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Hauptseminar:
Schlüsselexperimente der Quantenphysik
und ihre Interpretation
Stephan Kleinert
Ulm, den 29.05.2009
Teleportation mit Photonen und Ionen
Ulm, den 29.05.2009
Allgemeines Prinzipder Teleportation
Beispiele Teleportation mit Photonen
Inhalt:
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 2
Teleportation mit Photonen
Teleportation mit Ionen
Ulm, den 29.05.2009Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
Science-Fiction
„Beamen“ : Der Transport einer Person oder eines Gegenstandes von
einem Ort zum anderen, ohnedass die dazwischenliegendeStreckezurückgelegt werden muss, d.h. instantan.
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Abb. 1: Beamen
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So einfach geht das „Beamen“ aber leider nicht!
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So einfach geht das „Beamen“ aber leider nicht!
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Szenario:
Alice hat einen Quanten - Zustand |ψ>, den sie Bob übermitteln möchte
Kann aber mit Bob nur klassisch kommunizieren
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Alice Bob
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Alice Bob
Abb. 2: Alice und Bob
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Problem:
Alice kennt den Zustand nicht
Sie kann ihn auch nicht exakt beschreiben, da ein
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10 βαψ +=
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quantenmechanischer Zustand unendlich viele klassische Informationbeinhaltet
Alice kann auch keine Kopie des Zustandes |ψ> anfertigen
(no-cloning theorem)Abb. 3: Bloch-Kugel
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Einschub:no-cloning theoremWarum lässt sich ein beliebiger Quanten-Zustand nicht klonen/kopieren?
Annahme: Wir nehmen an, dass es möglich ist einen Zustand |ψ> bzw. |φ> auf einen beliebigen
Zustand |S>zu kopieren. Durch eine geeignete unitäre Transformation Uerhält man somit:
|ψ> |S> U ( |ψ> |S> ) = | ψ ψ >
|φ> |S> U ( |φ> |S> ) = | φ φ >
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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Daraus folgt für das „inner product“ ( U ( |ψ> |S> ), U ( |φ> |S> )):
< ψ ψ | φ φ> = < ψ S | U+U | φ S >= < ψ S | φ S >
< ψ | φ >2 < ψ | φ >
| ψ > orthogonal zu | φ > oder | ψ > = | φ >
Somit ist das Klonen von beliebigen Zuständen nicht möglich!
====
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Nun wieder zurück zu Alice und Bob.
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Was kann Alice tun, um den
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Zustand zu übermitteln ?
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Alice erinnert sich daran, dass sie - als sie Bob das letzte Mal gesehen hat – ein EPR-Paar (Einstein-Podolski-Rosen-Paar)erzeugte. Anschließend teilten sich Bob und Alice das EPR-Paar, um stets etwas Verbindendes mit sich zu tragen.
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Alice ist nicht dumm und will dieses ERP-Paarnun zur Übermittlung des Zustandes |ψ> nutzen.
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Wie soll das gehen?
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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Wie soll das gehen?
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Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation
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Vorgehensweise:
• Alice lässt den unbekannten Zustand |ψ> mit ihrer Hälfte des EPR-Paaresinteragieren
• Alice misst ihre beiden Qubitsund erhält klassische Messwerte• Diese Messwerte schickt sie mittels einer klassischen Nachrichtan Bob• Bob wendet eine von 4 möglichen Operationenauf seine Hälfte des EPR-
Paares an • Bob erhält den Ursprünglichen Zustand |ψ>
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•Alice besitzt den unbekanten Zustand
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Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation
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|ψ> = α |0> + β |1> (α und β sind unbekannte komplexe Zahlen)
•Schaltkreis Input
|ψ0> = |ψ> |β00> = 2-1/2 [α|0> (|00> + |11>) + β|1> (|00> + |11>)]
(Die ersten beiden Qubits (links) gehören Alice, das 3. QubitBob;
Qubit 2 und Qubit 3 stammen aus dem EPR-Paar)
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•Alice Qubits gehen durch ein CNOT-Gate (C-NOT-Gate)
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Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation
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|ψ1> = 2-1/2 α|0> (|00> + |11>) + β|1> (|10> + |01>)
•Danach geht Qubit 1durch ein Hadamard-Gate (Hadamard-Gate)
|ψ2> = ½ α (|0> + |1>) (|00> + |11>) + β (|0> - |1>)(|10> + |01>)
•Umschreibenliefert
|ψ2> = ½ |00> (α|0> + β|1>) + |01>(α|1> + β|0>)
+|10>(α|0> - β|1>) + |11>(α|1> + β|0>)
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•Misstnun Alice ihre beiden Qubits 1 und 2, so ist Bobs Qubitauf einen bestimmten Zustand festgelegt.
Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation
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Zustand festgelegt.
|ψ2> = ½* [|00> (α|0> + β|1>) + |01>(α|1> + β|0>)
+|10>(α|0> - β|1>) + |11>(α|1> - β|0>)]
•Durch geeignete Operationen (I,X, Z und Z*X)erhält Bob nun |ψ>
00 | ψ3(00)> = α|0> + β|1> I |ψ> = |ψ>01 | ψ3(01)> = α|1> + β|0> X |ψ3(01)> = |ψ>10 | ψ3(10)> = α|0> - β|1> Z |ψ3(10)> = |ψ>11 | ψ3(11)> = α|1> - β|0> Z*X |ψ3(11)> = |ψ>
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Somit wurde der unbekannte Zustand |ψ> übermittelt, ohne das Alice wissen musste, um welchen Zustand es sich handelt.
Dadurch, dass Alice ihre zwei Qubits gemessen hat, wurde Bobs Qubitgeändert(egal, wo sich Bobs Qubit 3 gerade befand!)
(Nicht-Lokalität der Quantenmechanik)
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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(Nicht-Lokalität der Quantenmechanik)
Nun hört sich das alles einwenig seltsam an und wirft womöglich folgendeFragen auf:
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Es gilt das „no-cloning“ Theorem.
Aber wurde der ursprüngliche Zustand |ψ> von Alice
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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Aber wurde der ursprüngliche Zustand |ψ> von Alice nicht geklont?
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Die Antwort lautet: NEIN!
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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Nach der erfolgreichen Teleportation existiert nur noch Bobs Zustandund der Ausgangszustand von Alice wurde durch die Teleportation zerstört.
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Erlaubt uns somit Quanten-Teleportationeine
Informationsübertragung schneller als mit
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Informationsübertragung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit?
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Die Antwort lautet:: NEIN!
Nach der Messung durch Alice erfolgt zwar eine instantane Festlegung des
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Nach der Messung durch Alice erfolgt zwar eine instantane Festlegung des Zustandes von Bob, doch weiß Bob erst, um welchen Zustand es sich handelt, wenn Alice ihm eine klassische Nachrichtüber den Ausgang ihrer Messung übermittelt hat.
Diese klassische Nachrichtjedoch kann höchstens mit Lichtgeschwindigkeitübermittelt werden.
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Was können wir nun aus der Teleportation lernen?
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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Was können wir nun aus der Teleportation lernen?
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Quanten-Teletportation zeigt die Austauschbarkeit von verschiedenen Ressourcen/Quellen
1 EBIT (entangled-Bit) + 2 Bits = 1Qubit
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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Teleportation zur (Fern-)Realisierung von Quanten-Gatter
Teleportation zur Quanten-Fehler-Korrektur
Abb. 4: Quantenschaltkreis: Teleportation
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Teleportation mit Photonen
Fünf-Photonen-Verschränkung (FPV)
Teleportation mit Photonen und Ionen - Teleportation mit Photonen
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Fünf-Photonen-Verschränkung (FPV)
„Open-destination“ Teleportation (ODT)
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Für was benötigt man eine
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Photonen - FPV
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Fünf-Photonen-Verschränkung?
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Die Fähigkeit eine Fünf oder Mehr-Photonen-Verschränkung zu manipulieren ist wichtig für eine universelle Quanten-Fehler-Korrektur.
