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216 DESAFIOS • Matemtica • 10.o ano • Mateia fotocoive © Santiana-Constância
4
PARTE
R
e c u r s o s p a r a a
a u l a
TEMA 2 Funções polinomiais, racionais e exponenciais
História da Matemática
prESSáGIO FuNESTOChistian Goldbach nasceu em Konisgbeg, pússia,
actualmente Caliningado, na rússia, a 18 de Maço de1690 e moeu a 20 de Novembo de 1764 em
Moscovo.
O seu ai foi um asto otestante em Konisgbeg,onde Chistian cesce e estdo Medicina e Dieito.Em 1710 inicio ma viagem ea Eoa dante 14anos que lhe emitiu conhece alguns dos mais
imotantes cientistas da éoca, como, o exemo,leibniz, os membos da famia Benoi, De Moive,Ee…
poco temo deois de egessa a Konisgbeg(1724) ofeeceam-lhe um luga como ofesso de
Matemtica e de Históia em São petesbgo (1725),onde taou contacto com a nobeza e com os cículosde ode do iméio usso, até que em 1728 foi
nomeado tto do jovem cza pedo II, mdando-seaa Moscovo, cidade onde estava a cote.
pedo II moe dois anos deois, em 1730, e otabalho de Goldbach teminou, emboa tivesse
continuado ao seviço da imeatiz da rússia, Ana
Ivanova. Em 1732, a cote mudou-se aa São
petesbugo e Goldbach etomou o seu tabalho naAcademia, ela qual foi esonsável. Ascendeam
aulatinamente a sua osição social e os seus
endimentos, imeio com o seu tabalho aa o
Ministéio dos Negócios Estangeios e mais tade comoconseheio ivado.
realizou imotantes tabalhos no camo da
Teoia de Númeos e é ecodado elo seu agumento,qe foi escito ea imeia vez nma cata diigida aEule: «Cada númeo inteio a maio do que dois
ode esceve-se como soma de dois númeos
imos.»
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217DESAFIOS • Matemtica • 10.o ano • Mateia fotocoive © Santiana-Constância
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PARTE
R e c ur s o s p ar a
a a ul
a
rADIAçõES ElECTrOMAGNÉTICASA adiação electomagnética é oduzida ela oscilação das descagas elécticas. As ondas
electomagnéticas oagam-se ataés do a ou do azio, dado que não ecisam de um meio mateialaa o faze.
Estas ondas movem-se à velocidade da luz (c 5 300 000 km/s) e oagam-se segundo o
movimento ondatóio cjas caactesticas estão definidas eo se comimento de onda (l), qese mede em metos, e a sa feqência (f ), qe é o númeo de osciaes o cicos qe, nm onto A,se dão o segndo. A nidade de feqência é o hetz, Hz, qe eqivae a m cico o segndo.
A eaão ente o comimento de onda (l), em metos, e a feqência (f ), em hetz, é: f c 5l
.
Consoante o valo do comimento de onda,
denominam-se de foma difeente; o exemlo, aios X(comimentos de onda infeioes a 1 nanómeto, um
milionésimo de milímeto), adiação ultaioleta, luz isíel
(comimento de onda ente 400 e 800 nanómetos), infaemelhos, ondas de ádio (comimentode onda até vios mihaes de metos), etc.
As micoondas são ondas eectomagnéticas cjo comimento de onda vai de 1 mm a 30 cm.A fequência das micoondas aa um comimento de onda de 1 mm calcula-se de acodo com
a fnão de oocionaidade invesa, qe eaciona comimento de onda e feqência:
f c 300 000 km/s
0,001 m
3 10 m/s
1
8
5 5 53
l 10 m 3 10 Hz 300 GHz
3
11
35 3 5
2
Obseva que o comimento é exesso em metos e a constante c
exessa-se em m/s, aa obte como estado a feqência em hetz. Como oestado é mito eevado, convetemo-o em Gigahetz, GHz (1GHz5 109 Hz).
