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Vorlesung Physik II SS 2018 S. Khan/T. Weis
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Integrierter Kurs im SS 2018
Prof. Dr. Götz Uhrig
(Theoretische Festkörperphysik)
heute : Prof. Dr. Thomas Weis
(Experimentelle Beschleunigerphysik)
6. Juni 2018
Fakultät Physik
Technische Universität Dortmund
Vorlesung Physik II SS 2018 S. Khan/T. Weis
2
tItI
tUtU
cos)(
,cos)(
0
0
Wiederholung 5.2 Wechselstrom
Impedanzen
Anwendungen
Wechselspannungen und Wechselströme
haben die Form
Dabei sind und Startphasen bezüg-
lich t = 0. 2pf ist die Kreisfrequenz
der Wechselgröße, f seine Frequenz. Wir
wollen jedoch in komplexen Größen
rechnen, z.B. für die Spannung U(t)
0
0
( ) Re ( ) Re( exp
cos
U t U t U i t
U t
und in gleicher Weise für I(t).
Der Quotient der komplexen Größen
für Spannung und Strom definiert
dann einen komplexen Widerstand
ImpedanzU
ZI
Die Impedanz enthält neben der Infor-
mation über die Amplitudenverhältnisse
von U und I auch Informationen über
eine zeitliche Phasenverschiebung
zwischen U und I.
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cos sin
exp
Z R iX Z i
Z i
Damit kann man das ohmsche Gesetz
in der verallgemeinerten Form schreiben
( ) ( )
( ) cos sin ( )
U t Z I t
U t Z i I t
Der komplexe Widerstand bzw. die
Impedanz hat einen Real- und
Imaginärteil
1i
Re Z
Im Z
Z
2 2
2 2
Re( ) Im( )Z Z Z
R X
Im( )tan
Re( )
Z X
Z R
und weiter gilt
und für die Phasenverschiebung
zwischen Strom und Spannung
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220( ) ( ) ( ) cos ( )
UP t U t I t t
R
U(t)
I(t)
R
0
0
(reelle Größe)R
UZ R
I
Damit wird auch die elektrische
Leistung P reell
2
p
2
3p
2
5p
T
P(t)
t
für = 0 stellt sich P(t) wie folgt dar
Die Leistung schwankt über die Peri-
odendauer T. Der zeitliche Mittelwert
ergibt sich wie folgt
220
0 0
4220
0
1( ) cos
4cos
TT
T
UP P t dt tdt
T TR
Utdt
TR
Impedanzen
• Ohmscher Widerstand R
Offenbar sind hier U(t) und I(t)
zeitlich in Phase
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2
00 0
1 1
2 2
UP U I
R
Diese Leistung ist eine Wirkleistung,
erwärmt also den Widerstand R. Man
definiert daher eine „effektive
Spannung“ und „effektiven Strom“,
Ausführen der Integration führt auf
0 0eff eff,
2 2
U IU I
die an einem ohmschen Widerstand
dieselbe mittlere Leistung bewirken
wie eine gleichgroße Gleichspannung.
Beispiel:
Das normale Stromnetz hat eine effek-
)(!V 325V23022 eff0 UU
tive Spannung von Ueff = 230 V. Die
Spitzenspannung ist gegeben durch
Experiment:
U(t)
I(t)
U0
I(t) Gleich-
spannung
Lampe
Lampe
Wechsel-
spannung
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Experiment: Effektive Spannung
Lampen
Gleich- spannung
Wechsel- spannung
Netz- geräte
Gleich- spannung
Wechsel- spannung
Die baugleichen Lampen werden
auf gleiche Helligkeit eingestellt
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Komplexe Darstellung im Zeiger-
diagramm:
Im
Re
U
I
Beide Zeiger rotieren mit Kreis- oder
Winkelfrequenz . Strom und Spannung
sind in Phase !
• Impedanz eines Kondensators C
U(t)
I(t)
C
Es gilt ( ) ( ) /U t Q t C
und weiter 1( ) ( )U t I t
C
Mit 0 expU U i t
folgt sofort
dI C U i C U
dt
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Die Impedanz ist also imaginär. Man bezeichnet
sie auch als kapazitiven Blindwiderstand.
Beim Kondensator läuft der Strom der Spannung
um 90° voraus.
t
U(t)
I(t)
und für die Impedanz eines
Kondensators damit
1C
U iZ
I i C C
Im
Re
U
I
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Experiment: RC-Kreis
Sinusgenerator
Widerstände Kondensator
Spannung Strom
Beim Kondensator läuft der Strom
der Spannung voraus
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Die mittlere Leistung am Kondensa-
tor ist gegeben durch
0 0
2
0
0
0
1 1( ) ( ) ( )
cos sin 0
T T
T
P P t dt U t I t dtT T
U Ct tdt
T
Am Kondensator wird also im Mittel
keine elektrische Leistung umgesetzt.