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Photonen - FPV
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Des weiteren führt uns eine Fünf-Photonen-Verschränkung zur „open-destination“ Teleportation.
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Ausgangspunkt bilden zwei polarisations-verschränkte-Photonen-Paare im Zustand |Ф+>.
ΒΒΒΒell-Zustände:
Abb. 5: Präparation einer Fünf-Photonen-Verschränkung
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Aus jedem EPR-Paar wird ein Photonauf ein Polarisations-Strahlteiler (PBS)gelenkt, sodass beide Photonen an einem PBS gleichzeitig ankommen.
PBS reflektier vertikal-polarisiertes Licht (V)und lässt horizontal-reflektiertes Licht (H) hindurch
Photon 3 u. 4sind entweder beide H-polarisiertoder beide V- polarisiert
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Dies projeziert den Vier-Photonen-Zustandauf einen zweidim. Unterraum(aufgespannt durch |H>2|H>3|H>4|H>5 und |V>2|V>3|V>4|V>5).
Somit erhält man den vier-Photonen-verschränkten Zustand:
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Wird nun noch Photon 1 in den Zustand 2-1/2 ( |H>1 + |V>1 ) präpariert, so erhält man eine Fünf-Photonen-Verschränkung:
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Bemerkung:
1. Diese FPV gelingt nur, wenn genau ein Photonaus jedem der 5 Ausgangskanäle gelangt.
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Photonen - FPV
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2. Dieses in Abb.5gezeigte Schema kann nun zur Realisierung einer „open-destination“ Teleportationverwendet werden.
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„open-destination“ Teleportation:
Bei einer„open-destination“ Teleportation wird ein unbekannter Quanten-Zustandeines einzelnen Teilchens
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Photonen - ODT
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unbekannter Quanten-Zustandeines einzelnen Teilchens auf eine Superposition von N Teilchenteleportiert.
Dieser teleportierte Zustandkann zu einem späteren Zeitpunkt an jedem der N-Teilchenausgelesen werden.
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Realisierung der ODT:
•Photon 2,3,4,5
•Daraus folgt mit einem unbekannten Zustand |ψ>1 = α |H>1 + β |V>1 :
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Mit einer gemeinsamen Bell-Messung an Photon 1 u. 2erhält man eine Superposition von 3 Teilchen |ψ>345.
Dadurch wurde der unbekannte Zustand |ψ>1 auf eine 3-Teilchen-Superposition teleportiert.
Abb. 6: Schema zur „open-destination“ Teleportation
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Beispiel:
1. Projektion auf den Zustand |Φ+> durch eine
gemeinsame Messung an Teilchen 1 u. 2 in der
+/- Basis ( |+> = 2-1/2 [ |H> + |V> ]
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Photonen - ODT
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+/- Basis ( |+> = 2 [ |H> + |V> ]
| -> = 2-1/2 [ |H> - |V> ] )
Photon 3,4,5: |ψ>345 = α |H>3|H>4|H>5 + β |V>3|V>4|V>5
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Lokale Polarisations-Messungvon Photon 4 und 5in +/- Basis:
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Photonen - ODT
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1. | + >4| + >5 oder | - >4| - >5
|ψ>3 = α |H>3 + β |V>3
2. | + >4| - >5 oder | - >4| + >5
|ψ>3 = α |H>3 – β |V>3
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Im 1. Fall befindet sich nun Photon 3 im Ausgangszustand des Photons 1.
( |ψ>3 = α | H >3 + β | V >3 = | ψ >1 )
Im 2. Fall erreicht man den ürsprünglichen Zustand | ψ>1 des Photons 1 durch eine lokale Phasen-Flip-Operation.
