Post on 16-Jun-2018
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 1
INTEGRAL
Kelas XII IIS
Semester Genap
Oleh :
Markus Yuniarto, S.Si.
SMA Santa Angela
Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 2
INTEGRAL
Standar Kompetensi:
1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.
Kompetensi Dasar
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.
1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar
sederhana.
1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Peserta didik mampu memahami konsep integral tak tentu dan
integral tentu.
2. Peserta didik mampu menghitung integral tak tentu dan integral
tentu dari fungsi aljabar.
3. Peserta didik mampu menggunakan integral untuk menghitung
luas daerah di bawah kurva.
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 3
INTEGRAL Integral adalah antidiferensial atau anti turunan yang merupakan operasi invers (balikan) dari pendiferensialan. Jika f(x) adalah
turunan dari F(x) terhadap x maka cxFdxxf )()( dengan c
konstanta sembarang dan f(x) disebut integran. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.
A. Integral Tak Tentu
Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses penemuan
suatu fungsi asal (F(x)) apabila fungsi turunan atau derivative F’(x) =
f(x) diketahui.
Berikut ini rumus-rumus umum dan sifat-sifat integral tak tentu.
Rumus:
a. caxdxa
b.
cn
xdxx
nn
1
1
dengan n≠1
c.
cxn
adxax nn 1
1, dengan n≠1
Sifat-sifat:
a. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 4
b. dxxfadxxfa )()(
c. cxdx
Ex. 1
Tentukan :
dxxxd
dxx
c
dxxxxxb
dxxa
2.
3
8.
27635.
2.
4
234
3
Penyelesaian :
cxcxdxxdxxxd
cx
cxdxxdxx
c
cxxxxxdxxxxxb
cxcxdxxa
2
5
2
5
2
3
3
34
4
2345234
443
5
4
2
5
222.
9
8
)3(3
8
3
8
3
8.
22
72
4
327635.
2
1
4
22.
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 5
Ex. 2
Diketahui xf = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !
Penyelesaian :
182.3)2(2
518)2(
32
5)35()(
2
2
cf
cxxdxxxf
18610 c
1816 c
2 c
Jadi 232
5)( 2 xxxf
Ex. 3
Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang
melalui titik (3,4) ditentukan 583 2 xxdx
dy, maka tentukan
persamaan kurva tersebut !
Penyelesaian :
43.53.434)3(
54)583()(
23
232
cf
cxxxdxxxxf
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 6
4153627 c
2 c
Jadi f(x) = 254 23 xxx
LATIHAN SOAL 1. Integralkan !
dxxx
xxj
dxx
xxi
dxxxh
dxxxg
dxxf
dxxxxe
dxxxxxd
dxx
c
dxxb
dxxa
2
2
23
2
2
32
234
4
5
1.
45.
1.
6.
32.
8326.
75243.
1.
5.
2.
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 7
2. Tentukan rumus f(x) jika diketahui : a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10 b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10
c. f ‘(x) = 2
2 1
xx dan f(1) =
3
1
d. f ‘(x) = x - x dan f(4) = -3
e. f ‘(x) = 1 - 2
1
x dan f(4) = 1
3. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !
4. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh
xxdx
dy23 2 dan kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan
persamaan kurva itu ! 5. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh
1612)( 2 tttv . Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak
yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !
6. Diketahui rumus percepatan a(t)= 12 t dan kecepatan v(0)=6.
Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=dt
dv
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 8
B. Integeral Tentu
Merupakan konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan
luas suatu daerah di bawah kurva yang batas-batas dari daerah
tersebut diketahui. Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup
[a,b] dan f(x) anti derivative dari f(x) maka b
a
dxxf )( disebut integral
tentu fungsi f dari a ke b yang dirumuskan sebagai berikut.
)()()()( aFbFxFdxxf b
a
b
a
Berikut ini sifat-sifat integral tentu.
Jika diketahui fungsi-fungsi f dan g terdefinisi pada interval [a,b]
maka berlaku sifat-sifat berikut.
1. dxxfdxxf
a
b
b
a
)()(
2. 0)( a
a
dxxf
3.
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()( degan k suatu konstanta
4.
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
5.
b
a
c
b
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
6. )( abkdxk
b
a
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 9
Ada beberapa fungsi yang sulit dicarai integralnya
dengan cara biasa. Untuk mempermudah penghitungan integral
fungsi tersebut dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun
parsial.
1. Integral Substitusi
Kadang-kadang persoalan pokok dalam pengintegralan
adalah fungsi integrannya perlu diubah terlebih dahulu agar
sesuai dengan salah satu bentuk rumus umum di depan.
Salah satu cara mengubahnya dengan substitusi.
a. Integral fungsi yang dapat diubah menjadi bentuk
)()( xfdxf n .
