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UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE NUEVA ESPARTA
ESCUELA HOTELERIA Y TURISMO
PROGRAMA DE LIC. EN ESTADÍSTICA
SUB-COMISIÓN DE TRABAJO DE GRADO
FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD GENERADAS POR MÉTODOS CONTRACTIVOS
(FUNCIONES OMEGA-R)
Trabajo de Grado, Modalidad Investigación,
Presentado por:
Bladimir Saavedra S.
Como requisito parcial para optar al Título de:
Licenciado en Estadística
Guatamare, Marzo del 2008
FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD GENERADAS POR
MÉTODOS CONTRACTIVOS
(FUNCIONES OMEGA-R)
Aprobado por
________________________________
Prof. Nelson Bracho
(Asesor)
________________________________
Prof. Miguel Padrino
(Jurado Principal)
________________________________
Prof. Nicolás Urra R.
(Jurado Principal)
Dedicatoria iii
A mis Padres: Ana Rita Silva y Daniel Saavedra
Agradecimientos iv
AGRADECIMIENTOS
La realización de esta tesis no hubiera sido posible sin la valiosa colaboración
del Prof. José Nicolás Urra Ríos. Le agradezco sinceramente, el honor que me ha
conferido al enseñarme la Teoría de las Funciones Contráctiles, además de darme su
apoyo, estímulo y amistad. Valoro el tiempo, el esfuerzo, la paciencia y la
meticulosidad invertidos en las múltiples revisiones minuciosas de esta tesis. Su
ejemplo es la mejor Cátedra del riguroso quehacer científico.
Agradezco la asesoría, la disposición y el estímulo brindados a lo largo de mi
carrera por el Prof. Nelson Bracho, sin duda alguna, su conocimiento,
profesionalismo, juicio imparcial y sincero son el pilar que sostiene la carrera y el
orgullo y ejemplo de estudiantes y egresados de la Licenciatura en Estadística de este
núcleo.
Al Prof. Jesús Suniaga y hago justo reconocimiento por ser el creador del
programa de la Licenciatura en Estadística. Todos los estudiantes y profesores
estamos en deuda con él, por abrir una maravillosa oportunidad de estudio y trabajo
en está importante área del conocimiento. Además, su enseñanza ha encauzado a
muchos jóvenes por el camino de la investigación.
Al Dr. Adrián Sotomayor (USB-UPEL) por su interés en el estudio del
Cálculo Contractivo, sus valiosos comentarios y palabras de estímulo en el desarrollo
de esta teoría. Además, aprecio y aplaudo el esfuerzo y entusiasmo que se requiere
para iniciarse en esta área de la Matemática; a la par de realizar sus investigaciones
sobre las ecuaciones Súper-KDV en el prestigioso y exigente grupo de investigación
de física teórica de la Universidad Simón Bolívar, dirigido por los Drs. Álvaro
Restuccia (Premio Nacional de Ciencia, 1989 y Premio Fundación Polar, 1999) y
Stephen Andrea.
Agradecimientos v
Agradezco la colaboración, estimulo e interés en las investigaciones realizadas
en Cálculo Contractivo prestados por el Prof. José G. Hernández. Felicito su
iniciativa de representar al Núcleo de Nueva Esparta de la Universidad de Oriente con
la ponencia titulada: “Método analítico y numérico para la evaluación de la Función
Beta Incompleta” ante el IV encuentro Colombia-Venezuela de Estadística
(ECVE2007). Esta ponencia mostró la valiosa contribución de las funciones
contráctiles para facilitar el análisis y la evaluación de la función beta incompleta con
alta precisión.
A los Profesores: José E. González Muñoz, Wilmer Fermín, Albino Moino,
Julio Cedeño, Humberto Carvajal, Delfina Torcat y Melania Balan por su enseñanza.
También agradezco a las Profesoras Izaida Cabrera y Jennifer Moya por su excelente
trato y buena disposición para mi persona en los momentos previos a la tesis.
Doy gracias al personal de la biblioteca; especialmente, a la Lic. Teresa
Fermín de Rausseo, al Lic. Jesús López (Chúo) y al amigo Plinio Fernández por la
buena atención y colaboración que me brindaron a lo largo de la carrera.
A la secretaria de la Coordinación de Estadística Sra. Belkis Mago por su
buen trato y servicio.
A la Sra. Magdalena Barreto Mago por su buen trato y servicio.
A todo el personal docente, administrativo y obrero de la Universidad de
Oriente por todos los servicios que me dieron con la más amplia cordialidad durante
mi carrera.
Agradecimientos vi
También, agradezco a mis ex compañeros de estudio: Oswaldo Bello, Alberto
Alfonso, Juan José González, Jesús Salgado, Wilfredo Bonilla por su amistad y
colaboración.
A mis sobrinos: Wilmer, Wilfredo, Wendy y Winner Sánchez por su apoyo.
A Sarita y a Nicole por incluir la palabra Tesis dentro de sus primeras palabras de
vida. Espero que nunca la olviden y mañana me muestren las suyas.
A mis hermanos Gustavo, Marcos, Alexander, Arla, Alix, Daniel y William la
paciencia, tolerancia, colaboración y respeto que me dieron durante la carrera.
Por la colaboración que brindaron durante muchos instantes críticos a mis
amigos: Ana Díaz, Luís Subero, Carlos Intriago , Jhonny Rodríguez , Wilfredo
Eurresta, César Brito, Daniel E. Romero C. e Italo Newman.
A toda la Familia Urra: Sra. María Milagros Martínez Serrano, Nicolás
Andrés, Mariani Andreína y Luís Antonio, la excelente atención y apoyo que me han
dado. Estoy seguro que comparten con está tesis una gran satisfacción.
Índice General vii
ÍNDICE GENERAL
Descripción Pág.
Dedicatoria iii
Agradecimientos iv
Índice General vii
Índice de Figuras xi
Resumen xiii
Introducción 1
Planteamiento del Problema 4
Justificación 5
Capítulo I: Aspectos Preliminares
1.1 Objetivos de la Investigación 6
1.1.1 Objetivo General 6
1.1.2 Objetivos Específicos 6
1.2 Revisión de la Literatura 7
1.3 Materiales y Métodos 10
Capítulo II: Fundamentos Teóricos: Introducción al Cálculo
Contractivo-
11
Consideraciones Generales 12
2.1 Contracciones 13
2.2 Propiedades de las Contracciones Geométricas 17
2.3 Serie de Contracciones Geométricas 19
2.4 Propiedades de la Contracciones Factoriales 23
2.5 Suma Contractiva 24
2.6 Identidades Factoriales y otras proposiciones 31
Índice General viii
Descripción Pág.
2.7 Serie Factorial 34
2.8 Analogía Geométrico-Factorial 42
2.9 Forma Factorial para la Función Beta 45
2.10 Aplicación de la Contracción Factorial al Cálculo de Integrales
Impropias 54
2.11 Cuarta Identidad Factorial 76
2.12 Función Tau-Beta 84
2.13 Serie de Contracciones 99
2.14 Funciones Contráctiles 108
2.15 Aplicaciones de la Función Contráctil al Cálculo Integral 113
2.16 Ejemplos de Integración Numérica 114
2.17 Integración de Funciones Contráctiles 119
2.18 Relación entre la Función Contráctil uniparamétrica y la Función Beta 120
2.19 Integración bajo la Serie de Contracciones 123
2.20 Sobre la Función Contráctil biparamétrica 132
2.21 Función Contráctil Adyacente 151
2.22 Propiedades notables de la Función Contráctil Adyacente 157
2.23 Integración de Funciones Contráctiles biparamétricas 162
2.24 Función Contráctil Complementaria 167
2.25 Sobre la diversidad de formas que adopta la Función Contráctil 175
Capítulo III: Solución del Problema de valor inicial 1 y Generación de las
funciones de densidad de probabilidad de tipo ( ), ,n
p q rf
3.1 Determinación de la solución general de la ecuación diferencial (3.1) 187
3.2 Análisis de la condición de valor inicial 188
Índice General ix
Descripción Pág.
3.3 Estudio de las condiciones de los parámetros para que el valor
límite de
, ,p q r
rx 1, ( pq )x− tienda a cero cuando x tiende al infinito 189
3.4 Estudio del valor límite de 1, ( )pq x− cuando x tiende a cero por la
derecha 191
3.5 Estudio del valor límite de rx 1, ( )pq x− cuando x tiende a cero por la
derecha 191
3.6 Definición, propiedades y ejemplos de la función ( , )r p qϕ 192
3.7 Cálculo de
0
( , )( )r p q x dxϕ∞
∫199
3.8 Evaluación numérica de la Función Beta usando la Función Contráctil 201
3.9 Cálculo de la constante K de la función ( , )r p qϕ para que sea fdp. 204
3.10 Estudio de las condiciones de los parámetros para la existencia
de momentos de orden de las fdp
, ,p q r
s ( ), ,n
p q rf 205
3.11 Cálculo del -ésimo momento centrado para s ( ), ,n
p q rf 209
3.12 Función de Distribución Acumulativa para ( ), , ( )n
p q rf x 210
Capítulo IV: Solución del Problema de valor inicial 2 y Generación de las
funciones de densidad de probabilidad de tipo ( ), ,n
p q rg
4.1 Determinación de la solución general de la ecuación diferencial (4.1). 217
4.2 Estudio la condición de los parámetros para determinación de , ,p q r
lim r
xx
→∞
1, ( )pq x− 218
4.3 Estudio la condición de los parámetros , ,p q r para determinación de
0lim r
xx
+→
1, ( )pq x− 220
Índice General x
Descripción Pág.
4.4 Definición, propiedades y ejemplos de la función ( , )r p qψ 222
4.5 Cálculo de
0
( , )( )r p q x dxψ∞
∫228
4.6 Cálculo de la constante K para definir una fdp a partir de la función
( , )( )r p q xψ 230
4.7 Generación de la fdp y sus propiedades ( ), , ( )n
p q rg x 230
4.8 Estudio de las condiciones de los parámetros para la existencia
de momentos de orden de las fdp
, ,p q r
s ( ), ,n
p q rg 231
4.9 Cálculo del -ésimo momento centrado para s ( ), ,n
p q rg 235
4.10 Función de Distribución Acumulativa para ( ), ,n
p q rg 236
Capítulo V: Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
5.1 Definición de la Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad
Omega-r 239
5.2 Ejemplos de la Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad
Omega-r 239
Capítulo VI: Conclusiones y Recomendaciones
6.1 Conclusiones 252
6.2 Recomendaciones 253
Referencias Bibliográficas 255
Anexos 260
Índice de Figuras xi
ÍNDICE DE FIGURAS
Fig. Descripción Pág.
3.1 Gráfica de 2 (1,3)ϕ 191
3.2 Gráfica de 5 (1,5)ϕ 191
3.3 Gráfica de 32
3( , 2)2
ϕ 192
3.4 Gráfica de 1
1( 2 , )2
ϕ 192
3.5 Gráfica de 2( 5, 3)ϕ 193
3.6 Gráfica de 2 (1, )qϕ 194
3.7 Gráfica de 1(1, )qϕ 194
3.8 Gráfica de 1(2, )qϕ 195
3.9 Gráfica de 1(3, )qϕ 195
3.10 Gráfica de 2 (2, )qϕ 196
4.1 Gráfica de 1(2,1)ψ 220
4.2 Gráfica de 13
1(2, )2
ψ 221
4.3 Gráfica de 517 3( , )3 2
ψ 221
4.4 Gráfica de 132
(5, 11)ψ 222
4.5 Gráfica de 1(2, )qψ 222
4.6 Gráfica de 13
(2, )qψ 223
Índice de Figuras xii
Fig. Descripción Pág.
4.7 Gráfica de 517( ,3
q)ψ 223
4.8 Gráfica de 132
(5, )qψ 224
5.1 Gráfica de ( )h x 236
5.2 Gráfica de ( )i x 238
5.3 Gráfica de ( )j x 240
5.4 Gráfica de ( )l x 242
5.5 Gráfica de ( )m x 243
5.6 Gráfica de 2 ( )m x 245
5.7 Gráfica de 3( )m x 245
Resumen xiii
RESUMEN
Con arreglo al objetivo general propuesto para este trabajo se construye una
familia de funciones de densidad de probabilidad mediante los métodos del Cálculo
Contractivo, a partir de las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial:
1. ( )( ) 1
1' , 0 ,
1
r
qp
q p xxy ry x
x+
+= − >
+m 0.
xy
→∞ li = (Ecuación 1)
2. ( )( )
1
1
1' , 0 ,
1
r p
qp
pq xxy ry x
x
+ −
+
+= − >
+lim 0.x
y→∞
= (Ecuación 2)
, ,p q r +∈ .
Las funciones de densidad de probabilidad obtenidas se denominan
“Funciones de tipo Omega-r”, ( rΩ ).
La aplicación del Cálculo Contractivo al estudio de las funciones de
probabilidad es una innovación teórica; y al mismo tiempo un aporte a la Estadística
Matemática y sus métodos.
Introducción 1
INTRODUCCIÓN
Antes de entrar en materia, es necesario hacer referencia al objetivo general
propuesto para este trabajo: “Construir una familia de funciones de densidad de
probabilidades, a partir de las soluciones de dos problemas de valor inicial,
previamente especificados”.
Ahora bien, las ecuaciones diferenciales referidas en tales problemas de valor
inicial, contienen cada una, tres parámetros; con la restricción de ser números reales
positivos o no negativos. Estos tres parámetros, además de aparecer formando parte
de los coeficientes constantes, aparecen también en los exponentes de la variable
independiente y en los exponentes de expresiones que contienen dicha variable.
La revisión bibliográfica realizada no aportó información sobre la solución
general de las ecuaciones diferenciales involucradas en los problemas de valor inicial
que son objeto de esta investigación.
Para abordar entonces el problema planteado en este trabajo como “Objetivo
General”; se recurre al “Cálculo Contractivo”.
Por Cálculo Contractivo se entiende la “Teoría de las funciones Contráctiles”,
es decir, “El estudio de las propiedades analíticas y las aplicaciones de una familia de
funciones denominadas Funciones Contráctiles”.
En el Anteproyecto de Tesis, se propuso como primer objetivo específico:
“Formular los conceptos del Cálculo Contractivo necesarios para el estudio analítico,
el tratamiento algebraico y la evaluación numérica de la solución de las ecuaciones
diferenciales y de las funciones de densidad de probabilidad generadas a partir de
tales soluciones”.
Durante el desarrollo del Proyecto, se hizo evidente que una simple
descripción de conceptos, operadores y métodos utilizados, sería incompleta e
insuficiente para percatarse del poder de resolución del Cálculo Contractivo, como un
aporte al análisis estadístico.
Introducción 2
Por esta razón, se ha considerado necesario dar un mayor alcance al primer
objetivo específico del “Anteproyecto de Tesis”; y presentar aquí, como segundo
capitulo una “Introducción al Cálculo Contractivo”. Se pretende de esta manera,
hacer un aporte al conocimiento matemático y agregar nuevos métodos aplicables al
análisis estadístico.
También se pretende proporcionar un material de estudio utilizable por
estudiantes universitarios que deseen indagar en la búsqueda de nuevos métodos
matemáticos para sus propias investigaciones.
Algunos conceptos, operadores, funciones y métodos que se introducen en el
segundo capitulo son:
• Primera Contracción
• Contracción Geométrica
• Contracción Factorial
• Serie Factorial
• Serie de Contracciones. (Función Geométrico-Factorial)
• Función Contráctil
• Función Contráctil Complementaria
• Función Contráctil Adyacente
• Función Tau-beta
• Teorema de factorización para funciones Tau-beta
• Teorema de simplificación para funciones Tau-beta
• Evaluación numérica de la función Beta con alta precisión
• “Método de Integración bajo la Serie de Contracciones”.
Los conceptos, operadores y métodos proporcionados en el segundo capitulo
se aplican en los capítulos siguientes a la solución a los problemas de valor inicial que
son objeto de estudio; y a la caracterización de las funciones de densidad de
probabilidad generadas a partir de las soluciones de estos problemas.
Introducción 3
Es necesario todavía, hacer una nueva referencia a la Introducción al Cálculo
Contractivo que se presenta en el capitulo II. Se trata de lo siguiente:
El contenido matemático que se presenta en esta Introducción se expone en
una secuencia lógica siguiendo los estándares convencionales en Matemática en
cuanto a su redacción.
De esta manera, se ha sido consecuente con el propósito de producir un
material de estudio, independiente de los otros objetivos de la tesis, cuyo contenido
matemático, por su exposición didáctica y además pedagógica está al alcance de un
estudiante universitario de pregrado de una carrera en la cual la matemática es
fundamental.
Posteriormente, se presenta un programa de computación para evaluar las
funciones contráctiles, con alta precisión. Tal programa se elaboró en el lenguaje del
software Mathematica de Wolfram´s Research, y mediante las funciones
proporcionadas por este software es posible graficar e integrar las funciones
contráctiles.
Planteamiento del Problema 4
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En este trabajo se propone aplicar el Cálculo Contractivo para construir una
Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad generada por los problemas de
valor inicial:
1. ( )( ) 1
1' , 0 ,
1
r
qp
q p xxy ry x
x+
+= − >
+lim 0.x
y→∞
= (Ecuación 1)
2. ( )( )
1
1
1' , 0 ,
1
r p
qp
pq xxy ry x
x
+ −
+
+= − >
+m 0.
xy
→∞ li = (Ecuación 2)
, ,p q r +∈ .
Tales funciones serán denominadas Funciones de tipo Omega-r, ( ). La
expresión significará que
rΩ
rf ∈Ω f es una función de densidad de probabilidad
generada por una solución de alguno de los problemas de valor inicial 1 o 2.
Si los parámetros p, q, y r son números reales positivos, entonces las
ecuaciones diferenciales 1 y 2 admiten por soluciones particulares, funciones que
generan funciones de densidad de probabilidad. Tales soluciones aparecen bajo la
condición inicial Estas ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales, de
primer orden, no homogéneas; pueden resolverse aplicando el método de variación de
parámetros de Lagrange. Sin embargo, en el caso más general, las soluciones de estas
ecuaciones son funciones hipergeométricas (ver Anexo 1) y su análisis
estadístico requiere el uso del cálculo con funciones especiales superiores.
lim 0.x
y→∞
=
2 1F
Justificación 5
JUSTIFICACIÓN
La Estadística Matemática se nutre de los métodos del Cálculo y Análisis
Matemático y los avances o innovaciones en los métodos matemáticos conllevan al
progreso de la teoría estadística. El estudio del Cálculo Contractivo permite observar
que sus métodos constituyen una teoría matemática aplicable a la estadística (Urra,
2004).
Desde el punto de vista teórico y también práctico la aplicación del cálculo
contractivo facilita, en algunos casos, el análisis estadístico.
El aspecto más relevante de la investigación a realizar es la búsqueda de
nuevos conceptos y nuevos métodos matemáticos para el estudio de funciones de
probabilidad.
Capítulo I: Aspectos Preliminares 6
1.1 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
1.1.1 Objetivo General
Construir una Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad, a partir de
las soluciones de las ecuaciones diferenciales planteadas en los problemas de
valor inicial 1 y 2, mediante la aplicación del Cálculo Contractivo (Funciones
Omega-r).
1.1.2 Objetivos Específicos
» Formular los conceptos del cálculo contractivo necesarios para el estudio
analítico, el tratamiento algebraico y la evaluación numérica de la solución de
las ecuaciones diferenciales 1 y 2, y de las funciones de densidad de
probabilidad generadas a partir de estas soluciones.
» Analizar las condiciones que deben satisfacer las soluciones particulares de
» inario y centrado de las funciones de
» e Distribución Acumulativa de las funciones de
» lgoritmo computacional para la evaluación de las Funciones
Contráctiles.
las ecuaciones 1 y 2 para generar Funciones de Densidad de Probabilidad.
Calcular el k-ésimo momento ord
densidad de probabilidad Omega-r.
Calcular la Función d
Probabilidad Omega-r.
Elaborar un A
Capítulo I: Aspectos Preliminares 7
1.2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
El Cálculo Contractivo es un proyecto de investigación en desarrollo. Esta
tesis constituye la primera aplicación de esta teoría a la Estadística Matemática.
Urra, J. N., Saavedra B. (2004). Presentaron un trabajo sobre las Funciones
Contráctiles y sus Funciones Adyacentes, en el V Congreso Científico de la
Universidad de Oriente de Venezuela. Allí, se presentó un Teorema de Integración
que permite, mediante las Funciones Contráctiles Adyacentes, calcular integrales de
funciones algebraicas de forma binómica con exponentes reales. El cálculo numérico
interactivo se realizó con el auxilio de una calculadora científica de uso común.
