1

ارائه درس مسیریابی وسایل نقلیه

استاد مربوطه

دکتر ستاكگرد آوردنده

مریم صمدي

2

3

ارائه درس مسیریابی وسایل نقلیه

3

TSPTWموجودمدل

TSPTWادبیات مرور

مفهوم پنجره هاي زمانی

زمانی و مدل جریان دو کاالییمسئله فروشنده دوره گرد با پنجره

TSPTWکاربردهاي

مقدمه

TSPTWجدیدمدل

آنالیز محاسبتینتیجه گیري

4

مسئله فروشنده دوره گرد با پنجره هاي زمانیمقدمه)(TSPTW

TSPTW شامل مسئله فروشنده دوره. و مسئله زمان بندي(TSP)گرد

فروشنده دوره گردیافتن مسیر بهینه

و در یک مجموعه اي از شهرها رادقیقا یکبار ،می کند پنجره زمانی مشخص مالقات

از شهرها داراي یک زمان سفر هر جفت . مربوط به خود هستند

توسط زودترین و ، زمانی براي یک شهرپنجره می تواند که دیرترین زمانی تعریف می شود

.مالقات شود

می فروشنده دوره گرد اگر زود به یک شهر برسد، .منتظر بماندتواند

5

TSPTWکاربردهاي

کاربردهايTSPTW

تولیددربنديزمانمسائل

6

TSPTWکاربردهاي

TSPTWریزيبرنامهمسائلمشابهریاضینظراز.استزمانبهحساستولیدTSPTW ، مؤلفه مهم مسائل مسیریابی وسیله نقلیه

,cluster-firstبه خصوص، براي رویکردهاي

second route

7

8

TSPTWکاربردهاي

انجامابتکاريطوربهبنديدستهمرحلهاگرمسائل،ایندر.استالزمدستههردرTSPTWسازيبهینهشود،

خودکارشوندههدایتوسیلهیکخودکار،تولیدهايسیستمدر.کندمالقاتراپذیرانعطافهايماشینازايمجموعهباید

خودکارشوندههدایتوسیلهماشین،ازکاملبرداريبهرهبرايزمانتوسطشدهتعیینزمانیپنجرهیکدرراماشینهرباید

.کندمالقاتماشینرويانجامحالدرکارپردازش

8

با در نظر گرفتن جمع آوري فروشنده دوره گرد مسئله )prize-collecting( جایزه

زمانیپنجره و

. کندمالقات را براي کار کردن باید تعدادي از خانه ها تعمیرکاري که پنجره زمانی است که در طول آن داراي یک خانه یک مکان و هر

خانهحرکت از یک خانه به . تعمیرکار می تواند خانه را مالقات کنددیگر بازه مشخصی از زمان را می گیرد، اما کار تعمیر به خودي خود

.کندزمانی را صرف نمی

TSPTWکاربردهاي

9

oاززمانیکدرمبدأنامبهشدهتعریفقبلازمکانیکازتعمیرکاریکازمثالمیتوانداوشروعکهکند،میشروعشدهتعریفقبل

جمعخانههرازراايجایزهتعمیرکار.باشدروزآغازدرکاردفترمالقاتاماشود،میمالقاتخودزمانیپنجرهدرکهکندمیآورينمینتیجهرارااضافیجایزههیچیکبارازبیشترخانهیککردن

.)سود(دهد

o هدف تعمیرکار ماکزیمم کردن سود جمع آوري شده است، که تابعهایی است که تعداد خانه براي هر واحد سود مشابه ماکزیمم کردن

. مالقات می شوند

TSPTWکاربردهاي

10

مسئله فروشنده دوره گرد با پنجره زمانی

در شامل شده tijدر مقدار زمانی iزمان سرویس در گره :است اگرAدر مجموعه ) i,j(نهایت،کمان

dمقصد و یک دپوي 0گره هاي دپو شامل یک دپوي مبدأ V = N U {o, d}

N = {1مجموعه گره هاي . . . . . n}

[ai, bi]براي هر گره یک پنجره زمانی

و براي هر کمان یک مدت زمان Aکمان ها مجموعه cijو یک هزینه tijنامنفی

زودترین زمان ورود وسیله نقلیه به دپو a0ثابت مقدار

11

بدون زمان انتظارTSPTWفرموله بندي

X = (Xij, (i, j)جریانمتغیرهاي صفرو یک A)وT = (Tiمتغیرهاي زمان , i V)

