Ist Mathematik ansteckend ? Mathematik und Epidemiologie

Ist Mathematik ansteckend ?

Mathematik und Epidemiologie

Thomas Gotzgoetz@uni-koblenz.de

Kolloquium Mathematik und ihre Didaktik

29.10.2013 Campus Landau

Kollegen

Karunia PutraDoktorand UKO-LDM.Sc. ITB Bandung

Edy SoewonoMathematics Dept.ITB Indonesia

Dipo AldilaM.Sc. ITB Bandung

Th. Gotz, e.a. (UKO) Mathematik und Epidemiologie 29.10.2013 2 / 23

Ubersicht

1 Epidemiologie

2 Mathematische Modelle

3 Analyse der Modelle

4 Beispiel: Dengue–Fieber

5 Optimierung

6 Zusammenfassung

Epidemiologie

Wintersemester=Grippezeit

[Quelle: Robert–Koch–Institut,Arbeitsgemeinschaft Influenza]

Epidemiologie

Dengue–Fiber

Virus–Erkrankung in tropischen Gebieten

2010 erste Falle in Sudfrankreich

2012 > 1.000 Krankheitsfalle auf Madeira

ca. 100 Mio (WHO) bzw. 400 Mio (HD, Oxford) Falle / Jahr

ca. 500.000 Krankenhaus–Aufenthalte

ca. 25.000 Tote (davon ca. 90% Kinder)

keine ursachliche Therapie bekannt

Ubertragung durch Gelbfiebermucke (stegomyia aegypti) oderTigermucke (stegomyia albopicta)

weibliche Mucke ubertragt Viren von Mensch zu Mensch

Bekampfung der Larven oder erwachsenen Mucken moglich

Epidemiologie

Dengue–Fiber

Epidemiologie

Dengue–Fiber

Epidemiologie

Fragestellungen / Probleme

1 Modell zur Vorhersage der Krankheitsausbreitung

2 Kennzahlen, ob Krankheit epidemisch ist

3 Vorhersage der Wirkung von Abwehrmaßnahmen

4 Optimierung der Abwehrmaßnahmen

Mathematische Modelle

Was ist ein Modell?

Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole deraußeren Gegenstande, [. . . so] daß die denknotwendigenFolgen der Bilder stets wieder die Bilder seien von dennaturnotwendigen Folgen der abgebildeten Gegenstande.

[. . . ] Von zwei Bildern desselben Gegenstandes wirddasjenige das zweckmaßigere sein, welches mehr wesentlicheBeziehungen des Gegenstandes widerspiegelt als das andere[. . . ] welches neben den wesentlichen Zugen die geringereZahl uberflussiger oder leerer Beziehungen enthalt.

[Hertz 1894]

[. . . ]daß in jeder besonderen Naturlehre nur so vieleigentliche Wissenschaft angetroffen werden konne, alsdarin Mathematik anzutreffen ist.

[Kant 1786]

Was ist ein Modell?

[Hertz 1894]

[Kant 1786]

Was ist ein Modell?

[Hertz 1894]

[Kant 1786]

Modellierungszyklus

ObjectExperiment Model

Equations

Prediction

Modelling

Observation

Reduced Model

Real World Mathematics

Asymptotics

Paper & Pen

Math. Result

Optimize

Measuring

Validation

Prediction

Validation

Numerics

Allgemeines Populationsmodell

n Populationen X (t) ∈ Rn zum Zeitpunkt t > t0Anderung im Zeitintervall δt durch Zuwachs bzw. Weggang

X (t + δt) = X (t) + δt · (Zuwachs – Weggang)

Limit δt → 0, X ∈ C 1([t0,∞);Rn) Diffgleichung

dtX (t) = Zuwachs – Weggang , X (t0) = X0

Annahme: lineares Modell mit konstanten Raten α, µ > 0, d.h

Zuwachs = α × aktuelle Population X (t) λ := α− µLineare Differentialgleichung

dtX (t) = λX (t) X (t0) = X0 X (t) = X0e

λ(t−t0)

dtX (t) = λX (t) X (t0) = X0 X (t) = X0e

λ(t−t0)

dtX (t) = λX (t) X (t0) = X0 X (t) = X0e

λ(t−t0)

