Post on 05-Mar-2020
2
МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «КРАСНОДОНСЬКИЙ ПРОМИСЛОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ КОЛЕДЖ»
Розглянутоi на засiданнi ЗАТВЕРДЖУЮ:
циклової комісії гуманітарних та Заступник директора з фундаментальних дисциплін навчальної роботи
i рекомендовані до затвердження. ____________ О.Л.Юрова Голова циклової комісії 2011 р
Т.О. Матвєєва 2011 р.
ВИЩА МАТЕМАТИКА Методичнi вказівки та контрольні завдання для студентів спецiальностi 5.05030103 «Експлуатація і ремонт гірничого електромеханічного обладнання та автоматичних пристроїв»; 5.03050401 «Економіка підприємства» заочної форми навчання
Викладач: Приліпа Г.С.
Краснодон
3
ЗМІСТ 1. Вступ с. 4
2. Теми для самопроробки с. 5
3. Література с. 6
4. Методичнi рекомендації до контрольної роботи с. 7
5. Загальні рекомендації студенту-заочнику по роботі над курсом вищої математики. с.25
6. Варіанти контрольних завдань с. 27
7. Завдання до контрольної роботи с. 28
8. Українсько-російський словник термінів з дисципліни „Вища математика ” c.37 9. Питання до іспиту с. 39
4
Вступ Мета дисципліни - ознайомити студентів з основами математичного апарату,
необхідного для розв’язування теоретичних і практичних задач економіки; виробити
навички математичного дослідження прикладних задач, прищепити студентам
уміння самостійно вивчати навчальну літературу з математики та її прикладних
питань.
Курс “ Вища математика” повинен, перш за все, розвивати, поглиблювати,
розширювати деякі теми i питання, що вивчалися в основному курсі.
Зміст цього курсу i окремих його тем визначається шляхом вивчення потреб
спеціальної підготовки та професійної діяльності молодих спецiалiстiв для даної
групи спеціальностей.
Потреби спеціальної підготовки визначаються перед усім потребами базових
предметів, якi становлять теоретичну основу спеціальної підготовки студентів. Їх
особливістю є фундаментальність явищ i процесів, що розглядаються в них,
кількісний характер закономірностей, якi вивчаються.
Основними завданнями, що мають бути вирішені у процесі викладання
дисципліни, є надання студентам знань з основних розділів вищої математики;
визначень, теорем, правил; доведення основних теорем; та формування початкових
умінь:
- здійснення дій над векторами, матрицями, обчислення визначників;
- розв'язання систем лінійних рівнянь;
- дослідження форм і властивостей прямих та площин, кривих та
поверхонь другого порядку;
- знаходження границі ступенево-показникових функцій;
- дослідження функції за допомогою диференціальних числень;
- здійснювання інтегральних числень.
5
Теми для самопроробки. Тема 1. Матриці та визначники. Матриці, види матриць, операції над матрицями. Визначники, властивості
визначників. Обернена матриця, обчислення оберненої матриці Тема 2. Системи лінійних рівнянь
Системи лінійних рівнянь та їх рішення матричним методом, за формулами Крамера, методом Джордано — Гауса
Тема З. Метод координат. Відстань між 2 точками. Ділення відрізка у данному відношенні. Паралельний
перенос осей координат. Поворот осей координат. Рівняння лінії на площині. Кут між 2 прямими. Коло та його рівняння. Еліпс та його рівняння. Дослідження форми еліпса по рівнянню. Гіпербола та її рівняння. Дослідження форми гіперболи по її рівнянню. Парабола та її рівняння. Дослідження форми параболи по її рівнянню. Паралельний перенос параболи.
Тема 4. Застосування похідної та інтегралу. Поняття про похідну. Похідна алгебраїчної суми, добутка та частки. Похідна
складеної функції. Формули диференціювання. Геометричний зміст похідної. Друга похідна та й фізичний зміст. Знаходження похідних функцій.
Дослідження функції за допомогою похідної. Зростання та спадання функції Знаходження інтервалів монотонності.
Екстремум функції Знаходження екстремума. Точка перегибу графіка функцiї Рішення задач на максимум та мінімум. Побудова графіків функцій.
Невизначений інтеграл. Диференціал функції. Невизначений інтеграл та його Диференціал функції.
Таблиця основних інтегралів. Засоби інтегрування (заміни змінної, по часткам). Рішення вправ на знаходження інтегралу.
Визначений інтеграл. Визначений інтеграл та його геометричний зміст. Основні властивості
визначеного інтеграла. Формула Ньютона - Лейбниця. Засоби обчислення визначеного інтегралу. Наближені методи обчислення інтегралу. Обчислення площ фігур та об’ємів тіл за допомогою визначеного
інтеграла. Обчислення площ фігур. Обчислення об’ємів. Площа поверхні обернення.
6
Література з вищої математики, що є у бібліотеці коледжу.
№ п/п ЛІТЕРАТУРА
ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА
1 Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие для техникумов/ О.Н.Афанасьева и др.-М.: Наука, 1987- 208 с
2 Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы – 2-е издание, перераб. и доп.-М.: Наука, 1989.
3 Алгебра и начала анализа ч.I,II. учебник для техникумов/ под ред. Г.Н.Яковлева.-М.:Наука,1978
4
Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. алгебра та геометрія для економістів: Навчальний посібник. Вид.3-є.-К.:Вид-во Європ.ун-ту фінансів, інформ. систем, менеджм. і бізнесу,2000
5 Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища математика.-К.:Національна академія управління,1999
6 Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика:Підручник.-К.:Либідь, 1996
7
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред.проф.Н.Ш.Кремера.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998
8 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное пособие для втузов- 5-е изд.,испр.-М.: Высш.шк.,1999
9 Вища математика: основні розділи:Підручник:У двох книгах. Книга 1/ за ред. Г.Л.Кулініча.-К.:Либідь,1995
ДОВІДНИКИ
1 Куринной Г.Ч. Математика:Справочник.-Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс,1997
2 Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений.- 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988
7
Методичні рекомендації до контрольної роботи. Перш ніж приступити до виконання контрольної роботи, потрібно проробити презентацію “Математика з нуля”, в якій ви повторите тему 1 “Функції i обчислення” i придбаєте навички в роботі на мікрокалькуляторі.
Зразок рішення завдання № 1
Вирішити систему лінійних рівнянь алгебри: методом Крамера; методом Гауса; матричним методом.
Вирішити систему рівнянь за правилом Крамера:
.872
,1353
,42
321
321
321
xxx
xxx
xxx
а) Обчислюємо визначника матриці системи, розкладаючи його по першому рядку
.33311)9(2)16(1
172
353
121
Оскільки він не рівний нулю, то система рівнянь має єдине рішення. б) Обчислюємо визначників
,33471252)16(4
178
351
124
1
х
,33221)9(4)25(1
182
313
141
2
х
.33314222)47(1
872
153
421
3
х
в) По формулах Крамера знаходимо рішення системи рівнянь
.13333;1
3333;1
3333 3
32
21
1
хххххх
Відповідь: (1; 1; 1)
Вирішити методом Гауса систему:
8
.253
;342
;1342
zyx
zyx
zyx
Перехід від однієї матриці до іншої записуватимемо за допомогою знаку еквівалентності ~:
~
7750
5500
3421
~
2513
1342
3421
~
2513
3421
1342
.
110057
5710
3421
~
5500
7750
3421
~
По одержаній матриці виписуємо перетворену систему:
.1
;57
57
;342
z
zy
zyx
Тоді 1z ;
057
57
57
57
zy ;
14314023423 zyx . Відповідь: (-1; 0; 1).
Вирішити систему рівнянь матричним способом:
.253
;342
;1342
zyx
zyx
zyx
Позначимо матриці:
513
421
342
A – коефіцієнти при невідомих;
9
zyx
X – стовпець невідомих;
231
B – стовпець вільних членів.
Тоді систему можна записати матричним способом: АХ = У, де BAX 1 . Знайдемо зворотну матрицю 1A .
а) обчислимо визначника матриці:
;25
513
421
342
||
A
б) знайдемо доповнення, алгебри елементів матриць:
;651
4211
A ;7
53
4112 A ;5
13
2113
A
;1751
3421
A
;153
3222 A ;10
13
4223
A
;1042
3431
A
;541
3232 A
.021
4233
A
Тоді зворотна матриця має вигляд
0105
517
10176
2511A ,
отже
203)10(15
2)5(311721031716
251
231
0105
517
10176
251X
.101
250
25
251
Звідки:
10
.1
;0
;1
101
z
y
x
zyx
Відповідь: (-1; 0; 1).
Зразок рішення завдання № 2 (ЕРГО) Знайти модуль и аргумент комплексних чисел iz 11 и iz 312 та обчислити суму, різницю, добуток, частку в алгебраїчній формі. Зобразити числа на комплексній площині. Записати числа в тригонометричній та показовій формі.
