Funzioni elementari: logaritmi

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Logaritmi

La funzione logaritmica é definita come

g : (0,+∞)→ Rx 7→ logax

con a > 0 e a 6= 1.

In particolare si ha che

y = logax⇔ ay = x

per cui la funzione logaritmo é la funzione inversadell’esponenziale.

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Logaritmi

La funzione logaritmica é definita come

g : (0,+∞)→ Rx 7→ logax

con a > 0 e a 6= 1.

In particolare si ha che

y = logax⇔ ay = x

per cui la funzione logaritmo é la funzione inversadell’esponenziale.

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Logaritmi

La funzione logaritmica é definita come

g : (0,+∞)→ Rx 7→ logax

con a > 0 e a 6= 1.

In particolare si ha che

y = logax⇔ ay = x

per cui la funzione logaritmo é la funzione inversadell’esponenziale.

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Logaritmi

Valgono pertanto le seguenti relazioni fondamentali:

logaax = x, ∀x ∈ R

alogax = x, ∀x ∈ R,x > 0

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Logaritmi

Valgono pertanto le seguenti relazioni fondamentali:

logaax = x, ∀x ∈ R

alogax = x, ∀x ∈ R,x > 0

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Grafico di funzione inversa

Siano A,B⊆ R e sia f : A→ B una funzione invertibile.Allora il grafico di f−1 e il grafico di f risultano uno il sim-metrico dell’altro rispetto alla bisettrice y = x.Ossia:

Γf−1 = {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ B}

= {(f (x), f−1(f (x))) ∈ R2 : x ∈ A}

= {(f (x),x) ∈ R2 : x ∈ A}

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Proprietá

Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha

• logaa = 1

• loga1 = 0

• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R

• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)

• loga(x1)− loga(x2) = loga

(x1x2

)• logbx = logax

logab

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Proprietá

Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha

• logaa = 1

• loga1 = 0

• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R

• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)

• loga(x1)− loga(x2) = loga

(x1x2

)• logbx = logax

logab

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Proprietá

Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha

• logaa = 1

• loga1 = 0

• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R

• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)

• loga(x1)− loga(x2) = loga

(x1x2

)• logbx = logax

logab

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Proprietá

Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha

• logaa = 1

• loga1 = 0

• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R

• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)

• loga(x1)− loga(x2) = loga

(x1x2

)• logbx = logax

logab

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Proprietá

Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha

• logaa = 1

• loga1 = 0

• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R

• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)

• loga(x1)− loga(x2) = loga

(x1x2

)• logbx = logax

logab

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Proprietá

Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha

• logaa = 1

• loga1 = 0

• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R

• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)

• loga(x1)− loga(x2) = loga

(x1x2

)

• logbx = logaxlogab

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Proprietá

Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha

• logaa = 1

• loga1 = 0

• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R

• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)

• loga(x1)− loga(x2) = loga

(x1x2

)• logbx = logax

logab

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Logaritmi

x

y

a > 1x

y

0 < a < 1

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Numero di nepero

Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero

e≈ 2,71828

Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.

Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, eindicato solitamente come lnx o impropriamente conlogx.

La funzione esponenziale con base e, ex, vienesemplicemente detta funzione esponenziale.

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Numero di nepero

Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero

e≈ 2,71828

Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.

Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, eindicato solitamente come lnx o impropriamente conlogx.

La funzione esponenziale con base e, ex, vienesemplicemente detta funzione esponenziale.

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Numero di nepero

Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero

e≈ 2,71828

Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.

Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, eindicato solitamente come lnx o impropriamente conlogx.

La funzione esponenziale con base e, ex, vienesemplicemente detta funzione esponenziale.

7 / 11

Numero di nepero

Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero

e≈ 2,71828

Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.

Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, eindicato solitamente come lnx o impropriamente conlogx.

La funzione esponenziale con base e, ex, vienesemplicemente detta funzione esponenziale.

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Esempi

log28 = 3 perché 23=8

log 13

(19

)= 2 perché

(13

)2= 1

9

log 12x =−3 =⇒ x =

(12

)−3= 8

logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4

3log35 = 5

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Esempi

log28 = 3 perché 23=8

log 13

(19

)= 2 perché

(13

)2= 1

9

log 12x =−3 =⇒ x =

(12

)−3= 8

logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4

3log35 = 5

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Esempi

log28 = 3 perché 23=8

log 13

(19

)= 2 perché

(13

)2= 1

9

log 12x =−3 =⇒ x =

(12

)−3= 8

logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4

3log35 = 5

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Esempi

log28 = 3 perché 23=8

log 13

(19

)= 2 perché

(13

)2= 1

9

log 12x =−3 =⇒ x =

(12

)−3= 8

logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4

3log35 = 5

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Esempi

log28 = 3 perché 23=8

log 13

(19

)= 2 perché

(13

)2= 1

9

log 12x =−3 =⇒ x =

(12

)−3= 8

logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4

3log35 = 5

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Esercizi

Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

y = log(x+2), y = log|x+1|, y = log2(8− x2)

log(x2 +4x)+√

x

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:

• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):

• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?

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Esercizi

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.

• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?

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