Post on 27-Dec-2019
Kinematika hmotného bodu
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Rýchlosť ako derivácia, dráha ako integrál, polohový vektor, zrýchlenie
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
s [m
]
t [s]
∆t5
∆s5
∆t5 ∆s5
s [m]0 2 4 6 8 10
t [s] s [m]
∆t3
∆s3
∆t3 ∆s3
∆t2
∆s2
∆t2 ∆s2
∆s1
∆t1
∆t1 ∆s1
vt
s
t
s
t
s =∆∆==
∆∆=
∆∆
5
5
2
2
1
1 ...
0→∆t
vdt
ds
t
st
==∆∆
→∆ 0lim
0 02 2
4 4
10 10
∆t = 2s
∆s4∆t4
∆t4
∆s4
6 68 8
ts 1= vts =v=1ms-1
Rovnomerný pohyb
30.006.0
22.605.0
16.094.0
10.533.0
6.032.0
2.531.0
s [m]t [s]
0m
∆t=1s
0 1 2 3 4 5 60
5
10
15
20
25
30
s [m
]
t [s]
2.53m6.03m
10.53m
16.09m
22.60m
30.00m
20 2
1attvs +=
v0=2ms-1
a=1ms-2
212
12 tts +=
∆s1
∆s2
∆s3
∆s4
∆s5
Nerovnomerný pohyb
dt
dsv =
v0=2ms-1
a=1ms-2
dt
dva =
212
12 tts +=
20 2
1attvs +=
0 1 2 3 4 5 60
5
10
15
20
25
30
35
s [m
]
t [s]0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
8
10
v [m
s-1]
t [s]
tv += 2
atvv += 0
1=a
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
a [m
s-2]
t [s]
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
v [m
s-1]
t [s]
Rovnomerne zrýchlený pohyb
tv =
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7v
[ms-1
]
t [s]
Rovnomerný pohyb
.konštv =
vts =
msmss 2555 1 == −
Akú dráhu prejde za čas 5s?2
vts =
Akú dráhu prejde za čas 5s?
msms
s 5.122
55 1
==−
Dráha zodpovedá ploche pod krivkou ...
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7v
[ms-1
]
t [s]
Rovnomerne zrýchlený pohyb
tv =
v1
v2
v3
v4
v5
∑=
∆=5
1ii tvs
Ešte vylepšenie ∆t→0
∫ funkcia
Integrál z funkcie
veľká nepresnosť, zmenšenie ∆t
∑ ∆=→∆
ii
ttvs
0lim
Základné pravidlá derivovania a integrovania
1')( −= nn nxx
)cos())(sin( ' xx =
)sin())(cos( ' xx −=xx ee =')(
xx
1))(ln( ' =
)1(,1
1
−≠++
=+
∫ nCn
xdxx
nn
Cxdxx +−=∫ )cos()sin(
Cxdxx +=∫ )sin()cos(
Cedxe xx +=∫Cxdx
x+=∫ )ln(
1
Príklady derivovania a integrovania
23
3)(
xdx
xd =
∫ =3
32 xdxx 22
3
33
13xx
dx
xd
==
∫ == 33
2
333 x
xdxx
dt
dsv =
Dôkaz výpočtu dráhy rovnomerne zrýchleného pohybu pomocou integrálu
( ) ∫∫ =+s
s
t
dsdtatv00
0
∫∫∫ =+s
s
tt
dsdttadtv000
0
[ ] [ ]ss
t
t st
atv0
0
2
00 2=
+
02
0 2
1ssattv −=+
2
2
1t
t
vs =
atv =t
va =
dsvdt = ∫∫ =s
s
t
dsdtv00
vts2
1=
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7v
[ms-1
]
t [s]
atvv += 021 −= msa
10 0 −= msv
200 2
1attvss ++=2
2
1ats =
00 =s00 =v
Súradnicový systém a polohový vektor
x
y
z
pravotočivý súradnicový systém
υυυυϕϕϕϕ
ϕυ coscosr=xr
ϕυ sincosr=yr
υsinr=zr
sférický súradnicový systém
kartézsky súradnicový systém
ir xx r=
krzz =r
jryy =r
krjrr zyx ++= ir
r
r’
r1r2 r3 r4
r5 r6
t1t2 t3 t4 t5
t6
)(trr=Polohový vektor pohybujúceho sa bodu je funkciou času.
r1
t1
r2
t2
∆∆∆∆r
21 r∆rr =+
12 rrr −=∆
12 tt∆t −=
?
r∆r d→0→∆t
Zmenšovanie časového intervalu�lepšie popísanie krivky
r1
t1
r2
t2
∆∆∆∆r
Rýchlosť – vektor rýchlosti
tt ∆∆=
→∆
rv
0lim
tp ∆∆= r
v
Priemerná (stredná) rýchlosť
t
∆svp ∆
= (priamočiary pohyb)
τr
vdt
ds
dt
d == okamžitá rýchlosť
zyx vvvdt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
zyxd
dt
dkjikji
kjirv ++=++=++== )(
222zyx vvv ++=v 22
yx vv +=vpre tri zložky rýchlosti pre dve zložky rýchlosti
[ms-1] … jednotka rýchlosti
Zrýchlenie – vektor zrýchlenia
tt ∆∆=
→∆
va
0lim
2
2
dt
d
dtdt
dd
dt
d rr
va =
==
zyxzyx aaa
dt
dv
dt
dv
dt
dvkjikjia ++=++=
222zyx aaa ++=a 22
yx aa +=apre tri zložky zrýchlenia pre dve zložky zrýchlenia
[ms-2] … jednotka zrýchlenia
Klasifikácia pohybov
τv v=
v=konšt.