A uTIlIDADE DAS pAráBOlAS1. Aplicação às antenas parabólicas e aos faróis dos automóveis
A imeia figa eesenta a seginte oiedade: qaqe aio qechega aalelo ao eixo eflecte-se na aábola assando elo foco. Inesamente,qualque aio que sai do foco de um eselho aabólico eflecte-se na aábolae sai aalelo ao eixo. É nesta oiedade que se baseiam as antenas aabólicas:as ondas chegam aalelas ao eixo e, ao eflectiem-se, assam elo foco onde
são ecebidas (figua 1). Nos faóis dos automóeis, o onto luminoso fica situadono foco e os aios saem aaeos ao eixo (figa 2).
2. Aplicação bélica da parábola
Desde a éoca de Galileu (1564-1642) sabe-se que, ao disaa um canhão,a tajectóia descita ela bala é uma aábola que deende do ângulo de
incinaão û do canhão sobe a hoizonta e da veocidade com qe a baa sai.
Este facto é mito úti, ois se qisemos disaa de m onto A a m avo B qe não odemose, oque está o detás de uma montanha, temos aenas que inclina o canhão, e a bala, seguindoa sa tajectóia aabóica, assa o cima da montanha aa aceta no avo B (figa 3).
Curiosidades matemáticas
A
l
Foco
Foco
A B
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
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218 DESAFIOS • Matemtica • 10.o ano • Mateia fotocoive © Santiana-Constância
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CONVÉM QUE…
Conhea o qe é ma potência
com expoente fraccionário.
PORQUE…
Nas fnes exonenciais tambémse tiizam exoentes faccionios.
A potência de expoente fraccionário a
m
n é o adica de ndice n e adicando
am, isto é: a amn
m
n 5 .
po exemo:
3 345 455
5 5
32 35
2
2
5
75
7
5 52
2
1 1
2257
Conteúdos prévios
CONVÉM QUE…
reveja o conceito de função afim.
PORQUE…
É ma caso atica das fnesoinomiais de imeio ga.
uma fnão afim é ma fnão do tiof (û)5 mû 1 b, onde m e b sãonúmeos difeentes de zeo.
O se gfico é ma inha ecta.Ao númeo m chama-se declive e a b
chama-se ordenada na origem.
y
û
f( ) = 2 – 2û û
1
1
CONVÉM QUE…
Seja caaz de esove equações do
segundo grau.
PORQUE…
Se-he- úti aa eesentaaboas.
Equações do segundo grau completas
aû2 1 bû 1 c 5 0
2û2 2 û 2 15 0
û6 64
2
1 8
452 2
51
5b b ac
a
2 1 û
û
1
2
1
1
2
5
52
Equações do segundo grau incompletas
aû2 1 bû 5 0
7û2 2 4û 5 0→ û ? (7û 2 4)5 0
û
û
1 0
7 4 0
5
2 5
→
û24
75
aû2 1 c 5 04û2
2 365 0→ û25
36
4 5 9→ û 5 9
û
û
1
2
3
3
5
52
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219DESAFIOS • Matemtica • 10.o ano • Mateia fotocoive © Santiana-Constância
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a a ul
a
Notação matemática
O QUE SIGNIFICA?
f (û)5 mû 1 b Exessa mafunção cuja
representação
é uma recta.
COMO ESCREVEMOS?
O decive da ecta (coeficienteda vaiveû) eesenta-se com a eta m
e a odenada na oigem com a eta b.
po vezes, também se esceve na foma:
f (û) = aû 1 b
onde a eesenta o mesmo qe m.
y = mx + n
y = mx
n
y = n
m < 0
m = 0
m > 0
y
û
O QUE SIGNIFICA?
f (û)5 Indica ma5 aû2
1 bû 1 c , função cuja
com a Þ 0 representação
é uma parábola.
COMO ESCREVEMOS?
a, b e c costmam se os coeficientesda eqaão de segndo ga.
Costma acescenta-se a condiãoa Þ 0 aa se te a ceteza de qeo oinómio é de segndo gae qe eesenta ma aboa.
a > 0
a < 0
Máximo
Mínimo
y
û
O QUE SIGNIFICA?
f (û)5 k
aû2 + b Indica ma
função cuja
representação
é uma hipérbole.
