Post on 11-Nov-2015
description
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi Trigonometri yang sederhana dapat digambarkan langsung grafiknya dengan jalanmensubtitusikan harga-harga x dan y kemudian buat gambar.
Fungsi trigometri yang tidak sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya.Untuk menggambarkan grafik fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu :
1. Sederhanakan fungsi itu;2. Tentukan harga ekstrim3. Tentukan titik potong kedua sumbu4. Tentukan titik lainnyaKemudian digambarkan selengkapnya.
Contoh : 1. Gambarkan grafik Y = sin x dalam interval 0 x 360X0306090120150180210240270300330360Y00,52,8310,860,50-0,5-0,86-1-0,86-0,50
2
Gambarkan grafik Y = 2 sin x dalam interval 0 x 360X0306090120150180210240270300330360Y011,7221,7210-1-1,72-22-1,72-10
3
Gambarkan grafik Y = cos x dalam interval 0 x 360
Sb. Y1
1/23
1/2
120
150
180
210
240
270
0
30
60
90
300
330
360
Sb. X
-1/2
-1/23
-1
4
Gambarkan grafik Y = cos 2 x dalam interval 0 x 360X0306090120150180210240270300330360Y00,5-0,50,50-0,50,510,5-0,5-1-0,50,51
X0306090120150180210240270300330360Y10,860,50-0,5-0,86-1-0,86-0,500,50,861
5
Gambarkan grafik Y = 2 cos x dalam interval 0 x 360X0306090120150180210240270300330360Y21,7210-1-1,72-2-1,72-1011,722
Soal dan penyelesaiannya
1
Gambarkan grafik Y = 2sin x + 5 sin x -3 dalam interval 0 x 360Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Titik potong pada sumbu x, y = 0Y = 2 sin2x + 5 sinx-30 = 2 sin2x + 5 sinx-3(2sinx - 1) (sinx+3)2sinx 1 = 0 sinx+3=02sin =1 sinx=3Sinx = X = 30,150Koordinat (30,0)(150,0)
Titik potong pada sumbu y, x = 0Y = 2 sin2x + 5 sinx-3Y = 2 sin2 0+ 5 sin 0-3Y=3Koordinat (0,-3)(180,-3)(360,-3)
Y max, sin x = 1Y = 2 sin2x + 5 sinx-3Y = 2 (1)2 + 5 (1)-3Y=4Koordinat (90,4)Y min, sinx = -1Y = 2 sin2x + 5 sinx-3Y = 2 (-1)2 + 5 (-1)-3Y = -6Koordinat (270,-6)Koordinat lainX = 60,120 sin x = Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Y = 2 (
)2 + 5 (
)-3
Y = 2,8Koordinat (60,2.8)(120, 2.8)
X = 210,330 sin x = - Y = 2 sin2x + 5 sinx-3Y = 2 (-)2 + 5 (-)-3
Y = -5Koordinat (210,-5)(330,-5)
X = 240, 300 sin x = Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Y = 2 (-
)2 + 5 (-
)-3
Y = 2 (3/4) 5/2
3
Y= -5,8Koordinat (240, 5.8)(300,5.8)X0306090120150180210240270300330360Y-302,8342,830-3-5-5,83-6-5,830-3
2
Gambarkan grafik Y = 2 sin 2x + 6 Cos x -5 dalam interval 0 x 360
y = 2sin 2x + 6 cos2x5= 2 sin 2x + 6(1- sin2 )- 5= 2 sin 2x + 6sin2 )+1X0306090120150180210240270300330360Y12,5-1,8--5-1,82,51-2,2-5,2-5-5,2--2,21
3
Gambarkan grafik Y = 3 cos x + 7 sin x - 6
X
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
Y
-3
0,09
1,56
1
-1,4
-5,09
-9 -12,09
-13,5
-13
-10,56
-6,9
5
Gambarkan grafik Y = 2 sin y +5 sin x cos x + 10 cos x -7,9
y = 2sin 2x + 5 sin2x cosx + 10 cos2x 7,9= 2 sin2x + 5(1/2 sin 2x) + 10(1- sin2x ) -7,9= 5/2 sin 2x 8 sin2x- 2,1X0306090120150180210240270300330Y2,12,34,8-5,94,82,32,1-2,06-6,066,06-5,19-6,06-2,06
FUNGSI CYCLOMETRI
Fungsi Cyclometri merupakan invers/ balikan dari fungsi Trigonometri
Fungsi Trigonometri
Y = sin
Y = cos
Y = tag
Y = cotg
Y = sec
Y = cosec
Misal : Y = sin
= sin
= are sin
Perhatikan gambar Segitiga ABC berikut :
C
Fungsi Cyclometri
= arc sin Y
= arc cos Y
= arc tag Y
= arc cotg Y
= arc sec Y
= arc cosec Y
P
1
A
B
sin = #
cotg =
#
cos =
#
#
cosec =
#
=
.