≠konšt
Rovnomerný pohyb
Nerovnomerný pohyb
ττττ=konšt.
≠konšt
Priamočiary pohyb
Krivočiary pohyb
Kinematika hmotného bodu II
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Pohyb po kružnici, tangenciálne a normálové zrýchlenie, pohyb za účinku vlastnej tiaže (vrhy)
α v
2
2
dt
d
dt
d αωε ==
ε ... uhlové zrýchlenieω ... uhlová rýchlosťα ... uhol
τττττα α=τω ω=τε ε=
dt
dαω =
dt
drv =
2
2
dt
d
dt
d rva ==
αωαω ddtdt
d =⇒=
[ ] [ ]αααω000 =tt [ ] [ ]αααεω
0
0
2
00 2=
+
t
t tt
αω ddt =0 ( ) αεω ddtt =+0
∫∫ =α
α
αω00
0 ddtt
( ) ∫∫ =+α
α
αεω00
0 ddttt
∫∫ =α
α
αω00
0 ddtt
∫∫∫ =+α
α
αεω000
0 dtdtdttt
00 ααω −=t 02
0 2
1 ααεω −=+ tt
00 =αv čase t=0
αω =t0 αεω =+ 20 2
1tt
Rovnomerný pohyb po kružnici
.0 konšt== ωωRovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici
.konšt≠ω tεωω += 0
aεεεεvωωωω
s (r)αααα
Priamočiary pohybPohyb po kružnici
Analógia veličín a vzťahov pre priamočiary pohyb a pohyb po kružnici
dt
dαω =
dt
drv =
dt
dωε =
dt
dva =
tεωω += 0 atvv += 0
20 2
1tt εωα += 2
0 2
1attvs +=
α
R
sα
π2Rs = ... obvod celého kruhu
αRs = ... kruhový oblúk
αRdds = ... malý element
dt
dRv
α= ωRv =
Ak uvážime smer vektorov tak platí:
Rωv ×=
dt
dsv =
Vychádzame zo vzťahu:
obvodová rýchlosť
vωωωω
R
uhlová rýchlosť
polomer
Perióda kruhového pohybu (T)(vyjadruje čas, za ktorý hm. b. vykonal rovnomerným pohybom jeden obeh po kružnici)
Frekvencia kruhového pohybu (f)(vyjadruje počet obehov za jednotku času)
len pre rovnomerný pohyb po kružnici!!!!!
ωππ
R
R
v
R
v
sT
22 ===ωπ2=T
Tf
1=π
ω2
=f
jednotka … [s]
jednotka … [Hz] (Hertz)
Príklady z praxe:autobus v zákruteodletujúce iskry z brúskycentrifúga, kolotoč
at ... tangenciálne zrýchlenie(vyjadruje zmenu veľkosti rýchlosti)
an ... normálové zrýchlenie(vyjadruje zmenu smeru rýchlosti)
an
at
a
ρρρρ
ττττnt aaa +=
ρa
τa
n
t
n
t
a
a
−==
22nt aa +=a
ρρρρ
( )dt
dv
dt
dvv
dt
d
dt
d τττ
va +=== .
