Post on 07-Aug-2018
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
1/131
TRẦN TUẤN ANH
a ầ l WHflMHBầl TOM"%
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
2/131
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
3/131
TRẦN TUẤN ANH
Giải nhanh bài toán
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUÓC GIA THÀNH PHỐ HÒ CHÍ MINH
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
4/131
GIẢI NHANH BÀI TOÁN
N G U Y Ê N H À M V À T Í C H P H Â N
Nhà xuất bản ĐHQG-HCM và tác giả/đối tác liên kết giữ bản quyền® Copyright © by YNƯ-HCM Publishing House and author/co-partnership
All rights reserved
Xuất bản năm 2013
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
5/131
Lời nói đầu
Việc giải một bài toán nói chung là một quá trình tư duy cao độ, dựa ừêi
hiểu biết cùa người giải toán. Việc tính một bài toán nguyên hàm hay một bí
toán tích phân cũng vậy. Có người thậm chí không giải được, có người giẻ
được nhưng cầií quá trình mày mò rất ỉâu, thử hết cách này đến cách khác mc
giải xong, trong khi có người lại tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là 1:
quyết để giải nhanh được một bài toán nguyên hàm, một bài toán tích phân n
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
6/131
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
7/131
GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÃN TRONG
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Cách giải thông thường
2 X2 —\ 2 V “ 1^Cách h Ị = J— — .ln xdx = jin xdx .+ j| - J Ịlnxứỉx;. Ta xé t:
I x ì \ \ x )
2
+ /| = J*ln xdx .1
Đặt u = lnx^> du = —dx; dv = dx=> v = x.X
2 2 2/j = Ịìnxđx = xìnx - ị —dx = 21n 2 - l .
i 1 1 x
**-)(?)1nxdx
Đặt u = \nx=$du ~ —đx\ d v À ~ \ d x V= ~ .
= —Inx X
2 ỉ-I---1 X
2 1 1= —ln2 - —.
ỉ 2 2
Vậy / = / ,+ / j = 2 i n 2 - l + ỉ l n 2 - ì = i . (5 1 n 2 - 3 ) .
/ = ị ^ ^ . \ n x d x = ị \ - \ ĩ x 1V X „
Đặt / = lnx=>j: = e/ và d x = .
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tĩch phân s 5
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
8/131
Đổi cận: X= 1=> r = 0; X= 2 => r = ln2 .
^ìf 1 ) ln2 In2
/ = / r ^ r r ' * = í ( e' - e" ỳa = Ị td ị e '+ e ' )0 ' ■J 0 0
= t (e /+ e~tỆ 2 - ] ( e' + e ~1dt
= t (e { +e -‘) ]n2- ( e ‘ - e~!) ^ = h 2 . ( e ia2
= ln2 . 2 + - V 2,
l ì 12 - 1 = f ( 5 1 n 2 -3 ) .
Vậy / = —(5 1n 2-3 ).
Cách giả i nhanh
Cách 3: các bạn để ỷ quan hệ giữa — vờ —T- ỉà : -^-dx = d\ —\; quan hệ
giữa X và ỉ là : 1dx = dx .
( Jí Do đó, ta cỏ :
X —1dx~ [ l — ~ j dx = d + — . Vậy ta có thể giải nhanh bài toán trên như sau :
M1 „ 2
-In xdx= 1 — — 2rf 1 ^ 2 ( l'111 — — ln;ttừ = Ílnxí/ X+ — 1V x / 1 V 'x .
= ìnx.
= lnx.
í ó ' 2 ¥ 0* + — , - * + -V x ) 1 Ị \ X;
—áx X
x + — X )
1- 11 1+-— [
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
9/131
Câu 2: Tính tích phân / = J W 2 - x 2dx (ĐH khối B -2013
Cách giải thông thường
Cách l i Do đấu hiệu “V2- X 2 ” nên ta chọn ẩn phụ x = yỈ2sìni.
Đặt x ^ y ị ĩ s m t => dx = ' j2cữStdt , / e [ - — .L 2 2_
Đổi cân : x = 0=> / = 0; jc = 1=>í = —.4
£ £
Ta có: / = JV2 sin t \ Ỉ 2 - 2 sin2 ĩ.yỈ2 COStdt = 2V2 ịsirư.cosí.-s/ỉ —sin2 tdt
£ £4 4= 2V2 Jsứư.cosí.jcosfỊrf/ = 2V2 Jsin/cos2 td t .
Xét tích phân y = 2V2 jsin/ COS2 rá/.
Đặt u = COS du = - sin td t .
1Ĩ V2Đôi cận: t = 0=> u = ỉ;t = — =>« = — 4 2
Ể l 2 l 3
Ta có : J = - 2V2 J u2du = 2V2 J = 2V2 .—
1 Ũ. ^
2-72-1
Vậy / =2 V2 - I
Cách 2: Theo kinh nghiệm thi thấy căn thức ta đặt căn ữiức là ẩn phụ!
Đặt t = y ị2 -x 2 =>í2 = 2 ~ x 1 tdt = -xdx .
Đổi cận: X - 0 = 4 Ĩ\X - 1=> í = 1.
Giãi nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân ©
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
10/131
I J -ã . ' - .3
Ta có: 7 = - J t2dt == JV2
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
11/131
J 2
Xét tích phân J = J- ệ — d x .QX 4-1
Đăt X = tan/ => íử = —~ - d t = ( l + tan2 /W /, t €COS / v '
Đổi cân : X - Q =̂>t = 0; X= 1 t - —,4
X £
Ta được ỉ = (l + tan2 í )íừ = 2 f"Sĩĩl--áft' tan / + 1 v f ị cost
r -K 7TN~ ĩ ; 2
4 Ị
= “ 2 J— —d(cost ) - - 21n|cosíỊQCOSt
7t 1
Vây / = l - 21n - 7= = l+ ln 2 .
Cách giải nhanhCách 3: Các bạn để ỷ quan hệ-giữa X và X2 ỉà: 2xdx = d ị x 2} = d { x 1+ \ s Ị.
Nên việc ta chọn ẩn phụ t = X2 +1 (ở cách ỉ ) là hoàn toàn tự nhiên Ị Chúng
tá có thể giải nhanh như sau :thê giải nhanh như sau :
í = ệ ^ Xỉ -d x= \ x- + 2x— dx = )dx+ \ - Ạ - d x i x2+l J x2 + l ị Ị x +1
= X ̂ + f-^— d ( x 2+ l) = x 1 1 , 11 , .+ ỉn \x +1 = l + ln20 Jx2 +1 v ) 0 1 1 0
Lời giải thật nhanh gọn /
Đê có cách nhìn “tường minh” về cách giải nhanh Nguyên hàm vả Tích
phân, mời bạn đọc tìm hiểu những kiến giải trong cuốn sách này !
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 0 9
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
12/131
Chương 1. NGUYÊN HÀM
Bài 1. NGUYÊN HÀM1. Định nghĩa
Cho hàm sổ f(x) xác định ưên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
của K ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) ừên K nếu F(x) = f(x) với mọi X thuộc K.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Sau này, yêu cầu tìm nguyên hàm cùa một hàm số đirợc hiểu là tìm nguyên
hàm trên từng khoảng xác định của nó.
F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x) + c (C là hằng số) là họ
nguyên hàm của hàm f(x) hay tích phỗn bất địĩửi của hàm f(x).
J/(x)dr = F(x) + CKí hiệ u:
Vỉ dụ 1
a) Ị2 xdx = x2 vì (x2 = 2x .
b) Jcos;ttừ = sinx + C vì (sinx + C)’ = co&x.