Urra, J. N., Saavedra B. (2006). En el Seminario “Innovaciones en
Educación con Énfasis en Matemáticas”, organizado por la Universidad de Oriente,
Núcleo de Guatamare, se muestra que las Funciones Beta y Tau-Beta pueden ser
consideradas como operadores de Cálculo. Además; usando el Método de la Sucesión
Asociada se calculó el valor límite de algunas series infinitas especiales, como la
Función Zeta de Riemann con la precisión deseada.
Urra, J. N., Saavedra B. (2006). Publican una monografía titulada
“Funciones Tau-Beta”. En está publicación se desarrolla la teoría de las funciones
Tau beta, se define las p-Funciones Tau y se hace aplicaciones de estos conceptos y
del triángulo Tau-beta al cálculo del valor límite de series infinitas. Además,
presentan una colección de fórmulas (85 fórmulas) relacionadas con el cálculo del
valor límite de series numéricas. También, se muestra una importante identidad que
relaciona la serie armónica con las funciones tau-beta.
Urra, J. N., Saavedra B. (2007). Elaboran una monografía titulada “Sobre el
Número Pi (π) y la Constante Logarítmica: Ln 2. Aplicaciones de la Función Beta
Capítulo I: Aspectos Preliminares 8
Contractiva”. (De próxima publicación). En esta monografía se aplica la función
contráctil a la evaluación de la constante logarítmica Ln2, con alta precisión.
(Precisión extrema)
Por otra parte, se presentan aplicaciones de la función contráctil a la
determinación del valor límite de series numéricas relacionadas con la función beta
simétrica y la construcción de series convergentes al número Pi.
Urra, J. N., Saavedra B. (2007). (Trabajo inédito) Preparan como parte final
de la Lección Nº 3, las aplicaciones del Método de la Sucesión Asociada al cálculo
del valor límite de algunas series numéricas: Función Zeta de Riemann para valores
reales positivos arbitrarios, la Función Zeta de Hurwitz y las Funciones
Polilogarítmicas.
Gauss, C. F. (1813). En su famosa obra: Disquisitiones generales circa
seriem infinitam…publica la teoría de las funciones hipergeométricas. En esta obra se
muestra una lista de funciones elementales expresadas a través de funciones
hipergeométricas y se hace un estudio analítico de las funciones hipergeométricas.
Abramowitz, M., Stegun I., (1938-58). Publican el “HandBook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables”. Esta
monumental obra, de 37 volúmenes, fue la culminación de un proyecto, de casi un
cuarto de siglo, impulsado por el National Bureau of Standards de Washington D.C.
Esta obra constituye una de la más completa compilación de fórmulas sobre
funciones y series hipergeométricas.
Rodríguez, J., et al. (2001). Hacen un estudio para estimar los parámetros de
las distribuciones discretas generadas por la Función Hipergeométrica
( )1 1 1 1 1,..., ; ,..., ;p p p pF α α γ γ λ+ + + , también conocidas como las distribuciones de Kemp.
En su trabajo aplican el método de los momentos, el de la mínima Chi-cuadrado y un
Capítulo I: Aspectos Preliminares 9
método mixto para la estimación de los parámetros de las distribuciones estudiadas.
Gourdon X., Sebah P.. (2003). Publican “π and its computation through the
ages”. En este artículo se resume la historia de las fórmulas y métodos usados en la
evaluación de la constante matemática Pi. Además, aparecen listadas el número de
cifras decimales exactas obtenidas por cada fórmula y el método empleado para su
evaluación.
Gourdon X., Sebah P.. (2004). En el ensayo “The Logarithmic Constant:
Log2”, hacen una introducción a la historia de la constante Log2 y su cálculo.
Además, muestran los métodos de evaluación del logaritmo de cualquier número real
positivo, con unos pocos decimales y también con alta precisión.
Batir N. (2005). Estudia las series de la forma: , obteniendo
algunas representaciones integrales de ellas y haciendo una evaluación explicita para
.
1
1
3 n k
k
kk x
k
−∞−
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
0,1, 2n =
Capítulo I: Aspectos Preliminares 10
1.3 MATERIALES Y MÉTODOS
Para implementar el algoritmo computacional, que evalúe las funciones
contráctiles, se desarrolló un programa de computación usando la versión
demostrativa del software Mathematica®, v. 6.0, de la empresa Wolfram Research
Inc.
Para resolver las ecuaciones diferenciales 1 y 2 se utilizó el método de
variación de parámetros de Lagrange.
La construcción de las funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r se hizo
con arreglo a las definiciones de función de densidad de probabilidad, función de
distribución acumulada y otros conceptos que caracterizan a estas funciones.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
12
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO CONTRACTIVO
Consideraciones Generales.-
A modo de explicación general, puede decirse que por “Cálculo Contractivo”
se entiende el “Estudio teórico de las propiedades analíticas y las aplicaciones al
cálculo numérico de una familia de funciones denominadas Funciones Contráctiles”.
Las funciones contráctiles aparecen por primera vez relacionadas con ciertos
métodos de integración aplicables a la evaluación numérica de la integral definida:
( )0
, 01
r
qp
x dxx
α
α ≥+
∫
siendo , ,p q r números reales sin restricciones.
Sin embargo, estudios posteriores permitieron descubrir que las funciones
contráctiles son aplicables a la determinación del valor límite de series numéricas
relacionadas con las funciones beta, gama, coeficientes binomiales y una amplia
variedad de otras funciones (ver páginas de 175 a 185).
Estudios más recientes relacionan las funciones contráctiles con el análisis de
convergencia y evaluación del valor límite de series numéricas expresables en
términos de la función beta simétrica ( ), , 0, 1,2,... ,k k kβ α α α+ + ≥ = y de la
función beta incompleta.-
En este capitulo se desarrollan los fundamentos teóricos de las funciones
contráctiles, necesarios para abordar el tema central de esta tesis. El objetivo principal
consiste en construir una familia de funciones de densidad de probabilidad a partir de
la solución general de dos ecuaciones diferenciales previamente especificadas. Tales
soluciones se expresan en términos de funciones contráctiles.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
13
La aplicación del Cálculo Contractivo al estudio de funciones de probabilidad
es una innovación teórica; y constituye un aporte a la Estadística Matemática y sus
métodos.
Aunque existen trabajos que tratan sobre las funciones contráctiles, publicados
previamente; es necesario advertir que el contenido matemático de este capitulo es en
rigor, la primera “Introducción formal” al estudio de esta familia de funciones.
2.1.- Contracciones
Las siguientes definiciones se aplican a cada par de números reales no
negativos α, q.
2.1.1.- La expresión ( ) 11α α −+ es referida como “Primera contracción de α ” y se
denota por 1 α⊕ .
2.1.2.- Por “q-contracción geométrica de α ” se entiende (1 q)α⊕ . Si 0α = , toda q-
contracción geométrica de α se considera nula.
2.1.3.- La “q-contracción factorial de α ” en grado k denotada por ( ,1 q k )α se define
por recurrencia mediante las relaciones:
2.1.3.1 ( ),01 1q α =
2. 1.3.2 ( ) ( )( ) ( ), , 11 1 .1 , 1, 2,...q k q kq k kα αα −= ⊕ + =
Nota: Si , se escribe 0q = (1 k )α en lugar de ( )0,1 k α .
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
14
Los siguientes ejemplos muestran la naturaleza de los algoritmos que pueden
representarse por medio de contracciones.
2.1.4.- Ejemplos.
2.1.4.1) 2 1 23= ⊕
2.1.4.2) 1 117 6= ⊕
2.1.4.3) 3 3111 8
= ⊕
2.1.4.4) Si 0 , entonces a b< < 1a ab b= ⊕
a−
2.1.4.5) 235 2 4 6 2 4 6 11 (1 )(1 )(1 ) . .
5 5 5 7 9 11 231
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⊕ ⊕ ⊕ = =
6
2.1.4.6) 2,3 25 2 2 21 (1 ( 1) 2)(1 ( 2) 2)(1 ( 3) 2)
5 5 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⊕ + ⊕ + ⊕ +
14 24 341 1 15 5
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛= ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 5
⎞⎟⎠
14 24 34. .19 29 39
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
15
2.1.4.7)
13,52 3 1 3 2 3 3 3 4 3 51 1 1 1 1 1
2 2 2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛+ + + += ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 2
⎞+⎟⎟⎠
3 1 3 2 3 3 3 4 3 5. . . .3 3 3 4 3 5 3 6 3 7+ + + + +
=+ + + + +
3 1 3 2.3 6 3 7+ +
=+ +
En general, si 0α > , la contracción factorial 1,
1q k
α⎛ ⎞⎜⎝
⎟⎠ puede escribirse en la
forma,
2.1.5.- ( )( ) ( )( )( ) ( )
1, 1 21
1 2
q k q q q kq q q
α
α α α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + +=
+ + + + + +K
K k , 1, 2,...k =
Si 0, 0,qα > = la fórmula (2.1.5) se reduce a la siguiente:
2.1.6.- ( )( ) ( )
1 !11 2
k kk
α
α α α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
+ + +K , 1, 2,...k =
Si α es un entero positivo, entonces a partir de (2.1.6) se tiene:
2.1.7.- ( )
1 ! !1!
k kk
α αα
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
+ , 1, 2,...k =
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
16
De (2.1.7) se deducen los siguientes resultados importantes, para el caso en
que α es un número entero positivo,
2.1.8.- 11
1k kα α
α
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, 1, 2,...k =
2.1.9.- 1 1
1 1k
kα
α⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝=
⎞⎟⎠ , 1, 2,...k =
La fórmula (2.1.9) además de constituir una importante identidad, tiene
incidencia significativa en operaciones numéricas. Obsérvense los siguientes
ejemplos:
2.1.10.- ( )1111 1k k
⎛ ⎞⎜⎝=
⎟⎠ , ( )2.1.9
11k
= ⊕
11k
=+
, 1, 2,...k =
2.1.11.- 1 113 221 1
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝= 13
⎞⎟⎠ , ( )2.1.9
1 21 113 13
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
1 2.14 15
=
1105
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
17
2.2.- Propiedades de las Contracciones Geométricas
2.2.1) 1 1α β α< ⇒ ⊕ < ⊕ β
2.2.2) 0 1 1,mínα α≤ ⊕ ≤
2.2.3) ( )( )1 1α α α⊕ + =
2.2.4) ( ) ( )11 1 1 ,α α α−⊕ + = > 0
0
0
2.2.5) ( ) 1 11 1 ,α α α− −⊕ = + >
2.2.6) ( ) 111 1 ,α α α−−⊕ = + >
2.2.7) ( )li m 1 1α
α→∞
⊕ =
2.2.8) ( ) ( )1 1 1p p pα α α− ⊕ = − ⊕
2.2.9) ( ) ( ) ( )11 1 1
q qp p pα α α α−− ⊕ = ⊕ − ⊕
qp
2.2.10.- Proposición.- Para cada número entero positivo n,
( ) ( )
0
(1 ) 1 (1 )k n
k q n knp p q p
k
nx x x
k
=− −−
=
⎛ ⎞⊕ = − ⊕⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
18
Demostración.-
2.2.10.1.1) (1 ) (1 ) ( (1 ))np p q p q n p p nx x x x x− − −⊕ = ⊕ ⊕
( ) ( )( )1 1 1 , (2.2.8)nq np px x
−= ⊕ − ⊕
( ) ( ) ( )0
1 1k nq n kkp p
k
n1x x
k
=−
=
⎛ ⎞= ⊕ − ⊕⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
( ) ( )
0
1 (1 )k n
k q n kp
k
nx
k
=− −
=
⎛ ⎞= − ⊕⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
Ejemplo.
2.2.10.2) ( ) ( )5 512 3 4.3 31 1x x x x− −⊕ = ⊕
( ) ( ) ( )4 5 43
0
41 1
k kk
k
xk
= − −
=
⎛ ⎞= − ⊕⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 43 3 3 31 4 1 6 1 4 1 153x x x x= ⊕ − ⊕ + ⊕ − ⊕ + ⊕ x
El ejemplo (2.2.10.2) es equivalente a la siguiente descomposición en
fracciones parciales:
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
19
2.2.10.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 6 9 12 15
5 2 3 433 3 3 3
4 6 411 1 1 1
x x x x x xx 531x x x x x
= − + − +++ + + + +
2.3.- Serie de Contracciones Geométricas.
A partir de la relación 0 1 1, 0α α< ⊕ < > se deduce que la “Serie de
Contracciones Geométricas”
2.3.1.- ( )0
1 k
kα
∞
=
⊕∑
converge para cada número real positivo α .
2.3.2- Proposición. Para cada número entero no negativo n.
( ) ( ) ( )( )1
01 1 1 1 ,
k nk n
kα α α α
=+
=
⊕ = + − ⊕ >∑ 0
Demostración. Inducción Completa.
2.3.2.1) 0n =
Para el primer miembro de (2.3.2) se tiene,
( )0
01 1
kk
kα
=
=
⊕ =∑
y para el segundo miembro,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
20
( ) ( )( ) ( ) ( )(0 11 1 1 1 1 1 )α α α α++ − ⊕ = + − + ⊕α
( )1 , 2α α= + − .2.4
1=
2.3.2.2) Hipótesis de Inducción.- Para algún número entero no negativo , n
( ) ( ) ( )( )1
0
1 1 1 1k n
k n
k
α α α=
+
=
⊕ = + − ⊕∑
2.3.2.3) Sea 1n n= +
( ) ( ) ( )0 0
1 1 1k n k n
k k
k k
nα α α= =
= =
⊕ = ⊕ + ⊕∑ ∑
( ) ( )( ) ( ) ( )11 1 1 1 , 2.3.2.2n nα α α+= + − ⊕ + ⊕
( ) ( )( ) ( )1 1 1 1n nα α α α= + − + ⊕ + ⊕
( ) ( )1 1 nα α α= + − ⊕
( ) ( )( )( )1 1 1 1 , (2.2.4)nα α α α= + − + ⊕ ⊕
( ) ( ) 11 (1 1 nα α )+= + − ⊕
2.3.3.- Proposición.- Para cada número real positivo α .
( )0
1 1k
kα α
∞
=
⊕ = +∑
Demostración.- Consideremos la relación,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
21
2.3.3.1) ( )lim 1 0n
nα
→∞⊕ =
Ahora bien,
2.3.3.2) ( ) (0 0
1 lim 1k n
k k
nk k)α α
∞ =
→∞= =
⊕ = ⊕∑ ∑
( ) ( )( )1lim 1 1 1 ,n
nα α +
→∞= + − ⊕ (Prop. 2.3.2)
( )1 , 2.3.3.1α= +
2.3.4.- Proposición.- Para cada número entero no negativo n,
( ) ( )( )1 1 1 ,k n
k n
α α α α∞
=
⊕ = + ⊕ >∑ 0
k
Demostración.-
2.3.4.1) ( ) ( ) ( )1
0 0
1 1 1k n
k k
k n k k
α α α∞ ∞ = −
= = =
⊕ = ⊕ − ⊕∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 nα α α= + − + − ⊕
( )(1 1 n)α α= + ⊕
Ejemplos.-
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
22
2.3.5.- 3 3
2 217 5
k k
k k
∞ ∞
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑
32 21 1 ,
5 5⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
(Prop. 2.3.4)
22 2 8
5 7 245⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
2.3.6.- ( )2 2
1 1131 3
k
kk k
∞ ∞
= =
⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟
⎝ ⎠+∑ ∑
2
1 11 1 ,3 3
⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
(Prop. 2.3.4)
1 1.3 1 3
=+
13 3
=+
2.3.7.- Problema.- Probar que para cada número real 1α > y cada número entero
0,n ≥
( ) 1
1 11k n
k n α α α
∞
−=
=−∑
Solución.-
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
23
2.3.7-1) ( )1 1(1 ) , 2.1.4.41
kk
k n k nα α
∞ ∞
= =
= ⊕−∑ ∑
1 1(1 )(1 ) ,1 1
n
α α= + ⊕
− −(Prop. 2.3.4)
( )11 1(1 ) , 2.2.31 1
n
α α−= ⊕
− −
1
1( 1). nα α −=
−
2.4.- Propiedades de las Contracciones Factoriales.
2.4.1) ( ),0 1 1q k α≤ ≤
2.4.2) ( ),lim1 0q k
k
α
→∞=
2.4.3) ( ),lim1 1 , 0, 1,2,...q k
qkα α
→∞= > =
2.4.4) ( ),lim1 1 , 1, 2,...q k kα
α→∞= =
2.4.5) ( ) ( ),
0lim1 1 , 1,2,...q k k
qkα α
→= =
2.4.6) ( ),
0lim1 0 , 1, 2,...q k kα
α→= =
2.4.7) ( ) ( ), ,1 1 , 1,2,...q k q k kα βα β≥ ⇒ ≥ =
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
24
2.4.8) ( ) ( ), ,1 1 , , 1,2,...q n q kn k n kα α> ⇒ ≤ =
Nota: Las propiedades anteriores son consecuencia directa de la definición de
Contracción Factorial.
2.5.- Suma Contractiva.
2.5.1.- Definición.- Para cada par de números reales no negativos ,α β se define la
“Suma Contractiva” α β⊕ del modo siguiente:
( )1lim 1x
xα
α β α β+
−
→⊕ = ⊕
Propiedades.-
2.5.2) 0 0 0β β⊕ = ⊕ =
2.5.3) ( ) 11 1 , ,α β α β α β−− −⊕ = + > 0
2.5.4) α β β α⊕ = ⊕
2.5.5) ( )( ) .α β α β α β⊕ + =
2.5.6) ( )1 1( ) 1 , ,α β α β α β− −⊕ + = 0>
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
25
2.5.7) ( )α β γ α β α γ⊕ = ⊕
2.5.8) ( ) ( )α β γ α β γ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕
2.5.9) 0 ,mínα β α≤ ⊕ ≤ β
2.5.10) ( )limα
α β β→∞
⊕ =
2.5.11) , , 0α α α β γβ γ β γ⊕ = >
+
Las propiedades anteriores muestran enlaces sintácticos muy fuertes entre el
operador de suma contractiva y el operador de suma usual en el conjunto de los
números reales.
En realidad, existen diferencias sintácticas no advertidas aquí; y además,
profundas diferencias semánticas entre ambos operadores.
El objetivo inmediato es la simplificación de algunos procesos de cálculo.
Obsérvese en detalle el siguiente ejemplo numérico de suma contractiva,
basado en la propiedad (2.5.11).
2.5.12) 2 5 4 10 20 20 20 20 20 203 8 9 7 30 32 45 14 30 32 45 14 121⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ = =
+ + +
La reducción de la suma contractiva a las operaciones usuales en los números
reales es apropiada y se ajusta perfectamente al contexto universal del cálculo
numérico.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
26
El teorema siguiente registra una relación fundamental.- Este teorema es
referido como “Teorema de Multiplicación de Sumas” (T.M.S.).-
2.5.13.- Teorema . Sean 1
i ni i
x=
=, 1
i ni i
y=
=, , conjuntos de números reales
no negativos. Si existe un número real α, tal que para cada
2n ≥
,1 , ,i ii i n x y α≤ ≤ =
entonces,
1 1
i ni n
i ii i
x y α==
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑⊕
donde, 1 21
i n
i ni
x x x x=
=
= ⊕ ⊕ ⊕⊕ K .
Demostración.- Distinguiremos dos casos.
2.5.13.1) 0α = ,
Si , entonces existe un índice para el cual En tal caso,
Por lo tanto, se tiene que
1
0i n
ii
y=
=
≠∑ 0i 0 0.iy ≠
. 0io io iox y x= ⇒ = 0.1
0i n
ii
x=
=
=⊕ , lo que prueba el
teorema.
2.5.13.2) 0α > ,
En este caso, razonaremos por Inducción Completa.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
27
2.5.13.3) . La hipótesis del teorema se reduce a, 2n = 1 1 2 2. .x y x y α= =
Luego,
2.5.13.4) ( )( ) ( )( )1 11 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x x xα α− −⊕ + = ⊕ +
( )( )1 11 2 1 2x x x xα − −= ⊕ +
α= , (2.5.6)
2.5.13.5) Hipótesis de Inducción.- Sea válido el teorema para algún
número entero . 2n ≥
2.5.13.6) Sea 1n n= + . Consideremos dos conjuntos de números reales
no negativos 1
i ni i
x=
=, 1
i ni i
y=
= tales que, , 1i ix y i nα= ≤ ≤ ,
Luego,
2.5.13.7) 1 11 1
i n i ni n i n
i i n i ni ii i
ix y x x y y= == =
= == =
⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
∑ ∑⊕ ⊕
Pero por Hipótesis de Inducción, debe ocurrir que,
2.5.13.8) 1 1
i ni n
i ii i
x y α==
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑⊕
Además, n nx y α=
Razonando ahora en (2.5.13.7) de la misma forma en que se hizo para
(2.5.13.4) se tiene,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
28
2.5.13.9) 1 1
i ni n
i ii i
x y α==
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑⊕
Los siguientes ejemplos constituyen aplicaciones del T.M.S.