αdd =τ
anat
ττττ’
ττττττττ’
dττττdαααα
Pre veľkosť dτ platí:
R
dsd =τ ρτ
R
dsd −=uvážime aj smer:
ρτaR
ds
dtv
dt
dv 1−=dt
dvt =a
R
vn
2
=a
... smer dotyčnice
... smer do stredu krivosti dráhy
ρτaR
v
dt
dv 2
−=
anat
v0
g
vodorovný vrh
v0
g
šikmý vrh
v gravitačnom poli sa prejavujú účinky tiažegG m=
ga ↔ analógia so zrýchleným pohybom
atvv += 0
20 2
1attvs +=
gt
gt2
x
y
jiv yx vv +=
vy
vx
v αααα
vy=0
=vxv
αααα=0
-vy
vx
v αααα
-vy v
vx
αααα x
y
jg g−=j
i
jiv yx vv 000 +=na počiatku platí:
00 cosαvvox =
00 sinαvvoy =
v ľubovoľnom mieste platí:
00 cosαvvx =
gtvgtvv yy −=−= 000 sinα
voy
v0x
voαααα0000
Pre polohu hm. b. platí:
( )tvx 00 cos α=
x
y
voy
v0x
vo
αααα0000
dtvdx x=
∫∫ == dtvdtvx oo 00 coscos αα
( ) 200 2
1sin gttvy −= α
Analogicky získame: rovnice dráhy pohybu
Určenie max. výšky:
[xm,ym]
[2xm,0]
gtvvy −= 00 sinαV maxime dráhy platí, že vy=0:
gtv −= 00 sin0 αg
vt 00 sinα=
Dosadíme do rovnice dráhy za y:
( ) ( ) ( ) 2
000000
sin
2
1sinsin
−=
g
vg
g
vvym
ααα ( )g
vym 2
sin 022
0 α=
g
v
g
vxd m
0200
20 2sin
2
2sin22
αα ===
Pre dĺžku platí:
( )tvx 00 cos α=
( ) ( )[ ]βαβαβα −++= sinsin2
1cossin
g
vvxm
0000
sincos
αα=
g
vxm 2
2sin 020 α=
Vodorovný vrh:
0vvx =
gtvy −=
00 =α
tvx 0=2
2
1gty −=
Zvislý vrh nahor:
0=xv
gtvvy −= 0
o900 =α
0=x2
0 2
1gttvy −=
Vychádzame zo vzťahov pre šikmý vrh: 00 cosαvvx =
gtvvy −= 00 sinα
( )tvx 00 cos α=2
00 2
1sin gttvy −= α
Zvislý vrh nadol:
0=xv
gtvvy −−= 0
o900 −=α
0=x2
0 2
1gttvy −−=
Voľný pád:
0=xv
gtvy −=
o900 −=α
0=x2
2
1gty −=
00 =v
α0 v0Rozdelenie vrhov na základe:
Pre polohu hm. b. platí:
( )tvx 00 cos α=
x
y
voy
v0x
vo
αααα0000
dtvdx x=
∫∫ == dtvdtvx oo 00 coscos αα
( ) 200 2
1sin gttvy −= α
Analogicky získame: rovnice dráhy pohybu
Určenie max. výšky:
Vyjadríme t z rovnice dráhy pohybu pre x a dosadíme za y:
022
0
2
0000 cos2
1
cossin
ααα
v
xg
v
xvy −=
022
0
2
0 cos2 αα
v
gxxtgy −=
V maxime krivky platí:
0=dx
dy0
cos 022
00 =− mx
v
gtg
αα
g
tgvxm
02
020 cos αα=
[xm,ym]
[2xm,0]
g
tgvxm
02
020 cos αα=
g
vxm
0020 cossin αα=
g
vxm 2
2sin 020 α=
Dosadením pre ym dostávame:
20
240
022
0
020
0 4
2sin
cos22
2sin
g
v
v
g
g
vtgym
αα
αα −=
g
vym 2
sin 022
0 α=
súradnice vrcholu parabolyšikmého vrhu
g
v
g
vxd m
0200
20 2sin
2
2sin22
αα ===
Pre dĺžku platí:
( ) ( )[ ]βαβαβα −++= sinsin2
1cossin
ααααααα cossin2cossincossin2sin =+=
Dynamika hmotného bodu
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Newtonove zákony dynamiky, hmotnosť, sila, hybnosť, práca, výkon
x
y
z0≠a
1. Newtonov zákon
ak 0=ΣF tak 0=a
( )0.,0 == av konšt
281,9
5,490−==
ms
N
g
Gm
)( agF += m
Tiaž človeka na Mesiaci je asi 6xmenšia ako na Zemi.
Aká je hmotnosť?
kgm 50=
Aká je zrýchlenie?
gF
a −=m
22,1 −= msa
g
N5,490=G
bez pohybu výťahu, resp. pohyb s konšt. rýchlosťoua
a
N5,550=F
so zrýchlením nahor
PREČO?
vp m= Hybnosť – vektor určený súčinom hmotnosti hm. b. a jeho rýchlosti..
21 vv = Prečo? Nie je rozhodujúca len rýchlosť...
2. Newtonov zákon (zákon sily)
dt
dpF = tiež sa uvádza v tvare:
( )dt
dm
dt
md vvF == aF m=
jednotka ... [N] Newton [kgms-2]
2112 FF −= 3. Newtonov zákon (zákon akcie a reakcie)
2112 FF =
FVB
FBVFBV
FVK
FKV
N5,490=−= VBBV FF
NNN 5515,605,490 =+=+= BVVKKV FFF
V pokoji (v rovnováhe) podľa 2.Nz platí:
0=ΣF vo všetkých pôsobiskách síl
Ak sa poruší táto rovnosť, poruší sa rovnovážny stav.Prax: Nosnosť zariadení (žeriav+záťaž, výťahy), resp. človek na konári,
Jedna sila je ‘akčná’ a druhá ‘reakčná.3. N.z. odhaľuje základnú symetriu síl v prírode ...
