Post on 23-Nov-2015
GERAK HARMONIK TEREDAM DAN GERAK HARMONIK TERPAKSA PRESENTED BY : OKY RESI PRAMBUDI (H1E010002) ABDUL DOFIK (H1E010003) NATALIA EKI MULYANI (H1E010004)
Dalam gerak harmonik
sederhana, sistem yang berosilasi
dianggap tidak mengalami
redaman. Dalam kenyataannya,
semua gerak osilasi yang
sebenarnya, energi mekanik
terdisipasi karena adanya suatu
gaya gesekan. Bila dibiarkan,
sebuah pegas atau bandul
akhirnya berhenti berosilasi.
===lihat video===
GERAK HARMONIK TEREDAM
Persamaan sederhana untuk gaya
teredam
Fd = -bv
Dengan b adalah konstanta yang
menyatakan besarnya redaman.
Hukum kedua Newton yang
diterapkan untuk gerak benda
bermassa m pada pegas dengan
konstanta gaya k bila gaya redaman
bv adalah:
Fx = max
-kx bv = m
1-1
PERSAMAAN GERAK HARMONIK TEREDAM
Dalam gerak harmonik sederhana, Nilai rata-rata energi potensial
dan energi kinetik untuk satu
siklus adalah sama, dan energi
total sama dengan dua kali nilai
rata-rata energi potensial maupun
energi kinetik.
E=2(
m)rata-rata = m()rata-rata 1-1
P =
= Fd = - b 1-2
karena()rata-rata = E/m
= -
E 1-4
ENERGI PADA GERAK HARMONIK TEREDAM
= -
dt 1-5
Kedua ruas diintegrasi, sehingga
ln E = -
t + C
dengan C adalah suatu konstanta integrasi sembarang.
E =
+ =
= E0
dengan E0 = adalah suatu konstanta lain, yang merupakan energi pada waktu t = 0.
E = E0
= E0
dengan konstanta waktu = m/b merupakan waktu yang diperlukan energi untuk berkurang sebesar faktor 1/e.
ENERGI PADA GERAK HARMONIK TEREDAM
Peredaman dari osilator yang teredam sedikit dinyatakan dengan suatu besaran tak berdimensi Q (faktor kualitas atau faktor Q). Jika E adalah energi total dan menyatakan kehilangan energi dalam satu periode, faktor Q didefinisikan sebagai
Q =
1-8
faktor Q berbanding terbalik dengan kehilangan energi fraksional per siklus:
=
1-9
Dengan menggunakan Persamaan 1-7 dan 1-8, kita dapat menghubungkan faktor Q dengan konstanta redaman dan konstanta waktu:
Q =
=
=
1-10
FAKTOR KUALITAS REDAMAN
Karena energi osilator berbanding lurus dengan kuadrat amplitudonya, maka gunakan Persamaan 1-6 untuk memperoleh kebergantungan amplitudo pada waktu untuk osilator yang teredam sedikit. Jika A adalah amplitudo pada waktu t dan A0 adalah amplitudo pada t = 0, maka
=
Kemudian dari Persamaan 1-6
=
A =
1-11
Penyelesaian untuk kasus redaman kecil adalah
X =
+ 1-12
PENYELESAIAN UMUM UNTUK PERSAMAAN GERAK HARMONIK TEREDAM
Kurva putus-putus pada Gambar diatas berhubungan dengan x = A dan x = - A dengan A diberikan oleh Persamaan 1-11.
Dari persamaan 1-12 0 adalah amplitudo maksimum dan frekuensi dihubungkan ke
frekuensi sudut 0 = / oleh
=
=
1-13
Untuk redaman kecil, frekuensi hampir sama dengan frekuensi tak teredam, dan amplitudo berkurang secara eksponensial terhadap waktu.
Critical damping
Over damping
Under damped
====lihat video====
JENIS-JENIS REDAMAN
Untuk mempertahankan suatu sistem
teredam agar tetap berosilasi, energi harus
diberikan ke dalam sistem. Bila ini dilakukan,
osilator dikatakan digerakkan atau dipaksa.
Osilator mengalami gaya eksternal
= 0 cos
gengan : frekuensi sudut gaya paksa (yang
umumnya tidak berhubungan dengan
frekuensi sudut alami sistem 0)
===lihat video===
GERAK HARMONIK TERPAKSA
Sebuah benda bermassa m dipasang
pada pegas dengan konstanta gaya k
dan dikenai gaya redaman bv dan
gaya yang diberkan oleh persamaan
= + 0 cos
= + 0 cos
2
2 +
+ 0
2 = 0 cos 1-17
PERSAMAAN GERAK HARMONIK TERPAKSA
Persamaan 1-17 di slide sebelum -nya mempunyai penyelesaian yang terdiri dari dua bagian, penyelesaian keadaan tunak dan penyelesaian transien. Bagian penyelesaian transien identik dengan penyelesaian untuk osilator teredam yang diberikan oleh Persamaan 1-12. Konstanta dalam bagian penyelesaian ini menjadi diabaikan karena penurunan eksponensial amplitudo. Untuk penyelesaian keadaan tunak dapat ditulis:
= cos ( ) dengan frekuensi sudut sama seperti frekuensi sudut gaya paksa dan amplitudo A dan konstanta fase diberikan oleh 1-19
A = 0
2 02 2
2+ 22
dan
tan =
02 2
1-20
SOLUSI PERSAMAAN GERAK HARMONIK TERPAKSA
Jika frekuensi paksa sama atau hampir
sama dengan frekuensi alami sistem, sistem
akan berosilasi dengan suatu amplitudo yang
jauh lebih besar dari pada amplitudo gaya
paksa.
Fenomena ini disebut resonansi. Bila
frekuensi paksa sama dengan frekuensi alami
osilator bernilai maksimum. Dengan demikian,
frekuensi alami disebut frekuensi resonansi
sistem.
Q = 0
= 0
1-15
Persamaan diatas menyatakan faktor Q untuk
redaman kecil yang merupakan ukuran
langsung dari ketajaman resonansi.
RESONANSI
Dari pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa,
Persamaan gerak harmonik teredam :
-kx bv = m
Bentuk rumusan energi pada gerak harmonik teredam :
E = E0
= E0
Definisi faktor kualitas redaman :
Q = 2
Penyelesaian umum dari persamaan gerak harmonik teredam :
X = 0
2 cos +
KESIMPULAN
Jenis-jenis redaman
Critical damping
Bila b = sistem dikatakan teredam
kritis dan kembali ke kesetimbangan dalam
waktu tersingkat tanpa osilasi.
Over damping
Bila b lebih besar dari pada , benda
lama sekali tiba di posisi setimbangnya. Hal ini
disebabkan karena redaman yang dialami oleh
benda sangat besar.
Under damped
Benda yang mengalami beberapa osilasi
sebelum berhenti karena redaman yang
dialaminya tidak terlalu besar.
Bentuk persamaan gerak harmonik terpaksa :
2
2 +
+ 0
2 = 0 cos
Resonansi merupakan fenomena jika frekuensi paksa sama atau hampir sama dengan frekuensi alami sistem, sistem akan berosilasi dengan suatu amplitudo yang jauh lebih besar dari pada amplitudo gaya paksa.
KESIMPULAN