Post on 06-Apr-2015
Kapitel 10
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3
Beschleunigung und
longitudinaler Phasenraum
2
Aus der Strahloptik....
Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen)
Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen
Differentialgleichung fuer Teilchenbewegung
Beschreibung der Teilchenbewegung mit Betafunktion• Betatronschwingung
Strahlgrösse:
Arbeitspunkt: Q Werte
Closed Orbit
Dispersion
(s)s und (s)s zzzxxx )()(
3
Übersicht
Beschleunigung mit HF Feldern
Teilchenpakete („bunch“)
Phasenfokussierung im Linac
Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger
Bewegungsgleichung für die longitudinale Teilchenbewegung
Synchtrotronfrequenz
4
Kreisbeschleuniger: Beschleunigung durch vielfaches Durchlaufen durch (wenige) Beschleunigungstrecken
Principal machine components of an accelerator
5
2a
Beschleunigung im zylindrischen Cavity T = 0 (Beschleunigung)
z
zE0
E(z)
)(tE
g
(100 MHz)
6
2a
Beschleunigung im zylindrischen Cavity T = 5 ns
z
)(tE
z
-E0
E(z)g
(100 MHz)
7
Supraleitender Hohlraumresonatoren (Cornell)
Cavity 200 MHz
Cavity 500 MHz
Cavity 1300 MHz
8
Supraleitender Hohlraumresonator mit 9 Zellen (TESLA, DESY)
9
Illustration für das elektrische Feld im Hohlraumresonator
10
Beschleunigung mit Hochfrequenzfeldern
Zeitlich veränderliche Spannung:
U t( ) U0 sin 2 frf t dt
Frequenz : frf 100 MHz
Maximale Spannung: U0 1 106 V
1 108
5 109
0 5 109
1 108
1.05 106
5.25 105
0
5.25 105
1.05 106 U(t)
Zeit
Sp
an
nu
ng
0
cavity
11
Teilchenbeschleunigung mit Cavities (Hohlraumresonator)
Teilchen laufen von links ins Cavity 1 ein. Um beschleunigt zu werden, muss diePhase des elektrischen Feldes „richtig“ sein. Annahme: Teilchen 1 läuft zum
Zeitpunkt t0 = 0 ns durch das Cavity 1 – es wird mit einer Spannung von 1 MVbeschleunigt. Ein Teilchen welches zu einem anderen Zeitpunkt durch das Cavity läuft, wird entweder weniger beschleunigt, oder kann gebremst werden
zCavity 1 Cavity 2
1 108
5 109
0 5 109
1 108
1 106
5 105
0
5 105
1 106 U(t)
Zeit
Sp
an
nu
ng 106
106
U t( )
10 810 8 t
t0 = 0
"gebremst"
12
Teilchenpakete
• In einem HF Feld kann kein kontinuierlicher Strahl beschleunigt werden, sondern sogennante „Bunche“ (Teilchenpakete)
• Da ein Bunch eine endliche Länge hat (einige Millimeter bis zu etwa einem Meter), werden nicht alle Teilchen gleich beschleunigt
• Es kommt zur sogennanten Phasenfokussierung
1 108
5 109
0 5 109
1 108
1 106
5 105
0
5 105
1 106 U(t)
Zeit
Sp
an
nu
ng 106
106
U t( )
10 810 8 t
13
Phasenfokussierung im Linac
z
Cavity 1 Cavity 2
• Es werden 3 Teilchen angenommen. Annahme: die Geschwindigkeit der Teilchen ist deutlich kleiner als c
• Teilchen mit Sollenergie• Teilchen mit mehr Energie – mit grösserer Geschwindigkeit (blau)• Teilchen mit weniger Energie – mit kleinerer Geschwindigkeit (grün)
• Das rote Teilchen läuft zum Zeitpunkt t = 1.25 ns in das Cavity ein. Es wird angenommen, dass die Feldstärke weiter ansteigt (ansteigender Ast der Schwingung)
