB
C
A
24
2 12
2x + y = 24
x y = 2
x + 2y = 12
6
2
0
A(
,
)
B(12, 0)
C(
,
)
20
36
34
Titik f(x, y) = 6y 3x
Y
X
C
B3y x = 12
A
y + 2x = 32
20 12 12 16 24
44
32
24
20
12
8
4
y x = 20
D
A(12, 8)
B(24, 12)
C(24, 44)
D(4, 24)
28
48
112
52
Titik f(x, y) = x + 2y
35Matematika Kelas XII Program IPS
3. Garis 2x 3y = 12 melalui titik (6, 0) dan (0, 4).
Garis x + 2y = 4 melalui titik (4, 0) dan (0, 2).
Uji titik (0, 0) ke masing-masing pertidaksamaan:
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan.
Garis x = 2 dan x + 2y = 4 berpotongan di titik
A(2, 1).
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y + x:
Jadi, nilai minimum f(x, y) pada daerah penyelesai-
an SPtLDV tersebut adalah 4.
4. a. Misal: x = banyak boneka
y = banyak mobil mainan
Jenis Banyak Harga Keutungan
Boneka x 15.000 5.000
Mobil mainan y 45.000 20.000
mainan
Pembatas 42 900.000
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 5.000x + 20.000y
dengan kendala:
x + y 4215.000x + 45.000y 900.000 x + 3y 60x 0y 0
Daerah penyelesaian:
Titik B adalah perpotongan garis x + y = 42
dan x + 3y = 60 adalah:
x + y = 42
x + 3y = 60
2y = 18
y = 9x + y = 42
x + 9 = 42 x = 33Diperoleh koordinat titik B(33, 9).
Uji titik pojok daerah penyelesaian terhadap
fungsi objektif f(x, y) = 5.000x + 20.000y:
Besar keuntungan maksimum yang mungkin
diperoleh pedagang tersebut Rp400.000,00.
b. Untuk mendapatkan keuntungan maksimum,
maka banyak mainan yang harus dibeli
adalah 20 mobil mainan.
5. Misalkan: x = banyak sabun A
y = banyak sabun B
Model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 800x + 600y
dengan kendala:
x + y 5004x + 3y 1.800
x 0y 0
Daerah penyelesaian:
Garis x + y = 500 dan 4x + 3y = 1.800 berpotongan
di titik B.
Pertidaksamaan
2x 3y 12x + 2y 4
Uji Titik (0, 0)
0 12 (benar)0 4 (salah)
Penyelesaian
memuat (0, 0)
tidak memuat (0, 0)
Y
XBA
2
4
2 4 6C
2x 3y = 12
x + 2y = 4
x = 6x = 2
0
(2, 1)
(4, 0)
(6, 0)
5
4
6
Titik Nilai f(x, y) = 3y + x
Y
XA
B
C
42
20
0 42 60
O(0, 0)
A(42, 0)
B(33, 9)
C(0, 20)
5.000(0) + 20.000(0) = 0
5.000(42) + 20.000(0) = 210.000
5.000(33) + 20.000(9) = 183.000
5.000(0) + 20.000(20) = 400.000
Titik f(x, y) = 5.000x + 20.000y
Jenis
A
B
Pembatas
Banyak
x
y
500
Keuntungan
800
600
Harga Beli
4.000
3.000
1.800.00
Y
X
B
A0 450 500
600
500C
36 Program Linear
3x + 3y = 1.500
4x + 3y = 1.800
x = 300
y = 200
Koordinat B(300, 200).
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 800x + 600y.
Keuntungan maksimum Rp360.000,00 diperoleh
jika pedagang menjual 300 sabun A dan 200 sabun B.
O(0, 0)
A(450, 0)
B(300, 200)
C(0, 500)
0
340.000
360.000
300.000
Titik f(x, y) = 800x + 600y
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
Garis x 2y 8 memotong sumbu X di titik (8,0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah
penyelesaian x 2y 8 di kanan garis x 2y = 8.Jadi, daerah penyelesaian dari x 2y 8 adalahdaerah yang dibatasi garis x 2y = 8 dan memuat
(0, 0).