Ti شروع سرویس در گرهi

Td زمان ورود به گره دپوي مقصد,ao]بازهدرکههزینهمینیمتور:هدف bo]از

هايگرههمهشود،میشروعمبدأدپويگرهزمانیهايپنجرهدریکباردقیقاراNمجموعه

مقصددپويگرهدروکندمیمالقاتخودشان.برساندپایانبهbdمحدودزمانازپیش

12

بدون زمان انتظارTSPTWفرموله بندي

محدودیت هايجریان

13

14

بدون زمان انتظارTSPTWفرموله بندي محدودیت هاي

پنجره زمانی

14

مسئله فروشنده دوره گرد براساس مدل جریان دو کاالیی

شرح مسئله

را1گرهگرددورهفروشنده0وYکااليازواحدn-1با

واحدیکاو.کندتركZکااليتوزیعگرههردرراYکاالياز

کااليازواحدیکوکندمیZکندمیبارگیريرا.

باهازمانهمهدرفروشندهمیسفرواحدn-1مجموع

.کند

= yijدرکمان1کااليجریان(i,j)

= Zijدرکمان2کااليجریان)(i,j

15

16

مسئله فروشنده دوره گرد براساس مدل جریان دو کاالیی

12 3

11

1 1 Commodity 2n-1

Commodity 1Commodity 2n-1

Commodity 1

16

مسئله فروشنده دوره گرد براساس مدل جریان دو کاالیی

براي هر معادالت بقاي جریان کاال

n-1 را براي 1از کاالي واحدو یک وارد شدن به شهر یک

از هر خارج شدن واحد را براي .شهر دیگر الزام می کند

مینیمم کردن هزینه جریان ها کاال

17

18

مسئله فروشنده دوره گرد براساس مدل جریان دو کاالیی

n-1 را براي 2واحد از کاالياز شهر یک و یک خارج شدن

به هر وارد شدن براي واحد را یک از شهرهاي دیگر الزام می

.کند

واحد کاالي n-1دقیقا ترکیبی را در هر کمان تضمین

.می کند

جریان را تنها در کمانی که . وجود دارد اجازه میدهد

18

مسئله فروشنده دوره گرد براساس مدل جریان دو کاالیی

یککهدارداینبهاشارهتقاضاوعرضهساختارهايمسیروداردوجودjگرههربه1دپويازمسیر

.داردوجود1بهjگرههرازدیگري آزادسازي خطی فرموله بندي قبلی از طریق

جایگزینی محدودیت هاي

باyij+zij≤n-1 19

پنجره هاي زمانیمفهوم یک پنجره زمانی، بازه اي از زمان

هااست که که در طول آن تحویلی خاصتوانند براي یک مشتري می

iشوندساختهمجاز کوتاه ترین زمان ورود

ei)opening time( مجازدیرترین زمان ورود

li)closing time(

و نرم سخت پنجره زمانی ai را به عنوان زمان واقعی ورود در گرهi

wiwi=max{0,ei-ai} 20

مفهوم پنجره هاي زمانی. درخواست تحویل می دهد17:00و 07:30بین iمشتري

پنجره زمانی دو طرفه براي حالت سخت

21

مفهوم پنجره هاي زمانیوسیله هاي نقلیه آماده اند و دپو باز

نشان 0می شود که به صورت زمان .داده می شوند

زمان واقعی ورود را محاسبه می کند

پنجره داخل iهر مشتري سرویس داده خود زمانی

. می شود 22

مفهوم پنجره هاي زمانیاگر هیچ ورودي در خارج از پارامترهاي مفروض مجاز

.نباشد، پنجره زمانی سخت گفته می شود

زمانی که تحویلی در خارج از پنجره زمانی تعریف شده مجاز به خاطر iباشد، به آن نوع نرم گفته می شود و مشتري

.بابت جریمه پرداخت می کندαiدیرکردش، هزینه

مشخص کندممکن است ماکزیمم دیرشدگی را iمشتري

یک پنجره زمانی سخت نوع خاصی از پنجره زمانی نرم است =0

23

مفهوم پنجره هاي زمانیبرسد، liاگر یک وسیله بعد از دیرترین زمان ورود مجاز

، i، دیرکرد در گره و جلوتر از ماکزیمم دیرکرد Liمی تواند بدین صورت محاسبه شود .

