Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

UNIVERZITET U BEOGRADU

MATEMATIQKI FAKULTET

Geometrija I{smerdeo 5: Poligoni u ravni

Tijana Xukilovi�

19. decembar 2016

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Poligonska linija i poligon

Definicija 1.1

Poligonska linija A0 . . . An−1An je unija du�i A0A1, . . . ,An−1An koje nazivamo ivice poligonske linije. TaqkeA0, . . . An nazivaju se temena poligonske linije.

zatvorena poligonska linija = poligon

susedna temena/ivice

prost/slo�en poligon

dijagonala poligona

unutrax�a dijagonala poligona

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Poligonska linija i poligon

Definicija 1.1

Poligonska linija A0 . . . An−1An je unija du�i A0A1, . . . ,An−1An koje nazivamo ivice poligonske linije. TaqkeA0, . . . An nazivaju se temena poligonske linije.

zatvorena poligonska linija = poligon

susedna temena/ivice

prost/slo�en poligon

dijagonala poligona

unutrax�a dijagonala poligona

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Unutrx�ost poligona

O

aA3

A2

A1

A0

A10

A9

A8

A7

A6

A5

A4

A4 A3

A2A1

A0

A9

A8A7

A6A5

O

a

Slika 1: Unutrax�ost prostog i slo�enog poligona

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Triangulacija poligona

Triangulacija je razlaga�e nekog lika na trouglove.

Triangulacija prostog poligona je razlaga�e �egoveunutrax�osti unutrax�im dijagonalama koje seme�usobno ne seku.

Lema 1.1

Svaki prost poligon sa vixe od 3 temena ima unutrax�udijagonalu.

Teorema 1.1

Svaki prost poligon dopuxta triangulaciju i svakatriangulacija poligona sa n temena se sastoji od taqnon − 2 trougla.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Triangulacija poligona

Triangulacija je razlaga�e nekog lika na trouglove.

Triangulacija prostog poligona je razlaga�e �egoveunutrax�osti unutrax�im dijagonalama koje seme�usobno ne seku.

Lema 1.1

Svaki prost poligon sa vixe od 3 temena ima unutrax�udijagonalu.

Teorema 1.1

Svaki prost poligon dopuxta triangulaciju i svakatriangulacija poligona sa n temena se sastoji od taqnon − 2 trougla.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Triangulacija poligona

Triangulacija je razlaga�e nekog lika na trouglove.

Triangulacija prostog poligona je razlaga�e �egoveunutrax�osti unutrax�im dijagonalama koje seme�usobno ne seku.

Lema 1.1

Svaki prost poligon sa vixe od 3 temena ima unutrax�udijagonalu.

Teorema 1.1

Svaki prost poligon dopuxta triangulaciju i svakatriangulacija poligona sa n temena se sastoji od taqnon − 2 trougla.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Triangulacija poligona

Triangulacija je razlaga�e nekog lika na trouglove.

Triangulacija prostog poligona je razlaga�e �egoveunutrax�osti unutrax�im dijagonalama koje seme�usobno ne seku.

Lema 1.1

Svaki prost poligon sa vixe od 3 temena ima unutrax�udijagonalu.

Teorema 1.1

Svaki prost poligon dopuxta triangulaciju i svakatriangulacija poligona sa n temena se sastoji od taqnon − 2 trougla.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Primeri

Primer 1

Od datih taqaka u ravni formirati prost poligon, a zatimga triangulisati.

a) P0 = (0, 0), P1 = (5, −1), P2 = (3, 2), P3 = (6, 4),P4 = (−1, 3).

b) P0 = (−1, 3), P1 = (2, 1), P2 = (0, 0), P3 = (4, −1),P4 = (5, 3), P5 = (3, 4).

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Problem umetniqke galerije

Problem: Postaviti minimalan broj quvara koji pokrivajuqitavu galeriju.

Galerija = prost poligon sa n ivica;Quvari = taqke unutar poligona.

Chvatal: Gor�a granica = n

3 quvara!

Algoritam:

Triangulisati poligon;

Obojiti temena podeonih trouglova (3-boje�e);

Izabrati za quvare temena obojena istom bojom.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Problem umetniqke galerije

Problem: Postaviti minimalan broj quvara koji pokrivajuqitavu galeriju.

Galerija = prost poligon sa n ivica;Quvari = taqke unutar poligona.

