IV. Zbirka zadataka

Post on 04-Feb-2017

434 views 5 download

Transcript of IV. Zbirka zadataka

ZI. Neodređeni integrali 127

ZI. NEODREðENI INTEGRALI

1. Antidervacije

1. Pronañi tri antiderivacije funkcije ���� � ��.

2. Odredi sve antiderivacije funkcije ���� � ��.

3. Pronañi dvije antiderivacije funkcije ���� � �� �.

4. Pronañi antiderivaciju ��� funkcije ���� � �� za koju je ��� � � . 5. Pronañi onu antiderivaciju ��� funkcije ���� � �� � � za koju vrijedi

��� � �.

6. Pronañi antiderivaciju ��� funkcije ���� � ����� koja zadovoljava uvjet

��� � �.

7. Ima li fukcija ���� � �� antiderivaciju ��� za koju je ��� � ���?

8. Odredi bar jednu antiderivaciju funkcije ���� � ��� � �� � � .

9. Odredi bar jednu antiderivaciju funkcije ���� � �� ��.

10. Uz pomoć jednog trigonometrijskog identiteta pronañi antiderivaciju

funkcije ���� � ��� �.

11. Je li funkcija ��� � ��� � �� � � antideivacija funkcije

���� � �����������?

12. Je li funkcija ��� � �� � ��� � � antiderivacija funkcije

���� � ��� � �� � � ?

13. Je li funkcija ��� � � ��� � ��� � antiderivacija funkcije

���� � � ��� � ?

128 Zbirka zadataka

2. Integriranje pomoću tablice i osnovnih pravila

Služeći se tablicom i osnovnim pravilima pronañi neodreñene integrale

14. � �� � 15. � ��! � 16. � ��"# �

17. � ��# � 18.� $�

�$ % 19. � � ��!���& �

20.�' � 21. �(% % 22. ���� �

23. ����� � � �� �� � 24. ��) � � �� )� ) 25.���� � ��� �

26. � ������ � 27. � *�*�

*! ) 28. � ������� �

29. � ������� � 30. � +����,!

�� � 31. � �����#�! �

32. ��� � 33. ����� � 34. ��� � ���� �

35. � ����- � 36. � �

���� � 37. � ����� �

38. � ������ � 39. � �

����� � 40. � ������ �

41.���� � �' � 42. ���� � �' � 43. ���' � �� �

ZI. Neodreñeni integrali 129

3. Metoda zamjene

Pogodnim zamjenama odredi integrale

44. ���� � ��. � 45. ��� � �� � 46. ����� � '! �

47. � ����� � �� � 48. �� ������ � 49. � �� � ��� � �

50. � �����- � 51. � /01 $

123! $ % 52. � �� 45� �

53. � 6�767�� � 54. � $�

$!�� % 55. � 45��� �

56. �����!�� � 57. ��� �� � ���� �& � 58. ��� �� � �� �

Riješi integrale tako da kvadratni izraz prvo predočiš kao zbroj ili razliku

kvadrata, a zatim uvedeš zamjenu

59. � �������8 � 60. � �

9�.���� �

61. � �����8� � 62. � �

�������� �

63. ���� � �� � � � 64. ���� � �� �

4. Metoda djelomične integracije

Djelomičnim integriranjem odredi integrale

65. � :� � � 66. ���� � 67. �� �� � �

68. ��� �� � � 69. ����� � 70. ��� :�; � �

71. � 45���! � 72. � ����

67 � 73. � �/01� � �

74. �<=> %?% % 75. ��<=> �� � � 76. � @A?��% %

Dvostrukom primjenom formule za djelomičnu integraciju zadani integral

svedi na integralnu jednadžbu, a potom ju riješi

77. � �� �� � � 78. ��� ��� � 79. � ��� ��� �

130 Zbirka zadataka

5. Integriranje racionalnih funkcija

Odredi integrale djelomičnih razlomaka

80. � �� � 81. � ��

�& �

82. � "���� � 83. � ��

������# �

84. � �������� � 85. � �

������" �

86. � ��������� � 87. � ���

�������" �

88. � �������� � 89. � �

������� �

Odredi integrale pravih racionalnih funkcija

90. � .�������" � 91. � ��"

������� �

92. � ���������������� � 93. � ��

�����! �

94. � ������.���������-� � 95. � �

�!��� �

96. � 9����!��� � 97. � .

�!�����8� �

98. � ��#�� � 99. � �!