• Das grüne Teilchen läuft später bei t = 1.55 ns ein, und wird stärker beschleunigt
• Das blaue Teilchen läuft früher bei t = 0.95 ns ein, und wird weniger beschleunigt
14
Phasenfokussierung im Linac – ansteigende Flanke
zCavity 1
2.5 1.88 1.25 0.63 0 0.63 1.25 1.88 2.5 3.13 3.75 4.38 51.05
0.53
0
0.53
1.05U(t)
Zeit
Sp
an
nu
ng
1.05
1.05
U t( )
106
52.5 t
15
Phasenfokussierung im Linac
Angenommen, dass die Energiedifferenz gross genug ist und die Geschwindigkeit nichrelativistisch gilt:
Vor dem Cavity 1:
vblau > vrot > vgrün
Hinter dem Cavity 1:
vgrün > vrot > vblau
Da die Geschwindigkeit vom grünen Teilchen an grössten ist, wird es die anderen
Teilchen nach einer gewissen Strecke überholen
16
Phasenfokussierung im Linac – Synchrotronschwingung
z
5 2.5 0 2.5 51.05
0.53
0
0.53
1.05U(t)
Zeit
Span
nung
1.05
1.05
U t( )
106
55 t
5 2.5 0 2.5 51.05
0.53
0
0.53
1.05U(t)
Zeit
Span
nung
1.05
1.05
U t( )
106
55 t
Cavity 1 Cavity 2
17
Phasen“de“fokussierung im Linac – fallende Flanke
zCavity 1
0 0.63 1.25 1.88 2.5 3.13 3.75 4.38 5 5.63 6.25 6.88 7.51.05
0.53
0
0.53
1.05
Zeit
Spa
nnun
g
1.05
1.05
U t( )
106
7.50 t
Das Teilchen mit weniger Energie – mit kleinerer Geschwindigkeit (grün) läuftspäter bei t = 1.55 ns ein, und wird weniger beschleunigt, und seineGeschwindigkeit verlangsamt sich in Bezug auf die anderen beiden Teilchen (die Teilchen laufen auseinander)
18
Phasen“de“fokussierung im Linac
z
Cavity 1 Cavity 2
0 1.5 3 4.5 6 7.51.05
0.53
0
0.53
1.05
Zeit
Sp
an
nu
ng
1.05
1.05
U t( )
106
7.50 t
0 1.5 3 4.5 6 7.51.05
0.53
0
0.53
1.05
Zeit
Sp
an
nu
ng
1.05
1.05
U t( )
106
7.50 t
19
Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger
Cavity
Die Teilchen mit Impulsabweichung laufen auf einer anderen Bahn (Dispersionsbahn), die hier vereinfacht als grösserer (kleinerer) Kreis dargestellt ist
pp
LL
p0p0 - dp
p0 + dp
20
Cavity-Frequenz und Umlauffrequenz
Das Sollteilchen läuft um den Beschleuniger um. Damit es beim nächstenUmlauf in der gleichen Phase der Hochfrequenz beschleunigt wird, mussdie Frequenz der Hochfrequenz ein Vielfaches der Umlauffrequenzsein:
0 20 40 60 80 1001.05
0.53
0
0.53
1.05
Zeit
Sp
an
nu
ng
1.05
1.05
U t( )
106
1000 t
number" harmonic" Zahl, ganze : h mit , h revHF
Hier: h = 8
T 0T
21
Bahnverlängerung – Momentum Compaction
pp
LL
/
Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist.Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung bei Impulsabweichung definiert:
dsssD
L1
0
)(
)(
Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt:
Die Bahnlänge für ein Teilchen mit
Impulsabweichung ist also: pp
LL
aus der Strahloptik
22
Teilchenimpuls und Bahnlänge
c
v mit ,
-1
1
oben) (siehe factor" compaction momentum" der ist
p
p1
T
T
:ist ichungImpulsabwe mit Teilchen ein für Umlaufzeit der ÄnderungDie
2
2
0
)(
