Post on 15-Aug-2019
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 1
KISI-KISI & PEMBAHASAN SOAL MIRIP UAS X
MATEMATIKA PEMINATAN
Soal 1
Diberikan dua vektor sebagai berikut:
b
Gambarkan vektor a) ba
2 b) ba
Jawab:
a) Untuk menggambar vektor ba
2 , gambar dahulu vektor a
2 , lalu disambung dengan
vektor b
. Vektor a
2 adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a
dan arahnya sama
dengan arah vektor a
. Gambar dulu yuk vektor a
2 :
Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b
. Letakkan pangkal vektor b
pada
ujung vektor a
2 :
Lalu mana vektor ba
2 ?
Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a
2 ) ke
ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b
). Itulah vektor ba
2 . Gambarnye:
a
a
2
a
2
b
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 2
b) Untuk menggambar vektor ba
, gambar dahulu vektor a
, lalu disambung dengan
vektor b
. Pertama, gambar vektor a
:
Selanjutnya, vektor b
adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor
b
, tapi arahnya berlawanan dengan arah vektor b
.
Kalau vektor b
arahnya ke kanan atas:
Maka vektor b
arahnya ke kiri bawah:
Geser vektor b
ini ke vektor a
, pangkal vektor b
ditempelkan ke ujung vektor
a
.
a
2
b
ba
2
a
b
b
a
b
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 3
Nah, hubungin pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a
) ke
ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b
), jadi deh vektor ba
.
Soal 2a
Diketahui 4a
, 61ba
, sudut apit antara vektor a
dan b
adalah 60o. Maka ....b
Jawab:
Untuk soal ini, gunakan rumus menawan berikut:
cos222
bababa
dengan adalah sudut apit antara vektor a
dan b
.
Masukkan nilai-nilai yang ada,
cos222
bababa
60cos4246122 bb
2
1421661
2 bb
kuadratkan
bb
416612
6116402
bb
45402
bb
a
b
ba
Hafalin rumus ini yuuuk…!!
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 4
590 bb
09 b
atau 05 b
9b
atau 5b
Solusinya adalah 5b
sebab panjang vektor diasumsikan positif. Jadi, 5b
.
(Ternyata, memecahkan soal vektor tidak sesulit memecahkan batu karang dengan
gergaji!!)
Soal 2b
Diketahui persamaan cba
32 dengan
2
1
5
a
,
3
9
mb
dan
12
8
n
k
c
.
Maka nilai k + m + n = ….
Jawab:
Kita mulai dari persamaan:
cba
32 .
Masukkan nilai vektor cba
dan , , , sehingga menjadi:
12
8
3
9
3
2
1
5
2
n
k
m
12
8
9
3
27
4
2
10
n
k
m
129
83
27
4
2
10
n
m
k
Dari sini, kita peroleh:
k 2710 17k
832 m 2m
1294 n 7n
Sehingga 127217 nmk .
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 5
Soal 3a
Titik D(4, 7), E(5, –1) dan F(p, 6) terletak pada satu garis lurus. Maka nilai 30p – 1 = …
Jawab:
Jika titik D, E dan F segaris, maka berlaku:
DEmDF
)( demdf
7
4
1
5
7
4
6m
p
8
1
1
4m
p
Dari sini,
14 mp dan m81
m8
1
18
14 p
48
1p
8
14p
8
33p
Maka nilai dari 4
3122
4
491
8
982
8
8
8
9901
8
33.30130 p .
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 6
Soal 3b
Apakah syarat dua vektor sejajar? Jelaskan!
Nah, jika vektor
q
ps 2
12
sejajar dengan vektor
2
1
3
t
.maka nilai ....22 qp
Jawab:
Dua vektor sejajar jika vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang lain.
Jika vektor s
sejajar dengan vektor t
, maka dapat ditulis
tms
(dengan m suatu bilangan riil)
Masukkan nilai vektor s
dan t
pada soal, didapatkan:
2
1
3
2
12
m
q
p
Dari komponen pertama,
12 = m . 3
m = 4
Dari komponen kedua,
12 mp
142 p
p = 2
Dari komponen ketiga,
)2( mq
)2(4 q
8q
Maka nilai .68644)8(2 2222 qp
Soal 3c
Jika jip
2 dan kjiq
maka ....3 qp
Jawab:
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 7
kjikjijikjijiqp
3253332)(3)2(3 .