Integral substitusi dipakai apabila integran dapat dibuat
ke bentuk f(u). u’ tanpa ada variable x yang tersisa.
cun
duu nn 1
1
1, dengan u = f(x), n ≠ - 1
cuduu
ln1
b. Jika g(x) turunan pertama dari f(x) maka berlaku
cxfn
xfdxfdxxgxf nnn 1))((1
1))(()())()((
2. Integral Parsial
Integral ini dipakai apabila integran dapat dipisah menjadi dua
fungsi. Fungsi pertama (u) dipilih fungsi yang mempunyai
turunan ke-n adalah nol, sedangkan fungsi kedua (dv) dipilih
fungsi yang dapat diintegralkan. Seperti telah kita ketahui
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 10
pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita
integralkan kedua rua, maka akan didapat :
dxvuuvdxvuydxuvdxuvdxvudxy ''''''
Rumus integral parsial: duvvudvu .
Ex. 4.
Tentukan
a. dx10
b. dxxx )2(2
c. dxx
6
Penyelesaian :
a. dx10 = dxx 010
= 10 . cx
10
10
1
= 10x + c
b. dxxx )2(2 = dxxx )42( 2
= 2. cxx
1112
11
1.4
12
1
= cxx 23 23
2
c. dxx
6 = dx
x
16 = 6 ln x + c
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 11
Ex. 5.
Tentukan persamaan kurva yang memilliki gradient garis singgung
kurva 25 xdx
dydan melalui titik (2,9).
Penyelesaian :
25 xdx
dy
dy = (5x – 2) dx
dxxdy )25(
y = cxx 22
5 2
Kurva melalui titik (2,9)
y = cxx 22
5 2
9 = c )2(2)2(2
5 2
c = 3
Jadi persamaan kurva y = 322
5 2 xx
Ex. 6.
Selesaikan integral berikut.
a. dx
x
x
43
62
c. dxxx 12 2
b. dxx 9)32(
Penyelesaian :
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 12
Ketiga integral diatas diselesaikan menggunakan
integral subtitusi.
a. dx
x
x
43
62
Misal : u = 3x2+4
du = 6x dx
Subtitusikan u = 3x2+4 dan du = 6x dxpada bentuk
integralnya.
du
uu
dudx
x
x
1
43
62
= cxcu 43lnln 2
b. dxx 9)32(
Misal u = 2x-3
du = 2dx dx = 2
1du
Subtitusikan u = 2x-3 dan dx = 2
1du pada bentuk
integralnya.
cuduuduu 1099
10
1.
2
1
2
1
2
1.
cxcu 1010 )32(
20
1
20
1
c. dxxx 12 2
Misal : u = x2+1 du = 2x dx.
Subtitusikan u = x2+1dan du = 2x dx pada bentuk
integralnya.
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 13
dxxxdxxx 2.112 22
duuduu 2
1
cu
1
2
1
12
1
1
cxcu 2
3
22
3
)1(3
2
3
2
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 14
LATIHAN
1. Tentukan nilai integral berikut ini!
a. .....5dx
b. .....1
2 dx
x
c. .....5 dxx
d. .....3dxx
2. Tentukan F(x), jika:
a. F’(x) = x3 dan F(3) = 9
b. F’(x) = x + 1 dan F(-1) = 2 ½
3. Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan
menggunakan metode substitusi!
dx5xx12.f
dx4xx4.e
dx4x2.d
dx1x5
2.c
dx4x6.b
dx3x2.a
432
62
5 3
4
5
5
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 15
C. Penerapan Integral
1) Penggunaan Integral Tak Tentu
Turunan atau derivative dari y = f(x) ditulis dx
dyatau y’.
Secara geometris, dx
dy merupakan gradient garis singgung
kurva y = f(x) dititik yang berabsis x. Jadi, kita dapat
menentukan persamaan kurva y = f(x) bila diketahui
gradient (dx
dy) garis singgung dan sebuah titik pada kurva
itu.
Ex. 7.
a. Pada tiap titik (x,y) sebuah kurva, berlaku hubungan
dx
dy= 2x + 3. Jika kurva melalui titik (1, -3) carilah
persamaan kurva tersebut!
Penyelesaian:
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 16
2) Penggunaan Integral Tentu
a) Luas daerah di bawah suatu kurva.
Luas daerah yang
dibatasi oleh y = f(x), x =
a, x = b, dan sb. X
dinyatakan sebagai:
L = b
a
dxxf )(
)()()( aFbFxFb
a
bila
)()( xFdxxf
.
Ex. 8
(1)
Carilah luas daerah yang diarsir!
Penyelesaian:
luassatuan2
17
2
181
2
14
2
1]x
2
1dxxL 224
12
4
1
y = f(x)
x = a x = b x
y
y = x
1 4 x
y
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 17
(2)
Hitunglah luas daerah yang diarsir!
Penyelesaian:
L = slxdx 12315)1(3)5(3]33 5
1
5
1
(3)
Hitunglah luas daerah yang diarsir!
Penyelesaian:
Mencari batas-batas integrasi:
x = 0 dan x = 2
L = slxdxx3
80
3
12
3
1]
3
1 332
0
3
2
0
2
y = 3
(1,0) (5,0) x
y
y y = x2
(2,4)
x
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 18
b) Luas Kurva di Bawah Sumbu X
Luas = b
a
dxxf )(
Luas = A1 + A2 + A3
Catatan: Luas kurva dicari satu per satu.