Teilchen mit grösserer Energie im Vergleich zur Sollenergie:• laufen weiter aussen um => grössere Bahnlänge => längere Umlaufzeit• haben eine grössere Geschwindigkeit => kürzere Umlaufzeit
Beide Effekte müssen berücksichtigt werden, um die Umlaufzeit zuberechnen
23
Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger
z
Cavity
• Es werden 3 Teilchen angenommen. Die Geschwindigkeit der Teilchen ist (nahezu) Lichtgeschwindigkeit • Teilchen mit Sollenergie• Teilchen mit mehr Energie (blau)• Teilchen mit weniger Energie (grün)
• Beim ersten Durchgang wird angenommen, dass alle Teilchen gleichzeitig ins Cavity einlaufen, und gleichermassen beschleunigt werden
• Das rote Teilchen läuft auf der Sollbahn um• Das grüne Teilchen mit weniger Energie läuft auf einer kürzeren Bahn um• Das blaue Teilchen mit mehr Energie läuft auf einer längeren Bahn um
24
Phasenfokussierung in Kreisbeschleuniger– fallende Flanke
zCavity
0 0.63 1.25 1.88 2.5 3.13 3.75 4.38 5 5.63 6.25 6.88 7.51.05
0.53
0
0.53
1.05
Zeit
Sp
an
nu
ng
1.05
1.05
U t( )
106
7.50 t
• Das Teilchen mit zu wenig Energie (grün) läuft früher ein und wird stärker beschleunigt. Es gewinnt Energie im Vergleich zum roten Teilchen
• Das Teilchen zu viel Energie (blau) läuft später ein und wird weniger beschleunigt. Es verliert Energie im Vergleich zum roten Teilchen
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Phasenverschiebung als Funktion der Energieabweichung
E
E1
T
h2
Tdt
d
:sich ergibt sind, Umlaufzeit der gegenüber klein die Phase, der ÄnderungBei
E
E1h2
:folgt E
E1
p
p und
p
p1
T
T Mit
T
Th2Th
T : Teilchen den zwischen chiebungPhasenvers
verzögert T um enSollteilch dem gegenüber Teilchen ein ist Umlauf einem Nach
2
0
2
0
22
22
0
0
rev
HF
)(
)(
)(
26
Energieaufnahme im Cavity: Sollteilchen
Es wird angenommen, dass das Magnetfeld ansteigt. Um auf konstanter Bahn zu laufen, wird das Sollteilchen beschleunigt, pro Umlauf mit einer Energie von:
dttdB
Re2W 00
)(
Die Energie kommt vom Durchlauf durch das Cavity:
enSollteilch das für Phase und
nungCavityspan maximale - U mit
UeW
s
0
s000
)sin( 0W0U
2.5 1 0.5 2 3.5 51.2
0.6
0
0.6
1.2
Zeit
Spa
nnun
g
1.2
1.2
U t( )
106
52.5 t
27
2.5 1 0.5 2 3.5 51.2
0.6
0
0.6
1.2
Zeit
Spa
nnun
g
1.2
1.2
U t( )
106
52.5 t
Energieaufnahme im Cavity: Teilchen mit Energieabweichung
Ein Teilchen mit abweichender Energie läuft zu einem anderen Zeitpunkt (Phase) in das Cavity, die Energie wächst um:
Die Energiedifferenz ist:
Für Energieänderungen über viele Umläufe (Umlaufzeit T0):
))(sin( tUeW s001
)sin()sin( ss000 UeE-WE
)sin()sin( ss
0
00
0 T
Ue
T(t)
0W0U
1W
28
Energieaufnahme im Cavity
Für kleine Abweichungen von der Sollphase gilt:
)cos()sin()sin( sss
s
)cos( s
0
00
T
Ue(t)
Und damit:
Differenzieren ergibt:
)cos()(
s
0
00
dt
d
T
Ue(t)
29
Bewegungsgleichung
ergibt sich:
T
2 und
0
rev
E
1
T
h2
dt
d Mit
2
0
2
)()(
)cos()(
s
0
00
dt
d
T
Ue(t) und
1E2
hUe(t)
22
s00
2
rev
)(
)cos(
Phasenverschiebung durchdie Energieabweichung
Energieänderung beim Durchlauf durchs Cavity mit einer Phasenverschiebung