������� �

Odredi integrale racionalnih funkcija

100. � �#�-������� � 101. � ��#�"��

���� �

102. � �!����������� � 103. � ��

����. �

104. � ��!��9�������� � 105. � �!������

�!�� �

106. � �#��!��.�!��� � 107. � �!�����

�!������� �

108. � �B�#�� � 109. � �&

������� �

ZI. Neodreñeni integrali 131

6. Integriranje funkcija s korijenom

Pogodnim zamjenama zadane integrale svedi na integrale racionalnih

funkcija i riješi ih

110. � ����� � 111. � ����

� �

112. � �C������! � 113. � ��

�+ ��! ��, �

114. � ���D���

� � 115. � ��D���

� �

116. � ������� � 117. � �����

� �

7. Integriranje trigonometrijskih funkcija

Uz pomoć formula koje umnožak sinusa i kosinusa pretvaraju u zbroj ili

razliku riješi integrale

118. � �� �� �� �� � 119. � �� � ���� �

120. � �� �� �� �� � 121. � ��� �� �

122. � �� � ���� ���� � 123. � ��� �� �� � �

Uz pomoć neke od zamjena % � �� �, % � ���, % � %?� ili % � %? �� riješi

integrale

124. � 123�/01� � � 125. � /01�

123! � �

126. � � 123��/01����# � 127. � /01�

"�/01� � �

128. � 123� �/01# � � 129. � ���/01� �

123# � �

130. � �123� /01� � 131. � �

� 123� ��� �

132. � �123��� � 133. � �

/01� �

134. � /01�/01��� � 135. � �

�123���/01� �

132 Zbirka zadataka

8. Različiti zadatci

Riješi integrale

136. � C���! � 137. ����� ����� �

138. � �����! � 139. � ��

��!�8# �

140. � �"������ � 141. � ����

������� �

142. � �����!�� � 143. � �!����

�!�� �

144. ����� � ��<=>%?� � 145. �<=> �� �� �

146. �� :�; �� � 147. ��� �� � �

148. � � ��# ���� � 149. �D���

��� �

150. � ��/01�123� � � 151. � 123��/01�

/01! � �

ZII. Određeni integrali 133

ZII. ODREðENI INTEGRALI

1. Računanje odreñenog integrala

Služeći se tablicom, osnovnim pravilima i Leibniz-Newtonovom formulom

izračunaj vrijednost odreñenih integrala

152. 2

3

1

x dx−∫ 153.

1

5 7

0

x dx∫ 154. 1

1

e

x dx−∫

155.

2

cos xdx

π

π∫ 156.

3

2

0

1

1dx

x +∫ 157. 0

2

3xdx−∫

158.

( )4

0

1x x dx−∫ 159.

( )9

2

4

3 x dx−∫ 160. ( )1

33

1

2 x dx−

−∫

161.

264

4

1

4x dxx

− ∫ 162.

216

4

1

4x dxx

− ∫ 163.

( )34

1

x xdx

x

−∫

Služeći se metodom zamjene i Leibniz-Newtonovom formulom izračunaj

vrijednost odreñenih integrala

164.

2

2

2 5x dx−

+∫

165.

1

3

2

2 3xdx−

−∫

166.

2

2

4

sin cosx xdx

π

π

⋅∫

167. ( )

2

3

3

1

4dx

x

− +∫

168.

3 2

1

1

2

xdx

x−

−+∫

169. 1

lne

xdx

x∫

170.

4

0 1

xdx

x +∫

171.

1

4

1

5

xdxx−

+

−∫

172. ( )

27 6

31 1

xdx

x x+∫

134 Zbirka zadataka

Služeći se metodom djelomične integracije i Leibniz-Newtonovom

formulom izračunaj vrijednost odreñenih integrala

173. 0

cosx xdx

π

174. 1

ln

e

x dx∫

175.

1

2

1

xx e dx−∫

176.

10

2

1

log xdx

x∫

177.

0

1

arctanx xdx−∫

178.

4

2

1

log xdx

x∫

Izračunaj integrale:

179.

2

0

sin 2x xdx

π

∫ 180.

( )0

1

ln 2x x dx−

+∫

181.

( )2

5

3

arctan 3 5x dx+∫

182. 0

cosxe xdx

π

183.

5

2

53

xdx

x− +∫

184.

3 3

0

3 2

1

x xdx

x

− −+∫

Izračunaj integrale tako da prvo provjeriš parnost podintegralne funkcije ili

njenih pribrojnika

185. ( )

1

4 2

1

5x x dx−

− +∫

186. ( )

3

3

3

cosx x x dx−

−∫

187. ( )2sin 3cosx x dx

π

π−

−∫

188. ( )

5

2

5

sinx x x tgx dx−

+ −∫

189. ( )

2

2

2

sin 4 2x x ctgx x dx−

− + −∫ 190.

( )4

22

4

sin cosx x x dx−

+∫

Odredi funkciju ( )f x i izračunaj 0( )f x , ako je

191. 0

( )

x

f x tdt= ∫ , 0 4x = 192.

( )2

1

( ) 2

x

f x t t dt−

= +∫ , 0 0x =

193.

21

( )x

f x dtt

= ∫ , 0x e= −

194. ( )

8

3( ) 1x

f x t dt= −∫ , 0 1x =

195.

2 3

2

1( )

x

x

tf x dt

t

−= ∫ , 0 2x =

196.

1

( )1

x

x

tf x dt

t

+

=+∫ , 0 3x =

ZII. Određeni integrali 135

2. Površina ravninskog lika

Izračunaj površinu lika omeñenog krivuljama

197. 3x = , 0y = , 2y x= 198. 2x = , 0y = , 3y x=

199. 1x = − , 3x = , 0y = , 23 2 1y x x= − +

200. 1x = , x e= , 0y = , 1y x−=

201. 0y = , siny x= za 0 x π≤ ≤ 202. 3y x= − + , 2 6 7y x x= − +

203. 1x = , 3x = , 1 2y x= − , 2 2 3y x x= − +

204. 1x = , x e= , 2xy = , 3xy =

205. 0x = , 2y x= , ( )24y x= − 206. 2x = − , 2x = , 3 4y x= + ,

sin 2y x= −

207. 2x y= + , 2x y= 208. 2x y= , 2 1x y= + , 0y =

209. 2 3 2y x x= − + ,

2 3 2y x x= − + −

210. 2 2y x x= + − , 2 6y x x= − + +

211. 2 5 6x y y= − + ,

2 7 4x y y= − + −

212. 1y x= − , 2 2 1y x= +

213. 0x = , 0y = , 3 1y x= − 214. 3y x= , 3y x x= −

215. 2y x= − , y x= − , 3y x= 216.

y x= , 22y x= −

217. 2 3y x x= − , tangenta u točki ( )1,0T

136 Zbirka zadataka

U narednim zadatcima površinu lika omeñenog zadanim krivuljama

izračunaj na dva načina:

integriranjem funkcija ( )y x po x

integriranjem funkcija ( )x y po y

218. 2x y= , 2y x= 219.