Impulz sily - časový účinok sily
∫=t
dt0
FI
(veličiny rozvíjajúce Newtonove zákony)
∫=t
dtm0
aIaF m=
∫=t
dt
dmdt
0
vI ∫=
2
1
v
v
mdvI
12 vvI mm −=
12 ppI −=
Moment sily - vektorový súčin polohového vektora pôsobiska sily a vektora sily
FrM ×=
Moment hybnosti - vektorový súčin polohového vektora hm.b. a jeho hybnosti
prvrG ×=×= m
rFM
r pG
∫= rF dA o
Mechanická práca - dráhový účinok sily
dt
dAP =
Výkon – práca vykonanáza jednotku času
( )∫= drFA αcos
.konštF =( )rFA αcos=
Pre 0=αFrA =
Pre
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
F [N
]
r [m]
0
2
==
αrF
0 1 2 3 4 5 60
5
10
15
20
25
30
35
A [J
]
r [m]
∫ == 22 rrdrA
Jednotka ... [J] Joule [kgm2s-2]
[W] Watt [kgm2s-3]
F=1000N
F’ =819N
α=35ο
( )αcos' FF =
r
Jednotka ... [J] Joule [kgm2s-2]
Mechanická energia (E) =
∫=2
1
r
r
k dE rF
Kinetická energia (Ek) Potenciálna energia (Ep)
+
∫=2
1
r
r
ddt
dm r
v
∫=2
1
v
v
dm vv
21
22 2
1
2
1mvmvEk −=
∫=2
1
r
r
dm ra
2
12
2 v
v
vm
=
01 =v
2
2
1mvEk =
vdvd =vv o
∫=2
1
r
r
p dE rF
)( 12 hhmgEk −=
∫=2
1
h
h
dm rg
01 =h
mghEp =
kEA →v=0 vF
pEA →
h=0
h
F
Mechanická energia (E)
.konštEEE kp =+=
Hybnosť (p)
.konštmi
iii
i ∑∑ === vpp
Moment hybnosti (G)
.konštmi
iiii
i =×== ∑∑ vrGG
2
2
1mvEk =
mghEp =
h
Gravitačné pole II
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Intenzita a potenciál gravitačného poľa, kozmické lety
m
FE =
Mm rF
3r
Mmκ−=
rE3r
Mκ−=
Intenzita v okolí sústavy hm. b.m
FE =
mnFFF +++= ...21
m
3m
2m
1m1F
2F
3F
mmmnFFF +++= ...21
nEEE +++= ...21
∑=
=n
ii
1
EE
m
EV p=
∫−=2
1
21
r
r
p dE rF ∫=2
1
3
r
r
dmM
rrrκ
2
1
21
r
rp r
mME
−= κ
r
MV κ−=
?=pE
z Newtonovho gravitačného zákona
∫=2
1
2
r
r
dmM
rrκ
2
∑−=i i
i
r
mV κpre sústavu hm. b. platí:
r
FmM
12 r
mM
r
mM κκ +−= 0+−=r
mMκ∞→1r
EF m= gF mg =
rE3r
Mκ−= g=
gE mm =
( )2hR
Mκgh +
=
vo výške h nad zemským povrchom
20 R
Mκg = na povrchu Zeme
( )2
26
242211 818.9
10.371.6
10.974.510.671.6 −−− =−= ms
m
kgmNkggZem
2623.1 −= msgMesiac
05.6=Mesiac
Zem
g
g
gE =
mR
mR
M
p
e
kg
6
6
24
10.36,6
10.38,6
10.974,5
=
==
Re
Rp
2e
e R
Mκg =
2p
p R
Mκg =
( )26
242211
10.36,6
10.974,510.671,6
m
kgkgNmg p
−−= ( )26
242211
10.38,6
10.974,510.671,6
m
kgkgNmge
−−=
286,9 −= msg p280,9 −= msge
222
62
2
2
77,986400
10.38,6.48,3980,9
4' −− =−=−= ms
s
mms
T
Rgg e
ee
π286,9` −= msg p
?Odstredivé zrýchlenie
0=opa2
24
T
Ra e
oe
π=
Zem
1912.7 −= kms
Kozmické rýchlosti1. kozm. rýchlosť – obežnica Zeme
2. kozm. rýchlosť – opustenie gr. poľa Zeme
3. kozm. rýchlosť – opustenie Slnečnej sústavy
hR
vmmg
+=
21
( ) hR
v
hR
Rg
+=
+
21
2
2
0
hR
gRv
+= 0
1 01 Rgv =na povrchu Zeme 0=h
hv1
20 R
Mκg −=
( )2hR
Mκg
+=
og FF =Fg
Fo
( )2
2
0hR
Rgg
+=
R
mMEp κ=∞
12.11 −= kms
00 pkpk EEEE +=+ ∞∞
0 0
220 2
1mvEk =
222
1mv
R
mM =κ
R
Mv
κ22 =
15.0 −= kmsvequatorrýchlosť rotácie Zeme na rovníku
rýchlosť rotácie Zeme okolo Slnka18.29 −= kmsvaroundSun
pohyb Slnečnej sústavy v galaxii Mliečna dráha
1250 −= kmsvMilkyway
pk EE +
0=h ∞=h
14 −= kmsv 16 −= kmsv
18 −= kmsv 18 −> kmsvsource: http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/mmedia/vectors/sat.html
Dynamika sústavy hmotných bodov a tuhého telesa I
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Sústava hm. b., tuhé teleso, ťažisko, polohový vektor ťažiska
1
2
m
m
y
x =
Ťažisko ?2m1mTx y
Ťažisko dvoch hm. b. je taký bod na ich spojnici, ktorý ju delí v obrátenom pomere ich hmotností.