Maka 3894253253 222 qp
.
Soal 4a
Diberikan
0
2
6
a
dan
2
5
3
b
.
Tentukan: (i) hasil kali skalar ....ba
(ii) vektor satuan searah vektor b
(iii) panjang proyeksi vektor a
pada b
(iv) proyeksi vektor orthogonal a
pada b
Jawab:
(i) Hasil kali 801018
2
5
3
0
2
6
ba
.
(ii) Vektor satuan searah vektor b
adalah b
b
.
38
238
538
3
222 38
2
5
3
4259
2
5
3
25)3(
2
5
3
b
b
.
(iii) Panjang proyeksi vektor a
pada b
adalah b
ba
.
38
8
38
01018
25)3(
2
5
3
0
2
6
222
b
ba
.
Kalau mau dirasionalkan penyebutnya juga boleh!!
3819
438
38
8
38
38
38
8
38
8
.
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 8
(iv) Proyeksi vektor orthogonal a
pada b
adalah b
b
ba
2.
2
5
3
25)3(
2
5
3
0
2
6
2222
2b
b
ba
2
5
3
25)3(
01018
222
2
5
3
38
8
2
5
3
19
4
Kalau bilangan 19
4dimasukin ke dalam komponen-komponen vektor juga boleh, nggak
dimarahin kok!
198
1920
1912
2
5
3
19
4.
Soal 4b
Diberikan titik-titik P(3, 1, 2), Q(4, 1, –2) dan R(0, 2, 2). Tentukan:
(i) Jarak PQ
(ii) Jika adalah sudut yang dibentuk antara vektor
PQ dan
PR , tentukan nilai cos .
Jawab:
(i) Cari dulu vektor
PQ , kemudian hitung panjangnya (yaitu PQ).
4
0
1
2
1
3
2
1
4
pqPQ
.
Maka 171601)4(01 222
PQPQ .
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 9
(ii) Gunakan rumus
PRPQ
PRPQcos
Dari soal (i) sudah didapatkan
4
0
1
PQ dan 17
PQ . Sekarang kita cari
PR dan
PR .
0
1
3
2
1
3
2
2
0
prPR
,
sehingga 1001901)3( 222
PR .
Maka 170
3
170
003
1017
0
1
3
4
0
1
cos
PRPQ
PRPQ.
Soal Matematika ada 2 macam:
1. Soal yang singkat, mudah dan simpel.
2. Soal yang mengasyikkan …
Soal 5
Di suatu bidang terletak titik A(7, 0) dan titik B(–14, 7). Titik P terletak pada ruas garis AB
sehingga AP : PB = 4 : 3. Sedangkan titik Q terletak pada perpanjangan AB sedemikian
sehingga AB : BQ = 7 : 2. Tentukan koordinat titik P dan titik Q!
Jawab:
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 10
Perhatikan gambar!
Titik P terletak di dalam ruas garis AB. Vektor posisi titik P dapat dicari dengan persamaan:
4
5
7
28
35
7
0
21
28
56
7
0
73
7
144
34
34 abp
.
sehingga koordinat titik P adalah (–5, 4).
Untuk titik Q, perhatikan bahwa titik Q terletak di luar ruas garis AB.
Perhatikan gambar di atas! Karena AB : BQ = 7 : 2 , maka AQ : QB = 9 : –2 sehingga vektor
posisi titik Q dapat dinyatakan dengan persamaan
9
20
7
63
140
7
0
14
63
126
7
0
72
7
149
29
29 abq
Sehingga koordinat titik Q adalah (–20, 9).
Soal 6a
Vektor
4
3
9
a
tegak lurus vektor
13
4
1
m
b
. Tentukan nilai m.