2.5.14.- Ejemplo.- Un capataz de obras contrata n obreros altamente
especializados, con el objeto de formar un equipo (trabajo simultáneo) para realizar
un trabajo de magnitud W . Como desea tener una estimación del tiempo en el cual
concluirá la obra; ejecuta una consulta individual sobre el tiempo en que cada
trabajador supone que realizará la tarea trabajando sólo. Los datos obtenidos son
. 1 2, , , nT T TK
El siguiente razonamiento permite al capataz obtener el valor buscado.-
“Cada obrero tiene una eficacia propia (trabajo por unidad de tiempo).
Luego, para cada , se tiene
ie
, 1i i≤ ≤ n i iT e W= .
La eficacia del equipo es 1
i n
ii
e=
=∑ . Si T es el tiempo buscado, debe ocurrir que
. Pero el T.M.S. afirma que 1
.i n
ii
T e W=
=
=∑
1 1
i ni n
i ii i
T e==
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ W=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑⊕
Por lo tanto, es el tiempo estimado que el capataz desea conocer”. 1
i n
ii
T=
=
=⊕T
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
29
2.5.15. Ejemplo.- Supóngase que un móvil recorre rectilíneamente con velocidad
variable una distancia en un tiempo . Subdividamos en etapas , 1
(En general, diferentes) y t en periodos , donde es el tiempo de duración del
movimiento en la etapa correspondiente . Bajo estas condiciones, existen
números reales
s t s n kE k n≤ ≤
n kt kt
kE n
1 2, , , nλ λ λK con la propiedad 1
1i n
kiλ
=
=
=⊕ , tales que,
1
k nk
kk k
Est t
λ=
=
=⊕
En efecto, para cada índice ,1k k n≤ ≤ existe un número real kλ tal que
.k kE sλ = . Aplicando el T.M.S. se tiene,
1 1
k nk n
k kk k
E sλ==
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑⊕
Pero 1
k n
kk
E s=
=
=∑ , de donde 1
1k n
kk
λ=
=
=⊕ .
Por otra parte, para cada , 1k k n≤ ≤ ,
. .kk k
k
E t st
λ =
Luego, 1 1
.k nk n
kk k
k kk
E tt
λ==
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ s=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑⊕ , (T.M.S.)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
30
donde, 1
k n
kk
t t=
=
=∑
Por lo tanto,
1
.k n
kk
k k
E st t
λ=
=
=⊕
Nota: El ejemplo (2.5.15) tiene aplicaciones relevantes en el estudio del movimiento
rectilíneo.
2.5.16.- Proposición.- Para cada conjunto 1
i ni i
x =
=de números reales positivos,
1
1
11
i n i n
i iii
x x−= =
−
==
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ⊕
Demostración.- Para cada 1, 1 , . 1i ii i n x x−≤ ≤ =
2.5.16.1) Luego, (T.M.S.) 1
1 1
1i ni n
i ii i
x x==
−
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑⊕ ,
De donde,
2.5.16.2) 1
1
1 1
i ni n
i ii i
x x−==
−
= =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑⊕
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
31
2.6.- Identidades Factoriales y otras Proposiciones.
2.6.1.- Primera Identidad Factorial. (P.I.F.)
( ) ( ) ( )1 ,1 .1 1 ,q k k q k q qα α−⊕ 0= >
Demostración.- Inducción Completa.
2.6.1.1) Para 0k = , la identidad es obvia.
2.6.1.2) Hipótesis de Inducción.- Sea válida la identidad para algún entero
. 0k ≥
2.6.1.3) Sea 1k k= + , luego,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1, ,11 .1 1 .1 . 1 .1q k q kk q kq k kqα α αα− −
−= ⊕ + ⊕
( )( )( )( ) ( )11 1 1 .1 k qkq k kq αα
− ⊕= ⊕ + ⊕
( ) ( )1 .1 , (2.6.1.2) , (2.2.4)k qkq k αα ⊕= ⊕ ⊕
( ) ( )1 ( ) .1 k qk q αα ⊕= ⊕ ⊕
( )1 k qα⊕=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
32
La demostración de las siguientes proposiciones puede buscarse en la Lección
Nº 2 del curso sobre Cálculo Contractivo (www.contractil.com).
2.6.2.- Segunda Identidad Factorial (S.I.F.)
( ) ( ) ( )1 11 1 .1 , 1, 2,...k kk kα αα − ⊕= ⊕ =
2.6.3.- Tercera Identidad Factorial (T.I.F)
( ) ( ) ( ) ( ), , 1 111 1 .1 , 0, 1,2,...q k q kq k q q kα αα − ⊕−= + ⊕ ⊕ > =
2.6.4.- Proposición.-
( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 , 1,2,...k k k kα α α⊕ − ⊕= ⊕ =
2.6.5.- Proposición.-
( ) ( )1
01 1 , 1, 2,...
i kk k
ikα α
=⊕
=
= =⊕
2.6.6.- Proposición.- Si son números enteros no negativos, entonces, ,n k
( ) ( ) ( ), ,1 1 .1q n k q n q n k,α α α+ +=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
33
2.6.7.- Proposición.- Si son números enteros no negativos, entonces, ,n k
( ) ( ) ( ),1 1 .1n k n n kα α α+ =
2.6.8.- Proposición.-
( )1,1, 11 1 , 1, 2,...
qq k k k⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =
2.6.9.- Proposición.- Si son números enteros positivos, entonces, ,n k
1 1, ,
1 1q k q n
n k⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠=
Las fórmulas (2.6.8) y (2.6.9) son fórmulas de simplificación y tienen
incidencia significativa en operaciones numéricas.
Por ejemplo.
2.6.10.- ( )13,13,7 1 71 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
3 117+
= ⊕
3 13 8+
=+
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
34
2.6.11.- 1 12 ,13 2 ,33 11 1
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ 3
⎞⎟⎠=
2 1 2 2 2 31 1 113 13 13
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + += ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝
⎟⎟⎠
( )( )( )
( )( )( )2 1 2 2 2 3
2 14 2 15 2 16
+ + +=
+ + +
2.7.- Serie Factorial.
Para cada par de números reales no negativos ,qα , la serie
2.7.1.- ( ),
0
1 q k
k
α∞
=∑
es referida como “Serie Factorial”.
2.7.2.- Proposición.- La serie,
( )1
0
1 k
k
∞
=∑
es divergente.
Demostración.- Aplicando (2.1.10) se tiene,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
35
2.7.2.1) ( )11 0
1 1 1, 2,...1
ksi k
si kk
=⎧⎪= ⎨
=⎪ +⎩
luego,
2.7.2.2) ( )1
0 0
1 111
k
k k kk k
∞ ∞ ∞
= =
= =+∑ ∑ ∑
1=
Por lo tanto, la serie ( )1
0
1 k
k
∞
=∑ es una representación de la serie armónica, la cual
es divergente.
2.7.3.- Proposición.- Para cada número real 0α ≥ la serie
( )1
0
1 k
k
α∞
+
=∑
es divergente.
Demostración.- Para cada número entero no negativo ,k
2.7.3.1) ( ) ( )1 11 1 ,k kα α+ ≥ 0≥ , (2.47)
Luego, comparando con la serie (2.7.2), se prueba la Proposición.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
36
2.7.4.- Proposición.- Para cada par de números reales no negativos ,qα , la serie
( ), 1
0
1 q k
k
α∞
+
=∑
es divergente.
Demostración.- Es suficiente hacer la comparación con la serie (2.7.3).
2.7.5.- Teorema.- Para cada par de números reales no negativos , qα , y cada
número entero no negativo , n
( ) ( ), 1 , 1
0
1 (1 ( 1) ) (1 1k n
q k q n
k
qα αα=
⊕ +
=
= + + −∑ )
Demostración.-
2.7.5.1) Si 0α = , el teorema es evidente.
2.7.5.2) Para 0α > , razonamos por Inducción Completa.-
2.7.5.3) . Para el primer miembro de (2.7.5) se tiene: 0n =
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
37
( ) ( )0
, 1 ,0 1
0
1 1k
q k q
k
α α=
⊕ ⊕
=
1= =∑
y para el segundo miembro,
( ),0 1(1 ( 1) ) (1 1 ) (1 ( 1) )(1 (1 ( 1) )qq qα qα α α++ + − = + + − ⊕ + , (2.1.3)
1 ( 1) (1 ( 1) ) (1 ( 1) )q q qα α α= + + − + + ⊕ +
1 ( 1) ( 1)q qα α= + + − + , (2.2.3)
1=
2.7.5.4) Hipótesis de Inducción.- Para algún número entero positivo , n
( ) ( ), 1 , 1
0
1 (1 ( 1) ) (1 1k n
q k q n
k
qα αα=
⊕ +
=
= + + −∑ )
2.7.5.5) Sea 1n n= +
( ) ( ) ( ), 1 , 1 , 1
0 0
1 1 1k n k n
q k q n q k
k k
α α α= =
⊕ ⊕
= =
= +∑ ∑ ⊕
( ) ( ), 1 ,1 1( 1) ( 1 )1 (1 ( 1) ) (1 1q n q nq n q qα αα α+− −= + + + + + + + − ) (T.I.F.), (2.7.5.4)
( ), 11 1 1 1(1 ( 1) ) (1 (( 1) (1 ( 1) )).1 q nq q n q n αα α α +− − − −= + + + + + − + + +
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
38
( ), 1(1 ( 1) ) (1 1 )q nq αα += + + −
2.7.6.- Teorema.- Para cada número real no negativo α ,
( ), 1
0
1 1 (q k
k
qα 1)α∞
⊕
=
= + +∑
Demostración.-
2.7.6.1) ( ) ( ), 1 , 1
0 0
1 lim 1k n
q k q k
nk k
α α∞ =
⊕ ⊕
→∞= =
=∑ ∑
( ), 1lim(1 ( 1) ) (1 1 )q n
nq αα +
→∞= + + − , (Teor. 2.7.5)
1 ( 1)q α= + + , (2.4.2)
Observación.- La proposición (2.7.4) y el Teorema (2.7.6) se refieren al
comportamiento de la serie factorial.
( ),
0
1 ,q k x
k
x∞
=
≥∑ 0
1
En efecto, la Proposición (2.7.4) afirma que la serie diverge para y el
Teorema (2.7.6) afirma que la serie converge para
1x ≥
0 x≤ < , proporcionando además,
el valor límite de la serie.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
39
Las notaciones usadas son útiles en cálculo contractivo. Es necesario
percatarse de lo siguiente: “Si α es un número real no negativo entonces
y ”. [ )1 1,α+ ∈ ∞ [ )1 0α⊕ ∈ ,1
2.7.7.- Teorema.- Para cada número real 0α ≥ ,
( ) ( ), 1 ,1 (1 ( 1) ).1 , 0,q k q n
k n
q nα αα∞
⊕
=
= + + =∑ 1,...
Demostración.-
2.7.7.1) ( ) ( ) ( )1
, 1 , 1 , 1
0 0
1 1 1k n
q k q k q k
k n k k
α α α∞ ∞ = −
⊕ ⊕
= = =
= −∑ ∑ ∑ ⊕
( ), 11 ( 1) (1 ( 1) ) (1 1 )q nq q αα α ⊕= + + − + + −
( ), 1(1 ( 1) )1 q nq αα ⊕= + + , (2.7.5, 2.7.6)
Los siguientes ejemplos muestran la naturaleza de las series que pueden
representarse mediante series factoriales.
2.7.8.- Ejemplo:
Estudiar el comportamiento de la serie:
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
40
7.11 7.11.15 7.11.15.1913.17 13.17.21 13.17.21.25
λ = + + +K
y determinar su valor límite si es convergente.
Solución.-
2.7.8.1) 7 11 7 11 151 1 1 1 16 6 6 6 6
λ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ ⊕ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
K , (2.1.4.4)
3 4.1 3 4.2 3 4.1 3 4.2 3 4.31 1 1 1 16 6 6 6 6+ + + + +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ ⊕ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠K
3 2 3 2,2 ,34 3 4 31 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + +K
3 2,4 3
2
1k
k
⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
= ∑
Se observa de inmediato que la serie es convergente.
Escribiendo ahora 2 1 23= ⊕ , se tiene
2.7.8.2) 3, 1 24
2
1k
k
λ⎛ ⎞∞ ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠
=
= ∑
3,2 243(1 ( 1).2).1
4
⎛ ⎞⎜⎝= + +
⎟⎠ , (Teor. 2.7.7)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
41
7 7 11 1 12 2 2
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛= + ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝
1⎞⎟⎠
7 11.2 13
=
7726
=
Esto es,
2.7.8.3) 7.11 7.11.15 7713.17 13.17.21 26
+ + =K
2.7.9.- Ejemplo:
Estudiar el comportamiento de la serie
8 8.10 8.10.128 2 (8 2)(10 2) (8 2)(10 2)(12 2)
σ = + + ++ + + + + +
K
Solución.-
2.7.9.1)
8 8 10 8 10 121 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2
σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ + ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ ⊕ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
K,(2.1.4.4)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
42
( ) ( )( ) ( )( )( )1 4 2 1 4 2 1 5 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2= ⊕ + ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ ⊕ +K
( ) ( ) ( )3,1 2 3,2 2 3,3 21 1 1= + + +K
( )3, 2
1
1 k
k
∞
=
= ∑
La serie diverge con arreglo a la Prop. (2.7.4).
2.8.- Analogía Geométrico-Factorial.
Si se aplican los Teoremas (2.7.5), (2.7.6) y (2.7.7) para el caso 0q = , se
obtienen las siguientes fórmulas:
2.8.1.- ( ) ( )1 1
0
1 (1 )(1 1k n
k n
k
α αα=
⊕ +
=
= + −∑ )
2.8.2.- ( )1
0
1 1k
k
α α∞
⊕
=
= +∑
2.8.3.- ( ) ( )11 (1 )1k n
k n
α αα∞
⊕
=
= +∑
Por otra parte, para la serie de contracciones geométricas se tiene ( 0)α >
2.8.4.- (Prop. 2.3.2) ( ) ( ) 1
0
1 (1 )(1 1k n
k
k
α α α=
+
=
⊕ = + − ⊕∑ )n
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
43
2.8.5.- ( )0
1 1k
k
α α∞
=
⊕ = +∑ (Prop. 2.3.3)
2.8.6.- ( )1 (1 )(1k n
k n
)α α α∞
=
⊕ = + ⊕∑ (Prop. 2.3.4)
La perfecta analogía que se observa entre las parejas de fórmulas
, y (2.8.1) (2.8.4)↔ (2.8.2) (2.8.5)↔ (2.8.3) (2.8.6)↔ , tiene gran importancia
teórica; y es referida como “Analogía Geométrico- Factorial”.
Obsérvese que la analogía entre las fórmulas (2.8.2) y (2.8.5) es más profunda.
Resumiremos este resultado en la siguiente forma:
2.8.7.- ( )1
0 0
(1 ) 1 1 , 0kk
k k
αα α∞ ∞
⊕
= =
⊕ = = + >∑ ∑ α
El siguiente ejemplo permitirá ver el alcance de la relación (2.8.7).
2.8.8.- Ejemplo:
Considérense las siguientes series numéricas:
2 32 2 21
3 3 3σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠K
2 2.4 2.4.615 5.7 5.7.9
λ = + + + +K
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
44
Estas series pueden representarse de la siguiente manera:
( ) ( )1 2
0 0
1 2 , 1k k
k k
σ λ∞ ∞
⊕
= =
= ⊕ =∑ ∑
luego, según (2.8.7) debe tenerse que,
1 2 3σ λ= = + =
Es claro que σ puede obtenerse por métodos convencionales. En efecto,
1 3213
σ = =−
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
45
2.9.- Formas Factoriales para la Función Beta.
Se usará la definición siguiente:
2.9.1.- ( ) ( )1
11
0
, 1 , ,yxB x y t t dt x y−−= −∫ 0>
2.9.2.- Teorema.- Primera Forma Factorial de Beta. (PFFβ)
Para cada número real positivo α ,
( ) ( )111, .1 , 1, 2kk kαβ α α−−−= = K,
Demostración.- Inducción Completa.-
2.9.2.1) , 1k = ( )111 11 1 1
0
( ,1) .1B t dt ααα α α−−− − −= = =∫
2.9.2.2) Hipótesis de Inducción.- Sea válido el teorema para algún número
. 1k ≥
2.9.2.3) Sea 1k k= +
( ) ( )1
1
0
, 1 kB k t tαα −= −∫ dt
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
46
( ) ( )1 1
1 11
0 0
1 1k kt t dt t t dtα α− −−= − − −∫ ∫
( ) ( ), 1 ,B k B kα α= − +
( ) ( ) ( )1 11 111 1 1k kαα α 1 (1 )α− −− −−= − +− + , (2.9.2.2)
( ) ( ) ( ) ( )1 111 1 11 1 1 1k kkα αα α α− −−− − −= − ⊕ +
( )11 1 1( (1 ) )1 kk k α
α α−
− − −= + − , (SIF)
( )111 k αα
−−=
Ejemplos.
2.9.2.4) 3422 3 3 3.6.9.12 729,5 .1 .
3 2 2 5.8.11.14 1540B
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2.9.2.5) ( )1251 1 1.25,3 .1 .
5 5 (1 5)(2 5)B
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =
+ +
25(1 5)(2 5)
=+ +
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
47
2.9.3.- Teorema.- Segunda Forma Factorial de Beta (SFFβ).
Para cada número real positivo α ,
( ) ( )111 , .1 , 1, 2,kk kk
αβ α−
+ = = K
Demostración.-
2.9.3.1) ( ) ( )11 (1 )11 , (1 ) .1 kk αβ α α−− +−+ = + , (PFFβ)
( )11 11(1 ).1 k αα
−− ⊕−= ⊕
( ) ( )11 1(1 ) 1 .1 kk αα α
−− −= ⊕ + , (SIF)
( )11 .1 k
kα−
=
2.9.4.- Teorema.-
Para cada número real positivo α , la serie
( )1
1 ,k
kβ α∞
=
⊕∑
es divergente.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
48
Demostración.-
2.9.4.1) ( ) ( ) ( 11 (1 )1
1 1
1 , 1 .1 k
k k
k αβ α α−∞ ∞
− ⊕−
= =
⊕ = ⊕∑ ∑ ) , (PFFβ)
( )11 11
1
(1 ).1 k
k
αα−∞
− +−
=
= +∑
( )111
0
(1 ).1 k
k
αα−∞
+−
=
= +∑
Pero la serie ( 11
0
1 k
k
α−∞+
=∑ )
)
)
es divergente con arreglo a la Prop. 2.7.3 . Luego, la
serie
(1
1 ,k
kβ α∞
=
⊕∑ también diverge.
Nota: Obsérvese que la serie también diverge. (1
1,k
kβ∞
=∑
2.9.5.- Teorema.- (J. N.Urra)
Para cada número real positivo α ,
( ) 1
1
1 ,k
kβ α α∞
−
=
+ =∑
Demostración.-
2.9.5.1) ( ) ( ) ( 11 (1 )1
1 1
1 , 1 .1 k
k k
k αβ α α−∞ ∞
− +−
= =
+ = +∑ ∑ ) , (PFFβ)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
49
( )11 11
1
(1 ) 1 k
k
αα−∞
− ⊕−
=
= ⊕ ∑
( )111
0
(1 ) 1 k
k
αα−∞
⊕−
=
= ⊕ ∑
1(1 )(1 )1α α−= ⊕ + − , (2.8.2)
1α −= , (2.2.3)
2.9.6.- Teorema.- (Urra-Saavedra)
Para cada número real positivo α ,
( ) ( )1 , , , 1, 2,...k n
k n nβ α β α∞
=
+ = =∑
Demostración.-
2.9.6.1) ( ) ( ) ( 11 (1 )11 , 1 1 k
k n k n
k αβ α α )−∞ ∞− +−
= =
+ = +∑ ∑ , (PFFβ)
( )111
1
(1 ) 1 k
k n
αα−∞
⊕−
= −
= ⊕ ∑
( )111 1(1 ) (1 )1 n αα α
−−− −= ⊕ + , (2.2.8.3)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
50
( )1111 n αα−−−=
( ),nβ α= , (PFFβ)
2.9.7.- Proposición.- Para cada número real positivo α .