* Lưu ỷ: để hiểu nhanh những nội dung kiến thức trong cuốn sách này, bạn
đọc nên rèn luyện thành thạo việc tinh đạo hàm Ị
2. Tính chất thứ nhất
Ị f ' (x )dx=f (x)+C
Tính chất thứ nhất được suy trực tiếp từ định nghĩa nguyện hàm. Trọng thực
hành, tính chất này giúp ta tìm ra nguyên hàm của một hàm sổ đom giản, cũng
như việc xác định lại nguyên hàm tìm rá có đủng không theo cách nghĩ: “muốn
tìm nguyên hàm của hàm sổ f(x), chúng ta tìm hàm số mà đạo hàm bậc nhất
của nỏ phải chính ỉàf(xỴ\ Với cách hiểu đó5 chúng ta có thể thành lập Bảng
công thức nguyên hàm cơ bản như sau :
(1) Công thức 1 : Jbíừ =? Ta suy nghĩ : hàm số nào có đạo hàm bậc nhất
bằng 0? Hiển nhiên đó là hằng số ! Vậy ta có công'thức thứ nhất: Qdx - C
10 E9 Trần Tuấn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
13/131
(2) Công thức 2 : ịdx =? Ta suy nghĩ: hàm số nào có đạo hàm bậc nh
bàng 1? pễ đáng nhận thấy đó là X vì x ’ - 1. Vậy ta có công thức thứ hz
dx = x
(3) Công thức 3 : ịx adx =? Ta suy nghĩ: hàm số nào có đạo hàm bậc nh
bằng x"? Chúng ta liên tưởng ngay tới công thức đạo hàm (xny = nxn~x hí (xa+1)'
= xn \ Ta ứiay n ~ ĩ - a hay n = a + ỉ , ứiu được công thức ---- — = yn
( ra+l >hay
A
Ka + l j
a + 1
công thức thư ba .
, xa+l ,• , ..■■■■ ■= xa . Vây là hàm s o ------ có đao hàm bâc nhât băng X . Suy
a + l
( a ^ - Ì ) . • ịxađ x = ^ ~ - i a + X
fl « .. .(4) Công thửc 4 : — dx =? Ta suy nghĩ : hàm sô nào có đạo hảm bậc rih-
J X
bằng — Ta liên tưởng tới công thức (lnx) —— thì thu được công til’X 9 ■ - . : - - • X . -
J— đx =ln | x| + c . Chung ta lấy đấu giá tri tuyệt đối vĩ điều kiện của hám Lôgari
(5) Công thửc 5 : ịa xdx =? Ta suy nghĩ : hàm số nào có đạo hàm bậc nỉ
bằng ơ x7 Từ công thức tính - .đạo hàm quen thuộc- (ax) =ơxỉna h
V1n a ,
ữx = a \ tức là hàm số — - có đạo hàm bậc nhất bằng ax. Vậy ta dễ đà
Ina
thu được công thức \axdx = — + c J \ na
(6) Công thức 6 : ịe xdx- 7 Ta suy nghĩ : hàm số nào có đạo hàm bậc nl
bằng ex ? Dễ dàng ta nhận thấy đó là hàm ex vì (V) =ex \ suy ra công th
. Công thức thứ sáu là trường hợp riêng của côthứ sáu : exdx = ex +
thức thứ năm khi thay “a” bằng “e” !
Giãi nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân ss
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
14/131
(7) Công thức 7 : Jcosx
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
15/131
- A — = .̂•-s*a -— C2.sx-Ĵ \ rõ ràng nếu chọn A = cosx thi 'inff— CQjz.AsinajJ sin2z sin2 X
_ - sm X cos_ X _ —1 Yậy hàm số có đạo hàm bậc nhất bằng —ỉ— là sin2 X ■sin2 X sin2 X
hàm số ~ C2 SX. hay (- cotx). Suy ra công thức thứ m ườ i: sin X
f — -— dx — —cot X + .J sin X __ _____________
Vậy ta có Bảng nguyên hàm cơ bản sạu :
J' Odx = c [ a xdx = ——'.+ C( a > 0;a ^ 1)
J ln a
J dx = X -ị-c J cos xdx = sin 2 + c
[ xadx — — ------ h C(ot ^ — 1)J a + 1
J' s in xdx = —cos X + c
f ỉ dx = In ị X ị + c J X
f ^— dx = ta n X + c J COS X
j e xdx = ez + c [ —^— dx = —cot x + c J sin X
Hiểu và thuộc bảng nguyên hàm cơ bản là điều kiện thiết yếu để chúng ta
tính được nguyên hàm cũng như tích phân sau này. Chính vì vậy, chúng ta càn
sử dụng thành thạo các công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản.
3. Tỉnh chất thứ hai
J kf{x)dx = k J f{x)dx
Trong công thức này, điều mà chứng ta cần chú ý là hệ số “k” (hệ số k có
thể “ra”, “vào” qua dấu nguyên hàm!), tất nhiên k phải ỉà hằng số, còn biến số
không đưa ra ngoài dấu nguyên hàm được.
Ví đụ 2. Áp đụng tính chất thứ hai và Bảng nguýêri hàm cơ bản, ta có :
Giải nhanh bài toán Nguyền hàm và Tích phân © 13
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
16/131
a) J Qxdx = 6 J xdx (áp dụng tính chất thứ hai)
X 2= 6 - - -Ị- (áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản)
= 3 x2 + c .
, x r COS X - 1 c » 1 • /"'íb) Ị —-— ax I cos xdx = —s inx + C- 3 3 J 3
c) J ex+ydx — e.é*dx —e e * đ £ —e-e* + ơ .
2 r ' ” 5đ) ịiolíxrdx = 1 0 J x 3íử = 1 0 . -^— ■ + £’ - 6x3+c.
3 +1
Nói chung, khi tính nguyên hàm cũng như tích phân sau này, chúng ta cố
gắng biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm hay dưới dấu tích phân xuất hiện những hàm số có trong bàng nguyên hàm cơ bản. Do vậy, việc nắm được Bảng
nguyên hàm cơ bản là điều kiện rất quan trong để chúng ta tính được nguyên
hàm, tích phân.
4. Tính chất thứ ba
J (f(x) ± g(x))dx = J f(x)dx ± J g{x)dx
Chúng ta có thể hiểu một cách đơn giản công thức trên như sau: nguyên
hàm của tổng (hiệu) của hai hàm số, bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm của hai hàm số đó.
Công thức có thể mở rộng như sau :
/ C íM ±f2 (x )± . . .± fn(x))dx =J £(%)
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
17/131
X2= 4. — 4- 3 sin X 4- c (áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản)
2
= 2x2 + 3 ;SỈĐZ 4- c . - . . ■
b) / = [ (5ez ----- ~ - ) d x ~ [ òexd x - f ■- - đx (áp đụng tính chất J COS X J J cos X
thứ ba)
— 5 f exdx — 7 f — - — dx (áp dụng Mnh chất thứ hai) ■ J J COS2 X ,
, r ^ g_v v3 93* Ị= 9f3"íử+ ix>dx = — + ± l + c = — +3xJ +C .
j j Ỉn3 I ln 3
3
dH = /3íí 2 —2x -H4
dx - ĩ
3x '2x 4
X X X dx
—J Zxầx - J 2đx-ị- J — dx
— 3 f x ầ x —2 f d z + 4 f — dx — —2x + 41x12 + c . J J J x 2
Trong thực hành, ta trình bày nhanh như sau :
a) ỉ x —J 1(4x + 3 COS x)dx =2x2 + 3 sin X + C .
b ) / , = / ( - ' 75e3
c) /s = (í 3” 2 + 1
)dx =5e* — 7 tan X + c .COS £
/ '2 Ađx= ị 32.3X+ * 3
9 3* -dx ~ —-r + 3x* + c .
ln'3
3z —2:r -í- 4
X dỊc
3x 2 —2íP + 4 In a?+ c -
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích .phân 53 1
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
18/131
Tùy theo khả năng củạ người làm toán mà ta có thể ỉược bỏ đì những bước
giải[khôngcan-.thiết. ___ ____ —. .... ------ ------ - -------
Ví dụ 4. Tỉnh :
f (Vã-+ 1)2\ r - r (v z -+ 1)2 , - > _• r x + x2 ■- e V - ••a ) 7 , = j v- -J b ) /2 = J ------í - y -------: # .
^ X J X
c) / , = f r . Z ’dx: d) / 4 = j 4 & .
" ....... 42
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
19/131
Tập xác định của F(x) và f(x)- là R . Hàm số F(x) là một nguyên hàm
của / (x) thì F \x) ~ f (x) với Vx e M.