Рішення. Зобразим числа у комплексній площині. При цьому числу iz 11 буде
відповідати точка 1;11 M , числу iz 312 - точка 3;12M .
Для знаходження модуля та аргументу чисел будемо користуватися
формулами:
22 yxzr та
.0,0 при,arctg
,0,0 при,arctg
,0 при,arctg
arg
yxxy
yxxy
xxy
z
Отримаємо: 211 22
11 zr , 4
341
1arg 11
arctgz ,
23122
22 zr , 31
3arg 22
arctgz .
Аби перейти від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної та показової будемо користуватися формулою:
sincos irz и irez . Отримаємо:
43sin
43cos21
iz ,
11
43
1 2i
ez ,
3sin
3cos22
iz ,
31 2i
ez .
Зразок рішення завдання № 2 (ЕП) Обчислити границі функцій.
а) Знайти 327
155
2
xx
xxlim .
Рішення. Насамперед, перевіримо, чи застосовні до даного дробу теореми про межі, або ми маємо справу з невизначеністю. Для цього знайдемо межі чисельника й знаменника дробу. Функції 15 2 x і 327 5 xx є нескінченно більшими. Тому,
15 2x
xlim ,
327 5 xx
xlim .
Отже, маємо справа з невизначеністю виду
.
Для розкриття цієї невизначеності й використанні теореми про межу відносини двох функцій виділимо в чисельнику й у знаменнику x в старшій для чисельника й знаменника ступеня як співмножник і скоротимо дріб.
.limlimlim 070
327
15
327
15
32715
54
53
545
535
5
2
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
Відповідь. 0.
б) Знайти 863214
2
2
2
xx
xxxlim .
Рішення. Для розкриття невизначеності
00 в цьому випадку, потрібно
розкласти чисельник і знаменник на множники й скоротити дріб на загальний множник.
.limlimlim 9
42162
416
42162
00
863214
222
2
2
x
xxxxx
xxxx
xxx
Відповідь. -9.
Знайти 863214
2
2
1
xx
xxxlim .
Рішення. Для обчислення даної межі підставимо значення 1x у функцію, що коштує під знаком межі. Одержимо,
31545
8161321141
863214
2
2
2
2
1
xx
xxxlim .
12
Відповідь. -3.
в) Знайти 2
2
0
11x
xx
lim .
Рішення. Для розкриття невизначеності
00 в цьому випадку, потрібно
помножити чисельник і знаменник на вираження, сполучене чисельнику, а потім скоротити дріб на загальний множник.
.limlimlim21
1111
1111
0011
22
2
022
22
02
2
0
xx
x
xx
xx
xx
xxx
Відповідь. 21 .
г) Знайти xkx
x
sinlim0
.
Рішення. Для розкриття невизначеності
00 в цьому випадку, потрібно
виділити першу чудову межу: .sinlim 10
A
AA
.sinlimsinlim kkkx
kxkxkx
xx
1
00
00
Відповідь. k д) Знайти
21
1
xtgxx
lim .
Рішення. Для розкриття невизначеності 0 в цьому випадку, потрібно добуток перетворити в частку, тобто невизначеність 0 звести до
невизначеності
00 або
.
.
sinlim
coslim
coslim
,,
coslim,sin
cos
sinlimlim
y
y
y
y
y
yyxy
xy
xxxприx
x
x
xxtgx
yyy
xxx
2221
210
1
00
2
1112
2
2102
1
000
111
Виділяємо першу чудову межу, тобто, множимо чисельник і знаменник на
2 . Одержуємо,
2
2
1
22
20
y
y
y sinlim .
13
Відповідь. 2 .
е) Знайти x
x xx
11lim .
Рішення. Для розкриття невизначеності 1 в цьому випадку, потрібно
виділити другу чудову межу: ex
x
x
11lim .
.limlimlimlimlim 21
212
21
21
111
2111111
11
ee
xxxx
xx x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
xx
Відповідь. 2e .
ж) Знайти .lim 21
253
x
xx
Рішення. Для розкриття невизначеності 1 в цьому випадку, потрібно
виділити другу чудову межу: e
1
01lim .
.limlim,,
lim 3331
0
1
02
1
231523
022
53 eyyyyx
xyx y
yy
yx
x
Відповідь. 3e .
Знайти .lim 21
2553
x
xx
Рішення. Підставимо значення 25
x у функцію, що коштує під знаком межі.
Одержимо,
.lim425
255
25353
222
51
21
25
xx
x
Відповідь. 425 .
Зразок рішення завдання № 3
Спочатку побудуємо креслення. Побудуємо в прямокутної декартовой системі координат крапки )3;2( А , )1;5(B , )4;3( C . Побудуємо відрізки AB й BC .
14
Рис. 1
Добудуємо отриманий малюнок до паралелограма й нанесемо на
креслення висоту BK.
Рис. 2
1) Складемо рівняння прямій AD. а) Попередньо знайдемо рівняння прямій BС. Рівняння прямої, що
проходить через крапки );( 111 yxM й );( 222 yxM , має вигляд
12
1
12
1
yyyy
xxxx
(1)
x
O
B
A
C
y
E
x
O
K
B
A
C
D
y
15
За умовою )1;5(В , )4;3( С . Підставимо координати крапок В й С у
рівняння (1): 14
1535
yx , тобто
51
25
yx .
Запишемо отримане рівняння в загальному виді, тобто у вигляді 0 CByAx . Для цього в останнім рівнянні позбудемося від знаменників
)1(2)5(5 yx і проведемо перетворення, переносячи всі рівності, що складають 02325 yx у 02325 yx ліву частину: або .
З цього рівняння виразимо y : 2352 xy ; 223
25
xy . Одержали
рівняння виду bkxy - рівняння з кутовим коефіцієнтом. б) Скористаємося тим фактом, що протилежні сторони
паралелограма паралельні. Складемо шукане рівняння прямій AD як рівняння прямої, що проходить через крапку А паралельно прямої ВС .
Рівняння прямої, що проходить через дану крапку );( 00 yxМ в даному напрямку, має вигляд
)( 00 xxkyy (2) де напрямок визначається кутовим коефіцієнтом k .
Умова паралельності двох прямих bkxy і 11 bxky має вигляд 1kk (.3)
За умовою задачі )3;2( А , пряма 223
25: xyВС . Підставимо
координати крапки А в рівняння (2): )2(3 xky . Тому що пряма AD паралельна прямій BC , то в силу формули (3) їхні кутові коефіцієнти збігаються. Кутовий коефіцієнт прямої BC дорівнює
25 , отже, рівняння
прямої AD має вигляд )2(253 xy .
Запишемо рівняння прямої AD в загальному виді. Для цього розкроєм дужки й всіх доданків перенесемо в ліву частину рівності: 08
25
yx .
Помножимо обидві частину рівності на (-2) і одержимо загальне рівняння прямої AD : 01625 yx .
Запишемо рівняння прямої AD у вигляді з кутовим коефіцієнтом. Для цього виразимо y із загального рівняння: 8
25
xy .
2) Складемо рівняння висоти BK , проведеної з вершини B на сторону AD як рівняння прямої, що проходить через крапку B перпендикулярно прямої AD .
Умова перпендикулярності двох прямих bkxy і 11 bxky має вигляд
1
1k
k (4)
16
Підставимо координати крапки В в рівняння (3.2): )5(1 xky . Тому що висота BK перпендикулярна прямій AD , той їхній кутовий коефіцієнти зв'язані співвідношенням (4). Кутовий коефіцієнт прямої AD дорівнює
25 ,
отже, кутовий коефіцієнт висоти BK дорівнює 52
й рівняння прямої BK
має вигляд )5(521 xy . Запишемо рівняння висоти BK в загальному
виді: 01552 yx . Запишемо це ж рівняння у вигляді з кутовим
коефіцієнтом: 352
xy .
3) Знайдемо довжину висоти BK як відстань від крапки В до прямої AD . Відстань d від крапки );( 000 yxM до прямої 0 CByAx являє собою
довжину перпендикуляра, опущеного із крапки на пряму й визначається формулою
22
00
BA
CByAxd
(5)
Тому що BK перпендикулярно AD , то довжина BK може бути знайдена за допомогою формули (5). За умовою )1;5(B , пряма AD визначається рівнянням 01625 yx . У силу формули (5) довжина висоти
BK дорівнює 425
7
)2(5
16125522
d =
297 .
4) Знайдемо рівняння діагоналі BD як рівняння прямій, що проходить через крапки B й E , де E - середина відрізка AC . а) Якщо );( 11 yxА й );( 22 yxC , те координати крапки );( 00 yxЕ - середини відрізка AC , визначаються формулами
2
210
xxx
221
0yyy
(6)
За умовою )3;2( A , )4;3( C . У силу формул (6) маємо: 25
232
0
x ,
27
243
0
y . Отже )27;
25( E .
б) Тому що крапка перетинання діагоналей є їхньою серединою, то крапка E (середина відрізка АС ) є крапкою перетинання діагоналей і діагональ BD проходить через крапку E .