2. Jawaban: c
Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan titik
(0, 3):
=
++
=
+
2y = 3x + 6 3x 2y = 6Daerah penyelesaian di kanan garis 3x 2y = 6,
maka pertidaksamaanya 3x 2y 6.3. Jawaban: b
Garis y x = 4 melalui titik (0, 4) dan titik (4, 0).
Daerah penyelesaian y x 4 di kiri garis y x = 4.Garis 7x + 4y = 28 melalui titik (0, 7) dan titik
(4, 0).
Daerah penyelesaian 7x + 4y 28 di kiri garis7x + 4y = 28.
Garis x + 2y = 4 melalui titik (0, 2) dan (4, 0).
Daerah penyelesaian y 0 di atas sumbu X dandaerah penyelesaian x 0 di kiri sumbu Y.Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai adalah
pilihan b.
4. Jawaban: b
1) Garis 2x + y = 8 melalui titik (4, 0) dan titik (0, 8).
Uji titik (0, 0) ke 2x + y 8: 2(0) + 0 8 (bernilai salah)Daerah penyelesaian 2x + y 8 dibatasigaris 2x + y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0).
2) Garis x + 2y = 12 melalui titik (0, 6) dan titik
(12, 0).
Uji titik (0, 0) ke x + 2y 12: 0 + 2(0) 12 (bernilai salah)Daerah penyelesaian x + 2y 12 dibatasigaris x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0).
3) Daerah penyelesaian x 0 di kanansumbu Y.
4) Daerah penyelesaian y 3 di atas garis y = 3.Daerah penyelesaian:
Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh
daerah II.
5. Jawaban: d
Garis x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan (0, 6).
Daerah penyelesaian x + 2y 12 adalah daerahyang dibatasi garis x + 2y = 12 dan tidak memuat
(0, 0).
Garis x y = 2 melalui titik (2, 0) dan (0, 2).
Daerah penyelesaian x y 2 adalah daerah yangdibatasi garis x y = 2 dan tidak memuat (0, 0).
Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan (0, 24).
Daerah penyelesaian 2x + y 24 adalah daerahyang dibatasi garis 2x + y = 24 dan memuat (0,
0).
x 0; y 0 adalah bahwa daerah penyelesaiannyadi kuadran I.
Y
X
I
IIIIIIV
VVI
0 4 12
8
6
3
37Matematika Kelas XII Program IPS
Daerah penyelesaiannya:
6. Jawaban: e
a.
ABCD berbentuk trapesium.
Luas ABCD =
CD (AD + BC)
=
4 (9 + 3) = 24 satuan
Luas daerah penyelesaiannya 24 satuan.
b.
ABCD berbentuk jajargenjang.
Luas ABCD = alas tinggi
= 5 4 = 20 satuan
Luas daerah penyelesaiannya 20 satuan.
c.
ABCD berbentuk layang-layang.
Luas ABCD =
BD AC
=
6 4
= 12 satuan
Luas daerah penyelesaiannya 12 satuan.
d.
ABCD berbentuk persegi.
Luas daerah penyelesaian ABCD
= AB BC
= = 20 satuan
Luas daerah penyelesaiannya 20 satuan.
e.
ABCD berbentuk persegi panjang.
Luas ABCD = AD DC
= 2
= 26 satuan
Luas daerah penyelesaiannya 26 satuan.
Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah
penyelesaiannya mempunyai luas 26 satuan
adalah pilihan e.
7. Jawaban: d
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
x + y 8, x + y 5, dan 0 x 6:
Daerah yang diarsir berbentuk jajargenjang
dengan panjang alas CD = 8 5 = 3 satuan dan
tinggi CT = 6 0 = 6 satuan.
Luas daerah yang diarsir= alas tinggi
= 3 6 = 18 satuan
Jadi, luas daerah penyelesaiannya 18 satuan.
