Post on 04-Jan-2016
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MatemáticaFinancieraMatemáticaFinanciera
CienciasAdministrativas
CienciasAdministrativas
Interés Interés CompuestoCompuesto
Interés Interés CompuestoCompuesto
Mate
máti
ca F
inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
SUPUESTO LOGICO
Un capital P, invertido en un momento cualquiera puede crecer durante intervalos iguales a una
tasa constante.
Mate
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cie
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cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Los intereses se capitalizan, es
decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición.
Capital
Intereses
Capital+
Intereses
DEFINICION
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Periodo
C. Inicial(P)
Intereses(I) C. Final (F)
1 1.000 100 1.100
10%
2 1.100 110 1.210
3 1.210 121 1.331
4 1.331 133,10 1.464,10
5 1.464,10 146,41 1.610,51
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Periodo C. Inicial(P)
Intereses(I) C. Final (F)
1 P Pi P(1+i)
10%
2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2
iP(1+i)3
. ...... ....... ........
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Características
Los intereses devengan intereses
Los intereses son crecientes en cada periodo de capitalización
Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo
La equivalencia de capitales es perfecta
Mate
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Interés CompuestoInterés Compuesto
P: Valor Presente o capital InicialF: Valor Futuro o Monto finalI: Interesesi: tasa del periodon: nº de periodosk: Frecuencia de la capitalización
Periodo de capitalización: intervalo de tiempo al final del cual se ganan los
intereses
Elementos
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Frecuencia de capitalización (k)
Número de veces que se capitalizan los intereses al año.
¿Cuál es la frecuencia de capitalización si realizo un depósito en un banco que paga 21% de
interés anual convertible cuatrimestralmente?
3re)cuatrimest un (en meses 4
año) 1 en meses( 12K
La frecuencia es 3
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Interés CompuestoInterés Compuesto
NOTACION Y FORMULAS
i = Tasa del periodo de capitalizaciónP = Valor presente o capital invertidoI = Intereses devengados.n = Nº de periodos de capitalizaciónF = Valor futuro o Monto final
F = P(1+i)n
I = P((1+i)n-1) P = F(1+i)-n
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Interés CompuestoInterés Compuesto
VALOR FUTURO COMO FUNCION DEL TIEMPO
F = P(1 + i)n
2
P
V.Futuro
Tiempo 1
I2
I1
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Interés CompuestoInterés Compuesto
GRAFICAS DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO
F = P(1 + i)n
P
V.Futuro
Tiempo 1
F = P(1 + i*n)
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Interés CompuestoInterés Compuesto
¿Cuál es el valor final de una inversión de Bs. 1.000.000 colocados durante un año al 36% nominal anual capitalizable mensualmente? R: 1.425.760
¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?
Ejercicio Ejercicio Nº1Nº1
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Interés CompuestoInterés Compuesto
TASAS
Nominal: i Tasa que se declara en la operación financiera
Proporcional odel periodo:ip
ki
cap. frecuencianominal tasa
ip
Efectiva: ieTasa real deganancia anual 1)
ki
1(i ke
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Interés CompuestoInterés Compuesto
¿Cual es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 al 24% nominal anual convertible
trimestralmente durante dos años?
R:26,25% anual
Ejercicio Ejercicio Nº2Nº2
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Interés CompuestoInterés Compuesto
TASAS EQUIVALENTES
Dos tasas son equivalentes si aplicadas a capitales iguales en el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital final
Tasa nominal: iFrecuencia anual: k
Tasa nominal:jFrecuencia anual: p
pk )pj
1()ki
1(
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Hallar la tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente que es equivalente a 60% nominal anual capitalizable mensualmente.
R: 64,65%
Ejercicio Ejercicio Nº3Nº3
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Hallar la tasa efectiva anual equivalente a 48% nominal anual capitalizable
mensualmente(nacm)
R: 60,10%
Ejercicio Ejercicio Nº4Nº4
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Ejercicio 5 :: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla:
Frecuencia de Frecuencia de capitalizacióncapitalización
Tasa Tasa del del
periodoperiodo
Tasa Tasa efectivefectiv
aa
Capital Capital FinalFinal
Tasa Tasa equivalente equivalente trimestraltrimestral
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Mensual
Quincenal
Diaria
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Interés CompuestoInterés Compuesto
La equivalencia de capitales es perfecta1.000
0 1 2
1.2101.100
2)1,01( 10001210
)1,01(10001100
)1,01(11001210
1000 hoy es equivalente a 1210 dentro de dos periodos.
1000 hoy es equivalente a 1100 dentro de un periodo.
1100 dentro de un periodo es equivalente a 1210 dentro de
dos periodos.
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
2t
2 )i1(PP P hoy es equivalente a P2 en t2
P
0 t1 t2
P2 P1
La equivalencia de capitales es perfecta
1t1 )i1(PP P hoy es equivalente a P1 en t1
P1 en t1 es equivalente a P2
en t2
12
21
tt12t
2t
1 )i1(PP)i1(
PP
)i1(
P
Mate
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raM
ate
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ca F
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cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
VALOR PRESENTE
¿Cuánto debo invertir hoy para obtener mañana una suma de F ? P = Valor presente de F
F = P(1 + i)n n)i1(
FP
F
Tiempo
ValorPresente
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Interés CompuestoInterés Compuesto
PERIODOS PERIODOS FRACCIONARIOSFRACCIONARIOS
Convenio lineal
Los intereses de la fracción se calculan a interés compuesto con
la tasa equivalente
Convenio exponencia
l
Los intereses de la fracción se
calculan a interés simple
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Usted necesita 5.000 $ para sus vacaciones de Diciembre con la familia. Si puede colocar el capital en un Banco que paga el 12% n.a. capitalizado mensualmente, ¿cuánto debe depositar el 1° de Febrero si quiere irse de vacaciones el 1° de Diciembre?