Скористаємося рівнянням (1). За умовою )1;5(B , )27;
25( E . У силу
формули (1) рівняння прямій BE (діагоналі BD ) має вигляд: 1
27
1
525
5
yx
17
або
291
255
yx . Запишемо це рівняння в загальному виді: 04059 yx .
Запишемо це ж рівняння у вигляді з кутовим коефіцієнтом: 859
xy .
5) Знайдемо тангенс кута між діагоналями BD й AC . а) Знайдемо рівняння діагоналі AC як рівняння прямій, що
проходить через дві дані крапки.
Скористаємося рівнянням (1). За умовою )3;2( A , )4;3( C . Отже,
343
232
yx . Загальне рівняння діагоналі AC має вигляд 01 yx ,
рівняння з кутовим коефіцієнтом – вид 1 xy , кутовий коефіцієнт 1k прямої AC дорівнює 1 .
б) Рівняння діагоналі BD має вигляд 859
xy , її кутовий коефіцієнт
59
2 k .
в) Тангенс кута між прямими 11 bxky й 22 bxky визначається формулою
21
12
1 kkkktg
Отже, 27
54
514
)1(591
)1(59
tg . Звідси
27arctg .
Зразок рішення завдання №4 До кривих другого порядку ставляться еліпс (мал.3), гіпербола (мал. 4 й
5), парабола (мал. 6-9). Приведемо малюнки й канонічні рівняння цих кривих.
Еліпс 12
2
2
2
by
ax
Рис. 3
(0,-b)
(0,b)
(a,0)
O x
y
(-a,0) O
18
Гіпербола 12
2
2
2
by
ax Гіпербола 12
2
2
2
by
ax .
Рис. 4 Рис. 5 Парабола pxy 22 Парабола pxy 22
Рис. 6
Рис. 7
(0,b)
(0,-b)
(-a,0)
x
y
(a,0)
(0,-b)
(0,b)
(-a,0)
x
y
(a,0)
O
y
x
2px
O
y
x
2px
19
Парабола pyx 22 Парабола pyx 22
Рис. 8
Рис. 9
Приведемо приклади рішення задачі №3. Приклад 1. Привести рівняння кривої другого порядку
082164 22 yxyx до канонічного виду й побудувати криву. Рішення. Для приведення рівняння кривій другого порядку до канонічного виду
застосовують метод виділення повного квадрата. Згрупуємо доданки, що містять поточні координати. Коефіцієнти при 2x
й 2y винесемо за дужки: 08)2()4(4 22 yyxx . Виділимо повний квадрат: 01168)12()44(4 22 yyxx . Звідси
25)1()2(4 22 yx . Розділимо обидві частини рівності на 25:
125
)1(25
)2(4 22
yx . Запишемо отримане рівняння в канонічному виді:
125
)1(
425
)2( 22
yx .
Виконаємо паралельний перенос осей координат по формулах
0
0
yyYxxX . При такому перетворенні початок координат переноситься в
крапку ),( 00 yx , рівняння еліпса приймає канонічний вид 12
2
2
2
bY
aX .
O
y
x
2py
O
y
x
2py
20
У нашому прикладі 20 x , 10 y , 25
a , 5b .
Отже, розглянуте рівняння визначає еліпс із центром у крапці )1;2(С й
півосями 25 й 5 .
-2
1
0,5
6
-4,5
-4
х
y
Рис. 10
Приклад 2. Привести рівняння кривої другого порядку 012164 2 yxx до канонічного виду й побудувати криву.
Рішення. Як й у попередньому прикладі, згрупуємо доданки, що містять поточні
координати: 012)4(4 2 yxx . У дужках виділимо повний квадрат: 01216)44(4 2 yxx ;
152)2(4 2 yx . Звідси )2
15(21)2( 2 yx .
Виконаємо заміну змінних
2152
yYxX
. Після цього перетворення
рівняння параболи приймає канонічний вид YX212 , вершина параболи в
системі координат Oxy розташована в крапці )2
15;2( C .
Рис. 11
Зразок рішення завдання №5
Обчислити похідні даних функцій: 1). xxy x ctg4 4 32cos .
y
-2
215
х
21
Рішення.
xxxxxxxy xx
243
41
2cos43
2cos
sin1ctg
432)2sin(4ln4ctg4
xx
xxxx
2
4 3
42cos
sin4ctg32sin4ln42
.
2). xxy 52ctg . Рішення. Прологарифмуємо обидві частини рівності
xxy 52ctglnln .
2
2sin1
2ctg1)2ln(ctg151
2 xxxxy
y.
x
xxxxx
xxyy x
4sin4)2ln(ctg)2(ctg5
2sin2cos2)2ln(ctg5 5 .
3). 12
sin 3
xxy .
Рішення.
2
32
331
)12(2)12(1
1231
12cos
12sin
xxx
xx
xx
xxy
23
23
23
23
)12(3112
12cos
)12(112
31
12cos
xx
xxx
xxx
xx .
4). Знайти похідну функції, заданій неявно 0333 xyyx .
Рішення. Диференціюючи, маємо ;0;0)(333 2222 yxyyyxyxyxyyx
.0)( 22 xyyyx
.2
2
yxyxy
Зразок рішення завдання №6
Дослідити функцію 2)1( 2
xxy та побудувати її графік.
Розв’язання. 1. Область існування функції: 2,02 xx , або );2()2;( x .
2. Точки перетину графіка з осями координат: а) 1,0 xy , тобто 0;1 ;
22
б) 21;0 yx , тобто
21;0 .
3. Періодичність функції: Функція неперіодична. Парність, непарність функції: Функція загального вигляду. 4. Точки розриву функції, характер їх розриву: точкою розриву є точка
2x . Дослідимо характер розриву, знайдемо односторонні границі:
2
)1(lim,2)1(lim
2
22
2
22 x
xxx
xx
xx
.
Отже, 2x є точкою розриву другого роду. Пряма 2x є вертикальна асимптота.
5. Дослідження функції за допомогою першої похідної (монотонність, екстремальні точки):
а) 22
2
)2()5)(1(
)2()1()2)(1(2
xxx
xxxxy .
б) Знайдемо екстремальні точки, розв’язавши рівняння:
0)2(
)5)(1(,0)( 2
xxxxy ,
де 5,1 21 xx — стаціонарні точки. в) Знайдемо проміжки зростання, спадання функції, розв’язавши нерівність:
0)2(
)5)(1(2
xxx
Отже, при );5()1;( x функція зростає, а при
)5;2()2;1( x функція спадає. 11 x - точка 0)1(,max max y ; 52 x - точка 12)5(,min min y
6. Дослідження функції за допомогою другої похідної (опуклість, угнутість, точки перегину)
а) Знайдемо y :
32
2
)2(18
)2(54
xx
xxy .
б) Знайдемо проміжки угнутості, опуклості, розв’язавши нерівність
0,0 yy :
max min + + – –
5 2 1
– +
2
23
0)2(
18,0)2(
1833
xx.
Отже, при )2;(x крива опукла, а при );2( x крива угнута. 7. Знаходимо асимптоти графіка функції: а) 2x — вертикальна асимптота; б) Для визначення похилої асимптоти bkxy знайдемо:
1)2(
)1(lim)(lim2
xx
xxxfk
xx;
4214lim
2)1(lim)(lim
2
x
xxxxkxxfb
xxx.
Отже, 4 xy — похила асимптота. 8. Для наочності заповнюємо таблицю: х (–∞;–1) –1 (–1;2) 2 (2;5) 5 (5;+∞) у’ + 0 – не існує 0 + у 0 12 у’’ – – не існує + + у max min 9. За допомогою таблиці будуємо графік функції:
О
12
2 5 х
у
-4 4 -1
24
Зразок рішення завдання №7
1. Засоби інтегрування
1. cxxxdxdxxdxxdxxx 33
55
35535
2424
2
cxcttdt
dxxdtxt
xdxx 3
2
3
3
2
5ln31ln
31
31
35
5
3. vduuvudv Приклади:
cxecexedxexeev
dxedvdxduxu
dxxe xxxxxx
xx 1
2. Визначений інтеграл
b
a
aFbFab
xFdxxf
Приклад:
21363
3164
314
14
3
3332
xdxx
Зразок рішення завдання №8 Обчислити площу фігури, обмеженою кривими 2)( xxf і 2227)( xxg .
Для того, щоб накреслити рисунок, необхідно знайти координати точки
перетину кривих )(xf та )(xg , в яких )()( xgxf :
3;9;273;227 2222 xxxxx .
2227)( xxg
2)( xxf
-3 3 х
у
25
Оскільки функції )(xf і )(xg парні, можна розглянути відрізок 3;0 , а
площу подвоїти.
Тоді ;))()((2)()(2)(3
0
3
0
3
0
dxxfxgdxxfdxxgAS
0
33
0
33
0
2
3654)327(2)( xxdxxAS 108)03(2)03(54 2 кв. од.