SIR–Modell, z.B. Grippe

Gesamtpopulation X besteht aus

Susceptible S

Infected I

Recovered R

Berucksichtigte Mechanismen

Ansteckung

Genesung

Immunitatsverlust

Geburt, Tod

SIR–Modell X = (S , I ,R) ∈ R3, X = f (X , t)

dtS = αS − βSI − µ1S + δR

dtI = βSI − µ2I − γI N = S + I + R

dtR = γI − µ3R − δR

Susceptible S

Infected I

Recovered R

Ansteckung

Genesung

Immunitatsverlust

Geburt, Tod

Susceptible S

Infected I

Recovered R

Ansteckung

Genesung

Immunitatsverlust

Geburt, Tod

SIR mit Impfung

zeitabhangige Impfrate u(t) ∈ L∞ der Susceptiblen

Kontrollgroße U extern beeinflußbar

Steuerung / Optimierung des Systems moglich

SIR–Modell X ∈ R3, U = u ∈ R, X = f (X ,U , t)

dtS = αS − βSI − µ1S + δR − u(t)S

dtI = βSI − µ2I − γI

dtR = γI − µ3R − δR + u(t)S

SIR mit Impfung

zeitabhangige Impfrate u(t) ∈ L∞ der Susceptiblen

Kontrollgroße U extern beeinflußbar

Steuerung / Optimierung des Systems moglich

SIR–Modell X ∈ R3, U = u ∈ R, X = f (X ,U , t)

dtS = αS − βSI − µ1S + δR − u(t)S

dtI = βSI − µ2I − γI

dtR = γI − µ3R − δR + u(t)S

Host–Vector–Modell, z.B. Dengue

Bilanz fur Host (Wirt=Mensch) und Vector (Ubertrager=Mucke)

Muckenpopulation M besteht aus

Virusfrei N

Virustrager V

ggf. Eier, Larven

Mechanismen

Geburt, Tod,

Virustransfer

ggf. Phasenubergange

Host–Vector–Model X = (S , I ,R ,N ,V ) ∈ R5

dtS = α1S − β1SV − µ1S + δR

dtN = α2N − β2IN − µ4N

dtI = β1SV − µ2I − γI

dtV = β2IN − µ4V

Virusfrei N

Virustrager V

ggf. Eier, Larven

Mechanismen

Geburt, Tod,

Virustransfer

Virusfrei N

Virustrager V

ggf. Eier, Larven

Mechanismen

Geburt, Tod,

Virustransfer

Virusfrei N

Virustrager V

ggf. Eier, Larven

Mechanismen

Geburt, Tod,

Virustransfer

Analyse der Modelle

Fixpunkte ddtX = 0; Stabilitat

autonomes dynamisches System ddtX = f (X ,U), X (0) = X0

Fixpunkt X ∗ = stationarer Zustand, f (X ∗,U) = 0.

Fixpunkt X ∗ stabil, falls∀δ < δ0 ∃η > 0 : |X (t)− X ∗| < η ∀t > 0, |X0 − X ∗| < δ

Fixpunkt X ∗ asymptotisch stabil, falls∀δ < δ0 : lim

t→∞|X (t)− X ∗| = 0 ∀ |X0 − X ∗| < δ

Satz: Fixpunkt X ∗ von ddtX = f (X ) ist

asympt. stabil, falls fur alle EWe λ von Df (X ∗) gilt: Reλ < 0

instabil, falls ein EW λ von Df (X ∗) mit Reλ > 0 existiert

Stabilitat des disease–free–equilibrium wichtig

Analyse der Modelle

t→∞|X (t)− X ∗| = 0 ∀ |X0 − X ∗| < δ

Analyse der Modelle

t→∞|X (t)− X ∗| = 0 ∀ |X0 − X ∗| < δ

Analyse der Modelle

t→∞|X (t)− X ∗| = 0 ∀ |X0 − X ∗| < δ

Analyse der Modelle

Next–Generation–Matrix

X = (X1, . . .Xm, Xm+1, . . .Xn) = (infiziert, gesund)

X ∗0 = (X ∗1 , . . . ,X∗m, 0, . . . , 0) Disease–Free–Equilibrium

Xj = Φj −Ψj fur InfizierteΦj : Zunahme wegen NeuinfektionΨj : Ab– bzw. Zunahme aus anderen Grunden