Ta có : F'(x) = aex+ (ax + b)ex =(ax + a + b)ex nên F' (x )~ f (x ) với
VxeR. ửd (ax + a + b)ex = xe* với VjceR o ax + a + b = X, \ fx e R
_ f a - 1 = 0 ị a - l (a -l )x + a + b = 0, \fx eR ,
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
20/131
3. Tính:
a) 7, = /e21'+ 3
eIdx‘ ,
c) I t = f 3 V đ z ;
4. Tính:
b) = / | e" 2 +
«0 w X —xe
dx
đx
a) / = [ (yfx + 4 t fx +5yfx*)dx; b) / 2 = f ( - ^ + - ịL + —ỉ =V £ V X V X2
)cfa;
5. Cho hàm số / (x) - (xx + x)ex và F(x) = (ax2 + ốx 4- c)e*. Với giá trị nào của
a, b và c thì F(x) là một nguyên hàm của / (x) ?
Bài 2. BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG Sau đây chúng ta sẽ mở rộng các công thức nguyên hàm cơ bàn để được
Bảng nguyên hàm mở rộng. Bảng nguyên hàm mở rộng là công cụ giúp chúng
ta tinh nhanh nguyên hàm và tích phân. Trước tiên ta xét định lí sau :
1. Định lí
Nếu f (u)du =F(u) + và u —u(x) là hàm số cỏ đạo hàm ỉỉên tục thì:
j* f (u(x)) .u ' (x )dx =F(u(x )) 4-
2. Công thirc nguyên hàm mở rộng
Áp dụng định lí trên trong trường hợp u = ax+ b (a * 0), ta có :
ị f { ax + b) dx= ị f { a x + b).(ax + bỴ'—dx
= - f / ( ^ + £ ) . ( a x + ố ) ' í & = - F ( a x + ố) + Ca J a
Tóm lại, ta có công thức để mờ rộng bảng nguyên hàm cơ bản:
f / (ax + b)đx = + b) + J a
Công thức nguyên hàm cơ bản và công thức ngụyên hàm mở rộng được cho
tương ứng dưới bảng sau :
18 S3 Trần Tuấn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
21/131
Cộng thức nguyên hàm Cơ bản Công thức nguyên hàm mở rộng
J 0 dx = c
J dx = X -Ì-C
f xadx = + C ( a * 1) J a + 1
ĩ{ a x + b Ỵ d x = k {a C+ ì> rl+ O a * 1) J a a + 1
f — dx = ln ị X 1+ c J X - ■■ ■
f — -— dx = —. In 1ax + b 1-K7 J . ax -T b a
J e ’ dx = e * + C f e " +*cfe = - e “ +i +c J a
f oĩdx = a ' + C ( a > ữ ta * 1) J lna
f oT»dx = 1 .a 0; a ^ 1) J a lna
J cosxđx = s inx 4 - c [ cos (ax + b)dx = — sìĩi(ax + b) + c J a
J sin xdx = — COS X ~hc ' J sin(ax 4- b)dx = ——cos(ax + ò) + c
f dx = t a nx +
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
22/131
ĩ = J (2x + l )4d x = ~ f (2x + l) {2x + l fãx , ■
—J (2x + l)(8x3 + I 2 z 2 + 6 x + í)dx
= J (16a:4'-f 24x3 4- I2x2 + 2x + Sxz + 12x2 + 6x 4-1 )dx
—J (16£4 + 32x3 + 24z2+ 8 x + ì)dx
16x5 32x4 24x3 8x2 _ -H— _— I— -— 1- X-ị- c
5 4 3 2
= 1 Ẽ£_ _ị_ gx 4 -I- ga;3 ị x2 _|_ ái 4- (7.5
Bây giờ chúng ta áp dụng công thức nguyên hẳm mờ rộng (công
hức f (ax + bỴd x = —. ̂ + ^ — + ơ ( a ^ - 1 ) ) để tính l ta có : J a a + 1 :
/ = f ( 2 x + l)4dx = ~. í 2x — 1)4+1 + ơ = + c .J 2 4 + 1 10
tó ý rarcg, các/ỉ này và cách trên đều cho kết quả đúng, nc(Chú ý rằng, cách này và cách trên đêu cho kêt quả đúng, nỏ chỉ sai khá
ĩhau một hằng số xác địnhỉ)
Nếu bài toán ừên ta thay số mũ 4 bằng số mũ 2013 chẳng hạn thì lời giả
ahư cách đầu tiên sẽ phức tạp như thế nào? Còn nếu chúng ta ầp dụng cônthức nguyên hàm mở rộng ta có ngay lời giải ngắn gọn cho bài toán đó l
ỉ = J (2x + 1 f ° n d r — ^ X — —— - + ơ . Kể cảchúng ta dùng phương phá
đổi biến số (sẽ học ờ bài sau) thì cũng có lời giải không gọn bàng cách này
R.Õràng công thức nguyên hàm mở rộng tỏ ra ưu điểm hom công thức nguyê
hàm cơ bản ! Các công thức nguyên hàm mở rộng, nếu chúng ta cho hệ số a =
1; 6 = 0 thì ta thu đựợc công thức nguyên hàm cơ bản.
Ví dụ 1. Tính : .
a ) . Iỵ= J ( 2 s + 3 j dx ; b ) I2=j*( — 2x) d
c) Í3= 7 7 7 ^ đ) h =( 3 z - l ) ệĩx-2)
20 0 Trần Tuấn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
23/131
Giải
Áp dụng các công thức trong Bảng nguỳên hàm mở rộng ta có :
ọ ị \12 1 (2^ + 3 ) (2^ + 3 )a) I — ị { 2 x + z \ dx = - > ----- — ' - +
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
24/131
f ----- ------ dx = --------- — -------(ax + b f a (n - i ) ( ax + b)
+ (n ^ 1;a 0 ) sẽ cho
ta lời giải nhanh hơn nữa (vì giảm được một bước biến đỗi) ỉ
- 1 c) / = f ----- ------ dx =
( 3 i - l ) 1 8 ( 3 i - l )
d) I, = f dx= + c .‘ ỉ ị Ọ x - l ỹ ị l Ọ x - l ý
- Nếu không áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, chúng ta giải b
toán bằng phương pháp đổi biến sổ mà chúng ta sẽ xét trong bài học sau, Ở
đây chúng ta đơn cử câu a) được giải bằng phưomg phập đỏi biến sổ để so
sánh hai cách gi ải :
ỉ x = J (2x + 3) dx
Đặt u ~ 2 x + 3 = >d u — 2dx =>• dx = —du2
' T ' T r J w~Ta cỏ :/ = ị u - d u = - — h c = —— Ị- c1 J 2 2 13 26
Thay u = 2x + 3 , ta đươc: L = ^ — Ị - C.1 26
Rõ ràng cách này tỏ ra khá phức tạp so với một bài toán đơn giản như vậy ỉ Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng ta cỏ ỉời giải gọn và nhanh hơn:
r I \12 _ ĩ l = f ( 2 x + 3) dx - ■ + c
Do vậy, việc nhớ và vận dụng tot công thức nguyên hàm mở rộng là cần
thiết để chủng ta tỉnh nhanh được nguyên hàm và tích phân sau này.
Ví dụ 2. Tính:
a) / = [ — l —-> J 2 —hx
1r — c) /3 = ịe 3 d x :
b) / 2 = J 31+51 dx
d ) ỉ 4 = f e~xdx-
22 © Trần Tuân Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
25/131
Giải
Áp dụng các công thức trong Bảng nguyên hàm mở rộng ta có :
a) / , = f — dx = — lnỈ2 - 5 ĩ | + c lnÍ2 - 5x1+ C.> J 2 —5x - 5 1 1 5 1 1
b ) / = f = 3 [ă^dx = 3 . í . ^ — + c = - . Ị ^ - + ơ -2 J J 5 ln3 5 ln3
_i 'c ) h= Ịe 3 dx = — T-e 3 + c = “ 3 e 3 + c .
