DİKDİK PRİZMALARPRİZMALAR

Tabanları birbirine eş herhangi bir çokgen ve yan

yüzeyleri taban düzlemlerine dik birer dikdörtgen olan cisimlere

dik prizmalardik prizmalar denir.

Üst Taban

Yan Yüzey

Yan Ayrıtı

Alt Taban

Kare Dik Prizma

h Yükseklik

Üçgen prizma

Dikdörtgen dik prizma

Düzgün Altıgen Dik Prizma

DİK PRİZMANIN ÖZELLİKLERİ

1. Prizmalar taban yüzeyine göre adlandırılırlar. (Kare dik prizma, Üçgen dik prizma gibi)

2. Alt ve Üst tabanları eş ve Paraleldir.

3. Yan yüzeyleri dikdörtgenlerden oluşmuştur.

4. Yan ayrıtları aynı zamanda dik prizmaların yüksekliğidir.

5. Bir dik prizmanın yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. Ya = Tç .h

6. Bir Dik Prizmanın tüm alanı, yanal alanı ile iki taban alanının toplamına eşittir. A = Ya + 2 . Ta

7. Bir dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. V = Ta . H

8. Bir Dik prizmanın ; köşe sayısı K, yüz sayısı Y, ayrıt sayısı A ile gösterilirse, bunlar arasında ; K + Y - A = 2 bağıntısı vardır.

Bu bağıntıya, Euler (Öyler) bağıntısı denir.

DİKDÖRTGENLER PRİZMASI

Bütün yüzeyleri dikdörtgen olan dik prizmaya, dikdörtgenler prizması denir.

Dikdörtgenler Prizmasının açılmış hali

a

bb

c

b

a

a

b b

c c c

b

c

Cisim köşegeni : [HB] = kYüzey Köşegeni : [DB] = eTaban Çevresi : Ç = 2. (a+b)Taban Alan : Ta = a . b

Yanal Alanı : Taban çevresi x Yükseklik Ya = 2.(a+b) . c

Bütün Alanı : A = Ya + 2Ta

= 2. (a.b + a.c +b.c )

Hacmi : Taban Alanı x Yükseklik V = a . b . c

Cisim Köşegeni : k = a² + b² + c²

KÜP

a

a a

aa

aa

a

aa a a

a

a

a

a

a

Küpün açılmış hali

Bütün yüzleri karesel bölge olan dik prizmaya küp denir.

Buna göre, küpün;

Taban Çevresi : Ç = 4aTaban Alanı : Ta = a²Yanal Alanı : Ya = 4a²

Bütün Alanı : A = 2Ta + Ya = 2a² + 4a² = 6a²

Hacmi : V = a³Yüzey Köşegeni : e = a2Cisim Köşegeni : k = a2

KARE DİK PRİZMA

Alt taban

Üst Taban

YanalYüz

YanalYüz

YanalYüz

YanalYüz

a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a

a

h hh hh

Tabanı kare olan dik prizmaya, kare dik prizma denir.Alt ve üst tabanı kare şeklinde, yan yüzeyleri birbirine eş dikdörtgenlerdir.

Taban Çevresi : Ç = 4aTaban Alanı : Ta = a²Yanal Alanı : Taban çevresi x Yükseklik

Ya = 4ah

Bütün Alanı : A = 2Ta + Ya = 2a² + 4 ah = 2a (a + 2h)

Hacmi :Taban Alanı x Yükseklik V = Ta . h = a² . H

Cisim Köşegenin Uzunluğu : k = 2a² + h²

ÜÇGEN DİK PRİZMA

Tabanı üçgen olan dik prizmaya üçgen dik prizma denir.

a

a

bc

h

c

c

c

b

bb

h h h

k

Özellikleri - Tabanları üçgendir ve bu üçgenler birbirine eşittir. (Bu üçgenler ; dik üçgen, ikizkenar dik üçgen, eşkenar üçgen olabilir.) - Yan yüzler birer dikdörtgendir. - Yanal ayrıtlar eş ve birbirine paraleldir. - Yanal ayrıtların her biri prizmanın yüksekliği olur. - Taban alanı bulunurken, tabanı oluşturan üçgen göz önünde bulundurulmalıdır. - Üçgen dik prizmanın ;

Taban Çevresi : Ç = a + b + c

Tabanlardaki üçgenlerin yüksekliği k ‘ dır.

Taban alanı : Ta = a.k 2

Bütün Alanı : A = 2. Ta + Ya

= a . K + (a + b + c) . h

Hacmi : V = Ta x h

a. k . H V =

2

DÜZGÜN ALTIGEN PRİZMATabanı düzgün altıgen olan dik prizmaya, düzgün altıgen prizma denir.

Yan

Yüz

Yan

Yüz

Yan

Yüz

Yan

Yüz

Yan

Yüz

Yan

Yüz

aa

aa aa

a

a

a

a

a a a

a

a

a

a

a

a

a

hhhhhh h

Düzgün altıgen dik prizmanın açılmış hali

Özellikleri

- Yan yüzleri birbirine eş 6 dikdörtgenden oluşur.- Tabanlardaki düzgün altıgen , 6 eşkenar üçgenin birleşmesinden oluşur.

