Gli InsiemiGli Insiemi

Gli InsiemiGli InsiemiUn insieme è un raggruppamento di

elementi.

Ci sono insiemi i cui elementi non sono facilmente individuabili:- l’insieme delle rose più profumate;- l’insieme dei ragazzi più studiosi;- l’insieme dei giochi più divertenti.

Gli InsiemiGli InsiemiUn insieme è un raggruppamento di

elementi.

Ci sono insiemi i cui elementi sono invece facilmente individuabili:- l’insieme delle città italiane;- l’insieme dei professori della tua classe;- l’insieme dei tuoi libri scolastici.

Gli InsiemiGli InsiemiLe città: «Bari, Brindisi, Foggia, Lecce, Taranto» rappresentano un insieme

matematico poiché gli elementi dell’insieme sono elencati uno per uno con il loro nome.

Gli InsiemiGli Insiemi «I calciatori della Roma» rappresentano un insieme matematico poiché è chiaramente

definita la “proprietà” che consente di stabilire, senza possibilità di equivoci, se un

elemento appartiene all’insieme.

Gli InsiemiGli InsiemiUn insieme matematico è un

raggruppamento di elementi definibili con precisione.

Quali, tra i seguenti, sono insiemi matematici?- L’insieme delle vocali;- L’insieme delle vie più belle di Roma;-Terni, Perugia;- L’insieme delle squadre di calcio della serie A;- L’insieme delle torte più buone.

Rappresentazione degli Rappresentazione degli insiemiinsiemi

Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola dell’alfabeto: A B C D … ,

mentre gli elementi che appartengono all’insieme vengono indicati con le lettere

minuscole: a,b,c,d …

Rappresentazione degli Rappresentazione degli insiemiinsiemi

Un insieme si può rappresentare in tre

modi:

•per elencazione;

•per caratteristica;

• rappresentazione grafica.

Elencazione

Per rappresentare un insieme per elencazione si scrive la lettera maiuscola con la quale si vuole indicare l’insieme, seguita dal segno uguale (=) e da una parentesi graffa; all’interno di questa sono contenuti tutti gli elementi dell’insieme, separati uno dall’altro da una virgola.

Rappresentazione degli Rappresentazione degli insiemiinsiemi

A = { a, e, i, o, u }B = { 0, 2, 4, 6, 8 } C = { cane, gatto, topo }

Caratteristica

Per rappresentare un insieme in forma caratteristica si usa scrivere all’interno della parentesi graffa la proprietà che caratterizza gli elementi dell’insieme.

Rappresentazione degli Rappresentazione degli insiemiinsiemi

A = {x/x è una lettera della parola “cane” }B = { x/x è una cifra dispari } C = { x/x è capitale europea }

La barretta “/” si legge: «tale che»

Grafica

Per rappresentare un insieme in forma grafica si utilizzano i diagrammi di Eulero–Venn. Essi sono formati da una linea chiusa, che delimita una parte di piano, all’interno della quale si segnano gli elementi dell’insieme con un puntino seguito dal nome.

Rappresentazione degli Rappresentazione degli insiemiinsiemi

L’appartenenza ad un L’appartenenza ad un insiemeinsieme

Considera l’insieme delle vocali dell’alfabeto:

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa il simbolo ∈ e quindi si scrive a ∈V e si legge: « a appartiene a V ».

L’appartenenza ad un L’appartenenza ad un insiemeinsieme

La consonante « m » ovviamente non appartiene a V :

Per indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si usa il simbolo ∉ e quindi si scrive a ∉ V e si legge: « a non appartiene a V ».

Insiemi finiti, infiniti, vuotiInsiemi finiti, infiniti, vuoti

Considera l’insieme dei numeri naturali. Quanti sono i suoi elementi?

Quando un insieme è costituito da un numero illimitato di elementi, si dice infinito.

Insiemi finiti, infiniti, vuotiInsiemi finiti, infiniti, vuoti

Considera l’insieme delle province del Lazio. Quante sono?

Quando un insieme è costituito da un numero limitato di elementi, si dice finito.

Insiemi finiti, infiniti, vuotiInsiemi finiti, infiniti, vuoti

Considera l’insieme dei mesi con 32 giorni. Quanti sono?