- - _ . .... . .
d ) / 4 = j ' e - x
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
26/131
°) / , = f — ị- — dx = f — ----- dx — — t a n 3 X + C-3 •> COS
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
27/131
3. Tinh:
á) I = f (sin(3 — —) + cosbx)dx '■> "b) Ị = f —— — -— đx J 2 J COS (4 — z )
c) I =
rí — ỉ—— f s in — cb ; d) J = f co s(3 - — )d x *
3 sin 3z 2 ] 4 J 4
Bài 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SÔ
Bài này chúng ta sẽ xét hai trường họp khi tính nguyên hàm J/ (x)dx bàng
phương pháp đổi biến số :
— Trường hợp ỉ : Đặt u là một hàm số của X
— Trường hợp 2 : Đặt X là một hàm sổ của u.
A. Phép đặt u là một hàm số của X : u —u(x)
Già sử cần tính ỉ = ị f (x)dx, ta thực hiện như sau :
Bước ỉ : Chọn ẩn phụ thick hợp u = u{x).
Bước 2 : Xác định vi phân du = du(x) hoặc du2 - du2{x ) ...
Bước 3 : Biểu thị f{x)dx theo u và du, Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du.
Bước 4 : Tính I = ịg{u)du. Sau đỏ thay u —u(x) để được kết quả cần tìm.Chú V: chọn ẩn phụ u - u{x) sao cho việc tính ỉ = ịg(u)du phải dễ horn ià
tính Ị = ị f (x)dx !
Khi nhìn vào một bài giải cho bài toán tính nguyên hàm hay tích phân bằng
phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến số )5bạn đọc thường có câu
hỏi : tại sao lại chọn đặt ẩn phụ như vậy? Làm sao chọn ẩn phụ thích hợp?...
Những kiến thức dưới đây sẽ giúp các bạn định hướng được phép đặt ẩn phụ
cho mình một cách nhanh chóng mà không phải mày mò làm giảm tốc độ tính nguyên hàm, tích phân của các bạn.
Trước tiên các bạn cần lưu ý hai kết quả mà chúng ta thường dùng sau đây :
(1) df{x) = f\ x) d x .
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân Ĩ3 25
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
28/131
(2 ) Nếu J f(u)du =F(u) + c và u —u(x) là hàm sỗ có đạo hàm ỉiên tục
thì: J f(u(x) ).u' (x)du ~ j* f(u(x))du(x) =F(u(x )) + c
Ví dụ
a) j ' cos(2z2 + 3z + l)d(2x 24- 3x + 1) = sin(2a:2 + 3z +■1) + c
(ta hiếu trong suy nghĩ - " 2x + 3 x + ” ỉ à u )
b) f —1 — - d ự + 1 ) = l n | i + l | + c = l n ( ^ + l ) • c v ỉ / + > (taJ (z2+l ) 1 1
hiểu trong suy nghĩ “ X2 + 1 ” ỉà u )
Sau đây chúng ta tìm hiểu các mối quan hệ quan trọng giúp chúng ta tìm
nhanh phép đặt ẩn phụ và định hướng nhanh cách giải cho bài toán nguyên
hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
1. Quan hệ giữa xn và xn+' ( n * - 1)
Ta có : dxn+i ~{n + 1 )xndx xttdx — —-— dxn+ì - — —— d(axn+l + b) j ừongn + 1 a(« + l)
đó a * 0 còn b tùy ý trên R . Vậy ta có quan hệ giữa xn và x”*1( n & “ 1) như
như sau : đưa xn vào trong vi phân thì thành {axnrì +ò), với ữ 0 và b tùy
ỷ trên R,) ■ -
Ví dụ 1. Tính :
a) Phân tích bài toán: Theo ỉổì giải thông thường, các bạn sẽ khạị triển
biểu thức (2x3 + ỉ f , sau đó nhân với X 2 để đưa về nguyên hàm dễ tỉnh hơn.
Thế nhưng việc khai triển biểu thức (2x3 + Ị ỷ là không đơn giản? Do vậy,
cách này đã tò ra không hiệu quả ! Nếu giải bài toán này bằng phương pháp
ãổi biến sổ, ta chọn ẩn phụ ỉà u —2x3 + 1. Tại sao lại chọn được ẩn phụ như
vậy? Báy giờ các bọn để ý quan hệ giữa X 2 vồ xĩ như sau :
sau : xndx = — - — d(axn^ +ồ) (ta hiểu công íhức trên môt cách đơn giản a(n + 1)
Giải
26 S3 Trần Tuãn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
29/131
x2d x - —d(2xl + 1 ) nên ta có X2 (2a:3 4-1)9ác = — (2z3 + 1)9d(2xz -f-6 6
Do đó, việc chứng ta chọn ẩn phụ là u = 2x3 +1 /à hoàn toàn tự nhiên, khô
mang tỉnh áp đặt.
Lời giãi, cửa bài toán
I: = f x 2(2x3 -r l)9dx = f - ( '2 x 3 + l)9d(2x3 + 1 ) • •
Đặt u = 2x 3 +1 => đu = d (2 x3 +1).1 1 10 '
Ta có: I = ± f u’đ u = i . — + c = — + C-1 6 J 6 10 60 . . .
Thay u - 2x3 +1 ta đươc: / = fàx ' 1 60
b) Phân tích bài toán: Các bạn để ỷ quan hệ giữa X và X2:
xdx = ~d { x2+1) nên ta có w X2+ lđ&r = — yjx2+1 d(x2+ 1). Do vạy, ta có ì2 2
chọn ẩn phụ là u - X 2 ■+1 hoặc u = yjx2 + 1. Trong trương hợp này tà nên ch
u = -\lx2 + l đế biểu thức dưới dấu nguyên hàm không còn căn thức.
Lời giải của bài toán
ỉ2 ~ J xVx2 + ldx = J —sIx2 + 1 d(x2 + 1)-
Đặt u = Vx2 + 1=> U2 = X24-1 => du2 = d(x2 +1).
Ta có: I = í —II du2 = 2udu = f u2du —— + C- J 2 J 2 J 3
(\Ịx2 + 1 )s r - -Thay u = Vx +1 ta được: I = ___________ f c • ■
3Cách khác :
r\x* ___
2 . 1 J / ..2 . 1\Đặt u = X2 +1 => du = d(x2 +1).3
Tacó:l = \—yỊŨẩu=—\u2du= —̂ — + C ~ ^ —+ C • 2 2 1 2 3 3
. 2
Giải nhanh bài toần-Nguyên hàm và Tích phân ©
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
30/131
.. . , v'x2 + 1 ) 3 'Thay u = X -rl ta được: J= --------------------------------------- ------- ---------. . . 3
* Nhận xét : Neu đã thành thạo trongyiệc sử dụng phương pháp.này,
bạn cỏ thể trình bày ỉời giải nhanh hơn như sau :
a) ^ = J x 2( 2 x 3 + l)9d x = / - ( 2 x 3 + l ) 9d(2 x 3 + 1)
= t ì l _ : Q. (tahiềutrong suy nghĩ“ x + ” l à “u”)60
b) I2 = jW ? T ~\dx = j —4x2 +l d(x2 + 1) - ỉ Ị(x2 + ì)2 d(x 2 + 1)
_ ( x +_! ) + trong suỹ nghĩ “ X + ” là “u”) .
2. Quan hệ giữa —T- và — X X ... ... _ ; ’
Ta có I—I = “ nển quan hệ cần xét giữa — và — ■là:\ x ) X X X .
1 1 (a )-í-dx = - - d - + & X a X
(ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau : đua — vào trong v
vhân thì thành — Ị-b, với d V* 0 và b tủy ỷ trên IR ) X .
Ví dụ 2. Tính :
1+ -
r e X p 1 1 1
a ) I j = f — — dx; . _ b) / = / —r-sin — cos — rác. X J X X X
Giải
a) Phẫn tích bài toán : Nếu chưa được biết đến quan hệ giữa “ và — th X X
'hột không dễ để chúng ta tìm ra ngay phép đặt ẩn phụ!. Các bạn để ý quan hệ
Ỉ8 S3 Trần Tuẩn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
31/131
1 * 1 1 , - 1 , giữa và -t-dx = —- d X- X X2 3
1 + 1 X
nên ta có —- du = d(l + —■).
X X
Ta cóố: T = — f eudu = —~ e u + C- 1 3 J 3
„ 3 -1 1+Thay U-.1+— tađươc: I] = ~—e x + c .