Polohový vektor ťažiska ?
1r 2r*r
xrr += 1*
yrr += *2
*2 rry −=
yx1
2
m
m=
yrr1
21
*
m
m+=
( )*2
1
21
* rrrr −+=m
m
2*
22111* mmmm rrrr −+=
21
2211*
mm
mm
++= rr
r
zovšeobecnením pre n – hmotných bodov
∑
∑=
ii
iii
m
mrr *
ml 1010−=
md 1510−=
510=d
lvyhovuje predstava hm. b.
Všetky zákony pre sústavu hm. b. budú platiť aj pre tuhételeso.
Dokonale tuhé teleso nemení svoj tvar – je nedeformovateľné
posunutie pôsobiska silyv priamke sily
A F
BF`
F`−posunutie pôsobiska silymimo priamky sily
AF
B
F`
F`−
r
dvojica síl – 2 rovnako veľké a opačne orientované sily, ležiace mimo priamky sily
A1F
B
2F
r1r
2r
Odvodenie momentu dvojice síl:
21 MMM += 2211 FrFrM ×+×=
222 FrM ×=
( ) 2111 FrrFrM ×++×=
( ) 2211 FrFFrM ×++×=
0
2FrM ×=111 FrM ×=
rrr += 12
Ťažisko ?
∑
∑=
ii
iii
m
mrr *
0=x
lx =
∫∫=
dm
dmrr *
∫= dmM
rr1*
∑ ∫→ Mdm =∫
dxdm
x
∫= xdmM
x1*
∫= ydmM
y1*
∫= zdmM
z1*
dVdm ρ=
∫= dVM
rrρ*
∑=i
ii mMrr
1*
dt
d ** r
v = ∑=i
ii
dt
dm
M
rv
1*
dt
d ** v
a = ∑=i
ii
dt
dm
M
va
1*
∑=i
iimM
vv1*
∑=i
iimM
vv1*
∑=i
iimM
aa1*
Dynamika sústavy hmotných bodov a tuhého telesa II
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Veta o pohybe ťažiska, moment zotrvačnosti, Steinerova veta
3m
1m2m
1eF2eF
3eF
21F
31F12F
32F
23F13F
1131211 aFFF me =++
2232122 aFFF me =++
3323133 aFFF me =++
3113 FF −=
2112 FF −=
3223 FF −=
332211321 aaaFFF mmmeee ++=++
1131211 aFFF me =++
2232212 aFFF me =+−
3332313 aFFF me =−−+
∑∑ =i
iie m aFzovšeobecnenie
∑=i
iimM
aa1*
*aF Me =∑
T
∑ eF
m
21 mmm +=1m
2m
x
z
y
Stlačené gumené guľôčky vrhnuté pod uhlom α s rýchlosťou v0 (šikmý vrh), ktoré v čase dosiahnutia maxima explodujú. Ťažisko sústavy sa aj po explózii pohybuje po parabole. Explózia vnútri sústavy sa prejavila len pôsobením vnútorných síl a nemá vplyv na pohyb ťažiska sústavy. Explózia pre jednoduchosť bola uvažovanálen v smere osi x.
ge FF =∑po explózii naďalej
ga =*
ge m FaF ==∑ *Na ťažisko sústavy počas letu pôsobí vonkajšia sila:
T
∑=i
ii rm 22
2
1 ω
2
2
1mvEk =všeobecne
∑=i
iik vmE 2
2
1 ( )∑=i
iii rm 2
2
1 ω
JEk2
2
1 ω=
∑=i
ii rmJ 2
J ... moment zotrvačnosti
1r
2r
3r
iii rv ω= iωω =
ω2
2
1iiki vmE =1v
2v
3v
Pre i-ty bod:
∑=i
iis rmJ 2
a
?
