Post on 31-Dec-2015
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Institut für Erziehungswissenschaft
Mathematics meets SnowsportsSchruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008
Übersicht
• Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte
• Steigung
• Parabeln und Kurven
• Kräftewirkung
• Geschwindigkeit
• Impressum
Mathematics meets Mathematics meets SnowsportsSnowsports
Funktionen, Extremstellen, Funktionen, Extremstellen, WendepunkteWendepunkte
GliederungGliederung
Lineare FunktionLineare Funktion Quadratische FunktionQuadratische Funktion Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades RechenbeispielRechenbeispiel BetragsfunktionBetragsfunktion
Lineare FunktionLineare Funktion
Konstante Steigung, Proportionalität Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerteder Funktionswerte
f(x)=-1/2x+3
Quadratische FunktionQuadratische Funktion
Parabelförmig Parabelförmig
f(x)=-1/3*x^2+2*x+1
Funktion n-ten GradesFunktion n-ten Grades
Wendepunkte, ExtrempunkteWendepunkte, Extrempunkte
RechenbeispielRechenbeispiel
f(x)= x³+2x²-4x+6f(x)= x³+2x²-4x+6 f´(x)= 3x²+4x-4f´(x)= 3x²+4x-4 f´´(x)=12x+4f´´(x)=12x+4
Extremstellen:Extremstellen:
f´(x)=0f´(x)=0 1.Fall: x=-21.Fall: x=-2
2.Fall: x= 0,662.Fall: x= 0,66
Wendepunkte:Wendepunkte:
f´´(x)=0f´´(x)=0 x=-0,33 x=-0,33
BetragsfunktionBetragsfunktion
Funktion aus mehreren EinzelfunktionenFunktion aus mehreren Einzelfunktionen
f(x)=-|x+1|
Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit
SteigungSteigung
Mathematics meets SnowsportsMathematics meets Snowsports
Inhalt
I. Die StraßeI. Umrechnung von % in GradII. Mathematische Herleitung
II. Der BergI. Mathematische HerleitungII. Wann rutscht man vom Berg?
III. Die SeilbahnI. Mathematische HerleitungII. Momentane Steigung (Ableitung)
IV. Die BuckelpisteI. Mathematische Herleitung
Die Straße
• Umrechnung von % in Grad:
• α=arctan(33%)• α=18,26°
• arctan (tan-1) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete
Mathematische Herleitung
• Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks
α
ab
c
Der Berg
Mathematische Herleitung
f(x)=mx+b m=Δy/Δx
f(x)
Wann rutscht man vom Berg?
Wann rutscht man vom Berg?
• Aufgabe:
Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt?
(fR=0,3 Reibungszahl von Gummi auf Schnee)
Wann rutscht man vom Berg?
FH>FR (Ansatz)
FH=FG·sin(α)
FN=FG·cos(α)
FR=FN·fR
FG=m·g
g≈9,81m/s²
Wann rutscht man vom Berg?
• Lösung:
FH>FR
m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·fR
sin(α)/cos(α) > fR
tan(α) > fR
α > arctan(0,3)
α > 16,7° = 30%
Die Seilbahn
Mathematische Herleitung
f(x)=ax²+bx+c
Ø Steigung
f‘(x)=2ax+b
Die Buckelpiste
Mathematische Herleitung
f(x)=sin(x)
f‘(x)=cos(x)
Fazit
• Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen.
• Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.
Ende
Vielen Dank für Vielen Dank für Ihre Ihre
AufmerksamkeitAufmerksamkeit
Parabeln & Kurven
Inhaltsangabe
Kurven Ebene Kurven Raumkurven
Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens
Parabeln
Kurven
Ebene Kurven Raumkurven
Ebene Kurven Ebene Kurven:
eindimensionales Objekt besitzt im allgemeinen eine Krümmung kann sich nur in eine Richtung bewegen kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben
werden man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen Beispiele für ebene Kurven:
Gerade Kreis Parabel
haben nur Krümmungen
Raumkurve
haben Krümmungen und Windungen sind dreidimensional
Trigonometrische Funktionen
Sinus Kosinus Tangens
Sinuskurve
eHypothenus
teGegenkathe)sin(
Kosinuskurve
eHypothenus
Ankathete)cos(
-Komplementärwinkel von Sinus
-Steht im 90° Winkel zu Sinus
Tangenskurve
Ankathete
teGegenkathe)tan(
Parabel
Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet
Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen
Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden
Ende
Wir bedanken uns für
Ihre Aufmerksamkeit
Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff
Mathematics meet Mathematics meet SnowsportsSnowsports
KräftewirkungKräftewirkung
InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis
Zentrifugal- & ZentripetalkraftZentrifugal- & Zentripetalkraft
GewichtskraftGewichtskraft
HangabtriebskraftHangabtriebskraft
Potentielle EnergiePotentielle Energie
1.1.DefinitioDefinitionn
2.2.BeispielBeispiel
3.3.FormelnFormeln
Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und Zentripetalkraft DefinitionDefinition
Zentrifugalkraft (Fliehkraft)Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Tritt in Drehbewegungen aufTritt in Drehbewegungen auf Wirkt nach außenWirkt nach außen
Zentripetalkraft Zentripetalkraft Wirkt nach innenWirkt nach innen Hält das Objekt in der KreisbahnHält das Objekt in der Kreisbahn
|Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft| |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|
Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftBeispielBeispiel
rM
FZP
FZ
F
Zentrifugal- und ZentripetalkraftZentrifugal- und ZentripetalkraftFormelnFormeln
FFZ Z = (m * v²)/ r= (m * v²)/ r
GewichtskraftGewichtskraft DefinitionDefinition
Wirkt in Richtung des ErdkernsWirkt in Richtung des Erdkerns Ist dafür verantwortlich, dass Ist dafür verantwortlich, dass
Objekte auf der Erde bleiben und Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegennicht wegfliegen
Die Durchschnittliche Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²9,81m/s²
44
GewichtskraftGewichtskraftBeispielBeispiel
G
FAuftrieb
Gewichtskraft Gewichtskraft FormelnFormeln
FFGG = m * g = m * g
g = 9,81 m/s²
HangabtriebskraftHangabtriebskraft DefinitionDefinition
Eine Komponente der Gewichtskraft Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft)Gewichtskraft)
Ist auf einer schiefen Ebene Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtethangabwärts gerichtet
HangabtriebskraftHangabtriebskraftBeispielBeispiel
Hangabtriebskraft FH
Gewichtskraft FG
Normalkraft FN
Hangabtriebskraft Hangabtriebskraft FormelnFormeln
FFHH = F = FGG * sin( * sin(αα))
FFNN = F = FGG * cos( * cos(αα))
FG = m * g
Potenzielle EnergiePotenzielle Energie DefinitionDefinition
Energie, die ein Objekt durch seine Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält.Gravitationsfeld erhält.
Bezugspunkt: ErdoberflächeBezugspunkt: Erdoberfläche
50
Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieBeispielBeispiel
Höhendifferenz
Potenzielle EnergiePotenzielle EnergieFormelnFormeln
V = m * g * hV = m * g * h
V = Potenzielle Energie
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Geschwindigkeit
M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich
Formelzeichen:
[] = Geschwindigkeit
[s] = Strecke
[t] = Zeit
t
sv
Formel:
Inhaltsangabe
• Momentangeschwindigkeit
• Durchschnittsgeschwindigkeit
• Beschleunigung
• Lawinen
t
sv
lim0t
Momentangeschwindigkeit
Beschreibung: Die Momentangeschwindigkeit beschreibt den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit für t gegen 0.
Momentangeschwindigkeit
Formelzeichen
[v] = Geschwindigkeit
[s] = Weg
[t] = Zeit
t
sv
lim0t
Formel:
Durchschnittsgeschwindigkeit
Formelzeichen:
[v] = Geschwindigkeit
[s] = Weg
[t] = Zeit
Beschreibung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt die Mittelgeschwindigkeit aus allen auf einer Strecke gemessenen Geschwindigkeiten.
21
21
tt
ssv
Formel:
Beschreibung: Bei der Beschleunigung in einer Bewegung verändert sich vom Punkt v1 auf v2. Diese Änderung geschieht in der Zeit zwischen t1 und t2.
Formelzeichen:[a] = Beschleunigung[v] = Geschwindigkeit[t] = Zeit
)(
)(
12
12
tt
vva
Beschleunigung
Beschleunigung
Formel:
t
sa
Formelzeichen:
[a] = Beschleunigung
[s] = Weg
[t] = Zeit
Beschreibung: Wenn wir vom Stillstand des Objektes ausgehen, ist die Zeit t=0.
So müssen wir den zurückgelegten Wegdurch die benötigte Zeit berechnen.
Lawinen
Auslaufzone
- Hangneigung von ca. 30 – 50°
- Punktförmiger Anriss->Lockerschneelawine
-Linienförmiger Anriss->Schneebrettlawine
Ausgangspunkt
Bewegungsgebiet
-Flächige o. in Runsen konzentriert
- Stillstandzone- Unter 20° - Länge d. Auslauf- zone hängt von d. Lawine ab
Faktoren f. Lawinen allg. :
- Neuschnee- Viel Schneefall in kurzer Zeit- Hangneigung- Bodenbedeckung- Hanglage
Lawinenarten
Schneebrettlawine
Lockerschneelawine
Ende
Danke für Ihre Aufmerksamkeit
Institut für Erziehungswissenschaft
Impressum
Die Projektwoche „Mathematics meets Snowsports“ wurde entwickelt von Verena Scharmacher (scharmacher@uni-muenster.de) und Daniel Gersmeier (gersmeier@uni-muenster.de).
Die wissenschaftliche Begleitung dieses Projekts erfolgt durch Prof. Dr. F. Stuber von der Fachhochschule Münster und Dr. C. Keller von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.