مشتري . است15:30و 07:30داراي پنجره زمانی بین iمشتري .اجازه می دهد17:00دیرکرد تحویلی ها را تا

24

مفهوم پنجره هاي زمانی

است، و 09:00و 07:00بین ، 0پنجره زمانی براي دپو، گره درخواست 17:00و 15:00، بین Nآخرین مشتري، مشتري

. تحویل می دهد

25

ادبیاتمرور

TSPTW

TSPTW بهTSP کاهش می یابد، زمانی کهما پنجره هاي زمانی را براي همه گره ها به

,0)صورت .در نظر بگیریم(∞

TSPTW یک مسئلهNP-hardاستSavelsberg یافتن یک جواب کرد نیز ثابت.استTSPTW ،NP-hardشدنی براي

26

27

ادبیاتمرور

TSPTW

از تکنیک هاي TSPTWرویکردهاي حل براي دقیق برنامه ریزي ریاضی تا رویکردهاي

.متنوع ابتکاري تغییر می کند

بر تکنیک TSPTWرویکردهاي دقیق براي . هاي برنامه ریزي پویا تمرکز کرده اند

27

TSPTWمرور ادبیات کار نحوه موضوعسالنویسندگانChristofides و

1979همکارانبا TSPحل

ارائه الگوریتمی دقیق براي حلمحدودیت زمانی

Christofides والگوریتم شاخه و کران با TSPTWحل بهینه 1981همکاران

استفاده از برنامه ریزي پویاBaker1983 حل بهینهTSPTWتوسعه روش شاخه و کران

Dumas 1995و همکارانTSPTWتوسعه رویکردهاي برنامه ریزي

پویاBianco حل 1993و همکارانTSPTWبرنامه ریزي پویا

Langevin حل 1993و همکارانTSPTWشاخه و کرانDesrosiers1995TSPTWارائه مدل جدید

Pesantحل 1998و همکارانTSPTWارائه روش دقیق براي حلAscheuer2000و همکاران ,

2001TSPTWارائه سه مدل جدیدFocacciحل 2002و همکارانTSPTWارائه الگوریتم ترکیبی دقیق

28

TSPTWتوابع هدف در

) یا هزینه یا زمان( مینیمم کردن مسافت کلپیمودن کمان هاي روي تور

دپومینیمم کردن زمان کل سپري شده از دپو تا )زمان اتمام، مدت زمان سفر(

براي پیمودن ) یا هزینه( مینیمم کردن زمان سپري شدهکلکمان هابه عالوه زمان انتظار

، )یا هزینه انتظار( سفرهمان زمان واقعی یا

مسئلهشرح

29

مدلپیشینه مسئلهشرحهاينمونهبهینهجواب

TSPTW،وجودباتنهامربوطسفر،هايکمان

یازمانیا(کلمسافتبه.بودند)هزینه

هزینه یا زمان یک سفر زمان سپري وابسته به

هاشده روي کمان +

انتظار سپري زمان ها پیش از سرویس شده

شکل و تنها یک مدل ریاضی تجدید شده آن در این زمینه

زمان هاي دارد که وجود انتظار پیش از سرویس را در

.نظر می گیرد

30

مدلپیشینهیک مدل برنامه ریزي خطی عدد صحیح براي

TSPTWپیشنهاد می شود .

متغیر صفر و یک و O(n2)فرموله بندي پیشنهادي داراي O(n2) محدودیت است که در آنn تعداد گره ها در گراف

.مورد نظر خواهد بود

31

Langevienشدهتجدیدبنديفرمولهموجودمدل et al

با TSPTWاولین مدل ریاضی •زمان انتظار سپري شده قبل از

سرویس به گره ها توسط Langevien و همکاران

.ارائه شده استهدف مینیمم کردن زمان تابع •

و سپري شده روي کمان ها کل در شده سپري زمان انتظار کل

.هاستمقابل گره

: مدل موجودOriginal Langevien

et al. Formulation

: مدل تجدید شدهRevised Langevien et al.