( ) ( ) ( )1 , , , 1 ,k m
k n
k n m m nβ α β α β α=
=
+ = − + ≥ ≥∑ 1
k
Demostración.-
2.9.7.1) ( ) ( ) ( )1
1 , 1 , 1 ,k m
k n k n k m
k kβ α β α β α= ∞ ∞
= = = +
+ = + − +∑ ∑ ∑
( , ) ( , 1)n mβ α β α= − +
0
1
, (Teor. 2.9.6)
Nota: Los Teoremas (2.9.4), (2.9.5) y (2.9.6)se refieren al comportamiento de la
“Serie de funciones Beta”
( )1
, ,k
x k xβ∞
=
>∑
En efecto, la serie diverge si 0 x< ≤ y converge solamente si . En tal
caso, el valor límite de la serie se determina mediante el Teorema de Urra-Saavedra.
1x >
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
51
Consideremos nuevamente la primera forma factorial de beta. Esto es,
2.9.8.- ( ) ( )11, 1 .1 , 0,1, 2,kk kαβ α α
−−+ = = K
Luego,
2.9.9.- ( ) ( )( ) ( )!, 1
1 2kk
kβ α
α α α α+ =
+ + +L , (2.1.6)
Si α es también un número entero, entonces,
2.9.10.- ( ) ( ) ( )( 1)!, ,
1 1k
k k k1,2,αβ α α
α−
= =+ + −
KL
Las fórmulas (2.9.9) y (2.9.10) permiten reconocer series que pueden
representarse por medio de funciones beta.
Ejemplos.
2.9.11.- Problemas.- Determinar el valor límite de la serie
3
1( 1)( 2)( 3)( 4)k k k k k k
∞
= + + + +∑
Solución.- Sea λ el valor límite de la serie 9.11.
luego,
2.9.11.1) 3
1 4!4! ( 1)( 2)( 3)( 4)k k k k k k
λ∞
=
=+ + + +∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
52
( )3
1 5,24 k
kβ∞
=
= ∑
Aplicando ahora el Teorema de Urra-Saavedra se tiene,
2.9.11.2) 1 (4,3)24
λ β=
1 2!.24 4.5.6
=
11440
=
Esto es,
2.9.11.3) 3
1 1( 1)( 2)( 3)( 4) 1440k k k k k k
∞
=
=+ + + +∑
2.9.12.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie,
1
0
51k
kk
−∞
=
+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑
Solución.-
2.9.12.1) ( )( )
1
0 0
5 1 !.4!1 5 !k k
k kk k
−∞ ∞
= =
+ +⎛ ⎞=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∑ ∑
( )( )( )( )0
3!42 3 4 5k k k k k
∞
=
=+ + + +∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
53
( )0
4 4,k
kβ∞
=
= +∑ 2
( )2
4 4,k
kβ∞
=
= ∑
( )4 3,2β=
13
=
Esto es,
2.9.12.2) 1
0
5 11 3k
kk
−∞
=
+⎛ ⎞=⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑
2.9.13.- Observación Importante
La contracción factorial 1,
1q k
α⎛ ⎞⎜⎝
⎟⎠ se extiende al caso 0α = , definiendo,
2.9.13.1) 1 1, ,0
01 lim 1
q k q kx
x +
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
→=
⎞⎟⎠
Es necesario percatarse de los siguientes aspectos relevantes de la definición
(2.9.13.1).
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
54
2.9.13.2) La definición (2.9.13.1) da sentido formal a la contracción factorial 1,01
q k⎛ ⎞⎜⎝
⎟⎠ pero no al cociente “ 1
0”.
2.9.13.3) En cada caso, 1,01 1 , 1, 2
q kk
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = = K,
Por otra parte,
2.9.13.4) “ La Definición (2.1.3) de contracción factorial puede aplicarse sin
modificaciones para números reales ”. 1q > −
Además son válidos para , todos los teoremas y proposiciones en los
cuales se aplica esta definición, siempre que no contemplen restricciones adicionales
para q.
1q > −
2.10.-Aplicaciones al Cálculo de Integrales Impropias
2.10.1.- Proposición.-
( ) ( )221 1 ,d x x x xdx
−⊕ = ⊕ > 0
Demostración.-
2.10.1.1) ( ) 11 ( (1 ) ) , (2.1.1)d dx x xdx dx
−⊕ = +
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
55
1 2(1 ) (1 )x x x− −= + − +
2(1 ) (1 )x x x−= + + −
(1 2)x −= + 2 2 1( (1 ) )x x x− −= +
2 2(1 )x x−= ⊕
Otra forma para la derivada de (1 )x⊕ es
( ) 21 (1 (1 )) , (2.2.8)d x xdx
⊕ = − ⊕ 2.10.2.-
2.10.3.- Proposición.-
1 2(1 ) (1 )p pd px px xdx
− −⊕ = ⊕
Demostración.-
2.10.3.1)
2 2(1 ) (1 ) .p p pd 1px x x pxdx
− −⊕ = ⊕ , (10.)
1 2(1 )p ppx x− −= ⊕
2.10.4.- Proposición.-
1 1(1 ) (1 )p q p p qd x pqx xdx
− − +⊕ = ⊕
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
56
Demostración.-
1 1(1 ) (1 ) (1 )p q p q p pd 2x q x px x2.10.4.1) dx
− − −⊕ = ⊕ ⊕ , (2.10.3)
q
1 1(1 )p ppqx x− − += ⊕
a la derivada de
(1 )p qx⊕ es: Otra forma par
2.10.5.- 1 1(1 ) ((1 ) (1 ) )p q p q p qd x pq x x xdx
− −⊕ = ⊕ − ⊕ , (2.2.9)
2.10.6.- Problema.- Determinar el valor límite de la integral impropia,
( ) 10
, 0, 1, 21 k
x dx kx
α
α α ,+ + > =+∫ K
Solución.-
∞
2.10.6.1) ( )
( ) ( )11 1
1k
k dx xx
αα
−+ + = ⊕ ⊕
+∫ ∫1
0 0
1x x dxα∞ ∞
+
( ) 1
0
1 (1 (1 ))kx x dα∞
+= ⊕ − ⊕∫ x
Haciendo el cambio de variable 1 x t⊕ = , se tiene
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
57
( )( )
11
10 0
11
kk
x dx t t dtx
αα
α
∞−
+ + = −+∫ ∫ 2.10.6.2)
( )1 ,kβ α= +
Aplicando la S.F.F.β. se tiene,
2.10.6.3) ( )
1
10 1 kx+
1 .1 , 0, 1,2,k
kx dx kα
αα α
⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + = > =∫ K
Puede comprobarse directamente, que con arreglo a la Definición (2.9.13.1);
la fórmula (2.10.6.3) es también válida para
0α = .
El siguiente teorema constituye un ación relevante de las contracciones
ctoria
2.10.7.- Teorema.- Para cada número real positivo
a aplic
fa les.-
y cada número entero p
positivo k,
( )(1 ) 1 k pp kx dx− = 1
∫
0
Demostración.- Haciendo el cambio de variable u x p= , se tiene,
( )11 1 1
2.10.7.1) 0 0
11 (1 )kp kpx dx u u du
−− = −∫ ∫
p
1 1( , 1)kβp p
= +
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
58
( )1 k p= , (PFFβ)
r (2.10.7) cepto
e contracción factorial.
.10.11.- Definición.- Para cada par de números reales positivos
La fórmula p oporcionada en el Teor. permite generalizar el con
d
se define 2 , pα
la Contracción Factorial Generalizada, por la relación,
( )1
0
1 (1 )p px dxα α
Para el , el cambio de variable
= −∫
caso 2p = x sent= induce la transformación
( )2
2 2 1
0
1 (cos )t d
π
α α+= ∫ 2.10.12.- t
La fórmula (2.10.12) puede ser usada en dos sentidos diferentes. Para calcular
iembro, o para calcular la contracción factorial del primer
iembro.
los s uientes ejemplos.
.10.12.1)
la integral del segundo m
m
Obsérvense ig
( )2
3 2 16π
7
0
cos 135
t dt = =∫ 2
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
59
( )2π
5 211
0
256s 1693
en t dt = =∫ 2.10.12.2)
1 222 21 cos t dt
0 4
π
π⎛ ⎞⎜ ⎟
2.10.12.3) ⎝ ⎠ = = =∫
.10.12 )
3 22212 .4 4
0
3cos16
t dt
π
π⎛ ⎞⎜ ⎟
= = =∫
La primera forma factorial para la función beta (PFFβ) se extiende también a
⎝ ⎠
contracciones factoriales generalizadas, tomando la forma siguiente:
1
1( ,1 ) 1 , 0, 0pp p2.10.13.- p
αβ α α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ = > ≥
En efecto,
dx
Haciendo el cam
1
1
0
( ,1 ) (1 )pp x x αβ α −+ = −∫ 2.10.13.1)
bio 1px t= se tiene,
2.10.13.2) 11
0
1( ,1 ) (1 )pp t dp
αβ α+ = −∫ x
11 .1 p
p
α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
60
El Teorema que sigue resume un e las propiedades más relevantes de las
contracciones factoriales generalizadas.
, e se obtiene
partir de su relación con la función gama.
2.10.14.- Proposición.-
a d
Previamente demostraremos una propiedad de la función beta qu
a
( ) ( ),1 1 ,x x y y x yβ β+ = +
Demostración.-
.10.14.1)
( ) ( ) (1 ),1( 1 )
x x yx x yx y
β Γ Γ ++ =
Γ + + 2
(1 ) ( )( 1 )
x y yx y
Γ + Γ=
Γ + +
(1 , )y x yβ= +
2.10.15.- Teorema.- Para cada par de números reales positivos , , pα
( ) ( )1 1pp αα− −
1 1=
ostración.- A partir de la PFFβ se tienen las siguientes relaciones:
Dem
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
61
( ) 11 p p 1( ,1 )pα β α−= + −2 .1.10.15 )
( )1 111 ( ,12.10.15.2) )
pp
αα β α
− −−= +
Aplicando la Prop. (2.10.14) se tiene,
2.10.15.3)
( ) ( )1 1pp αα− −
1 1=
Los siguientes ejemplos son aplicaciones del Teor. (2.10.15).
2.10.15.4)
11 32
3 2 61 1(1 2)(2 2)(3 2)
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =+ + +
2.10.15.5) 1 2 3 22 3 2 31 1
16π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = , (2.10.12.4)
1 113 23
0∫2.10.15.6) 1 1x dx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− =
( )2 3 9114
= =
11 5
5 33
0
(1 )x−∫ 1dx⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= 2.10.15.7)
1351
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
62
6=
(1 5)(2 5)(3 5)+ + +
Los siguientes problemas constituyen aplicaciones a la integración numérica.
.10.16.- Problema.- Calcular la integral definida.
2
4793
0
3(1 )2
I x dx= −∫
49
x t= Solución.- El cambio de variable induce la siguiente transformación.
.10.16.1) 1 7
3
0
4 (1 )9
I t dt= −∫ 2
7 13 24 .1
9
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
3274 .1
9⎜ ⎟⎝⎛ ⎞
⎠=
465
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
63
2.10.17.- Problema.- Calcular el valor límite la integral impropia.
4
200 3(1 )
xI dxx
∞
=+
∫
ción La integral puede escribirse en la forma,
.10.17 )
Solu .-
2 .183 (1
203
0
)I x x dx∞
= ⊕∫
,
−
Haciendo el cambio de variable 5(1 )u x= ⊕ se tiene
1 2
5 3
0
1 (1 )5
I u du= −∫ 2.10.17.2)
2 13 51 .1
⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎛ ⎞
5
3521 .1
5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
72913090
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
64
2.10.18.- P lema.- Probar que,
rob
1 1 , 0px dx p
∞ −
10 (1 ) px p+ = >
+∫
Solución.-
1
2 11
0 0
(1 )(1 )
pp
p
x dx x x dxx
∞ ∞−− +
+ = ⊕+∫ ∫ 2.10.18.1)
2 1
0
lim (1 )t
p
tx x d− +
→∞= ⊕∫ x
1lim (1 )0
p
t
tx
p→∞
⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟
⎝ ⎠ , (Prop. 2.10.)
1lim (1 )t
tp→∞
⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟
⎝ ⎠
1p
= , (2.2.7)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
65
2.10.19.- Teorema.- Forma Factorial Generalizada para la función Beta
Para cada par de números reales positivos
(FFGβ)
,x y ,
( ) ( ) ( )11 1, 1 y xx y x yβ
−− −= +
Demostración.- Consideremos la conocida relación,
.10.19.1)
( ) ( ) ( ), , 1 1,x y x y xβ β β= + + + 2 y
luego,
( ) ( )1 11 1( , ) .1 .1y x x yx y x yβ
− −
2.10.19.2) − −= +
, (PFFβ)
( ) ( )1 11 1.1 .1y x y xx y
− −− −= + , (Teor. 2.10.13)
( )11 1( ).1 y xx y
−− −= +
Ejemplos.-
1 222.10.19.3) 1 1( , ) (2 2β = + ).1
2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , (2.10.12.3)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
66
4.4π
=
π=
3 221 3 2( , ) (2 ).1
2 2 3β
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= + 2.10.19.4)
8 3.3 16
π= , (2.10.12.4)
2π
=
143( 3,4) ( ).1
43β ⎝ ⎠= + 2.10.19.5) 1 1 ⎛ ⎞
⎜ ⎟
4 3 24.4 3 (1 3)(2 3)(3 3)(4 3)+
=+ + + +
243(1 3)(2 3)(3 3)
=+ + +
Observación.- El Teorema (2.10.19) puede escribirse en la siguiente forma.-
.10.20.- ( )1x⎛ ⎞
⎜ ⎟2 1 ( ) , , , 0y x y x y x yβ⎝ ⎠ = ⊕ >
plícita la importante propiedad.
en la fórmula (2.10.20) yace im
1 1
1 1x y
y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 2.10.20.1)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
67
2.10.21.- Proposición.- Para cada par de números reales , pα tales que 0, 1pα > > ,
11 1
0 1 )x1 1
(
p
p
x dxα
αα α
⎛ ⎞∞ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
+ =
2.10.21.1)
+∫
Demostración.-
11 1 1
0 0
(1 ) (1 )(1 )
pp
x dx x x dxx
αα
α
∞ ∞−− − +
+ = ⊕ ⊕+∫ ∫
1 1
0
(1 ) (1 (1 )) px x dα∞
− += ⊕ − ⊕∫ x
Haciendo el cambio de variable
1t x= ⊕ se tiene,
2.10.21.2) 11
1 1
0 0
pxα α∞ −
− −∫ ∫ (1 )(1 ) p dx t t dt
x α+ = −+
( ), pβ α=
( ), ( 1) 1 , ( 1 )p pβ α= − + >
111 1
pα
α
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= , (PFFβ)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
68
2.10.22.- Proposición.- Para cada par de números reales positivos , , pα
1
10 )x α+∫
1 .1(1
pp
x dxp
α α⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + =
Demostración.-
2.10.22.1)
1 11
0 0
(1 ) (1 )(1 )
pp
x dx x x dxx
αα
α
∞ ∞− +
+ + = ⊕ ⊕+∫ ∫
1
0
(1 ) (1 (1 )) px x dα∞
+= ⊕ − ⊕∫ x
Mediante el cambio de variable
1t x= ⊕ se tiene,
1
11
0 0
(1 )(1 )
pp
x dx t t dtx
αα
α
∞−
+ + = −+∫ ∫ 2.10.22.2)
(1 , )pβ α= +
1
1 α⎛ ⎞⎜ ⎟
.1 p
p⎝ ⎠= , (PFFβ)
ota: L 10.22) es también válida si
0α =N a Prop. (2. .
2.10.23.- Teorema.- Para cada número real
, 1p >
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
69
11
pp pdx p
⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟
0
.11 1px p
−⎝ ⎠=+ −∫
Demostración.- El cambio de variable pt x= induce la siguiente
trasformación:
1 11 1
20 0 0
1 1 (11 1 (1 )
p p
p
)t t tdt dtx p t p t
− −∞ ∞ +
=+ + +∫ dx∞
=∫ ∫2.10.23.1)
1 2 1 1 1 1
1 11
0 0
1 1
(1 ) (1 )p p
p p p p
p pt tdt dtp p
t t− −
+ +
−∞ ∞
= ++ +
∫ ∫ +
Aplicando a las integrales impropias del segundo miembro, respectivamente,
s pro sicion s (2.1 ) y (10.22) se tiene,
.10.23.2)
la po e 0.21
1 1 1p p⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0
11 11 1
pp p p
p
dxx p
− −∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +
+ −∫
2
1 1
1 111 11
p pp p p p
p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +
−
1
111
pp pp
p
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠=
−
Ejemplo.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
70
1 22
22 .3) .10.230 1
2.1 2.4 2
dxx
π π⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =
Teorema.- Para cada par de números reales positivos tales que
+∫
2.10.24.- ,p r
1p r> + ,
1
( 1)
0
.11 ( 1)( ( 1))
r prp p r
p
x pdxx r p r
⎛ ⎞+∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠=+ + − +∫
Demostración.- Basta hacer el cambio de variable
1rt x += y aplicar el Teor.
bién si .
)
(2.10.23).
Nota: El Teor. (2.10.24) es aplicable tam 1r > −
Ejemplo.
1 22
30
4dx .11 3 3
xx
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
+
∞
=∫2.10.24.1
2.10.25.- Teorema.- Para cada par de números reales ,p q , tales que
10, pp qp+
> ≥ ,
1
0
1(1 )
pq pp
p q
dxx
⎛ ⎞+∞ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=
+∫
Demostración.- Es suficiente con hacer el cambio de variable y aplicar
la Prop.(2.10.21).
pt x=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
71
Ejemplos.
33 22
30
1(1 )px
⎝ ⎠=+∫ 2.10.25.1) dx ⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟
3 221
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
316π
= , (2.10.12.4)
2.10.25.2) 1 17 33 7
1130
11 1120(1 )
dxx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =
+∫
210.26.- Teorema.- Si son números reales positivos tales que, , ,p q r
1r pqp
+ +≥ , entonces,
1
1
0
1 .1(1 ) 1
r p pr qp r
p q
x dxx r
⎛ ⎞+ +∞ −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠=+ +∫
Demostración.- Basta con hacer el cambio de variable y aplicar el
.10.2 ).
ota: El Teor. (2.10.26) es todavía válido si
Ejemplos.-
1rt x +=
Teorema (2 5
1r > − . N
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
72
2.10.26.1) 1 222 3
2 30
1 .1(1 ) 3
x dxx
⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠=
+∫
3 21 ⎛ ⎞
⎜ ⎟ 2.1
3⎝ ⎠=
π 16
=
13 482.10.26.2)
130
.14(1 )
dxx
=+∫
1x ⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠
11980
=
15 03
2 40 ) 6∫2.10.26.3) 1 .1
(1x dxx
⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠=
+
16
=
Las fórmulas proporcionadas en los teoremas (2.10.23), (2.10.24), (2.10.25) y
(2.10.26) están incluidas en la fórmula única:
(2.10.27).-
0
1 1,(1 )
r
p q
x rdx q 1rx p p p
β∞ ⎛ ⎞+ +
= −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
73
nvergencia de la integral impropia satisface las siguientes
laciones:
donde la condición de co
10, 1, rp r qrep+
> > − > .
La demostración de la fórmula (2.10.27) se reduce en cada caso, a la
aplicación de la primera forma factorial para la función beta.
Para el caso particular
0 , 1r q= = , la condición de convergencia es:
10,1pp
> >
Por lo tanto, debe ser 1p > . En tal caso, con arreglo a la fórmula (2.10.27) se
ene,
.10.27 )
ti
2 .1 dx 1 1 1,10 1 px p p p+ ⎝ ⎠
β∞ ⎛ ⎞
= −
El valor de
⎜ ⎟∫
1 1,1p p
β⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠
se determina mediante el teorema de los
omplementos obteniéndose, c
1 1,1 .cscp p p
πβ π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟⎝ ⎠
luego,
2.10.27.2) 0
.csc ,p
dx pπ π∞
= >∫ 11 x p p+
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
74
Por ejemplo,
2.10.27.3)
30
2 3.csc1 3 3 9
dxx
π π π∞
= =+∫
L u probos sig ientes lemas muestran el poder de resolución de la función beta y
de las contracciones factoriales, como operadores de cálculo numérico.
bar la igualdad
2.10.28.- Problema.- Pro
2 4
2 4 2 4)dx
x
0 0(1 ) (1x xdxx
∞ ∞
=+ +∫ ∫
a presenta un pequeño desafío a la
tuición.
