Post on 04-Oct-2020
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁCURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
Turma 2015
CÁLCULO 2
FUNÇÃO LOGARITMO
1
Sejam os números com 𝐵 ≠ 1
Usualmente se define 𝐶 = log𝐵 𝐴 ↔ 𝐵𝐶 = 𝐴
Em particular se 𝐵 = 10 temos: 𝐶 = log10 𝐴 ↔ 10𝐶 = 𝐴
Verificando as seguintes propriedades:
i. log10 𝑃𝑄 = log10 𝑃 + log10 𝑄
ii. log101
𝑄= − log10 𝑄
iii. log10 1 = 0
iv. log10 10 = 1
v. log10 𝑃𝑄 = 𝑄 log10 𝑃
vi. log10𝑃
𝑄= log10 𝑃 − log10 𝑄
2
𝐴, 𝐵 ∈ 𝑅+
Que significa log10 𝜋 ?
Isto é, se 𝐶 = log10 𝜋, então 10𝐶 = 𝜋 .
Como calcular 𝐶?
Definição anterior inadequada!
Para uma definição adequada vamos manter a propriedade:
“logaritmo de um produto = soma dos logaritmos”
e analisar as consequências de esta definição.
3
DEFINIÇÃO: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 é uma função logaritmo se,
i. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅+
ii. 𝑓 não é uma função constante
iii. 𝑓 é diferenciável
iv. ∀ 𝑎 > 0, ∀ 𝑏 > 0: 𝑓 𝑎𝑏 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 .
Consequências da definição:
1) 𝑓 1 = 𝑓 1 ⋅ 1 = 𝑓 1 + 𝑓 1 ⇒ 𝑓 1 = 0
2) 0 = 𝑓 1 = 𝑓 𝑏 ⋅1
𝑏= 𝑓 𝑏 + 𝑓
1
𝑏⇒ 𝑓
1
𝑏= −𝑓(𝑏)
3) 𝑓𝑎
𝑏= 𝑓 𝑎 ⋅
1
𝑏= 𝑓 𝑎 + 𝑓
1
𝑏= 𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)
4)𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥
ℎ=
𝑓 1+ℎ
𝑥
ℎ=
𝑓 1+ℎ
𝑥−𝑓(1)
𝑥⋅ℎ
𝑥
=1
𝑥
𝑓 1+𝑘 −𝑓(1)
𝑘⇒ 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥⋅ 𝑓′(1) se ℎ → 0.
Afirmação: 𝑓′ 1 ≠ 0.
Pois se 𝑓′ 1 = 0, então 𝑓′ 𝑥 =1
𝑥⋅ 0 = 0 e por tanto a função 𝑓 é constante, o qual é
uma contradição.4
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