- Düzgün altıgen dik prizmanın ;

a² . 3Taban Alanı : Ta = 6. 4

Yanal Alanı : Ya = Taban Çevresi x Yükseklik

Ya = 6 . A . h

Bütün Alanı : A = 2 . Ta + Ya

a².3 A = + 6 . a . h 4

A =3a . (a.3 + 2h )

Hacmi : Taban Alanı x Yükseklik V = Ta . H = 3. A.k. h

DİK SİLİNDİR

Bir dikdörtgensel bölgenin,

kenarlarından biri etrafında

360° döndürülmesiyle oluşan

cisme dik silindir denir.

h yükseklik

Dik silindir

Özellikleri

- Dik silindir, tabanları birbirine eş daireler olan bir dik prizmadır.- Dik silindirin yan yüzünün açık şekli bir dikdörtgensel bölgedir. Yan yüzünün açık şeklinin bir kenarı dairenin çevresine, diğer kenarı silindirin yüksekliğine eşittir.

- Tabanın yarıçapı r, yüksekliği h olan dik silindirin ;

Taban Alanı : Ta = . r²

Yan Alanı : Taban Çevresi x Yükseklik

Ya = 2 . . r. H

Bütün Alanı : A = 2. Ta + Ya

A = 2. . r². + 2 . . r. H

A = 2. . r . ( r + h )

Hacmi : Taban Alanı x Yükseklik

V = Ta . h

V = . r² . h

Bu şekillerden ; evin çatısı gibi cisimler, piramide ; dondurma külahı gibi cisimler koniye ;top gibi cisimlerde küreye benzetilebilir.

Piramit ve koniye benzeyen cisimlerin birer tabanı ve yan yüzleri bir tepe nıktasında birleşmektedir.

Kürenin ise yüzeyi eğri yüzeydir., kenar ve köşeleri yoktur.

A. PİRAMİT

Tabanı çokgen, yanal yüzleri ise ortak bir tepe noktasında birleşen

üçgenlerden oluşan çok yüzlülere piramit denir.

Piramitler de prizmalar gibi tabanlarına göre adlandırılır.

Tabanı üçgen olan piramide üçgen piramit ,

Tabanı kare olan piramide kare piramit,

Tabanı altıgen olan piramide altıgen piramit adı verilir.

Tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekliği tabanın

merkezindengeçen piramide düzgün piramit denir.

Kare dik piramit, eşkenar üçgen dik piramit,

düzgün altıgen dik piramit gibi cisimler,

birer düzgün piramittir.

Düzgün Piramidin Özellikleri

- Taban bir düzgün çokgendir.

- Yanal yüzler eş ikizkenar üçgenlerdir.

- Tepe noktasını tabanın orta noktasına birleştiren dikmenin uzunluğu piramidin yüksekliğidir. ( Cisim Yüksekliği )

- Yanal yüzlerden birine ait olan yükseklik, piramidin yanal yüz yüksekliğidir.

- Düzgün Piramitlerde Alan ve Hacim

- Düzgün Piramidin yan yüzlerindeki ikizkenar üçgen sayısı , n ise ;

Yanal Alanı : Ya = n x (Üçgen Alanı)

a . k Ya = n.

2

Bütün Alanı : A = Ya + Ta

1

Hacmi : V = .Ta. H 3

Düzgün Dört Yüzlü

Dört yüzü de eşkenar olan piramide düzgün dört yüzlü denir.

a .6Yüksekliği : h =

3

a² .3 Taban Alanı : Ta =

4

Bütün Alanı : A = 4. Ta

= a² .3

1Hacmi : V = .Ta. h

3

B. DİK KONİ

Bir dik üçgenin, bir dik kenarı etrafında

360° döndürülmesiyle oluşan cisme dik koni denir.

Dik Koninin Özellikleri

- Tepe noktasını taban dairesinin merkezine birleştiren doğru parçası koninin yüksekliğidir.

- Yanal yükseklik, dairenin çevresindeki herhangi bir noktayı tepe noktasına birleştiren doğru parçasıdır.

- Yanal yüz bir daire dilimidir.

- Taban Yarıçapı r, ana doğrusu a ve yüksekliği h olan dik koninin ;

Taban Alanı : Ta = . r²

Yanal Alanı : Ya = . r. a

Bütün Alanı : A = Ta + Ya A = . r² + . r . a A = . r . ( r +a )

1Hacmi : V = . r² .h

3

C. KÜREMerkezi O, çapı 2r olan bir yarım dairenin [AB] etrafında 360°döndürülmesiyle oluşan cisme küre denir.

Kürenin Özellikleri

- Kürenin merkezi O noktasıdır.- Kürenin merkezinden geçen düzlemle kürenin ara kesitine kürenin büyük dairesi denir.- Büyük daire, küreyi iki eş parçaya böler.- Yarıçapı r olan kürenin ;

Alanı : A = 4. . r²

4Hacmi : V = . . r³

3