Post on 04-Sep-2015
description
1RELACIJE I FUNKCIJE
2Relacije
9Binarna relacija je bilo koji podskupDekartovog proizvoda proizvoljnihskupova A i B
( ) i ,
A B x yx y
3Primer:
9Relaciji
odgovara tablica i grafik
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2 , 3,3 , 4, 4 =
1 2
3 4
4( )( )( )( )
( )( )( )( )
2Neka je . Za relaciju kaemo da je:
( )
( ) ,
( ) ,
( ) , ,
p A
R refleksivna x A x x
S simetri na x y A x y y x
AS asimetri na x y A x y y x x y
T tranzitivna x y z A x y y z x z
=
iiii
5Vrste relacija
9Relacija ekvivalencije (R, S, T)
9Relacija poretka (R, AS, T)
9Ako je ~ relacija ekvivalencije onda se klasaekvivalencije, elementa x, u oznaci Cxdefinie kao.
9Skup klasa ekvivalencije Cx se zovekoliniki skup.
{ }xC y x y=
6Funkcije
:f A B
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
,
, , ,
x A y B x y f
x A y z B x y f x z f y z
=
7Definicija i osobine9 Funkcija , naziva se binarnom operacijom.
9 Poznate binarne operacije su sabiranje, oduzimanje, mnoenje
9 Funkcija je injektivna ako
9 Funkcija je na ili surjektivna ako 9
2:f A A
1 1:f A B
( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x
( ) ( )( ),y B x A y f x =
8Primer
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
Ispitati da li je funkcija ( ) 2 -1 bijekcija.
Preslikavanje ''1-1'':
,
2 -1 2 -1Preslikavanje ''na'':
1 12 2
1 1,2 2
f x x
x x R x x f x f x
f x f x x xx x x x
x y
y R x R x y
=
= == =
= +
= +
9Proizvod funkcija
( ) ( )( ) ( )( )
: i :
je proizvod, kompozicija ili slaganje preslikavanja i a definie se kao:
f A B g B C
g f f g
x A g f x g f x
=
D
D
10
Primer
11
Inverzna funkcija
( ) ( )( )( )
1
1
1
: bijekcija, onda je inverzna funkcija skupa u skup sa osobinom gde je jedno preslikavanje
Moe se oznaiti i sa
f A B f B Af f I I
x A I x x
f f x x
=
=
=
iD
i
12
Primer
13
OSNOVE KOMBINATORIKE
14
Faktorijel
Proizvod prirodnih brojeva od 1 do oznaava se ! a ita se '' ''.
! 1 2 3 ... ( 2)( 1)Po definiciji je 0! 1
nn n faktorijel
n n n n= =
15
Primeri
4! 1 2 3 4 245! 5 4! 5 24 1206! 6 5! 6 120 720
( 1)! !7! 7 6 5! 425! 5!
n n n
= == = == = = =
= =
16
PERMUTACIJE
9Permutacije bez ponavljanja9Permutacije sa ponavljanjem
17
Permutacije bez ponavljanja
{ }1 2, , ,Ako je broj permutacija skupa od elemenata, onda je:
! gde vai: 0! 1, 1! 1, ! ( 1)......3 2 1
nA a a a
Pn n
Pn nn n n
=
== = =
"
18
Primer
{ }1 2, 3Dat je skup ,Koliko ima permutacija elemenata ovoga skupa, a da se elementi ne ponavljaju?
Ima ih (3) 3! 3 2 1 6To su:
A a a a
P
=
= = =
19
Permutacije sa ponavljanjem
{ }
( )1 2
1 2
1 2
1 31, ,
31 2 1 2
, , ,broj jedinica permutacija , , ,
!! ! !m
n
m
mk k k
m m
A a a ak k k
n k k kn n k nP nk kk k k k k
=
= =
"
"
20
Primer
21
VARIJACIJE
9Varijacije bez ponavljanja elemenata
9Varijacije sa ponavljanjem
22
Varijacije bez ponavljanja
{ }1 2
0
, , ,Varijacija bez ponavljanja -te klase skupa je
svaka uredena -torka razliitih elemenata skupa . ( -1)( - 2) ( - 2)( - 1), ( 1)
Dati izraz moemo krae zapisivati kao:!
(
n
kn n
nk
A a a ak A
k AV n n n n k n k V
nvn
=
= + + =
=
"
)!pri emu je ! jednako: ! ( 1)( 2) 3 2 1
kn n n n n
=
23
Primer
103
Od 10 akcionara jedne kompanije bira se predsednik, izvrni direktor i sekretar. Na koliko naina ovo moe da se izvri?
10 9 8 720V = =
24
Varijacije sa ponavljanjem
{ }1 2, , ,Ako sa oznaimo broj svih varijacija sa ponavljanjem
klase ( 0), tada je
n
kn
kkn
A a a a
Vk k V n
=
=
"
25
Primer
26
KOMBINACIJE
9Kombinacije bez ponavljanja9Kombinacije sa ponavljanjem
27
Kombinacije bez ponavljanja
{ }( ) ( )
1 2, , ,Ako je broj razliitih takvih kombinacija, onda je:
1 1 !! ! ! ( )!
n
kn
nn kk
A a a aC
n n n n kV nCkk k k n k
=
+ = = = =
"
"
28
Primer
29
Kombinacije sa ponavljanjem
{ }1 2, , ,Broj kombinacija sa ponavljanjem od elemenata klase je
1 ( 1)!!( )!
n
nk
A a a an k
n k n kCk k n k
=
+ + = =
"
30
Primer
31
OsobineOsobine99 PERMUTACIJEPERMUTACIJE: koristimo i rasporeujemo sve
elemente zadatog skupa99 VARIJACIJE i KOMBINACIJEVARIJACIJE i KOMBINACIJE: koristimo i
rasporeujemo podskupove zadatog skupa elemenata
9Razlika izmeu VARIJACIJAVARIJACIJA i KOMBINACIJAKOMBINACIJA: kod varijacija je bitno mesto elementa u rasporedu, a kod kombinacija nije.
32
BINOMNA FORMULA
( ) 1 2 2 1
0
Binomna formula glasi:
0 1 2 1
,
n n n n n n
nn k k
k
n n n n na b a a b a b ab b
n n
na b n k N
k
=
+ = + + + + + =
"
33
BINOMNA FORMULA
1
Opti lan binomnog razvoja je oblika:
1 0 1
Binomni koeficijenti poseduju osobinu simetrinosti:
n k kk
nT a b
k
n nn
n nk n k
+
=
= =
=
34
Paskalov trougao
( )( )
( )( )
( )
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
1
2
3 3
4 6 4
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b a b ab b
+ =+ = +
+ = + ++ = + + +
+ = + + + +
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 1
++ +
+ + +
+ + + +20
35
PrimerRazviti izraz po binomnoj formuli:
RELACIJE I FUNKCIJERelacijePrimer:Vrste relacijaFunkcijeDefinicija i osobinePrimerProizvod funkcijaPrimerInverzna funkcijaPrimerOSNOVE KOMBINATORIKEFaktorijelPrimeriPERMUTACIJEPermutacije bez ponavljanjaPrimerPermutacije sa ponavljanjemPrimerVARIJACIJEVarijacije bez ponavljanjaPrimerVarijacije sa ponavljanjemPrimerKOMBINACIJEKombinacije bez ponavljanjaPrimerKombinacije sa ponavljanjemPrimerOsobine BINOMNA FORMULABINOMNA FORMULAPaskalov trougaoPrimer