Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)

� Bu bölümde, doğrusal, prizmatik,

homojen ve lineer elastik

davranan bir elemanın eksenine

dik doğrultuda yüklerin etkimesi

durumunda en kesitinde oluşan

kesme gerilmeleri incelenecek.

� Burada çıkarılacak formüller her

durum için kullanılabilir

olmamasına rağmen, pratikte

karşınıza çıkabilecek bir çok

durumu kapsamaktadır.

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Doğrusal Elemanlarda Kesme

� Kirişler/kolonlar genellikle hem moment hem de kesme kuvveti etkilerine aynızamanda maruz kalırlar. Kiriş en kesitinde oluşan V kesme kuvveti en kesittekikesme gerilmelerinin bileşkesidir.

� Dikkat edilirse, en kesitüzerinde oluşan düşey kesmegerilmelerini dengeleyecekyatay kesme gerilmeleri deoluşmaktadır.

Düşey Kesme Gerilmesi

Yatay Kesme Gerilmesi

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Doğrusal Elemanlarda Kesme

� Fiziksel olarak kirişin neden ekseni doğrultusunda kesme gerilmelerininoluştuğunu göstermek mümkündür. Aşağıdaki kirişi ele alalım:

Ahşap kirişler birbirine yapıştırılmamış durumda

Kirişlerin yüzeylerinin pürüzsüz olduğu düşünülürse, P kuvveti kirişleri şekildeki gibi deforme edecektir. Kirişler birbirleri üzerinde kayacaktır.

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Doğrusal Elemanlarda Kesme

� Bundan farklı olarak, eğer kirişler birbirine tutturulmuşsa, bir başka deyişle,birbirleri üzerinde kaymaları engellemişse, kirişler arasında eksenel doğrultudakesme gerilmeleri oluşacaktır ve kiriş bir bütün olarak davranacaktır:

Ahşap kirişler birbirine yapıştırılmış durumda

� Kesme gerilmelerinden dolayı kesme şekil değiştirmeleri oluşacak ve kiriş enkesiti karmaşık bir şekilde şeklini değiştirecektir.

� Bunu göstermek için yüksek düzeyde şekil değiştirebilen malzemeden (örneğinkauçuk) yapılmış bir kirişin eksenine dik doğrultuda etkiyen bir kuvvet altındaşekil değişimini inceleyelim:

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Doğrusal Elemanlarda Kesme

Deformasyondan Önce

Deformasyondan Sonra

Dikkat edilirse, en kesit üniform olmayan bir şekilde

deforme oluyor, bunun sebebi en kesitteki üniform olmayan

gerilmelerdir.

�Hatırlanırsa, eğilme formülü çıkarılırken en kesitin düzlemsel ve kiriş

eksenine dik kaldığını kabul etmiştik. Bu kabul kiriş hem kesme

kuvvetine hem de eğilme momentine maruz kaldığında ihlal

edilmektedir. Ancak özellikle narin kirişler için en kesit

deformasyonunun ihmal edilebilir düzeyde küçük olduğu kabul

edilebilir. Bu deformasyonları ihmal etmeyen kiriş teorileri mevcuttur

(Timoshenko ve Jourawsky teorileri).

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Doğrusal Elemanlarda Kesme

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü

� Bu bölümde en kesitteki kesme kuvveti ve en kesitte meydana gelen kesmegerilmeleri arasında bir ilişki geliştirilecektir. Bunun için aşağıdaki kirişindengesi incelenecektir.

dx kalınlığındaki bir kiriş parçası

Kesit düzlemiAlan =

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü

� Bu kiriş parçasında sadece normal gerilme dağılımını gösteren diyagramaşağıda verilmiştir. Bu dağılım M ve M + dM eğilme momentleri etkisindendolayıdır:

V ve V + dV ve w(x) etkisinden dolayı oluşan gerilmeler serbest cisim diyagramında gösterilmemişlerdir, çünkü bu etkiler düşey yönde etkimektedir.

0xF =∑Sağlanmak zorundadır, çünkü en kesitin her

iki tarafına sadece kuvvet çiftleri yani momentler etkimektedir.

sağlanır!Kesit düzlemi

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü

� Şimdi aşağıda verilen kesitin y’ mesafesindeki koyu üst kısmını inceleyelim. Bukısmın taban kalınlığı t ve en kesit alanı ise A’ olsun. İki en kesit arasındakimoment farkı dM’dir.