Обчислити об’єм тіла, утвореного прямими 0, yxy і 3x при їх
обертанні навколо осі абсцис.
3
0
23
0
2 )( dxxdxxfV
9331
33
0
3
x куб. од.
Загальні рекомендації студенту-заочнику по роботі над курсом вищої
математики.
Посібник є методичним керівництвом для вивчення загального курсу вищої математики студентами-заочниками економічних та інженерно-технічних спеціальностей. Навчальний матеріал містить список літератури по кожній темі, розбір типового варіанта контрольної роботи й двадцять варіантів контрольної роботи з кожної теми.
Основною формою навчання студента-заочника є самостійна робота над навчальним матеріалом, що складається з наступних елементів: вивчення матеріалу по підручниках, рішення задач, самоперевірка, виконання контрольних робіт. У допомогу заочникам коледж організує читання лекцій, практичні заняття й лабораторні роботи. Крім того, студент може звертатися до викладача з питаннями для одержання усної або письмової консультації. Вказівки студентові по поточній роботі даються також у процесі рецензування контрольних робіт. Однак студент повинен пам'ятати, що тільки при систематичній і завзятій самостійній роботі допомога коледжу виявиться досить ефективною. Завершальним етапом вивчення курсу вищої математики є здача іспиту відповідно до навчального плану.
3 0
у
х
у = х
26
У процесі вивчення курсу математики студент повинен виконати
контрольну роботу, головна мета якої - надати студентові допомогу в його роботі. Рецензія на цю роботу дозволяє студентові судити про ступінь засвоєння їм відповідного курсу; указує на наявні в нього пробіли, на бажаний напрямок подальшої роботи; допомагає сформулювати питання для постановки перед викладачем.
Не слід приступати до виконання контрольного завдання, не вирішивши достатньої кількості задач по матеріалі, що відповідає завданню. Досвід показує, що найчастіше невміння вирішити ту або іншу задачу контрольного завдання викликається тим, що студент не виконав цю вимогу.
Контрольні роботи повинні виконуватися самостійно. Несамостійне виконання роботи не дає можливості викладачеві вказати недоліки в його роботі, у засвоєнні матеріалу, у результаті чого студент не здобуває необхідних знань і може виявитися непідготовленим до іспиту.
При виконанні й оформленні контрольних робіт необхідно дотримувати наступні вказівки:
1. Номер варіанта дорівнює номеру шифру студента. 2. Заповніть титульний лист. 3. Контрольна робота виконується чорною пастою на форматі паперу А4. 4. Кожне завдання слід виконувати з нового листа. 5. Завдання слід виконувати тільки з одного боку кожного листа 6. Умови завдань записувати повністю. 7. Рішення задач слід розташувати у порядку номерів, указаних у завданні,
номера задач указуються перед умовами. 8. Якщо необхідно, креслення виконувати олівцем за допомогою
інструментів для креслення. 9. Всі розрахунки мають бути приведені в контрольній роботі. 10. Рішення кожної задачі повинне доводити до відповіді, необхідного
умовою. У проміжних обчисленнях не слід уводити наближені значення корінь, числа й т.п.
11. Отримана відповідь варто перевіряти способами, що випливають із істоти даної задачі.
12. Якщо роботу відправлено на доробку, необхідно виконати роботу над помилками на окремих листах, які прикріпити до роботи.
13. В кінці роботи навести список використаної літератури.
27
Варіанти контрольних завдань № шифру
Номера задач контрольної роботи
1 1 21 41 61 81 101 121 141 2 2 22 42 62 82 102 122 142 3 3 23 43 63 83 103 123 143 4 4 24 44 64 84 104 124 144 5 5 25 45 65 85 105 125 145 6 6 26 46 66 86 106 126 146 7 7 27 47 67 87 107 127 147 8 8 28 48 68 88 108 128 148 9 9 29 49 69 89 109 129 149 10 10 30 50 70 90 110 130 150 11 11 31 51 71 91 111 131 150 12 12 32 52 72 92 112 132 151 13 13 33 53 73 93 113 133 152 14 14 34 54 74 94 114 134 153 15 15 35 55 75 95 115 135 154 16 16 36 56 76 96 116 136 155 17 17 37 57 77 97 117 137 156 18 18 38 58 78 98 118 138 157 19 19 39 59 79 98 119 139 158 20 20 40 60 80 100 120 140 159 21 2 24 46 68 90 112 134 160 22 4 26 48 70 92 114 136 151 23 6 28 50 72 94 116 138 152 24 8 30 52 74 96 118 140 148 25 10 32 54 76 98 120 122 142 26 12 34 56 78 100 102 124 147 27 14 36 58 80 82 104 126 153 28 16 38 60 62 84 106 128 156 29 18 40 42 64 86 108 130 158 30 20 22 44 66 88 110 132 149 31 1 21 41 61 81 101 121 141 32 2 22 42 62 82 102 122 142 33 3 23 43 63 83 103 123 143 34 4 24 44 64 84 104 124 144 35 5 25 45 65 85 105 125 145 36 6 26 46 66 86 106 126 146 37 7 27 47 67 87 107 127 147 38 8 28 48 68 88 108 128 148 39 9 29 49 69 89 109 129 149 40 10 30 50 70 90 110 130 150 41 11 31 51 71 91 111 131 150 42 12 32 52 72 92 112 132 151 43 13 33 53 73 93 113 133 152 44 14 34 54 74 94 114 134 153 45 15 35 55 75 95 115 135 154 46 16 36 56 76 96 116 136 155 47 17 37 57 77 97 117 137 156 48 18 38 58 78 98 118 138 157 49 19 39 59 79 98 119 139 158 50 20 40 60 80 100 120 140 159 51 2 24 46 68 90 112 134 160 52 4 26 48 70 92 114 136 151 53 6 28 50 72 94 116 138 152 54 8 30 52 74 96 118 140 148 55 10 32 54 76 98 120 122 142 56 12 34 56 78 100 102 124 147 57 14 36 58 80 82 104 126 153 58 16 38 60 62 84 106 128 156 59 18 40 42 64 86 108 130 158 60 20 22 44 66 88 110 132 149
28
Завдання до контрольної роботи. Завдання 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним засобом, за формулами Крамера та методом Гауса.
1.
12437342
zyxzyxzyx
2.
13572
52433432
zyxzyxzyx
3.
247242559572
zyxzyx
zyx
4.
2
942032
zyzyxzyx
5.
743165321743
zyxzyxzyx
6.
6623
6536422
zyxzyxzyx
7.
10442963
22543
zyxzyxzyx
8.
344
42322
321
321
321
xxxxxx
xxx
9.
1142311243
142
zyxzyx
zyx
10.
7423532134
zyxzyxzyx
11.
325642
123
zyxzyx
zyx
12.
722
113432
zyxzyxzyx
13.
623132732
zyxzyxzyx
14.
926243
12423
zyxzyxzyx
15.
344
42322
zyxzyx
zyx
16.
103292531423
zyxzyxzyx
17.
1132132523
zyxzyxzyx
18.
346512542233
zyxzyxzyx
19.
1234115428423
zyxzyxzyx
20.
02
831542
zyxzyxzyx
Завдання 2.(ЕРГО) Знайти модуль и аргумент комплексних чисел та обчислити суму, різницю, добуток, частку в алгебраїчній формі. Зобразити числа на комплексній площині. Записати числа в тригонометричній та показовій формі.
21. 1z = i21 , 2z = i24 . 22. 1z = i44 , 2z = i22 .
29
23. 1z = i43 , 2z = i34 24. 1z = i7 , 2z = i71 .
25. 1z = i3 , 2z = i31 . 26. 1z = i247 , 2z = i724 .
27. 1z = i34 , 2z = i43 . 28. 1z = i44 , 2z = i32 .
29. 1z = i22 , 2z = i88 . 30. 1z = i23 , 2z = i55 .
31. 1z = i43 , 2z = i43 . 32. 1z = i232 , 2z = i333 .
33. 1z = i34 , 2z = i71 . 34. 1z = i33 , 2z = i2 .
35. 1z = i33 , 2z = i34 . 36. 1z = i322 , 2z = i23 .
37. 1z = i1 , 2z = i3 . 38. 1z = i65 , 2z = i22 .
39. 1z = i44 , 2z = i23 . 40. 1z = i33 , 2z = i31
Завдання 2. (ЕП) Обчислити границі функцій.
21. а)123249lim 5
45
xx
xxx
; б) 107
5112lim 2
2
2
xx
xxx
; в) 112345lim
1
xx
x; г) 2
3
25lim2
xx
x.
22. а) xxx
xxx 5103
647lim 23
23
; б) 149
7132lim 2
2
2
xx
xxx
;в) 314
2lim2
x
xx
; г)
23
2
2
1 141lim
x
x xxxx
.
23. а) 23523lim 4
24
xx
xxx
б) 8
128403lim2
2
xxx
x; в)
2321lim
4
xx
x; г)
x
x xx 5
1 110310lim
.