Jawab:
Jika vektor a
tegak lurus b
maka berlaku persamaan: 0ba
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 11
(Bukti: Jika vektor a
tegak lurus b
maka sudut apitnya 90 , sehingga
0090coscos babababa
, terbukti)
Jadi, 0ba
0
13
4
1
4
3
9
m
0)13(44.31.9 m
0412129 m
0112 m
112 m
12
1m
Soal 6b
Diberikan vektor a = –2i + j + xk dan vektor b = 4i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a
pada b adalah 8, maka x = ....
Jawab:
INGAT! Panjang proyeksi vektor a pada b adalah b
ba .
Dalam bentuk vektor kolom, vektor a dan b bisa juga ditulis:
a = –2i + j + xk
x
1
2
b = 4i – 2j + 6k
6
2
4
Karena panjang proyeksinya 8, maka:
b
ba = 8
8
6)2(4
6
2
4
1
2
222
x
-
836416
628
x
856
610
x
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 12
8142
610
x
1416610 x
1014166 x
6
101416 x
3
5148 x (Pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2)
Soal 7a
Diketahui vektor-vektor satuan arah sumbu X, Y dan Z berturut-turut adalah kji
dan , , .
Tentukan: (a) i
(ii) k
(iii) kk (d) ji
Jawab:
(a) 1i
(Alasan: Karena i
adalah vektor satuan, panjangnya tentu 1 satuan dong!)
(b) 1k
(Alasan: k
juga vektor satuan)
(c) 11.1.10cos kkkk
(INGAT! Sudut antara vektor k
dengan k
adalah 0o. INGAT juga nilai 10cos )
(d) 00.1.190cos jiji
(INGAT! Sudut antara vektor i
dan j
adalah 90 .
INGAT juga )090cos
Soal 7b
Diketahui 8a
dan 32b
. Sudut apit antara vektor a
dan b
adalah 30o. Nilai dari
....ba
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 13
Jawab:
Gunakan definisi perkalian skalar cosbaba
. Maka:
.243832
131630cos328cos baba
Soal 8
Pada jajargenjang PQRS, vektor uQP
dan vQR
.
Titik X adalah titik tengah SR, sedangkan titik Y adalah titik tengah PS. Nyatakan vektor:
(a)
QX
(b)
XY
dalam u
dan v
!
Jawab:
(a) Perhatikan gambar!
.
(b) Perhatikan gambar!
(Lihat vektor
SY dan v
berlawanan arah)
8
uvRXQRQX
2
1
vuSYXSXY
2
1
2
1
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 14
Soal 9
Perhatikan skema vektor-vektor berikut ini! Tentukan hubungan antara vektor-vektor berikut
ini:
(a)
(b)
Jawab:
(a) Perhatikan vektor w, y dan z!
Kalau ketiga vektor ini ditambah, maka hasilnya apa?
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 15
Hasilnya adalah vektor x ! Lihat gambar berikut:
Jadi, hubungannya dapat dinyatakan dengan persamaan:
w + y + z = x
(b) Perhatikan gambar!
Jika vektor
,KL
,LM
,MP
,PQ
,QR dan
RK ditambah, ternyata posisinya balik lagi
ke posisi semula. Karena balik ke posisi semula, maka vektor resultannya adalah vektor
.0
Sehingga hubungannya dapat kita tulis sebagai:
0
RKQRPQMPLMKL
Soal 10
Aku sebuah vektor dalam dua dimensi. Panjangku 170 satuan. Aku tegak lurus vektor
11
7. Komponen x-ku lebih besar daripada komponen y-ku. Siapakah aku?
Jawab:
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 16
Misalkan aku =
y
x. Karena panjangku 170 , maka
17022 yx
170 22 yx ……. (*)
Karena aku tegak lurus vektor
11
7, maka:
0117 yx
xy 711
xy11
7 …….(**)
Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*),
17011
72
2
xx
170121
49 22 xx
170121
49
121
121 22 xx
170121
170 2 x
1212 x
11atau 11 xx
Jika 11x maka 71111
7
11
7 xy .
Jika 11x maka 7)11(11
7
11
7 xy .
Karena pada soal disebutkan “komponen x-ku lebih besar daripada komponen y-ku”, maka
kita pilih 11x dan 7y .
Jadi, aku adalah vektor
7
11.
011
7
y
x
SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 17