Ein idealer Kondensator wird im Ge-
gensatz zum ohmschen Widerstand nicht
erwärmt. Bei der Aufladung des
Kondensators (Feldenergie) wird
elektrische Arbeit vom Netzteil ver-
richtet. Bei der Entladung wird diese an
das Netzteil zurückgeführt.
U(t)
I(t)
L
Für die Summe aller Teilspannungen
gilt zunächst ( )( ) 0
dI tU t L
dt
Stichworte: Blind- oder Scheinleistung
• Impedanz einer Induktivität L
und damit komplex
U LI
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t
U(t)
I(t)
Bei der Spule läuft der Strom der Spannung
um 90° nach.
Wegen der 90° Phasenverschiebung
zwischen Strom und Spannung gilt auch
hier 0P
Mit 0 expI I i t
folgt dann U LI i LI
und weiter
L
UZ i L
I
Im
Re
U
I
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Experiment: RL-Kreis Sinusgenerator
Widerstände Spule
Spannung Strom
Bei der Spule läuft der Strom
der Spannung nach
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2
p
2
p
0
L
R
C
Phase als Funktion der Frequenz
Mit den drei Schaltelementen R, L, C
lassen sich im Prinzip alle beliebig kom-
plexen Schaltungen aufbauen. Jede Schal-
tung lässt sich mit diesen 3 Elementen
andererseits auch simulieren.
Re Z
Im Z
Z
Zusammenfassung: Betrag der Impedanz als Funktion
der Kreisfrequenz
Z
R
CZ
1C LZ L
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U0 sint
L
R
Beispiel: RL-Kreis
Der Gesamtwiderstand ist
RL LZ R iX R i L
Der Betrag des Widerstandes ist
222
RL LRZ
und die Phase
tanL
R
RLZ
R
2
p
Widerstand
Phase
0
RL
RL
90tan
.)2
00tan
0.)1
LZ
RZ
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Der Transformator
Wollen an dieser Stelle den idealen
Transformator mit sekundärseitiger
Belastung berechnen. Auf der Pri-
märseite wird genau so viel Leistung
aufgenommen, wie sekundärseitig
an eine ohmsche Last abgegeben
wird.
Frage: Woher weiß die Primärseite,
dass sekundärseitig Leistung abgeru-
fen wird?
A=const.
B
U1
U2
I1
I2 n1
n2
R
Primärspule Sekundärspule
Eisenjoch
Primärseite: 1 1 0U n
Sekundärseite: 2 2 2U n R I
Der Fluss durchsetzt beide Spulen !!
Da alles Wechselgrößen sind, schreiben wir
komplex:
0
1 1 2 2
exp
und
i t i
U i n U i n
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a) Leerlauf 2 0 I R
dann trägt I2 nicht zum Fluss bei und es gilt
1 1 1 1 10 1 10U n i n L I i L I
Hier ist I10 der primärseitige Leerlaufstrom
und L1 die Induktivität der Primärspule.
Die Phasenverhältnisse entnehmen wir dem
Zeigerdiagramm.
Primärstrom und magnetischer Fluss sind in
Phase. Die Primärspannung läuft dem Fluss
um p/2 voraus. Die Sekundärspannung läuft
dem Fluss um p/2 nach.
Die mittlere Leistungsaufnahme primärsei-
tig verschwindet im Leerlauffall,
Im
Re
1U
10I
2U
10 0P
da sekundärseitig keine Leistung
nachgefragt wird.
b) Belastung 2 0 I
Sekundärseitig wird nun Leistung
nachgefragt (ohmsche Verluste in R)
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Hier gilt 2
2 in Phase !U
IR
Der sekundärseitige Strom I2 erzeugt je-
doch einen zusätzlichen magnetischen
Fluss in der Sekundärspule in Phase mit I2.
2 2 2Z L I
Dieser Zusatzfluss ist natürlich auch pri-
märseitig vorhanden. Der Gesamtfluss
darf sich aber nicht ändern, da er an die
Primärspannung gebunden ist mit
1 1U n i
Daher muss primärseitig ein Zusatzstrom
fließen, dessen Fluss gerade den Zusatz-
fluss - hervorgerufen durch I2 - kompensiert,
also 1 2Z Z
Im Zeigerdiagramm:
Re
Im
1U
10I
2U2Z
2I
1ZI1Z 1I
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Der Primärstrom ist damit die vekto-
rielle Summe aus Leerlaufstrom und
Zusatzstrom
1 10 1ZI I I
Zwischen Primärstrom und Primär-
spannung beträgt die Phasenver-
schiebung nun nicht mehr p/2, son-
dern . Auf der Primärseite wird
nun eine mittlere Leistung verschie-
den von Null aufgenommen und
verlustlos an die Sekundärseite
weitergereicht.