R: 4.526 $
Ejercicio Ejercicio Nº6Nº6
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raM
ate
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ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20% anual capitalizado semestralmente, por los siguientes cuatro meses a 30% anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27% anual capitalizado cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses mas a una tasa de 24% anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de 4.049.457,14. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación.
R: 2.000.000 ; 26,51%
Ejercicio Ejercicio Nº7Nº7
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Interés CompuestoInterés Compuesto
En una institución financiera se colocan Bs. 100.000 al 30% nominal anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron Bs. 200.000 y Bs. 500.000 respectivamente. Si la tasa de interés disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio.
R: 12.552.332
Ejercicio Ejercicio Nº8Nº8
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ate
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cie
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Se invierten 100.000 a una determinada tasa nominal anual capitalizada semestralmente para que al transcurrir 12 años se obtenga como capital final el monto de 1.517.862,89. Si al final de cada 3 años, a lo largo de toda la operación financiera, la tasa nominal anual se reduce en 2%, determine las cantidades adicionales iguales a ser colocadas en los años 5 y 9 para seguir disponiendo del mismo capital final.
R : 78.867
Ejercicio Ejercicio Nº9Nº9
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Un inversionista coloca su capital a una tasa de 20% nominal anual capitalizado trimestralmente, durante 15 años. El total de intereses devengados entre final del año 6 y finales del primer trimestre del año 9 es 177.808,86. Determine el capital acumulado al final de los 15 años.
R: 1.867.918
Ejercicio Ejercicio Nº10Nº10
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cie
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ate
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº1 F = P(1+i)n
P: 1.000.0000,36
0,03 12
i mensual
n = 12 mesesF = 1.000.000(1+0,03)12 = 1.425.760,89
Dentro de un año tendré Bs. 1.425.760,89
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Interés CompuestoInterés Compuesto
La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar al 24% n.a.c.t. Por eso,
Solución Nº2
82
e
82
e
44
e e
0,24F = 1.000.000 1+ 1.000.000(1 i )
4
0,241+ (1 i )
4
0,241+ (1 i ) i (1 0,06) 1 0,2625
4
Tasa efectiva de 26,25%
anual
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº3 3 12
i 0,601+ = 1+ i 0,6465
3 12
Tasa: 64,65% nominal anual capitalizableCuatrimestralmente.
En este sentido, la tasa efectiva es la tasa anual equivalente
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº4
12
e e
0, 481+ = 1+i i 0,6010
12
Tasa efectiva anual de 60,10%
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cie
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ate
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución 5:: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla:
Frecuencia de Frecuencia de capitalizacióncapitalización
Tasa Tasa del del
periodoperiodo
Tasa Tasa efectivefectiv
aa
Capital Capital FinalFinal
Tasa Tasa equivalente equivalente trimestraltrimestral
Anual 36% 36% 1.360 31.96% n.a.
Semestral 18% 39.24% 1.392,4 34.51% n.a.
Cuatrimestral 12% 40.49% 1.404,9 35.48% n.a.
Trimestral 9% 41.15% 1.411,5 36.00% n.a.
Bimestral 6% 41.85% 1.418,5 36.53% n.a.
Mensual 3% 42.57% 1.425,7 37.09% n.a.
Quincenal 1,5% 42.95% 1.429,5 37.37% n.a.
Diaria 0,1% 43.30% 1.433,0 37.65% n.a.
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raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº6
10
5.000P 4.526, 43
0,121
12
Necesita depositar 4.526,43 $
Mate
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº7 9 4 2 5
0,20 0,30 0,27 0,246P 1+ 1+ 1+ 1+ = 4.049.457,14
2 12 3 4
P = 2.000.00032.000.000(1+i) = 4.049.457,14
i = 26,51%
El capital inicial es 2.000.000 y la tasa efectiva es 26,51%
Mate
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ate
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº8100.000
0200.000
5
500.000
10
14
X
20
7
18%
12*20 12*7 4*130, 30 0, 30 0,18
100.000 1 100.000 1 112 12 4
12*2 4*13 4*100, 30 0,18 0,18
200.000 1 1 500.000 112 4 4
4*60,18
x 1 x 12.552.332,124
Mate
máti
ca F
inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº9
24
i = tasa n.a.c.s.
i100.000 1+ =1.517.862,89
2
i = 24 %
Diagrama Temporal:
100.000
0 39
12
X
65
X
24% 22% 20% 18%
Mate
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inan
cie
raM
ate
máti
ca F
inan
cie
ra
Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº9
3*2 3*2 3*2 3*2
2 6 6 6
0,24 0,22 0,20 0,18100.000 1 1 1 1
2 2 2 2
0,22 0,20 0,18 0,18x 1 1 1 x 1 1.517.862,89
2 2 2 2
x 78.867,68
Debe colocar Bs. 78.867,68
Mate
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Interés CompuestoInterés Compuesto
Solución Nº10 Diagrama Temporal:
0 6
8 9 151
9 trimestres
510.322P86.808.1771420,0
1P 6
9
6
6,918.867.1420,0
1510.322P4*9
15
Al final de los 15años tendrá un capital de Bs. 1.867.918,60