24. а) xxx
xxx 5102
64lim 23
23
;б) 4312lim 2
2
1
xx
xxx
; в) 38 231lim
xx
x
; г) 3
5
114lim4
xx
xx
.
25. а) 68523lim 4
23
xx
xxx
; б) 10
10515lim2
0
xxx
x; в)
xxx
x
20
39lim ; г) 11
32lim0
xx
x.
26. а) 323136lim 5
25
xx
xxx
; б) 65352lim 2
2
2
xx
xxx
;в) 31221lim
5
xx
x;г)
x
x xxxx
1
2
2
1 1203763lim .
27. а) xxx
xxx 4103
64lim 23
23
; б) 565143lim 2
2
5
xx
xxx
; в) 8
26lim 3
3
2
x
xx
;г)7
1 1513213lim
x
x xx .
28. а) 135
24lim 23
3
xx
xxx
; б) 3165372lim 2
2
51
xx
xxx
;в) 12332lim
3
xx
x; г)
14
2
2
1 335285lim
x
x xxxx .
30
29. а) 1
11lim 3
33
x
xxx
;б) 232253lim 2
2
5,0
xx
xxx
;в) x
xx
121lim
0
; г) 124
32lim1
xx
xx
.
30. а) 43
23lim8
4
xx
xx
; б) 428lim
3
2
xx
x;в)
25132lim
1
xx
x; г)
2/
1 4512lim
x
x xx
.
31. а) 2143lim
23
xx
xxx
; б) 372384lim 2
2
3
xx
xxx
; в) 1
23lim2
1
xxx
x; г) 1
54
2lim0
xx
xx
.
32. а) 2
22lim22
xxx
x; б)
1523925lim 2
2
5
xx
xxx
;в) x
xxx
11lim2
0
;
г)63
2 5676lim
x
x xx .
33. а) 532
36lim 2
2
xx
xxx
; б) 9312lim
2
1
xxx
x;в)
25
3lim23
x
xx
; г) 134lim
0
xx
xx
.
34. а) 2
22
233lim
xxx
x; б)
48lim 2
3
2
x
xx
;в) 314
2lim2
x
xx
; г) 134lim
0
xx
xx
.
35. а) 162
37lim 2
2
xx
xxx
; б) 331lim
3
1
xx
x; в)
26 3615lim
xx
x
; г) 225
76lim0
xx
xx
.
36. а)
2
2
4
2lim x
x
xx
; б) 7612lim 2
2
7
xx
xxx
;;в) 49
23lim 27
x
xx
; г) 422
53lim3
x
x
xx
.
37. а) 43132lim 2
2
xxxx
x; б)
8212lim 2
2
2
xx
xxx
; ;в) 38 231lim
xx
x
; г)
x
x xxxx
2
13lim 2
2
3.
38. а) 32125lim 2
3
xxxx
x; б)
223lim
2
2
xxx
x;в)
30 1111lim
xx
x
; г) 63
26
25lim0
xx
xx
.
39. а) 14
23lim 2
2
xxxx
x; б)
265lim 2
2
2
xx
xxx
; в) 3
14lim3
x
xx
; г) 24
3lim1
xx
xx
.
31
40. а)5212lim 4
3
xxxx
x; б)
25103lim 2
2
2
x
xxx
;в)4
31lim2
22
2
x
xxxx
;г)x
x xxxx
23
12lim 2
2
3.
Завдання 3. Дані три послідовні вершини паралелограму. Не знаходячи координати вершини D, знайти:
1) рівняння сторони AD; 2) рівняння висоти BK, опущеної з вершини В на сторону AD; 3) довжину висоти BK; 4) рівняння діагоналі BD; 5) тангенс кута між діагоналями паралелограму.
Записати загальні рівняння знайдених прямих. Побудувати малюнок.
41) А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2) 42) А(-1;2), В(1;-3),С(4;0) 43) А(-3;2), В(2;3),С(-1;-2) 44) А(3;-2), В(-4;3),С(-1;6) 45) А(-3;-2), В(1;0),С(-1;5) 46) А(-2;2), В(1;-3),С(5;0) 47) А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5) 48) А(1;-2), В(-2;3),С(5;7) 49) А(1;-2), В(3;-3),С(7;2) 50) А(-1;-2), В(5;3),С(0;6) 51) А(5;3), В(2;1),С(3;-5) 52) А(2;-2), В(1;4),С(-3;-2) 53) А(-3;1), В(4;-2),С(0;-5) 54) А(-3;0), В(1;-2),С(4;5) 55) А(3;-3), В(-4;3),С(1;6) 56) А(3;-2), В(1;-1),С(0;5) 57) А(-1;1), В(1;3),С(5;-2) 58) А(-1;-1), В(-2;1),С(3;2) 59) А(1;-2), В(-2;3),С(3;1) 60) А(2;-2), В(3;1),С(-1;2)
Завдання 4. Встановити, яка лінія задана даним рівнянням, та привести його до канонічного виду. Зробити малюнок.
61) 026492 22 yxyx 62) 08464 22 yxyx 63) 01824 2 yxy 64) 058623 22 yxyx 65) 0323218169 22 yxyx 66) 0105 2 yxx 67) 031649 22 yxyx 68) 0396894 22 yxyx 69) 01623 2 yxy 70) 01110425 22 yxyx 71) 0143649 22 yxyx 72) 01105 2 yxy 73) 0168424 22 yxyx 74) 013168164 22 yxyx 75) 082 2 yxx 76) 075,484 22 yxyx 77) 0368101625 22 yxyx 78) 0962 yxx 79) 025,292494 22 yxyx 80) 0321832916 22 yxyx
32
Завдання 5.
81. ;4tg23 32sin xxy x ;)(ctg ln xxy ;2
12lnx
xy
.0)cos(sin yxxy
82. );4ln(3 2arcsin xxy x ;2tg ln xxy ;3
12sinx
xy
.0cos)sin( xyyxx
83. ;2
sin32 43tg xxy x ;ctg sin xxy ;12
cos 3
xxy
.03 2 xye xy
84. ;2
cos22 43arctg xxy x ;ctg tg xxy ;12
tg 3
xxy
.032
2
xye xy
85. ;ctg4 4 32cos xxy x ;sin2xxy ;
12tg
x
xy
.02sin2 yxyx
86. ;tg34 4 22arccos xxy x ;ctg2xxy ;
12cos
x
xy
.012sin2 xyxy
87. ;2sin5 3 2ctg 2xxy x ;arccos
2xxy ;112cos
xxy
.0)arctg( 2 xyxy
88. ;2
cos25 3 2arctg 2 xxy x ;2sin 3xxy ;212ctg
xxy
.02tg 2 yxyx
89. ;2
cos323
xxeyxtg
;2ctg 5xxy ;12
sin 3
xxy
.0arccos 2 yxy
90. ;2
sin42arctg xxey
x
;2tg cos xxy ;12
tg 3
xxy
.0arccos 2
xyyx
33
91. ;2tg26 4cos 2xxy x ;
2sin2 xxy ;12ln 3
xxy
.0arcsin 2
yx
xy
92. ;2ln36 3arccos xxy x ;12 tg xxy ;12cos 3x
xy
.0sin 22
yxyx
93. ;2
ctg22 3cos xxy x ;1322xxy ;
21arcsin
xxy
.0sintg yxyx
94. ;2
cos22 3arcsin xxy x ;3sin2xxy ;
21ctg
xxy
.0costg xyxy
95. ;2tg6 4 313sin xxy x ;2
cos2ctg xxy
;
12ln 3
xxy
.0122
yxe yx
96. ;12ln6 4 33arctg xxy x ;2ctg cos xxy ;32
tg 3
xxy
.0sin 2 xyyx
97. ;2sin4 33ctg
xxyx
;3tg3xxy ;
112cos
xxy
.0sin2cos xyxy
98. ;2cos4 3 22arctg
xxyx
;2tg23xxy ;
112ctg
xxy
.0cossin xyxy
99. ;3
ctg43 312cos xxy x ;2ln2xxy ;
11arccos
xxy
.032 xye yx
100. ;3sin3 4 32arccos xxy x ;2ln tg xxy ;11cos 3
xxy
.03tg3
yxexy
34
Завдання 6. У задачах 101–120 дослідити дані функції методами диференціального числення і побудувати їх графіки.
