Formułowanie relacji

konstytutywnych SMA

z wykorzystaniem struktur reologicznych

Artur Zbiciak

Wydział Inżynierii Lądowej

Instytut Dróg i Mostów

Warszawa, 20.10.2017 r.

• Prezentacja opisu nieliniowych elementów reologicznych przy zastosowaniu pojęć mechaniki niegładkiej i analizy wypukłej.

• Analiza oryginalnych struktur reologicznych odwzorowujących konstytutywne cechy materiałów SMA.

• Implementacja numeryczna modeli materiałów z pamięcią kształtu w środowisku systemu MES ABAQUS na podstawie autorskich algorytmów zaprogramowanych w ramach procedur użytkownika.

• Przedstawienie możliwości wykorzystania sformułowanych związków fizycznych SMA w wybranych zagadnieniach dynamiki konstrukcji.

Cel i zakres referatu

Struktury reologiczne

Reologia – dział mechaniki zajmujący się opisem zjawisk

akumulowania i dyssypacji energii w ośrodkach ciągłych.

Element reologiczny – symbol graficzny (sprężyna, tłumik,

suwak …) reprezentujący określone zjawisko energetyczne.

Struktura reologiczna – złożony schemat, zbudowany

z podstawowych elementów, odzwierciedlający zjawiska

fizyczne sprężystości i dyssypacji zachodzące w

materiale.

Rys. Przykładowa, liniowa

struktura reologiczna

Materiał liniowo-sprężysty (Hooke’a)

12

3K G

I I I IC 1

1

:2

ε ε εC

* 11:

2

σ σ σC

* : sup

ε

σ σ ε εE

εσ ε

εC

*

1

σε σ

σCRys. Symbol graficzny i

jednowymiarowa relacja

konstytutywna materiału Hooke’a

ap K3 es G2

Iσp tr3

1:

Iεa tr3

1:

Iσσs tr3

1:

Iεεe tr3

1:

Stany kuliste i dewiatorowe

Materiał lepki (ciecz Newtona)

σ εA

12

3vol dev

I I I IA 1

1

:2

ε ε εA

* 11:

2

σ σ σA

Rys. Symbol graficzny i

jednowymiarowa relacja

konstytutywna cieczy Newtona

Model sztywno-idealnie plastyczny

(Saint-Venanta)

pl

pl

σ

σ ε σ ε σ

εε pl

εσεσ

~ sup:

~pl

pl

pl

σ σ

0 gdy

:gdy pl

pl

pl

σσ

σ

σ ε ε σ

Rys. Symbol graficzny i

jednowymiarowa relacja

konstytutywna materiału Saint-

Venanta

pl σ ε σ ε σ σεplN

N : : 0pl pl

σ ε ε σ σ σV

pl

pl

σ

σ ε σ ε σ

0, 0, 0

pl pl

pl pl pl pl

F

F F

ε σ

σ σ

: : 0pl plF σ σS

Model sztywno-idealnie sprężysty

(Hencky’ego)

pe

pe

σ

σ ε σ ε σ

pe ε ε

pe

σ σ

0, 0, 0

pe pe

pe pe pe pe

F

F F

ε σ

σ σRys. Symbol graficzny i

jednowymiarowa relacja konstytutywna

materiału Hencky’ego

Model materiału z lockingiem

loc

loc

ε

σ ε σ ε ε

loc ε ε

loc

σ σ

Rys. Symbol graficzny i jednowymiarowa

relacja konstytutywna materiału z

lockingiem

Model materiału Kepesa

kp

kp

σ ε

σ ε σ ε σ ε

,

, 0, 0, , 0

kp kp

kp kp kp kp

F

F F

σε σ ε

σ ε σ ε

Rys. Pętle histerezy materiału Kepesa (a) i Saint-Venanta (b)

Zestawienie elementów nieliniowych

pl

pl

σεσεσ

σ

~~ pe

pe

σεσεσ

σ

~~loc

loc

εεσεσ

ε

~~

Model Saint-Venanta Model Hencky-ego Materiał z lockingiem

Następstwo różniczkowe inkluzji

1

Npl

pl

pl

pl

ε σ ε

σ

ε σ

C

c

1

c

D

D ,

Npl

pl

pl

pl

t

ε σ ε

σ σ

ε σ

C

0,dist inf lim::,D0

ch

htt

pl

hpl

σσσσ

Pochodna kontyngentowa

odwzorowania wielowartościowego:

Jawna postać relacji konstytutywnej

12

1:, 22

pl

HMH

pl kF sσ

t

t0

d es

2

gdy 2 1

gdy 2 1

pl

pl

G

k

k

s e e

0 se

s s

12 22 kGk

G es

2

2

gdy 2

gdy 22

pl

pl

G

k

kk

s e e

0 s

es e

s s

Model bez wzmocnienia:

związki Prandtla-Reussa

Zagadnienie początkowo-brzegowe

, ,

i

i

i i if

σ ε ε

ε σ ε ε

C

1,,2,1 ni

d iv u σ f

T grad grad

2

1uuε

uu ~

qnσ

0εuuuu i,~,~

ktt ,0, x

ktt ,0, x

ktt ,, 0 x

0 t,x

ku tt ,, 0 x

ktt ,0, x

Implementacja MES – program ABAQUS

Całkowanie równań ruchu

(MRC albo metoda Newmarka)

Związki geometryczne

VUMAT albo UMAT

Całkowanie relacji konstytutywnych

tt u

tt ε

tt σ

• Zdolność do przenoszenia (utrzymywania) stałej wartości

naprężeń

• Brak trwałych odkształceń po odciążeniu

• Dyssypacja (rozpraszanie) energii

Rys. Pętle histerezy prętów SMA

(nitinol) w stałej temperaturze

(Lammering, Schmidt, 2001).