1m 2m
3m4m
5m 6m
7m8m
1r 2r
4r 3r
5r 6r
8r 7r
∑=
=8
1
2
iii rmJ 2
882
222
11 ... rmrmrm +++=
2
8
2
2
2
12
...22
++
+
= am
am
amJ
x
y
z
24maJs =
2,...,,
22
821
aarrr
+=2
2a=2
a=
1m 2m
3m4m
5m 6m
7m8m
a
∑=
=8
1
2
iii rmJ 2
882
222
11 ... rmrmrm +++=
( )
+=
22 224 aamJ
28maJ r =
arrrr =7531 ,,,
∑=i
iir rmJ 2 ?
x
y
z
1r 2r
3r
5r 6r
7r
0, 84 =rr 2, 62 arr =
porovnanie: ak sú hmotné body viac vzdialené od osi rotácie, moment zotrvačnosti sústavy je väčší
28maJ r =24maJs =
irim∆
∑ ∆=i
ii rVJ 2ρ
∑=i
ii rmJ 2... pre sústavu hm. b.
iρρ = ... homogénne tuhé teleso
0→∆ iV ∫∑ →
∑ ∆=i
ii rmJ 2 ... tuhé teleso
∑ ∆=i
immiii Vm ∆=∆ ρ
∑ ∆=i
iii rVJ 2ρ
∫=V
dVrJ 2ρ
21 MM =
1J 2J?)(
2
1 21
22 rrMJ +=
1r
2r
O
∑=i
oi rmJ 21
iooi rrr +=
T
im
iror
ior
( ) 22222 2 ioioooiooii rrr ++=+== rrrrr
1J 2J 3J
∑=i
io mr 2 mro2=
∑=i
ioi rmJ 22
*J=
∑=i
ioimJ r3 0=
moment zotrvačnosti vzhľadom na ťažisko
vzhľadom na ťažisko bude celkový súčet nulový
∑∑∑ ++=i
ioioi
ioii
oi mrmrmJ rr222
∑=i
ii rmJ 2
mrJJ o2* +=
Trecie sily, trenie
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
kĺzavé (šmykové) trenie statické a kinetické, valivé trenie
Určenie koeficientu kĺzavého trenia na naklonenej rovine.
pre zložky síl na naklonenej rovine platí:
gn FF =
nt FF µ=
mgFt µ=
gF
tFpF
nFα
αsingp FF =
αcosgn FF =
tp FF =začne sa šmýkať keď:
αµα cossin mgmg =
αααµ tg==
cos
sin
nFtF pF
µ … koeficient k ĺzavého trenia
valµ
Tabuľka koeficientov kĺzavého trenia vybraných materiálov:
ks µµ >
0,07-0,250,1-0,3oceľ-oceľ
0,0140,027oceľ-ľad
µµµµkµµµµs
pFr
nFa
pt MM =
aFrF np =r
aFF np =
r
aval =µ valnp FF µ=
Makroskopické systémy
tuhé látky
kvapalina
plyn
plazma
klesá teplota
Tuhé látky
Vlastnosti tuhých látok dané väzbovými silami
iónové (kryštál NaCl)kovalentné (Si)kovové (kovy)van der Waalsove sily (organické materiály)vodíkové
klesá energia väzby
Tuhé látky – mechanické vlastnosti
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Deformácia, Hookov zákon, tepelná rozťažnosť
σ3
σ3 ... medza prie ťažnosti – samovoľné tečenie
σ2
σ2 ... medza pružnosti – nelineárna deformácia, pružná
σ1
σ1 ... medza úmernosti - oblasť lineárnej deformácie
0l
l∆=ε
S
F=σ ... mechanické napätie [Pa]
ε
σ0
0
l
ll −= ... relatívne predĺženietuhé teleso - dokonalé
tuhé teleso - reálne
F spôsobuje pohyb
F spôsobuje pohyb + deformáciu
Prečo dochádza k deformácii???
Tuhá látka ... súbor viazaných atómov
σ4
σ4 ... medza pevnosti - dochádza k pretrhnutiu
väzba(kovová, van der Waalsove sily, ...)poruchy(bodové, čiarové)
platnosť Hookovho zákona sa obmedzuje na oblasťlineárnej deformácie (len po medzu úmernosti – σ1)
F
tF
nFnF ... normálová zložka sily
deformácia v ťahu (tlaku)
tF ... tangenciálna zložka sily
deformácia v šmyku (torzii)
0l
l∆=ε relatívne predĺženie
d
u=γ relatívne posunutie
0l l∆l
d
u
u
SnF=σ priečne napätie
mechanické napätie StF=τ tangenciálne napätie
0
0
a
aa −=η relatívne priečne skrátenie
εσ E=
El
ll
0
0−=σ
konštanta úmernosti ... E
σ ε τ γkonštanta úmernosti ... G
modul pružnosti v ťahu modul pružnosti v šmyku
Hookov zákon γτ G=
10
−=l
l
E
σ
+=E
llσ
10
Kvapaliny – mechanika kvapalín
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Rovnica hydrostatiky, Archimedov zákon, Pascalov zákon, Bernoulliho rovnica
... ideálna kvapalina je nestlačiteľná a pri pohyb nie je vnútorné trenie
S
Fp =
S
Fp =
Fp,Sp ⊥v kvapalinách
dS
dFp =
[ ] [ ]2−= NmPajednotka
(ťažisko je v pokoji)
(pohyb kvapalín)
gdmdFg =
dpp +
ph
dh
tiažová sila: vztlaková sila:
dVgdFg ρ=SdhgdFg ρ=
( ) pSSdppdFv −+=SdpdFv =
vg FF =
SdpSdhg =ρ
∫∫ =p
p
h
dpdhg00
ρ
∫∫ =p
p
h
dpdhg00
ρ
0pphg −=ρ
hgpp ρ+= 0
iFvF
gF
21 FFFv −=
1F
2F2h
1h SpSpFv 21 −=
SghSghFv 21 ρρ −=
kt ρρ > teleso padá ku dnu
kt ρρ = teleso sa vznáša
kt ρρ < teleso sa čiasto čne vynorí
)( 21 hhgSFv −= ρ
kv gVF ρ=
21 pp =hgpp ρ+= 0
hgp ρ>>0
0pp =
1F 2F
1p 2p
2
2
1
1
S
F
S
F =
1
212 S
SFF = ... výsledná sila je úmerná pomeru plôch
Výsledná sila je vä čšia ako inicia čná, ako je to s prácou ?
