Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator

1

GENOMGÅNG 2.1

2

• Ändringskvoter• Begreppet derivata

HASTIGHET

Vad menas med begreppet hastighet?

Ex. 80 km/h

80km

1h

HASTIGHET

h

km

t

s

1

80

Jämför med Räta linjens k-värde!!

Ändringskvot

Förändring i y-led

Förändring i x-led Ändringskvot

Ändringskvot

Ändringskvoty

x

Var har du sett detta förr?

Ändringskvot

y

xk

Ändringskvot

y mkx

LINJERS LUTNING

9

•

•(1,5)

(0,3)

2 steg i y-led

1 steg i x-led

LINJERS LUTNING

10

•

•(1,5)

(0,3)

∆y = 2

∆x = 1

Linjens lutning =

21

2

x

y

RÄTA LINJENS EKVATION

11

mkxy k = linjens lutning

m = var linjen skär y-axeln

RÄTA LINJENS EKVATION

12

k = linjens lutningk = linjens derivata

DERIVATANEn introduktion

Begreppet derivata

(x + h)

Begreppet derivata

h

xfhxf

hxf

)()(

0

lim)('

)()( xfhxf

hx

y

KURVORS LUTNING

16

VILKEN LUTNING HAR X-AXELN???

VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???

Posi

tiv

+Lutning = 0

Negativ -Lutning = 0

Posi

tiv

+

Begreppet derivata

Derivative Tracer (GeoBra)

GENOMGÅNG 2.2

20

• Gränsvärde• Derivatans definition• Deriveringsregler

Sekant

seka

nt

Tangent

tangent

Begreppet derivata

hx

)()( xfhxfy

)( hxf

x

)(xf

hx

)()( xfhxf

h

h

xfhxf

x

y )()(

Begreppet derivata

h

xfhxf

hxf

)()(

0

lim)('

Begreppet derivata

DERIVATANS DEFINITION

yx

Derivatans definition

Boken sidan 81

Deriveringsregler

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x 1x2 2xx3 3x2

x4 4x3

x5 5x4

xa axa-1

Ser Du mönstret?

Var hittar du detta i formelbladet?

Deriveringsregler, exempel14)( xxf 4)´( xf

xxxf 24)( 18)´( xxf

xxxxf 234)( 1212)´( 2 xxxf

34

3)(

2 xxxf

3

1

2

3

3

1

4

6)´(

xxxf

5

2

35,0)(

34 x

xxf 232

3 23

32)´( xx

xxxf

Vad hände med5

2?

Kurva med derivata

Kurva med derivataVid vilka värden på x är kurvans lutninglika med noll?

23)( 3 xxxf

33)´( 2 xxf

Kurvans funktion är:

Kurvans derivata är:

Vi sätter derivatan lika med noll:

033 2 x

1133 22 xxx11 x 12 x

Kurva med derivataVilka värden har y vid kurvans extrem-punkter?

Kurva med derivata

3( ) (1 3 )1 1) ( 2f

Vi sätter in x = -1

231)1( f

1( 1) 4 4yf

3( ) (1 3 )1 1) ( 2f

Vi sätter in x = +1

231)1( f

2( 1) 0 0yf

1 4y

2 0y

Vilka värden har y vid kurvans extrem-punkter?

Extrempunkternas koordinater: 1,4 och 1,0

Deriveringsregler, exempel23)( 3 xxxf 33)´( 2 xxf

4)( xf 0)´( xf

xxxxf 343)( 1312)´( 23 xxxf

64

6)(

4 xxxf

6

16

6

1

4

24)´( 3

3

xx

xf

5

2

35,0)(

34 x

xxf 232

3 23

32)´( xx

xxxf

DESMOS

› Graf 1

› Graf 2

› Graf 3

› Graf 4

GENOMGÅNG 2.3

35

Deriveringsregler 1

Funktion

Derivata

Funktion och derivata

Deriveringsregler

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x 1x2 2xx3 3x2

x4 4x3

x5 5x4

xn nxn-1

Deriveringsregler

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x-1 -x-2 (-1*x-2)x-2 -2x-3

x-3 -3x-4

x-4 -4x-5

x-5 -5x-6

xn nxn-1

Vi deriverar…

3xy 23' xy 2xy 1' 2y x1xy 01' xy

Fundering

Hur kan en funktion se ut som hardetta utseende på derivatan?

' 0y

y

Fundering

Hur kan en funktion se ut som hardetta utseende på derivatan?

' 2y x

y

Fundering

Hur kan en funktion se ut som hardetta utseende på derivatan?

' 2y x

y

Vi deriverar…

0xy 10' xy

1xy 21' xy

2xy 32' xy

1y 0'y2' xy

Vi deriverar…

44

1 xx

y

54´ xyOBS!