Dikkat edilirse, iki en kesitarasındaki moment farkı dMolduğuna göre, eğer kesmegerilmesi olmazsasağlanmaz.

0xF =∑τ

Kesit düzlemi

Üç boyutlu görünüm

Gerilme dağılımının yandan görünüşü

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü

� Bu gerilmesinin t kalınlığı boyunca sabit olduğu kabul edilirse, t(dx) alanınaetkidiği görülür. x yönündeki kuvvetlerin dengesinden:

( )

( )

( )

0; 0

0

xA A

A A

A

F dA dA t dx

M dM MydA ydA t dx

I I

dMydA t dx

I

σ σ τ

τ

τ

′ ′

′ ′

′

′= − − ⋅ =

+ − − ⋅ =

= ⋅

∑ ∫ ∫

∫ ∫

∫

Buradan çekilirse, aşağıdaki ifade bulunur: τ

1

A

dMydA

It dxτ

′= ∫

τ

dx

dMV

dx= ve

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü

� Yukarıdaki denklem için şu gözlemleri yapmak mümkün:

1

A

dMydA

It dxτ

′= ∫

AQ ydA y A

′′ ′= =∫

Q ifadesi koyu en kesitin, alan merkezinden nötr

eksene göre bulunan birinci alan momentidir.

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü

� Bu durumda kesme formülü aşağıdaki formu alır:

VQ

Itτ =

V: Kesitteki iç bileşke kesme kuvveti

τ : Kesitte nötr eksenden y’ mesafesindeki üniform kesme gerilmesi

Q: t kalınlığının üstünde kalan alanın alan merkezinden nötr eksene göre birinci alan momenti

I: Tüm kesitin nötr eksene göre atalet momenti

t: Kesme gerilmesinin hesaplandığı noktadaki kesitin genişliği.

� Bu denklem boyuna doğrultudaki kesme gerilmesi dikkate alınarak çıkarılmıştır.Ancak düşey kesme gerilmelerinin hesabında da kullanılır, çünkü boyunakesme gerilmesi düşey kesme gerilmesine eşittir (dengeden dolayı).

VQ

Itτ =

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü

Kesme formülündeki temel kabul kesmegerilmesinin kalınlık boyunca t (b),üniform dağıldığıdır.

Oysaki, daha kesin analizler bununböyle olmadığını ve gerilme dağılımınınb/h oranına bağlı olarak t kalınlığıboyunca değiştiğini göstermektedir.

b/h = 0.5 için %3’lük bir hata (kabuledilebilir)

b/h = 2 için %40’lık bir hata (kabuledilemez).

(Gövde)(Başlık)

� Kesme formülü başlık vegövdenin birleştiği noktaiçin de doğru sonuçlarvermez, çünkü bubölgede ani kesitdeğişikliği olduğu içingerilme yığılmalarıoluşmaktadır.

� Ancak bu durumuygulamada sorunoluşturmamaktadır,çünkü mühendislergenellikle kesittekimaksimum gerilmeler ileilgilenirler.

� I-kirişte oluşan ortalamamaksimum kaymagerilmesi nötr eksenüzerinde oluşmaktadır.

Mechanics of Materials, Ninth EditionR. C. Hibbeler

Copyright ©2014 by Pearson Education, Inc.All rights reserved.

07_08b-c

Gerilmenin Olmadığı Serbest

Yüzey

Kesme formülü ile elde edilen gerilme dağılımı

Kesme formülü prizmatik olmayan kesitlere uygulanırken de dikkat edilmelidir.

Mechanics of Materials, Ninth EditionR. C. Hibbeler

Copyright ©2014 by Pearson Education, Inc.All rights reserved.

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü – Dikdörtgen Kesitler

� Kesme gerilmesi formülünü dikdörtgen bir kesit için uygulayalım:

A’ alanı ile gösterilen bölgenin tabanında oluşan kesme gerilmesini hesaplayalım

(bir başka deyişle, nötr eksenden y mesafesinde gelişen kesmegerilmesini hesaplayalım).