12 VV =
1122 hShS =222 hFA = 111 hFA =?
21
212 h
S
SFA =
112 hFA =
Získali sme väčšiu silu ale na úkor dráhy!!!2
1
21 h
S
Sh =
Využitie v praxi: kvapalinové brzdy, hydraulický zdvihák, hydraulický lis
1S2S
21 VV =ideálna kvapalina = nestla čiteľnáza čas t pretečie rovnaký objem kvapaliny
1l 2l
2211 lSlS =tvStvS 2211 =
.konštSv=zovšeobecnenie:
2211 vSvS =
1v2v
v ... rýchlosť
),( tf rv =)(rv f= ... ustálené prúdenie (nie je funkciou času)
tvl ∆= 11
tvl ∆= 22
VtvStvS =∆=∆ 2211
222111 lSplSpA −=2211 lFlFA −=
tvSptvSpA ∆−∆= 222111
VpVpA 21 −=
1212
22 2
1
2
1mghmvmghmvE −−+=
( )
−−+=− 1212
2221 2
1
2
1ghvghvmVpp
222211
21 2
1
2
1pghvpghv ++=++ ρρρρ
1h
2h
1S
2S222 SpF =
111 SpF =
.2
1 2 konštpghv =++ ρρ
Postrekova če na hmyz, flakóny, striekacie pištole.Pokles tlaku v zúženom mieste vyťahuje kvapalinu z nádoby a spolu so vzduchom prúdi k ústiu.
h
Venturiho meter, Venturiho trubicaZ rozdielu výšok sa dá stanoviť rýchlosť prúdiaceho vzduchu, ak súznáme prierezy zúženého a nezúženého miesta. Podobný princíp sa využíval v automobiloch s karburátorom na nasávanie paliva.
Kvapaliny – mechanika kvapalín
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Povrchové napätie, kapilárne javy, viskózna kvapalina
vzduch
... povrch kvapaliny vykazuje také vlastnosti akoby bol pokrytý tenkou pružnou vrstvou. Budeme sa zaoberať
otázkou čo je príčinou? a ako sa to dá fyzikálne popísať
odpoveď treba hľadať v mikroskopickej štruktúre
príťažlivé sily molekúl
pozn.: Stačí sa obmedziť len na blízke molekuly, pretože účinok síl so vzdialenosťou rýchlo klesá.
vzduch
sféra molekulového pôsobenia
0=FVýslednica molekulového pôsobenia smeruje dovnútra kvapaliny. Molekuly povrchovej vrstvy pôsobia na vnútorné molekulovým tlakom .
F
... ak chceme premiestniť molekulu zvnútra kvapaliny na povrch treba konať prácu proti silám molekúl v povrchovej vrstve.
povrch kvapaliny má istú energiu = povrchová energia kvapalín
Určenie povrchového napätia pomocou sily:
Fl
dx
S
E
∆∆=σ
dS
dE= dSdE σ=
FdxdA 2=dEdA =
dSFdx σ=2
ldxFdx σ22 =lF σ=
ldxdS 2=
l
F=σ
príklady z praxe: snaha o minimalizáciu energie – dve guľôčky kvapaliny sa zlúčia do jednej s menším povrchom, po pretavenívlákna žiarovky sa koniec zaoblí, hmyz na vode
σ=∆∆
S
E σσσσ ... povrchové napätie
kvapalina v úzkej nádobe resp. kapiláre môže mať rôzny tvar povrchu:
•rovinný•konkávny (kvapalina zmáča steny nádoby)•konvexný (kvapalina nezmáča steny nádoby)
Pre vysvetlenie zakrivenia povrchu je potrebné vyšetriť sily
sten
a ná
doby
sten
a ná
doby
sten
a ná
doby
konkávny povrch – kvapalina zmáča steny nádoby, výslednica síl smeruje šikmo k stene nádoby (voda/sklo)
konvexný povrch – kvapalina nezmáča steny nádoby, výslednica síl smeruje šikmo do kvapaliny (ortuť/sklo)
rovinný povrch –výslednica síl smeruje kolmo do kvapaliny
Pozn.:•Tvar povrchu sa ustáli tak aby výslednica síl bola kolmá na povrch. •V dostatočnej vzdialenosti od stien je povrch kvapaliny rovinný .