COMO ESCREVEMOS?
O nmeado da facão costmadesigna-se o k , em semehana com a constantede oocionaidade invesa enteas gandezas qe têm esta eaão.
y
û
f ( ) = + bk
– aû
û
O QUE SIGNIFICA?
f (û)5 aû Indica maa Þ 1 função
a . 0 exponencial.
COMO ESCREVEMOS?
As fnes exonenciais são do tio2û, 7û, (4)û…
A eta a indica a base da otência,qe é m númeo ositivo conhecido,e a eta û, o exoente, qe é a vaiveda fnão.
y = a
a > 1
y
û
û y = a
a < 1
û
O QUE SIGNIFICA?
f (û)5 ogaû Indica ma
a Þ 1 função
a . 0 logarítmica.
COMO ESCREVEMOS?
As fnes ogatmicas são do tioog2û, og(û+1), nû, 5n û… isto é,a eta a indica a base do ogaitmoqe tem de se m númeo ositivoconhecido.
y = loga
a > 1
y
û
û
y = loga
a < 1
û
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a u l a
220 DESAFIOS • Matemática • 10.o ano • Material fotocopiável © Santillana- Constância
1 Máximo de uma função quadrática
Uma empresa fabrica um artigo que tem um
custo de 100 €. Se o vender por 120 €, há 2000
pessoas que o compram. Por cada euro de
aumento do preço, o número de compradores
desce em 50 pessoas, e por cada euro que dimi-
nua, há mais 50 compradores.
Qual é o preço a que a empresa deve vender o
artigo para obter o lucro máximo?
E qual será esse lucro?
Façamos um estudo da função acerca da qualse pretende saber o máximo. O lucro total será
igual ao produto do lucro por artigo e do número
de compradores.
Seja û o acréscimo de preço, o lucro unitário
será 20 1 û, e o número de compradores será
2000 2 50û.
Assim, o lucro total ( y ) em função do acréscimo
de preço (û) é dado pela função:
y 5 (20 1 û)(2000 2 50û) 5
5 250û2 1 1000û 1 4000
Esta é uma função do segundo grau de coefi-
ciente a 5 250 , 0; logo, corresponde a uma
parábola côncava com máximo no seu vértice.
Se acharmos o vértice, encontramos o valor de
û que procuramos:
û2
1000
2 ( 50)105
25
2
3 2
5b
a
O lucro máximo obtém-se quando se aumen-
ta 10 €, isto é, quando o preço de venda é
120 1 10 5 130 €. Nesse caso, o lucro total é:
y = (20 1 10)(2000 2 50 3 10) 5 30 3 1500 5 5 45 000 €
Realize as seguintes actividades
Os ganhos totais de uma empresa são dados
pela função y 2
3
11
432
52 1 1û û , onde û são
os milhares de unidades produzidas e y são os
milhares de euros de lucro. Calcule quantas
unidades deve a empresa produzir para que o
lucro seja máximo.
2 Máximo de uma função quadrática
Uma empresa sabe que a função, que relaciona
o custo em euros para produzir uma unidade de
um artigo, e sendo û o número de unidades
produzidas, tem a seguinte expressão algé-
brica:
y 5 1
5(û 2 4)(û 2 400) 1 8000
Quantas unidades se devem fabricar para que
o custo unitário seja mínimo?
Efectuamos as operações para expressar a
equação na forma canónica y 5 aû2 1 bû 1 c .
y 5 1
5(û 2 4)(û 2 400) 1 8000 5
51
5û
22
404
5û 1 8320
A função é uma parábola, neste caso convexa,
uma vez que a
5
1
5
. 0. O seu mínimo, que
é o que queremos determinar, será o seu vértice.
û 2
404
52
1
5
2025
2
5
3
5
b
a
O custo por unidade é:
f (202) 5 159,20 €
Realize as seguintes actividades
Quanto medem os
lados de um triângulo
rectângulo, tal que a
soma dos seus catetos
é 20 e o quadrado
construído sobre a
sua hipotenusa tem
área mínima?