101) 21
x
xy 102) x
xy 163
103) 2
3
41
xxy
104) xx
xy21
2
105) 2
3
)1(2
xxy 106)
xxy 12
107) 2
3
1 xxy
108) 21
12
xxy
109) 1
43
2
xxy 110) 23 x
xy
111) 212
xxy
112)
xxy 33
113) x
xy 42 114)
1322
x
xxy
115) 52
x
xy 116) 3)3(82
xxy
117) 2)2(2
x
xy 118) 2)2(23
xxy
119) 1
22
x
xy 120) 4
16 2
xxy
Завдання 7. Знайти невизначені інтеграли 121. а)
dxx
xx3 2
2 332 b) 4
3
1 xdxx c) dxxx ln
122. a)
dx
xx2
43143 2
b) 22 )13( x
xdx c) xdxxcos
123. a) dxx
xx
2
132 b) 22 )15( xxdx c) 2
lnx
dxx
124. a)
dxxxx 2
3 2
b) xxdx3sin
cos c) dxx x2
125. a)
dxx
xx3 2
2 342 b) 22
2
)43( xdxx c) xdx3arcsin
126. a) dx
xxxx 322
b)
53)2(
23
2
xxdxxx c) dxx x32
35
127. a)
dx
xxx
333 2 1 b)
52 3
2
xdxx c) dx
xxx
11ln
128. a) dxx
xxxx
3
324 6753 b) 4 2 3x
xdx c) dxx
x3
ln
129. a) dx
xx
2
2)34( b) )12(cos 22 xxdx c) xdx2ln
130. a) dxxxx
4
3 2 12 b) 3 2sincos
xxdx c) xdxx ln4
Обчислити визначені інтеграли
131. a) 2
0
2)2( dxx b) 3
0
34 16 dxxx
132. a) 2
0
sin2
xdx b)
4
232 )1(x
xdx
133. a) dxxx )2( 24
0
b)
2
02)sin3(
cos
xxdx
134. a) 2
1
2 12 dxx
x b)
1
03 3
2
78 xdxx
135. a)
1
1
2 )35( dxxx b)
2
05
4
4xdxx
136. a) 4
0
cos2
xdx b) 3
0
2325 dxxx
137. a)
8
13 2
13 dxx
b) 1
0
13
dxx x
138. a) 2
13
1dxx
x b)
2
03 2)78(
cos
xxdx
139. a)
1
1
2 )2( dxx b)
2
142 )42( x
xdx
140. a) 1
0
)( dxxx b)
2
03
2
29 xdxx
Завдання 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями. Зробити креслення.
141) 22 2, xyxy ; 142) xyxxy 4,42 ; 143) 0,8,32 xyxy ; 144) xyxy 4,4 22 ;
36
145) 22 8, xyxy ; 146) xyxy 2,2 23 ; 147) xyxxy 2,22 ; 148) xxyxxy 4,4 22 ; 149) 8,0,32 xyxy ; 150) xyxxy 3,32
Обчислити об’єм тіла, утвореного оберненням навколо осі Ох фігури, обмеженої указаними лініями. Зробити креслення. 151. xyxy 5,5 22 152. 3,2 yxxy
153. xyxy 4,4 22 . 154. 7,6 yxxy
155. xyxy 3,3 22
Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями. Зробити креслення. 156. .6,0,0,6 yyx
xy 157. .4,
41 2 yxy
158. .0,4,3 xxyxy 159. .14
22
yx 160. .0,9,3 xxyxy
37
Українсько-російський словник термінів з дисципліни „Вища математика ”
„А”
Аргумент функції - аргумент функции Асимптота – асимптота
„В” Відрізок - отрезок Величина – величина
„Г” Границя – предел
„Д” Диференціал - дифференциал Диференціальне числення - дифференциальное исчисление Диференціювання - дифференцирование Ділення – деление Добуток – произведение Доповнення - дополнение Дотична – касательная
„Е” Екстремум – экстремум
„З” Зворотна - обратная Зростання функції - возрастание функции
„І” Інтеграл визначений - интеграл определённый Інтеграл невизначений - интеграл неопределённый Інтегрування - интегрирование
„К” Коло - окружность Корінь - корень Криволінійна трапеція - криволинейная трапеция Критична крапка - критическая точка Кутовий - угловой
38
„М” Матриця - матрица Миттєва швидкість - мгновенная скорость Метод інтервалів - метод интервалов Механічний зміст - механический смысл Мішаний – смешанный Множення - умножение
„Н” Найбільше значення - наибольшее значение Найменше значення - наименьшее значение Нерівність - неравенство Нескінченно мала - бесконечно малая Непарний – нечетный.
„О” Область значень - область значений Обчислити - вычислить Одиничне коло - единичная окружность Оборотна - обратимая Область визначення - область определения
„П” Парний - чётный Показова - показательная Площина - плоскость Площа - площадь Первісна - первообразная Перетворення - преобразование Приріст – приращение Прискорення - ускорение Похідна - производная Пряма - прямая
„Р” Радіан - радиан Рівняння – уравнение
„С” Сума - сумма Спадання функції – убывание функции
«Т» Транспонована – транспонированная Точка перегину – точка перегиба
„Ф”
Формула зведення - формула приведения
39
ЗАВДАННЯ ДО ІСПИТУ
I Рівень.
1. Сума матриць А=
63
42 та В=
1632 дорівнює:
а)
79
70 ; б)
7970 ; в)
7974 ; г)
6974 .
2. Добуток матриць А=
061283015
та В=
01
1 дорівнює:
а)
21
7; б)
55
6; в)
556
; г)
0117
.
3. Визначник матриці А=
103221
282 дорівнює:
а) 48; б) -48; в) -40; г) -52.
4. Алгебраїчне доповнення елемента 21a матриці А=
29311675
512 дорівнює:
а) -47; б) 43; в) -45; г) -43. 5. Абсолютна величина вектора 4;0;3a дорівнює: а) 4; б) -5; в) 5; г) 12 . 6. Векторний добуток векторів 2;1;4 a та 1;2;3 b
дорівнює:
а) kji 533 ; б) kji 523 ; в) kji 524 ; г) kji 323 . 7. Рівняння прямої, яка проходить через точки А(-1; 3) та В(3; -2) має вид: а)
53
41
ух ; б)
53
51
ух ; в)
13
41
ух ; г) 53
41
ух .
8. Рівняння гіперболи має вид 12516
22
ух , тоді її півосі дорівнюють:
а) a=3 , b=4 ; б) a=4 , b=5; в) a=5 , b=4; г) a=4 , b=3.
9. Чому дорівнює матриця С=2А+В, якщо А=
41
32 та В=
1603 ?
40
а)
7467 ; б)
7467 ; в)
7327 ; г)
76
47 .
10. Добуток двох матриць А=
232102
та В=
12
31 дорівнює:
а)
7715
64; б)
777467
; в)
771465
; г)
7715
62.
11. Мінор елемента 33a матриці А=
19861643921
дорівнює:
а) 9; б) 10; в) -2; г) -8.
12. Визначник А=102611232
дорівнює:
а) 37; б) 39; в) 42; г) 33. 13. Знайдіть координати вектора АВ , якщо А(2; -1; 4), В(6; -3; 5). а) (4; -2; 1); б) (4; -4; 9); в) (-4; 2; -1); г) (-4; -4; 1). 14. Скалярний добуток векторів )3;2( a та )3;5(b
дорівнює:
а) 0; б) 1; в) 2; г) 3. 15. Рівняння прямої, яка проходе через точку А(2; 1) та 2;1n має вид: а) 042 ух ; б) 092 ух ; в) 02 ух ; г) 042 ух .
16. Координати фокусів еліпсу, який заданий рівнянням 159
22
ух , дорівнюють:
а) 0;6 ; б) 0;3 ; в) 0;5 ; г) 0;2 .
17. Різниця матриць А=
232451 та В=
221
937 дорівнює:
а)
014
1326 ; б)
011
1326 ; в)
0111326 ; г)
0111326 .
18. Знайти добуток двох матриць ТВА , якщо А=
211102 та В= 321 .
а)
55 ; б) 55 ; в)
55 ; г) 55 .
19. Визначник матриці А=
110021331
дорівнює:
а) 4; б) 3; в) -4; г) 2.
41
20. Знайдіть координати вектора MN , якщо М(-2; 3; 0), N(2; -1; 3). а) (0; 4; 3); б) (4; -4; 3); в) (4; -4; -3); г) (0; -4; -3). 21. Рівняння прямої, яка відсікає на координатних осях відрізки а=2, b=4 має вигляд
а) 124
ух ; б) 142
ух ; в) 1
42
ух ; г) 142
22
ух .
22. Мішаний добуток векторів 2;1;1 a , 1;1;2 b , 11;2c дорівнює: а) -6; б) 6; в) 5; г) 7. 23. Косинус кута між векторами AB та AC , де
)5,4,4();2,1,1();3,2,2( CBA дорівнює: а) cos ; б) cos ; в) 2
1cos ; г) 4/cos .
24. Центр гіперболи, яка задана рівнянням 133
52 22
ух знаходиться у
точки з координатами: а) (3; -2); б) (2; 3); в) (2; -3); г) (-2; -3).
25. Знайти добуток А , якщо =-3, А=
642103
2321
.
а)
18126309623
; б)
18126339623
; в)
18126309623
; г)
18126309
623.
26. Якщо А=
120321 та В=
5021
32, тоді ВА дорівнює:
а)
12
224 ; б)
12
24 ; в)
12
224 ; г)
12224 .