Rpp
σ20 ±=výsledný tlak pod povrchom:
+ ... konvexný - nezmáča
- ... konkávny - zmáča
kF
sF
FkF
sF
F kF
sF
F
reálna kvapalina - vnútorné trenie = viskozita(Bez dodania energie kvapalné látky nemenia tvar)
η... je materiálová konštanta
η... je funkciou teploty
η... nezávisí od materiálu dosiek
Pozn.:Uvažujeme laminárne prúdenie, to zn., že vrstvy sa len posúvajú a vzájomne nemiešajú.
zS
vF η=
Fvz
η... koeficient dynamickej viskozity... (koeficient vnútorného trenia)
[ ] [ ] [ ]PasNsm == −2η
dz
dvτ η=
V dôsledku nerovnomerného pohybu vrstiev kvapaliny vzniká medzi vrstvami tangenciálne napätie. Másmer rýchlosti.
ρην =Koeficient kinematickej viskozity
2,8100Voda
10,120Voda
18,00Voda
η η η η [Pas]Teplota [ oC]Kvapalina
reálna kvapalina - viskozita
Pozn.:laminárne prúdenie, v je malé
ovg FFF +=pre v=konšt. platí:
v
vF ~rF ~
rvF πη6= Stokesov vzťah
Odvodenie rýchlosti pohybu tuhého telesa (guľôčky) v kvapaline:
gF
vFoF rvgrgr kt πηρπρπ 6
3
4
3
4 33 +=mgFg = gV tρ= gr tρπ 3
3
4=
gVF kv ρ= gr kρπ 3
3
4=
rvFo πη6=
2 2
gr
v tk
ηρρ )(
9
2 2 −=
Tepelný pohyb
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Tepelná rozťažnosť, termodynamická teplota
teplota (t)termodynamická teplota (T)
Kelvinova [K] (absolútna)
Celziova [oC] (0oC ... v rovnováhe ľad a voda pri normálnom tlaku)stupnice
... termodynamická teplota pri 0oCKT 16,2730 = ][16,273][ CtKT o+=
Ako charakterizovať tepelný stav telies?
zmena teploty zmena kmitavého pohybu atómov okolo rovnovážnych polôh
zmena dĺžky, plochy, resp. objemu
dT
dl
l0
1=α`
1 0
0 TT
ll
l −−=α
ldl ∆→TdT ∆→ [ ]`)(10 TTll −+= α
Ideálny plyn
Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky
Stavová rovnica, Boylov-Mariottov zákon, Gay-Lussacov zákon, Daltonov zákon, Vnútorná energia plynov
11
11
8314
314,8−−
−−
==
kmolJKR
molJKR
stav 1
111 ,, TVpstav 2
222 ,, TVp
Ako charakterizovať plyn z hľadiska veličín ?TVp ,,
TVp ,, ... stavové veli činy , lebo popisujú stav plynu
nRT
pV = .konštT
pV =resp.
n ... látkové množstvo [mol]predstavuje množstvo látky s počtom molekúl určeným tzv. Avogadrovým číslom (6,023.1023mol-1)
.konštpV =izotermický ...T=konšt.
dej
izobarický ...p=konšt.
izochorický ...V=konšt.
Boylov-Mariottov zákon ... pri stálej teplote je súčin tlaku a objemu ideálneho plynu konštantný
.konštT
V =
.konštT
p =
Gay-Lussacov zákon (1) ... pri stálom tlaku je podiel objemu a termodynamickej teploty ideálneho plynu konštantný
Gay-Lussacov zákon (2) ... pri stálom objeme je podiel tlaku a termodynamickej teploty ideálneho plynu konštantný
p
V
izoterma
V
T
izobara
p
T
izochora
Daltonov zákon ... Výsledný tlak zmesi plynov sa rovná súčtu parciálnych tlakov zložiek zmesi ∑=++= ipppp ...21
pohyb molekúl kinetická energia molekúl
vzájomné pôsobenie molekúl potenciálna energia molekúlkp EEU +=
vnútorná energia (U)
ľad -5oC ľad 0oC
Q1
para 100oC
Lv
voda 0oC
L t
voda 100oC
Q2
Ohrev
( )21 ttmcQ v −=izochorický proces
( )21 ttmcQ p −=
izobarický proces
V
p
c
c=κ
Poissonova konštanta
pV cc =Pre tuhé látky platí:
teplo (Q) [J] Joulebez zmeny skupenstva
lmL = merné skupenské teplo ... l
skupenské teplo (L) [J] Joulelen na zmenu skupenstva
tepelná kapacita
]...[, 11 −− KJkgcc Vp