Vi deriverar…

52

)( xxf Beräkna f´(2)

352

(́ )5

f x x

264,025

2)2´( 5

3

f

Uppgift 2332, sid 95

Matematik 3c-boken

(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…

2 31

5 5

Vi deriverar…

5

2

)( xxf Beräkna f´(2)

3

52(́ )

5f x x

3

52 22

(́ ) 0,2645

f

Uppgift 2332, sid 95

Matematik 3c-boken

(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…

Vi deriverar…Uppgift 2333, sid

95Matematik 3c-

boken

Bestäm f´(x) omx

xxf5

3)(

1

2

1

21

2

1

25 5

( ) 3 3 3 5f x xx

x x

x

x

1 3

2 21 1

'( ) 3 ( 5 )2 2

f x x x

2

3

2

1

2

5

2

3)('

xxxf 31

2 2

3 5'( )

2 2x

f x

x

3 5'( )

2 2xf

x xx 3 1 1 1 2 1 1

2 2 2 2 2 2 2

5 5 5 5 5

22 2 2 2

x xx x x x x x x x

Vi deriverar…Uppgift 2333, sid

95Matematik 3c-

boken2

3

2

1

2

5

2

3)('

xxxf

2

3

2

1

2

5

2

3)('

xx

xf

xxxxf

2

5

2

3)(' xxxxxxxxx 2

1

2

1

2

1

2

3

GENOMGÅNG 2.4

54

Deriveringsregler 2

Uppgift 2130

A (1,2)

X Y k2 51,5 3,251,1 2,211,01 2,02011 2

2 1y x y

x

2 1y x ' 2y x

?2

2'y x

Deriveringsregler

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x 1x2 2xx3 3x2

x4 4x3

x5 5x4

xn nxn-1

Deriveringsregler (Repetition)

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x 1x2 2xx3 3x2

x4 4x3

x5 5x4

xa axa-1

Deriveringsregler (Repetition)

f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x-1 -x-2 (-1*x-2)x-2 -2x-3

x-3 -3x-4

x-4 -4x-5

x-5 -5x-6

xa axa-1

Vi deriverar…(Repetition)

5

2

)( xxf Beräkna f´(2)

5

3

5

2)´(

xxf

3

52(́2) 2 0,264

5f

Uppgift 2332, sid 98

Matematik 3bc-boken

(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…

Hur ser derivatan ut?

2 2 1y x x

Hur ser derivatan ut?

3 24 2 1y x x x

Deriveringsregler

Vi deriverar…xaxf )(

aaxf x ln)´(

xxf 5)( 5ln5)´( xxf

Derivatan av funktionen y = ax

ln e

ln eVad visar din räknare om du slår in ln ?e

ln 1e

lg10 1J ln lg10ämför med e

ln e & lg 10

ln 1e

Vi deriverar…xexf )(

eexf x ln)´( VAD INNEBÄR DETTA?

Vi deriverar…xexf )(

eexf x ln)´( VAD INNEBÄR DETTA?

Vi deriverar…xexf )(

eexf x ln)´(

xexf 2)( eexf x ln2)´( 2

VAD INNEBÄR DETTA?

xy e

Naturliga logaritmer

Logaritmlagar

Logaritmer ett exempel

Uppgift 2419, sid 105

Matematik 3bc-boken

GENOMGÅNG 2.5

75

2.5 Grafisk och numerisk derivering

lg10 1J ln lg10ämför med e

ln e & lg 10 (rep.)

ln 1e

Uppgift 2130 (rep.)

A (1,2)

X Y k2 51,5 3,251,1 2,211,01 2,02011 2

2 1y x y

x

2 1y x ' 2y x

?2

2'y x

Hur ser derivatan ut? (rep.)

2 2 1y x x

Hur ser derivatan ut? (rep.)

3 24 2 1y x x x

Grafisk och numerisk derivering

Sid 113Matematik 3bc-

boken

Grafisk och numerisk derivering

' 3 1,2 ln1,2

3 1,2x

x

y

y

Grafisk och numerisk derivering

Sid 113Matematik 3c-

boken

Grafisk derivering med räknare

)2('f xxxf 7,03)( Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då

.

Svar: 42,0)2´( f

Tryck [2ND] + CALC

Numerisk derivering med räknare

)2('f xxxf 7,03)( Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då

.

Med räknare

9,11,2

)9,1()1,2()2´(

ff

f

2,0

)9,1()1,2()2´(

fff

Svar: 42,0)2´( f

Derivering med räknarens inbyggda funktion

)2('f xxxf 7,03)( Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då

.

Tryck <MATH> + 8

Med räknare

Mata in värden enligt nedan

Tryck <Enter>

Svar: 42,0)2´( f

nDeriv(3x*0,7^x,x,2)

Derivering med räknarens inbyggda funktionTI-82, Äldre TI-84 etc.

)2('f xxxf 7,03)( Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då

.

Tryck <MATH> + 8

Med räknare

Mata in värden enligt nedan

Tryck <Enter>

Svar: 42,0)2´( f

nDeriv(3X*0,7^X,X,2)

Vi jämför…