Kaidah-kaidah diferensiASi

Kaidah-kaidah Diferensiasi

1. Diferensiasi Konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta,

maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0

Contoh : y = 5, maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0

atau lebih mudahnya kalau kita mengganti

simbol 𝑑𝑦

𝑑𝑥 menjadi y’, misalnya:

y = 100 y’ = 0 y = ½ y’ = 0

Kaidah-kaidah Diferensiasi

2. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xⁿ, dan adalah konstanta maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = nXn-1

Contoh : y = x³ y’ = 3 x3-1 = 3 x² y = X–8 y’ = – 8X–9

Kaidah-kaidah Diferensiasi

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = kv dan v = h (x) maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = k

𝑑𝑣

𝑑𝑥

Contoh : y = 5 x³, maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 5 ( 3x² ) = 15 x²

Contoh lain: y = 5X–8 y’ = – 40X–9 y = 4X5 y’ = 20X4

Kaidah-kaidah Diferensiasi

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

Jika y = 𝑘

𝑣 , dimana v = h (x), maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

k 𝑑𝑣

𝑑𝑥

v²

Contoh : y = 5

x³ ,

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

5(3x²)(x³)2

= −15x²

x6

Contoh lain:

y = 4/X–8 y’ = – 4. – 8 X–9

(X–8)2 =

32X–9

X–16

y’ = (32 X–9 ). X16 y’ = 32 X7

Kaidah-kaidah Diferensiasi

5. Diferensiasi penjumlahan / pengurangan fungsi Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x),

maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

𝑑𝑥 ±

𝑑𝑣

𝑑𝑥

Contoh :

y = 4 x² + x³ misalkan u = 4 x² → 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 8x

v = x³ → 𝑑𝑣

𝑑𝑥 = 3 x² , maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 8x + 3x²

y = – 2X–1 + 4X + 8 , maka y’ = 2X–2 + 4

Kaidah-kaidah Diferensiasi

6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)

maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = u

𝑑𝑣

𝑑𝑥 + v

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Contoh : y = (4x²) (x³)

misalkan u = 4 x² → 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 8 x

v = x³ → 𝑑𝑣

𝑑𝑥 = 3 x²

maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = u

𝑑𝑣

𝑑𝑥 + v

𝑑𝑢

𝑑𝑥 = (4x²) (3x²) + (x³)(8x)

= 12 x4 + 8x4 = 20 x4

Kaidah-kaidah Diferensiasi

7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = U/V , dimana U = g (x) dan V = h (x)

maka y’ = VU’ – UV’

V2

Contoh :

y = UV

y = (4x²)

x³

y’ = x³(8x) – (4x²).3x2

(x³)2 =

8X4 – 12X4

x6

= – 4X4.X–6 = – 4X–2

Kaidah-kaidah Diferensiasi 8. Diferensiasi fungsi komposit

Jika y = f(x) sedangkan u = g(x), dengan

kata lain y = f {g(x)} maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑦

𝑑𝑢 *

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Contoh : y = (4x³ + 5)²

misalkan u = 4x³ + 5 → 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 12x²

y = u² → 𝑑𝑦

𝑑𝑢 = 2u

maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑦

𝑑𝑢 *

𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 2u * 12x²

= 2 (4x³ + 5) * 12x² = 96 x5 + 120 x²

Kaidah-kaidah Diferensiasi

9. Diferensiasi fungsi berpangkat Jika y = uⁿ , dimana u = g (x) dan n adalah

konstanta, maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = nu n-1 *

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Contoh : y = (4x³ + 5)²

misalkan u = 4x³ + 5 → 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 12x² dan

y = u²

Maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = nu n-1 *

𝑑𝑢

𝑑𝑥

= 2 (4x³ + 5)(2-1)*12x² = 96 x5 + 120 x²

Kaidah-kaidah Diferensiasi

10. Masih banyak kaidah yang lain, untuk itu dapat dipelajari lebih lanjut

Derivatif dari Derivatif

Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan perkataan lain, turunannya masih bisa diturunkan lagi. Turunan pertama (first derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga (third derivative) adalah turunan dari turunan kedua dan seterusnya.

Derivatif dari Derivatif

Fungsi awal : y = f(x)

Fungsi pertama : y’ = f’ (x) = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

Turunan kedua : y” = f” (x) = 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 𝑑2𝑓(𝑥)

𝑑𝑥2

Turunan ketiga : y”’ = f’’’(x) = 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 = 𝑑3𝑓(𝑥)

𝑑𝑥3

Turunan ke-n : yⁿ = fⁿ (x) = 𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 = 𝑑𝑛𝑓(𝑥)

𝑑𝑥𝑛

Derivatif dari Derivatif

Contoh : Y = f(x) = x³ - 4x² + 5x – 7

Y’ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3x² - 8x + 5

Y” = 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

= 6x – 8

Y”’ = 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3

= 6

Tugas

Tentukan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 dari fungsi-fungsi dibawah ini

1. Y = 2X–3/X3 2. Y = (4X2 – 2)4 3. Y = (X3 + 2X).(3X – 1) 4. Y = (2X1/2 – 2)/X2 5. Y = (8X1/4 – 2).(6X2 – X) 6. Y = 2X1/4 – 2X4 + 6X1/3 + 8X2 7. Y = 12X3/4X2 8. Y = (6X3 + 2X2).(2X+3) 9. Y = (10X1/2 – X3)2 10. Y = 7X3 + 2X2 – 2X + 3

Tugas

Tentukan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 dari fungsi-fungsi dibawah ini

11. Y = 4X–2/X4 12. Y = (7X2 – 2X)2 13. Y = (2X3 + 2).(4X2 – X) 14. Y = (6X1/2 – 2X)/X3 15. Y = (12X1/4 – 4X).(2X2 – X–1) 16. Y = 8X1/4 – 2X2 + 6X1/3 + 8X2 17. Y = (12X3 – 4X)/X2 18. Y = (2X2 + 7X3).(2X3– 4X) 19. Y = (5X2 – 2X3)4 20. Y = 9X2 + 4X4 – 5X + 19

Penugasan

(6) Diferensiasi perkalian fungsi y = (5x4) (2x³) y’ = (5x4). (6x2) + (2x³).(20X3) y’ = 30 X6 + 40X6