$
tag
=
#
##
sec =
#
#
##
=
#
#
=
##
Fungsi Cyclometri
= arc sin P
= arc cos
.
$
= arc tag
#
#
= arc cotg
= arc sec
##
#
= arc cosec
Contoh :
#
1.
= arc cos (-1/2). Tentukan fungsi trigonometri
2. Hitunglaha. Cotg (arc sin a )b. Sin (arc tg b)
Jawab :1. = arc cos (-1/2)
-1/2 = cos
Y = cos
-1
2
Y = cos 120
sin = -1/2
cos =
%$
tag =
cotg =
%##% %
.
sec = -2
cosec =
$%
$ %%
2. a. cotg (arc sin a)
misal : = are sin a
sin = a
cotg (arc sin a) = cotg a
= #
b. sin (arc tg b)
misal : = are tg b
tg = b
sin (arc tg b) = sin
a
b
1
. I$I
I$ -
=
=
#
#
#
1
Penjumlahan Pada Fungsi Cyclometri
1. arc sin p + arc sin (-p) = 02. arc cos p + arc cos (-p) =
3. arc cotg p + arc cotg (-p) =
4. arc sin p + arc cos p =
5. arc tg p + arc cotg p =
Jumlah dan Selisih Pada Fungsi Cyclometri
1. arc sin p - arc sin q = arc sin [p
2. arc sin p + arc sin q = arc sin [pq-
3. arc cos p arc cos q = arc cos [p
4. arc cos p + arc cos q = arc cos [pq-
. J$]
. J$
$
5. arc tg p arc tg q = arc tg
6. arc tg p + arc tg q = arc tg
7. arc cotg p + arc cotg q = arc tg
#
-
$#
8. arc cotg p arc cotg q = arc tg
#
.
$
Sudut Rangkap Pada Cyclometri
1. 2 arc sin p = arc sin (2p2 - 1) +
23. 2 arc tg p = arc tg ( #)+ $#)
$. J$-q. J$. J$-q. J$. J$+ ]. J$-$]#2. 2 arc cos p = arc cos (2p - 1)4. 2 arc cotg p = are cotg {
Soal dan Penyelesaiannya
1. Buktikan
a. Tan (arc sin p) =
Bukti :
#
Misal : arc sin p = Sin = p
Tan (arc sin p) = tan
p
1
. J$
=
#
(terbukti)
b. Tan (arc cos p) =
#
Bukti :Misal : arc cos p = Cos = p
Tan (arc cos p) = tan
=
#
(terbukti)
2. arc tan & = ?%
Jawab : are tan &%
4
5
sin
cos
tag
=
=
=
&%&'%'
3
cotg =
%&
sec
=
'&
cosec =
'%
3. Sin (arc tan )..?
Jawab :
Misal : arc tg =
1
Tg
=
2
Sin (arc tg ) = sin
=
#'
4. Cos (arc sin ) = ..?
Jawab :
Misal : arc sin =
Sin
=
1
4
Cos (are sin ) = cos
Cos
=
#'&
5. Tan (arc cotan 2)=..?Jawab :Misal : arc cotan 2 =
Cotan
=2
1
Tan (arc tan 2) = tan
=
2
6. Buktikanlah :2 arc tan 4/3 = + arc tan 7/24Bukti :
2 arc tan
&%
= arc tan
$
#
-
$
= are tan
#
"
##
-
$
& % $
$
= arc tan +
$$&$&
(terbukti)
7. 3 arc tan & =%
- arc tan
&#
Bukti :3 arc tan & = 2 are tan & + arc tan &% % %= + ( arc tan + arc tan & )$ $& %! = + arc tan ( )+ = && )##= - arc tan  arc tan & = - arc tan && (terbukti)% ##$&= -arc tan2 arc tan = -arc tan# !$$+ arc tan {.
8. Hitunglah x dari persamaan
a. arc cos
#$%
+ arc cos
#'#
= arc cos x
jawab :
are cos (#$ #'#% #
.
.
#$ $#%
F{ .
#' $#
{ = arc cos x
arc cos (# "$$#
.
.
#&
{ .
$$'$
{
= arc cos x
arc cos
arc cos
arc cos
# "$$## "$$##&"$$#
.- &"$$#
$'#
{
$
&
{
= arc cos x
= arc cos x
= arc cos xjadi, x = #&"$$#
b. arc sin
+ arc sin % = arc sin x'
jawab :
are sin (& %% '
.
.
&
$
F
.
% $'
arc sin ( $ #$"' # #arc sin $ - # " + $"' $"' $arc cos - #%% + $"' $
$
{ .