X 3
. 1 ^ 1b) Phân tích bài toán : Các bạn đê ỷ quan hệ giữa —T và —;
X X
1
dx = —d - , ' 1 1 J _ . 1 1 -
nen ta có — sin — COS — ax = —sin — COS—tí X 2 X X X X . Do đó,
ta có thể chọn ẩn phụ ỉà u = —. X
Lời giải của bài toán/ >1 1 r • ,Í1Ì — 1 sin —d — X 2 J X X \ /
Đặt u = — =>du = d f —
1 * 1 1 1 Ta có : = --------------------------------------------------- J ' sin(2u) du = — (-cos2 u) +
Thay u = — ta đươc: I = — COSX 2 Ả
/ \ 2
2 2
+ c-
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 09 29
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
32/131
* Nhận x é t : Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các
bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:
3
-1 I+=—e 3
hì 7 _ f J L ; i 1 . f l ì ___1 r ; 2 J i )°) 1 — \ — sin —cos —ax —— Ị sin —COS —a — = — Ị sin —a — J X X X J X X X 2 J X X \ / V /
_ ỉ C0SỊij+c-
3. Quan hệ giữa — và lnxr
Ta có (ln x) = — nên quan hệ cẩn xét giữa — và In X là : X X
1 1 —dx = —d{a\ ĩix + 6) X a
(ta hiểu công ĩhức trên một cách đơn giản như sau : đưa — vào trong vi X
phân thì thành (a In X -Ị- ò), với a ĩ* 0 và b tùy ỷ trên M)
Ví dụ 3. Tính:
2 In3X + 51112 Xr (21nx + 3Ìa ) I - / V-------- ì d x ; J Ỷ b)i xlnx d x .
Giải:
a) Phân tích bài toán: Các bạn để ỷ quan hệ giữa — và In X :
-
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
33/131
Ta có:1 1 10 10, T 1 f 9 , 1 u . ~ _ u , ^I = — I u du ——. — + c — ---hc ’
1 >■' 2 10 20
Thav u = 21n x+ 3 ta đươc: / i - -I íX 1 ty -ị-C-1 on20
1 1b) Phân tích bài toán: Các bạn để ý quan hệ giữa — và . In X : -- dx = ổ(ln x)
X X , 21n3 x + 51n2 X , 2 In3 JC+ 5 In2 X V \ - * r - -7
nên ta có — ----- — -----a x - . a[ ỉnx) . Do vậy, ta chọn ân phụxlnx
à u = lnx.
ln r
Lòi giải của bài toán
w2 ìn3 X+ 5ln2 X
dxxin X
Đặt u = lnx => du = đ(lnx).
2 In3 X + 5 In. X
ln xd(lnx) ■
Ta có : I — f ĩ £ + Ễ ^ d u = rị 2H!+ 5 f | d u = f h u2 + 5u)duJ u XX u J ' 1V / -
2u 5u :+ — + C-
3 2
Thay u = lnx ta được : I — -1 + ỄÍlĩ:x)- 4 - C-2 3 ............2 .
* Nhận xét : Neu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các
ọn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:
r> lĩl X -J- s i 1 /a) I: = J - ----------- — dx= J —̂ 21nx + 3jd(2ỉnx + 3)
_ (2 InX -f 3)1
b ) i , = /
+ C' 20
2 lu3 X é- 5 IiL2 Xd x = f
2 J X In X J In X
= J[2(lnx)2+5lnjc]j(liix) = 2(ln x)3 + 5(In x)2 + Q .
. Quan hệ giữa ex và aex + b
Ta có ịaex + = àéx nên quan hệ cần xét giữa e* và aex + b là:
d(lnx)
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tĩch phân S3 31
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
34/131
e*dx = ~-d(aex -r b) a
■Ca-*o y
(ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau : đưa. cx vào trong
phân thì thành ịae* + b), vài a ^ 0 và b tùy ỷ trên M)
Ví dụ 4. Tính :
3ea
2é* + 1b) L = [ — 1 _ dx.
• J l + e~x •
Giải
aỳphẫn tích bài toán : Các bạn để ý quan hệ gi ữae* vềl 2qx + 1;
exdx = —d(2ez + 1) nên ỉacó - .
3e* , 3 • ' 3 ’1 ,— — - - - - dx — — — — :e dx — - — - — V — d(2e + i ) . . . . . . . . . .2e* + 1 2e* + 1 2e* + i 23 1 '
——. d(2ex + IV Do ~vộy, ĩa chọn ân phụ là u = 2e* + 1.2 .2ex -hì .. . ■' : ‘
■ Lời giải củạ bàỉ toán
J = C—ỉ ĩ — dx = [ — - — .exdx = [ — -— .- d ( 2ex-pl)1 J 2ex + 1 J 2ex + 1 J 2ex + 1 2 . -■
= f — d(2ex + 1) = - f — - — d(2ex + 1). J 2 2ex + 1 2 J 2ex 4-1
Đặt u = 2ex +1 => du = d(2ex +1). "
Tacó : I = - [ i -du = - l n ì u Ị+C- 2 u 2
3Thay u = 2ex + 1 ta được : I — —ln(2ex + 1) 4 - C- (te không lây dâu giá tr
2
luyệt đổi vì 2ex +1 > 0 )
b) Phân tích bài toán : Ta biến đổi
h ~ - tfo = [•— ~ ~ d x - Ị—̂ ~ — du.■l + e“x J1+_L }xx + l
e*
12 63Tran Tuãn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
35/131
Các bạn để ỷ quan hệ giữa e T và ex -f 1 exdx —d(ex + 1) nên ta cỏ:
dx =1 1
■dự + ! ) •
exdx
ex + 1 e* + 1 e1 + 1
Do đó, ta chọn ẩn phụ ỉà u = ex + 1.
Lờỉ gỉải của bài toán
I - f - đx - f —■ỉ— £& =j — — dx = \—-— .h + e ~ x V — V +1 v + l
J ex +1
Đặt u —e* +1 =>:du - d(ex +1).
Tacó : l2 = J' —du = In Iu Ị+C-
Thay u =■ex +1 ta được: ĩ 2 = ln (ex -Ị- 1) + C-
* Nhận x é t : Neu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các
bạn có thể trình bày ỉời giải nhanh hơn như sau:
a) T = f --3e* dx = f — - — . —d(2ex + 1) = - ln ( 2ex + 1} + C.1 J 2e* + 1 J 2ex + 1 2 '2
b )Ỉ = í — -— dx - í — ——dx = f — — dx } \ + e~x J1+ j _ v + l
1d(ex + 1) = ln(ex -f 1) 4 - c
ex + 15. Quan hệ giữa sinx và cosx
Ta có (sinx) =cosx và (cosx) = -sinx nên quan hệ cần xét giữa sina:
và cos a; là:
COS xdx = — d(a s i n x + b )1
si ĩixdx — ——ãị ac os x + b)a a
(Ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau: đưa COS X vào trong
vi phân thành (a s inx+b ): đưa sinx vào trong vi phân thành -(acosx + b), với
a * 0 và b tùy ỷ trên R)
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 03 33
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
36/131
Ví dụ 5.-Tính:
a) Ị = J c o s 3 X s in 2 x d x ; b) / 2 — J c o s x e ~ Zsmx+2d x -
Giải
dì) Phân tích bài toán ĩ Ta biến đ ổi:
cos3 X sin2X—cos X COS2 X sin2x = COS a:(l —sin2 x) sin2X.
Các bạn để ỷ quan hệ giữạ sìnx và cosx: cosxdx = d(sỉnx) nên ta có
cosx(ỉ - sin2x)sin2xdx - (ỉ - sin2x)sìn2xd(sinx). Do vậy, ta chọn ẩn phụ ĩàu = sim.
Lời giải của bài toán
I x = J cos X sin xd x = J COS X COS X sin xd x
= J COS x ( l - sin2 x) sin 2 xdx= J (1 - sin2x) sin2 xd(sin x ) .
Đặt u = sinx => du - d(sinx).
Tacó: I — f (1 —u2)u2du = f ( u 2 - u 4)du = - -----— 4 -C- J J 3 5
. . * T (s in x )3 ( s inx )5 _ ■■Thay u = sin* ta được: I = 1 -------- v —-L 4-C •
1 3 5 -
b) Phân tích bài toán : Các bạn để ý quan hệ giữa sinx và cosx:
COS xdx — - Ạ d (—3 sin X + 2) nên ta cỏ
3
c o s x e ^ ^ d x = — e“3si"*+2d (- 3s inx + 2).3
Do vậy, ta chọn ẩn phụ là u = -3 sinx + 2.