.10.28.1)
Solución.- Obsérvese que este problem
in
2
2 40
1 3 3, 4(1 ) 2 2 2
x dxx
β∞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫ , (2.10.27)
2
1 3 5,2 2 2β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 54 ,2 2β ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
52
4
2 40 (1 )
x dxx
∞
=+∫ , (2.10.27)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
75
2.10.29.- Problema.- Probar que para cada par de números reales positivos
,p q , tales que 1pqp+
> ,
( )0 0
1(1 ) 1 1 (1 )
p
p q p q
x ddxx p q x
x∞
=+ − − +
Solución.-
.10.29.1)
∞
∫ ∫
20 (1
1 1 1,)
p
p q
x p pdx qx p p p
β∞ ⎛ ⎞+ +
= −⎜ ⎟+ ⎝∫ , (2.10.27)
⎠
1
11 . .1p
p pq pp⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
( 1) 1p p q− −⎝ ⎠=
− −, (PFFβ)
1 11
= .1( 1) 1
q pp
p q
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
− −
1 1 1. . ,p q( 1) 1p q p p p− − ⎝ ⎠
β⎛ ⎞
= −⎜ ⎟ , (PFFβ)
0( 1) 1 (1 )p qp q x− − +
1 dx∞
= ∫ , (2.10.27)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
76
2.11.- Cuarta Identidad Factorial (CIF)
2.11.1.- Teorema.- (CIF). Para cada par de números reales positivos
, pα ; y cada
ntero positivo ,k e
( ) ( ) ( ),1 1 .1k p p k pα α α+ =
Demostración.- (Inducción Completa).
2.11.1.1)
1k = .
( )1
1 1
0
1 (1 )p px dxα α+ += −∫ , (2.10.11)
1 1
0 0
(1 ) (1 )p p px dx x x dxα α= − − −∫ ∫
( )11
0
11 (1pt= − ∫ ) , ( )p pt dt t xp
α α− =
( ) 1 11 1p , 1α β α⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟
p p⎝ ⎠
( )
( )
1 111p pα α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
1 .11p α
+⎝ ⎠= −+
, (PFFβ)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
77
( )
( )( 111 .
1p p
pα α
α+= −
+ )1 , (2.10.15)
.11.1.
luego,
( ) ( )11⎛⎜2 2) 1 .1 1
(p pα α
α+⎞
+ =⎟
De donde,
.11.1.3)
1) p+⎝ ⎠
( ) ( )11 1 (1 ( 1)p p )pα α α+ = ⊕ + 2
( ) ( ),11 .1p pα α=
1k = Mostrando que el eorem t a es válido para .
.11.1. entero
≥
.11.1.5) Sea
2 4) Hipótesis de Inducción.- Sea válido el Teorema para algún
k 1.
2 1k k= + .
( ) ( )11 1k p k pα α+ + +=
( ) ( )1 1,1 .1p kα α+ += p , (2.11.1.4)
( ) ( ) ( ),1 1,1 pα= .1 .1p k pα α+ , (2.11.1.3)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
78
( ) ( ), 11 .1p k pα += α , (Prop. 2.6.6)
( ) ( ),1= .1 k pp αα
La Cuarta Identidad Factorial tiene importancia teórica y además, tiene
incidencia significativa en las aplicaciones del cálculo numérico contractivo.
Obsérvense en detalle los siguientes ejemplos:
2.11.2.-
72 228
0
cos 1t dt
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=∫ , (2.10.12)
1 3 221
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠=
1 12 ,3 22 21 .1
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ , (CIF) =
( )( )( )1 3 1 5 1 74π
= ⊕ ⊕ ⊕
35256π
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
79
1 22 5
0 0
5 3 2, .12 2 5
k
k k
kβ⎛ ⎞∞ ∞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑2.11.3.- , (PFFβ)
1 2 1 2,2 5 2 5
0
2 1 .15
k
k
⎛ ⎞ ⎛∞ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
=
= ∑⎞⎟⎠ , (CIF)
1 2⎛ ⎞
1 2, 1
2 5 2 3
0
21 15
k
k
⎛ ⎞∞ ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
= ∑
2 5 1 2. . 1 15 32 2 3
π ⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎠
⎝
8π
=
.11.4.- Teorema.- Fórmula de Reducción Factorial de Beta. (FRFβ).
Para cada par de números reales positivos
2
,x y ,
( ) ( ) ( )11,, , .1 y k xx y k x yβ β −+ = , 0,1,k = K
Demostración.-
.11.4.1)
−
( ) ( )111, .1 y k xx y k xβ−+ −−+ = . 2 , (PFFβ)
( ) ( )1 11 1,1.1 .1y x y k xx− −− −−= , (CIF)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
80
( ) ( )11,, .1 y k xx yβ−−
=
jemp s.-
.11.4.
E lo
1 5 1 1,2 2
⎞ ⎛ ⎞, 22 2
β β⎛ = +⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2) ⎜⎝ ⎠
1 , 21 1 ⎛−⎜⎛ ⎞ 22, .1
2 2β
⎞⎟
⎝ ⎠= ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )1 1 1 3π= ⊕ ⊕ , (2.10.19.3)
1 3. .2 4
π=
38π
=
7 5 1 5, 32
β ⎛ ⎞ = +⎜⎝
2.11.4.3) ,2 2 2
β ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠
1 2, 32 51 5, .1
2 2β
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )3 1 31 1 18 5 5π ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
1 , (2.14.4.2)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
81
3 1 3 1. . . 8 6 8 2π
=
3256π
=
.11.4.4)
1 19 1 3, ,4 4 4 4
β β⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
2 4⎞⎟⎠
1 , 4 441 3, .1
4 4β
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )( )( )( )1 3 1 7 1 11 1 154 41 3,β ⎛ ⎞ = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
⎝ ⎠
⎜ ⎟
1 3 3 7 11 15, . . . .4 4 4 8 12 16
β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1155 1 3,2048 4 4
β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Aplicando ahora el Teorema de los complementos se tiene,
1 19 1155, .4 4 2048 4
cscπβ π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
1155 22048π
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
82
2.11.5.- Teorema.- (Urra-Saavedra). Para cada par de números reales
, positivos , pα
Demostración.-
.11.5.1)
( ) ( )1 , , , 0,1,k n
p k p n nβ α β α∞
=
+ + = + =∑ K
( ) ( ) ( )11, (1 )1 , 1 , .1 p k2k n= k n
p k p αβ α β α−∞ ∞
− +
=
+ + = +∑ ∑ , (FRFβ)
( ) ( )11, 11 , 1 p k
k n
p αβ α−∞
− ⊕
=
= + ∑
( )( ) ( )11, 111 , 1 .1 p np p αβ α α−− ⊕−= + + , (Teor. 2.7.7)
( ) ( ) ( ) ( )1 11,1 1,1, 1 1 .1p pp pα αβ α α− −− −−= +
n , (FRFβ)
( )( )( ) ( )11,1 1, 1 1 .1 p np p p αβ α α α−−− −= ⊕ +
( ) ( )11,, .1 p np αβ α−−
= , (2.2.4)
( ), p nβ α= + , (FRF β)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
83
Ejemplos.-
32 2
1 13 7 11(3 4 )(7 4 )(11 4 ) 44 4 4
k kk k k k k
∞ ∞
= =
=+ + + ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝
2.11.5.2) k ⎞⎟⎠
∑
∑
2 3 32!.64 k k= ⎛ ⎞⎛1 2!
31 24 4 4
k k
∞
=⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ + +⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
2
1 3∞ ⎛3,128 4k
kβ=
⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
1 32, 2 128 4
β ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
, (Teor. 2.11.5)
1 12,128 4
β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1
11320
=
.11.5.
( ) ( )4, 2=∑ ∑5 3
4, 2 2k k
k kβ β∞ ∞
= =
− + − 2 3)
( )3,5 2β= − , (Teor. 2.11.5)
( )( )( )
27 2
=−
5 2 6 2− −
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
84
2.11.5.4) ), 1( ) (1 1 1
, 1k n k
k p n k pβ α β α∞ ∞ ∞
= = =
+ + = + − +∑∑ ∑
( ), pβ α , , 0pα= >
tidad Serial de Beta”.
2.12.- Funciones Tau-Beta (
Nota: La fórmula (2.11.5.4) es la “Iden
zτ )
Definición.- Para cada número real positivo ,
2.12.1.- z
( )( ) ( ),
, 0x y
x yβ
, ,,z x y
z yτ
β= >
Ejemplos de evaluación de funciones tau-beta.
( ) ( )( )
( )( )
( )2
23, 2 2 2 1 2 1
3, 2 12, 22 2 1
βτ
β
+ += =
+
2.12.1.1)
22 2
=+
( ) ( )( )
1,1
,1 1,1z
x zxxz
z
βτ
β= =
x=2.12.1.2)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
85
2.12.1.3) Si es un número entero positivo, entonces, k
(
( ) ( )( )
)( )( ) ( )
1 !k −
( )( )( ) ( )
, 1 2 1,
1 2 1
x k x x x x kx k
z z z z k
βτ
1 !,z kz kβ+ + + −
= =−
+ + + −
K
K
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 2 11 2
z z z z kx x x x k 1
+ + + −=
+ + + −K
K
.12.1.4) ( )2( )( )( )5
35.6.7.83, 4
3 1 3 2 3 3τ =
+ + +
( )( )( )
16803 3 1 3 2 3 3
=+ + +
2.12.1.5) ( ), 1z z yτ =
3
1 1,β2.12.1.6) 1 1 152 2, 1612 2 163,
152
π π
β
⎞ ⎝ ⎠= = =⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
Las proposiciones siguientes se refieren a propiedades de la función tau-beta.
Proposición.-
τ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛
⎜
2.12.2.-
( ) ( ), . , 1z xx y z yτ τ =
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
86
Demostración.-
2.12.2.1) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
, ,, . , . 1
x y z yx y z y
β βτ τ
, ,z x z y x yβ β= =
2.12.3.- Proposición.- Primera Identidad Tau-Beta. (PITβ)
( ) ( ), ,z zz x y z y xτ τ+ = +
Demostración.- Ambos miembros de esta igualdad tienen el valor común,
.12.3.1)
( ) ( )( ) ( )x z y zz x y z
Γ + Γ +Γ Γ + +
2
.12.4.- Proposición.- Segunda Identidad Tau-Beta. (SITβ)
2
( ) ( ), ,z x z yz y zτ τ+ += x
Demostración.-
.12.4.1)
( ) ( )1,
,z xz
z yz x y
ττ+ =
+ , (Prop. 2.12.2)
2
( )
1,z z y xτ +
= , (PITβ)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
87
( ),z y z xτ + , (Prop. 2.12.2) =
Las identidades Tau-Beta tienen incidencia significativa en operaciones
Obsérvense los ejemplos siguientes:
numéricas.
2.12.4.2) ( ) ( )32 3235,27 32 3,27τ τ= +
( ) 32 32 27,3τ= + , (PITβ)
( )32 59,3τ=
32.33.3459.60.61
= , (2.12.1.3)
299217995
=
2.12.4.3)
( ) ( )27 25 225,49 25,49τ τ +=
( )25 49 25,2τ +=
( )74 25, 2τ=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
88
74.75=
25.26
11113
=
2.12.5.- Teorema de Factorización.- (TF)
( ) ( ) ( ), , . , , , ,a a a yx y z x y x y z a x y zτ τ τ ++ = + > , 0
Demostración.-
.12.5.1)
( ) ( )( )
,,2
,a
x y zx y z
βτ
a y zβ+
+ =+
( ) ( )( ) ( )
, ,y
, ,y
x y y z xβ τ +=
a y y z aβ τ + , (2.12.1)
( ) ( )( )
,,a
y ,y x y z
y zτ +
, (PITβ)
x ya
ττ
=+
( ) ( )( )
,,
,a
x y zx y
a y zβ
τβ
+=
+ , (2.12.1)
( ) ( ), . ,a a yx y x yτ τ += + z , (2.12.1)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
89
El Teorema de Factorización tiene gran importancia teórica; y también en el
álculoc numérico.
2.12.6.-Corolario
( ) ( ), 1 ,a aa yx y x yτ τx y+
+ =
Demostración.-
2.12.6-1)
+
( ) ( ) ( ), 1 , ,1a a a yx y x y x yτ τ τ ++ = + , (TF)
( ),aa y x yx y
τ+ =+
El Teorema de factorización es también aplicable a la función beta, en la
.12.7.-
siguiente forma.-
( ) ( ) ( ), , y ,x y z x y x y zβ β τ+ = + 2
La fórmula (2.12.7) es compatible con la siguiente definición.
Definición:
( ) ( ), , ,y x2.12.8.- 0 , 0x y x yτ β= >
efi función beta en la fam de las funciones
Obsérvese que la Prop. (2.12.2) no es aplicable a la función
La D nición (2.12.8) incluye a la ilia
Tau-Beta.
( )0 ,x yτ .
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
90
2.12.9.- Definición.- Para cada par de números reales ,x z tales que
,
0, 0x z≥ >
( ),0 1z z xτ + =
ón e compatible con la primera identidad Tau-Beta. En efecto,
2.12.9.1)
Esta definici s
( ) ( ),0 0,z zz x zτ τ+ = + x
( ),z z xτ=
1=
2.12.10.- Teorema de Simplificación.-
( ) ( ) ( ), . , , , , , 0a xz y z a x y zτ τ ,ax y zτ= >
Demostración.-
( ) ( ) ( )( )
( )( )
, ,, . , .
, ,a x
x z yx z y z
a z x zβ β
τ τβ β
= 2.12.10.1)z
( )( )
,,
y za z
ββ
=
( ),a y zτ=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
91
0a = El Teorema de simplificación es aplicable también si . En efecto,
2.12.10.2) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 , . , , .
,xx y y z x z,y z
x zτ τ β
β=
β
( ),y zβ=
( )0 ,y zτ=
ema.- Forma Tau-Beta de las Contracciones Factoriales.-
2.12.11.- Teor
( ),1
11 1 , , 1, 0,q kq q k q kα τ α
α+⎛ ⎞= + + > − > =⎜ ⎟⎝ ⎠
K 0,1,
Demostración.- Consideremos la fórmula de reducción factorial de beta.-
.12.11.1)
( ),1 1,1 ,1 .1 q kq k q αβ βα α⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟2⎝ ⎠ ⎝ ⎠
De donde,
( ),11
q k α
11 ,
1 ,
q k
q
βα
βα
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎝ ⎠=⎛ ⎞
2.12.11.2)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
92
111 ,q kτ q α+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Si , entonces el teorema (2.12.11) queda,
⎛ ⎞= + +
0q =
( )1
11 1 ,k kα τα
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
2.12.11.3)
.12.12.- Teorema.- La Serie de Funciones tau-beta
onverge si y diverge si
2
( ), , 0, 0, 1, 2,...zk n
x k x z nτ∞
=
> ≥ =∑
1x z> + 1x z≤ +c .
emostración.- Si 0z = D , el teorem a la s de funciones beta.
Para , distinguiremos dos casos:
.12.12.1)
a se refiere erie
0z >
2 . En este caso se tiene, x z≤
( ) ( )( )
,, 1 , 1, 2,...
,z
x kx k k
z kβ
τβ
= ≥ =
ostrando que la serie (2.12.12) diverge. m
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
93
2.12.12.2) ,
x z>
( ) ( )( )
,,
,zk n k n
x kx k
z kβ
τβ
∞ ∞
=∑ ∑
= =
( )( )
,,k n
x z k zx z z
ββ
∞
=
− +=
−∑
La últim escra serie ita en (2.12.12.2) es una serie de funciones beta. Por lo
nto, converge si y diverge si 1x z− > 1x z− ≤ta .
.12.13.- Teorema.- Para cada par de números reales positivos
2 ,x z ,
Demostración.-
.12.13.1)
( ) ( ) ( )11 , , , , 1, 2,...z x zk n
x z k x z x z n nτ τ τ∞
+=
+ + = + =∑
( ) ( )( )
1 ,1 ,
,zk n k n
x z kx z k
z kβ
τβ
∞ ∞
= =
+ ++ + =∑ ∑2
( )( )
1 ,1 ,k n
x k zx zβ=
β∞ + ++
=∑
( )( )
,1 ,x n z
x zββ
+ =
+ , (Teor. 2.11.5)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
94
( ) ( )( ) ( )
, ,1 , ,x z x n z
x z x zβ ββ β
+ =
+
( ) ( ), ,x zx z z n xτ + 1τ +=
( ) ( )1 , ,x zx z z x nτ τ+= +
a.- Para cada trío de números reales positivos
2.12.14.- Teorem , ,x y z ,
,...
.12.14.1)
( ) ( ) ( )11 , , , , 1, 2z x zk n
x z y k x z x z y n nτ τ τ∞
+=
+ + + = + + =∑
Demostración.-
( ) ( )( )
1 ,1 ,
,zk n k n
x z y kx z y k
z y kβ
τβ
∞ ∞
= =
+ + +2 + + + =
+∑ ∑
( )( )
1 ,1 ,k n
x y k zx z
ββ
∞
=
+ + +=
+∑
( )( ),1 ,
x y n zx z
ββ
+ +=
+ , (Teor. 2.11.5)
( ) ( )( ) ( ), ,1 , ,
x z x y n zx z x z
β ββ β
+ +=
+
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
95
( ) ( )1 , ,x zx z z x yτ τ+ n= + +
Consideremos nuevamente el Teor. (2.12.13). Esto es,
.12.15.-
+=
+ + = + > =∑
2
( ) ( ) (∞
)11 , , , , , 0, 1, 2,...z x zk n
x z k x z x z n x z nτ τ τ
Aplicando la segunda identidad Tau-Beta se tiene,
2.12.15.1) ( ) ( ) ( )1 , ,1 ,z x z zk n
x z k x x z nτ τ τ∞
+=
+ + = +∑
( ),zx z x z n
xτ+
=
a (2. 2.15.1) permite obtener la siguien a simplificada para el
Teor. (2.12.13),
.12.15.2)
+
La fórmul 1 te form
( ) ( )1, 11a a ,bb k b nτ τ
∞ −= −∑
1, 1, 2,...+ =
2k n b a= − −
donde, , ,a b b a n> >0
2.12.15.3) ( ) ( )1, 1,bb p k b p nτ τ∞ −
1a ak n b a=
+ = − +∑ − −
bajo las hipótesis, , 0, 1, 0, 1, 2,...a b b a p n> > + ≥ =
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
96
Obsérvense los siguientes ejemplos:
2.12.15.4) ( ) ( )56τ∑ 5
2
8 8 5. 109, 8, 2 .3 3 8.9 9k
k τ∞
=
= = =
( ) ( )3 31
6 2.3.4.5 57, 2 6,32.12.15.5) 3k 6.7.8 14
kτ τ∞
=
= =
y (2.12.14); así como
us formas simplificadas (2.12.15.2) y (2.12.15.3), son una consecuencia de las
ed
a fór ) es aplicable también cuando
+ =∑
Las fórmulas proporcionadas en los teoremas (2.12.13)
s
fórmulas de Urra-Saav ra.
0n =Nota: L mula (2.12.15.2 . En tal caso se
ene,
2.12.15.6)
ti
( ) ( )0
1, 11a a
k
bb k bb a
τ τ∞
=
−= −
− −∑ ,0
11
bb a
−=
− − , (2.12.9.1)
os sig ientes mas constituyen aplicaciones de la serie de funciones
Tau-Beta.
.12.16 roble a.- D mite de la serie,
L u proble
2 .- P m eterminar el valor lí
( )( ) ( )( )( ) ( )1
3 3 1 3 2 3
1 2k
k
kπ π π π
∞
=
+ + +
+ + +∑K
K
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
97
Solución.- Sea λ el valor límite de la serie,
2.12.16.1) ( )31
, 1k
kλ τ π∞
=
= +∑
( )3
1 1,23 1
π τ π π
−= −
− − , (2.12.15.3)
( )( )3 3 11 .
13 1π
π ππ
+−=
−− −
( )( )3 3 1
3 1π π −
+=
−
luego,
( )( ) ( )2.12.16.2)
( )( ) ( )( )
( )1 1 2 3 1k kπ π π π π π=
=+ + +
3 3 1 3 2 3 3 3 1k∞ + + + +
− −∑
K
K
2.12.17.- ie, Problema.- Determinar el valor límite de la ser
( )2
!4 !k
kk
∞
= +∑
Solución.-
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
98
( )( )( )2 2
1.2.3. . 1 1! 14 ! 4! 5.6.7. . 5 1k k
kk∞
2.12.17.1) k k
∞
= =
+ −=
+ + −L
L
∑ ∑
( )12
1 5,4! k
kτ∞
=
= ∑
( )11 5 1. 44! 5 1 1
τ , 2−=
− −
1 1.2.18 4.5
=
1180
=
2.12.18.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie,
11
1.3.5. .(1 2 )2 .3.4.5. .(3 )k
k
kk
∞
+=
++∑ L
L
Solución.- Sea λ el valor límite de la serie,
( ) ( )11 1 2
1 3 5 1. . . .2 2 2 2 3, 1
3.4.5. . 3k k
kk
kλ τ
∞ ∞
= =
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= =+∑ ∑
L
L 2.12.18.1) +
( )12
2 2, 213 12
τ=− −
, (2.12.15.3)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
99
1 3.4 2 2.3 2.3
=
16
=
luego,
2.12.18.2) 11
1.3.5 .(1∞ +. 2 ) 12 .3.4.5. .(3 ) 6k
k
kk+
=
=+L
2.13.- Serie de Contracciones.