Y
X62
0 122
24
x y = 2
x + 2y = 12
2x + y = 24
Y
X
A D
B C0 6 9
2x + 3y = 12
4 y = 4
x = 9
Y
XB C
5 0 1 62x + 3y = 2
Ay = 4D
2x + 3y = 12
Y
XB
D
32
y 2x = 6
A
3x 2y = 2
C
2x + y = 6
6
2
1
3x + 2y = 2
2 3
Y
X
B
C
0 2 3 4 62x + y = 6
A
2y x = 2
D
2x + y = 16
6
4
2
2y x = 12
Y
X
B
C
2 0
2x + 3y = 1
A
3x 2y = 18
D
2x + 3y = 12
4
2y 3x = 8
64
Y
X
8
5
0 5 6 8
B
x + y = 8
Ax + y = 5
C
D
T
38 Program Linear
8. Jawaban: b
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
berbentuk jajargenjang.
9. Jawaban: c
Garis x + 3y = 3 melalui (3, 0) dan (0, 1).
Daerah penyelesaian x + 3y 3 di kanan garisx + 3y = 3.
Garis y x = 5 melalui (5, 0) dan (0, 5).
Daerah penyelesaian y x 5 di kanan garisy x = 5.
Garis 4x + 3y = 12 melalui (3, 0) dan (0, 4).
Daerah penyelesaian 4x + 3y 0 di kiri garis4x + 3y = 12.
Jadi, himpunan titik yang berada di dalam daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut
adalah {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2),
(3, 1)}.
10. Jawaban: c
a.
OABC berbentuk belah ketupat.
Luas OABC =
diagonal diagonal
=
OB AC
=
8 6 = 24 satuan
b.
ABCD berbentuk persegi panjang
Luas ABCD = panjang lebar
= AB BC
= 4 7
= 28 satuan
c.
ABCD berbentuk persegi
AB = BC
=
+
= + + =
+ =
Luas ABCD = sisi sisi
= AB BC
=
= 18 satuan
d.
ABCD berbentuk jajargenjang
Y
X2 0 4
4
2
4
y x = 2
y + 2x = 8
y + 2x = 4
x y = 4
Y
X
5
4
15 3 3
y x = 5
0
4x + 3y = 12
x + 3y = 3
Y
X
A
B
C
O
4y 3x = 0
3x 4y = 24
3x + 4y = 24
3x + 4y = 0
4 8
3
3
Y
X
A
B C
Dy = 2
y = 2
x = 4x = 3
3 0 4
2
2
Y
X
x = 2
x + 5y = 2
x + 5y = 18
x = 3
A
B
C
D
3 0 2
1
3
4
E
Y
X
y x = 4
x y = 2
x + y = 2
x + y = 4
A
B
C
D
4
2
1
2
3
4
4 1 0 2
39Matematika Kelas XII Program IPS
Luas ABCD = alas tinggi
= AB BE
= 4 5 = 20 satuan
e.
ABCD berbentuk trapesium
Luas ABCD =
AE(AD + BC)
=
4(4 + 7) = 22 satuan
Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah
penyelesaiannya mempunyai luas 18 satuan
pilihan c.
11. Jawaban: e
a.
Titik (1, 3) dan (2, 1) di luar daerah penyelesaian.
b.
Titik (1, 3) di luar daerah penyelesaian.
c.
Titik (0, 3), (1, 2), dan (1, 3) di luar daerah
penyelesaian.
d.
Titik (0, 3) dan (1, 3) di luar daerah
penyelesaian.
e.
Titik (1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2),
(1, 3), dan (2, 1) di dalam daerah penyelesaian.
Jadi, himpunan titik P merupakan penyelesaian
pertidaksamaan pada pilihan e.
12. Jawaban: b
Garis x + y = 4 memotong sumbu Y di titik A(0, 4).
Garis x + y = 4 dan garis x + 2y = 12 berpotongan
di titik B(
,
).
Garis x + 2y = 12 dan garis 2x + y = 12
berpotongan di titik C(4, 4).
Garis 2x + y = 12 memotong sumbu X di titik
D(6, 0).