1 2 0P P
Sieb- und Filterschaltungen
Übertragungsverhalten eines passiven
Vierpols
4-Pol 1U2U
Definieren Übertragungsfunktion
g() 2
1
( ) komplexe FunktionU
gU
( )g Amplituden Übertragungsfunktion
g() beinhaltet aber auch Phasenbezie-
hung zwischen Eingangs- und Ausgangs-
spannung.
Die Frequenzinhalte eines Zeitsignals
U(t) werden also unterschiedlich über-
tragen. Bei komplexen Abschlussimpedanzen
ist die Argumentation ähnlich.
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19 T
U(t)
t
Frage: Was sind die Frequenzinhalte beliebiger Zeitfunktionen ?
Fourieranalyse / Fouriersynthese Antwort: Ein periodisches Zeitsignal (Periodendauer T) kann durch eine
unendliche Summe von Zeitsignalen jeweils einer Frequenz beliebig gut
approximiert werden (diskretes Frequenz-Spektrum).
0
1
( ) cos2
k k k
k
aU t a t
mit der Grundharmonischen
1 1
22 f
T
p p
1k k und den höheren Harmonischen
Für nichtperiodische Zeitfunktionen
geht die Summe in ein Integral über.
Das Frequenzspektrum ist dann konti-
nuierlich ! mehr in PHYSIK III
z.B.
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20
Beispiel 1: U(t)
Dreieck-Spannung
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)sin(4
)(1 ttUp
Fourier-
synthese
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22
223
)3sin()sin(
4)(
tttU
p
Fourier-
synthese
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23
2235
)5sin(
3
)3sin()sin(
4)(
ttttU
p
Fourier-
synthese
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Beispiel 2: U(t)
Rechteck-Spannung
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)sin(4
)(1 ttUp
Fourier-
synthese
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26
5
)5sin(
3
)3sin()sin(
4)(3
ttttU
p
Fourier-
synthese
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27
9
)9sin(
7
)7sin(
5
)5sin(
3
)3sin()sin(
4)(5
ttttttU
p
Fourier-
synthese
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Die Frequenzinhalte der Zeitfunktion
können durch Filterschaltungen unter-
schiedlich übertragen werden.
Ideale Filterkurven: 2( )g
0
1
0
1
0
1
0
1
g
g
gu go
gu go
Hochpass
Bandpass
Tiefpass
Bandsperre
Definition der Grenzfrequenzen: 2 1( )
2g
g
Absenkung der übertragenen Leistung
(Quadrat der Amplitude) auf 50% !
Umsetzung in der Praxis:
Grundlage der Realisierung ist der
Spannungsteiler mit komplexen
Widerständen, allgemein
1Z
2Z1 1U U 2 2U U
1I 2I
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für das unbelastete Netzwerk (I2 = 0)
gilt
2 22 1
1 2 1 2
( )Z Z
U U gZ Z Z Z
Tiefpass
Realisierung 1: RL-Tiefpass
R
L
2
1
( )
1
Li
R RgR i L L
R
2
2 2 2
2 2
1 1( )
1 1g
gL
R
mit g
RL
Für das Quadrat gilt dann:
2( )g
1
g
keine Stufenfunktion, die
Amplitudenübertragungsfunktion
ändert sich nur langsam mit .
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Realisierung 2: RC-Tiefpass
2 2 2
/ 1( )
/ 1
i C i RCg
R i C R C
R
C
Für das Quadrat gilt dann wieder:
2
22 2 2
2
1 1( )
11
g
gR C
mit 1
gRC
Die Filter- und Phasenkurve ist
identisch zu der des RL-Tiefpasses
Man kann sich auch die Phasendrehung
des Ausgangssignals gegenüber dem Ein-
gangssignal anschauen:
Im ( )tan
Re ( )
g L
g R
2
p
Grenzwerte:
2
00p
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R
L
2
1
( )
1
Li
i L RgR i L L
R
Hochpass
Realisierung 1: RL-Hochpass
2
2 2
2 2 2
1 1( )
1 1g
gR
L
mit g
RL
Realisierung 2: RC-Hochpass
RC
2
11
( )1
1
iR RCgiR
CRC
2
2
2 2 2 2
1 1( )
11 1
g
g
R C
mit 1g RC
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Experiment: RC-Hoch- und Tiefpassfilter
Wobbel- generator
Hochpass
Tiefpass
Widerstand
R
Kondensator
C
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Auch hier sind beide Realisierungs-
möglichkeiten identisch.
Die Amplitudenübertragungs-
funktion nimmt jetzt in der Umge-
bung der Grenzfrequenz zu hohen
Frequenzen hin zu (Hochpass).
Die hier vorgestellten Filter sind ein-
stufig und deshalb sehr unscharf in
ihrem Filterverhalten. Die
Trennschärfe ist sehr schlecht!