Ex. 9.
(1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
parabola y = x2 – 6x dan sumbu X.
y = f(x)
x = a x = b x
y
A1
A2
x
y
A3
y = x2 – 6x
(6,0) x
y
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 19
Penyelesaian:
Mencari batas-batas integrasi:
0
62
y
xxy x2 – 6x = 0
x(x – 6) = 0
x = 0 atau x = 6
slxxdxxxL 36)10872()6(363
1()0(]3
3
1)6( 230
6
23
6
0
2
(2) Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 9x
pada sumbu X, x = – 2 dan x = 4.
Penyelesaian:
14)184(0]2
9
4
1)9( 0
2
0
2
243
1
xxdxxxA
4
81)
2
81
4
81(]
2
9
4
1)9( 3
0
3
0
243
2 xxdxxxA
A1
A2 x
y
A3
y = x3 – 9x
3 4 - 2 0
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 20
4
49
4
81
4
32)
2
81
4
81()72
4
256(
]x2
9x
4
1dx)x9x(A 4
3
4
3
2433
Jadi, luas = A1 + A2 + A3 = 14 + 4
81+
4
49=
2
93satuan luas
c) Luas Daerah Antara Dua Kurva
Luas =
c
a
dxxfxg ))()((
Ex. 10.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x, y = x, x =
1, dan x = 2.
Penyelesaian:
Daerah yang diarsir
merupakan daerah
yang dibatasi oleh garis
y = 3x, y= x, x = 1 dan x
= 2.
y = f(x)
x = a x = c x
y
y = g(x)
(a,b) (c,d)
y = 3x
1 2 x
y
y = x
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 21
L = slxdxxdxxx 312]2)3( 222
1
2
2
1
2
1
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai integral di bawah ini :
2
1
2
1
1
2
4
0
1
2
2
3
0
1.
625.
12.
6.
4.
dxx
xe
dxxxd
dxxxc
dxxb
dxxa
2. Tentukan nilai a jika diketahui :
2
11.
18.
2
1
2
0
a
a
dxx
b
dxxa
3. Tentukan a jika
2
1
62 dxax
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 22
4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :
2
2
3
3
3
2
3
2
2
4
0
.
4.
.
3.
dxxd
dxxc
dxxb
dxxa
5. Tentukan nilai integral dari :
dxxd
dxx
c
dxxb
dxxa
3
2
5 3
1
0
4
2
2
5
5
3
1
42.
1
2.
46.
32.
6. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
a. y = x pada x = 2 dan x = 6
b. y = 4x – x2 dangan sumbu X
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 23
7. Hitungh luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x, x= 3 dan x =
8!
8. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – x2 dan
garis y = x!
9. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :
0134.
.
6,.
02.
2.
039.
2.
2
2
2
2
22
2
2
yxdanxxyg
xydanxyf
Ysumbudanxyxye
yxdanxyd
xxydanxyc
yxdanxyb
xydanxya
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 24
d). Volume Benda putar antara Kurva dan Sumbu
Koordinat
Y
y = f(x
0 X
a b
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x
= b dan sumbu X yang diputar sejauh 360 mengelilingi
sumbu X adalah :
b
a
dxyV 2
Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi
sumbu Y sejauh 360 dan dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y
dan kurva itu sendiri maka volumenya : b
adyxV 2
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 25
Ex. 11.
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva 2xy , sumbu X dan garis x = 2 diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
Penyelesaian : Y
0 2 X
2
0
4
0
2
0
5422
5
320
5
32
5
1 xdxxdxxV
satuan volume.
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 26
e). Volume benda putar antara Dua
y y = f(x)
y = g(x)
0 a b X
Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X
sejauh 360 yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a
dan x = b adalah :
b
adxyyV )(
2
2
2
1 dimana
2121 )(),( yydanxgyxfy
Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi
sumbu Y.
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 27
Ex.12.
Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
oleh kurva 2xy dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh
360 !
Penyelesaian :
2
0
2
0
53422
0
222
15
64
5
1
3
44)()2( xxdxxxdxxxV
Latihan Soal
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi
sumbu X sejauh 360 ! a. y = x, x = 1 dan x = 10
b. y = 2x , sumbu X, sumbu Y dan x = 6
c. y = x , sumbu X, sumbu Y dan x = 9
d. y = 12 x , x = 0 dan x = 1
e. y = 3x , sumbu X, x = -3 dan x = 3
2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi
sumbu Y sejauh 360 ! a. y = x dan y = 6
b. y = x dan y = 1
c. y = 12 x , y = 0 dan y = 1
Modul Integral SMA SANTA ANGELA BANDUNG
Modul Matematika Kelas XII IIS Semester 2 TA 2017/2018 28
3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh dua kurva diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan !
a. y = x dan y = 2x mengelilingi sumbu X
b. y = 2x dan xy 2 mengelilingi sumbu Y
c. y = 2x , y = x , mengelilingi sumbu Y
d. y = 2x dan y = 4x mengelilingi sumbu X
e. y = 2x dan y = 26 xx mengelilingi sumbu X
f. y = 21 x dan y = 29 x mengelilingi sumbu X