Uji titik setiap titik pojok ke fungsi tujuan.
Perhatikan kolom kedua.
Dari kolom kedua terlihat f(x, y) = 4x + 9y mencapai
maksimum di titik B.
Jadi, fungsi tujuan yang mencapai maksimum di
titik B adalah f(x, y) = 4x + 9y.
Y
X
4x + y = 18
y 2x = 2
A
B C
D
E
2
2
y = 2
y = 2
2 0 4 5
Y
X
5y 3x = 15
2x + y = 4
5 4 3 2 1 0 1 2
4
3
2
1
X
Yy 2x = 4
3x + 5y = 15
2 1 0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
Y
X
x + 2y = 43y 5x = 15
3 2 1 0 1 2 3 4
5
4
3
2
1
Y
X
2y x = 4
3x + 5y = 15
4 3 2 1 1 2 3 4 5
3
2
f(x, y)
A(0, 4)
B(
,
)
C(4, 4)
D(6, )
4x 9y
36
53
53
24
4x + 9y
36
53
52
24
10x + 18y
72
100
112
60
20x + 2y
8
37
88
120
7x + 12y
18
73
76
42
40 Program Linear
13. Jawaban: b
Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (3, 0)
adalah 6x + 3y = 18 2x + y = 6.Persamaan garis yang melalui (0, 4) dan (8, 0)
adalah 4x + 8y = 32 x + 2y = 8.Menentukan perpotongan garis 2x + y = 6 dan
x + 2y = 8.
Eliminasi y dari 2x + y = 6 dan x + 2y = 8:
2x + y = 6 2 4x + 2y = 12
x + 2y = 8 1 x + 2y = 8
3x = 4 x =
Substitusi x = ke 2x + y = 6:
2(
) + y = 6
y = 6
=
Diperoleh titik potong kedua garis (
,
).
Titik pojok daerah yang diarsir adalah
A(0, 4), B(0, 6), dan C(
,
).
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 60x + 30y
Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 60x + 30y adalah
180.
14. Jawaban: d
Persamaan garis yang melalui (12, 0) dan (0, 6)
adalah 6x + 12y = 72 x + 2y = 12 . . . (i)Persamaan garis yang melalui (8, 0) dan (0, 12)
adalah 12x + 8y = 96 3x + 2y = 24 . . . (ii)Garis x + 2y = 12 dan 3x + 2y = 24 berpotongan di
titik (6, 3).
Titik pojok daerah penyelesaiannya yaitu (12, 0),
(6, 3), dan (0, 12).
Uji titik pojok ke fungsi objektif.
Jadi, nilai minimum f(x, y) = 3x + 5y dari daerah
yang diarsir adalah 33.
15. Jawaban: c
Persamaan garis yang melalui (0, 5) dan (5, 0)
adalah x + y = 5.
Persamaan garis yang melalui (0, 4) dan (6, 0)
adalah 4x + 6y = 24 2x + 3y = 12.
Menentukan perpotongan garis x + y = 5 dan
2x + 3y = 12.
Eliminasi x dari x + y = 5 dan 2x + 3y = 12:
x + y = 5 2 2x + 2y = 10
2x + 3y= 12 1 2x + 3y= 12
y = 2
y = 2Substitusi y = 2 ke x + y = 5:
x + 2 = 5 x = 3Diperoleh titik potong kedua garis (3, 2).
Titik pojok daerah yang diarsir adalah
A(0, 0), B(5, 0), C(3, 2) dan D(0, 4).
Uji titik pojok ke f(x, y) = 5x + 6y:
Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 5x + 6y adalah 27.
16. Jawaban: a
Misal: x = banyak penumpang pelajar
y = banyak penumpang mahasiswa/umum
Daya muat paling banyak 50 orang, sehingga
harus memenuhi x + y 50 . . . (1)Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari
Rp75.000,00 sehingga harus memenuhi
1.500x + 2.500 75.000 3x + 5y 150 . . . (2)Banyak penumpang pelajar atau mahasiswa/
umum tidak boleh negatif sehingga harus
memenuhi x 0, y 0 . . . (3)Banyak penumpang merupakan bilangan
cacah x, y C . . . (4)Diperoleh sistem pertidaksamaan:
x + y 503x + 5y 150
x 0y 0
x, y C17. Jawaban: a
Persamaan garis AB melalui titik (3, 0) dan B(2, 2).