Se un insieme è privo di elementi si dice

vuoto e si indica con il simbolo: ∅ oppure { } .

SottoinsiemiSottoinsiemiConsidera l’insieme degli alunni di una prima

media, che indichiamo con A, e l’insieme degli alunni della stessa classe che portano gli

occhiali, che indichiamo con B.

SottoinsiemiSottoinsiemiRappresentiamo i due insiemi per caratteristica: A = {x / x è un alunno di una classe di prima media}; B = {x / x è un alunno di una classe di prima media che porta gli occhiali} .

SottoinsiemiSottoinsiemiÈ evidente che gli elementi dell’insieme B sono anche elementi dell’insieme A. Si dice allora che l’insieme B è “contenuto” nell’insieme A.

SottoinsiemiSottoinsiemi

Ogni volta che un insieme B è contenuto in un insieme A si dice che B è un sottoinsieme di A e si scrive:

SottoinsiemiSottoinsiemi

La scrittura si legge «B è incluso (o contenuto) in A» oppure «B è sottoinsieme di A»

SottoinsiemiSottoinsiemi

La scrittura si legge «B non è incluso (o non è contenuto) in A» oppure «B è non sottoinsieme di A»

SottoinsiemiSottoinsiemiConsidera gli insiemi A, B, C. della figura. Cosa puoi dire circa la loro inclusione o la non inclusione?

SottoinsiemiSottoinsiemiUn insieme B si dice sottoinsieme

dell’insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A.

IntersezioneIntersezioneConsidera gli insiemi:A= {x/x è un mammifero}B= {x/x è un animale che vive nell’acqua}La balena, il delfino, l’orca, …, sono mammiferi che vivono nell’acqua, sono cioè “elementi” appartenenti contemporaneamente sia all’insieme A sia all’insieme B.

IntersezioneIntersezione

Se consideriamo l’insieme C formato da tutti i mammiferi che vivono nell’acqua,

diremo che C è l’intersezione degli insiemi A e B.

IntersezioneIntersezione

In simboli si scrive:

dove il simbolo significa intersezione e si legge « l’insieme C è uguale ad A intersecato B »

IntersezioneIntersezioneDati due insiemi A e B si dice intersezione di

tali insiemi, e si scrive A B, quel nuovo insieme C formato dagli elementi comuni ad A e B.

IntersezioneIntersezione

Quali elementi hanno in comune gli insiemi A e B?

Considera i due insiemi: A= {x/x è un mammifero}B= {x/x è un insetto}

I due insiemi non hanno elementi in comune, si dice che sono disgiunti, la loro intersezione è

vuota.

IntersezioneIntersezione

UnioneUnione

Dati i due insiemi: A= {x/x è una vocale dell’alfabeto}B= {x/x è una consonante dell’alfabeto}

Se consideriamo l’insieme C formato da tutte le lettere dell’alfabeto (vocali e

consonanti), diremo che è l’unione degli insiemi A e B.

UnioneUnione

Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, e si scrive A UB, quel nuovo insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A e dagli elementi che appartengono a B

presi una sola volta.

UnioneUnione

Siano dati i due insiemi: A= {x/x è una lettera della parola “amo”}B= {x/x è una lettera della parola “more”}

La loro unione sarà:

= {x/x è una lettera della parola “amore”}

Insiemi equipotentiInsiemi equipotentiSiano dati i due insiemi: A= { a, e, i, o, u }B= {pollice, indice, medio, anulare, mignolo}Rappresentandoli con i diagrammi di Eulero-Venn:

Insiemi equipotentiInsiemi equipotentiSe colleghiamo gli elementi dell’insieme A con gli elementi di B, di cosa ci si accorge?

Insiemi equipotentiInsiemi equipotentiCi si accorge che gli elementi dell’insieme A sono tanti quanti gli elementi dell’insieme B,

cioè hanno la stessa potenza.

Insiemi equipotentiInsiemi equipotentiI due insiemi sono equipotenti.

La potenza di un insieme si chiama cardinalità.

Insiemi equipotentiInsiemi equipotentiIl numero è il simbolo che esprime quanti sono gli elementi di un insieme e di ogni

altro insieme a esso equipotente

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