30
Lösung der Bewegungsgleichung
Die Gleichung beschreibt einen harmonischen Oszillator
mit der Synchrotronfrequenz:
0t(t) 2 )(
1E2
hUe22
s00rev )(
)cos(
Die Energiedifferenz zwischen Sollteilchen und Teilchen mit abweichendem
Impuls ist:
e(t) ti
0
0E-WE
31
Synchrotronfrequenz
1E2
hUe22
s00rev )(
)cos(
Für ultrarelativistische Teilchen >> 1 gilt:
Flanke) abfallende2
32
d.h. sein, negativ muss
E2
hUe
ss
2
s00rev
()cos(
)cos(
Für Teilchen mit gilt:
01
2
01
2
Flanke) eansteigend22
- d.h. sein, positiv muss ss ()cos(
Sychrotronfrequenz
32
Beispiel: Modellbeschleuniger
Beispiel für Modellbeschleuniger: Es werden folgende Parameter angenommen:
Ablenkradius: 3.8197 m
Energie der Elektronen: Ee 1.6 GeV
Länge des Beschleunigers: Lacc 24m
"Momentum compaction factor" 0.01
Ee
me c2 1
1
2
T0
Lacc
c frev
1
T0 rev 2frev
Umlaufzeit : T0 80.055 ns Umlauffrequenz: frev 1.249 107 Hz
3.131 103 0.999999949
Für die Frequenz der Cavities wird angenommen frf hrf frev
=> frf 499.655 MHz . Damit ist die "harmonic number" hrf 40
Der Energieverlust durch Abstrahlung von Synchrotronstrahlung ist für ein Elektron
Pc
e02 c
6 0 me c2 4
Ee4
2
Pc 3.036 10 7 W
Das entspricht eine Energieverlust pro Umlauf von Eloss_rev Pc T0
Eloss_rev 0.152 MeV
Um diesen Verlust auszugleichen, ist die Phase der Synchrotronschwingung für das
Sollteilchen bei einer Cavityspannung von U0 1 106 V :
s acos
Eloss_rev
e0
U0
s 360
2 81.275
34
Synchrotronfrequenz des Modellbeschleuniger
Es ergibt sich für die Synchrotronfrequenz
s 2 freve0 U0 hrf cos s
2 Ee
1
2
s 1.928 105 Hz
und den "Synchrotrontune": s
rev2.457 10 3 d.h die Anzahl der Umläufe für
eine Schwingung ist: Ns
rev
s Ns 407.042
35
Phasenraumdiagramme und Separatrix
Bild aus K.Wille
Synchrotronschwingungen gibt es nur für Teilchen mir kleiner Energieabweichung. Wenn die Energieabweichung zu gross wird, fallen die Teilchen aus dem "Bucket".
36
Courtesy E. Ciapala
single turn
about 1000 turns
No RF, debunching in ~ 250 turns, roughly 25 ms
37
Courtesy E. Ciapala
First attempt at capture, at exactly the wrong injection phase…
38
Courtesy E. Ciapala
Capture with corrected injection phasing
39
Courtesy E. Ciapala
Capture with optimum injection phasing, correct reference
40
RF buckets and bunches at LHCRF buckets and bunches at LHC
E
time
RF Voltage
time
LHC bunch spacing = 25 ns = 10 buckets 7.5 m
2.5 ns
The particles are trapped in the RF voltage:this gives the bunch structure
RMS bunch length 11.2 cm 7.6 cmRMS energy spread 0.031% 0.011%
450 GeV 7 TeV
The particles oscillate back and forth in time/energy
RF bucket
2.5 ns
41
Longitudinales Strahlprofil im SPS
Instabilities at low energy (26 GeV)
a) Single bunchesQuadrupole mode developing slowly along flat bottom. NB injection plateau ~11 s
Bunch profile oscillations on the flat bottom – at 26 GeV
Bunch profile during a coast at 26 GeV
stable beam
Pictures provided by T.Linnecar