Post on 07-Dec-2014
Fungsi analitikDefinisif(z) dikatakan fungsi analitik pada suatu domain D jika f(z) terdefinisidan memiliki turunan ( differensiabel ) disemua titik di D.f(z) analitik di titik a bila f(z) analitik dilingkaran buka dengan pusat a.Bila f(z) analitik disemua titik dibidang kompleks maka f(z) disebutBila f(z) analitik disemua titik dibidang kompleks maka f(z) disebutjuga fungsi entire.
Page 47
Fungsi analitikContohDiketahuiApakah f(z) analitik di daerah berikut1z2zzf2 47Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Apakah f(z) analitik di daerah berikuta.b.c.1z:P
5,1i1z:Q−21: −zR
Page 48
Fungsi analitikPertama akan dilihat pada titik − titik berapa f(z) menjadi tidakanalitik.1z2zzf2 )iz)(iz(2z−48Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Jadi f(z) tidak analitik dititik −i dan i.Untuk melihat apakah f(z) akan analitik di daerah P,Q atau R cukupdengan melihat apakah titik −i dan i terletak didalam P, Q atau R danuntuk mempermudah akan ditunjukkan dalam gambar berikut
1z2 )iz)(iz(−
Page 49
Fungsi Analitika. Titik −i dan i diluar P , makaf(z) analitik di Pb. Titik i di dlm Q, maka f(z) tdkanalitik di Qpoint iPQ
49Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandunganalitik di Qc. Titik −i dan i diluar R, makaf(z) analitik di Rpoint −iPR
Page 50
Tes keanalitikanfungsi kompleksBila suatu fungsi kompleks disajikan dalam bentuk . Maka untuk menentukan apakah fungsi tersebut analitik padasuatu daerah D maka kita harus mengetahui terlebih dulu apakah
y,xViy,xUzf50Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
suatu daerah D maka kita harus mengetahui terlebih dulu apakahfungsi kompleks tersebut terdefinisi dan memiliki turunan di daerahD tersebut.Untuk mengetahui apakah fungsi kompleks tersebut terdefinisi atautidak mungkin tidak begitu rumit, sedangkan untuk menentukanturunannya mungkin memerlukan waktu yang lebih lama.
Page 51
Tes keanalitikanfungsi kompleksAda cara yang lebih pendek untuk menentukan keanalitikan darifungsi ini yaitu menggunakan persamaan Cauchy−Riemman.Bila fungsi kompleks analitik disuatudomain D, maka akan berlaku persamaan Cauchy−Riemman.
y,xViy,xUzf51Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
domain D, maka akan berlaku persamaan Cauchy−Riemman.Untuk setiap titik didalam DTurunan f(z) didefinisikan denganyx
VU yx
U
V −xx
iVUz'f
Page 52
Tes keanalitikanfungsi kompleksBila fungsi kompleks disajikan dalam bentuk polar . analitik disuatu domain D, maka akanberlaku persamaan Cauchy−Riemman
,riV,rUzf 1152Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Untuk setiap titik didalam DTurunan f(z) didefinisikan sebagai
Vr1Ur
U
r1Vr −rri
iVUez'f −
Page 53
Fungsi analitikContoh 1Apakah analitik?Jika ya tentukan turunannya xyyxiyxzf2233
−53Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
JawabanAkan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-Riemman
Ternyatajadi tidak memenuhi PCRSehingga f(z) tidak analitik dan tidak memiliki turunan2
3xUx yx2xV2
y −yx
VU ≠
Page 54
Fungsi analitikContoh 2Apakah analitik?Jika ya tentukan turunannya y4xy8i1x4y4x4zf22
−−−54Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Jawaban
Akan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-RiemmanTernyata memenuhi PCR yaitudanSehingga f(z) analitik dan turunannya adalah 4x8Ux −y8Uy −y8Vx 4x8Vy −yx
VU yx
UV −y8i4x8z'f−
Page 55
Fungsi Harmonik dan SekawanHarmonikDefinisiJika
sebuah fungsi analitik pd domain D, makau(x,y) dan v(x,y) akan memenuhi pers. Laplacey,xViy,xUzf55Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungSuatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi pers. Laplace disebut fungsiHarmonic (→ u,v : harmonic function)u : fungsi sekawan harmonis vv : fungsi sekawan harmonis u0UUyyxxu2
∇0VVyyxxv2
∇Nabla:∇
Page 56
Fungsi Harmonik
dan Sekawan HarmonikContoh 1Bila adalah bagian Riil f(z) yang analitik,tunjukkan bahwa harmonik ? kemudian tentukan
y,xUyyxU22
−−56Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Sekawan Harmoniknya !JawabanJadi U merupakan fungsi Harmonik.yyxU−−022UUyyxxu2
−∇
Page 57
Fungsi Harmonikdan Sekawan Harmonik
Jawaban (lanjutan)Dihitung turuanan parsial terhadap x dan y.x2Ux 1y2Uy −−57Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Dengan menggunakan PCR makaKita dapat memulai dari salah satu persamaan Vy atau Vx .Misalkan akan mulai dari Vy makax
1y2Uy −−x2UVxy
1y2UVyx
−x2Vy
Page 58
Fungsi Harmonikdan Sekawan HarmonikJawaban (lanjutan)Dengan mengintegralkan terhadap y
∫xhxy2dyx2V58Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Dengan menurunkan terhadap x diperolehDari PCR sudah diperoleh persamaanDengan menggabungkan dua persamaan Vx :Maka sehingga Jadi sekawan harmoniknya adalah
∫xhxy2dyx2Vx'hy2Vx
1y2
UVyx
−1y2x'hy21x'hcxxhcxxy2V
Page 59
Fungsi Harmonikdan Sekawan HarmonikContoh 2Diketahui adalah bagian imaginer dari suatu fungsianalitik . Tentukan
xy2y,xV
zfzf59Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
JawabanPembuktian bahwa adalah fungsi Harmonik yaitufungsi memenuhi persamaan Laplace tidak perlu dilakukan karenaberdasarkan soal bahwa sudah analitik sehingga sudah tentu fungsi Harmonik.
xy2y,xVzfy,xV
Page 60
Fungsi Harmonikdan Sekawan HarmonikJawaban (lanjutan)Dengan menggunakan PCR makax2VUy
x
60Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Misalkan akan mulai dari makaDengan mengintegralkan terhadap terhadap xDengan menurunkan terhadap y diperoleh y2VUx
y −−x
Ux2Ux ∫yhxdxx2U2
y'hUy
Page 61
Fungsi Harmonikdan Sekawan HarmonikJawaban (lanjutan)Dari PCR sudah diperoleh persamaan Dengan menggabungkan dua persamaan Vx :y
VUxy2−−yyh2'−61Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
Jadi nilaiadalah Sekawan harmonikadalahSehinggaadalahcyyh −2
yhxy2y,xVcyxU−22
y,xViy,xUzf
zfxyicyx222−
Page 62
Soal LatihanDiketahui adalah fungsi yang analitikTentukan sekawan harmonik dari fungsi – fungsi berikut1.4.
y,xviy,xuzfxuySinevx62Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung
2.5.3.6.xyu 2
3
xy3xu−xyvySinhxSin