2y x= , 3y x=

220. 2 3y x= + , 2 4y x= 221. 0y = , 2y x= + , 2y x=

222. 0y = , 6y x= − + , y x= 223. 2 3 10x y+ = , 1xy x= +

224. 0x = , 1x = , tanx y= , / 2y π= 225. 0x = , 0y = , 1y = , lny x=

3. Obujam rotacijskog tijela

Izračunaj obujam tijela nastalog vrtnjom, oko osi x , lika omeñenog

krivuljama

226. 2x = , 0y = , 2y x= 227. 0y = , 2 5y x x= −

228. 4y = , 2y x= 229. y x= , 2y x x= −

230. 4y x= + , 2 2y x= + 231. 0x = , 21x y= −

232. 0y = , 3 4y x= − , y x= 233. 1xy = , 2 1y = , 3y x=

234. 1y x= − , 2 2 1y x= + 235. 2 2y x x= − , 2 2 6y x x= − + +

Izračunaj obujam tijela nastalog vrtnjom, oko osi y , lika omeñenog

krivuljama

236. 0x = , 21x y= − 237. 1xy = , 1y = , 2y =

238. 2x = , 0y = , 2y x= 239. 2x y= , 2y x=

240. 0y = , 3 4y x= − , y x= 241. 1xy = , 28y x= , 3y x=

ZII. Određeni integrali 137

4. Duljina luka ravninske krivulje Izračunaj duljinu luka krivulje

242.

32

3y x= za 3 8x≤ ≤

243. 3

x y= za 5

09

y≤ ≤

244. 2 4y x= izmeñu točaka ( )0,0A i ( )1,2B

245.

21

2y x x= − izmeñu točaka

10,

2A −

i 3

3,2

B

246. ( )2ln 1y x= − za

10

2x≤ ≤

247.

1

22x

y e= za ln 24 ln 48x≤ ≤

248. ln sinx y= za 3 2

yπ π≤ ≤

249. arcsin xy e= za 3 2 2

ln ln2 3

x≤ ≤

5. Površina rotacijske plohe

Izračunaj površinu plohe nastale vrtnjom, oko osi x , luka krivulje

250. 31

3y x= za 40 3x≤ ≤

251. 2 4y x= izmeñu točaka ( )3, 2 3A − i ( )3,2 3B

252.

2 2

3 3 1x y+ =

za 0 1x≤ ≤

253.

2

siny

x=

za

4 2x

π π≤ ≤

Izračunaj površinu plohe nastale vrtnjom, oko osi y , luka krivulje

254. 2

1x y= − za 0 1y≤ ≤

255. 2y x= izmeñu točaka ( )2,2A − i ( )2,2B

256.

31

3x y=

za 0 2y≤ ≤

138 Zbirka zadataka

6. Numerička integracija

Trapeznom formulom, uz zadani korak h , izračunaj približnu vrijednost

odreñenih integrala

257. ( )

3

2

2

sin 1x dx+∫ , 0,2h =

258.

5

2

3

cosx xdx∫ , 0,4h =

259. ( )

1,5

2 3

1

ln 10x dx+∫ , 0,1h = 260.

2

2

3

5 6x x dx

− − −∫ , 0,25h =

261.

5 2

4

15

log

xdx

x

−∫ , 0,2h =

262.

12 3

10

3

1

xdx

x

++∫ , 0,4h =

263.

2

1sin 2

xedx

x +∫ , 0,2h =

264.

6

3

1 2xdx

x

−∫ , 0,5h =

265. ( )

0,7

0

3arctanx x dx−∫ , 0,1h = 266.

( )0

1

arcsin xx e dx−

+∫ , 0,2h =

Simpsonovom formulom, uz zadani korak h , izračunaj približnu vrijednost

odreñenih integrala

267.

2

1

lnxe xdx∫ , 0,25h =

268.

11

2

0

logx xdx∫ , 0,5h =

269.

6 3

5

2

2

xdx

x

−+∫ , 0,25h =

270.

4.2

2

3

3 3

2

x

dxx

++∫ , 0,2h =

271.

0,8

2

0

x x dx−∫ , 0,1h = 272.

0

3

2

xx e dx−

+∫ , 0,5h =

273.

1

2

1

tanx xdx−∫ , 0,5h =

274.

3

2

4 cotx xdx∫ , 0,25h =

275.

1.1

0.5

ln

cos

x xdx

x

+∫ , 0,1h =

276.

5

4

sin

arctan

x xdxx

−∫ , 0,25h =

ZII. Određeni integrali 139

7. Različiti zadatci

Izračunaj vrijednost integrala:

277.

4

0

x xdx∫ 278.

( )64

3

1

x x dx−∫

279.

0

2

1

1x x dx−

−∫

280. ( )

2

2

0

1 2x x x dx− −∫

281.