Jacobimatrix DΦ =∂Φi

∂xj(X ∗0 ) ∈ Rm×m , Ψ analog

Next–Generation–Matrix, Basisreproduktionszahl

Next–Generation–Matrix G = DΦ · DΨ−1

Basisreproduktionszahl R0 = ρ(G ) = max {|λ| : λ EW von G}R0 < 1 Krankheit stirbt aus

R0 > 1 Krankheit verbreitet sich

Analyse der Modelle

Next–Generation–Matrix

X = (X1, . . .Xm, Xm+1, . . .Xn) = (infiziert, gesund)

X ∗0 = (X ∗1 , . . . ,X∗m, 0, . . . , 0) Disease–Free–Equilibrium

Xj = Φj −Ψj fur InfizierteΦj : Zunahme wegen NeuinfektionΨj : Ab– bzw. Zunahme aus anderen Grunden

Jacobimatrix DΦ =∂Φi

∂xj(X ∗0 ) ∈ Rm×m , Ψ analog

Next–Generation–Matrix, Basisreproduktionszahl

Next–Generation–Matrix G = DΦ · DΨ−1

Basisreproduktionszahl R0 = ρ(G ) = max {|λ| : λ EW von G}R0 < 1 Krankheit stirbt aus

R0 > 1 Krankheit verbreitet sich

Beispiel: Dengue–Fieber

Dengue–Modell

X ∈ R11

9 Gruppe fur Menschen

alt, jungbehandelt, nicht behandeltgesund, krankgenesen

2 Gruppen fur Moskitos

virusfrei, virustrager

Kontrollvariablen U ∈ R4

Behandlungsraten θ(t)Drop–out Raten δ(t)

DGl–Modell

dtX = f (X ,U , t) , X (0) = X0

ProblemFinde U : [0,T ]→ R4 so, daßAnzahl der Infizierten, d.h.

J(U) =

8∑i=5

ωiXi(t)2

minimiert wird.

Dengue–Modell

X ∈ R11

DGl–Modell

dtX = f (X ,U , t) , X (0) = X0

J(U) =

8∑i=5

ωiXi(t)2

minimiert wird.

Dengue–Modell

X ∈ R11

DGl–Modell

dtX = f (X ,U , t) , X (0) = X0

J(U) =

8∑i=5

ωiXi(t)2

minimiert wird.

Dengue–Modell II

Dengue–Model III

dt= A − αx1 − θ1(t)x1 −

bβx x1v2

Nx− µx x1 + (δ0 + δ1(t)) x2

dt= θ1(t)x1 − αx2 − µx x2 − (δ0 + δ1(t)) x2

dt= αx1 − θ2(t)x3 −

bβx x3v2

Nx− µx x3 + (δ0 + δ2(t)) x4

dt= αx2 + θ2(t)x3 − µx x4 − (δ0 + δ2(t)) x4

bβx x1v2

Nx− αx5 − γx5 − µx x5 − θ1(t)x5 + (δ0 + δ1(t)) x6

dt= θ1(t)x5 − αx6 − γx6 − µx x6 − (δ0 + δ1(t)) x6

bβx x3v2

Nx+ αx5 − γx7 − µx x7 − θ2(t)x7 + (δ0 + δ2(t))) x8

dt= θ2(t)x7 + αx6 − γx8 − µx x8 − (δ0 + δ2(t)) x8

dt= γ (x5 + x6 + x7 + x8) − µx x9

dt= B −

bβv (x5 + x7) v1

Nx− µv v1

bβv (x5 + x7) v1

Nx− µv v2

Optimierung

Problem

Zustands–System ddtX = f (X ,U , t), X (0) = X0 ∈ Rn. Finde

Kontrolle U : [0,T ]→ Rm so, daß Kostenfunktional

J(U) =1

ωiXi(t)2 +∑j

Uj(t)2 dt −→ min .