27. Визначник матриці А=
0342 дорівнює:
а) -7; б) -10; в) -14; г) -12.
28. Мінор елемента 31а матриці А=
81521611813326226
дорівнює:
а) -16; б) 20; в) 16; г) -22. 29. Вектор-нормалі прямої 01932 ух має координати: а) (2; -3); б) (3; 2); в) (-3; -2); г) (2; 19).
42
30. Чому дорівнює тангенс кута А, якщо
21
43
ACAB kтаk ?
а) 21
; б) -2; в) 2; г) 21 .
31. Скалярний добуток векторів 6;1;2 а та 1;0;3 b дорівнює: а) -7; б) 0; в) -12; г) 12. 32. Яку криву другого порядку задає рівняння 01444812169 22 ухух ? а) гіперболу; б) коло; в) еліпс; г) параболу. 33. Якого розміру буде матриця ВАС , якщо
35А та
23В ?
а) 33 ; б) 52 ; в) 25 ; г) 67 .
34. Обчислити добуток TNM , якщо
212102
M та 32 N .
а) 444 ; б)
444
; в) 444 ; г)
44
4.
35. Визначник матриці А=
045123012
дорівнює:
а) -3; б) -13; в) 3; г) 13.
36. Алгебраїчне доповнення елемента 23b матриці 603
1785911
324B дорівнює:
а) -10; б) 6; в) -6; г) -817. 37. Знайдіть координати вектора MN , якщо M(2; -2; -1) та N(3; -1; 0). а) (-1; -1; -1); б) (-1; 1; -1); в) (1; -1; 1); г) (1; 1; 1). 38.Знайти скалярний добуток kjia 743 та kjib 252 а) 0; б) 1; в) 2; г) 3. 39. Рівняння прямої, яка має 2;1р та проходе через точку А=(5; 3) має вигляд: а) 01254 ух ; б) 0132 ух ; в) 0223 ух ; г) 095 ух . 40. Рівняння параболи має вигляд 3162 2 ху . Які координати має її вершина? а) (2; 3); б) (-3; 2); в) (3; 2); г) (-3; -2).
43
41. Різниця матриць А=
394201
та В=
823523
дорівнює:
а)
5111324
; б)
571324
; в)
571724
; г)
11117722
.
42. Добуток ВА , де
2162
А та
4063
В дорівнює:
а)
143126 ; б)
143126 ; в)
1431212 ; г)
141126 .
43. Визначник 250141
112 дорівнює:
а) -1; б) 1; в) 23; г) 13.
44. Алгебраїчне доповнення елемента 11b матриці
240011
7038152B дорівнює:
а) -2; б) -6; в) 2; г) 4. 45. Абсолютна величина вектора 0;12;9АВ дорівнює: а) 11; б) 12; в) 14; г) 15. 46. Рівняння прямої, яка проходе через точки А (3; – 4) та В (4; 5) має вигляд: а) 0319 ух ; б) 0319 ух ; в) 0319 ух ; г) 0319 ух . 47. Обчислити скалярний добуток векторів 0;3;2 а та 23;1b
а) -11; б) 11; в) -7; г) 7. 48. Ексцентриситет гіперболи повинен бути… а) 10 ; б) 1 ; в) 1 ; г) 0 .
49. Обчислить А , якщо 3 , А=
03251321 .
а)
09683963 ; б)
09615
3963 ; в)
096153963 ; г)
396153963 .
50. Добуток двох матриць А=
232102
та В=
12
31 дорівнює:
а)
7715
64; б)
777467
; в)
771465
; г)
7715
62.
44
51. Визначник матриці А=
110021331
дорівнює:
а) 4; б) 3; в) -4; г) 2.
52. Алгебраїчне доповнення елемента 23b матриці 603
1785911
324B дорівнює:
а) -10; б) 6; в) -6; г) -817. 53. Абсолютна величина вектора 4;0;3a дорівнює: а) 4; б) -5; в) 5; г) 12 . 54. Чому дорівнює тангенс кута А, якщо
21
43
ACAB kтаk ?
а) 21
; б) -2; в) 2; г) 21 .
55. Скалярний добуток векторів 6;1;2 а та 1;0;3 b дорівнює: а) -7; б) 0; в) -12; г) 12.
56. Рівняння гіперболи має вид 12516
22
ух
, тоді її півосі дорівнюють:
а) a=3 , b=4 ; б) a=4 , b=5; в) a=5 , b=4; г) a=4 , b=3.
57. Похідна функції xxxy 35
32
51 має вигляд:
а) 21 xy ; б) 22 1 xy ; в) 12 xy ; г)
22 1 xy . 58. Рух точки відбувається за законом 320
31
51)( 35 ttttS . Чому дорівнює
швидкість руху точки за 2 с після початку руху? а)42; б)41; в)40; г)39. 59. Частинна похідна
xz функції 52 34 yxyxz має вигляд:
а) 123 3 yxxz ; б) 12
хxz ; в) yx
xz 24 3 ; г) хx
xz 24 3 .
60. Похідна функції 3 232 xxxf має вигляд:
а) 3
41xx
xf ; б) 3
21xx
xf ; в) 3
61xx
xf ; г) 3
21xx
xf .
61. Границя 10010
45lim 23
3
xxxx
x дорівнює:
45
а)5; б)251 ; в)
21 ; г)
52 .
62. Частинна похідна yz функції 52 34 yxyxz має вигляд:
а) 232 yxyz
; б) 23yу
yz
; в) 132 2
yxyz ; г) 23 34 yх
yz
.
63. Похідна функції xxy cos має вигляд: а) xxxy sincos ; б) xxy sin ; в) xy cos ; г) xy sin1 .
64. Рух точки відбувається за законом 2731
41)( 34 ttttS . Чому дорівнює
прискорення руху точки за 2 с після початку руху?
65. Границя 2216lim 4
24
xxx
x дорівнює:
а)31 ; б)
21 ; в)
21 ; г) 2 .
66. Область визначення функції )2lg(672 xxxy дорівнює: а) );6[]1;3( ; б );6[]0;2( ; в) );6[]1;2( ; г) )8;6[]1;2( .
67. Границя хxx
x 42lim 5
6
дорівнює:
а)21
; б)0; в)2; г) .
68. Область визначення функції )7lg(232 xxxy дорівнює: а) );2[]1;6( ; б) );2[]1;7( ; в) );1[]2;7( ; г) );3[]1;7( . 69. Рух точки відбувається за законом 320
31
51)( 35 ttttS . Чому дорівнює
прискорення руху точки за 2 с після початку руху? а)36; б)30; в)40; г)44. 70. Частинна похідна
xz функції yyxz 22 має вигляд:
а) 24xyxz
; б) xy
xz 4 ; в) 12 2
xyxz ; г) 22xy
xz
.
71. Рух точки відбувається за законом 2731
41)( 34 ttttS . Чому дорівнює
прискорення руху точки за 2 с після початку руху? а)5; б)14; в)16; г)7.
72. Границя 1
12lim 2
2
1
xxx
x дорівнює:
46
а)0; б)-2; в)1; г)-1.
73. Похідна функції xxxy 35
32
51 має вигляд:
а) 21 xy ; б) 22 1 xy ; в) 12 xy ; г) 22 1 xy . 74. Похідна функції 3542)( 23 xxxxf при даному значенні аргументу
)2(f дорівнює: а) 4; б) 3; в) 2; г) 1.
75. Область визначення функції 1
)1ln(
x
xy дорівнює:
а) 1/Rx ; б) );1( x ; в) );1()1;1( x ; г) );1()1;( x .
76. Похідна функції ххху 21 64 має вигляд:
а) х
хху 164 53 ; б) х
хху 164 53 ;
в) х
хху2
164 53 ; г) х
хху 164 53 .
77. dxx11 дорівнює:
а) cx
10
10
; б) cx
12
12
; в) cx 1011 ; г)12
12x
78. dxx )2( дорівнює:
а) cx 21 ; б) cxx 2
2
2
; в) cx
2
2
; г) xx 22
2
79. dxx
7 дорівнює:
а) x14 ; б) cx
27 ; в) cx
7
2 ; г) cx 14
80. dxx6 дорівнює:
а) cx 65
61 ; б) cx 6
7
61 ; в) cx
6
7 67
; г) cx
76 6
7
81. xdxtg2 дорівнює:
а) cx cosln21 ; б) cx 2cosln
21 ; в) c
x
4cos2
12 ; г) cx sinln
21
81. 2
1
2 )1( dxx дорівнює:
а) 3
10 ; б) 7
10 ; в) 323 ; г)
322
82. Яка з показаних формул має зміст:
47
а) a
o
a
adxxfdxxf )(2)( ; б) dxxgxfdxxgxf )()())()(( ;
в) b
a
c
a
b
cdxxfdxxfdxxf )()()( ; г)
b
a
baxkFdxxkf )()(
83. Який метод інтегрування слід застосувати для обчислення xdxх arccos : а) метод заміни змінної; б) метод інтегрування тригонометричних функцій; в) метод інтегрування частинами; г) правильної відповіді не має. 84. Об’єм тіла обертання навколо осі Ох фігури обмеженої лініями
0,1,0, xxyey x дорівнює: а) )1( 2 е ; б) )1(2 2е ; в) );(
22 ее
г) ).1(2
2 е
85. dxx9 дорівнює:
а) cx 89 ; б) cx 1010 ; в) cx
9
9
; г) cx
10
10
.