.13.1.- Definición.- Por “Serie de Contracciones” se entenderá la serie,
∑ L
2
( ) ( )1 ,
0
1 .1q k q k pp
kα
∞ + +
=
⊕∑
( ) ( ), 0,pα ≠ . donde , ,p qα so nún meros reales no negativos, tales que 0
La serie de contracciones es también referida como: “Serie Geométrico-
n
Nota:
Factorial”.
2.13.2.- Proposició .-
( ) ( ) ( )1 ,
0
1 .1 1q k qq k pp p
kα α pα
+ +
=
⊕ ≤ ⊕∑ ∞
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
100
Demostración.- Po r comparación de series se tiene,
2.13.2-1) ( ) ( ) ( )1 1,
0 0
1 .1 1q k q kq k pp p
k kα α
∞ ∞+ + + +
= =
≤ ⊕
1 1q kp pα α
∞+= ⊕ ⊕∑
⊕∑ ∑
( ) ( )1
0k=
( ) ( )11 . 1
qp pα α+
= ⊕ +
( )1qp pα α= ⊕
De la Prop. (2.13.2) se deduce que la serie de contracciones es convergente.-
Para cada par de números reales no negativos , la serie de contracciones define
una función continua y derivable
,p q
,
:p q+ → , definida de la manera siguiente:
.13.3.- ( ) ( )1 ,,
0
( ) 1 .1q k q k pp
p qk
x x∞ + +
=
= ⊕∑
unción
2
,p q La f es referida como “Función Geométrico-Factorial”.
e escribe
p en lugar de ,0p Si 0q = , s . En tal caso se tiene,
2.13.3.1)
( ) ( )1
0
( ) 1 .1k k pp
pk
x x∞ +
=
= ⊕∑
.13.4.- Proposición.- Para cada par de números reales no negativos 2 ,p q ,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
101
( )1 , ( ) 1 1p q x q p⊕ ≤ + +
Demostración.- Por comparación de series se tiene,
( ), 11 ,
0
( ) 1 q k pp q
k
x∞
⊕⊕
=
≤∑ 2.13.4.1)
( )1 1q p= + +
siciones (2.13.2) y (2.13.4) se concluye que,
De la propo
1 11 , ( ) (1 ) ,1 ( 1)p p q
p q x mín x x q p⊕ ⊕⊕ ≤ ⊕ + + 2.13.5.-
.13.6.- Proposición.- 2
limx→∞ 1 , ( ) 1 ( 1) , 0p q x q p p⊕ = + + >
Demostración.-
.13.6-1)
limx→∞
( ) (1 , 111 ,
0
( ) lim 1 .1q k q k pp
p q x kx x
∞ + + ⊕⊕⊕ →∞
=
= ⊕∑ )2
( ), 1
0
1 q k p
k
∞⊕
=
= ∑
1 ( 1)q p= + +
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
102
.13.7.- Proposición.-
x→
2
, ( ) 0 , 0p q x p= > 0
lim
Demostración.- Esta proposición es una consecuencia directa de la Prop.
.13.2).
x
(2
2.13.8.- Proposición.-
, ( ) 0 , , 0p q x q p= > 2.13.8.1) lim px−
0→
2.13.8.2) lim p
xx−
→∞ , ( ) 1 , , 0p q x q p≤ >
Demostración.- Con arreglo a la Prop. (2.13.2) se tiene,
.13.8.3)
( ), ( ) 1qp p
p q x x x≤ ⊕ 2
luego,
px− ( ), ( ) 1qp
p q x x≤ ⊕ 2.13.8.4)
De (2.13.8.4) se deduce la igualdad (2.13.8.1) y también la desigualdad
2.13.9.- Ejemplos de Series de Contracciones:
(2.13.8.2).
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
103
( ) ( )1 1 1, 11,12.13.9.1)
0k=(1) 1 1 .1k k
∞+ += ⊕∑
( )220
1 . 2 ,12k
k
kτ∞
+=
= +∑
( )22
1 . ,12k
kkτ
∞
=
= ∑
2
1 2.2k
k k
∞
=
=∑
2
12.2k
k k
∞
=
= ∑
Esto es,
1,1(1) 2=2
1.2k
k k
∞
=∑
.13.9.2)
2 1 12,
31,2 0
23 k=
1 11 .18 2
k k+ + ⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
( )330
1 . 3 ,33k
k
kτ∞
+=
= +∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
104
( )33
1 . ,33k
kkτ
∞
=
= ∑
( )( )3
1 3.4.5.3 1k
k k k k
∞
=
=2+ +∑
( )( )3
160∞
= ∑ 1 2 .3k
k k k k= + +
luego,
1,23 8⎝ ⎠ ( )(
1⎛ ⎞⎜ ⎟ )3 1k k k k= + +
1602 .3k
∞
= ∑
1 11 , 23 3
12, 03
1 11 .15 25
k k
k
⎛ ⎞+ +∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ 2.13.9.3)
440 33
1 4. ,3 226
kkkτ
∞
+=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ 1
430 3
. ,26 626 26 k
kkτ
=
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ 1 1 11∞ ⎛ ⎞
3
1
4 7 10 4. . . . 1k⎛ ⎞⎛ ⎞1 1 3 3 3 31 .
11 17 23 112626 26 . . . . 16 6 6 6
kk k
∞
=
+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟+⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑L
L
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
105
3
1
4 7 10 1. . . .1 1 3 3 3 31 .
11 17 23 52626 26 . . . .6 6 6 6
kk
k
k
∞
=
⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ = +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑L
L
( )( )3
1 13 11.17.23. . 5 626 26 k k= +⎝ ⎠L
4.7.10. . 1 31 11 .k
k∞⎛ ⎞+= +⎜ ⎟⎜ ⎟∑
L
Esto es,
( )( )1 32,
1 1 115 13k
∞⎛ ⎞⎛ ⎞ = +⎜⎜ ⎟ ⎜ ∑13
4.7.10. . 1 3.11.17.23. . 5 626 26 k
kk=
+⎟⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
L
L
2.13.9.4) ( ) ( ) ( )1 , 00,
0
1 1 .1q k q kq
k
x∞
+ +
=
= ⊕∑
( ), 01
0
1 .12
q kq k
k
∞
+ +=
= ∑
Pero,
( ), 0 1 01
0 1, ..si k 2,.q k si k =⎧
= ⎨
Luego,
=⎩
( )0, 1
12q qx +=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
106
Los ejemplos (2.13.9.1), (2.13.9.2), (2.13.9.3) y (2.13.9.4) muestran algunas,
de las variadas formas que puede adoptar la serie de contracciones.
El teorema que sigue muestra una relación funcional entre la función
eométrico-factorial y su primera derivada.
.13.10.- Teorema.-
g
2
ddx
1, ( ) (( 1)p q x x p−= − 1
, ( ) (1 )(1 ) )p qp q x pq x ++ + ⊕
Demostración.- Consideremos el caso . Derivando término a término la
tracciones se obtiene:
0p >
serie de con
ddx
( ),2 1,
0
( ) ( 1) (1 ) .1 q k pp q k pp q
k
x q k x px∞
+ + − −
=
= + + ⊕∑
2.13.10.1)
( ), 12 1 1
0
( 1) (1 ) .1 (1 ( 1) 1)k pp q k p
kq k x px q k p
∞++ + − − − −
=
= + + ⊕ + + +∑
q
( )( ) ( ) ( ) ( )q k 2 q k 2q,k 1p q,k 1pp p 1 p p 1
k 0 k 0
q k 1 1 x px 1 1 x x 1∞ ∞+ + + ++ +− − − −
= =
= ∑ + + ⊕ + ⊕∑
Cambio de índices: i k 1= +
2.13.10.2)
( )( ) ( ) ( ) ( )q i 1
q i 1 q,i p q,i pp p 1 p p 1p,q
i 1 i 1(x) = q i 1 x px 1 1 x x 1
+ +ddx
∞ ∞+ + − − − −
= =
+ ⊕ + ⊕∑ ∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
107
( ) ( ) ( ) (q i 1
q i 1 q,i p q,i pp p 1 p p 1+ +∞ + + − − − −= ⊕ ⊕ )
i 1 i 11 x px 1 1 x px 1
∞
= =
+∑ ∑
p 1px− −− p 1p,q (x) x− −+ ( ) ( )q 1 q 1p 1 p p 1 p
p,q (x) x 1 x pqx 1 x+ +− − − −− ⊕ − ⊕
( )( ) ( ) ( )q i 1 q,i pp p 1 p 1
i 1
q i 1 1 x px 1 p 1 x∞ + + − − − −
=
= + + ⊕ − −∑ , ( )p q x
( ) ( )q 1p 1 p1 pq x 1 x+− −− + ⊕
De donde,
2.13.10.3) ddx , ( ) (1 )p
p qdx xdx
−= + 1, ( ) (( 1)p
p q x x p , ( )p q x + − −− −
)(1q 1(1 ) )p qp x ++ ⊕
luego,
d 1, ( ) (( 1)p q x x p−= − 1
, ( ) (1 )(1 ) )p qp q x pq x ++ + ⊕ 2.13.10.4)
dx
Para el caso se tiene,
2.13.10.5)
0q =
d 1( ) (( 1)x x p−= − ( ) (1 ))pppdx
x x+ ⊕
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
108
2.14.- Funciones Contrá tilesc .
Definición.- Para cada par de números reales no negativos , se
n Con
,p q
entenderá por “Funció tráctil”, la función,
1, ( ) p
p q x x −= , ( ) , 0p q x x > 2.14.1.-
2.14.2.- Proposición.-
, ( )p q x x≤
Demostración.- De la Prop. (2.13.2) se tiene,
, ( ) (1 )p pp q
qx x x≤ ⊕ 2.14.2.1)
De donde,
.14.2.2)
1 px −
, ( ) (1 )p qp q x x x≤ ⊕ 2
x≤
Esto es,
, ( )p q x x≤ 2.14.2.3)
De la desigualdad (2.14.2) se deduce que
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
109
2.14.2.4) li mx→0 , 0p q ( )x =
do la exten n continua de
,p q permitien sió al dominio de los números reales no
egativos, definiendo:
.14.2.5)
n
, (0) 0p q = 2
Si , se escribe 0q = p en lugar de ,0p .
Esto es,
1( ) p ( )x x −= , 0> 2.14.2.6) p p x x
2.14.3.- Teorema.-
ddx
1, ( ) (1 ) (1 ) , 0p p q
p q x pq x x x− += + ⊕ >
Demostración.-
ddx
1, ( ) ( p
p qdx xdx
−= , ( ) )p q x 2.14.3.1)
(1 ) pp x−= − 1, ( ) p
p qdx xdx
−+ , ( )p q x
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
110
1 1, ( ) . (( 1)p
p q x x x p− −+ − 1, ( ) (p− (1 )p x= − 1 )(1 ) )p q
p q x pq x ++ + ⊕
(Teor. 2.13.10)
q
1(1 ) (1 )p ppq x x− += + ⊕
ra derivada de la función contráctil es:
2.14.3.2)
Otra forma pa la
ddx
1, ( ) (1 ) ((1 ) (1 ) )p q p q
p q x pq x x += + ⊕ − ⊕
Si , el teorema (2.14.3) queda,
.14.3.3)
0q =
ddx
( ) 1 pp x x−= ⊕ 2
O de otra forma,
ddx
1( )1p px
x=
+ 2.14.3.4)
La función p es referida como “Función Contráctil Uniparamétrica”.
niparamétrica se extiende a valores reales
, definiendo:
.14.3.5)
El concepto de Función Contráctil U
negativos de p
( )p x x− = − ( ) , 0p x p ≥ 2
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
111
Para p− se tiene,
ddx
1( )1p px
x− −=+
2.14.3.6)
Las fórmulas (2.14.3.4) y (2.14.3.6) se resumen en la siguiente:
d 1( ) ,1p px p
x= ∈
+ 2.14.3.7)
dx
De la fórmula (2.14.3.7) se deduce,
2.14.3.8) 0 1 p
dxx
α
=+∫ ( ) , , 0p pα α∈ ≥
Para p los casos articulares 1p = y 2p = se tiene,
( )1( ) 1 , 0Lnα α α= + ≥ 2.14.3.9)
( )2 ( ) , 0Arctgα α α= ≥ 2.14.3.10)
Además de las funciones contráctiles 1 y 2 , existen otras que también pueden escribirse en términos de funciones elementales. Algunos ejemplos son:
2.14.3.11)
( )12
x 2 x 2Ln(1 x)= − +
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
112
( ) 3 2 3 313
3x ( x 2 x 2Ln(1 x2
= − + +2.14.3.12) ) )
2.14.3.13) ( ) 4 3 4 414
4x x 2 x 4 x 4Ln(1 x )3
= − + − +
2.14.3.14) ( ) 3 323
x 3 x 3Arctg x= −
2.14.3.15) ( ) 5 3 5 525
5x ( x 3 x 3Arctg x3
= − + )
2.14.3.16) ( )31x6
= 1 2
3x 31 x x 3⎛ ⎞ +⎜ ⎟− +⎝ ⎠
2x 1 3Arctg183
− π⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
2.14.3.17) ( )1 2x 2 Arcth(1 x)= ⊕
2.14.3.18) ( )1 xy 1 Ln x Ln y− = + , x , y ≥ 1
2.14.3.19) 2,1 2
3( ) ( ( ) )2 1
xx Arctg xx
= −+
2.14.3.20) 11,2
( ) 3( ( 1 ) 1 )x Ln x x x= + + − ⊕
2.14.3.21) 1 22,2
1( ) 2(1 )1
xx
= −+
La representación de la función contráctil mediante funciones elementales
conocidas, permite la evaluación inmediata.- Sin embargo no siempre es posible
hacer tal representación. En general, la función contráctil se evalúa a través de la serie
de contracciones.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
113
2.15.- Aplicaciones de la Función Contráctil ( p ) al Cálculo Integral.
Las siguientes fórmulas pueden ser comprobadas directamente por simple
erivación.
2.15.1.-
d
p0
dx1 x
α
=+∫ ( )p α , 0α ≥
r
p0
x dx 11 x 1 r
α
=+ +∫ ( )1 r
p1 r
+
+
α , 0 , r 1α ≥ > − 2.15.2.-
p
dx 1x(1 x ) p
∞
α
=+∫ ( )p
1−α , 0 , p 0α > > 2.15.3.-
2.15.4.- r
dxx (1 p
1x ) r
∞
α
=1
( )1 rp
1 r
−
−
α+ −∫ , 0, p 0, r 1α > > >
2.15.5.- p
dx 11 x p 1
∞
α
=+ −∫ ( )1 p
pp 1
−
−
α , 0 , p 1α > >
2.15.6.- r
p
x dx 11 x p (1 r)α + − +
∞
=∫ ( )1 r pp
p (1 r)− +
+ −α r
, 0 , p 1α > > +
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
114
2.16.- Ejemplos de Integración Numérica.
2.16.1.- 23
dx1 x
∞
=+∫ ( )1
2 ( 3)−
( ), 2.15.5
1Arctg3
=
6π
=
2.16.2.- 3
20
dx1 x
=∫ + ( )2 3
( ), 2.15.1
Arctg 3=
3π
=
y (2.16.2) se tien
2.16.3.
Es claro que de (2.16.1) e:
- 20
dx∞
1 x 2π
=+
2.16.4.-
∫
2 21
dxx (1 x )
∞
=+∫ ( )2 1−
( ), 2.15.4
1= − ( )2 1
1 A= rctg1−
14π
= −
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
115
2.16.5.- 52 x(1 x
dx 1) 5
∞
=+∫ ( )5
1 2−
( ), 2.15.3
1 3Ln5 3
= 32
2.16.6.- 4
3 43
dx 1∞
x (1 x ) 2= ( )24( 3)− ( ), 2.15.4
+∫ 2−
12
= 213−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1(2 3
= − 21 )⎛ ⎞
⎜ ⎟ 3⎝ ⎠
1 1 1( Arctg2 3 3
= − )
1 1( )2 3 6
π= −
216.7.- 1
5 2 5 2 5 21
dx dx dxx (1 x ) x (1 x ) x (1 x )
∞ ∞
= −+ + +∫
1 1∫ ∫2 2
14
= 412
1 1( )2 4
−
−
⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
( )12
1−
( ), 2.15.4
1 (164
= − ( )12
116 ) (14
− − ( )12
1 )
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
116
9 2Ln 2 2Ln 54
− +=
2.16.8.-
( ), 2.14.3.11
2
8 8 3
2 5
813
3
1
x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 3 3x x 1
31
dx x dxx
−
= =+∫ ∫
+
3(= ( )3 2 − ( )3 1 )
3 3 3 6 26
Lnπ + −= Ln
.16.9.-
( ), 2.14.3.16
8 27 8 27
31 x
331 3(1 )
x x
x
dydx dydxx y yx
x
=+
+∫ ∫ ∫ ∫ 2
27
13
)y x
y x
y dxx
=
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2
3(1
x= ∫
(= ( )13
27 − ( )8 2
313 1
1 ) x dx∫
93 (5
= ( )13
27 − ( )13
1 )
279(2 2)5
Ln+ = , (2.14.3.12)
2.16.10.- 3 3
2 2
2 28 2
1 121
x x
x x
x xdydx dy dxx y y
x+ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
2
4(
36 3 =
3
23 2 )
y xy dx
=⎛ ⎞⎜ ⎟
y xx =⎝ ⎠1
x= ∫
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
117
2
4
1
(x= ∫ ( )3 x − ( )3 1 )dx
42
( )2
43
1
1 x dx∫ ( )1
x= ∫ 3 x dx −
Integrando por partes la primera integral del segundo miembro de la igualdad
2.16.10.1)
anterior se tiene,
24
1
x∫ ( )5
3 5xx dx = ( )
2 52
3
1 x3 1
15 1x dx
+∫ x
−
32 ( )3125
− ( )311 (
30− ( )1
2
64 − ( )12
1 ) 5
=
Por otra parte,
2.16.10.2) ( )2
4 311 x dx = ( )3 1 31 5∫
Introduciendo (2.16.10.1) y (2.16.10.2) en (2.16.10); y haciendo las
valuaciones correspondientes queda:
2.16.10.3)
e
3
2
2 8
6 31
16 3 54 3 99 2 2145
x
x
x Lndydxx y
π Ln+ − −=
+∫ ∫
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
118
El ejemplo siguiente es importante desde el punto de vista teórico.
l tales que,2.16.11.-Si a, b, r, t son números rea es b a 0, r 2, t 0,> > > > entonces,
0
12
b tx dydx ( ) 2 2
1 1( )r r rta b− −− r r
a x y r=
+ −∫ ∫
2.16.11.1)
En efecto,
10 0
1((1 )
b
rr ra a r
dydx dydxb tx b tx
rax y xy
xx
−= =+ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ ∫0
)y tx
ry
y dxx
=
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+
1
1( r
b
a x −= ∫ ( )r t dx
1 ( ) 2 2
1 1( )r r rta b− −−
2r=
−
Caso particular.
.16.11-2)
3
4 422 0 x +
12
x dydxy
=∫ ∫ ( )4 2 2
1 112 3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
, (2.16.11)
( )( )5 2 1 2
288 2
Lnπ + + =
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
119
2.17.- Integración de la Función Contráctil ( p )
2.17.1.-
0
α
∫ ( )p x dx = α ( )p12
α − ( )212
α , 0 , pα ≥ ≥ 0
2.17.2.-
∫0
α
( )rp x dx = α ( ) ( )r
p 1 rα − ( ) ( )1 rp 1 r
+⊕ α , 0 ,⊕ p, r 0α ≥ >
Nota.- En (2.17.1) y (2.17.2) se practicó integración por partes,
2.17.3.-
Ejemplos.