2

3

xdx−∫

282.

4

1

3x dx−∫

283.

2

2

1

2 1x x dx− +∫

284.

1

2

0

2 1x x dx− +∫

285.

0

2

3

4 4x x dx−

+ +∫ 286.

2

2

1

4 4 1x x dx−

− +∫

287.

2

21 cos xdx

π

π

−∫ 288.

2

0

1 sin sin 2x xdx

π

− ⋅∫

289.

3

1

xe dx

−∫

290.

3

2

1

3 2x x dx− +∫

Uz pomoć integralnog računa izvedi formule za

291. površinu i opseg kruga

292. obujam i površinu uspravnog kružnog stožca

293. obujam i površinu kugle

294. obujam i površinu torusa

140 Zbirka zadataka

ZIII. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

1. Provjera rješenja

Provjeri jesu li funkcije y rješenja diferencijalnih jednadžbi

295. xyy cos2´ =+ , xxy cossin +=

296. 0´ =+ yxy , 2

11

xxy +=

297. 122´ −=− xyy , xCey x −= 2

298. 023´ =+− ytgxy , 1sin 3 += xCy

299. 0sin2´´ =++ xyy , xxy cos=

300. xeyyy =+− ´2´´ , xexy 2=

301. 0´sin2´´cos =− xyxy , tany x=

302. 2´´ 2 +=+ xyy , 2

21 cossin xxCxCy ++=

303. 0´´´´4 2 =+ yyx , 3xy =

304. 3´´´´´´ 23 =++ xyyxyx , xy ln2

3=

305. xyyy cos´´´´´ =++ , xy sin=

306. 0´6´´5´´´ =+− yyy , xx eCeCCy 3

3

2

21 ++=

ZIII. Diferencijalne jednadžbe 141

2. Diferencijalne jednadžbe koje se rješavaju neposrednim integriranjem

Neposrednim integriranjem odredi opće rješenje diferencijlanih jednadžbi

307. 2 cosy x x′ = − 308. 1xy e′ + =

309. 1xy′ = 310. 2 ln 1xy x′ = +

311. 6 2y x′′ = + 312. 2y x x−′′ + =

313. 2 2 1xx y x e′′ = + 314. cos siny x x x′′ = −

315. 0y′′′ = 316. 3 cosy x′′′ − =

317. ( 3) 0xy x e′′′ + + = 318. 3 4lnx y x′′′ =

Pronañi pojedinačno rješenje diferencijalnih jednadžbi koje zadovoljava

zadane uvjete

319. 2 13 2y x x

x′ = + − : 3)1( =y

320. cos siny x x′ = − : )0(2)( yy =π

321. 55 10xy e x′ = − : (0) (0)y y′=

322. 212 2y x′′ = − : 2)2(,1)1( == yy

323. 4

2 6xy

x

−′′ = : 0)4(),2()1( == yyy

324. 3 3

2sin 2cos

cos sin

x xy

x x′′ = + : ( ) , ( ) 1

4 4 4y yπ π π

′= = =

325. xy e′′′ = : (0) 1, (0) 1, (0) 1y y y′ ′′= = = −

326. 6

606yx

′′′ = − : 3

(1) 3, (1) 8, (2)8

y y y′ ′′= = =

142 Zbirka zadataka

3. Diferencijalne jednadžbe prvog reda

3.1. Diferencijalna jednadžba s razdvojenim promjenljivim

Riješi diferencijalne jednadžbe

327. dyydxx 3= 328. ydydxy =−12

329. 0ln =− xdyxdx 330. 02

=+x

dy

y

dx

331. ( sin ) ( cos )x x dx y y dy+ = + 332. dyeydxxe yx )1( +

Riješi diferencijalne jednadžbe tako da prvo razdvojiš diferencijale i

promjenljive

333. 2 2x y y′ = 334. 2y xy′ =

335. 0x yy′+ = 336. y xy′ =

337. 22 3yy y′ = + 338. 1x ye y+ ′ =

ZIII. Diferencijalne jednadžbe 143

3.2. Homogena diferencijalna jednadžba

Zamjenom y

xz = , a potom razdvajanjem promjenljivih x i z , riješi

diferencijalne jednadžbe

339. x

xyy

−=´ 340.

3

22 )(´

x

yyxy

−=

341. yx

yy

−=´ 342. ln (ln 1)

y y xy

x x y′ = −

Zamjenom x

yz = , a potom razdvajanjem promjenljivih x i z , riješi

diferencijalne jednadžbe

343. x y

yx

+′ = 344.