=
=
y = 2x 6
Titik Pojok
A(0, 4)
B(0, 6)
C(
,
)
f(x, y) = 60x + 30y
60(0) + 30(4) = 120
60(0) + 30(6) = 180
60(
) + 30(
) = 180
(12, 0)
(6, 3)
(0, 12)
36
33
60
Titik Pojok f(x, y) = 3x + 5y
Titik Pojok
A(0, 0)
B(5, 0)
C(3, 2)
D(0, 4)
f(x, y) = 5x + 6y
5(0) + 6(0) = 0
5(5) + 6(0) = 25
5(3) + 6(2) = 27
5(0) + 6(4) = 24
Penumpang
Pelajar
Mahasiswa/umum
Pembatas
Banyak
x
y
50
Tarif
1.500
2.500
75.000
41Matematika Kelas XII Program IPS
A merupakan titik yang terletak pada garis AB,
dengan absis 4.
Koordinat titik A:
2x + y = 6
2(4) + y = 6 8 + y = 6 y = 2Diperoleh koordinat titik A(4, 2).
Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsi
objektif f(x, y) = 4x 2y 1.
Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x 2y 1 di
atas mencapai minimum 21 yaitu di titik A(4, 2).
18. Jawaban: a
Misal: x = banyak kartu undangan jenis I
y = banyak kartu undangan jenis II
Karton biru yang digunakan tidak boleh melebihi
persediaan yang ada dan diperoleh pertidak-
samaan:
30x + 45y 200 . . . (1)Karton kuning yang digunakan tidak boleh melebihi
persediaan yang ada dan diperoleh pertidaksamaan
25x + 35y 300 . . . (2)Banyak kartu undangan jenis I dan II tidak boleh
negatif dan diperoleh pertidaksamaan:
x 0 . . . (3)y 0 . . . (4)Diperoleh sistem pertidaksamaan:
30x + 45y 20025x + 35y 300
x 0y 0
19. Jawaban: c
Misalkan: x = banyak bus
y = banyak mobil
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 3.500x + 2.000y dengan
kendala:
x + y 5824x + 6y 600 4x + y 100x 0y 0
Daerah penyelesaian:
B adalah perpotongan antara garis x + y = 58 dan
4x + y = 100.
x + y = 58
4x + y = 100
3x = 42
x = 14x + y = 58
14 + x = 58 y = 44Diperoleh koordinat titik B(44, 14).
Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsi
objektif f(x, y) = 3.500x + 2.000y.
Diperoleh nilai maksimum fungsi objektif di atas
adalah 137.000 sehingga biaya parkir maksimum
yang dapat diperoleh adalah Rp137.500,00.
20. Jawaban: d
Misal: x = banyak barang jenis I
y = banyak barang jenis II
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 4.000x + 5.000y dengan
kendala:
x + y 22030.000x + 25.000y 6.000.000 6x + 5y 1.200x 0y 0
A(4, 2)
B(2, 2)
C(4, 4)
D(0, 4)
4(4) 2(2) 1 = 21
4(2) 2(2) 1 = 5
4(4) 2(4) 1 = 23
4(0) 2(4) 1 = 9
Titik Pojok f(x, y) = 4x 2y 1
Kartu Undangan
Jenis I
Jenis II
Pembatas
Banyak
x
y
Karton Biru
30
45
200
Karton Kuning
25
35
300
Jenis
Bus
Mobil
Pembatas
Banyak
x
y
58
Luas (m2)
24
6
600
Biaya
3.500,00
2.000,00
Y
XA
B
C58
0 25 58
100
O(0, 0)
A(25, 0)
B(14, 44)
C(0, 58)
3.500(0) + 2.000(0) = 0
3.500(25) + 2.000(0) = 87.500
3.500(14) + 2.000(44) = 137.000
3.500(0) + 2.000(58) = 116.000
Titik Pojok f(x, y) = 3.500x + 2.000y
Barang
Jenis I
Jenis II
Pembatas
Banyak
x
y
220
Keuntungan
4.000
5.000
Modal
30.000
25.000
6.000.000
42 Program Linear
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4.000x
+ 5.000y:
Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.100.000.
Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh
Rp1.100.000,00.
21. Jawaban: c
Misal: x = banyak toko tipe A
y = banyak toko tipe B
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 7x + 4y (juta) dengan
kendala:
x + y 125100x + 75y 10.000 4x + 3y 400x 0y 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 7x + 4y (juta):
Nilai maksimum f(x, y) adalah 700 juta.
Jadi, keuntungan maksimum dari penjualan toko
Rp700.000.000,00.
22. Jawaban: b
Misalkan: x = banyak pakaian jenis I
y = banyak pakaian jenis II
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 25.000x + 50.000y
dengan kendala:
2x + 5y 704x +3y 84
x 0y 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 25.000x + 50.000y:
Titik Pojok f(x, y) = 25.000x + 50.000y
O(0, 0) 25.000(0) + 50.000(0) = 0
A(21, 0) 25.000(21) + 50.000(0) = 525.000
B(15, 8) 25.000(15) + 50.000(8) = 775.000
C(0, 14) 25.000(0) + 50.000(14) = 700.000
Nilai maksimum f(x, y) = 25.000x + 50.000y adalah
775.000 yang dicapai di x = 15 dan y = 8.
Jadi, agar memperoleh laba sebesar-besarnya
penjahit harus membuat 15 pakaian jenis I dan
8 pakaian jenis II.
23. Jawaban: a
Misal: x = banyak keripik rasa cokelat
y = banyak keripik rasa keju
Titik Pojok
O(0, 0)
A(200, 0)
B(100, 120)
C(0, 220)
f(x, y) = 4.000x + 5.000y
4.000(0) + 5.000(0) = 0
4.000(200) + 5.000(0) = 800.000
4.000(100) + 5.000(120) = 1.000.000
4.000(0) + 5.000(220) = 1.100.000
Y
X
B(100, 120)
200 220
240220
O A
6x + 5y = 1.200
x + y = 220
C
Barang
Tipe A
Tipe B
Pembatas
Banyak
x
y
125
Keuntungan
(Juta)
7
4
Luas Tanah
(m2)
100
75
10.000
Y
XA
O 100 125x + y = 125
133,3
125
B(25, 100)
4x + 3y = 400
C
Titik Pojok
O(0, 0)
A(100, 0)
B(25, 100)
C(0, 125)
Subtitusi ke f(x, y) = 7x + 4y (juta)
7(0) + 4(0) = 0
7(100) + 4(0) = 700
7(25) + 4(100) = 575
7(0) + 4(125) = 500
Pakaian
Jenis I
Jenis II
Pembatas
Banyak
x
y
Kain Katun
(m)
2
5
70
Kain Sutra
(m)
4
3
84
Laba
25.000
50.000
28
14
O 21 35A
B(15, 8)
C
Y
X
4x + 3y = 84
2x + 5y = 70
Keripik
Cokelat
Keju
Pembatas
Banyak
x
y
40
Modal
10.000
15.000
500.000
Keuntungan
2.500
3.000
43Matematika Kelas XII Program IPS
Model matematika yang sesuai permasalahan
adalah memaksimumkan fungsi objektif
f(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan kendala:
x + y 402x + 3y 100
x, y 0Garis x + y = 40 melalui (0, 40) dan (40, 0).
Daerah penyelesaian x + y 40 dibatasi garisx + y = 40 dan memuat titik (0, 0).
Garis 2x + 3y = 100 melalui (50, 0) dan (0,
).
Daerah penyelesaian 2x + 3y 100 dibatasi2x + 3y = 100 dan memuat titik (0, 0).