Optimierung unter (Differentialgleichungs–) Nebenbedingung

Lagrange–Funktional L(X ,U , ξ) = J(X ,U) + 〈ξ , X − f 〉

mit 〈ξ , X − f 〉 =

∫ξ (X − f )

= X (T ) ξ(T )− X0 ξ(0)−∫

X ξ + f ξ

Optimierung

Problem

Zustands–System ddtX = f (X ,U , t), X (0) = X0 ∈ Rn. Finde

Kontrolle U : [0,T ]→ Rm so, daß Kostenfunktional

J(U) =1

ωiXi(t)2 +∑j

Uj(t)2 dt −→ min .

Optimierung unter (Differentialgleichungs–) Nebenbedingung

Lagrange–Funktional L(X ,U , ξ) = J(X ,U) + 〈ξ , X − f 〉

mit 〈ξ , X − f 〉 =

∫ξ (X − f )

= X (T ) ξ(T )− X0 ξ(0)−∫

X ξ + f ξ

Optimierung

Optimalitatsbedingungen, KKT–System

KKT–System ∇L(X ,U , ξ)!

∂ξL = 0 Zustandssystem X = f (X ,U , t) , X (0) = X0

∂XL = 0 Adjungiertes System ξ = −ξ ∂X f + ∂XJ , ξ(T ) = 0

∂UL = 0 Gradientengleichung 0 = ∂UJ − ξ ∂U f

Gekoppeltes, nichtlineares System

Zustandssystem vorwarts in der Zeit

Adjungiertes System ruckwarts in der Zeit

Gradientengleichung = algebraisch

Iterativer Losungsansatz

Optimierung

Losungsverfahren mit Steepest Descent

1 Gegeben: Initial guess U (0) fur Kontrolle

2 Lose Zustandsgleichung fur X

3 Berechne Kostenfunktional J

4 Lose adjungiertes System fur ξ

5 Berechne Gradient ∂UJ

6 Lose 1d Minimierung naherungsweise

7 Update fur Kontrolle U

8 Falls nicht fertig, gehe zu (2)

Optimierung

U u Jδ

Optimierung

u JU δ

Optimierung

Resultate I: Anzahl Infizierte

0 50 100 15025

Total infected comp. before treatments

Total infected comp. with optimal control

Optimierung

Resultate II: Optimale Kontrolle

0 50 100 1500

Zusammenfassung

Kontinuierliche Populationsmodelle

Gewohnliche Differentialgleichungen

Kontrollvariablen

Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen

Gradientenverfahren

Simulationen

? Raumlich–zeitliche Modelle PDEs

Danke!

Zusammenfassung

Kontrollvariablen

Gradientenverfahren

Simulationen

Danke!

Zusammenfassung

Kontrollvariablen

Gradientenverfahren

Simulationen

Danke!

Zusammenfassung

Kontrollvariablen

Gradientenverfahren

Simulationen

Danke!

Ist Mathematik ansteckend ? Mathematik und Epidemiologie

Documents

Transcript of Ist Mathematik ansteckend ? Mathematik und Epidemiologie

Vorsicht ansteckend! 7 gelebte Regeln, um sich überflüssig zu machen.

Curs Epidemiologie 2014

Epidemiologie Teste

MANUÁL PRAKTICKÉ EPIDEMIOLOGIE - IPVZ · Manuál praktické epidemiologie je určen k rychlé orientaci praktických lékařů v oblasti infekční epidemiologie. Sestává z dvou

Epidemiologie frequence

Epidemiologie Boli Digestive

Curs 2 - Epidemiologie Analitica

EPIDEMIOLOGIE & FOOTBALL

tuberculoza epidemiologie

Catedra Epidemiologie

Hygiena, mikrobiologie, epidemiologie

Epidemiologie Si Microbiologie

Modulhandbuch zum Masterstudiengang Epidemiologie · Institut für Medizinische Biometrie, Epidemiologie und Informatik (IMBEI) Modulhandbuch zum . Masterstudiengang Epidemiologie

Epidemiologie et prévention

Curs 1 Epidemiologie Postliceala

Epidemiologie generala[1]

Prof. Dr. Elkeles Epidemiologie 1 Definitionen zur Epidemiologie abgeleitet aus epi demos (gr.) = auf der Bevölkerung Epidemiologie ist die Methode der.

Boxe Epidemiologie

Epidemiologie Si Sanatate Publica

Ansteckend! Anstecken! Wie kann ich mich schützen?