2

xy yy

x

+′ =

345. 2 2x y

yxy

+′ = 346. sin sin 1

y y xy

x x y′ = +

Riješi diferencijalne jednadžbe

347. ( )x y y y′+ = 348. 3 2 2( )x y x y y′ = +

349. 2cosy y

yx x

′ = + 350. siny y

yx x

′ = +

144 Zbirka zadataka

3.3. Linearna diferencijalna jednadžba

Odredi opće rješenje homogenih linearnih diferencijalnih jednadžbi

351. 3 0y y′ + = 352. 1

0y yx

′ − =

353. (sin ) 0y x y′ + = 354. (ln 1) 0y x y′ − + =

Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove

homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstante

355. 2 xy y xe′ − = 356. 22 4y y x′ + =

357. 1

3 2y y xx

′ + = + 358. 1

cosy y xx

′ + =

359. 2

2x

y xy e′ − = 360. (sin ) siny x y x′ + =

361. 45xy y x′ + = 362. xxyxy ln2´ =−

363. 1

2 2 xx y y x e′ + = 364. 2cos 1 0y x y′ − − =

Pronañi pojedinačno rješenje diferencijlanih jednadžbi koje zadovoljava

zadani uvjet

365. 1y y′ − = − : 5)0( =y 366. 1

y y xx

′ + = : 1)1( =y

367. (cos ) 0y x y′ − = : (0) 1y′ = 368. 1 1y y

x x′ − = : (2) 0y′ =

ZIII. Diferencijalne jednadžbe 145

3.4. Bernoullieva diferencijalna jednadžba

Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove

homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstante C te razdvojiš

promjenljive x i C

369. 2y y y′ − = 370. 2xy y x xy′ − =

371. 4

22

xey y

y′ − = 372. 2

1 xy y

x y′ + =

373. 32 2 0y xy xy′ + − = 374. 23 0y y y′ − + =

4. Diferencijalne jednadžbe drugog reda

4.1. Linearna diferencijalna jednadžba

Snižavanjem reda riješi linearne diferencijalne jednadžbe

375. 2 xy y e′′ ′− = 376. 23xy y x′′ ′− =

377. 2 6lnx y xy x′′ ′+ = 378. 3sin cos 2siny x y x x′′ ′− =

146 Zbirka zadataka

4.2. Linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima

Odredi opće rješenje homogenih linearnih diferencijalnih jednadžbi

379. 6 0y y y′′ ′+ − = 380. 4 0y y′′ ′− =

381. 1

2 3 03y y y′′ ′− + = 382.

10

4y y y′′ ′− + =

383. 25 0y y′′ + = 384. 4 13 0y y y′′ ′+ + =

Pronañi opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tako da prvo riješiš njihove

homogene jednadžbe, a zatim primijeniš metodu varijacije konstanti

385. 2 2 xy y y e′′ ′− + = 386. y y x′′ + =

387. 22 xy y e−′′ ′+ = 388. 34 3 8 xy y y xe′′ ′− + =

389. siny y x′′ + = 390. 3 2 3sin cosy y y x x′′ ′− + = +

391. 4 4sin 2 4cos 2y y x x′′ + = − − 392. sinxy y e x′′ ′− =

393. 2 2 (2 1) xy y x e′′ − = − 394. ( 1)( )x xe y y e′′ ′+ + =

Pronañi pojedinačno rješenje diferencijalnih jednadžbi koje zadovoljava

zadane uvjete

395. 2 1y y x′′ ′+ = − : 4)0( =y , 2)1( =y

396. 22 xy y y e′′ ′− + = : 0)0( =y , (0) 1y′ =

397. 36 9 sinxy y y e x′′ ′− + = − : (0) 2y′ = , ( ) 0y π′ =

398. 1y y′′ + = : (0) 1y′ = , (0) 2y′′ =

ZIII. Diferencijalne jednadžbe 147

5. Različiti zadatci

Riješi diferencijalne jednadžbe

399. 3 1x y′′′ = 400. ln( )y x′′ =

401. 0=+ dydx 402. 0=+ xdyydx

403. ( )x y y y′+ = 404. 2xy x y′ = −

405. 2 sinxy x x y′ − = 406. 2 2 0y y x y′ − + =

407. 6 25 0y y y′′ ′− + = 408. 4 4 4y y y′′ ′− + =

409. 2 4 8y y x′′ ′− = − 410. 1

55 6 41 cosx

y y y e x′′ ′− + = −

Snižavanjem reda riješi diferencijalne jednadžbe

411. 3 2 0y y y′′′ ′′ ′− + = 412. 1y y′′′ ′+ =

413. 0IVy y′′− = 414. 3 0IVy y′′′− =

148 Zbirka zadataka

R. RJEŠENJA

EF ���� � �� �� , � � ��� �� �� � � , ���� � �

� �� � �� 2. ���� � G

3. ���� � ��� , ���� � ��� � � 4. ��� � �� �� � �

5. ��� � �� �� � �

��� � ��. 6. ��� � <=>%<H� � � 7. ��� � �� � ��

8. ��� � ��� � �� �� � �� 9. ��� � � �

� ���� 10. ��� � �� � � �

� ����

11. Jest 12. Nije 13. Jest 14. �� �� � G 15.

�� ���! � G

16. �- ��-# � G 17. � �

��! � G 18. �"�%" � G 19.

�"�- ���-I& � G

20. '� � G 21. 9� %� � G 22.

���� ��� � G 23. �� � ���� � G

24. �� )� � � �� ) � G 25.

�"� �� � ��� � � � G 26.

8���� � ��� � G

27. � �* � @HJ)J � G 28.

�-����� � ��� � G 29.

�� �� � '� � K@HJ�J � G

30. �" �" � �� � �� � �

� � G 31. �� �� � L� � ��

� � 8�� � ��@HJ�J � G

32. �745�� G 33.

�7M�45� � G 34. � � ��� � G

35. ��<=>%<H �

� � G 36. ��� @H N��������N � G 37. ��. @H N��������N � G

38. @HO� � ��� � �O � G 39. @HO� � ��� � �O � G

40. <=> �� �� � G 41.

�� ���� � �' � L@HO� � ��� � �'O � G

R. Rješenja 149

42. ������ � �' � L@HO� � ��� � �'O � G 43.