Formulation

32

گراف مدلدپوها

پارامترهاي پنجره زمانی

متغیرهاي تصمیم

Langevienشدهتجدیدبنديفرمولهموجودمدل et al

G= (V, A) یک گراف کاملV = {0,1, 2, …, n} هاستمجموعه گره

)شهرها، مشتریان( A= {(i, j): i, j ∈ V, i ≠j}

هاکمان مجموعه

مبدأدپوي0گرهکهاستمجازيدپويn+1گره

برمیآنبهگرددورهفروشنده.برساندپایانبهراسفریعنی،گردد

33

34

گراف مدلدپوها

پارامترهاي پنجره زمانی

متغیرهاي تصمیم

Langevienشدهتجدیدبنديفرمولهموجودمدل et al

ai : زودترین زمانی که گرهi شودمی تواند مالقاتbi : دیرترین زمانی که گرهiمی تواند مالقات شود.

tij : سفر از گره زمانi به گرهj

)i,j( ،ti0=ti,n+1(مدت زمان پیمودن کمان(

ti : زمانی که فروشنده دوره گرد به شهرi رسدمیwi : زمان انتظار پیش از سرویس در گرهi

zij : ارزش تجمعی منابع استفاده شده قبل از مالقات)در هر گره جریان افزایشی ( iگره

yij: باقی مانده منبع قبل از مالقات کمیت)جریان کاهشی در هر گره(iگره

zij : از زمان تجمعی سپري شده قبلiگرهمالقات

yij : از مالقات گرهزمان باقی مانده قبلi34

4

2

1

Langevienشدهتجدیدبنديفرمولهموجودمدل et al

6

z01=0 z12=4 z23=9 z34=15 z45=18

y01=20 y12=16 y23=11 y34=5 y45=2

n+10

35

TSPTWبرايکاالدوجریانمدلی با مدل موجود،در مسائل فروشنده دوره گرد محدود زمانی

زماندهد یک از دو کاال را نشان می جریان هر

، در هر گره Yدر این مدل، یک واحد از اولین کاال، جریان تحویل داده می شود درحالی که یک واحد از دومین کاال،

بنابراین کل مقدار . ، در هر گره برداشته می شودZجریان .ترکیبی دو جریان در هر گره همیشه یکسان است

Lucenaمختلفتقاضاهايبامشابهبنديفرمولهیکdiگرههردرi Nاستگرفتهنظردررا.

36

TSPTWبرايکاالدوجریانمدلی با مدل موجوددورهفروشندهتورهايبرايراکاالییدوجریاننمایشچندتوالیطریقازهاآنازیکهرکهدهدمینشانگرد

o → il →i2→ in → dشوندمیدادهشرح.

37

38

TSPTWبرايکاالدوجریانمدلی با مدل موجود

38

TSPTWبرايکاالدوجریانمدلی با مدل موجود

مجموع هزینه هاي روي کمان ها و هزینه هاي .زمان انتظار را مینیمم می کند

Zو Yجریان هاي مجموع هر گره، در

. ثابت استTبرابر با همیشه

39

TSPTWبرايکاالدوجریانمدلی با مدل موجودشروع در گره دپوي مبدأ متغیر زمان

شروع سرویس در گره هاي دیگرزمان 40

TSPTWبرايکاالدوجریانمدلی با مدل موجود

محدودیت هاي پنجره زمانی

T)/yij+zij( ،(i, j)متغیرهاي دودویی A متغیرهايدر فرمول بندي مدل فروشنده دوره گرد با xijجریان

.هستندپنجره زمانی 41

مدل موجودzij , yij ترتیب به عنوان مقدار به

تجمعی منبع استفاده شده و مقدار باقی iمانده منبع قبل از مالقات گره

متغیرها داراي دو شاخص هستند، این در تعریف متغیر قید jاما شاخص

.نمی شوداست Tداراي پارامتر این مدل سازي

که به عنوان استواري مدل به کار . رودمی

یافتن دقیق این پارامتر قابل توجه .است

1

2

چند نکته بر فرموله بندي موجود

42

چند نکته بر فرموله بندي موجوددر مسئله ، TSPTWنوع مهم ترین

مسیریابی وسایل نقلیه با پنجره هاي . (VRPTW)دیده می شود زمانی

مسئله مسیریابی وسایل نقلیه، در بیشتر از یک وسیله نقلیه

. می شودواقع

مدل ریاضی موجود ممکن است در مواردي دوره گرد یک فروشنده که در آن بیشتر از

. وجود دارد، به طور مستقیم درست نباشد

3

مدل موجود

43

44

تعریف مسئله مدل جدید

متغیرهاي تصمیم

si : زمانی که فروشنده دوره گرد شهرi دهدرا سرویس می)شامل زمان انتظار(

T1 : تورزمان کل سپري شده روي کمان ها براي یکT2 : تورزمان انتظار کل سپري شده در مقابل گره هاي یک

44

تعریف مسئله مدل جدید

تابع هدف

یا (هدف از این مسئله مینیمم کردن مدت زمان توربا در نظر گرفتن زمان کل سپري شده روي کمان ) هزینه

. ها و زمان انتظار کل پیش از سرویس است

45

محدودیت هاي اصلی و نامعادالت هاي معتبر مدل جدیدمحدودیت هاي

تخصیص

محدودیت هاي زمانیپنجره

T1تعریف ,T2

46

محدودیت هاي اصلی و نامعادالت هاي معتبر مدل جدید

به iبه ازاي تمام گره ها زمان سپري شده براي سرویس شهر به مبدا باید کمتر یا مساوي iعالوه زمان الزم براي رفتن از

.زمان کل تور باشد

زمان ورود به اولین گره یک تور و زمان الزم براي .مبدأ به آن گره را مقدار دهی می کنداز سفر

47

محدودیت هاي اصلی و نامعادالت هاي معتبر مدل جدیدtiتصمیم رابطه بین متغیرهاي ,si ,wi

xij=1 tj = ti +wi + tij

48

محدودیت هاي اصلی و نامعادالت هاي معتبر مدل جدید1نتیجه

همه کمان هایی این نامساوي ها براي که روي تور نیستند،

.استمعتبر

2نتیجه

xijدو متغیر تصمیم , xji نمی توانند بهطور همزمان

. یک باشندبرابر

49

محدودیت هاي اصلی و نامعادالت هاي معتبر مدل جدیدنکته مهم

عنوان استواري این نامعادالت به . روندکار می به بندي فرموله

تور را یکهر شهر روي هاي ورود به زمان تشکیل می دهد، تابع پله اي افزایشی که یک

.کندرا تضمین می

کنندجلوگیري می زیرتور غیر مجاز از هر فرموله دراین هاي حذف زیر تور محدودیت

.هستندبندي

50

فرموله بندي ریاضی مدل جدید

51

52

فرموله بندي ریاضی مدل جدید

52

فرموله بندي ریاضی مدل جدید 3مدل داراي اینn+2 استمتغیر تصمیم پیوسته

n2-n یکتصمیم صفر و متغیر+ 2n2+6nو محدودیت 2

مدل داراي اینO(n2) متغیر عدد صحیحو

O(n2)محدودیت است.

ریاضی پیشنهادي داراي نقص هاي یافت شده در مدلنیستمدل موجود

نیستپارامتر ناشناخته اي داراي هیچ هستندمتغیرهاي تصمیم معنی دار همه

53

هاي فرموله بندي جدیدنوآوري

زمان سپري شده روي کمان ها مینیمم کردن کل

"T1مینیمم کردن "هدف تابع

اگر وزن ها یا اهمیت مربوط به پیمودن یک کمان و انتظار درw2و w1ترتیب به مقابل یک گره

w1T1مینیمم کردن "هدفتابع +w2T2"

شده استفرموله بندي پیشنهادي قادر به استفاده از توابع هدف مختلف

54

هاي فرموله بندي جدیدنوآوري

اگرj باید فقط بعد ازi مالقات شودsi + tij = tj

اگرj از فقط قبل بایدi شودمالقاتti+ tij≤sj

محدودیت هاي اضافی به سادگی با این مدل ریاضی سازگار شوند

55

مدلی براي حالت چند فروشنده دوره گرد فروشنده دوره گرد وجود داشته باشدmاگر

نوآوري هاي فرموله بندي جدید

56

محاسباتی آنالیز ) F1(عملکرد مدل پیشنهادي ارزیابی

توجه به مدل موجود یعنی با Revisedمدل Langevin et al.)F2 (

یک آنالیز محاسباتی با

TSPTWهیچ مورد آزمونی در ادبیات موضوع

مدت ( براي مینیمم کردن زمان سفر واقعی. دیده نمی شود) زمان سفر با زمان هاي انتظار

57

آنالیز محاسباتی40و 20را در مثال هایی با CPUزمان هاي 2و 1جداول

گره نشان می دهد که به ترتیب با هر دو فرموله بندي به طور . بهینه حل می شوند

58

آنالیز محاسباتی

59

محاسباتیآنالیز

نتایج

منجر به F1مدل جدیدکاهش در متوسط 75%براي مسائل با CPUزمان

وگره 20کاهش در متوسط 40%

براي مسائل با CPUزمان گره می شود40

مدل پیشنهادي می تواند مسائل با اندازه کوچک و

متوسط را براي بهینگی حل کند و

زمان محاسبه آن به طور قابل توجهی سریع تر

.از مدل موجود است

60

نتایج-محاسباتیآنالیز )LPRrelaxations)linear programmingنرخ هاي انحراف

OPT/(OPT_LPR)= از مقادیر بهینه

می تولید بهتر از مدل موجود %45مدل پیشنهادي تقریبا، حد پایینی از مدل موجود بهتر استLPRپیشنهادي بر حسبکند مدل

براي توسعه مدلی دقیق یا یک الگوریتم ابتکاري هایی این مدل مزیت . داردTSPTWبراي

61

گیرينتیجه

هدفتابعدارايپیشنهاديمدلمیواستتريگرایانهواقعاستفادهجایگزیناهدافباتواندکردنمینیممجملهازشود،کردنمینیممیاسفرزمانمدتکمانرويشدهسپريکلزمان

.ها

یک مدل برنامه ریزي عدد صحیح متغیر دودویی و O(n2)داراي O(n2) محدودیت برايTSPTW

.پیشنهاد می شوداین مدل عالوه بر زمان هاي سفر

سپري شده روي کمان ها، زمان هاي پیش از سرویس را در تابع انتظار

.هدف در نظر می گیرد

62

گیرينتیجه

مورد با جدید می تواند مدلسازگار شود و چند فروشنده

محدودیت هاي اضافی می توانند در این مدل ترکیب

.شوند زمان در نظرگیري متوسط با

متوسطو CPUهاي LPR

پیشنهادي از مدل موجود مدل .برتر است

جدید کاهش قابل مدل توجهی را در متوسط

زمان محاسبه مورد نیاز براي جواب هاي بهینه

.نشان می دهد

63

پیشنهادات براي توسعه مدل

در نظر گرفتن پنجره هاي زمانی چندگانه براي هر گره با اولویت هاي تعریف شده روي هر پنجره

در نظر گرفتن زمان انتظار به صورت متغیر تصادفی

توسعه روش کالرك و رایت براي مدل فروشنده دوره گرد با پنجره زمانی

تغییر مدل جدید ارائه شده براي حالتی که تقاضا در هر .گره ثابت نباشد

تغییر نوع وسیله نقلیه براي حالتی که برخی شهرها باید یا در ) بسته به نوع تقاضایی که دارند(زودتر مالقات شوند

نظر گرفتن سرعت براي وسیله نقلیه

VRPTWگسترش فرموله بندي پیشنهادي براي

64

منابع1. Langevin A, Desrochers M, Desrosiers J, Gelinas S, Soumis

F. A two-commodity flow formulation for the traveling

salesman and makes pan problems with time windows.

Networks.640-23:6311993

2. Desrosiers J, Dumas Y, Solomon MM, Soumis F. Time

constrained routing and scheduling. In: Ball MO, Magnanti

TL, Monma CL, Nemhauser GL, editors. Network routing.

Amsterdam: Elsevier; 1995. 35–139

3. Langevin A, Soumis F, Desrosiers J. CLASSIFICATION OF

TRAVELLING SALESMAN PROBLEM FORMULATIONS.

Operations Research Letters 9 (1990) 127-132

4. Christensen U, Kefaloukos PK. Approximations of geometric

prize-collecting traveling salesman problem with time

windows.

.

65

66