1 13
0 0
Arctg x dx =∫ ∫ ( )32 x dx
= ( )2114
− ( )12
1
( ), 2.17.2
= ( )1Arctg1 2 2 Ln24
− − ( ), 2.14.3.11
=2Ln2 2
4π+ −
2.17.4.- 3
0∫ ( )2
12
x dx 3= ( )12
293
− ( )13
27 ( ), 2.17.2
3(2 9 2Ln(1 9))= − + − 3 3 32 3. ( 729 2 27 2Ln(1− + + 27)) 3 2
( ), 2.14.3.11, 2.14.3.12
= 15 16 Ln2−
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
120
2. Relación entre la Función Contráctil ( p ) y la Función Beta.- 18.-
2.18.1.- Definición.- Para cada número real 1p > , la función,
( )p1x
p 1=
−( )1 p
pp 1
x −
−
, x 0>
será referida como Complemento Contráctil de p .
stituyen pr edades de p y pLas siguientes relaciones con opi .
d p pp (x)) (1 x p1) (1 x )(1 p)x
p 1− −+ ⊕ −
−
= ⊕2.18.2.- (dx p (x ) +
p p(1 x ) (1 x )− −= ⊕ − ⊕
0= , x 0>
Luego, existe una constante tal que, para cada número real
.18.3.-
A(p) x 0> ,
2 p (x ) + p (x ) A(p)=
hora en,
A bi
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
121
2.18.4.- xlim→∞ p x
1(x) limp 1 →∞
=−
( )1 pp
p 1
x −
−
, p > 1
0=
mite en (2.18.3) se tiene,
De donde, aplicando lí
xlim→∞ p (x ) A(p)= , p > 2.18.5.- 1
De (2.18.5) se deduce que para , la función
p 1> p es acotada y tiene como
ecta asíntota horizontal la r y A(p)= . (A tráctil de síntota Con p )
bién
Por otra parte, de (2.18.3) se obtiene tam
x 0lim→ p (x ) A(p)= 2.18.6.-
lo que permite la extensión continua de p a x 0= , definiendo:
p (0) A (p)= 2.18.7.-
Consideremos nuevamente la fórmula (2.15.1)
p0
dx1 x
α
=+∫ p ( )α , 0α ≥ 2.18.8.-
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
122
Sea
ahora p 1>
t
p pt2.18.9.-
0 1 0
dx dxlimx 1 x
∞
→∞=
+ +
∫ ∫
tlim→∞
= ( )p t
( )A p=
arte,
2.18.10.-
Pero, por otra p
p0
dx 1 1 1,11 x p p p
∞ ⎛ ⎞= β −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
∫ , p > 1
cscp pπ π
=
De (2.18.9) y (2.18.10) se tiene,
2.18.11.-
1 1 1A(p) ,1p p p
⎛ ⎞= β −⎜ ⎟
⎝ ⎠, p > 1
O bien,
2.18.12.- A(p) cscp pπ π
= 1
De otro modo,
, p >
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
123
( )p1 1 10 ,1p p p
⎛ ⎞= β −⎜ ⎟
⎝ ⎠, p > 2.18.13.- 1
cscp pπ π
=
Relaciones má
s fuertes entre p y la función beta, aparec n en el proceso de
integración bajo la serie de contracciones. Presentaremos aquí, algunos ejemplos en
los cuales se observa el poder de resolución de las funciones contráctiles, la función
beta, las funciones tau racciones factoriales.
2.19.- Ejemplos. (Integración bajo la Serie de Contracciones)
2.19.1.- Ln 1 x dx∞ ∞
−
e
-beta y las cont
( )3
0 0
+ =∫ ∫ ( )3x d−
1 x ( ), 2.14.3.9
0
∞
= ∫ ( )31 x dx− ( ), 2.14.2.6
( ) ( )k 1 k 131 x .1 dx+−⎛ ⎞
k 00
∞ ∞
=
= ⊕ 2.1 ⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ , ( )
( )( )k 1
k 13k 0 0
dx 11 x
∞∞
+=
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ ∫
( )k 1
k 0
1 1 1, k 1 13 3 3
∞
=
⎛ ⎞= β + −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
( )1k 0
1 1 2, k 1 k,13 3 3
∞
=
⎛ ⎞= β + τ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
( ), 2.12.11.3,2.10.27
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
124
( ) ( ) ( ), 2. 2 1k 0 3
1 2,3 3 1,k 2,k3
∞
=
⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠= τ τ∑ 7,2.12.3
12.
( )2k 0 3
1 2,3 3 2,k3
∞
=
⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠= τ∑ ( ), 2.12.10
1 2,13 3 . 23 2 13
⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠=
− −( ), 2.12.9.1
1 2,3 3
⎛ ⎞= β⎜ ⎟⎝ ⎠
csc3π
= π
2 33π
=
Esto es,
.19.1.1)
( )3
0
2 3Ln 1 x dx3
∞− π
+ =∫ 2
4
0 0
Arctg x dx∞ ∞
− =∫ ∫ ( )42 x dx− 2.19.2.-
= 4
0
x∞
( )42 x dx−∫
( ) ( )k 1 k 24 8
k 00
x 1 x .1 d∞ ∞ +−
=
⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ x
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
125
( )( )
4k 2
k 18k 0 0
x dx .11 x
∞∞
+=
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ ∫
( )k 2
k 0
1 5 5, k 1 .18 8 8
∞
=
⎛ ⎞= β + −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
1k 0
1 5 3 1, k . 1 k,8 8 8 2
∞
=
⎛ ⎞ ⎛= β + τ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
∑ ⎞⎟⎠
( )3 1k 0 8
5 3,3 8 8 1,k ,k
8 2
∞
=
⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= τ τ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
3k 0 8
5 3,38 8∞
⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛⎝ ⎠ , k8 2=
⎞= τ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
5 3 1,8 8 2. 38 3 1
2 8
⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠=
−
−
5 3,8 82
⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠=
3csc2 8π π
=
4 2 2π −=
2
es,
Esto
2.19.2.1) 4 4 2 2Arctg x dx∞
− π −=∫
0 2
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
126
2.19.3.- Teorema.- Si 1, 1p α≥ > , entonces,
( ) 0
∞
∫ ( )p x dx cscp p
1−α α − ππ
ostración.-
En efecto,
2.19.3.1)
=α
Dem
0
∞
∫ ( ) pp
0
x dx x∞
−α α −α= ∫ ( )p x dx−α
( ) ( )k 1 k pp p
k 00
(x 1 x .1 )dx∞ ∞ +α −α −α
=
= ⊕∑∫
( )( )
pk p
k 1pk 0 0
x dx .11 x
∞ α −α∞
+α=
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ ∫
1k 0
1∞ 1 1 1(1 ,k ) 1 k,p p p p=
⎛ ⎞α − α −= β − + τ +⎜ ⎟α α α ⎝ ⎠∑
( )1 1k 0 p
1 1 1 1(1 , ) 1,k 1 , kp p p p
∞
α−= α
⎛ ⎞α − α −= β − τ τ +⎜ ⎟α α α ⎝ ⎠∑
1k 0 p
1 1 1 1(1 , ) 1 ,kp p p p
∞
α−= α
⎛ ⎞α − α −= β − τ +⎜ ⎟α α α ⎝ ⎠∑
11 1 1 p(1 , ). 1 1p p p 1 1
p p
α − α −= β −
α −α α α + − −α
1 1(1 , )p p
1p
α − α −= β −
α α
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
127
( )1csc
p pα − π
π=
α
Es claro que la fórmula (2.19.3) incluye los casos (2.19.1) y (2.19.2).
Comentario.- En los ejemplos (2.19.1), (2.19.2) y (2.19.3) sólo se
uestra la técnica de gración bajo la serie de contracciones. Sin embargo, para
plicar dicha técnica es necesario conocer en cada caso, las condiciones de
onver ncia d la int l mpropia cuyo valor límite se intenta calcular.
Además, se deben satisfacer las condiciones para el intercambio entre
l sign l y el signo de sumatoria en la serie de contracciones.-
En los ejemplos citados anteriormente tales condiciones aparecen
1≥ α > ).
Obsérvese en detalle el siguiente ejemplo:
m inte
a
c ge e egra i
e o integra
señaladas en (2.19.3) ,( p 1
0
∞
∫ ( )p0
1x dxp 1
∞
=−∫ ( )1 p
pp 1
x dx , p >−
−
1, (2.18.1)
2.19.4)
0
xp 1
∞
=−∫ ( )1 p
pp 1
x dx , p > −
−
1
0
x(p 1
∞
=−∫ ( )
pkk 1 p 1p
k 01 x .1 )dx
⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟+ −− ⎝ ⎠
=
⊕∑
0
1(p 1
∞
=−∫ ( )
pkp 1
k 1pk 0
x .1 )dx1 x
⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟−⎝ ⎠+
= +∑
Ahora bien, la integral impropia
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
128
2.19.4.1 ( )k 1p
0
x∞
dx1 x
++
∫
onver cada número entero .c ge para k 0,1, ..= , solamente si p > 2.
En tal caso, (2.19.4) queda,
.19.4-2)
2
∞
0∫ ( )
pkp 1
p k 1pk 0
1 x(x) dx d .1p 1 1 x
⎛ ⎞∞∞ ⎜ ⎟
0
x −⎝ ⎠+
=
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟− +⎝
∑ ∫ , p 2> ⎠
1k 0
1 1 2 2 p 1, k 1 1 k,p 1 p p p p
∞
=
⎛ ⎞ ⎛ −= β + − τ +⎜ ⎟ ⎜− ⎝ ⎠ ⎝
∑ ⎞⎟⎠
( ) ( )2 11k 0 p
2 2,1p p p 11, k . 1 , k
p p 1 p
∞
−=
⎛ ⎞β −⎜ ⎟ ⎛ ⎞−⎝ ⎠= τ τ +⎜ ⎟− ⎝ ⎠
∑
( ) 21k 0 p
2 2,1p p p 11 ,
p p 1 p
∞
−=
⎛ ⎞β −⎜ ⎟ ⎛ ⎞−⎝ ⎠= τ +⎜ ⎟− ⎝ ⎠
∑ k
( )
2 2 p 1,1p p p.
p p 1 p 1 21 1p p
⎛ ⎞ −β −⎜ ⎟⎝ ⎠=
− ⎛ ⎞− 1+ − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 2,1p p p
⎛ ⎞= β −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2cscp pπ π
= , p 2>
Considérese el siguiente ejemplo de integración numérica.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
129
2.19.5.- 0
∞
∫ ( )4 x dx csc4 2 4π π π
= = (2.19.4.2)
eg l impropia en (2.19.5) puede calcularse también mediante
.19.3).
.19.5.1)
,
La int ra
(2
En efecto,
0
∞
∫ ( )40
1x dx3
∞
= ∫ ( )343
x dx− 2
1 2. .csc4 43
3.3 3
π π= (2.19.3)
,
4π
=
c dando con (2.19.oncor 5).
Consideremos nuevamente la función p , p 1> .
Tenemos que,
ddx
( )pd 1x (
dx p 1=
−( )1 p
pp 1
x ) , p−
−
> 2.19.6.- 1
( )p p1 (1 x ) 1 p xp 1
−= ⊕ −−
p(1 x )−= − ⊕
p
11 x
= −+
Luego, entonces,
2.19.6.1
si p 1>
t
p pt
dx dxlim , 01 x 1 x
∞
→∞α α
= α ≥+ +∫ ∫
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
130
t(x) ) lim (
t→∞= − p α
tlim (→∞
= − ( )p t + ( )p )α
Pero tlim→∞
( )p t 0 , p 1= >
,
2.19.6.2)
Por lo tanto
p
dx1 x
∞
α
=+∫ ( )p , p 1, 0α > α ≥
Obs rvese el siguiente ejemplo:
é
2
26
x1 y+∫ ∫
0 x 0
dy dx x∞
= ∫∞ ∞
( )6 x dx , (2.19.6.2) 2.19.7.-
2
0
x5
∞
= ∫ ( )565
x dx−
3
0
15
∞
= x∫ ( )565
x dx−
( )6kk 13 6 5
k 00
1 (x 1 x .1 )dx5
⎛ ⎞∞ ∞ + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
=
= ⊕∑∫
( )63 k5
k 16k 0 0
1 x( dx).15 1 x
⎛ ⎞∞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠
+ =
=+
∑ ∫
1k 0
1 1 2 2 5, k 1 . 1 k,5 6 3 3 6
∞
=
⎛ ⎞ ⎛= β + − τ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
∑ ⎞⎟⎠
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
131
( )1 1k 0 3
2 1,113 3 1,k . , k
30 6
∞
=
⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= τ τ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
1k 0 3
2 1,113 3 ,k
30 6
∞
=
⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= τ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
2 1 56.
⎛ ⎞
=,
3 311 1
β⎜ ⎟⎝ ⎠
30 16 3− −
2 1⎛ ⎞,3 3
β⎜ ⎟⎝ ⎠=
18
csc18 3π π =
9 3π
=
Esto es,
.19.7.1)
2
60 x
x dy dx1 y 9 3
∞ ∞ π=
+∫ ∫ 2
E jen el e mplo que sigue se aplica directamente la fórmula (2.15.6).
2.19.8.- ( )20 0x 41+
7 2x y xdydx∞ ∞ ∞
= ( )72x y∫ ∫ ∫ 16− x dx7
4
13
0
1= x
4
∞
∫ ( )16− 74
x dx
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
132
( )7kk 113 28 4
k 00
14
⎛ ⎞∞+ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
=
(x 1 x .1 )dx∞
= ⊕∑∫
( )
713 k4
k 128k 0 0
1 x dx .14 1 x
⎛ ⎞∞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠
+=
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ ∫
1k 0
1 1 1 1 4, k . 1 k,4 28 2 2 7
∞
=
⎛ ⎞ ⎛= β + τ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
∑ ⎞⎟⎠
( )1 1k 0 2
1 1,112 2 1,k . , k
112 7
∞
=
⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= τ τ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
1k 0 2
11,k112 7
∞
=
π ⎛ ⎞= τ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
47.11 1112 1
7 2
π=
− −
14π
=
Esto es,
2.19.8.1) ( )2
21 x y
7 2
70 x
x y dydx14
∞ ∞ π=
+∫ ∫
.20.- Sobre la Función Contráctil biparamétrica ( p , q2 )
otaciones: Para cada número entero positivo n, se usarán las siguientes
otaciones:
N
n
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
133
( ) ( )k n 1 q k 12.20.1.- q , k p( n ) p
p ,qk 0
(x) 1 x .1 , p, q 0= − + +
=
= ⊕ ≥∑
.20.2.-
(n ) 1 pp,q (x) x −= ( n )
p ,q (x) , p, q 0≥2
Teorema.- Para cada número entero positivo n,
.20.3.1)
2.20.3.-
p ,q (x ) = ( )q , n p( n )p ,q (x ) 1+ p ,q n (x )+ 2
2.20.3.2) p ,q (x ) = ( )q , n p( n )p ,q (x ) 1+ p ,q n (x )+
.20.3.3)
Demostración.-
( ) ( )q k 1 q , k∞ + + pp
p ,qk 0
(x) 1 x .1=
= ⊕∑ 2
( )1
( ) ( ) ( )1 1, ,
0
1 .1 1 .1k n q k q kq k p q k pp p
k k nx x
= − ∞+ + + +
= =
= ⊕ + ⊕∑ ∑
= ( ) ( )q n k 1 q ,n k p( n ) pp ,q
k 0(x) 1 x .1
∞ + + + +
=
+ ⊕∑
Pero, con arreglo a la Proposición (2.6.6) se tiene,
2.20.3.4)
( ) ( ) ( )q ,n k p q ,n p q n ,k p1 1 .1+ +=
Introduciendo (2.20.3.4) en (2.20.3.3) queda:
p ,q (x ) = ( ) ( ) ( )q n k 1q , n p q n , k p( n ) pp ,q
k 0(x)2.20.3.5) 1 1 x .1
∞ + + + +
=
+ ⊕∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
134
= ( )q , n p( n )p ,q p ,q n (x )+ (x ) 1+
Ahora, multiplicando ambos miembros de (2.20.3.5) por , se tiene:
.20.3.6)
1 , 0px x− >
p ,q (x ) = ( )q ,n p( n )p ,q (x ) 1+ p ,q n (x )+ 2
.3) tiene gran impo tancia teórica. La fórmula (2.20.3.2)
ermite reducir el problema de la evaluación de la función contráctil a la evaluación
El Teorema (2.20 r
p
de una función contráctil p , q tal que 0 q 1≤ < .
Una forma equivalente para la forma (2.20.3.2) es:
.20.3.7)
2
( )( ) 1q ,n p(x) 1 (−
= p , q( n )p , q (x) ) , n 1, 2, ... , p 0= > (x ) −p , q n+
érvense en d alle los siguientes ejemplos.
.20.4.-
Obs et
( )( ) 10 , 1 22,0 (x ) − (1)
2,0 (x) ) , (2.20.3.7) (x) 1 (−
=2 2,1
( )( ) 11 21 (−
= 2 (x ) − (1)2 (x ) )
( )( ) 11 21 (−
= 2 (x ) − (1)2 (x ) )
) ( ) ( )0 11 11 2
0
(1 2= ⊕ ( 1 .1k k k
kArctg x x x
= +− −
=
− ⊕∑
1 23 ( (12
))Arctg x x x= −− ⊕
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
135
2
3 ( )2 1
xArctg xx
= −+
52,2
(x ) = 12, 22
(x )+
2.20.5.-
1,2 22 1(1 ) (
⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠= 12,
( 2 )12,
, (2.20.3.7) (x ) −2 2
(x) )
.20.5.1)
Pero,
( )( )1 ,2
22
2 3 5 51 1 3 1 5 .4 6 8
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⊕ ⊕ = =
2.20.5.2)
1 22,2
1(x) 2(1 )1 x
= −+
, (2.14.3.21)
2.20.5.3) ( )11k 1 , kk 1 2( 2 ) 2 2
1 (x ) 1 x .1⎛ ⎞= ⎜+ +⎝= ⊕∑
2
2, k 02
⎟⎠
=
( ) ( )13 5 , 1 222 22 21 1 .1x x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ⊕ + ⊕
( ) ( )3 5
2 22 231 14
x x= ⊕ + ⊕
luego,
2.20.5.4) 3 3
2 22 25 22,2
8 2 3(x) (2 (1 x ) (1 x ) )5 41 x
= − − ⊕ − ⊕+
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
136
41,3
(x ) = 11, 13
(x )+
2.20.6.-
1 , 1 13 1(1 ) (
⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠= (1)
1 11,3
(x ) −1,
3
(x) )
2.20.6.1)
Pero,
1,1 13 4 41 1
3 7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⊕ =
3 2 3 311,3
3(x) ( x 2 x 2Ln(1 x )2
= − + + , (2.14.3.12) 2.20.6.2)
2.20.6.3) ( )1k 0 1 , k 1k 1 3(1) 3
11, k 03
(x ) 1 x .1⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
=
= ⊕∑
( )431 x= ⊕
luego,
4
3 2 3 3 32.20.6.4) 41,3
(x ) ( ( x 2 x 2Ln(1 x )) (4 2
= − + + −7 3 1 x) )⊕
eorema (2.20.3) puede ser utilizado para extender el concepto de función
ontráctil a valores negativos del parámetro . Para ello es necesario hacer algunos
importantes ajustes en las notaciones.
El T
c q
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
137
2.20.7.- Se usará la notación 1 α⊕ en lugar de 1( ) 1α α+ para cada número
al
−
1α ≠ − .
Ejemplos:
re
31 ( 3)2
⊕ − = 2.20.7.1)
1 11 ( )5 4
⊕ − = − 2.20.7.2)
En general,
2.20.7.3)
1 ,a a a bb a b
⎛ ⎞⊕ − = ≠⎜ ⎟ −⎝ ⎠ .
Para cada par de números reales y cada número entero no
egativo ; la notación
2.20.8.- , , 0p q p ≥
k ( ),1 q k pn será usada con el siguiente significado:
( ),01 1q p = 2.20.8.1)
( ) ( ) ( ), , 11 1 ( ) .1 , 1, 2,...q k p q k pq k p k−= ⊕ + = 2.20.8.2)
siempre que, para cada entero , 0 ,i i k< ≤ ocurra que 1( )p q i+ ≠ − .
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
138
Ejemplos.
( 2,4 3)− s vese que en este caso se tiene que para cada
. Luego,
1 . Ob ér2.20.9.- , 0 4,i i< ≤
3( 2 ) 1i− + ≠ − ( )2,4 31 − está definido con arreglo a (2.20.8.2).
Por otra parte,
.20.9.1)
2( ) ( ) ( )( )( )2,4 31 1 ( 2 1)3 1 ( 2 2)3 1 ( 2 3)3 1 ( 2 4)3− = ⊕ − + ⊕ − + ⊕ − + ⊕ − +
(1 ( 3))(1 0)(1 3)(1 6)= ⊕ − ⊕ ⊕ ⊕
0=
.20.10.-
15 , 37 4 3 21 1 1 1
7 7 7
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕ − ⊕ − ⊕ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
2
4 3 2( )( )( )3 4 5
= − − −
2 5
2.20.11.-
= −
1 ⎞4 , 521
⎛ −⎜ ⎟⎝ ⎠ no está definido con arreglo a (2.20.8.2), puesto que
1 ( 4 2) 12
+ = − .