–
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Photonen - ODT
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( |ψ>3 = α | H >3 – β | V >3 )
Natürlich hätte man die lokale Polarisations-Messungauch auf
Photon 3 und 5oder Photon 3 und 4anwenden können, so dass nun der
Anfangszustand | ψ>1 auf Photon 4 bzw. Photon 5 teleportiertwäre
( „ open-destination“ teleportation)
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Teleportation mit Ionen
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
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Teleportation mit Ionen(Beispiel 40Ca+)
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Vorbereitung:
40Ca+ Ionen sind in einer linearen Paul-Fallegefangen. (lineare Paul-Falle)
Die Ionen befinden sich in einem Abstand von 5 µm.
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
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Ein Qubit wird realisiert durch die Superposition des S1/2-Grundzustand und dem metastabilen D5/2-Zustand (Lebensdauer τ = 1,16 s).
Jedes Ion kann individuell durch Laser-Pulse manipuliertwerden. (Niveau-Schema)
Massenschwerpunkts-Schwingungs-Modedes Ionen-Strangs ist bis zum Grundzustand abgekühlt
( kontrollierte Interaktionen zwischen Ionen möglich) (Bewegung)
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• Ion 2 und Ion 3 werden in den Bell-Zustand |ψ+>23 gebracht
|ψ+> = 2-1/2 [ |0> |1> + |1> |0> ] (Lebensdauer > 100 ms)
Abb. 7: Quantenschaltkreis: Teleportation mit Ionen
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|ψ+>23 = 2-1/2 [ |0>2|1>3 + |1>2|0>3 ] (Lebensdauer > 100 ms)
• Teleportation-Schritt < 2 ms:
1. Ion 1 beliebiger Zustand |χ>
2. Bell-Zustands-Analyse: controlled-phase-gate gefolgt von einem π/2-Puls.
U χ
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Produkt-Zustandin „computational“ Basis S,D
superpositionierter Zustand
2-Qubit-
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
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2-Qubit-verschränkter
Zustandcontrol bitcontrol bit target bittarget bit
| S, S | D, D
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Produkt-Zustand
superpositionierter Zustand
2-Qubit-verschränkter
Zustand
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
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Produkt-Zustandin „computational“ Basis S,Dcontrol bitcontrol bit target bittarget bit
| S, S | D, D
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outputprepare gate detect
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
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Abb. 8: Verschränkung
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• Ion 2 und Ion 3 werden in den Bell-Zustand |ψ+>23 gebracht
|ψ+> = 1/√2 [|0> |1> + |1> |0> ] (Lebensdauer > 100 ms)
Abb. 7: Quantenschaltkreis: Teleportation mit Ionen
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|ψ+>23 = 1/√2 [|0>2|1>3 + |1>2|0>3] (Lebensdauer > 100 ms)
• Teleportation-Schritt < 2 ms:
1. Ion 1 beliebiger Zustand |χ>
2. Bell-Zustands-Analyse: controlled-phase-gate gefolgt von einem π/2-Puls.
3. Messungdes gemeinsamen Zustandes von Ion 1 und 2durch Bestrahlen des Ions (für 250 µs lang) mit Licht der Wellenlänge 397 nm.
U χ
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Erhält man Fluoreszenslicht, so befindet sich das Ion im Zustand S1/2. Ohne Detektion (z.B. mittels eines Photomultipliers) von Fluoreszenslicht befindet sich das Ion im Zustand D5/2. (Detektion)
Um Kohärenz des Qubits 3 zu erhalten, „versteckt“ , man es mithilfe einer Transformation zu einer Superposition von Niveaus, die unabhängig vom Detektionslicht sind (bei Ca+ : Zeeman-Niveau |H> = D5/2 (mJ = - 5/2) ). (Verstecken)
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
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Dieselbe Technik wird auch dazu genutzt, um die einzelnen Ionen 1 und 2 getrennt voneinander zu messen. Man erhält die möglichen Zustände:
|0>1|0>2, |0>1|1>2, |1>1|0>2, |1>1|1>2
Abhängig von dieser Messung führt man eine geeignete unitäre Operation an Ion 3durch, um den teleportierten Zustand von Ion 1 zu Ion 3zu vervollständigen.
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[Abb.1] Beamen; online unter: http://www.treffmagazin.de/archiv/html/treff_1007/gix/beamen_1.jpg.