86. dxx )2
11(2
дорівнює:
а) cx
6
3
; б) 6
113xx ; в) cxx
611
3
; г) cxx 11
87. xdx
2cos2 дорівнює:
а) ctgx ; б) cctgx 2 ; в) ctgx 2 ; г) cx 2sin2 ; 88. dxx дорівнює:
а) cx 2 ; б) cx
21 ; в) cx
2
3 23
; г) cx
32 2
3
89. dxx )1cos( дорівнює: а) cx )1sin( ; б) cx )1sin( ; в) cx sin ; г) cx sin ; 90.
3
2
33 dxx дорівнює:
а) 195; б) 4
195 ; в) 3
195 ; г) 2
195
91. Яка з поданих формул не має змісту: а)
b
acxfdxxf )()( ; б) cxFdxxf )()( ;
в) b
ax dxxfV )(2 ; г) )0)((,)( b
axfdxxfS
92. Який метод інтегрування слід застосувати для обчислення 2
1
52 )87( dxxx а) метод інтегрування заміною змінної у визначеному інтегралі; б) безпосереднє інтегрування; в) метод інтегрування заміною змінної; г) метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
48
93. Площа фігури обмеженої лініями у=х2, х=3, у=0, х=4 дорівнює: а)
337 ; б)
338 ; в)
339 ; г)
330
94. dxx3 дорівнює:
а) cx 23 ; б) 4
4x ; в) cx
4
4
; г) cx
2
2
95. dxx )12( дорівнює:
а) 2; б) cxx 2 ; в) cxx
2
2
; г) cx 24
96. xdx11 дорівнює:
а) cx ln ; б) cx ln11 ; в) cx
211 2
; г) cx
2
2
97. dxx3 дорівнює:
а) cx 33 ; б) cx
34 3
4
; в) cx
43 3
4
; г) 3
4 34
x
98. 42xdx дорівнює:
а) cxarctg 2 ; б) cxarctg 2
2 ; в) cxarctg 221 ; г) cxarctg
221
99. 1
0
62 dxx дорівнює:
а) 72 ; б)
31 ; в)
76 ; г)
73 .
100. Яка з поданих фігур є криволінійною трапецією? а) б) в) г)
101. Яка з поданих формул має зміст: а)
b
acxFdxxf )()( ; б)
b
abfafdxxf )()()( ;
в) b
aafbfdxxf )()()( ; г)
b
aaFbFdxxf )()()(
102. Площа фігури обмеженої лініями у=х3, х=1, х=2 та віссю Ох дорівнює: а) 4; б)
413 ; в)
433 ; г)
434
103. dxx7 дорівнює:
а) cx
8
8
; б) cx 67 ; в) 8
8x ; г) cx
6
6
49
104. dxx )31( 2 дорівнює:
а) cx 6 ; б) cx 13 ; в) cxx 3 ; г) cxx 3
3
105. dxx 2
2 дорівнює:
а) cx
1 ; б) cx
2 ; в) cx
32 3
; г) cx
2
106. dxx5 дорівнює:
а) cx
45 5
4
; б) cx
65 5
6
; в) cx
56 5
6
; г) cx
6
6
107. 0
12 dxx дорівнює:
а) 2ln2
12ln
1 ; б)
2ln2
2ln1
; в) 2ln
12ln2
1 ; г)
2ln1
2ln1
108. Яка з поданих формул має зміст: а)
b
a
b
avduuvudv ; б) vduuvudv ;
в) b
a
b
a
ba udvvuvdu ; г)
b
a
b
a
ba vduvuudv
109. Площа якої фігури обчислюється за формулою
b
adxxfxf ))()(( 12 :
а) б) в) г)
110. Площа фігури обмеженої лініями у=2х2, у=0, х=1, х=2 дорівнює: а)
2ln3 ; б)
2ln4 ; в)
2ln2 ; г)
2ln1 .
50
II Рівень.
1. Рівняння прямої лінії на площині. 2. Коло, його рівняння і властивості. 3. Еліпс, його рівняння і властивості. 4. Гіпербола, її рівняння і властивості. 5. Парабола, її рівняння і властивості. 6. Визначення матриці. Дії над матрицями. 7. Визначники 2-го і 3-го порядки. Властивості визначників. 8. Мінор, алгебраїчне доповнення. 9. Обернена матриця і її знаходження. 10. Системи лінійних рівнянь. Формули Крамера. 11. Рішення систем рівнянь методом Гауса і матричним методом. 12. Функціональна залежність. Способи завдання функції. Основні
властивості функцій. 13. Похідна, її фізичне, геометричне і економічне значення. 14. Формули диференціювання. 15. Складна функція. Знаходження похідних складних функцій. 16. Зростання і убування функції. Ознаки зростання і убування функції. 17. Екстремуми функції. Теорема Ферма (необхідна ознака екстремуму). 18. Достатня ознака існування екстремуму. 19. Опуклість і угнутість кривої. Точка перегину. Необхідні і достатні
умови існування точки перегину. 20. Побудова графіків і функцій по характерних точках. 21. Задачі на максимум і мінімум. 22. Функції багатьох змінних. Частинні похідні функцій. 23. Первісна функція і невизначений інтеграл. 24. Властивості невизначеного інтеграла. 25. Таблиця найпростіших інтегралів. 26. Основні методи інтегрування. 27. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Основні властивості
визначеного інтеграла. 28. Методи обчислення визначеного інтеграла. 29. Геометричне і економічне значення визначеного інтеграла. 30. Обчислення площ плоских фігур і об’ємів тіл обертання за допомогою
визначеного інтеграла.
51
III Рівень.
1. Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь
34022
34
zyxzyx
zyx
по
формулам Крамера. 2. Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь
872,1353,42
zуxzуxzуx
матричним методом.
3. Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь
253;342;1342
zyxzyxzyx
методом Гауса. 4. Знайти скалярний добуток векторів ba
23 и ba 65 , якщо
baba
,,6,4 .
5. При якому значенні вектори kjia 2 и kjib
23
перпендикулярні. 6. Дані вершини трикутника: )2;2(A , )8;2( B та )2;6( C . Скласти
рівняння медіан трикутника. 7. Дані вершини трикутника: )1;0(A , )5;6(B та )1;12( C . Скласти
рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини C . 8. Дані вершини трикутника А(1; -1), В(-3; 1), С(3; 3). Обчислити
довжину висоти АМ. 9. Дані вершини трикутника А(0; -3), В(4; 6), С(-1; -2). Знайти
величину кута В. 10. Звести рівняння кривої другого порядку 0712422 xyx до
канонічного вигляду, побудувати лінію і знайти її параметри. 11. Дана гіпербола 16х2-25у2=400. Визначити довжини осей, координати
фокусів, ексцентриситет. Зробити креслення.
12. Знайти область визначення функції 2
13arcsin321
xxy .
13. Знайти асимптоти функції 42
3
xxy .
14. Знайти похідну функції .lnaxaxy
52
15. Знайти рівняння дотичної до графіка функції 12 xxy у точці
0x =1.
16. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням t
s
1
1ln ,
наприкінці третьої та десятої секунд.
17. Рух точки відбувається за законом 32031
51)( 35 ttttS . Знайти
швидкість та прискорення руху точки за 2 с після початку руху.
18. Знайти інтервали зростання і спадання функції: 212)(
xxxf
.
19. Дослідити функцію на екстремум: .884152)( 23 xxxxf
20. Знайти найбільше та найменше значення функції 22
10102
xxxy на
відрізку 2;1 . 21. Знайти інтервали угнутості й опуклості, та точки перегину кривої, яка
задана рівнянням 12683 234 xxxy .
22. Обчислити невизначений інтеграл dxx
x cos61
sin.
23. Обчислити невизначений інтеграл dxxxx 2cos)57( 2 .
24. Обчислити визначений інтеграл 1
0
dxxe x.
25. Обчислити визначений інтеграл
3
049 x
dxx.
26. Обчислити площу фігури, обмеженою кривими 2)( xxf і
2227)( xxg .
27. Знайти площу фігури, обмеженої кривими 4;3;3 xx
yxy .
28. Знайти площу фігури, обмеженої кривими )0(0;cos;sin xxxyxy .
29. Обчислити об’єм тіла обертання, обмеженого лініями 2
2xy , 0x ,
22y навколо осі 0у.
53
30. Функція маргінальних витрат фірми має вигляд xxV 02,02,30)( . Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зросте з 1000 до 2000 одиниць.