Post on 28-Jan-2018
Coloquio de orientación Matemática
Efraín Vega Landa
Geometrías
Imaginen que los convierten en Planilandios
¿Cómo se vería su planeta?
¿Cómo sería el universo de los planilandios?
¿Un pedazo de plano?
¿Un plano infinito?
¿Podría tener área finita su universo?
¿Cómo podrían descubrir la forma de su universo 2D?
Ahora pensemos en…
¡Nuestro universo!
¿Qué forma tiene?
¿Por qué no podemos ahora ver las posibles formas del universo como lo hacíamos en el caso 2D?
¡Porque nuestro espacio geométrico es tridimensional!
¿Cómo es que un planilandio puede imaginar un toro?
=
Si pegamos solo un par de lados opuestos del cuadrado obtenemos
un cilindro
Si identificamos el par de lados opuestos al revés obtenemos la
banda de Mobius
Si identificamos ahora ambos pares de lados opuestos, uno al derecho y
el otro al revés obtenemos una botella de Klein
Un planilandio puede obtener un posible universo (2-variedad)
pegando los lados de un polígono
De la misma forma nosotros como seres 3D podríamos obtener un
posible universo (3-variedad) pegando los lados de un poliedro
¿Cómo sería nuestro universo situvieran que pegar
los lados de este cubo?
Toro tridimensional
Otras 3-variedades que se obtienen identificando caras de poliedros
¿Nuestro universo tiene la forma de cual de éstas 3-variedades?
Nadie lo sabe
Hemos motivado con la pregunta¿qué forma tiene nuestro universo?
el concepto de variedad
¿Cómo asignamosuna geometríaa una variedad?
En 2 dimensiones toda variedad (superficie) puede admitir una tres
geometrías especiales
Esférica
Plana
Hiperbólica
¿Cómo asignar una geometría a la variedad?
Viendo a la variedad “sumergida” en el plano euclidiano, la esfera, o el
plano hiperbólico
¿El doble toro puede estar “inmerso” en el plano euclidiano?
Al hacer el pegado en el plano euclidiano los ángulos del octágono
no ajustan, su suma excede a 2
En el plano hiperbólico podemos encontrar un octágono cuyos
ángulos interiores sean 2 /8 para que al pegar su suma sea 2
Con el octágono podemos teselar el plano hiperbólico
El doble toro adquiere la geometría del plano hiperbólico
Casi todas las superficies son hiperbólicas, es decir, se pueden obtener de alguna teselación del
espacio hiperbólico
¿Qué pasa en el caso de las 3-variedades?
A las 3-variedades también se les pueden dar geometrías…
Pero ahora serán 8 las posibles...
Conjetura de geometrización de Thurston
cuya prueba fue concluida con los trabajos de Perelman y Hamilton
Gracias