Daerah penyelesaian x 0; y 0 adalah daerahdi kuadran I.
Garis x + y = 40 dan 2x + 3y = 100 berpotongan di
titik B.
2x + 2y = 80
2x + 3y = 100
y = 20
x = 20
Diperoleh koordinat titik B(20, 20).
Uji titik pojok penyelesaian pada fungsi objektif.
Jadi, keuntungan terbesar Rp110.000,00.
24. Jawaban: b
Misalkan: x = banyak menu dengan lauk ayam
goreng
y = banyak menu dengan lauk bebek
goreng
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 15.000x + 20.000y
dengan kendala:
x + y 100x 50y 40
Daerah penyelesaian:
A merupakan perpotongan garis x = 50 dengan
y = 40. Diperoleh titik A(50, 40)
B merupakan perpotongan garis x + y = 100
dengan y = 40.
x + y = 100
x + 40 = 100 x = 60Diperoleh titik B(60, 40).
C merupakan perpotongan garis x = 50 dengan
x + y = 100.
x + y = 100
50 + y = 100 y = 50Diperoleh koordinat titik C(50, 50).
Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam ke
fungsi objektif f(x, y) = 15.000x + 20.000y:
Diperoleh nilai maksimum 1.750.000 yang
diperoleh saat warung tersebut menyediakan 50
porsi menu dengan lauk ayam goreng dan 50 porsi
menu dengan lauk bebek goreng.
25. Jawaban: c
Misalkan: x = banyak tempe
y = banyak tahu
O(0, 0)
A(40, 0)
B(20, 20)
C(0,
)
0
100.000
110.000
100.000
Titik f(x, y) = 2.500x + 3.000y
Y
X
40
40 50
C
B
AO
Y
X
A B
C
100
40
0 50 100
y = 40
x + y = 100
Menu
Ayam goreng
Bebek goreng
Pembatas
Banyak
x
y
100
Harga
15.000
20.000
Porsi
x
50
Porsi
y
40
Titik Pojok
A(50, 40)
B(60, 40)
C(50, 50)
f(x, y) = 15.000x + 20.000y
15.000(50) + 20.000(40) = 1.550.000
15.000(60) + 20.000(40) = 1.700.000
15.000(50) + 20.000(50) = 1.750.000
Jenis
Tempe
Tahu
Pembatas
Banyak
x
y
400
Keuntungan
500
1.000
Harga Beli
2.500
4.000
1.450.000
44 Program Linear
Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = 500x + 1.000y dengan
kendala:
x + y 4002.500x + 4.000y 1.450.000 5x + 8y 2.900x 0y 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke f(x, y) = 500x + 1.000y:
Nilai maksimum f(x, y) = 500x + 1.000y adalah
362.500.
Jadi, keuntungan maksimum pedagang tersebut
Rp362.500,00.
26. Jawaban: e
Misalkan: x = banyak tablet jenis I
y = banyak tablet jenis II
Diperoleh model matematika:
Meminimumkan f(x, y) = 4.000x + 8.000y dengan
kendala:
5x + 10y 25 x + 2y 53x + y 5x 0y 0
Garis x + 2y = 5 melalui (5, 0) dan (0,
).
Daerah penyelesian x + 2y 5 dibatasi garisx + 2y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0).
Garis 3x + y = 5 melalui (
, 0) dan (0, 5).
Daerah penyelesian 3x + y 5 dibatasi garis3x + y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0).
Daerah penyelesaian x 0 dan y 0 berarti daerahpenyelesaiannya di kuadran I.
Daerah penyelesaian:
Menentukan titik
potong garis x+ 2y
= 5 dan 3x + y = 5.
x + 2y = 5
6x + 2y = 10
5x = 5
x = 1y = 2
Diperoleh titik potong (1, 2).
Uji titik pojok penyelesaian.
Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian
tablet per hari Rp20.000,00.
27. Jawaban: dMisal: x = banyak barang jenis I
y = banyak barang jenis II
Barang Bahan A Bahan B Bahan C Harga
Jenis I 1 3 2 40.000