Lời giải của bài toán
/ 2 = J c o s x e ~ 3siax+2dx = J — e -3sini+2d(-3s inz-Ị -2 )
Đặt u = -3 sin X + 2 :r> du = đ(-3 sin X+ 2).
Ta có: I = — f eMu = — e” + c .2 3 J 3 •
Thay u = -3 sin X + 2 ta được: I = —1 e - 3siax+2 Q2 3 '
34 £3 Trần Tuấn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
37/131
* Nhận x é t : Nếu đõ thành thạo trong-việc sử dụng phương pháp này, các
bạn có thể trình bày ỉờỉ giải nhanh hơn như sau :
a ) l í = J cos3 X sin2 xdx= J cosx (l —sin2 x) sin2 xdx
'= j* (1 —sin2 x) sin2 xd (sin x) = J 1(sin2 X —sin4 x)d(sĩn x)
sin3 X sin5 X
■+ c.
b ) / , = / COS xe3sinx+2dx
= Ĩ T3sinjr+2d (- 3 si n aT-f'2)
= _ l e-3Sinx+2+ C _
6. Quan hệ giữa sin2x, cos2x vầ sin2x
Ta có (sin2 x) = 2 sin;ccos;c = sm2 ;c và (cos2 x) ='-2 cos;csinjc = -s in 2x
nên quan hệ cần xét giữa sin2x, cos2x và sin2x lả :
sin 2 x d x = — d ( a s i n 2 X + b) a
sin 2 x d x — — — d ( a COS2 X + b) a
(ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau: đưa sin2x vào trong vi
phân thành (a s in 2 X -f b) hoặc —(a COS2 X -j- b), với a 7*0 và b tùy ỷ trên R)
Ví dụ 6 . Tính :
siĩi2rr
í dụ 6 . Tính :
a) = J ' (3sin 2x-fl)sin2xcfo:; b) / = J V2sin2 X + 3 cọs2 X
dx
Giải
a) Phân tích bài toán : Các bạn để ý quan hệ giữa sỉn2x và sin2x:
sinxdx = —á(3sin x+ 1) nên ta có (3sin2Íx+ l) si n xíừ
= “ (3 sin2 x+ 1) á(3 sin2 x-Ị-1). Do vậy, ta chọn ẩn phụ làu = 3sịn2x.+ 1.o
Lời giải cửa bài to án:
Ij — (3 sin 2 x + 1) sin2xdx = —(3 sin2 X +1) d(3 sin2 x-b 1) ■
Đặt u = 3 sin 2 x+1 => du = d(3sin 2 X+I).
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 35
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
38/131
Ta có :I =1 f uđu = ỉ —+c= —+€■1 Ỉ J 3 2 6 i
Thay u = 3sin2 x+l tađuơc: X _ (3sm x+1)'
b) Phân tích bài toán : Ta biến đổi:sin2r _ sm2x - J . sin2:r
>/2 sin2X + 3cos2X ..... ^J2{ỹ^x~+^õỉ~x) + ~cõ^~x V2 + COS2X
Các bạn để ý quan hệ giữa cos2x và sin2x; sin2xcỉx = —d {2 + COS2 x) n
ta có = m x̂ —dx = —= = L = d ( 2 + COS2 x) Do ãó, ỉa cố thể chọn V 2 + cos2 X V2 -h cos2 X
phụ ỉà u - 2 + cos X hoặc w= V + COS X. Trong trường hợp này ta nên ch
u = v2 + cos X để biểu thức dưới dấu nguyên hàm không còn căn thức.
Lời giải của bài toán ĩ
h = f ^ = f - 1 d{2 + W s ) .V2 sin2: -Ị- 3 COS2 £ . V2 + COS2 X
Đặt u = V2 + c o s 2 x => u2 = 2 + cos2 X => du2 = d(2 + COS2 x ) .
Tacó: I2 = J '—- du2 ~ —J ' — du. = —.2y du = —2u + c ■
Thay u = yh + COS X ta được : I = -2 V 2 + COS X 4- c
* Cách khác :
/ 2 = [ ■ sm da: — r I — ■ ■ d(2 + COS2 x) •V 2 s in 2 ; + 3 c o s2 X . V 2 + c o s 2 rr
Đ ặ t u = 2 + c o s 2 X => du = d ( 2 + c o s 2 x ) .
Ta có : I2 = [ —À du = - 2Vũ + C (chú ý công thức đạo hà■ J vu
( < £ ) • - - L ạ2Vx
T h ay u = 2 + c o s ^ ta đ ượ c: I = - V + COS2 X + c *
36 Trần Tuấn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
39/131
* Nhận xé t :
- Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn cỏ thể
trình bày ỉời giải nhanh hơn như sau :
a) Jj = J (3sin2x+l)sin2xcfec = J —(3sin2x+ l)d(3s in2x+1)
(3 sin2 x +1 )2 J£
6
b ) / 3 = f ... sin2x ....- d x = [ ~L -4(2 + COS2 x)V2sin2x +■3 cos2 X v2 + COS2 X
z !
= - | ( 2 + cos2x) 2 d {2 + COS2*) - -2a/(2+ cos2x) + c
- jVew chúng ta để ỷ đến quan hệ giữa sin X và COS X thì chúng ta có thêm cách giải theo hướng khác như sau :
a ) /1 = / ( 3 sin2 x-Hl)sin2xcí:r = J 2 sin a: COS x(3 sin2 x4-l)
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
40/131
7. Quan hệ giữ a---- — và tanx, ----X— và cotx&—— ------ . ----------COS X s i n X
Ta có (tanx) = — và (cotx) = \ - nên quan hệ cần xét giữa —-— cos X sin X cos2x
và ta n # ,
sin X
và c o t x l à :
dx = — d(a tan x+b )
acos2x ^ dx — —— d(a co t x+ b)
sin X
(tơ hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau : đưa — K ị — vào trong
COS2Jt
vi phân thành (úrtaruc + b), đưa
. với a ^ O v à b tùy ỷ trên R)Ví dụ 7. Tính :
3 tan X 4- 4
sin2 X vão trong vi phân thành -(acotx + b),
a) /.+ c os2 a;
d x ; b) / ,=
Giải
a) Phần tích bài toán ĩ Ta biến đổi
3 tan X + 4 _ 3 tan X + 4 _ (3 tan X + 4) 11 4- COS 2x 2 cos X 2 cos2#
Các bạn đê ý quan hệ giữa —-— và tan x —-— dx = —4(3 tan £ + 4)
c o s 2£ cos2a:
nên ta có m ^ .x + i ) _ _ L _ dx = 4) - đ(3 tan X - f 4 ) • .Đo vậy,2 cos X 2 3
ta chọn ẩn phụ ỉà u - 3 tan X + 4.
ỈM giãi của bài toàn
[. =/ t3 tan X + 4
+ COS 2x
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
41/131
Đặt u = 3 tan X + 4 => du = d(3 tan X + 4).
Ta có: X = í f udu = ! — + c = — + C-1 6 J 6 2 12
Thay u = 3 tan X + 4 ta được : I = (3 *aĩl x + 4)—|_(-J _ 1 12
b) Phân tích bài toán ĩ
Ta biển đỏi c o t x
sinx — cot — —cot2 X _ — __ bạn đ i ỷ quan hệ
s i n 2 x s it t 2 *
giữa - và cotx: —\ - đ x ~ -d(cotx) sin X sin X
nên ta cố cot2 X, _ J _ dx = - cot2 xd {cot x) • Do vw ta có thể chọn ẩn phụ là• sin2 X
u = cot X .
=/coix
sinxdx
Lời giải của bài toảrt
sin2 X
= —J' cot2 xd(cot x ) .
Đặt u = cot X => du = d(cọt x ) .
r u3Ta có: T = - u2đu = - — -+c .
2 J 3
Thay u = cotx ta đươc: I = _ _Ị_ c .3
* Nhận x é t : Nểu đã thành thạo trong việc sử dụrig phượng pháp này, cái
bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sa u :
a) I. _ r 3 j t a n x _ + _ 4 ^ _ r 3 t a n x + 4 ^
J l * + c o s 2 x ^ 2 c o s 2 X
= r ( 3t o nx + 4 ) I d anx ( 3 t a n x + i £
. J 2 3 12
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân © 3!
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
42/131
Vậy là, chúng ta đã nghiên cứu xong 7 mối quan hệ cơ bản giúp chúng tađịnh hướng nhanh cách giải cho một bài toán nguyên hàm, cũng như tích phân
sau này. Trong trường hợp bài toán không có xuất hiện một trong 7 mối quan
hệ trên, chúng ta làm theo hướng giải khác, có tính chất tổng quát hơn như sau:
đặt ẩn phụ u —u(x) để từ nguyên hàm theo biến X chúng ta biểu diễn đượcnguyên hàm đó theo biến ú ỉ (tức là ta cần biểu diễn biển “x ” theo biến u
“dx” theo u và du)
Mời các bạn theo dõi một sổ ví dụ minh họa.
Ví dụ 8 . Tính :
a) Ij = x(x + 12)“Kd x ; .... b) Ị , = J x í(s I l)'"dx•
Giải
a) Phăn tích bài toán: Nếu khai triển (x + 12)2012 rồi nhân X vào để tính th
không khả thi rồi ỉ Ở đây chủng ta củng không nhìn thay sự xuất hiện cùa mộ
trong 7 moi quan hệ để định hưởng ph ép đặt ẩn phụ, nhưng theo hướng giả
tổng quái, chủng ỉa chọn ẩn phụ ỉà u = X + 12 thì từ nguyên hàm theo biến X?húng ta biếu diễn được nguyên hàm đỏ theo biến u rồi ỉ Vì từ u — X + 12 ta
:ó X = u —12 và dx = 'đ(u — 12) = du (tức ỉà X được biểu diễn theo u và
dx được biểu diễn theo du) .
Lời giải của bài toán
Đặt u = X + 1 2 =» du — dx và X = u —12.'
Ta được:
■ - ■■■■■-.■ . • ■ ■ , ■ . 2014 -1í) 2013 = r (u — )u du — f (u — u )du = -^ —— + c1 J K ' J v ; 2014 2013
nru _ , , T _ ( x + 12)2014 12(x + 12)2013 ^lhay u —X 4-12 ta CO: I = v ! i ^ —- 4 - c •1 2014 2013
b) Phân tích bà i toán : Đối với nguyên hàm này, việc sử. dụng mối quan hệ
iữa X và X2 không đem ỉại ỉờì giải thỏa đảng! Nhưng nếu chộn ẩn ph ụ l à u = X
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
43/131
+ 1 thì từ nguyên hàm theo biến X chúng ia biểu diễn được nguyên hàm đó theo
biến u rỗi! Vì từ u = X + 1 ta cỏ X = u - 1 vàdx = d(u - ỉ ) = dư (tức ỉà X được
biểu diễn theo u và dx được biểu diễn theo du ).
Đặt u = X + 1 => du = dx và X = u - 1.Ta được :
I2 = (— l)2u7du = (u2 — 2 u + l)u7du — J ( u9 — 2u8 + u7)du
Thay u = X + 1 ta có :
a) Phân tích bài toán : Trong bầì này cũng vậy, sử dụng mối quan hệ giữa X và X2 không đém lại lởi giải thỏa đángỉ Neu chọn ẩn phụ ỉà u = X - 2 thì từ
nguyên hàm theo biến X chúng ta biểu diễn được nguyên hàm đó theo biến uỉ Vì từ u = X - 2 ta cỏ X = u + 2 và dx = d(u + 2) = du (tức ỉà X được biểu diễn
theo uv à d x được biểu diễn theo du).
Lời giải của bài toán
Ị _ (x + l -)10 2 (x + l )9 (x + 1)8 ■c
2 10 9 8Ví dụ 9. Tính:
Giải
Lời giải của bài toán
Đặt u = x - 2=>đ u = dx và x = u + 2.Xct •
C/ -10 ^ -11 c- - 12\ 1 u 9 . 4u 10 5u 11 ~= Ị (u + 4u + 5u )du — -----4------------ 1----------- h c
J J - 9 - 1 0 - 11
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Ĩĩch phân S3 41
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
44/131
* Chủ y ĩ Neu áp dụng công thức
có cách giải gọn hơnỉ
r ~ ỉ- d x = — ----- - J x a (n —l)x
n—1 + C
_ P (u + 2)2 + 1 , p u2 + 4u +• 5 r f 1 4 5 ■V,r ~du=/ -> -du=J&+Ặ +̂ )du= ^ I + - z í _ + -^ 5 _ + c .
9u9 10u10 l l u 11Thay u = X - 2 ta có :
- 1 - 4 —5 c
1 ~ 9(x - 2)9 + 10(x - 2)10 ll ( x - 2)115 3
£^rẩ& bỵphân tích bài toán : Ta có biến đ ổ i ------------ ---------- —-.X2 nên chủng ( 2 + x 3)2 ( 2 + Xs)2fete'- • v ' v
ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa X2 và X3 để định hướng phép đặt ẩn phụ:
x2dx = —d(2 + X3).
Ta có — — -----dx —-— TT.x2dx —Ậ. x — d(2 + X3) ,'vgy ta(2 + x*)2 " (2 + X 3)
chọn ẩn phụ ỉà U- 2 + X .
Lời giải của bài toán
3 (2 4- X3)2
= I ĩ ĩ Ỉ J ĩ dx = f .x’dx = f — x~ - ịd(2 + X3)
(2 + Xs)2 ■ (2 + X3)2 " ‘ J (2 + Xs)2 3
Đặt u = 2 + X3 => du = d(2 + X3) và X3 = u - 2.
Ta được:
*•= ỉ / ^ du- ị S ặ - ỉ ? * 4 / (Uo ^ u o ^ u u . o ^ u u= | ( ln |u | + -) + C-= -(ln |u| + -J + (J- ■
Thay u - 2 + X3 ta có : I2 = - ( ln ^ + x2 +2 + x
r) + c-
42 OD Trần Tuấn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
45/131
Ví dụ 10. Tính :
a) I = f —-— COS“ -— -d x ;b) I = f s in3 x s lc o s x d x . J (sin X + cos x) J
Giải
a) Phân tích bài to ản: Ta biến đổi
cosx _ COS X _ 1 1(sin X + cos a;)3 / sin X + COS _ (tan X 4* l)3 COS2 X
I ) cos 3/cosx
Tới đây chủng ta cỏ thê sử dụng quan hệ giữa ———- và tanx đê chọn ânCOS2 X
phụ thích hợp ỉàu = tanx + L
Lời giải của bài toán
Ta có :
T = r , - _ c° s * 4 S = r -------- cosx . ax ■'J ( s in x + co sx) . J /SÌnx-Ị - c o s x n3
' ( ----------- :----------- ) COS Xcosx
— í — \ —dx = í —•— ——~-d(tanx + 1) J (tan X 4-1) COS X J (tan X + ĩ ) .
Đặt u = ta n x 4-1 => du = d(ta nx + 1 ).
Ta được : I =: f - \ d u = f u~3d u = — + C = — ị + c*J u - 2 2u
Thay u = tan X + 1 ta có: I = -------n i -------- ị-C-1 2(tan X 4 -1)2
* Nhận x é t:
- Trong bài toán này, phải thông qua một sổ phép biến đổi, chúng ta mới áp
dụng được quan hệ g iữ a __ \ __ và tanx để định hưởng phép đặt ẩn phụ cũng
COS2 X như cách giải ỉ
- Các bạn .có thể trình bày ỉờỉ-giảĩ- gọn hơn, với chú ý công thức
f - ị d x = - — , + c ■J x“ (n —l)xa~ , • ... .
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 83 42
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
46/131
r cosx , r cosx ,[ = / — :— — -------ỎX = / --------------- — —- dx
J (sxnx + cos'x) J ,s in x + cosXv3 v (--------- ----------) cos X
. ... ......- . . c o s x ; . . ...