[Abb.2] Alice und Bob[Abb.3] Bloch-Kugel; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter.
[Abb.4] Quantenschaltkreis: Teleportation[Abb.5] Präparation einer Fünf-Photonen-Verschränkung; Nature 429, S.54, 2004.
[Abb.6] Schema zur „open-destination“ Teleportation; Nature 429, S.54, 2004.
[Abb.7] Quantenschaltkreis: Teleportation mit Ionen; Nature 429, S.735, 2004.
Teleportation mit Photonen und Ionen -Literaturverzeichnis
Abbildungsverzeichnis:…….3…….5…….6…...12.…..26…...31…...37
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[Abb.7] Quantenschaltkreis: Teleportation mit Ionen; Nature 429, S.735, 2004.
[Abb.8] Verschränkung; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter.
[Abb.9] Lineare Paul-Falle; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter.
[Abb.10] Niveau-Schema von Ca+; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter.
[Abb.11.1
-11.4] Zeeman Niveau; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter.
[Abb.12] Schwingung der Ionen; F. Schmidt-Kaler: Präsentation: Quantum teleportation with matter.
..
…...37…...40…...46…...47
.......49…...53
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[1] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press , 2001.
[2] Nature 429, S.734, 2004.
Teleportation mit Photonen und Ionen -Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis:
Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 44
[2] Nature 429, S.734, 2004.
[3] Nature 429, S.737-739, 2004.
[4] Nature 430, 2004.
[5] New J. Phys. 9, S. 211, 2007.
ENDE
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Zusatzfolien
Teleportation mit Photonen und Ionen
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1.0mm
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
Lineare Paul-Falle
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5mm
MHz5≈radialωMHz27.0 −≈axialωAbb. 9: Lineare Paul-Falle
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P1/2
866 nm D
P3/2
Superpositions von S1/2 and D5/2
Qubit
|1>Qubit
854 nm
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
Niveau-Schema von Ca+
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S1/2
D3/2397 nm
866 nm
s1≈τD5/2
393 nm
729 nm
|1>
|0>Abb. 10: Niveau-Schema von Ca+
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P1/2
866 nm D
P3/2
Superpositions von S1/2 and D5/2
Qubit
|1>Qubit
854 nm
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
Niveau-Schema von Ca+
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S1/2
D3/2397 nm
866 nm
s1≈τD5/2
393 nm
729 nm
|1>
|0>Abb. 10: Niveau-Schema von Ca+
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Zeeman Niveau
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 49
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
π π
Detektion des 1. Ions
Ion 1 Ion 2 Ion 3Abb. 11.1: Zeeman Niveau
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versteckt !
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
Zeeman Niveau
Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 50
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
Einzel-Detektion des Ions 1
Ion 1 Ion 2 Ion 3Abb. 11.2: Zeeman Niveau
Ulm, den 29.05.2009Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
versteckt !
Zeeman Niveau
Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 51
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
π −−−−π
Detektion des 2. Ions
Ion 1 Ion 2 Ion 3Abb. 11.3: Zeeman Niveau
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Zeeman Niveau
Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 52
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
D5/2
S1/2
Ion 1 Ion 2 Ion 3
Einzel-Detektion des 2. IonsAbb. 11.4: Zeeman Niveau
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S
D
Ω ⊗ν
Sn ,1−
Dn ,1−Dn,
Dn ,1+
Sn ,1+Sn,
2-Niveau-Atom
Harmonische Falle
Teleportation mit Photonen und Ionen -Teleportation mit Ionen
Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 53
Sn ,1−
coherent manipulation of the common motional state
Abb. 12: Schwingung der Ionen
Ulm, den 29.05.2009
C-NOT (controlled NOT)
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 54
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control-bit target-bit
Ulm, den 29.05.2009
Hadamard Gate
Teleportation mit Photonen und Ionen - Allgemeines Prinzip der Teleportation
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Stephan Kleinert | Hauptseminar: Schlüsselexperimente der Quantenphysik und ihre Interpretation 55
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