Chvatal: Gor�a granica = n

3 quvara!

Algoritam:

Triangulisati poligon;

Obojiti temena podeonih trouglova (3-boje�e);

Izabrati za quvare temena obojena istom bojom.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Problem umetniqke galerije

Problem: Postaviti minimalan broj quvara koji pokrivajuqitavu galeriju.

Galerija = prost poligon sa n ivica;Quvari = taqke unutar poligona.

Chvatal: Gor�a granica = n

3 quvara!

Algoritam:

Triangulisati poligon;

Obojiti temena podeonih trouglova (3-boje�e);

Izabrati za quvare temena obojena istom bojom.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Problem umetniqke galerije

Problem: Postaviti minimalan broj quvara koji pokrivajuqitavu galeriju.

Galerija = prost poligon sa n ivica;Quvari = taqke unutar poligona.

Chvatal: Gor�a granica = n

3 quvara!

Algoritam:

Triangulisati poligon;

Obojiti temena podeonih trouglova (3-boje�e);

Izabrati za quvare temena obojena istom bojom.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Problem umetniqke galerije { primeri

Slika: Primeri: Quvari { plave taqke

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Poliedarski modeli i triangulacija

Slika: Model xake

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Poliedarski modeli i triangulacija

Slika: Model automobila Porsche { redukcija poligona(100%, 50%, 20%, 5% originalnih poligona)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Primer redukcije trouglova

Slika: Model zgrade - originalni model (∼ 30 hiada trouglova)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Primer redukcije trouglova

Slika: Model zgrade - 50% redukcije (∼ 10 hiada trouglova)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Primer redukcije trouglova

Slika: Model zgrade - 80% redukcije (∼ 8 hiada trouglova)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Primer redukcije trouglova

Slika: Model zgrade - 96% redukcije (∼ 7 hiada trouglova)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritmi za triangulaciju poligona

unutrax�im dijagonalama

”zavrta�em uxiju"

triangulacija monotonih poligona i monotonihplanina

Delonijeva triangulacija

triangulacija u linearnom vremenu

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Delonijeva triangulacija

Slika 5: Delonijeva triangulacija

Delonijeva triangulacija minimizuje maksimalanpolupreqnik kruga opisanog oko trougla triangulacije.Postupkom maksimizacije najma�eg ugla se ne minimizujenajve�i ugao, niti se minimizuju du�ine stranica.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Delonijeva triangulacija

Slika 5: Delonijeva triangulacija

Delonijeva triangulacija minimizuje maksimalanpolupreqnik kruga opisanog oko trougla triangulacije.

Postupkom maksimizacije najma�eg ugla se ne minimizujenajve�i ugao, niti se minimizuju du�ine stranica.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Delonijeva triangulacija

Slika 5: Delonijeva triangulacija

Delonijeva triangulacija minimizuje maksimalanpolupreqnik kruga opisanog oko trougla triangulacije.Postupkom maksimizacije najma�eg ugla se ne minimizujenajve�i ugao, niti se minimizuju du�ine stranica.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Krivolinijska" triangulacija

Slika: Bezijerov trougao sa kontrolnim poligonom

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Krivolinijska" triangulacija

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Krivolinijska" triangulacija

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Krivolinijska" triangulacija

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Povrxina prostog poligona

Orijentisana povrxina poligona P (A0A1 . . . An−1)

Teorema 1.2

Za prost poligon A0A1 . . . An−1 i proizvonu taqku ravni Ava�i:

P (A0, A1, . . . , An−1) = P (A, A0, A1) + . . . + P (A, An−1, A0).

P (A0, A1, . . . , An−1) = 12

n−1∑k=0

(xkyk+1 − xk+1yk)

= 12

n−1∑k=0

xk(yk+1 − yk−1)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Povrxina prostog poligona

Orijentisana povrxina poligona P (A0A1 . . . An−1)

Teorema 1.2

Za prost poligon A0A1 . . . An−1 i proizvonu taqku ravni Ava�i:

P (A0, A1, . . . , An−1) = P (A, A0, A1) + . . . + P (A, An−1, A0).