= f ------ 1 ------- — iL— d x = r -------------------------------------- ị ----- —
J ( t a n x + 1) c os X J ( t a n x + Ĩ)
- 1+ c*
. 2 ( t a n x + l ) 2
b) Phân tích bài toán : Ta để ý quan hệ giữa s inx và cos x để địn
neớng phép đặt an ph ụ : sin xdx = —d(cos x ) . Tã có
sin 3 x-v/cos xdx — sin X sin 2 xV cos xdx
= sinx(l —cos2x)Vcosxdx
= (1 —cos2 x) V :os xd(—COS x)
vậy ta chọn ẩn phụ là u - cosx hoặe u = 4cosx - Trong trường hợp nà
húng t a n ê n c h ọ n u = VCO SX đ ể b i ể u t h ứ c d ư ớ i d ấ u n gu yê n , h à m k h ô n g c ò
hứa căn thức.
Lời giải cửa bài toán
l2 = J s i l l 3 w c o s x d x = J* sin X s in 2 W c o s x d x
= Jsin x (i“ cos2 x)\lco$xdx ~ J(1 - COS2 x) yjcosxd(- cos x)
Đặt u = V co sx => u2 — cos x và d(—cosx ) = d(—u2) . r
Ta đượ c: 12 = J (1 - u 4) u d ( - i i2) = J (1 - u 4) u ( - 2 u ) d u
= f (—2u2 + 2 ư s)dư = ~ 2y c J 3 7
Thay u = COS X ta CỎ • I — ~2(S/cosx) ^ 2(-v/cosx) Y Q
Cách k hác : Nếu đặt M= COS X ta có cách giải khác như sau :
I2 — J s in 3 x V c o s x d x = J s ỉn X sin2 xV cos x d x
— J s in x ( l — cos2 x )V co sxd x = J ( l — COS2 x ) \ /COSx d (—COSx )
4 3 Tran Tuấn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
47/131
Đặt u = cos X =r> du = d(cosx) . I ,
T a đ ư ợc : / 2 = J ( l - w 2) V w c / ( - « ) = J ( 1- w 2) k V ( - w ) = ^ jc I ,- 2+-w2 - « 2 í/w
=1
7 3
— i-̂ 2h 2 _
«2-«5 L&= — +c.r 73 •Thay u = COS* ta có :
_ 2 ( c o s x ) 2 ( c o s x ) _ 2 ( V c o s * ỷ 2 ( V c o s x )+c.
Các ốạn ?ĩÂạn í/ỉớy, ốằKg các/ỉ ữặí w= -VCOS X chủng ta cỏ ỉời giải gọn hơn
và không phức tạp như cách đặt tí - COS JC.
Ví dụ 11. Tính: .
« )I , = /v r r ;
chò b) ĩ2— J* xVl + xđx.
G iả i
a) Phân tích bài toán : Bài toán này sử dụng 7 /zể để định hưởng phép
đặt ẩn phụ ỉà không khả thi. Nếu chọn ẩn phụ ỉà u = Vl — X //ỉ/' íír nguyên
hãm theo biến X chúng ta biểu diễn được nguyên hàm đó theo biến u vì từ
u = V T - X t a s u y r a X = 1 — u 2 v à d x = d ( l — u 2 ) = —2 u d u ( tứ c l à X
được biểu diên theo U; dx được biểu diễn theo u và du ).
Lời giải của bà i toán
Đ ặt u = 4 1 — X =*> u 2 = 1 — X h ay X = 1 — u 2 =*►d x — d ( l - u 2)
Ta được : ^ = - J -— — 2udu = 2 J (u2 - l)du = 2
= -2udu-
~ u
Thay u = Vl - X ta có: 1 - 2 — —— - V l-X + c •1 3
b) Tương tự câu a), ta chọn ản phụ là u = -v/l + x . Lời giải của bài toán ỉà
Đặt u — v ĩ + X =>• u2 = 1 ■+- X hay X = u2 - 1 dx = đ(u2 - 1 )
- 2udu
Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân G3 45
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
48/131
Ta'được +■xdx — f (u2—l)u.2udu
= 2J ( u 4 - u2)du = 2(Ệ - Ệ) + c
ó _ 2( J ĩ + ĩ ) s 2 ( J Ĩ Ĩ Z f
2 5 3Thay u = V1 + X ta có + c.
Ví dụ 12. Tính :
a) I, - r S ; ■ J e « 4 ] b)I’ = f ĩ è ■dx.
Giổ/
a) Phân tích bài toán : Nêu chọn ẩn phụ là u — ex - h l thì từ nguyên hàm
theo biến X chủng ta biểu diễn được nguyên hàm đó theo biến u Vỉ'
đu = d(ex + 1 ) = exdx mà ex = u — 1.
Lời giải của bài toán
Đặt u = e x -Ị-1 ex = u —1 du = d(e x 1) = e xdx
du du=> dx = ——=
Ta được: I I' o ;
ex + 1
b) Phân tích bài toán : Chú ỷ rằng e2x = (ex)2, tức ỉà e2x biểu diễn được
CỈG*qua ex. Lại để ỷ de x = exd x hay —— = dx nên ta chọn ẩn phụ ỉà u = e*.
ex
46 S3 Trần Tuãn Anh
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
49/131
Lời giải của bài toán
Đặt u = ex =£• du = đex .
Ta được: L = r ' - i - ' M = f ^ — dn = du J u —u u y u (u —1) J u (u —1)
J u íu - 1 ) u (u - In J u —1 uu2( u - l ) u 2( u - l )
du = ln ịu —1| —ln |u| + — + cI I í I u _ 1 ____
u —I u . u2
= lnu —1
11+ - + C
u
Thay u = e x ta có : I = lnex - 1
+ — + C-ex
v 1 _ i f xĩ ---------- = ----------- :---- = — ----vàe2x - ex e2z(l —e~x) l - ẻ-*
* Cách khác: Các bạn để ý rằng
J/ — x\d(e~x) — —e~xdx h a y ---- —— = ảx thì ta chọn được ầnphụ ĩà u — e~x.
e~x
Ta cỏ ỉời giải cho bài toán:
I 2 = [ — 1 .—dx =• f 1 dx — [ (e~X̂ -d x ■ 2 J e —e* ^ ẽ (1 —e ) J l - e " x
duĐặt ú = e x du = de x = —e Xdx hay — = d x .
Ta được: I = - f - d u = f — -d u 2 J 1 -u .u J u —1
_ r { u -1 ) -
J U‘ —1Thay u = e~x ta có :
- ư —1
e”x + In e~x - 1 c = In ex. —1ex-
du —u + ln Ịu—lỊ + c .
H—-—-f- c •ex
Giài nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 0P 47-
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…
50/131
Sau đây, chủng ta tiếp tục xét một vài nguyên hàm giải được bằng phươ
pháp đổi biến sổ nhưng Với cách đặt ẩn phụ đặc biệt Ị
Ví dụ 13. Tính :
; . b ) i 2 = r J Vx2 + 2013
X - 1
X 4 + 1
dx
Giải
a) Phân tích bài toán : Đặt U — \/x 2 —2013 u2 = X2 -Ị- 2013
rõ ràng phép dặt này có thể đổi biếnuduudu = xdx => dx — _________ Vu2-2013
biến “x ” qua biến “u” được. Nhưng nguyên hàm theo biến “ỵ ” ỉạỉ khá ph
ĩạpỉ Không thỏa mãn điểu ỉdện: chọn ẩn phụ u -u (x ) sao ■cho việc tí
ỉ = ịg{u)du phải dễ hơn là tỉnh ỉ = ịf(x)dx. .Tương tự trong ữường hợp đ
u = X2 + 2 0 1 3 cũng vậy. Bây giờ ta xét cách đặt giải được bài toán.
Lời giãi của bài toán
Đặt u + X = \Ịx2 + 2013 =£ u2 + 2ux + X2 = X2 -j~2013
2013- u 2 2013 U
2=>• X =
2u 2ư
■- 2013 , uu + X = + —
2u 2
-2013 ,và d x f —— d u .
2u 2
'T / T _ r 1 í - 2 0 1 3 f 2 uTa cỏ : lí = ----- — - ị — “ \du = 1- —— -2013,, “ l 2u 2) 2013 + «
... 2u .. 2