�� ���' � �� � L<=> �� �

� � G

44. ��" ��� � ��9 � G 45. � �

-C�� � ���� � G 46. �8 C��� � '��! � G

47. �� ����� � �� � G 48. � �

� ������ � G 49. � �� ��� � � G

50. ��� � K � G 51. � ��123� $ � G 52. @HJ@H�J � G

53. �� � � :���� � �� � G 54. �� @HJ%� � �J � G 55.

�� @H�� � G

56. �� ��

!�� � G 57. � "�� C�� � ����& � G 58. � �

" �� � ���C�� � ���� � G

59. ��<=>%<H ���

� � G 60. �8 @H N��9���N � G 61. @HO� � � � ��� � L�O � G

62. <=> �� ���� � G 63.

�� �� � ����� � �� � � � @HO� � � � ��� � �� � �O � G

64. �� �� � ����� � �� � �

�<=> ���� � �� � G 65. ��@H� � �� � G

66. �� � ���� � G 67. P�� � � � �� � � G

68. �� �� � � �� ��� � � ��� � G 69. Q ��45�� ��45��� �

45!�R�� � G

70. �" �" Q:�; � � �

"45�SR � G 71. �� ���! ��@H� � �� � G

72. – ��� � �� � ����� � G 73. �%<H� � @HJ�� �J � G

74. % <=>%<H% � �� @H�%� � �� � G 75.

������ <=> ��� � �

��� � �� � G

76. % Q@A?��% � �45� :�;� % � �

45��R � G 77. �� ����� � � ���� � G

78. �

45��������� � � @H� �� �� � G 79. �� ������ � � �� �� � G

80. �@HJ�J � G 81. ���# � G 82.

"� @HJ�� � �J � G 83. � �

-������! � G

84. ���<=>%<H

����� � G 85.

�� @H��� � �� � �� � �<=>%<H�� � �� � G

150 Zbirka zadataka

86. – @H��� � �� � ��� <=>%<H

���� G 87. � �

� @H��� � �� � �� � �� <=>%<H ���

� � G

88. � ��������� G 89.

��������� �

� <=>%<H� � G

90. � @HJ� � �J � @HJ� � �J � G 91. � @HJ� � �J � @HJ� � �J � G

92. @HJ� � �J � � @HJ� � �J � ����� G 93.

�� ������� � G

94. @HJ� � �J � <=>%<H �� � G 95. @H N���� N � �

� � G

96. �� @HJ�J � � @HJ� � �J � �

� @HJ� � �J � G

97. � �� @HJ�J � �

� @HJ� � �J � �� @HJ� � �J � G

98. �� @H N������N � �

� <=>%<H� � G 99. �� @H��� � �� � �

�������� G

100. �� �� � �� � @HJ� � �J � G 101.

�� �� � �� � � @H N������N � G

102. �� �� � @HJ�� � � � �J � G 103. � � � <=>%<H �

� � G

104. �� � '� � � @HJ� � �J � �� @HJ� � �J � G

105. � � @H��� � �� � � � �� � G 106. �� �� � � � � @HJ�J � � <=>%<H �

� � G

107. � � �@HJ�J � <=>%<H�� � �� � G

108. �� �� � �

� @H N������N � �� <=>%<H� � G 109.

�� �� � �

�������� @H��� � �� � G

110. ��� � � @H+�� � �, � G 111. ��� � � � � <=>%<H�� � � � G

112. �� �� � ���� � �! � G 113. '��B � � @H U ��B ��

��B ��U � G EEVF� ��DQ���� R� � G

115. ��D���� � @H N��������������N � G 116. – @H U�������� U � G

117. �� � �� � @H U�������� U � G 118. �� ���� � �

�� �� '� � G

R. Rješenja 151

119. �� �� �� � �

8 �� �� � G 120. �� �� � � �

�� �� (� � G

121. �� � � � �S �� ��� � G 122. � �

� �� �� � �8 �� �� � �

�� ��'� � G

123. �� �� � � �

�� ���� � ��S ���� � G 124.

�/01� � G

125. � �� 123� � � G 126.

��/01����! � G 127.

�� <=>%<H Q�� �� �R � G

128. �� %<H�� � G 129. >A%�� � >A%� � G 130. @HJ%<H �J � G

131. �� <=>%<H��%<H�� � G 132. � �

$W57���� G

133. @H U$W57���

$W57���U � @H N%<H Q�� � X

�RN � G 134. � � %<H �� � G

135. �" @H U

�$W57���$W57���

U � G 136. ����� � G 137.

�7M� �Y7Y!45��45� � G

138. �� C�� � ���! � G 139.

�- C��� � L��# � G

140. �. @H N��"���N � G 141. @H��� � �� � �� � <=>%<H�� � �� � G

142. �� @HJ�J � � @H��� � �� � �<=>%<H� � G 143. � � @H N� � ���N � G

144. ��� � ��<=>%<H� � �� �� � G 145. � <=> ���� � �

��� � ��� � G

146. �� �� :�; �� � �

� 45�S�� � G 147. �

45�������@H� ��� � �� �� � G

148. ����# � ��� � G 149. ��� � � � @HO� � ��� � �O � G

150. ��/01�123� � G 151.

��123��� /01� � � G

152 Zbirka zadataka

152. 15

4 153.

5

12 154. 1 155. 1− 156.

3

π

157. 8

9 ln 3 158.

24

5− 159.

3

2 160.

116

5 161. 43−

162. 25 163. 49

30− 164.

26

3 165.

