Post on 08-Jul-2018
8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx
1/8
FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA
A. FUNGSI GAMMA
a. Definisi Fungsi Gamma
Fungsi gamma dinyatakan ol!
"# pΓ yang did$nisikan s%agai &
dxe x p x p −∞
−∫ =Γ'
("#
) untuk
'> p
Fungsi $a*to+ial did$inisikan dngan &
dxe x p x p −∞
∫ ='
,
-u%ungan $ungsi Gamma dngan $ungsi Fakto+ial adala! &
dxe x p x p −
∞−+∫ =+Γ
'
("(#"(#
dxe x x p −∞
∫ ='
, p=
Contoh :
(,'"(# ==Γ (,("# ==Γ )
,"/# ==Γ ) dan st+usnya.
b. Hubungan Rekursif Fungsi Gamma
"#"(# p p p Γ=+Γ
Bukti:
1
8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx
2/8
dxe x p x p −∞
∫ =+Γ'
"(#
Lakukan intg+asi 0a+sial untuk 0+samaan diatas) s0+ti %+ikut&
Misalkan&
p xu = dxedv x−=
dp pxdu p (−= xev −−=
S!ingga)
∫ ∞
−−∞− −−−=+Γ'
(
' "#1"(# dx pxee x p p x x p
∫ ∞
−−−−='
("#' dx xe p
p x
∫ ∞ −−='
( dxe x p x p
"# p pΓ=
2adi) di0+ol! %a!3a &
"#"(# p p p Γ =+Γ
Contoh :
(.
"(#"#"(#"/# ==Γ =+Γ =Γ
2
8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx
3/8
.
4"(#4"#../"(#/"/#/"(/#"5# ==Γ =+Γ =Γ =+Γ =Γ
•
"(#(
"# +Γ=Γ p p
p
Contoh :
(.
"4.(#4.'
("(4.'#
4.'
("4.'# Γ =+Γ =Γ
.
"("6)(##6.(
("6.(# +−Γ
−=−Γ
"6.'#6.(
( −Γ −
=
5
/
"6.'#6.'
(
6.(
(
"("6.'##6.'
(
6.(
(
π =
Γ −−
=
+−Γ −−
=
Contoh soal :
-itungla! intg+al %+ikut dngan $ungsi gamma&
∫ ∞
−
'
. .
dxe x x
Penyelesaian :
Misalkan &
xu =) maka &
dx xdu =
Untuk'= x
maka'=u
3
8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx
4/8
Untuk∞= x
maka∞=u
Maka &
5
"6.'#
(
(
"6.(#
(
(
7(
''
π =
Γ =
Γ =
=
=
−
∞−
∞−
∫ ∫
x
x x
eu
u
duuedxe x
c. Formula Penting Terkait Fungsi Gamma
Sala! satu $o+mula yang 0nting dalam $ungsi gamma adala! &
p p p
π
π
sin"(#"# =−Γ Γ
S!ingga untuk
6.'= p) maka&
π
π
6.'sin"6.'(#"6.'# =−Γ Γ
("6.'#"6.'#
π =Γ Γ
π =Γ Γ "6.'#"6.'#
[ ] π =Γ "6.'#
π =Γ "6.'#
4
8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx
5/8
B. FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA
Fungsi E++o+ mnyatakan luas da+a! di %a3a! ku+8a
. xe y −=. Fungsi E++o+
did$inisikan dngan &
D$inisi t+s%ut adala! d$inisi standa+d $ungsi E++o+) mski0un dmikian t+da0at
%%+a0a %ntuk intg+al yang da0at dinyatakan dalam $ungsi E++o+. Misalnya)
dt e x P
x
t
∫ ∞−
−=−∞ 7
(")#
π
Misalkan.ut =
maka
ut =
dandudt .=
) maka&
+===−∞= ∫ ∫ ∫ ∫
−
∞−
−
∞−
−
∞−
− duedueduedue x P x
x
uu
x
u
x
u
7
'
'77 ((
(")#"#
π π π φ
Dimana&
• Suku kdua da0at dinyatakan s%agai $ungsi ++o+) yaitu
"7#
7
xerf due
x
u π =∫ ∞−
−
• Suku 0+tama m+u0akan intg+al da+i suatu $ungsi gna0) s!ingga da0at dituliskan
mn9adi&
"7(#
'
' π
=Γ
== ∫ ∫ ∞
−
∞−
− duedue uu
Sehingga:
"7#
(
(
"7#
(
(")#"#
7
'
'
xerf
xerf
duedue x P x
x
uu
+=
+=
+=−∞= ∫ ∫
−
∞−
−
π π
π
π φ
5
dt e xerf
x
t
∫ −=
'
"#
π
8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx
6/8
Fungsi
"# xφ
diknal s%agai $ungsi dist+i%usi no+mal standa+ atau diknal 9uga
dngan $ungsi dist+i%usi kumulati$ gauss yang %anyak di9um0ai dalam 0+soalan
statistika.
Slain itu) ada 9uga $ungsi yang dis%ut s%agai $ungsi ++o+ 0lngka0
#complementary error function" yang dinyatakan dngan +$*# x".
Fungsi ++o+ 0lngka0 did$inisikan dngan &
Dngan mnggunakan d$inisi $ungsi ++o+ untuk∞= x
) maka da0at dinyatakan &
dt eerf t
∫
∞−=∞
'
"#
π
"7(#
(Γ =
π
π π
(=
(=
-u%ungan anta+a $ungsi ++o+ dan $ungsi 0lngka0 ++o+ adala! &
+=+ ∫ ∫
∞−−
x
t
x
t dt edt e xerfc xerf
..
'
."#"#
π
∫ ∞
−=+'
"#"# dt e xerfc xerf t
π
("#"#"# =∞=+ erf xerfc xerf
2adi) da0at disim0ulkan %a!3a&
("#"# =+ xerfc xerf
6
dt e xerfc x
t
∫ ∞
−= ..
"#π
8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx
7/8
"#("# xerfc xerf −= dan
"#("# xerf xerfc −=
Fungsi ++o+ %anyak di9um0ai dalam to+i 0+o%a%ilitas. Di dalam $isika) $ungsi
++o+ %anyak di9um0ai dalam mkanika statistiks. S%agai *onto!) $ungsi ++o+ %anyak
digunakan ktika kita !ndak mnntukan 9umla! molkul yang mmiliki k*0atan yang
l%i! %sa+ atau l%i! k*il da+i k*0atan t+tntu.
KESIMPULAN
Da+i 0n9lasan diatas) da0at disim0ulkan %a!3a&
(. Fungsi gamma s*a+a umum did$inisikan ol! &
dxe x p x p −
∞−∫ =Γ
'
("#
. Fungsi ++o+ s%agai a0likasi da+i $ungus gamma did$inisikan dngan &
dt e xerf
x
t
∫ −=
'
"#
π
Sdangkan $ungsi ++o+ 0lngka0 did$inisikan dngan &
7
8/19/2019 FUNGSI ERROR SEBAGAI APLIKASI DARI FUNGSI GAMMA.docx
8/8
dt e xerfc x
t
∫ ∞
−=
"#π
8