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü – Dikdörtgen Kesitler

� Q değerini hesaplayalım:

VQ

Itτ =

22

1

2 2 2

1 =

2 4

h hQ y A y y y b

hy b

′ ′= = + − −

−

( )

( )

22

3

22

3

1/ 24

1/12

6V =

bh 4

hV y b

VQ

It bh b

hy

τ

−

= =

−

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü – Dikdörtgen Kesitler

� Bu sonuç kesitte kesme gerilmelerinin parabolik olarak dağıldığını gösterir:

22

3

6V=

bh 4

hyτ

−

Kesme gerilmeleri maksimum değerine y = 0’da minimum değeri olan 0

değerine ise y = +/-(h/2 )’da ulaşır. Maksimum değeri y = 0’da aşağıdaki

gibidir:

max

V=1.5

Aτ

@y = 0

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü – Dikdörtgen Kesitler

� Maksimum kesme gerilmesi değeri direkt olarak kesme formülü kullanılarakda bulunabilirdi. V, I ve t sabit olduğuna göre, Q’nun maksimum olduğudurumda maksimum kesme gerilmeleri oluşacaktır. Q nun maksimum olduğudurum ise nötr eksenin üzerindeki alanın dikkate alındığı durumdur:

( )max 3

VQ 4 2= 1.5

It 1/12

h bhV

V

Abh bτ

= =

Dikkat edilirse, kesme formülü ile elde edilen maksimum kesme

gerilmesi, ortalama kesme gerilmesi ile elde edilen gerilmeden

%50 daha fazladır!

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)Kesme Formülü – Dikdörtgen Kesitler

Örnek - 1

� Şekilde çelik I kirişinin boyutları verilmiştir. Eğer V = 80 kN ise kirişte kesitinde oluşan kesme kuvveti diyagramını çiziniz.

Örnek – 1 (devam)

� Kesme diyagramı parabolik bir şekilde değişecektir ve aşağıdaki diyagram

gibi olacaktır. Gerilme dağılımı simetrik olduğundan, sadece B’, B ve C

noktalarındaki gerilemeler hesaplanacaktır:

� Önce kesitin toplam atalet momentini I’yı bulalım,:bunun için paralel eksenler teoremi kullanılacaktır:

Örnek – 1 (devam)

0.015m

� B’ için A’ aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Örnek – 1 (devam)

� Benzer şekilde B için A’ aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Örnek – 1 (devam)

ve

� Benzer şekilde C için A’ aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Örnek – 1 (devam)

ve

� Dikkat edilirse, kesme gerilmelerinin çok önemli bir kısmı gövdede oluşmaktadır ve değeri ise 22.6 MPa’dan, 25.2 MPa değişmektedir, yani az bir değişim gözlenmektedir. Bu sebeple, bazı tasarım yönetmeliklerinde ortalama kesme gerilmesi formülü kullanılmasına izin verilmektedir.

Örnek – 1 (devam)

Örnek - 2

� Şekilde gösterilen kiriş, iki parçadan oluşmaktadır. Bu iki parçayı birbirine bağlayan yapıştırıcıyı zorlayan maksimum kesme gerilmesini bulunuz.

Örnek – 2 (devam)

� İlk önce, kirişte meydana gelen maksimum kesme kuvvetini bulacağız. Bunun için kesme diyagramını çizmemiz gerekmekte.

Maksimum kesme kuvvetinin 19.5 kN

olduğunu buluruz.

Örnek – 2 (devam)

� Nötr eksene göre atalet momentini bulmamız gerekmekte, bunun için nötr eksenini yerini yani alan merkezini bulmamız gerekmekte. Kesitin tabanından geçen yatay eksen referans ekseni seçilerek, alan merkezi bulunacak:

Örnek – 2 (devam)

� Şimdi nötr eksene göre atalet momenti hesaplanabilir:

=0.120m

Örnek – 2 (devam)

� İki parçanın birleştiği noktadaki kesme gerilmesi hesaplanabilir:

Örnek – 3

� Şekil gösterilen kiriş dikdörtgen kesite sahiptir. Yüklemeden dolayı C noktasındaki gerilme durumunu hesaplayınız.

Örnek – 3 (devam)� Önce mesnet reaksiyonlarını bulalım ve sonra C noktasındaki iç kuvvetleri hesaplayalım.

� Sonra C noktasında keserek C noktasındaki iç kuvvetleri buluruz:

Örnek – 3 (devam)� Normal kuvvetin yarattığı gerilmeler:

� Kesme kuvvetinin yarattığı kesme gerilmeleri:

Olduğundan kesme gerilmesi de sıfırdır.

Örnek – 3 (devam)

� Eğilme momentinin yarattığı normal gerilmeler:

� Süperpozisyon kuralı kullanılarak, C noktasındaki toplam gerilme bulunabilir, dikkate edilirse, kesme gerilmesi sıfırdı: