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HEC MONTRÉAL
Application empirique du modèle de Brockman et Turtle (2003) au calcul
du risque de défaut d’entreprises publiques canadiennes.
Par
Jonathan Amar
Mémoire présenté en vue de l’obtention
du grade de maîtrise ès sciences
(M.Sc.)
Avril 2007
© Jonathan Amar, 2007
ii
Sommaire
L’objectif de ce mémoire est d’appliquer la méthodologie proposée par Brockman et
Turtle (2003) à un échantillon d’entreprises publiques canadiennes dont les actions
sont transigées à la Bourse de Toronto. Le modèle en question a largement contribué
à l’évolution de la théorie des options, introduite initialement par Merton (1974), en
incorporant l’utilisation d’options à barrières. Cependant, certains économistes
(Wong, Choi 2006) ont récemment décelé une erreur importante au niveau de
l’application du modèle de Brockman et Turtle (2003) dans leur propre article qui a
comme effet de biaiser le calcul des probabilités de défaut des firmes. Par
conséquent, une application adéquate du modèle se doit d’estimer, au préalable, les
valeurs des actifs des firmes, leur volatilité et les barrières de défaut par la procédure
du maximum de vraisemblance. La modélisation proposée par Duan, Gauthier et
Simonato (2004) du modèle de Brockman et Turtle sera retenue dans ce mémoire.
Dans un travail parallèle, Dionne et al. (2005) ont appliqué un modèle hybride afin
de calculer le risque de défaut des entreprises publiques canadiennes. Leur
composante structurelle fixait la barrière de défaut égale à la valeur nominale de la
dette. La même base de données sera utilisée dans ce mémoire afin d’illustrer
l’impact de rendre endogène la barrière de défaut des firmes. Les résultats de cette
étude démontrent que la majorité des firmes étudiées possèdent des barrières de
défaut inférieures à leur endettement. Par ailleurs, les capacités prédictives des
modèles hybrides présentés dans Dionne et al. (2005) sont améliorées lorsque leur
composante structurelle est substituée par celle présentée dans cet ouvrage.
Mots clés : Théorie des options, options à barrières, barrières de défaut, méthode du
maximum de vraisemblance, probabilités de défaut.
iii
Remerciements
À prime abord, je tiens à remercier mon directeur de mémoire, M. Georges Dionne,
pour son expertise, sa grande disponibilité et ses conseils judicieux. Je tiens à
remercier également Sadok Laajimi qui m’a offert une aide inestimable au niveau de
la collecte des données et de la programmation des modèles.
Je tiens à remercier les membres du jury, M. Jean-Guy Simonato et M. Nicolas
A. Papageorgiou pour avoir accepté d’évaluer ce mémoire.
De plus, je suis très reconnaissant de l’aide financière qui m’a été offerte par le
Centre de Recherche en e-Finance (CREF) et la Chaire de recherche du Canada en
gestion des risques.
Finalement, j’aimerais remercier les membres de ma famille et mes amis pour leur
soutien inconditionnel.
iv
Table des matières
Page
1. Introduction ………………………………………………………………...1
2. Revue de littérature des modèles structurels de risque de crédit ……...…...5
Extensions du modèle de Merton :
2.2 Le moment du défaut ………………………………………………7
2.3 Le taux d’intérêt sans risque ……………………………………….7
2.4 Le type d’option utilisé …………………………………………….8
2.5 Le manque d’observabilité de la valeur des actifs ………………..11
3. Méthodologie
3.1 Équations et hypothèses du modèle de Merton (1974) …………..16
3.2 Modèle de Brockman et Turtle (2003) …………………………...19
3.3 Adaptation du modèle de Brockman et Turtle (2003) par
la méthode du maximum de vraisemblance ……………………...23
3.4 Spécificités de l’estimation du modèle proposé…………………..25
4. Base de données
4.1 Les entreprises ayant fait défaut…………………………………..27
4.2 Les entreprises n’ayant pas fait défaut …………………………...29
4.3 Statistiques sur l’ensemble des entreprises conservées
pour l’analyse…………………………………………………......30
4.4 Décalage des données comptables ……………………………….31
4.5 Le taux sans risque ……………………………………………….32
5. Présentation des résultats
5.1 Résultats de l’estimation du modèle de Brockman et
Turtle (2003) par maximum de vraisemblance…………………...34
5.2 Performance des modèles hybrides………………………. ……..41
5.3 Discussion de la différence des résultats obtenus ……………….45
6. Conclusion ……………………………………………………………… 48
7. Bibliographie …………………………………………………………….49
8. Annexes ………………………………………………….………………52
v
Liste des tableaux
Page
1. Extrait de la table 2 de l’article de Brockman et Turtle (2003) ...………....12
2. Valeurs retenues pour les variables clés de l’estimation …………….....…25
3. Distribution des défauts et des réorganisations avant nettoyage
des données ……………………………………………………………….28
4. Statistiques descriptives des 108 entreprises ayant fait défaut……………29
5. Statistiques descriptives de toutes les entreprises listées à la Bourse
de Toronto n’ayant pas fait défaut…………………………..…………….29
6. Statistiques descriptives des entreprises conservées pour l’analyse ...........30
7. Fréquence par année des données utilisées pour le modèle final …………32
8. Statistiques descriptives du taux sans risque (1984 à 2004) …………...…33
9. Statistiques descriptives des paramètres µ et σ obtenus par l’estimation
de maximum de vraisemblance …………………………………………..…..35
10. Statistiques descriptives de la barrière de défaut et du ratio barrière sur
dette obtenus par l’estimation de maximum de vraisemblance ….……….35
11. Distribution du ratio barrière-sur-dette (H/X) par percentiles ……………35
12. Comparaison des résultats entre la méthodologie de Brockman et
Turtle (2003) et la méthodologie suivie dans ce mémoire ……………….37
13. Statistiques descriptives des probabilités de défaut obtenues par la
méthode de maximum de vraisemblance et par la composante
structurelle de Dionne et al. (2005) ……………………………………….38
14. Tests paramétriques : Comparaisons des résultats issus de Dionne et
al. (2005) et ceux issus de ce mémoire …………………………………...38
15. Évolution des probabilités de défaut prédites par année.....………………39
16. Comparaison des résultats des modèles hybrides à barrière endogène et
à barrière exogène…………………………………………………..…….42
17. Performance de prédiction des défauts …………………………………..45
vi
Liste des figures
Page
1. Évolution des écarts du taux de crédit et la volatilité des actions
de Siemens ………………………………………………………………… 2
2. L’approche KMV de Moody’s ……………………....…………………… 14
3. Évolution trimestrielle des probabilités de défaut (PD) prédites de la
firme Discoverware Inc. (Janvier 1999 à Janvier 2001) …………………..40
4. Évolution annuelle des probabilités de défaut (PD) prédites et de la
volatilité des actions de la firme Algo Group Inc. de 1990 à 2004………..40
5. Graphique des gains ……………………………………………….………44
1
1. Introduction
Afin d’avoir une appréciation du travail qui suit, il est utile de comprendre la
perspective d’un prêteur commercial, c’est-à-dire les grandes banques, sociétés de
crédit et autres prêteurs. Ces derniers détiennent d’énormes portefeuilles de prêts
accordés à des entreprises dont les actions sont transigées en bourse. Avant
l’apparition des modèles d’évaluation du risque de crédit, les seuls outils à leur
disposition pour évaluer le risque inhérent à leurs portefeuilles de prêts étaient les
états financiers produits par les firmes et occasionnellement des audits effectués par
les prêteurs. Si les états financiers et/ou les audits démontraient que les finances des
firmes se détérioraient, les banques devaient alors effectuer un monitoring plus serré
afin de limiter la possibilité que les firmes fassent défaut. Ces prêteurs cherchaient
donc des outils permettant de suivre l’évolution du risque de défaut des
emprunteurs, et ce, sur une base continue. C’est dans ce contexte que sont apparus
les premiers modèles d’évaluation de risque de crédit.
Deux types de modèles sont utilisés dans la littérature financière pour étudier le
risque de crédit: les modèles de score (Altman (1968)) et les modèles structurels de
type Merton (1974). Les modèles de score utilisent des données comptables pour
étudier essentiellement l’endettement et la profitabilité des firmes. Ces modèles ont
l’avantage d’être très manipulables, et par conséquent, très précis. En revanche, les
données comptables sont généralement disponibles qu’annuellement et sont de
nature plutôt historique, c’est-à-dire qu’elles ne permettent pas d’anticiper les
résultats futurs des firmes. Les modèles structurels, quant à eux, utilisent les
données de marché (c’est-à-dire les prix des actions) dans leur modélisation du
risque de défaut des firmes. Selon l’hypothèse d’efficience des marchés, les prix des
actions résument toute l’information pertinente au sujet des firmes émettrices. Ainsi,
ces modèles ont l’avantage de capter toute l’information disponible au sujet des
firmes - du moins, en théorie - tout en permettant d’obtenir beaucoup plus
d’observations que les modèles de score. La principale lacune de ces modèles est
que l’utilisation d’hypothèses trop fortes tend à surestimer les probabilités de défaut
des firmes étudiées. Finalement, on retrouve également des modèles dits hybrides
qui combinent les composantes des modèles structurels et des modèles de score.
2
Afin d’illustrer le pouvoir prédictif des modèles structurels, la figure 1 présente
l’évolution des écarts du taux de crédit sur un CDS de 5 ans de la compagnie
Siemens ainsi que la volatilité à trois mois de ses actions. Un CDS est un instrument
financier permettant de transférer le risque de crédit d’un actif sous-jacent à une
contrepartie voulant l’assumer. Plus l’écart des taux est élevé (axe de gauche), plus
l’actif sous-jacent est considéré risqué.
Figure 1. Évolution des écarts du taux de crédit du CDS 5 ans et de la volatilité implicite des actions de Siemens1
Il est généralement reconnu que les modèles les plus performants sont les modèles
hybrides tel le modèle de Moody’s. Les deux composantes sont complémentaires et
les modèles les incorporant identifient mieux les détresses financières (Sobehart et
Stein 2000, Tudela et Young 2003) que les modèles uniquement structurels ou non.
Cependant, la composante statistique des modèles de score ne peut être généralisée
pour tous les prêteurs. La sélection des ratios et données comptables utilisées pour
former cette composante se fait habituellement en fonction du type d’industrie
étudié. Par contre, la composante structurelle est généralisable pour tous les
utilisateurs tant que l’emprunteur ait émis des actions. Ceci explique pourquoi nous
1 BRUYERE, Richard et Rama CONT (2003), « L’évaluation des produits dérivés de crédit », Working paper, Finance Concepts, 29 p.
3
retrouvons tant d’articles dans la littérature financière dédiés à l’application et
l’évolution de la composante structurelle.
L’article de Brockman et Turtle (2003), dont le modèle sera appliqué dans ce travail
de recherche, a incorporé une innovation importante au niveau de la modélisation du
risque de défaut des firmes. Spécifiquement, ils utilisent les options à barrières
plutôt que les options européennes traditionnelles afin de modéliser le fait que les
prêteurs peuvent mettre en défaut les entreprises lorsqu’elles ne respectent pas
certaines ententes fixées au début des contrats, et ce, à tout moment. Cependant, il a
été démontré qu’ils approximaient mal la valeur marchande des actifs des firmes
emprunteuses, ce qui mena à l’estimation de barrières de défaut trop élevées. Afin
de résoudre ce biais d’estimation, des travaux subséquents (Wong, Choi 2006 et
Duan, Gauthier, Simonato 2004) ont proposé d’estimer cette variable par le biais de
la méthode du maximum de vraisemblance. Ces études démontrent que cette
méthodologie produit de meilleures estimations des paramètres du modèle. Par
conséquent, des probabilités de défaut plus réalistes peuvent être obtenues en
suivant une telle méthodologie. Ces études mettent également le lecteur en garde
car, quoi que l’application du modèle de Brockman et Turtle (2003) par le biais du
maximum de vraisemblance produise des barrières de défaut positives, ces dernières
ne sont pas toujours statistiquement significatives (Wong, Choi 2006).
Jusqu’à présent, il n’existe pas une application empirique du modèle Brockman et
Turtle (2003) sur des données canadiennes, d’où la première motivation de ce
travail. Un des résultats intéressants de l’étude de Wong et Choi (2006) est que la
majorité des firmes ont démontré des barrières implicites inférieures à leur
endettement. Le résultat inverse avait été trouvé dans l’étude originale de Brockman
et Turtle, et ce, pour la grande majorité des firmes. Il sera intéressant de constater si
cette relation sera vérifiée au terme de ce mémoire.
Dans un travail parallèle, Dionne et al. (2005) ont appliqué un modèle hybride
(probit en panel) afin de calculer le risque de défaut d’entreprises publiques
canadiennes. Leur composante structurelle se basait sur la modélisation offerte par
Brockman et Turtle (2003) en utilisant toutefois la barrière de défaut comme
variable exogène. Le présent ouvrage se veut une extension directe de ce travail de
4
recherche, dans la mesure où la même banque de données sera utilisée. Ainsi, cela
permettra de constater comment les probabilités de défaut des entreprises peuvent
varier en rendant endogène la barrière de défaut. Nous substituerons donc leur
composante structurelle pour celle trouvée dans ce mémoire dans l’espoir d’obtenir
un modèle hybride plus performant. Ceci constituera donc l’objectif final de ce
mémoire.
Ce mémoire est organisé en quatre parties. La première consiste en la revue de la
littérature des modèles structurels. La seconde partie sera consacrée à l’explication
de la méthodologie retenue dans ce mémoire, soit celle de Brockman et Turtle
(2003) par le biais de la méthode du maximum de vraisemblance. Les données
seront ensuite examinées avant de passer à la section finale où les résultats et
comparaisons à travers les différents modèles seront présentés.
5
2. Revue de littérature des modèles structurels de risque de crédit
2.1 Modèle de Merton (1974)
Le premier modèle structurel de risque de crédit est celui de Merton (1974). Ce
modèle se basait directement sur la théorie des options introduite par Black et
Scholes (1973).
Cet article fondateur démontre comment on peut évaluer des obligations
corporatives en considérant le risque de défaut des entreprises émettrices. Merton
nomme cette théorie le risque structurel des taux d’intérêts. Dans un premier temps,
un modèle d’évaluation de base d’instruments financiers est développé selon les
lignes Black-Scholes. Ce modèle est ensuite appliqué à plusieurs formes
d’obligations, dont des obligations zéro coupon, des obligations conventionnelles et
des obligations rachetables.
Le modèle proposé par Merton (1974) nous permet de quantifier le risque de crédit
d’une firme, dont les actions sont transigées à la bourse, par le biais de sa structure
de capital. Dans ce modèle, la valeur des actifs de la firme suit un processus de
diffusion de type stochastique avec une volatilité constante. La firme est financée
par la dette et l’équité. Les actions ne paient aucun dividende et la dette ne porte pas
de coupon, c’est-à-dire que les détenteurs des obligations ne recevront qu’un seul
paiement D à l’échéance T. De plus, notons que les actionnaires ne peuvent
réemprunter ni racheter la dette de la firme avant son échéance.
Donc, si la valeur des actifs est supérieure au paiement obligataire promis au temps
T, les détenteurs des obligations recevront D et les actionnaires conserveront la
valeur résiduelle de la firme. Si au temps T, la valeur des actifs est inférieure à D, la
firme ne pourra payer D aux détenteurs des obligations (elle fera défaut), et par
conséquent, ces derniers prendront contrôle de la firme, ce qui est équivalent à sa
liquidation. Les actionnaires, quant à eux, ne recevront rien.
Sous ces hypothèses précises, Merton avance que les actionnaires détiennent
effectivement une option d’achat européenne sur les actifs de l’entreprise dont le
6
prix d’exercice est le paiement obligataire promis D. Les actionnaires n’exerceront
l’option au temps T que si la valeur des actifs sera supérieure à D et partageront
ensuite les surplus. Sinon, l’option ne pourra être exercée, l’entreprise sera en défaut
et les actionnaires perdront leur investissement initial dans l’option.
Le modèle de Merton nous permet donc de considérer la valeur de l’équité de la
firme comme étant équivalente à une option d’achat (européenne) sur les actifs de la
firme, où le prix d’exercice correspond au paiement obligataire D. On peut alors
appliquer la théorie de Black-Scholes pour dériver la probabilité que l’option ne soit
pas exercée, ce qui représente la probabilité de défaut de la firme.
Ce modèle est d’une importance primordiale pour l’évaluation du risque de crédit
puisqu’il permet de surmonter les lacunes des modèles de score, c’est-à-dire la
nécessité d’attendre la publication d’états financiers vérifiés et le manque
d’anticipation du futur retrouvé dans les données comptables. Ce modèle structurel
permet une mise à jour quasi continuelle des probabilités de défaut des firmes
puisqu’il se base sur les données de marché.
Les modèles structurels qui parurent ensuite ont comblé certaines lacunes du modèle
de Merton. En ce qui concerne le présent ouvrage, nous nous attarderons
essentiellement aux articles qui ont adressé et amélioré les points suivants du
modèle fondateur de Merton :
1. le moment du défaut (Black et Cox (1976));
2. le taux d’intérêt sans risque est fixe (Longstaff et Schwartz (1995), Collin-
Dufresne et Goldstein (2001));
3. le type d’option utilisé dans la modélisation (Brockman et Turtle (2003), Tudela
et Young (2003), Dionne et al. (2005)).
4. le fait que la valeur des actifs est inobservable (Sobehart et Stein (2000), Duan
(1994), Wong, Choi (2006), Duan, Gauthier et Simonato (2004)) ;
7
2.2 Le moment du défaut
Le concept de barrière de défaut fut introduit dans un article important de la
littérature des modèles structurels par Black et Cox (1976), relaxant ainsi
l’hypothèse très stricte de Merton que le défaut ne puisse se matérialiser avant
l’échéance de la dette. La valeur des actifs de la firme suit toujours un processus de
diffusion de type stochastique, mais la firme fait défaut immédiatement lorsque la
valeur de ses actifs devient inférieure à un seuil de réorganisation spécifié.
L'analyse de ces auteurs montre qu'il est dans l'intérêt des créanciers de forcer la
liquidation de la société dès que les circonstances le permettent, sans attendre la date
d'échéance de la dette. La clause de protection offre ainsi une valeur plancher aux
obligations, ce qui est de nature à limiter aussi les gains des actionnaires dans le
mécanisme de transfert de valeur. Les créanciers sont remboursés avec certitude
lorsque la valeur de marché de la société est supérieure à la dette financière.
Par ailleurs, les actionnaires perdent le contrôle dès que la valeur de l’actif
économique tend vers le seuil de réorganisation spécifié dans la clause de
protection. De plus, le modèle de Black et Cox (1976) permet d’éliminer la
procédure de faillite lorsque la valeur de la société augmente. Tel est le cas
lorsqu'une stratégie de maximisation de la valeur est mise en œuvre.
2.3 Le taux d’intérêt sans risque
Longstaff et Schwartz (1995) ont proposé une version du modèle structurel qui fait
intervenir des taux d’intérêts stochastiques au modèle de Black et Cox (1976). Par
conséquent, leur modèle devient capable de mesurer le risque de défaut ainsi que le
risque de taux d’intérêt des entreprises.
Spécifiquement, ils postulent que le taux d’intérêt sans risque suit un processus
Vasicek (1977) tout en étant corrélé avec le processus de diffusion stochastique de
la valeur de la firme. Ainsi, les prix des obligations corporatives peuvent être
trouvés en employant une méthode par itérations. L’apport principal de ce modèle
8
est que la corrélation entre la valeur de la firme et les mouvements du taux d’intérêt
sans risque peut être très importante lors de l’évaluation du passif d’une firme.
Une extension importante de ce modèle fut amenée par Collin-Dufresne et Goldstein
(2001) où leur modèle incorpore un ratio d’endettement stationnaire. Les auteurs
permettent ainsi à la structure de capital de la firme de dévier de son niveau optimal
dans un horizon court terme.
2.4 Le type d’option utilisé
Quoi que Black et Cox ont avancé en 1976 le concept de barrière de défaut et, de ce
fait même, la possibilité que le défaut se matérialise avant l’échéance de la dette, les
modèles structurels ont continué à utiliser la théorie des options européennes.
Évidemment, certaines innovations ont été ajoutées dans les modèles subséquents,
mais le fait demeure qu’un type d’option plus approprié existait pour modéliser le
risque de défaut d’une firme. Il s’agissait des options à barrières. Il en existe deux
types particulièrement importants pour les modèles structurels: les options down-
and-out et down-and-in. Ces options sont activées (down-and-in) ou désactivées
(down-and-out), c’est-à-dire créées ou annulées, dès que la valeur de l’actif sous-
jacent atteint la barrière. Contrairement aux options européennes, ces options
peuvent être exercées tant et aussi longtemps qu’elles sont en circulation.
L’utilisation de ce type d’option dans la modélisation du risque de crédit intègre de
façon naturelle les innovations de Black et Cox (1976).
Ces options ont été introduites dans la littérature financière par Brennan et Schwartz
(1978), Leland (1994) et Briys et de Varenne (1997). Cependant, le premier modèle
structurel à les intégrer dans l’analyse du risque de crédit était celui de Brockman et
Turtle (2003). Cet article est au cœur du présent travail car, une fois adapté par la
méthode du maximum de vraisemblance, il servira de modèle d’estimation des
probabilités de défaut des firmes étudiées. Ses hypothèses et sa méthodologie seront
étudiées dans la section suivante de ce travail. Nous nous attardons ici aux études
qui ont utilisé sa logique et commentons leurs résultats.
9
La banque d’Angleterre a proposé un modèle hybride qui incorporait la théorie des
options à barrières dans sa composante structurelle, spécifiquement l’option d’achat
down-and-out. Les auteurs Tudela et Young (2003) appliquent leur modèle hybride
à des données d’entreprises anglaises non financières sur la période 1990-2001, dont
certaines d’entre elles ont effectivement fait défaut, afin de quantifier la probabilité
de faillite. L’estimation de la composante structurelle est utilisée comme un
indicateur avancé de la vraie faillite et les auteurs vérifient ensuite ses propriétés. En
général, cet article démontre que les estimations issues de ce modèle peuvent donner
un signal de faillite très fort un an avant son occurrence.
Le modèle de la banque d’Angleterre permet la faillite dès le moment où k, défini
comme le ratio actif sur dette de la firme, devient inférieure à 1 ( k ). Une note
importante s’impose : la valeur des actifs de la firme est inobservable, et donc, la
valeur de k l’est aussi. Tout ce qui est observable est le ratio équité sur dette,LXy = ,
où X représente la capitalisation boursière de la firme et L représente son passif.
Similairement à la logique de Moody’s (présentée plus bas), les auteurs utilisent la
méthode de Nickell et Perraudin (1999) et un algorithme de résolution Newton-
Rapshon afin de dresser un lien entre les ratios X et k. Spécifiquement, les auteurs
peuvent trouver la moyenne et l’écart type de k, et donc, la fonction de distribution
de k. Il s’ensuit que la probabilité de défaut est alors définie comme la probabilité
que k soit inférieure à k .
Les auteurs testent ensuite la performance de leur modèle en calculant les
probabilités de défaut pour un échantillon de firmes non financières d’Angleterre
qui inclut un certain nombre de firmes ayant réellement fait défaut. Ils font 3 types
de test : (1) ils comparent leurs résultats avec les vrais défauts ; (2) ils comparent
leur modèle avec d’autres modèles prédisant le défaut ; (3) ils utilisent des courbes
de puissance et des ratios de précision.
Les données utilisées correspondent à 7 459 états financiers de 1990 à 2001, dont 65
d’entre eux correspondent à des firmes ayant ensuite fait défaut. La date de défaut
est définie comme étant la dernière journée où l’on peut observer un mouvement du
prix de l’action de la firme en question.
10
Afin de déterminer si le modèle prédit bien les défauts, les auteurs examinent les
erreurs du type I et II. En général, la probabilité de défaut générée par ce modèle
procure un très bon signal précurseur de la faillite environ un an avant son
occurrence. La probabilité de défaut annuelle moyenne pour les firmes ayant fait
défaut dans l’échantillon est de 47,3%, tandis qu’il est de 5,4% pour celles n’ayant
pas fait défaut.
Les calculs des erreurs du type I et II suggèrent que les probabilités de défaut issues
du modèle sont capables de bien discriminer entre les firmes qui ont fait défaut et
celles qui ne l’ont pas fait. En utilisant un niveau de confiance de 90% et en
définissant les défauts comme les firmes ayant une probabilité d’au moins 10% de
faire défaut dans un an ou moins, l’erreur du type I est relativement modeste à 9,2%
(avec un erreur de type II de 15%). En modifiant la définition de défaut comme les
firmes ayant une probabilité de faire défaut dans 2 ans ou moins, l’erreur du type I
pour le même niveau de confiance passe à 12,3% (et l’erreur du type II devient
29,9%).
Finalement, les auteurs constatent que s’ils ajoutent certaines informations
financières des firmes (ex : marge de profit, ratio de dettes sur actifs, croissance des
ventes, etc.) à leur modèle original, la performance du modèle augmente légèrement.
Ce modèle hybride donne donc de meilleures probabilités de défaut.
Le modèle final de la banque d’Angleterre est le suivant :
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
brut nationalProduit employés,d' nombredu log
, ventesdes croissance detaux ,dette
encaisse,actifsdette
profits, de marges années), 2-(1défaut de éProbabilit
fdéfautP
Finalement, une étude proposée par Dionne et al. (2005) applique un modèle
similaire à celui de la banque d’Angleterre à des entreprises publiques canadiennes
dont les actions sont transigées à la Bourse de Toronto. Leur base de données
comporte 1 469 entreprises dont 130 ayant fait défaut. La période d’étude est de
janvier 1988 à décembre 2004.
11
Les résultats de cette étude démontrent que les probabilités de défaut prédites sont
significatives une fois ajoutées aux variables comptables retenues dans le modèle
hybride. La mise à jour trimestrielle des probabilités de défaut amène beaucoup
d’information dynamique pour expliquer l’évolution du risque de crédit des firmes
canadiennes étudiées.
Il est important de remarquer que les deux derniers articles mentionnés supposent
que la barrière ( k ) est fixée à 1 pour toutes les entreprises, et ce, à travers les
différentes industries et années étudiées. Ceci constitue une simplification non
négligeable du modèle Brockman et Turtle (2003). En rendant cette dernière
variable endogène, les auteurs stipulent que cette barrière est très significative,
qu’elle est souvent très différente de 1 et qu’elle évolue dans le temps. Donc, les
auteurs prétendent que l’estimation de ce troisième paramètre devrait enrichir
considérablement l’analyse du risque de crédit des firmes.
2.5 Le manque d’observabilité de la valeur des actifs
Brockman et Turtle (2003) mesurent la valeur marchande des actifs des firmes
comme étant la somme de la valeur comptable du passif total et de la valeur
marchande de l’équité. Cette approximation est conforme aux travaux de Barclay et
Smith (1995a, b) et de Jung, Kim et Stulz (1996). Cependant, un récent article écrit
par des économistes chinois, Wong et Choi (2006), démontre que cette
approximation mène à une surestimation de la barrière de défaut, et ce,
indépendamment des données empiriques utilisées.
Afin d’illustrer cette surestimation des barrières de défaut, nous reproduisons ici-bas
un extrait de la Table 2 qui parut dans l’article de Brockman et Turtle (2003) où les
estimés des barrières sont classifiés en fonction du niveau d’endettement des firmes.
12
Tableau 1 : Extrait de la table 2 de l’article de Brockman et Turtle (2003) : Classification des barrières estimées en fonction du niveau d’endettement des firmes2
Nombre Barrière Écart-type de Statistique t P-value
d'observations Moyenne la barrière de Student
Moyenne des barrières estiméespar niveau d'endettement
Niveau d'endettement ≤ 0,1 476 0,2361 0,1597 32,26 0,00010,1 < Niveau d'endettement ≤ 0,2 780 0,4151 0,1529 75,81 0,00010,2 < Niveau d'endettement ≤ 0,3 944 0,5456 0,1441 116,33 0,00010,3 < Niveau d'endettement ≤ 0,4 1064 0,6437 0,1316 159,58 0,00010,4 < Niveau d'endettement ≤ 0,5 1158 0,7422 0,1268 199,12 0,00010,5 < Niveau d'endettement ≤ 0,6 1338 0,8278 0,1103 274,49 0,00010,6 < Niveau d'endettement ≤ 0,7 1007 0,8567 0,0896 303,37 0,00010,7 < Niveau d'endettement ≤ 0,8 588 0,8816 0,0597 357,82 0,00010,8 < Niveau d'endettement ≤ 0,9 293 0,9231 0,0391 404,07 0,00010,9 < Niveau d'endettement ≤ 1,0 139 0,9657 0,0243 469,49 0,0001
À priori, il est important de faire la distinction entre la valeur comptable des actifs et
la valeur marchande des actifs. Par construction, la valeur comptable des actifs ne
peut évidemment jamais tomber en deçà de la valeur comptable de la dette. Par
contre, la valeur marchande des actifs, elle, pourrait se retrouver inférieure à la dette
totale d’une firme, ce qui causerait souvent la faillite ou la restructuration de cette
firme.
Dans le tableau 1, les niveaux d’endettement et les barrières moyennes sont
exprimés en proportion de la valeur marchande des actifs totaux. On remarque que
les barrières moyennes présentées sont toutes supérieures aux différents niveaux
d’endettement à l’exception du dernier, soit celui compris entre 0,9 et 1,0. Une
barrière de défaut supérieure à un niveau d’endettement signifie qu’une firme
possédant une valeur marchande de ses actifs (ou une valeur de liquidation de ses
actifs) suffisamment grande pour rembourser totalement sa dette pourrait quand
même faire défaut. Ce résultat ne semble pas logique. Certes, il serait possible de
constater une telle relation pour certaines entreprises mais le fait que celle-ci soit
généralisée à travers les résultats démontre, selon Wong et Choi (2006), l’impact
d’utiliser le proxy proposé par Brockman et Turtle.
2 BROCKMAN, Paul et H.J. TURTLE (2003). « A Barrier Option Framework for Corporate Security Valuation », Journal of Financial Economics, vol. 67, p. 521-522.
13
La validité des probabilités de défaut calculées en utilisant ce mauvais proxy
pourrait être compromise. Par conséquent, Wong et Choi privilégient la méthode du
maximum de vraisemblance pour estimer les deux premiers moments de la
distribution des valeurs marchandes des actifs (ainsi que la barrière de défaut) car
cela produit généralement des paramètres asymptotiquement efficaces. Ils concluent
cependant que les barrières de défaut trouvées sont majoritairement inférieures à
l’endettement des firmes et ne sont pas toujours statistiquement significatives, ce qui
contredit les résultats obtenus dans l’étude de Brockman et Turtle (2003).
L’application de la méthode du maximum de vraisemblance à l’étude du risque de
crédit fut développée initialement par Duan (1994). En somme, la méthode de
maximum de vraisemblance adapte le modèle de Merton pour accommoder le fait
que l’on n’observe pas les valeurs de l’actif (mais seulement de l’équité), et crée une
équation qui doit ensuite être maximisée afin de trouver les estimateurs de
vraisemblance. Cette méthode comporte les avantages suivants : premièrement, les
estimateurs trouvés sont statistiquement efficaces; deuxièmement, cette méthode
permet de construire des intervalles de confiance pour les paramètres estimés; et
troisièmement, nous pouvons calculer d’autres variables d’intérêt, dont la valeur
implicite de l’actif, la valeur de la dette ainsi que la probabilité de défaut.
Le modèle KMV de Moody’s, quant à lui, a proposé un autre procédé pour
contourner le problème de manque d’observabilité des valeurs des actifs. En effet,
ce modèle utilise directement les équations du modèle de Merton, en particulier,
celle de l’équité3. En effet, si l’on connaît la volatilité de l’actif et on combine cette
information aux observations des valeurs des actions des firmes, on peut attribuer
une valeur aux actifs des firmes. C’est-à-dire, si ( ),σ;VgS tt = alors on peut
exprimer où St et Vt représentent l’équité et l’actif respectivement.
La méthode de Moody’s utilise un algorithme de résolution à deux étapes, qui
débute avec une valeur arbitraire de la volatilité de l’actif et qui procède par
itérations. On a donc besoin que de 2 variables pour utiliser la méthode de Moody’s.
( ,σ;SgV t1
t−= )
3 Voir équation 5 dans la section portant sur la méthodologie.
14
Si l’on suppose que les valeurs marchandes futures des actifs des firmes suivent une
distribution normale, on peut facilement estimer les probabilités de défaut des firmes
dans un horizon d’un an. Cette probabilité de défaut est fonction du nombre d’écart
types sous lequel la valeur des actifs de la firme doit perdre avant d’atteindre le
point de défaut. Cette valeur est appelée « distance au défaut », qui peut être
exprimée mathématiquement comme suit:
AVMA défaut dePoint -VMA défaut au Distance
σ⋅=
où VMA signifie la valeur marchande des actifs de la firme, σA représente l’écart
type de la valeur des actifs de la firme et le point de défaut est égal à la somme du
passif court terme et 50% du passif long terme des firmes. C’est cette « distance au
défaut » qui est incluse spécifiquement dans le modèle hybride de la firme publique
de Moody’s (Sobehart, Stein (2000)). Le graphique suivant illustre l’approche KMV
offerte par Moody’s.
Figure 2. L’approche KMV de Moody’s4
4 CROSBIE, Peter, « Modeling Default Risk », KMV Corporation, 1997.
15
Une étude de Duan, Gauthier et Simonato (2004) propose la comparaison des deux
méthodes (Moody’s et maximum de vraisemblance) pour ensuite conclure que les
estimateurs Moody’s et de maximum de vraisemblance pour la moyenne, la variance
ainsi que la valeur implicite de l’actif sont quasi identiques. Cependant, puisque
l’algorithme de Moody’s ne fournit pas d’information quant aux propriétés des
distributions des estimations, la méthode de Moody’s ne peut être utilisée pour faire
de l’inférence statistique.
Les deux modèles sont théoriquement équivalents, sauf dans le cas où l’on traite des
modèles structurels incorporant des paramètres de structure de capital inconnus.
Dans ce contexte, les auteurs démontrent que la méthode de Moody’s génère des
estimateurs biaisés et ne peut résoudre le biais de survie. Le biais du survivant est
créé quand on n’ajuste pas la modélisation (la fonction de vraisemblance) pour le
fait que l’on sait déjà que la firme n’a pas fait défaut entre deux observations
quelconques. Selon les auteurs, ce biais est particulièrement important lorsque les
firmes survivantes ont procédé à un ou plusieurs refinancements. Ils utilisent
l’exemple de Brockman et Turtle (2003), où un troisième paramètre inconnu est
introduit, soit la variable k, représentant la structure de capital de la firme. Sous ce
modèle, la firme peut faire défaut à n’importe quel moment. Plus spécifiquement,
elle fera défaut dès que la valeur de l’actif ira en deçà du point k.
16
3. Méthodologie
Le modèle de Brockman et Turtle (2003) est une extension directe de celui de
Merton (1974). Ce dernier modèle a permis la transposition du modèle de Black et
Scholes (1973) au domaine du risque de crédit. Il est donc essentiel de comprendre
les équations principales et la logique de la théorie des options de Merton avant
d’aborder le modèle faisant l’objet de cette recherche.
3.1 Équations et hypothèses principales du modèle de Merton (1974)
Dans un marché parfait, et sous plusieurs autres hypothèses, Merton propose une
structure de capital simple pour la firme étudiée, c’est-à-dire qu’elle est composée
que de la dette et des capitaux propres. Ainsi, la valeur de la firme peut être
expliquée par l’équation suivante :
( ) ( tV,StT,V,DVt +≡ ) (1)
où V, D et S représentent respectivement la valeur marchande des actifs de la firme,
de la dette et de l’équité et (T-t) désigne le temps restant jusqu’à la maturité de la
dette. Par ailleurs, la valeur de la firme suit un processus de diffusion de type
stochastique, tel :
[ ] Vdz dt CVdV σα +−= (2)
où α est le rendement espéré instantané par unité de temps sur la valeur de la
firme ; C représente les sorties de fonds destinées aux actionnaires ou détenteurs
d’obligations (c’est-à-dire les dividendes ou paiements d’intérêts) s’il est positif, ou
les dollars nets reçus par la firme suite à un (des) refinancement(s) s’il est négatif ;
σ est l’écart type instantané du rendement de la firme par unité de temps ; est un
processus standard Gauss-Wiener.
dz
Ainsi, Merton démontre que sous ces hypothèses, on peut décrire le comportement
du prix du titre (action) Y sous l’équation stochastique différentielle suivante :
17
[ ] yyyy Ydz dt CYdY σα +−= (3)
où yα est le rendement instantané par unité de temps du titre Y ; représente les
coupons payés en dollars par unité de temps ;
yC
yσ est l’écart type instantané du
rendement de Y par unité de temps ; est un processus standard Gauss Wiener.
Remarquons que les paramètres du titre Y sont indicés afin de les différencier de
ceux de la valeur de la firme (V).
ydz
En utilisant le lemme d’Ito et en formant ensuite un portefeuille d’arbitrage, Merton
dérive une expression mathématique pour la valeur de la dette (D) qui ne dépend
que de la valeur de la firme, du temps, du taux d’intérêt sans risque, de la volatilité
de la valeur de la firme et du taux d’intérêt de la dette (C). Il est intéressant de noter
que la valeur de F ne dépend pas du rendement espéré de la firme ni des préférences
des investisseurs face au risque. Donc, deux investisseurs ayant des fonctions
d’utilité différentes et possédant des opinions divergentes quant au futur d’une firme
en particulier, vont attribuer la même valeur aux obligations de cette firme s’ils sont
en accord quant à la volatilité de la valeur de la firme pour un certain niveau de taux
d’intérêt et la valeur de la firme même.
Pour la modélisation retenue dans ce mémoire, nous supposons que les obligations
ne paient aucun dividende. Dans ce contexte d’obligations zéro coupons et sachant
que les valeurs de D et de S ne peuvent être inférieures à zéro, nous obtenons les
conditions initiales suivantes pour la dette et l’équité à l’échéance de la dette :
( ) [ FV,Min V,0D = ]]
(4.a)
( ) [ FV 0,Max 0V,S −= (4.b)
où F représente le paiement obligataire promis à l’échéance aux détenteurs des
obligations. Les équations (4.a) et (4.b) démontrent que seuls les détenteurs des
obligations sont assurés d’obtenir un paiement à l’échéance de dette, soit le montant
le plus petit entre le paiement obligataire promis ou la valeur entière de la firme. Les
actionnaires, quant à eux, détiennent une option d’achat européenne sur les actifs de
18
la firme. Dit autrement, leur richesse est contingente à la capacité de la firme de
respecter ses engagements financiers envers ses créditeurs. Donc, le modèle de
Merton nous permet de considérer la valeur de l’équité de la firme comme étant
équivalente à une option d’achat européenne sur les actifs de la firme, où le prix
d’exercice correspond au paiement obligataire F.
En supposant la variance de la valeur des actifs comme étant constante, Merton fait
intervenir les équations de Black-Scholes (1973) afin de trouver les valeurs de S et
D. Ces équations sont les suivantes :
( ) ( ) ( )τσaa −Φ−Φ= ττ r-FeVV,S (5)
[ ]
τσ
τσra
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=
2
21V/Flog
où
et . tTτ −=
Notons que Φ (x) signifie une fonction de distribution cumulative normale évaluée
au point x. De (5) et sachant que D = V – S, on peut réécrire la valeur de l’obligation
comme suit:
[ ] ( )[ ] ( )[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ Φ+Φ= τστσττ 2
12
2 d,wd1d,wr-FeV,D (6)
où V/r-Fed τ≡
( )( )
τσ
τστσ
dlog21
d,w2
21
−−=
( )( )
τσ
τστσ
dlog21
d,w2
22
+−= .
19
Finalement, on peut déduire de ce modèle la probabilité de défaut de la firme i, soit
la probabilité que la valeur de ses actifs à l’échéance de la dette soit inférieure au
paiement obligataire promis, comme étant :
( )[ ] ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=<
τστ0.5σα/VFlnΦD|F TVP
2iii
Tiii (7)
Vu autrement, c’est la probabilité que les actionnaires n’exerceront pas leur option
d’achat qui leur permettrait d’acquérir les actifs de la firme au coût de F (valeur de
la dette à échéance).
Techniquement, on ne peut utiliser le modèle de Merton pour estimer la valeur de
l’équité que si l’on dispose de la valeur de l’actif non observée ainsi que les
paramètres du modèle (α et σ).
3.2 Modèle de Brockman et Turtle (2003)
Le but de cet article était de différencier les titres financiers (actions ordinaires,
obligations) des options standard européennes afin de mieux modéliser le
comportement des titres financiers. Par conséquent, ce modèle permettrait d’évaluer
avec une meilleure précision la valeur des titres financiers ainsi que la probabilité de
défaut des firmes émettrices.
La valeur des options standards européennes ne dépend pas directement du cours
suivi par l’actif sous-jacent (path-independent security) puisque ce n’est qu’à
l’échéance que leur valeur sera établie. Cela signifie que les options demeurent
« vivantes » indépendamment de l’appréciation ou de la dépréciation de l’actif sous-
jacent. La théorie des options classique s’applique donc mal aux titres financiers car
la valeur de ceux-ci est directement liée au cours suivi par l’actif sous-jacent (ex : la
valeur de la firme), et ce, à tout moment.
Deux types d’options à barrière sont utilisés par les auteurs pour modéliser le
comportement des titres financiers, soit les options d’achat down-and-out et down-
20
and-in. Les auteurs postulent que les actions de la firme sont équivalentes à des
options d’achats down-and-out sur les actifs de la firme tandis que les obligations
sont équivalentes à un portefeuille de dette sans risque, d’une position courte sur une
option de vente sur les actifs de la firme ainsi qu’une position longue dans une
option d’achat down-and-in sur les actifs de la firme.
Prenons l’exemple des actionnaires : si la valeur des actifs de la firme émettrice
tombe en deçà d’un niveau prescrit (habituellement lié à l’endettement de la firme),
les actions peuvent perdre leur valeur entière dû à la faillite de la firme (down-and-
out). Inversement, les options à barrière des détenteurs de la dette seront activées
(down-and-in) à la faillite de la firme. Conceptuellement, la position de ces derniers
leur donne le droit de forcer la faillite de la firme lorsque la valeur des actifs devient
insuffisante. En ignorant l’existence de telles barrières, la théorie traditionnelle de
Merton (1974) surévalue l’équité de la firme et sous évalue la dette corporative par
un montant égal à la valeur de l’option d’achat down-and-in. Cette intuition
conceptuelle nous mène à tester l’hypothèse que les barrières sont quantifiées en
pratique.
Par ailleurs, ce modèle s’avère d’une grande souplesse car il permet de s’adapter aux
différentes lois de faillite rencontrées dans le monde, dont celle du Canada. Par
exemple, il permet de tenir compte de la possibilité que les actionnaires reçoivent
néanmoins un certain montant d’argent lors du défaut de la firme. Pour des fins de
simplification, nous ferons abstraction de cette caractéristique du modèle et nous
nous concentrerons davantage sur le droit que détiennent les créanciers de forcer la
liquidation d’une entreprise avant l’échéance de sa dette.
Selon le modèle de Brockman et Turtle (2003), la valeur de l’équité de la firme est
représentée par l’équation suivante :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )τσb
bτσaa
−+
−−Φ−Φ=−− ΦV
HFe
ΦVHVr-FeVV,S
22ηrτ
2ηττ (8)
21
( ) ( )( )
( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<++
≥++
=H, F quand
τστ/2σrV/Hln
H, F quand τσ
τ/2σrV/Fln
2
2
a
( ) ( )( )
( ) ( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<++
≥++
=H, F quand
τστ/2σrH/Vln
H, F quand τσ
τ/2σr/VFHln
b2
22
21
σrη 2 +≡ ,
où S, V, F, H,τ , et r représentent respectivement l’équité de la firme, la valeur
marchande des actifs de la firme, le paiement obligataire promis à l’échéance de la
dette, la valeur des actifs qui déclanche la faillite de la firme (ceci est la
« barrière »), le temps restant jusqu’à l’expiration de l’option, la distribution
normale cumulative et le taux sans risque continuellement composé.
Φ
Parallèlement, l’option d’achat down-and-in que les créditeurs détiennent parmi leur
portefeuille, tel que décrit précédemment, peut être exprimée comme suit :
(5) – (8) = ( ) ( ) ( ) ( )τσbb −−−− ΦV
HFeΦVHV
22ηrτ2η (9)
quand F ≥ H, et
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++=
− τσaΦrτ-FeaVΦ-τσ
τ/2σrV/FlnΦFe-
τστ/2σrV/FlnVΦ
2rτ
2
+ ( ) ( ) ( ) ( )τσbb −−−− ΦV
HFeΦVHV
22ηrτ2η
22
quand F < H. L’équation (9) est simplement la différence entre la valeur d’une
option européenne standard (équation 5) moins la valeur de l’option d’achat down-
and-out (équation 8) que possèdent les actionnaires. Cette option down-and-in
demeure inactive tant que la valeur des actifs de la firme est supérieure à la barrière
prédéterminée. Si la valeur des actifs devient égale ou inférieure à la barrière,
l’option est « activée » et peut être exercée immédiatement.
Il est intéressant de remarquer que l’équation (8) se réduit à l’équation (5) lorsque la
valeur « barrière » des actifs est nulle (H=0). Donc, les deux derniers termes de
l’équation (8) ajustent l’équation d’équité de Merton (1974) afin de tenir compte de
la possibilité que la valeur des actifs tombe en deçà de la barrière de défaut avant
l’échéance de la dette.
Ainsi, une approche structurelle à l’évaluation du risque de crédit d’une firme
pourrait adopter la méthodologie suivante, soit :
• Hypothèse nulle : les barrières sont nulles;
• Hypothèse alternative : les barrières sont strictement supérieures à zéro.
Si l’hypothèse nulle ne peut être rejetée, le modèle standard de Merton serait
appliqué. Advenant le rejet de l’hypothèse nulle, la modélisation de Brockman et
Turtle (2003) serait mieux appropriée. Cette combinaison des modèles est
intéressante car les barrières pour une même firme peuvent parfois s’avérer
significatives, et ensuite ne plus l’être. Cette méthodologie permettrait donc de
calculer des probabilités de défaut indépendamment de l’existence des barrières de
défaut. Un exemple de cette méthodologie est offert par Hao (2006).
Une fois la barrière de défaut estimée (H), nous pouvons utiliser l’équation (8) afin
de dériver la probabilité de défaut d’une firme comme suit :
Probabilité de défaut ( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
τστ/2σrVln-HlnΦ
2
23
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
τστ/2σrVln-HlnΦ1
σVln/2σr2exp
2
2
2
(10)
L’équation (10) représente la probabilité risque neutre que la valeur des actifs tombe
en deçà de la barrière dans l’intervalle temporel [0, T].5
3.3 Adaptation du modèle de Brockman et Turtle (2003) par la méthode du
maximum de vraisemblance
Afin de résoudre le problème du manque d’observabilité des actifs des firmes, ce
mémoire privilégiera la méthode du maximum de vraisemblance, telle qu’elle a été
exposée dans Duan (1994) et reprise dans Duan, Gauthier et Simonato (2004). La
logique qui suit présente d’abord la fonction de vraisemblance du modèle de Merton
(1974) pour ensuite présenter celle de Brockman et Turtle (2003) car la première fait
partie intégrante de la seconde.
Rappelons que dans le cadre Merton (1974) avec de la dette zéro coupon, la valeur
marchande des actifs de la firme, représentée par V, est supposée suivre un
mouvement Brownien géométrique :
t
2
t σdW dt 2σμlnV d +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−= (11)
où μ et σ représentent respectivement le rendement espéré et l’écart type de la valeur
de l’actif, tandis que dW est un processus du type Wiener. En supposant
l’observabilité des valeurs marchandes des actifs des firmes, on peut utiliser les
équations du modèle Black et Scholes (1973) pour dériver la fonction de
vraisemblance du modèle de Merton (1974) :
t
5 Nous présentons en annexe 4, la formule de la probabilité de défaut physique ainsi que les probabilités de défaut résultantes pour les firmes étudiées dans ce mémoire.
24
( )
( ) ∑∑==
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−
=
n
1kkh
n
1k2
22
k2
nh2hh0V
lnVhσ
h2σμR
21h2πln
2n
V,...,V,V,Vσ;μ,L
σ
(12)
où( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
− hk
khk V
VR1
ln 6. La variable h représente une journée ouvrable exprimée en
année7. Cette fonction de vraisemblance suppose qu’il n’y ait pas eu de défaut
durant la période en question.
Mais puisque l’on n’observe pas les différentes valeurs des actifs, nous devons les
inférer à partir du modèle de Merton et des capitalisations boursières des firmes (S),
qui elles sont observables. La fonction de vraisemblance du modèle de Merton
prend donc la forme suivante :
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )((∑=
−
=n
1kkhnhh0
V
nhh0S
σd̂ΦlnσV̂,...,σV̂,σV̂σ;μ,L
S,...,S,Sσ;μ,L
)) (13)
où ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
khTσ
khT2σr/FσV̂ln
σd̂et σ;SgσV̂
2
kh
khkh1
kh −
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
== −
Il est donc possible de retrouver les estimés de maximum de vraisemblance des
paramètres μ et σ en maximisant l’équation (13).
Finalement, l’équation (14) ici-bas représente la fonction de vraisemblance complète
correspondant au modèle de Brockman et Turtle (2003) contingente à l’observation
des valeurs marchandes des capitalisations boursières des firmes.
6 Le troisième terme de l’équation (12), qui serait égal à une inutile constante si les valeurs de V étaient observables, doit être conservé pour les manipulations subséquentes car V est justement inobservable. 7 Par exemple, s’il y a 260 jours par année où la bourse de Toronto est ouverte, h prendra la valeur de 1/260.
25
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )∑
∑
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=
−
∂
∂−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−+
=
n
j 1 jh
jh
V̂H
2σ
lnμV̂H
2σ
n
1j
jhh1j2nh2hh0
V
nh2hh0SBT
V̂
Hσ,;Hσ,V̂gln
σnh
lnnhμΦexp
σnh
lnnhμΦln
HV̂
lnH
V̂ln
hσ2exp1lnV̂,...,V̂,V̂,V̂σ;μ,L
S,...,S,S,SH;σ,μ,L
0
2
0V̂H
2
2σ2σ
20
2 (14)
3.4 Spécificités de l’estimation du modèle proposé
Afin de procéder à l’estimation des paramètres et des probabilités résultantes, un
choix devait s’imposer au niveau de certaines variables clés de l’estimation, soit du
nombre d’observations boursières à utiliser (la « fenêtre » d’estimation), l’échéance
des options (τ ) ainsi que les valeurs de départ des paramètres µ, σ et H. Pour
répondre à ces choix et pour s’assurer que la méthodologie proposée soit efficace,
quelques simulations ont été exécutées et les résultats de ces dernières sont présentés
en annexe 1. Ces exercices consistaient essentiellement à simuler des valeurs
d’actifs qui obéissaient à certaines valeurs des paramètres µ, σ et H pour ensuite
tester la capacité de l’algorithme à retrouver ces valeurs. Le tableau 2 présente les
valeurs retenues pour les 5 variables en question.
Tableau 2 : Valeurs retenues pour les variables clés de l’estimation.
Variables Valeurs retenuesFenêtre d'observations 2 années
Durée de vie des options 10 annéesµ (valeur de départ) 0σ (valeur de départ) 0,1H (valeur de départ) la valeur de la dette
Pour chaque fenêtre de données des entreprises, la fonction « fzero » de Matlab
utilise les valeurs de départ proposées pour inférer les valeurs des actifs des firmes
(V) qui annulent la différence entre les valeurs des capitalisations boursières
observées et l’équation (8), soit :
26
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−−Φ−Φ
−− τσbbτσaa ΦVHFeΦV
HVr-FeV-S22ηrτ2ητ ) (15)
Une fois les valeurs de V trouvées, les trois paramètres et la valeur des actifs sont
insérées dans l’équation (14). La fonction fminsearch de Matlab est ensuite utilisée
afin de maximiser l’équation (14), c’est-à-dire que l’algorithme tente d’obtenir une
valeur supérieure de la fonction de vraisemblance (équation 14) en utilisant de
différentes valeurs pour les trois paramètres μ, σ et H. Une fois l’optimum trouvé,
les paramètres estimés et les valeurs des actifs peuvent être utilisés afin de calculer
les probabilités de défaut des firmes (équation (10)).
27
4. Base de données
La base de données qui est utilisée pour calculer les barrières de défaut et les
probabilités de faillite résultantes provient d’un travail de Dionne et al. (2005)
présenté à la Banque du Canada dans le cadre d’une application d’un modèle
hybride à des entreprises publiques canadiennes. Ces données sont reprises
intégralement dans ce travail afin de pouvoir comparer les probabilités de défaut
produites et, plus spécifiquement, la capacité des modèles à identifier correctement
les firmes qui ont fait défaut. Nous présentons dans cette section les données brutes
ainsi que les statistiques importantes sur les entreprises en question.
La base de données originale comportait 1 339 entreprises n’ayant pas fait défaut et
130 ayant fait défaut, pour un total de 1 469 entreprises publiques canadiennes. Les
capitalisations boursières ont une fréquence quotidienne, tandis que les valeurs de la
dette sont observées annuellement.
Le nettoyage et la fusion des données ont été réalisés à l’aide de SAS version 9.1.
4.1 Les entreprises ayant fait défaut
Les données sur les compagnies ayant fait défaut ont été retrouvées dans le
Financial Post Predecessors & Defunct, Cancorp Financials (Corporate Retriever)
et Stock Guide. Les capitalisations boursières quotidiennes sont extraites de la série
DEAD.LLT de DATASTREAM. De 1990 à 2004, il y a eu 130 entreprises qui ont
fait défaut, dont 112 ayant déclaré faillite et 18 qui ont été (ou demeurent en)
réorganisation. Le tableau 3 permet de visualiser la distribution des défauts par
année. On remarque que le début des années 90 et les années après 2001 sont celles
qui présentent le plus de défauts.
28
Tableau 3 : Distribution des défauts et des réorganisations avant nettoyage des données.
Année Faillite Réorganisation Total de défauts
1990 9 4 131991 10 2 121992 10 1 111993 8 1 91994 7 0 71995 8 0 81996 4 0 41997 5 1 61998 5 0 51999 9 0 92000 6 3 92001 7 3 102002 8 2 102003 10 1 112004 6 0 6Total 112 18 130
La base de données comporte 436 observations dynamiques (entreprise-année)
concernant les données comptables, soit 378 pour les entreprises ayant fait défaut et
58 pour les entreprises en réorganisation. Dit autrement, chaque entreprise possède
en moyenne 3,4 observations comptables annuelles.
Cependant, 22 entreprises ayant fait défaut ont été éliminées de la base de données
en raison d’un manque de données (comptables et/ou de marché) ou en raison d’un
décalage trop grand entre la date de publication du dernier état financier et de la date
effective du défaut. En effet, plusieurs de ces entreprises présentent d’importants
décalages entre ces deux dates. Ceci s’explique par le fait que la majorité des firmes
ne publient pas leurs états financiers durant la dernière année précédant leur faillite.
Une autre explication réside dans la lente procédure de mise en défaut de certaines
entreprises. Ainsi, Dionne et al. (2005) ont éliminé les entreprises présentant un
décalage supérieur à 18 mois. Les entreprises conservées ont donc fait défaut entre
12 à 18 mois après la dernière publication de leurs états financiers.
Le tableau 4 présente les statistiques descriptives pour les 108 entreprises en
question.
29
Tableau 4 : Statistiques descriptives des 108 défauts (en millions de $ CA)
Mesure statistique Capitalisation boursière PassifMoyenne 335,04 250,86Médiane 14,57 20,75
Mode 22,00 317,00Écart-Type 1 301,36 1 135,30
Coefficient d'asymétrie 6,00 10,60Kurtosis 40,06 126,58
Nombre d'observations 60 331 380
La base finale des défauts possède 60 331 observations quotidiennes des valeurs des
capitalisations boursières des firmes ayant fait défauts contre 380 observations
comptables annuelles. Évidemment, une fois les deux variables fusionnées (elles
proviennent de sources différentes), les observations des données comptables se
répètent de façon à concorder avec les observations de marché. La base de données
des défauts présente donc un nombre total de 60 331 observations.
4.2 Les entreprises n’ayant pas fait défaut
Les données comptables sur les entreprises n’ayant pas fait défaut proviennent de
Stock Guide pour les années de 1984 à 2004. Les valeurs des capitalisations
boursières quotidiennes sont prises de DARASTREAM de la série FTORO.LLT. Le
tableau 5 présente les statistiques descriptives pour toutes les entreprises listées à la
Bourse de Toronto qui n’ont pas fait défaut.
Tableau 5 : Statistiques descriptives de toutes les entreprises listées à la Bourse de Toronto n’ayant pas fait défaut (en millions de $ CA)
Mesure statistique Capitalisation boursièreMoyenne 854,93Médiane 59,03
Mode 285,38Écart-Type 4 758,10
Coefficient d'asymétrie 26,12Kurtosis 1 188,95Étendue 366 400,00
Intervalle interquartile 255,77Nombre d'observations 3 109 201
30
Nous possédons 3 109 201 observations quotidiennes des valeurs des capitalisations
boursières des firmes n’ayant pas fait défaut, avec une moyenne de 854,93 millions
de dollars canadiens. L’écart type de la capitalisation boursière s’élève à 4 758,10
millions de dollars canadiens, reflétant l’inclusion de firmes possédant de très
grandes valeurs de capitalisation boursière.
4.3 Statistiques sur l’ensemble des entreprises conservées pour l’analyse
Les entreprises financières ont été éliminées de la base de données puisque celles-ci
ne possèdent généralement pas la même structure d’états financiers que les
entreprises non financières. De plus, 51 entreprises ayant fait défaut ont été
éliminées car celles-ci ne possédaient pas d’états financiers suffisamment complets
pour créer les variables financières incluses dans les modèles hybrides. Ainsi, la
base de données finale comporte un total de 684 entreprises publiques canadiennes
non financières, dont 57 d’entre elles ont fait défaut. Le tableau suivant présente les
statistiques descriptives des entreprises conservées pour l’analyse.
Tableau 6 : Statistiques descriptives des entreprises conservées pour l’analyse (en millions de $ CA)
Capitalisation CapitalisationBoursière Boursière
Moyenne 922,30 809,93 415,73 289,99Médiane 67,92 42,59 15,98 30,15
Mode 5,27 3,55 2,20 -Écart-Type 4 838,35 2 914,00 1 456,95 930,16
Coefficient d'asymétrie 32,36 7,75 5,18 5,40Kurtosis 1 535,67 80,09 28,92 36,14Étendue 250 432,42 53 466,00 9 855,19 8 103,00
Intervalle interquartile 394,48 258,19 59,65 68,33Nombre d'observations 1 885 707 5 339 47 311 281
Non-Défauts Défauts
Mesure statistique Passif Passif
31
4.4 Décalage des données comptables
Comme l’on fait Dionne et al. (2005), et à l’instar de Vassalou et Xing (2003), ce
mémoire ne considère que les états financiers disponibles aux investisseurs puisque
les dates fiscales des états financiers des firmes ne correspondent jamais avec la date
de publication réelle. En général, les entreprises publient leurs états financiers 3 à 4
mois après leur date fiscale, et par conséquent, il serait imprudent de ne pas décaler
les données comptables de cette même période, faute de quoi, le pouvoir
discriminant du modèle structurel serait surestimé. Puisque la base de données
comporte les dates de publication des états financiers, il est possible de décaler les
données comptables. Par exemple, les informations comptables d’une entreprise
présentant une date fiscale du 30 juin 1994 ne pourront être utilisées qu’à partir du
30 octobre 1994, et ce, pour les 12 mois qui suivront.
De plus, il a été nécessaire d’avancer la date de défaut d’un an pour les entreprises
ayant fait défaut car sinon, la composante du modèle de score n’aurait pu être
calculée lors de la dernière observation. Ceci explique le fait que des défauts sont
observés pour les années 1988 et 1989, alors que dans l’échantillon initial, les
défauts débutaient en 1990. Le tableau 7 illustre la fréquence annuelle des données
utilisées pour les modèles hybrides (régressions probit).
32
Tableau 7 : Fréquence par année des données utilisées pour le modèle final8
0: Non défaut Nombre Nombre de défauts1: Défaut total initiaux
0 99 97,06%1 3 2,94% 00 111 95,69%1 5 4,31% 00 132 99,25%1 1 0,75% 130 149 98,68%1 2 1,32% 120 150 98,04%1 3 1,96% 110 177 98,33%1 3 1,67% 90 185 97,37%1 5 2,63% 70 229 99,13%1 2 0,87% 80 280 100,00%1 0 0,00% 40 328 98,50%1 5 1,50% 60 381 99,22%1 3 0,78% 50 427 99,30%1 3 0,70% 90 462 98,72%1 6 1,28% 90 505 98,44%1 8 1,56% 100 563 99,12%1 5 0,88% 100 588 99,49%1 3 0,51% 110 66 100,00%1 0 0,00% 60 4766 98,82%1 57 1,18% 130
Année Pourcentage
Total
2004
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
1994
1989
1988
1993
1992
1991
1990
4.5 Le taux sans risque
Le modèle retenu dans ce mémoire requière également l’inclusion du taux sans
risque comme variable. Le taux retenu est celui des bons du Trésor canadien
provenant de la base de données International Financial Statistics (IMF). Ils
définissent ce taux comme étant la moyenne pondérée des rendements sur achat de
8 DIONNE, Georges et al. (2005). « Estimation of the Default Risk of Publicly Traded Companies » , working paper, Bank of Canada, p.29.
33
bons avec une maturité de 3 mois. À titre de référence, le tableau 8 présente
l’évolution de ce taux pour les années étudiées.
Tableau 8 : Statistiques descriptives du taux sans risque (1986 à 2004).
Statistique Taux hors risqueMoyenne 0,0598Écart-type 0,0289Minimum 0,0220Médiane 0,0534Maximum 0,1205
34
5. Résultats
Cette section portant sur les résultats des estimations comporte trois grandes parties.
Premièrement, des statistiques descriptives des probabilités de défaut et des
paramètres estimés par le biais de la composante structurelle sont exposées. Dans un
second temps, ces probabilités de défaut seront insérées dans les modèles hybrides
proposés par Dionne et al. (2005) afin de déterminer si le fait de rendre endogène la
barrière de défaut permet de mieux prédire le défaut des firmes. Finalement, cette
section se termine avec une discussion des raisons qui pourraient justifier les
différents résultats obtenus entre l’étude de Dionne et al. (2005), de Brockman et
Turtle (2003) et ceux de ce mémoire.
5.1 Résultats de l’estimation du modèle de Brockman et Turtle (2003) par maximum
de vraisemblance
Les tableaux 9 et 10 présentent les statistiques descriptives des paramètres µ, σ et H
ainsi que le ratio de barrière-sur-dette. À priori, il est intéressant de constater que les
firmes ayant fait défaut présentent, en moyenne, un paramètre µ considérablement
inférieur à celui des firmes survivantes (-0,1978 vs 0,1600 respectivement)9. Toutes
choses étant égales par ailleurs, un rendement espéré inférieur au niveau de la valeur
des actifs (µ) devrait coïncider avec une probabilité supérieure d’atteindre la valeur
critique H, et donc, déclencher la faillite de la firme en question. De plus, on
constate que les défauts démontrent une volatilité supérieure avec un sigma moyen
de 0,8169 vs 0,5196 pour les entreprises survivantes.
9 De tels résultats négatifs ont déjà été documentés dans l’étude de Hao (2006).
35
Tableau 9 : Statistiques descriptives des paramètres µ et σ obtenus par l’estimation de maximum de vraisemblance (D et ND signifient respectivement Défaut et Non-Défaut)
D ND D NDMoyenne -0,1978 0,1600 0,8169 0,5196Mediane -0,0146 0,1193 0,6592 0,4269
Mode 0,0000 0,2455 0,0000 0,1806Ecart-type 1,0084 0,5470 0,5344 0,4397
Erreur moy std 0,0855 0,0089 0,0453 0,0071Skewness 0,0290 1,8006 1,5022 7,7512Kurtosis 9,4333 33,1845 3,0682 113,5273
Min -5,4124 -3,7697 0,0956 0,0347Max 4,7766 9,4173 3,2835 8,3467
mu sigma
Tableau 10 : Statistiques descriptives de la barrière de défaut (en milliers de $ CA) et du ratio barrière sur dette obtenus par l’estimation de maximum de vraisemblance (D et ND signifient respectivement Défaut et Non-Défaut)
D ND D NDMoyenne 77 881,4 324 911,0 2,3682 2,8335Mediane 5 797,0 15 276,0 0,5193 0,5157
Mode - 344,3 - 12,4463Ecart-type 290 260,0 1 283 027,0 7,0359 16,9852
Erreur moy std 24 619,5 20 791,6 0,5989 0,2752Skewness 6,0641 10,9298 5,2526 19,0589Kurtosis 42,1818 192,4888 29,8588 483,5882
Min 5,8928E-07 5,1834E-08 2,5904E-11 2,7267E-11Max 2,5260E+06 3,4688E+07 4,9338E+01 5,1893E+02
Barrière Barrière/Dette
Au niveau de la barrière de défaut, on remarque des moyennes assez élevées,
notamment une moyenne du ratio de barrière sur dette de 2,3682 et de 2,8335 pour
les défauts et non défauts respectivement. Cependant, ces statistiques sont quelque
peu trompeuses puisque l’échantillon utilisé comporte des entreprises possédant un
niveau d’endettement très faible. Par conséquent, leur ratio de barrière sur dette est
très élevé, ce qui fait augmenter la moyenne considérablement. Par conséquent, ce
ratio est présenté, au tableau 11, en fonction des percentiles.
Tableau 11 : Distribution du ratio barrière-sur-dette (H/X) par percentiles
Proportion oùNb Obs 5% 25% 50% 75% 95% H<X
Défauts 139 0,0000 0,1297 0,5193 1,5723 9,5008 0,6667Non-défauts 3808 0,0000 0,0598 0,5157 1,2328 8,0190 0,7297Toutes 3947 0,0000 0,0631 0,5158 1,2397 8,1816 0,7275
Centiles des H/X
36
Les résultats de cette étude confirment donc une des conclusions avancées par
l’étude de Wong et Choi (2006), soit que la majorité des firmes présentent des
barrières de défaut inférieures à leur niveau d’endettement, ce qui contredit
évidemment les résultats obtenus dans l’étude de Brockman et Turtle (2003). En
effet, on constate que 72,75% de toutes les firmes étudiées dans cette recherche
présentent un ratio de barrière sur dette inférieur à 1 quand on estime la barrière
avec la méthodologie suivie dans ce mémoire. On aperçoit également des ratios de
barrière sur dette très élevés au niveau du 95e centile, ce qui reflète l’impact des
entreprises possédant un niveau d’endettement très faible.
Afin d’illustrer l’impact de rendre endogène la barrière de défaut et d’obtenir des
ratios de barrière-sur-dette majoritairement inférieurs à 1, les probabilités de défaut
de certaines firmes sont calculées selon la méthodologie exacte de Brockman et
Turtle (2003). Ces probabilités sont ensuite comparées à celles obtenues dans ce
mémoire pour les même firmes et années de prédiction. Ceci permet d’observer
l’impact sur les probabilités de défaut d’utiliser le mauvais proxy proposé par
Brockman et Turtle (2003).
Cependant, en raison du calcul de la volatilité des actifs des firmes proposé par ces
auteurs, cette analyse ne peut s’effectuer que pour un sous-échantillon des firmes
n’ayant pas fait défaut. Voici comment ces auteurs calculent la volatilité des actifs :
« Pour mesurer la volatilité des actifs, nous calculons d’abord la variance
trimestrielle des variations en pourcentage des valeurs marchandes des actifs pour
chaque firme avec un minimum de 10 années d’observations. Notre mesure annuelle
de la volatilité, σ, est ensuite trouvée en prenant la racine carrée de quatre fois la
variance trimestrielle. » (Brockman et Turtle, 2003, p.518). Afin d’obtenir au moins
cinq probabilités de défaut pour chaque firme, seules les firmes présentant un
minimum de 15 années d’observations sont conservées, ce qui exclu totalement les
entreprises ayant fait défaut. Le sous échantillon regroupe 170 firmes et permet de
calculer 1 267 probabilités de défaut. Le tableau suivant compare les probabilités de
défaut (et autres paramètres) issues des deux méthodologies pour les firmes et
années en question.
37
Tableau 12 : Comparaison des résultats entre la méthodologie de Brockman et Turtle (2003) et la méthodologie suivie dans ce mémoire (barrière de défaut, valeur des actifs et de la capitalisation boursière toutes présentées en millions de $ CA).
Erreurstandard
Brockman et Turtle (2003)
Probabilité de défaut 26,80% 15,62% 28,68% 0,81% 0,00% 99,76%Barrière de défaut 1 685,00 205,99 4 042,09 113,56 0,06 34 077Valeur marchande des actifs 2 450,54 357,57 5 586,34 156,94 3,26 44 700,00Sigma 0,354 0,281 0,288 0,008 0,057 5,119
Maximum de vraisemblance
Probabilité de défaut 6,42% 0,00% 15,77% 0,44% 0,00% 100,00%Barrière de défaut 541,71 32,55 1 699,42 47,74 0,00 22 531Valeur marchande des actifs 1 861,05 240,16 4 474,23 125,80 2,40 40 788,00Sigma 0,438 0,328 0,385 0,011 0,025 8,184
Variables en commun
Dette 881,18 113,65 2093,77 58,82 29,00 900,00Capitalisation boursière 1344,44 141,92 3435,33 96,51 0,54 34 800,00Taux sans risque 3,83% 3,70% 0,97% 0,03% 2,20% 6,67%
MaximumMoyenne Médiane Écart Type Minimum
23
Les probabilités de défaut diffèrent grandement entre les deux méthodologies. En
effet, celles de Brockman et Turtle (2003) présentent une moyenne des probabilités
de défaut des firmes de 26,8% contre une de 6,42% pour la méthodologie suivie
dans ce mémoire. Cette différence est due, notamment, à une valeur de la barrière de
défaut considérablement plus élevé dans la méthodologie de Brockman et Turtle
(2003) par rapport à celle issue de la méthode du maximum de vraisemblance. Le
ratio de la valeur marchande des actifs sur la barrière de défaut est de 1,45 versus
3,44 pour les méthodologies de Brockman et Turtle (2003) et du maximum de
vraisemblance respectivement. Il n’est pas surprenant de constater que la probabilité
de défaut est une fonction croissante de la distance qui existe entre la valeur
marchande des actifs et la valeur critique des actifs (la barrière de défaut). Les
résultats indiquent donc que le proxy de la valeur marchande des actifs proposé par
Brockman et Turtle (2003) surestime non seulement la valeur des actifs mais
également la barrière de défaut.
Finalement, le tableau 13 permet de comparer la totalité des probabilités de défaut
obtenues dans ce mémoire versus celles obtenues par la composante structurelle
présentée dans l’étude de Dionne et al. (2005). Le modèle estimé dans ce mémoire
a généré des probabilités de défaut et des écarts-types inférieurs pour les deux types
38
d’entreprises tandis que la médiane et le coefficient d’asymétrie varient très peu
entre les deux études.
Tableau 13 : Statistiques descriptives des probabilités de défaut obtenues par la méthode de maximum de vraisemblance et par la composante structurelle de Dionne et al. (2005) (D et ND signifient respectivement Défaut et Non-Défaut)
D ND D NDMoyenne 0,3256 0,0705 0,3568 0,0880Mediane 0,2720 0,0001 0,2226 0,0001
Mode 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ecart-type 0,2909 0,1614 0,3649 0,2050
Erreur moy std 0,0248 0,0026 0,0236 0,0029Asymétrie 0,6353 2,8994 0,6563 2,8422Kurtose -0,7272 8,6047 -1,0946 7,5192
Min 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Max 0,9850 1,0000 1,0000 1,0000
Probabilités de défautMax. Vraisemblance Dionne et al. (2005)
Des tests paramétriques sur la variance et la moyenne démontrent que la variance est
statistiquement différente entre les deux études pour les deux types d’entreprises
tandis que la moyenne des probabilités de défaut est statistiquement différente que
pour les entreprises n’ayant pas fait défaut. Le tableau 14 résume les tests
paramétriques effectués. Notons que ces tests se basent sur d’hypothèses très fortes,
dont l’indépendance des échantillons qui eux, suivent des distributions normales. Tableau 14 : Tests paramétriques : Comparaisons des résultats issus de Dionne et al. (2005) et ceux issus de ce mémoire
Test de l'égalité de la variance des probabilités de défauts moyennes
Population Paramètre DL DL Statistique F Pr > FNumérateur Dénominateur
Défauts Variance 238 138 1,5735 0,0018
Non-défauts Variance 4831 3807 1,6132 <0,0001
Tests de l'égalité des moyennes des probabilités de défauts
Population Paramètre Variances Degrés de Statistique-t Pr > | t |liberté
Défauts Moyenne Différentes 342,8 0,8612 0,3897
Non-défauts Moyenne Différentes 8640,0 4,3177 <0,0001
39
Le tableau 15 présente l’évolution par année des probabilités de défaut prédites pour
les entreprises n’ayant pas fait défaut et celles l’ayant fait. Il est intéressant de noter
que les années à proximité des deux dernières récessions au Canada (1991 et 2001)
présentent des probabilités de défaut prédites les plus élevés.
Tableau 15. Évolution des probabilités de défaut prédites par année
19881989199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004
Moyenne 7,05%
9,44%7,70%8,24%4,27%
2,65%5,80%11,66%8,55%
8,50%3,58%5,86%3,26%
32,56%16,87%
AnnéeProbabilité de défaut des
entreprises n'ayant pas fait défaut
Probabilité de défaut des entreprises qui ont fait défaut
3,90% 29,35%5,37%11,02%9,87%
44,95%41,55%36,90%27,05%29,61%24,75%21,22%33,94%28,34%21,65%45,47%49,90%36,24%23,07%
10,22% 24,34%
Les figures suivantes présentent des exemples de l’évolution des probabilités de
défaut prédites pour deux firmes en particulier. Quoique, dans ce travail, les
probabilités de défaut aient été calculées en fréquence annuelle seulement, il est
possible de calculer des probabilités de défaut sur une fréquence trimestrielle. Il
s’agit de fixer le point de départ de la fenêtre d’estimation sur le trimestre voulu et
de s’assurer que cette fenêtre s’étende sur les huit trimestres suivants. La figure 3
présente l’exemple de la firme Discoverware Inc., qui avait fait défaut le 1er janvier
2001. La modélisation des probabilités de défaut de cette entreprise semble
cohérente avec le modèle puisque le défaut se matérialise au point où les
probabilités de défaut prédites sont très élevées. En effet, la majorité des défauts
présentent une évolution des probabilités de défaut similaires. Cependant, certaines
entreprises présentent des résultats qui sembleraient, à priori, inconsistants avec le
modèle, et ce, particulièrement pour les entreprises n’ayant pas fait défaut. À titre
40
d’exemple, les probabilités de défaut de l’entreprise Algo Group Inc. sont présentées
dans la figure 4, ainsi que la volatilité de ses actions. Cet exemple démontre la
sensibilité du modèle utilisé dans ce mémoire à la volatilité des actions de la firme.
Figure 3 : Évolution trimestrielle des probabilités de défaut (PD) prédites de la firme Discoverware (Janvier 1999 à Janvier 2001)
Figure 4 : Évolution annuelle des probabilités de défaut (PD) prédites et de la volatilité des actions de la firme Algo Group Inc. de 1990 à 2004.
Algo Group Inc. (TSX:AO)
0%
10%20%
30%40%
50%
60%70%
80%90%
100%
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
PD
0
0,10,2
0,30,4
0,5
0,60,7
0,80,9
1
Vola
tilité
Volatilité des actions PD prédites
41
5.2 Performance des modèles hybrides
Dans l’étude de Dionne et al. (2005), les auteurs estiment des modèles probit en
panel qui incluent certains ratios financiers et la composante structurelle. La variable
dépendante (et dichotomique) prend la valeur unitaire lorsque le défaut se produit ou
la valeur nulle sinon. L’objectif était d’observer si la composante structurelle avait
une valeur ajoutée une fois incluse dans le modèle hybride. Si le coefficient de la
composante structurelle (les probabilités de défaut estimées) est statistiquement
différente de zéro une fois incluse dans le modèle, son addition au modèle non-
structurel retenu est justifiée. La méthodologie complète du modèle probit en panel,
telle qu’elle a été présenté dans Dionne et al. (2005), est incluse en annexe 3.
Les auteurs présentent plusieurs variantes des variables retenues dans le probit et
utilisent différents tests afin de classifier les modèles. Les auteurs retiennent trois
modèles en particulier, et ensembles, ces modèles incluent des variables comptables
qui permettent de qualifier la liquidité, la profitabilité et la solvabilité des firmes
étudiées.
Il est important de mentionner que la méthodologie retenue dans ce mémoire produit
moins d’estimations de probabilités de défaut que celle retenue dans Dionne et al.
(2005). En effet, la méthodologie suivie dans ce mémoire requiert que la fenêtre
d’estimation contienne 500 jours ouvrables dans deux années consécutives. Ceci
diffère de la méthodologie retenue dans Dionne et al. (2005) où une fenêtre
d’estimation de 522 jours ouvrables consécutifs était utilisée pour ensuite avancer
cette fenêtre quotidiennement et calculer des probabilités de défaut moyennes pour
chaque année. Ainsi, il se pouvait que cette fenêtre d’estimation s’étale sur 3 années
différentes. Par exemple, une fenêtre d’estimation débutant en mi-2002 se
terminerait en mi-2004. Par conséquent, une comparaison adéquate des résultats des
deux études doivent s’effectuer sur un pied d’égalité. Ainsi, nous reproduisons les
résultats des modèles hybrides de l’étude de Dionne et al. (2005) avec leur propre
composante structurelle, mais seulement pour les estimations produites par la
42
composante structurelle dans ce mémoire10. Ensuite, les mêmes modèles sont
estimés de nouveau, mais en utilisant les probabilités de défaut calculées dans ce
mémoire. Le tableau 16 présente cette comparaison des résultats pour les 3 modèles
hybrides retenus dans Dionne et al. (2005). Les résultats des probits non-temporels
sont présentés en annexe 2.
Afin de faciliter la discussion qui suit, les modèles utilisant les probabilités de défaut
calculées dans ce mémoire seront désignés « les modèles à barrière endogène »,
tandis que les modèles de Dionne et al. (2005) seront appelés « les modèles à
barrière exogène ».
Tableau 16. Comparaison des résultats des modèles hybrides à barrière endogène et à barrière exogène Les coefficients estimés sont sur la première ligne, les p-values sur la seconde.
Paramètre Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3Constante -4,1528 -3,3222 -2,7220 -4,5512 -3,2620 -2,5796
<,0001 <,0001 <,0001 <,0001 <,0001 <,0001Moyenne annuelle 3,2771 2,1128 1,7477 1,6321 0,7271 0,4248
PD 1 an <,0001 <,0001 0,0010 0,0922 0,0480 0,2745Encaisse 0,0081 0,0078
0,0860 0,1214Actif à court -0,0091 -0,0100
terme 0,0150 0,0123Passif à court 0,0030 0,0031
terme 0,1527 0,1734Bénéfice non -0,0076 -0,0093
réparti 0,0038 0,0014Valeur nette -0,0110 -0,0129
0,0021 0,0008Passif total -0,0064 -0,0072
0,0041 0,0031Actif total 0,0070 0,0079
0,0019 0,0011Profitabilité < 0 1,3663 1,0751 1,6796 1,3351
<,0001 0,0002 <,0001 <,00010% < Profitabilité 0,4312 0,3888 0,4495 0,4046
< 6% 0,1873 0,2516 0,1877 0,2582Valeur -0,6861 -0,5526 -0,8235 -0,6382
nette/passif total <,0001 0,0006 <,0001 0,0002Bénéfice non -0,0840 -0,0559 -0,1234 -0,0820
réparti/passif total 0,0056 0,0483 0,0003 0,0090ρ 0,6824 0,4754 0,3981 0,9711 0,5834 0,5156
0,0324 0,1424 0,2216 0,0003 0,0813 0,1146-2 Log Likelihood 381,0 298,7 262,2 398,3 329,6 283,1
AIC 387,0 312,7 290,2 404,3 343,6 311,1AUC 0,825 0,950 0,963 0,744 0,923 0,950
Modèles à barrière endogène Modèles à barrière exogène
10 Spécifiquement, le nombre d’observations utilisé dans le probit passe de 4 889 à 3940. Cependant, le même nombre d’observations des défauts (où la variable dépendante prend la valeur unitaire) est conservé.
43
À priori, seul le modèle 1 à barrière endogène comporte un coefficient de la
composante structurelle significatif, et ce, à tous les niveaux de confiance
envisageables. En effet, ce coefficient s’élève à 3,2771 avec une p-value inférieure à
0,0001 tandis que le modèle 1 à barrière exogène présente un coefficient pour le
même paramètre significatif qu’à un niveau de confiance de 90%.
Le modèle 2 ajoute certaines variables comptables à la composante structurelle, et
l’on trouve que pour les deux études, le coefficient de la composante structurelle est
significativement différente de zéro à un niveau de confiance de 95%, quoi que celle
du modèle à barrière endogène est largement plus significative avec une p-value
encore inférieure à 0,0001. Finalement, seule le coefficient de la composante
structurelle du modèle 3 est statistiquement différente de zéro avec un coefficient
de 1,7477 et une p-value de 0,001.
De plus, on remarque que le coefficient de corrélation ( )ρ est significativement
différent de zéro que dans les modèles 1, où seule la composante structurelle est
désignée comme variable explicative, si l’on considère un niveau de confiance de
95%. Cependant, seul le modèle 1 à barrière exogène présente un coefficient de
corrélation significatif à un niveau de confiance de 99%. Ceci permet de conclure
que les probabilités de défaut calculées par la composante structurelle sont corrélées
dans le temps.
En somme, il y a deux grandes conclusions à retenir au niveau des modèles hybrides
présentés ci-haut. Premièrement, les 3 modèles retenus présentent des coefficients
de la composante structurelle ayant une significativité supérieure lorsque la barrière
de défaut est traitée comme étant endogène. Par conséquent, la significativité des 3
modèles se voit améliorée quand la composante structurelle est celle présentée dans
ce mémoire. Finalement, on peut également remarquer que les coefficients des
variables comptables des 3 modèles demeurent sensiblement les mêmes (leur
significativité ne change pas) indépendamment que la barrière soit endogène ou
exogène.
44
Afin de mieux visualiser la performance des modèles hybrides ci-haut, la figure
suivante présente le graphique des gains des modèles 1 et 3, et ce, quand la barrière
de défaut est endogène et exogène (Dionne et al. (2005)). Chaque modèle voit ses
probabilités de défaut prédites classées en ordre décroissant et regroupées en
percentiles (axe des abscisses). Le graphique des gains mesure le nombre de défauts
réels dans chaque percentile des probabilités de défaut prédites. Un modèle parfait
contiendrait la totalité des défauts dans le percentile le plus élevé, tandis qu’un
modèle purement aléatoire afficherait une courbe à 45%. Que ce soit dans le cas des
modèles structurels ou hybrides, on remarque que la courbe dominante est toujours
celle où la barrière de défaut est endogène.
Figure 5 : Graphique des gains
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0% 5% 10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
Percentile
Pro
porti
on d
es ré
pons
es c
apté
es
Structurel-endogène
Structurel-exogèneHybride-endogène
Hybride-exogène
Classement aléatoire
Finalement, nous analysons les erreurs de type I et type II des quatre modèles
présentés dans le graphique des gains. À priori, un choix plutôt arbitraire doit
s’effectuer au niveau de la probabilité de défaut prédite qui déterminera si le modèle
prédit le défaut ou non des firmes. Le taux retenu est celui calculé à partir des
estimés des coefficients probit, tout comme l’on fait Dionne et al. (2005). Une fois
les observations classées, l’on peut comparer les prédictions avec la réalité pour
déterminer le nombre d’erreurs de type I (prédire qu’une firme ne fasse pas défaut
45
quand elle le fait réellement) et de type II (prédire qu’une firme fasse défaut quand
elle ne le fait pas réellement) que le modèle en question a commis. Le tableau 17
démontre que les deux modèles à barrière endogène produisent moins d’erreurs de
type I et type II que les modèles à barrières exogènes respectifs. Ceci démontre une
fois de plus l’avantage de rendre endogène la barrière de défaut des firmes.
Tableau 17 : Performance de prédiction des défauts (*= erreur de type I et ** = erreur de type II)
Prédiction du modèle Défauts effectifs Non défauts effectifsModèle 3 à barrière endogèneSeuil: Moyenne des probabilités de défauts prédites = 0,859%
51 36589,47% 9,40%**
6 351810,53%* 90,60%
Total 57 3883Modèle 3 à barrière exogèneSeuil: Moyenne des probabilités de défauts prédites = 0,881%
49 41785,96% 10,74%**
8 346614,04%* 89,26%
Total 57 3883Modèle 1 à barrière endogèneSeuil: Moyenne des probabilités de défauts prédites = 0,628%
30 30152,63% 7,75%**
27 358247,37%* 92,25%
Total 57 3883Modèle 1 à barrière exogèneSeuil: Moyenne des probabilités de défauts prédites = 0,663%
19 34933,33% 8,99%**
38 353466,67%* 90,01%
Total 57 3883
Défauts
Non défauts
Défauts
Non défauts
Défauts
Non défauts
Défauts
Non défauts
5.3 Discussion de la différence des résultats obtenus
Nous terminons ce travail en soulignant brièvement les principales différences qui
existent entre ce mémoire et l’étude de Brockman et Turtle (2003) ainsi que celles
qui existent entre ce mémoire et l’étude de Dionne et al. (2005).
46
Comparativement au modèle original de Brockman et Turtle (2003), ce mémoire a
privilégié la méthode du maximum de vraisemblance afin de ne pas utiliser le proxy
que ces auteurs proposent pour calculer la valeur marchande des actifs. Il a été
démontré au tableau 12 que, pour les 170 firmes étudiées, la méthode de Brockman
et Turtle (2003) produit des barrières de défaut et valeurs des actifs supérieures à
celles produites par la méthode de maximum de vraisemblance. De plus, notre
exemple a montré que le ratio de la valeur marchande des actifs sur la barrière de
défaut est plus grand quand on utilise la méthode de maximum de vraisemblance, ce
qui génère des probabilités de défaut moindres que celles obtenues par la
méthodologie de Brockman et Turtle (2003).
Par rapport à l’étude de Dionne et al. (2005), les principales différences sont :
1. Le fait que la barrière de défaut n’est plus fixée à une valeur quelconque. Plutôt,
la barrière est considérée comme étant endogène et la méthode de maximum de
vraisemblance permet de l’estimer. Quoi que l’impact de rendre endogène la
barrière de défaut ne s’observait pas directement au niveau des moyenne des
probabilités de défaut, la variance des probabilités de défaut a diminué. Par
conséquent, lorsque les modèles hybrides de Dionne et al. (2005) incluent les
probabilités de défaut calculées avec la méthode du maximum de vraisemblance,
leurs capacités prédictives augmentent.
2. Par ailleurs, ce mémoire considérait la dette entière des firmes, tandis que
l’étude de Dionne et al. (2005) définissait la dette des firmes comme étant la
somme du passif à court terme et la moitié du passif à long terme.
3. Finalement, quoi que les deux études utilisent une fenêtre d’estimation de deux
années, la méthodologie proposée dans ce travail nécessitait que les observations
soient contenues dans 2 années de calendrier consécutives. Ceci diffère de la
méthodologie retenue dans Dionne et al. (2005) où une fenêtre d’estimation de
522 jours ouvrables consécutifs était utilisée pour ensuite avancer cette fenêtre
quotidiennement et calculer des probabilités de défaut moyennes pour chaque
année. Ainsi, il se pouvait que cette fenêtre d’estimation s’étale sur 3 années
47
différentes. Par exemple, une fenêtre d’estimation débutant en mi-2002 se
terminerait en mi-2004. Par conséquent, leur méthodologie permet d’obtenir un
plus grand nombre d’estimations des probabilités de défaut.
48
6. Conclusion
L’objectif de ce mémoire était d’appliquer la méthodologie proposée par Brockman
et Turtle (2003) à un échantillon d’entreprises publiques canadiennes dont les
actions sont transigées à la Bourse de Toronto. Ce modèle se devait d’être étendu à
la méthode du maximum de vraisemblance afin de résoudre le problème du manque
d’observabilité de la valeur marchande des actifs et pour rendre endogène la barrière
de défaut des firmes. Pour ce faire, nous avons retenu la modélisation proposée par
Duan, Gauthier et Simonato (2004) du modèle de Brockman et Turtle (2003).
La base de données utilisée dans ce mémoire était identique à celle utilisée dans une
étude de Dionne et al. (2005) où ils étudiaient la capacité de modèles hybrides à
calculer le risque de défaut d’entreprises publiques canadiennes. Cependant, leur
composante structurelle fixait la barrière de défaut égale à la valeur nominale de la
dette.
Les résultats de cette étude ont démontré, dans un premier temps, que la majorité
des firmes étudiées possèdent des barrières de défaut inférieures à leur endettement,
ce qui vient démentir un des résultats de l’étude de Brockman et Turtle (2003). De
plus, les capacités prédictives des trois modèles hybrides présentés dans Dionne et
al. (2005) sont améliorées lorsque leur composante structurelle est substituée par
celle présentée dans cet ouvrage. Les coefficients des probabilités de défaut
deviennent significativement différents de zéro à un niveau de confiance de 99%, et
ce, à travers les trois modèles. Finalement, le graphique des gains ainsi qu’un
examen des erreurs de type I et II ont aussi confirmé l’avantage de rendre endogène
les barrières de défaut des firmes.
Dans un travail ultérieur, il serait intéressant de tester la sensibilité du modèle
appliqué dans ce mémoire à la durée de vie des options. En effet, ce paramètre fut
fixé arbitrairement dans ce travail et une analyse de sensibilité permettrait d’illustrer
l’impact de la durée de vie des options aux probabilités de défaut calculées.
49
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50
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51
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52
Annexes
Annexe 1 : Résultats de la simulation Monte Carlo. Mu Sigma H
Vraie 0,1 0,3 5000Moyenne 0,081 0,300 4976,479Médiane 0,108 0,300 4982,770
Écart type 0,351 0,034 1137,749Err. Moy. Std. 0,016 0,002 50,882
« Vraie » fait référence aux vraies valeurs des paramètres qui ont été utilisées afin
de générer les valeurs des actifs. Au total, il y a eu 500 simulations représentant
chacune les résultats d’une fenêtre d’estimation de 500 jours ouvrables. Les autres
valeurs utilisées dans la simulation sont : valeur initiale de la firme = 10 000, valeur
de la dette = 6 000, taux sans risque = 0,05 et les valeurs de départ des paramètres
mu, sigma et la barrière sont : 0, 0.2 et la valeur de la dette respectivement.
53
Annexe 2 : Comparaison des probits non-temporels des modèles 1 à 3 issus de
l’étude de Dionne et al. (2005).
Paramètre Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3
Constante -2,6843 -2,5971 -2,2838 -2,4315 -2,3753 -2,0325<0,0001 <0,0001 <0,0001 <0,0001 <0,0001 <0,0001
Moyenne annuelle 2,1304 1,5496 1,4021 1,1763 0,5003 0,3422PD 1 an <0,0001 <0,0001 <0,0001 <0,0001 0,0417 0,2052Encaisse 0,0064 0,0058
0,0563 0,0806Actif à court -0,0071 -0,0071
terme 0,0075 0,0053Passif à court 0,0024 0,0023
terme 0,1100 0,1277Bénéfice non -0,0060 -0,0067
réparti 0,0008 0,0002Valeur nette -0,0088 -0,0094
0,0003 <0,0001Passif total -0,0052 -0,0053
0,0008 0,0005Actif total 0,0056 0,0058
0,0003 <0,0001Profitabilité < 0 1,0641 0,8683 1,2300 1,0185
<0,0001 <0,0001 <0,0001 <0,00010% < Profitabilité 0,3422 0,3433 0,3112 0,3385
< 6% 0,1345 0,1820 0,1464 0,1653Valeur -0,5290 -0,4483 -0,5966 -0,4925
nette/passif total <0,0001 0,0002 <0,0001 <0,0001Bénéfice non -0,0657 -0,0469 -0,0915 -0,0661
réparti/passif total 0,0170 0,0643 0,0008 0,0081-2 Log Likelihood 396,369 302,093 264,591 468,233 335,121 287,342
AIC 400,369 314,093 290,591 472,233 347,121 313,342AUC 0,825 0,950 0,963 0,744 0,923 0,950
Banque du CanadaDuan, Gauthier, Simonato
54
Annexe 3 : Méthodologie du modèle hybride
Le texte qui suit traduit intégralement la méthodologie des modèles probit du texte
de Dionne et al. (2005). 11
3.1 Le modèle probit non temporel
Dans le modèle probit, la variable dépendante est une variable dichotomique prenant
la valeur 1 si un événement se produit et la valeur 0 sinon. Dans notre cas, la
variable peut prendre les valeurs suivantes :
yi = 1 si un défaut se produit dans une entreprise;
yi = 0 sinon.
Le vecteur des valeurs des variables explicatives (ratios financiers et autres variables
financières ou conjoncturelles) pour une entreprise donnée est défini par tandis que
xi tandis que β représente le vecteur des paramètres à estimer. Le modèle probit
suppose qu’il existe une variable réponse qualitative (yi*) définie par la relation
suivante :
iii xy εβ += '* (1)
En pratique toutefois, est une variable latente non observable. Nous observons
plutôt la variable dichotomique telle que :
*iy
1=iy si ; (2) 0* >iy
0=iy sinon.
Dans cette formulation, n’est pas ix'β ( )ii xyE / , comme dans le modèle linéaire
simple, mais bien ( )ii xyE /* . À partir des équations (4) et (5), nous obtenons : 11 DIONNE, Georges et al. (2005), « Estimation of the Default Risk of Publicly Traded Companies », working paper, Bank of Canada, p.27 à 30.
55
Prob ( = Prob ()1=iy iε > − ) = 1 - F ix'β ( )ix'β (3)
où F est la fonction de distribution cumulative de iε .
Dans ce cas, les valeurs observées de y sont simplement les réalisations d’un
processus binomial dont la probabilité est donnée par (6) et qui varie d’observation
en observation (selon ). La fonction de vraisemblance peut donc être définie
comme :
ix
( ) ( )( )iy
iy
xFxFii
'
1
'
01 ββ −−∏−∏=
==, (4)
et les estimations des paramètres β sont donc celles qui maximisent .
La forme fonctionnelle de F dans (7) dépend des hypothèses qui sont faites sur la
distribution des erreurs résiduelles iε dans (4). Le modèle probit suppose que ces
erreurs sont indépendantes et identiquement distribuées et suivent une loi normale
centrée réduite N(0,1). La forme fonctionnelle peut donc être définie comme suit :
( )( )∫
−
∞−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−
ix
i dttxF'
.2
exp2
1 2
2/1'
β
πβ (5)
3.2 Le modèle probit avec données de panel
Ce modèle sert à tenir compte des corrélations potentielles entre les différentes
observations d’une même entreprise à différents moments dans le temps (différents
états financiers annuels). Il peut être défini par la régression suivante :
ititit xy εβ += '* (6)
et la variable dichotomique observée est telle que :
1=ity si ; (7) 0* >ity
0=ity sinon.
où i représente l’entreprise et t représente la date de l’état financier de l’entreprise i.
Pour tenir compte des corrélations temporelles via un modèle à effets aléatoires, il
faut décomposer l’erreur en 2 termes :
56
iitit v ϑε += (8)
avec ( )1,0~ Nvit (l’erreur aléatoire) et ( )2,0~ ui N σϑ (l’erreur associée à i), de telle
façon que les deux composantes ( etitv iϑ ) sont distribuées normalement avec une
moyenne 0 et sont indépendantes l’une de l’autre. La variance du terme d’erreur itε
peut alors être définie comme suit :
( ) 222 1var ϑϑ σσσε +=+= vit (9)
et la corrélation comme suit :
( ) 2
2
1,
ϑ
ϑ
σσ
ρεε+
==isitcorr (10)
Le nouveau paramètre libre est donc :
ρρσϑ −
=1
2 (11)
C’est précisément ce paramètre qui permettra de mesurer s’il existe une corrélation
entre les différentes observations (états financiers) d’une même compagnie à travers
le temps.
57
Annexe 4 : Probabilités de défauts physiques.
Dans le présent travail, l’équation ayant servi au calcul des probabilités de défaut
faisait intervenir le taux sans risque (équation (10)). Par conséquent, les probabilités
de défaut obtenues sont dites risque neutres. Nous présentons ici la formule des
probabilités de défaut physiques qui ne fait pas intervenir le taux sans risque.
Probabilité de défaut = ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−τσ
μτVlnHlnΦ
( ) ( )( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+τσ
μτVlnHlnNσ
HlnVln2μexp 2 si H ≥ F,
et
= ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−τσ
μτVlnFlnΦ
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅+−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+τσ
μτHln2FlnVlnNσ
HlnVln2μexp 2 si F > H
où V, F, H,τ , , µ et σ représentent respectivement la valeur marchande des actifs
de la firme, le paiement obligataire promis à l’échéance de la dette, la valeur des
actifs qui déclanche la faillite de la firme (ceci est la « barrière »), le temps restant
jusqu’à l’expiration de l’option, la distribution normale cumulative, le rendement
espéré de la valeur de l’actif et l’écart type de la valeur de l’actif.
Φ
Les tableaux suivants présentent les statistiques descriptives des probabilités de
défaut physiques pour toutes les entreprises étudiées ainsi que le résultat des
modèles hybrides résultants. En somme, l’on remarque que les probabilités de
défaut obtenues sont beaucoup plus élevées que celles obtenues avec l’équation
risque neutre et les modèles hybrides sont moins performants que ceux utilisant les
probabilités de défaut risque neutres.
58
Statistiques descriptives des probabilités de défaut physiques obtenues par la méthode de maximum de vraisemblance.
D NDMoyenne 0,5943 0,2300Mediane 0,7982 0,0118
Mode 1,0000 1,0000Ecart-type 0,4077 0,3444
Erreur moy std 0,0346 0,0056Asymétrie -0,4902 1,2773Kurtose -1,5093 0,0601
Min 0,0000 0,0000Max 1,0000 1,0000
PD physiques
Modèles hybrides (barrières endogènes) utilisant les probabilités de défaut physiques
Paramètre Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3Constante -8,2095 -3,4903 -2,7628
<,0001 <,0001 <,0001Moyenne annuelle 0,9093 0,8384 0,7082
PD 1 an 0,0165 0,0060 0,0183Encaisse 0,0080
0,1207Actif à court -0,0100
terme 0,0117Passif à court 0,0031
terme 0,1896Bénéfice non -0,0090
réparti 0,0012Valeur nette -0,0128
0,0006Passif total -0,0075
0,0019Actif total 0,0081
0,0006Profitabilité < 0 1,5314 1,1960
<,0001 <,00010% < Profitabilité 0,3396 0,3457
< 6% 0,3220 0,3175Valeur -0,7465 -0,5669
nette/passif total <,0001 0,0008Bénéfice non -0,1200 -0,0780
réparti/passif total 0,0003 0,0097ρ 0,9700 0,5788 0,4766
0,0146 0,0699 0,1252-2 Log Likelihood 393,5 324,2 278,0
AIC 399,5 338,2 306,0AUC 0,783 0,935 0,952
Probabilités de défaut physiques