15

4 166.

2

12−

167. 3

8

168. 3ln5 4−

169. 1

2 170.

162ln 3

3−

171. 2

3− 172.

2

π 173. 2− 174.

2 1

4

e +

175. 2 5e

e

− 176.

9 ln10

10ln10

− 177.

2

4

π − 178.

8ln 2 4

ln 2

179. 4

π 180.

5 8ln 2

4

− 181.

2ln 2

12

π − 182.

1

2

eπ +−

183. 0 184. 3

2− 185.

146

15 186. 0

187. π 188. 0 189. 16

3 190.

128

3

191. 32( )

3f x x= ,

16(4)

3f = 192. 3 21 2

( )3 3

f x x x= + − ,2

(0)3

f = −

193. ( ) ln 2 lnf x x= − , ( ) ln 2 1f e− = −

194. 3 43( ) 4

4f x x x= + − ,

17(1)

4f =

195. 33 1

( )2

xf x

x

−= ,

23(2)

4f =

196. 1

( ) ln 12

xf x

x

+= +

+,

4(3) ln 1

5f = +

197. 9 198. 4 199. 24 200. 1 201. 2

202. 9

2 203.

38

3 204. 1 205. 16 206. 24

R. Rješenja 153

207. ( )2

2

1

92

2P y y dy

= + − =∫ 208. ( )1

2

0

11

3P y dy= − =∫

209. ( )2

2

1

12 3 2

3P x x dx= − + − =∫ 210. ( )

2

2

0

644 4

3P x dx= − =∫

211. 64

3 212.

16

3 213.

3

4 214. ( )

2

3

0

2 4 8P x x dx= − =∫

215. ( ) ( )1 4

3

0 1

492

12P x x dx x x dx= + + − + =∫ ∫

216. 7

3

217. 4

3

218. 1

3 219.

1

12

220. 1 1 2

2

3 0 0

1 33 4 3 4

2 4P x dx xdx y dy

= + − = − = ∫ ∫ ∫ , 8P =

221. 2 2 2

2

2 0 0

1 82 2 2

2 3P x dx xdx y dy

= + − = − = ∫ ∫ ∫

222. ( ) ( )4 6 2

2

0 4 0

226 6

3P xdx x dx y y dy= + − = − − =∫ ∫ ∫

223. 3 3

1 4

2 3

10 2 1 3 1 355 ln 6

3 3 2 1 12

xP x dx y dy

x y

+ = − − = − − = − − ∫ ∫

224. 1 4 2

0 0

4

ln 4

2 4P arctgx dx tgydy dy

π π

π

π π+ = − = + = ∫ ∫ ∫

225. 1

0 1 0

ln 1

e e

yP dx xdx e dy e= − = = −∫ ∫ ∫

226. 32

5

π

227. 625

6

π

228. 256

5

π

229. 49

30

π

230. 162

5

π

231. 2

π

232.

21 4

0 1

4 3

3 2

xV xdx dx

ππ π

− = + = ∫ ∫

233. 1 2 22

23

1 11

8 8

1 49

4 80V x dx x dx dx

ππ π−= + − =∫ ∫ ∫

154 Zbirka zadataka

234. ( ) ( )4 4

2

1 1

2

452 1 1

4V x dx x dx

ππ π

= + − − =∫ ∫

235. ( ) ( )3 0

2 22 2

1 1

19362 6 2 2

15V x x dx x x dx

ππ π

− −

= − + + − − =∫ ∫

236. 16

15

π 237.

2

π 238. 8π 239.

3

10

π 240.

34

5

π

241.

1

1 1223

2

10 0

2

1 78

5V ydy dy y dy

y

ππ π π= + − =∫ ∫ ∫

242. 38

3 243.

19

27 244. ( )ln 1 2 2+ +

245. ( )1ln 2 5 5

2+ + 246.

1ln 3

2− 247.

9ln 4

8+

248. 22

2

3

cos 11 ln 3

sin 2

yl dy

y

π

π

= + =∫ 249.

2 2ln

3

2

3ln

2

1 1 3ln

1 2 2xl dx

e= =

−∫

250. 7

9

π 251.

56

3

π 252.

6

5

π

253. 22

4

4

2 4cos2 1 4 2

sin sin

xP dx

x x

π

π

π π= + =∫

254. 2π 255. 13

3

π

256. ( )2

2

0

4 ln 2 34

3 3P y y ydy

ππ += + =∫

257. 0,165 258. 13,811− 259. 3,093 260. 0,342 261. 8,018

262. 223,054 263. 1,585 264. 16,083− 265. 0,439− 266. 0,195

267. 2,063 268. 268,383 269. 21,998 270. 4,554 271. 0,334

272. 0,732− 273. 0,000 274. 87,786− 275. 0,635 276. 4,022−

R. Rješenja 155

277. 64

5 278.

1793

12 279.

1

3− 280. 0

281. ( )0 2

3 0

13

2x dx xdx

− + =∫ ∫ 282. 5

2 283.

1

2 284.