Charakterystyka materiałów SMA

G. Song, N. Ma, H.-N. Li (2006)

Schematy ideowe zastosowań SMA

Seismic retrofit of the bell tower of the church of San Giorgio in

Trignano (DesRoches and Smith, 2002 )

Ochrona obiektów zabytkowych

Reologiczny model SMA

Rys. Schematyczne wykresy izotermicznego odciążania próbki SMA

a) niepełna przemiana austenitu w martenzyt;

b) pełna przemiana austenitu w martenzyt.

Podstawowa struktura reologiczna SMA

Rys. Wynik rozciągania modelu jednowymiarowej próbki ze stopu SMA

gr

pl

gr

pe

Wpływ temperatury

https://www.youtube.com/watch?v=c01PAm9GtMA

Rys. Wykresy obciążania próbki ze stopu SMA w temperaturze T1 i T2

Relacje konstytutywne podstawowego modelu

o2 eess Gpepl

o

2 22 20 , 2 , 2 0

pe pe

pe pe pe pe pe pek k

e s

s s

o

2 22 20 , 2 , 2 0

pl pl

pl pl pl pl pl plk k

e s

s s

o

o o

2

, ,SMA

G

f

o

o

SMA o

o2

o

gdy 0 2 2

gdy 0 2

e , ,gdy 0 2 2

gdy 0 2

pl pe

pl pl

pl pe

pl pl pl pl

G k k

k

fG k k

k

0 e e

0 e s

e e e ee e e

e

s e s

12

2

o

o o

o

o

o

21 1

2 2 2

22

2

pl pe pe pl

pl

pl pe pl

pe

pl

pe

pe

k

k G k k

kG

k

s e s s

e

s e e ee

s ee

Jawna postać związków fizycznych

Model SMA z lockingiem

o2 eess Glocpepl s

2 22 2

o

1 1, 0; , 0

2 2pe pe pe pe pe pe pe pek k

e s s s

02

1,

2

1,0, 2

22

2

o

plplplplplplplpl kk ssse

02

1,

2

1,0, 2

22

2

olocolocolocloc eees

o o

o

22w pl loc peG k e e

o 2

plw k2s

o 0

Przypadek szczególny

Model SMA z pętlami wewnętrznymi

Ciało z dwufazową plastycznością – zmodyfikowany model Kepesa

p p pk t t T

ttftftfkk tt

k

k 1,

0

:

,

1, gdy ,

0, gdy ,a b

t a bt

t a b

tttttkk

k

k

2

1,

2

112

,0

1sinsinsin

Struktura reologiczna SMA z pętlami wewnętrznymi

p p pk t t T

Przykładowy test numeryczny

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

czas [s]

prz

em

ieszczen

ie [

m]

-8,00E+08

-6,00E+08

-4,00E+08

-2,00E+08

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

odkształcenie [1]

na

prę

że

nie

[P

a]

Struktury reologiczne SMA z lepkością

Model komputerowy mostu

podwieszonego z tłumikami SMA

Szczegóły połączeń i widok modelu MES

Identyfikacja parametrów materiałowych cięgien SMA

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prz

ysp

ieszen

ie [

g]

Rys. Pierwsze sześć postaci drgań własnych i

odpowiadające im częstotliwości mostu

porównawczego.

Rys. Sygnał wymuszenia kinematycznego

przyjęty do analizy.

Symulacja drgań mostu

Rys. Pętla histerezy w cięgnach

SMA

Rys. Wykresy przemieszczeń

pionowych przęsła

Wyniki obliczeń komputerowych

Redukcja sił wewnętrznych w podstawie

pylonu

Rys. Momenty zginające

Rys. Siły poprzeczne

Podsumowanie

Zaproponowano oryginalne struktury reologiczne odwzorowujące konstytutywne

cechy SMA, zawierające nieklasyczne elementy opisywane za pomocą

nierówności wariacyjnych.

Relacje konstytutywne SMA formułowano w formie jawnych równań

różniczkowych zwyczajnych.

Przedstawiono metodykę rozwiązywania zagadnień początkowo-brzegowych

przy zastosowaniu systemu MES oraz autorskich procedur materiałowych.

Tematyka dalszych badań może obejmować zagadnienia identyfikacji

nowoczesnych materiałów konstrukcyjnych za pomocą zaproponowanych

struktur reologicznych.

Opracowana metodyka może być wdrożona do analizy konstrukcji budowlanych

wyposażonych w dyssypatory energii.

Dziękuję za uwagę