NESTE PROJECTO, PRETENDEMOS QUE APRENDA A:
• Calcular os extremos relativos de funções de segundo grau correspondentes a situações reais.
• Obter, de forma aproximada, os extremos relativos de outras funções.
Na vida quotidiana… Optimização de funções
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Estratégias de resolução de problemas4
PARTE
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222 DESAFIOS • Matemtica • 10.o ano • Mateia fotocoive © Santiana-Constância
1 Um fazendeiro deseja construir um
recinto rectangular, para o qual dispõe
de 12 m de arame. Como um dos lados
coincide com um muro, não é necessário
vedá-lo.
Esceva a ea (S) do ecinto em fnão do comimento do ado û. reesentagaficamente a fnão qadtica obtida
e detemine aa qe vao de û se obtém
a ea mxima. Tenha em consideaão qe2û 1 y 5 12.
PROBLEMAS PROPOSTOS
Pretende-se fechar um terreno rectangular com 50 m de arame. Quais devem ser as dimensões
do recinto para que a área seja máxima?
Apresentação e resolução
Sejamû e h as dimenses do teeno ectanga. Como o emeto mede 50 m,tem-se qe a eaão ente a base,û, e a ata, h, é: û 1 h 5 25.
Se designamos o y a ea do ectângo vem qe:
y 5 û ? h 5 û ? (252 û)⇔ y 5 25û 2 û2
Como û 1 h 5 25, os vaoes de û vaiam ente 0 e 25, como se ode ve na tabea.
paa eesenta a fnão, ocamos os ontos de intesecão com o eixo dos û, esovendo a eqaão:
25û 2 û2 5 0→ û ? (252 û)5 0
E como o coeficiente de û2 da fnão énegativo, a concavidade é votada aa baixoe o mximo enconta-se no onto médio do intevao (0, 25), isto é, o mximoobtém-se aa û 5 12,5 e a ea mxima é y 5 156,25 m2.
O vao de h é 12,5 m e o ecinto é m qadado.
PROBLEMA RESOLVIDO
FAZER TABELAS E GRÁFICOS
ESTrATÉGIA: Em agns obemas, é úti eesenta gaficamente ma fnão o consti ma tabea com
os dados do obema.
h
û
y
O 12,5
156,25 V (12,5; 156,25)
25 û
y
Sû
û1 5 0
û2 5 25
TABELA DE VALORESDE y 5 25Æ 2 Æ2
û y
0 0
5 100
10 150
12,5 156,25
15 150
20 100
25 0
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223DESAFIOS • Matemtica • 10.o ano • Mateia fotocoive © Santiana-Constância
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TEMA 2 Polinómios
HIstória da Matemática
uM HOMEM DE prINCípIOSpaolo ruffini nasceu em 1765 em valentano, onde
o seu ai execia Medicina. Anos mais tade toda a
famia se mdo aa Modena, em cja nivesidaderuffini estudou Matemática, Medicina, Filosofia e
liteata.
poco temo deois, em 1791, acano o gade ofesso de Matemática nessa mesma uniesidadeao mesmo temo que obtinha a autoização aa
exece a ofissão de médico em Modena.
Aós a inasão naoleónica da egião, que assoua chama-se reública Cisalina, paolo ruffini fez atedo ecém-ciado Conselho da reública Cisalina,
cago qe abandono aós dois anos aa eintegaos seus afazees na univesidade. Ao etoma a sua
actividade académica, aa não ede o seu cago,
tinha de jua fidelidade à bandeia fancesa. ruffini
ecso-se a ja e ede a cteda de Matemticana univesidade, motivo elo qual se voltou aa a
ática da Medicina, emboa sem abandona a
Matemtica.
Anos mais tade, egessaia à uniesidade comoseu eito. No camo da Matemática investigou a
esoão de eqaes e a foma de oea com eas. Todavia, aqio o qe é nivesamente conhecidoé ela ega de ruffini: um método aa dividi
oinómios a ati dos ses coeficientes.
Moeu em Modena em 1822, ovavelmente
devido ao tifo, doença que tinha estudado duante
ma eidemia qe assoo a zona nessa éoca.