#%%$"'
$'
$
= arc cos x
= arc cos xF + $ )= arc cos x..jadi, x = .{ + ) = arc cos x
c. arc tan
#'#
+ arc tan
$#$
= arc tan x
jawab :
arc tan ( ! # )+! # arc tan # + #arc tan - # . & % + & % $ $arc tan - # + & % $jadi, x = -
#& %
+
$
= arc tan x
= arc tan x
= arc tan x
= are tan x
9. Hitunglah :a. Tan (arc tan # + arc tan # )$ %Jawab :
Misal : = arc tan # + arc tan$
= arc tan ( )+
#%
= tan
=1
= arc tan +
= arc tan -1 +
= 1350 + 900 = 2250
= tan (arc tan # + arc tan #)$ %
$ $# $ $ !$# $
b. cos (arc tan # + arc tan # )$ %Jawab :
Misal : = arc tan # + arc tan$
= arc tan ( )+
#%
= arc tan +
= arc tan -1 +
$ $
= 1350 + 900 = 2250
= cos (arc tan # + arc tan #)$ %= cos
=-
#$
c. Sin (arc tan
'%%
are cos
#$)#%
Jawab :
Misal : = are cos #$#%Cos = #$#%Tan = '#$ = arc tan
'#$# $
= sin (arc tan
'%%
. S^U `SZ
' )#$
= sin (arc tan
#
{
= sin (arc tan
'"= sin (arc tg
! %##
)
)
= sin (arc tg %)&
= sin
=
%'
d. Tg (arc tg # + arc cos % )$ &Jawab :
Misal : = arc tg #$Tg # = $Cos = $' = arc cos
$'
= tg (arc cos $ + arc cos %)' &= tg (are cos ( $ %' &
$'
$
F{ .
% $&
{
= tg (arc cos (
& '
.
#'
{# {)!..
= tg (arc cos (
= tg arc cos - $ '& ' & '= tg (arc cos % %' )& '= tg ()
=
$% %'
= 2,47e. cotan (arc tan # + arc tan #)% %Jawab := Cotan (2 arc tan #)%
= cotan (arc tan
= cotan (arc tan %- )$ $& % $0 0
= cotan 370
=1,33
# #$ $Jawab :# #$ $= sin ()=0
jawab :. { { )& '"- )# $$= cotan (arc tan . + )= cotan (-53 +90 )10. Sin (arc cos + arc cos {. {)= Sin (arc cos + arc cos {. {)
= are tan
#
+ 2 (arc tg # + arc tan$
#
#
-
$
)
= are tan
= are tan
#
#
#$
+ 2 (arc tan
$
%$
-
)
$
)
= are tan
= are tan
= are tan
##
#
+ arc tan
#"$
'$
)
{
11.are tan
#
+ (arc tg # + 2 arc tan$
#%
)
jawab :
= are tan
#
+ 2 (arc tg # + arc tan$
#
#
-
$
)
= are tan
= are tan
#
#
#$
+ 2 (arc tan
$
%$
-
)
$
)
= are tan
= are tan
= are tan
##
#
+ arc tan
#"$
'$
)
{
12.2 arc cos %#%= arc cos 2
% 2 1 + arc cotan ##% #%
+ arc cotan # + arc cos#%
$'+ arc cos
$'+ 2 (arc tg + arc tan .# - - $+ 2 (arc tan . -+ arc tan .--# # $+ 2 (arc tg + arc tan .# - - $+ 2 (arc tan . -+ arc tan .--# # $
= (arc cos
'#%
+ arc cos
$'
) + arc cotan
##%
= arc cos
' .#% $'
'#% $'
##%
= arc cos %' - #&& '%$' # $'= arc cos $'% + arc cos%$'= arc cos [ $'% # %$' ' #
#' #
+ arc cos #' #
$'% $%$'
D { . {'
#
#
{${
= arc cos
= arc cos
= arc cos
&" $' #&" $' ##" $ '# $' #
-
#"' &"#"' $' &$'' "'%$'{' # {
13. cos arc sin p =
. J$
misal : arc sin p =
sin = p
p
1
cos =
jadi cos =
cos arc sin p =
14. Sin arc cos p =
. J$. J$. J$
. J$
(terbukti)
. J$
Misal : arc cos p = Cos = p
Jadi
Sin =
. J$
sin =
sin arc cos p =
. J$
(terbukti) { . { {${{{ . { {${ + arc cotan@ .. J$
15. Tg arc cos p =
#
. J$
Jawab:Misal arc cos p =
Cos = p
1
Tg =
#
. J$
. J$
Jadi
Tg =
#
.
J$
p
Tg arc cos p =
#16. Cos arc sin%
#
. J$
(terbukti)
Jawab :
17. Tg arc sin
Misal arc sin # = %#Cos arc sin # = cos %= $ $%
# %%
1
22
)/3
3
Jawab :
Misal arc sin
# % =%
Sin =
Tg =
# %%%
-
3
Sin = %
Tg arc sin
18.Cos arc sin
Jawab :
#$
# %%=
= tg %
Jadi arc sin # = cos $
Misal arc sin # = $Sin = #$Cos = %$
= %$
1
2