P (A0, A1, . . . , An−1) = 12

n−1∑k=0

(xkyk+1 − xk+1yk)

= 12

n−1∑k=0

xk(yk+1 − yk−1)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Povrxina prostog poligona

Orijentisana povrxina poligona P (A0A1 . . . An−1)

Teorema 1.2

Za prost poligon A0A1 . . . An−1 i proizvonu taqku ravni Ava�i:

P (A0, A1, . . . , An−1) = P (A, A0, A1) + . . . + P (A, An−1, A0).

P (A0, A1, . . . , An−1) = 12

n−1∑k=0

(xkyk+1 − xk+1yk)

= 12

n−1∑k=0

xk(yk+1 − yk−1)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Primer

Primer 2

U ravni su date taqke P0 = (1, −3), P1 = (2, −2),P2 = (−1, 2), P3 = (4, −1), P4 = (0, 3).Ispitati da li je poligon P0P1P2P3P4 prost.Ako nije, sortirati taqke P0, . . . P4 tako da poligon budeprost.Izraqunati povrxinu tako dobijenog prostog poligona.

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Konveksni omotaq

konveksan lik

konveksan omotaq skupa taqaka

P10

P0P4

P9

P7

P6

P1

P8P5P2

P3

Slika 6: Primer konveksnog omotaqa skupa od 11 taqaka

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { 11 taqaka

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { unutrax�a du�

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { iviqna du�

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { unutrax�a du�

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { iviqna du�

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { unutrax�a du�

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { unutrax�a du�

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { iviqna du�

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”iviqne du�i" (spori algoritam)

Vremenska slo�enost O(n3)

Slika 7: Primer { omotaq

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”pakova�e poklona" (gift wrap)

Vremenska slo�enost O(n2)

Slika 8: Primer { P0 = najni�a (kraj�a desna) taqka

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”pakova�e poklona" (gift wrap)

Vremenska slo�enost O(n2)

saviti

Slika 8: Primer { korak 1

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”pakova�e poklona" (gift wrap)

Vremenska slo�enost O(n2)

saviti

Slika 8: Primer { korak 2

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”pakova�e poklona" (gift wrap)

Vremenska slo�enost O(n2)

saviti

Slika 8: Primer { korak 3

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”pakova�e poklona" (gift wrap)

Vremenska slo�enost O(n2)

saviti

Slika 8: Primer { korak 4

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”pakova�e poklona" (gift wrap)

Vremenska slo�enost O(n2)

saviti

Slika 8: Primer { korak 5

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”pakova�e poklona" (gift wrap)

Vremenska slo�enost O(n2)

saviti

Slika 8: Primer { korak 6

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Algoritam ”pakova�e poklona" (gift wrap)

Vremenska slo�enost O(n2)

Slika 8: Primer { omotaq

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Brzi" algoritam (quickhull)

Vremenska slo�enost O(n log n)

Slika 9: Primer { poqetni qetvorougao

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Brzi" algoritam (quickhull)

Vremenska slo�enost O(n log n)

max

Slika 9: Primer { do�i desni

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Brzi" algoritam (quickhull)

Vremenska slo�enost O(n log n)

Slika 9: Primer { najdaa od nove

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Brzi" algoritam (quickhull)

Vremenska slo�enost O(n log n)

Slika 9: Primer { gor�i levi

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

”Brzi" algoritam (quickhull)

Vremenska slo�enost O(n log n)

Slika 9: Primer { omotaq

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

Slika 10: Primer { P0 = najni�a (kraj�a desna) taqka

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { sortirane taqke (prema uglu)

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2 3]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2 3 4]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2 3 �A4 5]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2 3 �A5 6]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2 3 6 7]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2 3 6 7 8]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2 3 6 7 �A8 9]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { stek: [10 0 1 2 3 6 �A7 9]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Grahamov algoritam

Vremenska slo�enost O(n log n)

8

7

5

4

9

210

6

3

1

0

Slika 10: Primer { omotaq [10 0 1 2 3 6 9]

Poligonska linija i poligon u ravni Konveksni omotaq skupa n taqaka ravni

Primeri

Primer 3

Odrediti konveksni omotaq skupa taqaka P0 = (1, 3),P1 = (−2, 0), P2 = (−3, 5), P3 = (4, 2), P4 = (1, 1), P5 = (6, 4),P6 = (2, −3), P7 = (5, 5), P8 = (5, −1).Zadatak rexiti:

a) Crta�em.

b) Grahamovim algoritmom.