1

2

285. ( ) ( )0 2 0

3 3 2

52 2 2

2x dx x dx x dx

− − −

+ = − − + + =∫ ∫ ∫

286. 5 287. 2 288. 0 289. 3 2e e+ − 290. 1

291. 2 2 2

0

4

a

P a x dx aπ= − =∫ 2 2

0

14 2

a

l a dx aa x

π= =−

292. 2

2 2

2

03

va

V x dx a vv

ππ= =∫ ( )

2 22 2 2

2

0

2

va a v

P a xdx a a a vv

π π π+

= + = + +∫

293. ( )2 2 3

0

42

3

a

V a x dx aπ

π= − =∫ 2

0

4 4

a

P a dx aπ π= =∫

294. Promatraj vrtnju kružnice ( )22 2x y b a+ − = oko osi x

2 2 2 2

0

8 2

a

V b a x dx a bπ π= − =∫ 2

2 20

18 4

a

P ab dx aba x

π π= =−

156 Zbirka zadataka

295. Jest 296. Nije 297. Jesu 298. Nisu

299. Jest 300. Nije 301. Jest 302. Jesu

303. Jest 304. Jest 305. Nije 306. Jesu

307. Cxxy +−= sin2 308. Cexy x +−=

309. Cxy ln= 310. Cxxy ++= lnln 2

311. 21

23 CxCxxy +++= 312. 21

3 ln6

1CxCxxy +++=

313. xCxCeyx

21 ln−+= 314. 21sincos CxCxxxy +++=

315. 32

2

1 CxCxCy ++= 316. 32

2

1

3 sin2

1CxCxCxxy +++−=

317. 32

2

1 CxCxCxey x +++−=

318. 32

2

1

2 ln3ln CxCxCxxy ++++=

319. 1ln23 +−+= xxxy 320. 3cossin −+= xxy

321. 45 25 +−= xey x 322. 121124 +−−= xxxy

323. 16

13

4

112

+−−

= xx

xy 324.

tan cot 2y x x x= + + −

325. 2xey x −= 326. 132061 2

3

3 −+−+= xxx

xy

327. Cyx =− 43 38 328. Cyx +−= 12

329. Cxy += 2ln2

1 330. C

yx=+

32

32

R. Rješenja 157

331. Cyxyx =+−− )sin(cos222 332. Cyeex yx =−− )1(

333. Cyx=−

11 334.

2xCey =

335. Cyx =+ 22 336. Cyx =− 3

3

337. Cyx ++= )3ln( 2 338. Cee yx =+−

339. Cxxy ln−= 340. Cxyx ln2 22 =

341. 0ln =+ Cyyx 342. y

xCx 2ln

2

1ln =

343. Cxxy ln= 344. Cx

xy

ln−=

345. Cxxy ln2 22 = 346. 0cosln =+x

yCx

347. Cyyx ln= 348. 0ln2 22 =+ Cxyx

349. ln tany

Cxx

= 350. 2 arctany x Cx=

351. xCey 3−= 352. Cxy =

353. xCey cos= 354. xCxy =

355. xeCxy )( 2 += 356. 122 22 +−+= − xxCey x

357. x

Cxxy ++= 2

358. x

C

x

xxy ++=

cossin

359. 2

)( xeCxy += 360. 1cos += xCey

361. x

Cxy += 4

362. )(ln 2 Cxxy +=

363. xeCxy

1

)( += 364. 1−= tgxCey

158 Zbirka zadataka

365. 14 += xey 366. x

xy3

2

3

1 2 +=

367. xey sin= 368. 1−=y

369. Ce

ey

x

x

+−= 370. 2)( Cxxy +=

371. Cxey x +±= 2 372.

33

2

5

3

x

Cxy +=

373.

Ce

ey

x

x

+±=

2

2

2

374. 33

1

)( Ceeyx

x +=−

375. 2

1 2

x xy C C e e= + − 376. 2 3

1 2y C C x x= + +

377. 3

1 2ln lny x C x C= + + 378. 2

1 2cos cosy x C x C= + +

379. xx eCeCy 3

2

2

1

−+= 380. 2

4

1 CeCy x +=

381. 1)( 2

21 ++= xeCxCy 382. x

eCxCy 2

1

21 )( +=

383. xCxCy 5cos5sin 21 += 384. xexCxCy 2

21 )3cos3sin( −+=

385. 2

1 2( ) xy x C x C e= + + 386. xxCxCy ++= cossin 21

387. xexCCy 2

21 )2

1( −−+= 388. xx eCxxeCy 3

2

2

1 )22( +−+=

389. xxCxCy cos)2

1(sin 21 −+= 390. xeCeCy xx cos2

21 ++=

391. xxCxxCy 2cos)(2sin)( 21 ++−=

392. xx exxeCCy )cos(sin2

121 +−+=

393. xx eCeCxxy −++−= 21

2 )2

1

4

1(

394. )1ln()1(21 ++++= −− xxx eeeCCy

R. Rješenja 159

395. 432 +−= xxy 396. xx eey −= 2

397. xexy 3)3

1(sin += 398. 21 CxCey x ++=

399. 32

2

1ln2

1CxCxCxy +++= 400. 21 CxCey x ++=

401. Cyx =+ 402. Cxy =

403. lnx y Cy= 404. x

Cxy −=

405. xxCxy cos+= 406. 2)1( ++= xCey x

407. xexCxCy 3

21 )4cos4sin( += 408. ( ) 2

1 2 1xy C x C e= + +

409. xxeCCy x 322

21 +−+= 410. 1

51 2( 4sin 5cos )

xxy C e C x x e= + + +

411. 2

1 2 3

x xy C e C e C= + + 412. 1 2 3sin cosy x C x C x C= + + +

413. 1 2 3 4

x xy C e C e C x C−= + + + 414. 2 3

1 2 3 4

xy C x C x C e C= + + +