Durch Hintereinanderschalten der
Filter kann die Trennschärfe deutlich
gesteigert werden.
......
1U 2U
1 2 n
2
1
( ) ( ) n
ges
Ug g
U
Diese mehrstufigen Filter können weiter
optimiert werden und sind sehr trenn-
scharf.
Vorlesung
ELEKTRONIK
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Der elektrische RLC-Schwingkreis
Wir betrachten eine Reihenschaltung von
Wechselspannungsquelle und R, L und C
Bauelementen
R CL
Der Schwingkreis soll mit einer Wechsel-
spannung der Frequenz E angeregt
werden. 0( ) ( ) exp EU t U t U i t
Wir setzen wieder in technischer Notation
an und schreiben mit komplexen Größen
0
0
exp
exp
R C L E
E
U U U U i t
QRI LI U i t
C
Wir leiten einmal nach der Zeit ab
und stellen um
0
1expE
E
iRI I I U i t
L LC L
Dies ist die inhomogene DGL des
getriebenen harmonischen Oszil-
lators aus der Mechanik !
Wir ersetzen
2
0
2 Dämpfungskonstante
1 Eigenfrequenz
RL
LC
und erhalten in Analogie zur Mechanik
2
0 02 expEE
iI I I U i t
L
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Die Lösung der DGL kennen wir und
damit auch das Verhalten des Systems.
Nach der Einschwingzeit sind die Lö-
sungen der homogenen DGL abge-
klungen und das System schwingt nur
noch mit der Frequenz E der von
außen einwirkenden Wechselspannung.
Die Amplitude des Stroms I im RLC-
Reihenkreis ist gegeben durch
0
22 2 2 2
0 E E4
EUI
L
Dies ist der Amplitudenverlauf des
Stroms als Funktion der anregenden
Frequenz
E
Amplitude
E
Phase
Dämpfung klein
Dämpfung mittel Dämpfung groß
Dämpfung klein
Dämpfung mittel
Dämpfung groß
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2 2
0 E
E
tan2
2
0 2
0
1
Die größte Stromamplitude wird im
Resonanzfall erreicht mit der Frequenz
also bei kleiner Dämpfung in der Nähe der
Eigenfrequenz des Systems. Die Phasen-
verschiebung zwischen anregender
Spannung und Strom folgt zu:
Die Eigenfrequenz des Systems bei
kleiner Dämpfung ist also gegeben
durch 0
1 LC
also durch die kapazitiven und induk-
tiven Anteile der Impedanz.
Beim RLC-Kreis pendelt die Energie
des Systems in der Periodendauer T
zwischen elektrischer Feldenergie im
Kondensator C und magnetischer
Feldenergie in der Spule L hin und
her. L und C übernehmen damit die
Rolle der Masse m als Träger der
kinetischen Energie und der Feder-
konstante k als Träger der potentiel-
len Energie beim mechanischen Os-
zillator. 0 k
m
Der ohmsche Anteil R ist selbstver-
ständlich für die Dämpfung verant-
wortlich.
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hohe Güte
kleine Güte
2
2
E 0
Güte eines Schwingkreises
Resonanz
2Q
maxI
max / 2I
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Experiment: Gekoppelte Schwingkreise
1. Schwing-
kreis
2. Schwing-
kreis
Generator Oszillograf nur ein
Kreis
2 Kreise
gekoppelt
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L L
C1 C0 C0
Im
I1 I2
m m
0
1
C 0
1
C1
1
C
Bei der Kopplung zweier RLC-Schwing-
kreise existieren also zwei Eigenlösungen
in voller Analogie zur Mechanik.
mechanisches Analogon:
Der Strom durch C1 ist gegeben durch
21m III
Aus der Maschenregel folgt daher
1 1 1 210
2 2 2 110
1 10
1 10
I i LI I Ii C i C
I i LI I Ii C i C
Daraus folgt mit der Matrix
0 1 1
1 0 1
1 1 1
1 1 1
i Li C i C i C
i Li C i C i C
M (1) Kopplungskondensator C1
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40
02
1
I
IM
Dieses homogene Gleichungssystem
hat nur eine nichttriviale Lösung,
wenn .0det M
2
0 1 1
2
1 0 1
1 1 1
01 1 1
LC LC LC
LC LC LC
Multipliziert man (1) mit i
L
, er-
hält man
Daraus folgt
0111
2
1
2
2
10
2
CLLCLC
Auflösen nach liefert
110
2 111
LCLCLC
Damit erhält man die beiden
Eigenfrequenzen
10
2
0
2 21,
1
LCLCLC
Die Eigenlösungen sind
2
1
1
2
1
1
11
111:
11
111:
I
I
LC
I
I
LC
Gleichtakt
I1 = I2
Gegentakt
I1 = -I2