−
(20.8) de rmina la existencia de la suma parcial definida en
.20.1).
La definición te
(2
Esto es,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
139
( )k n 1
)q (x2.20.12.- q , k p( n p q k 1
p ,k 0
) (1 x ) .1 , (2.20.1)= −
+ +
=
= ⊕∑
En efecto, para que (n )p ,q (x) exista, debe estar definido ( )q , k p1 con arreglo a
.20.8), para cada entero(2 , 0 1k k n< ≤ − .
Por ejemplo (3)1 , 42
(x)−
no está definido porque 14 , 221
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ no lo está. Obsérvese
que 1 ( 4 2) 12− + = − . Sin embargo, ( 2)
1 , 42
(x)−
está definida y toma el valor
11k 1
( 2 )=
2.20.12.1) 4, k
4 k 1 22
k 0
(x) (1 x ) .1⎛ ⎞−⎜ ⎟− + + ⎝ ⎠
=
= ⊕∑
1 , 42−
11 14, 1
3 222 2(1 ) 1 (1 )x x⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠= ⊕ + ⊕
1 1
3 22 23(1 ) (1 ( ))(1 )2
x x− −= ⊕ + ⊕ − ⊕
1 1
3 22 2(1 ) 3(1 )x x− −= ⊕ + ⊕
Las definiciones que se dan a continuación permiten ampliar la teoría de las
ones.-
funciones contráctiles. En cada caso , ,p q x son números reales tales que
0, 0p x≥ > .
2.20.13.- Definici
11, 2 (x) (1 x) Ln x−− = ⊕2.20.13.1) −
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
140
2.20.13.2) Si , ( 1) 1p q + = −
p qp, q (x) x(1 x )= ⊕ − p
1, q (x )−
2.20.13.3) Si ,
( 1) 1p q + ≠ −
( )q , 1 p1 p p qp , q (x) x (1 x ) 1−= ⊕ + p , q 1 (x )+
Observación.- En las definiciones (2.20.13.2) y (2.20.13.3) es necesario que
s funciones contráctiles p1, q (x )− y p , q 1 (x )+la estén previamente definidas.
ple derivación que las funciones definidas en (2.20.13)
siguen la misma regla de derivación demostrada en el Teorema (2.14.3) o su forma
quivalente (2.14.3.2).
ot a parte, s
Puede probarse por sim
e( )q, n p1 está definido para algún número entero pos tiv Por r i i o
ntonces el Teorema (.20.3.2) es aplicable a
n ,
e p , q , para ese valor de .
2.20.14.- Teorema.- Si
n
1pq = − , entonces p , q está definido en 0x = y
además p , q (x ) 1= para cada número real
Demostración.- Derivando
0x ≥ .
p , q (x ) , 0x > con arreglo al Teor. (2.14.3) se tiene,
2.20.14.1) ddx
p pp , q (x) (1 pq)x (1 x )q 1− += + ⊕
q 1(1 ( 1)) (1 )p px x− += + − ⊕
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
141
0=
mostrando que p , q es una función constante en el intervalo abierto ( )0,∞ .
Ahora bien, como pq 1− , entonces 1= ( )p q n+ ≠ − para cada entero
lo que implica que 1, 2,...n = ( )q , k p1 está definido para cada entero
según (2.20.8).
> un número entero tal que
0,1, 2,...k =
Sea ahora n 1 0q n+ ≥ . Es claro que (n )p ,n (x) y
p , q n+ están definidos, (aunque por razones diferentes).
Teor. (2.20 .2) se tiene,
.20.14 )
Aplicando el .3
p , q (x ) (p , q n (x )+ )2 .2 q , n p( n )
p ,n (x ) 1+=
Donde,
( n ) 1 pp ,n (x) x −= (n )
p ,q (x) 2.20.14.3)
( ) ( )1 1 ,1
0
1 .1k n q k q k pp p
k
x x= − + +−
=
= ⊕∑
( ) ( ) ( )11 ,1
0
1 1 .1k nq k q k pp p p
k
x x x= −+−
=
= ⊕ ⊕∑
( ) ( ) ( )11 ,1
1
. 1 (1 1 .1k nq k q k pp pq p p p
k
x x x x= −+− + −
=
= ⊕ + ⊕∑ )
( )
( ) ( )1
,1
1
1 (1 1 .1 ) , 1, 1 1
k n k q k ppqp k
x pq nx
= −
+=
= + ⊕ = − >+
∑
De (2.20.14.3) se deduce que
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
142
( n )p ,n (0) 1 , pq 1= = 2.20.14.4) −
, como Por otra parte 0q n+ ≥ , entonces
2.20.14.5)
, (0) 0 , (2.14.2.5)p q n+ =
0x = , Introduciendo (2.20.14.4) y (2.20.14.5) en (2.20.14.2) y evaluando para
se tiene
2.20.14.6) ,p q (0) 1 , 1pq= = −
De (2.20.14.6) y (2.20.14.1) se tiene el resultado,
, ( ) 1 , 1 ,p q x pq= = − 2.20.14.7) 0x ≥
.20.15.- Proposición.- Sea un número entero positivo y un número real
,
n p2
positivo. Si ( ) 1, 0p n i i n≠ − < ≤ entonces
− +
, ( )p n x− = ( n )p , n (x) , x 0− >
Demostra - Aplicando el ción. Teor. (2.20.3.2) se tiene,
.20.15.1) , ( )p n x− = ( )n , n p( n )p , n (x ) 1 −− + , 0 ( )p x 2
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
143
Pero, ( ),1 0n n p− =
uego,
.20.15 )
L
(n )p , n (x)− 2 .2 , ( )p n x− =
Ejemplos.-
, 1( )p x− =2.20.15.3) (1)p , 1 (x)−
1 px −= (1)p , 1 (x)−
( )0
1,1 1 1
0
(1 ) .1k
k pp p k
k
x x=
−− − + +
=
= ⊕∑
( )0
1,1
0k=(1 ) .1
kk pp p kx x
=−−= ⊕∑
x x−= >
e si en (2.20.15.3) se coloca
p 1 , 0
Obsérvese qu , entonces se obtiene 1p =
2.20.15.4) ( ) 1 , 0x x1, 1− = >
Concordando con el Teorema (2.20.14).
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
144
, 2 ( )p x− = ( 2 )p , 2 (x) , p 1− ≠ 2.20.15.5)
1 px −= (2 ) p, 2 (x)−
( )1
2,1 2 1
0
(1 ) .1k
k pp p k
k
x x=
−− − + +
=
= ⊕∑
( )2,11 1((1 ) 1 )pp px x −− −= ⊕ +
1 (1 (1 ))p px x p− −= + + ⊕−
1 (1p )1
p px x−= +p
− +−
1 1 22 1 , 1,1
p pp x x p xp
− − 0−= + ≠
− >
Para el caso 1p = se t nie e la definición (2.20.13.1). Esto es,
11, 2 ( ) (1x− = ⊕ ) , 0x Ln x x− − >
Proposición.- Sea
2.20.15.6)
p un número real positivo y un número entero n2.20.16.-
1 ,
1n p
p⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠positivo. Si existe y tiene un valor diferente de cero, entonces,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
145
1 ,
11,( )n pp
p− (1 ) (1
n ppx
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − ( n )
1p ,p
(x ) )−
Demostración orema (2.20.- Aplicando el Te .3) en su forma (2.20.3.7) se tiene,
.20.16.1)
1 ,
11,( ) (1 ) (
n pp
n ppp
x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠
− = 1,( )
pp
x−
− ( n )1p ,p
(x ) )−
2
Pero, 1,( ) 1
pp
x−
= , (Teor. 2.20.14)
luego,
1 ,
11,( ) (1 ) (n pp
p
x ⎝ ⎠− = 1
n pp
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ( n )2.20.16.2) 1p ,
p
(x ) )−
esario percatarse de la importancia teórica y práctica de la Prop.
(2.20.16).
Nota: Es nec
Ejemplos.-
1 ( )2,
2
x = 1 (2, 1
2
)x− +
2.20.16.3)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
146
1,1 22 1(1 ) (1
⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − (1)
12,(x) ) ,
−2
(Prop. 2.20.16)
Pero, 1,1 22 1 11 1 ( 1) 2
2⎝ ⎠ = ⊕ − + 1 1
2
⎛ ⎞−⎜ ⎟
= ⊕ =
(1) 112,2
(x) x −
−= (1)
12,2
(x)−
110 , 21 21 2 2
0(1 ) .1
k kk
kx x
⎛ ⎞= −⎜ ⎟− + +− ⎝ ⎠
=
= ⊕∑
1
1 2 2(1 )x x−= ⊕
2
11 x
=+
luego,
1 22,2
1( ) 2(1 )1
xx
= −+
2.20.16.4)
Nota: L apa fórmula (2.20.16.4) arece referida en (2.14.3.21).
2 ( )3,
3
x = 1 ( )3, 1
3
x− +
2.20.16.5)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
147
1,1 33 1(1 ) (1
⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − (1)
13,(x) ) ,
−3
(Prop. 2.20.16)
( )
23 3
3 1(1 )2 1 x
= −+
Las fórmulas (2.20.16.4) y (2.20.16.5) son casos particulares de una fórmula
ral.
2.20.16.6)
más gene
1 1,
1( ) (1 )1
(1 )p ppp p p
pxp
x− −= −
−+
.20.16.7)
2 1,5 2
( )x = 2 5, 35 2
( )x− +
2
5 2, 33 5 1(1 ) (1
⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − (3)
2 5,(x) )
−
5 2
Pero,
.20.16.8)
5 2, 32 5
⎛−⎜ 5 2 5 2 5 2( 1) 1 ( 2) 1 ( 3)2 5 2 5 2 5
⎞⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⊕ − + ⊕ − + ⊕ − +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1⎝ ⎠ = ⎜
⎝2
3 1 11⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⊕1 ( ) ( ) 15 5 5
= ⊕ − − ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
148
3 1 12 4 6
⎛= − ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
116
=
3
(3) 52 5
(3)2 5,5 2
(x)−
2.20.16.9) ,
5−
2
(x ) x=
5 23 22
5 5(1k
x x=
= ⊕∑5 ,1 2 52
0) .1
kk
k
⎛ ⎞−⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
=
5 2 5 23 2 2 23 1,1 , 22 5 2 55 5 5 52 2((1 ) 1 (1 ) 1 (1 )x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⊕ + ⊕ + ⊕
12 )
.3 3 2 1 2 1 23 1 1
5 5 5 52 23 3(1 ) (1 ) )8
x x x x− − − − −− −⎛ ⎞+ − ⊕ + ⊕⎜ ⎟
⎝ ⎠
5 5 5 2( (1 )2
x x x= ⊕
1
2 3 2 2 1 55 5 5 5 2
2 15 2
3 3(1 ) (1 )2 8(1 )
xx x xx
= + − + ++
6.9) se obtiene el resultado: De (2.20.16.8) y (2.20.1
1
2 3 2 2 1 55 5 5 5 2
2 1 2,5 2 5
6( ) 16 16(1 ) 24 (1 )
1
xx x x x
x
= − + − + +
+
2.20.16.10)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
149
Observación.- La función contráctil 1, 2 no puede determinarse escribiendo
1, 2 ( )x = 1, 1 3 ( )x− + y aplicando el Teor. (2.20.3) en su forma (2.20.3.7) porque
( )1, 3 11 no está definid− o.
Si se quiere determinar una forma elemental para 1, 2 ( )x , puede seguirse el
nto:
.20.17.-
siguiente procedimie
1, 2 ( )x = 1, 0 2 ( )x+ 2
( )0, 2 1 1(1 ) (−= 1,0 ( )x − ( 2 )1, 0 (x) )
1 ( )2 1 1(1 ) (−= ( )x − ( 2 )1 (x ) )
Pero, ( )2 1 1 2 11 (1 )(1 2) .2 3
= ⊕ ⊕ =
13=
( ) (1 )x Ln x= + 1
) = ( 2 )1 (x ) ( 2 )
1 (x
( )11
0
1 .1 kk
k
+
=
= ⊕∑
1
( )k
x=
( )1 12(1 ) (1 ) .1x x= ⊕ + ⊕
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
150
2(1 )(1 )2xx ⊕
= ⊕ +
luego,
.20.17.1) 2
1, 2(1 )( ) 3( (1 ) (1 ) ) , 0
2xx Ln x x x⊕
= + − ⊕ − 2 ≥
En el caso general, para evaluar la función contráctil es necesario recurrir a la
plo.
.20.18.- Sea
Def. (2.14.1).
Obsérvese el siguiente ejem
0, 1.qα > > − 2
1, q α⎜⎝1⎛ ⎞ =⎟⎠ 1,q
1⎛ ⎞⎜ ⎟α⎝ ⎠
( )1
, 1
0
11 .1q k
q k
k α
+ +∞
=
⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
(110
1 ,(1 )q k
kτ
α ++ +=
=+∑ )1 1 ,q q k
∞
+ + (Teor. 2.12.11)
( )11
1 τ∞
=∑ ,1(1 ) qq k
k
q kα ++
=
++
1
1 1(1 ) ( )(1 )q k
k
qk qα α
∞
=
+=
+ + +∑
Esto es,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
151
( ) ( )( )1,q q kk 1
1 1 q 1∞+⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ∑2.20.18.1) , q 1, 01 k q 1=
> − α >α⎝ ⎠ + α + + α
Si
0, 1,q α= = de (2.20.18.1) se obtiene una serie logarítmica para 2Ln .
2.20.18.2) 1 .2k
k k=
12Ln∞
=∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
152
2.21.- Función Contráctil Adyacente , q p
2.21.1.- Definición.- Para cada par de números reales , se entenderá por
dyacente” la función,
, , 0p q p ≥
“Función Contráctil A
p q 1 − ( ), 1 , 0p q x x− > p , q (x) x(1 x= ⊕ ) −
.21.1.1)
Ejemplos.-
2 p 1p, 0 (x) x(1 x )−= ⊕ − ( ), 1p x−
1(1 )p px x x− −= + −
x=
Es decir,
p , 0 (x ) x= , x 0≥
2.21.1.2)
0 q 10,q (x) x(1 x ) −= ⊕ − ( )0, 1q x−
12 2q q
x x−= −
2q
x=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
153
Esto es,
0,q q) , x 02
= ≥ x(x
p , 1 (x ) x= − ( )1 x 2.21.1.3)
Si 1p = y se tiene respectivamente,
2p =
1, 1 (x ) x Ln (1 x) , x 0= − + ≥
2, 1 (x ) x ArcTg (x ) , x 0= − ≥
( )1
2 212,2
(x ) x 1 x−
= ⊕ − ( )12,2
x−
2.21.1.4)
1
2 2(1 ) 1x x−= + −
21 1x= + −
Esto es,
212,2
(x ) 1 x 1 , x 0= + − ≥
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
154
2.21.2.- Teorema.-
ddx
p qp ,q (x) (1 x ) , x 0= ⊕ >
Demostración.-
2.21.2.1) ddx
p q 1 p p q p p qp ,q (x) (1 x ) p(q 1)x (1 x ) (1 p(q 1))x (1 x )− − −= ⊕ + − ⊕ − + − ⊕
1(1 ) (1 )p q p p qx x x− −= ⊕ − ⊕
x
1 1(1 ) ((1 ) (1 ) )p q p q p qx x− −= ⊕ − ⊕ − ⊕
(1 )p qx= ⊕
.21.3.- Aplicaciones del Teorema (2.21.2).-
2
1 13 3
32 220 0 2(1 ) 1 (1 )
x xdx dxx x x
=+ + +
∫ ∫ 2.21.3.1)
1 3
3 2 2
0
(1 )x x d−= ⊕∫ x
1 3
2 2(1 )0
x dx= ⊕∫
= 13 02,2
(x) , (Teor. 2.21.2)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
155
3 = 32,2
(1) −2 ,
2
(0)
.21.3.2)
Pero,
21
2 232 ,2
(x ) x (1 x )= ⊕ − ( )12,2
,x (Def. 2.21.1)
Además,
2.21.3.3)
( )1 22,2
12(1 ) ,1
xx
= −+
(2.20.16.4)
Lu
.21.3.4)
ego,
1
2 23 22,2
1(x ) x(1 x ) 2(1 )1 x
= ⊕ − −+
, (2.21.3.2)
De donde,
.21.3.5)
2
32,2
3 2 4(1)2−
= 32,2 (0) 0 ,=
2
Por lo tanto,
2.21.3.6)
1 3
2 20
3 2 4 ,2(1 ) 1
x dxx x
−=
+ +∫ (2.21.3.1)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
156
2.21.3.7) 1 14x dx
114 6 2
0
(1 )x x dx−= ⊕
)
6 20 (1 )x+∫ ∫
1
2 6(1 2
0
x x= ⊕∫ dx
13
= 3 12, 2 0(x ) , (Teor. 2.21.2)
1 (3
= 2 , 2 (1) − 2 , 2 (0))
Pero,
2.21.3.8)
22, 2 (x) x(1 x )= ⊕ − ( )2,1 ,x (Def. 2.21.1)
Además,
.21.3.9)
( )2,1 2
3 ( )2 1
xx ArcTg xx
= −+
,2 (2.14.3.19)
.21.3.10)
Luego,
22, 2 2
3 x(x ) x (1 x ) (Arctg x )2 1
= ⊕ − −+
2x
De (2.21.3.10) se obtienen los valores:
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
157
(0) 0 ,= 2, 210 3(1)2.21.3.11) 2, 2 24
− π=
De (2.21.3.7) y (21.3.11) se obtiene el resultado:
.21.3.12)
1 14
6 2
10 3(1 ) 24
x dxx
20
π−=
+∫
.21.3.13)
22 25x 5 3 2
3 2 (1 )(1 )
dx x x dxx
−= ⊕+∫ ∫
0 0
2
1 3 2
0
(1 )x x dx−= ⊕∫
2
2 3 3 2
0
. (1 )x x x−= ⊕∫ dx
2
2 3 3 2
0
((1 ) (1 ) )x x x= ⊕ − ⊕∫ dx
13
= 3 21, 1 0(x ) −
13
3 21, 2 0(x )
13
= 1, 1 (8) −13 1, 2 (8)
Nota: (0) 0 ,= (0) 0= 1, 1 1, 2
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
158
Por otra parte,
2.21.3.14) 1, 1 (x ) x Ln(1 x)= − +
1, 2 (x ) x (1 x )= ⊕ − ( )1,1 x
(1 ) 2( (1 ) (1 ))x x Ln x x= ⊕ − + − ⊕
.21.3. )
De (2.21.3.14) se tiene,
1, 1 (82 15 ) 8= 2Ln (3)−
1, 280(8) 4Ln(3)9
= −
De (2.21.3.13) y (2.21.3.15) se obtiene el resultado:
( )2 5
3 2
2 9 3 4) 27
x dx Lnx
= −
ables de
2.21.3.16) 0 (1+∫
2.22.- Propiedades Not p , q
Consideremos nte la Def. (2.21.1), esto es, nuevame
p q 1p , q (x) x(1 x ) −= ⊕ − ( ), 1 , 0p q x x− > 2.22.1.-
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
159
2.22.2.- Propo .- Si 0p > , entonces, sición
p p
p 1p ,p
(x) 1 x 1− = + −
straci
.22.2.1)
Demo ón.-
1
p pp 1p ,
p
(x ) x(1 x )−
− = ⊕ − 1p ,p
(x )−
2
( )1
1 1p px−−= ⊕ −
( )1
1 1p px= + −
1 1p px= + −
De (2.22.2.1) se deduce que p 1p ,p−
admite una extensión continua a 0x = y
además, p 1p ,p
(0) 0 , p 0− = >
Por ejemplo,
2.22.2.2)
1 , 23
(0) 0−
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
160
Obsérvese que para 1, 1− se tiene,
.22.2.3)
21, 1 (x) x(1 x)−− = ⊕ − ( )1, 2 , 0 ,x x− >2 (Def. 2.21.1)
(Def.2.20.13)
1 2 1(1 ) ((1 ) ) ,x x x Ln x− −= + − ⊕ −
1 2 1(1 2 ) (1 )x x x x Ln− − −= + + − + + x
0>
1= + + ,x Ln x x
La función 1, 1− no está definida en 0x = .
, entonces
2.22.3.-Teorema.- Si 1pq ≠ −
( ), , 0p q x x > ( )p qp, q (x) x(1 x ) 1 pq= ⊕ − ⊕
.-
.22.3.1)
Demostración
p q 1p , q (x) x(1 x ) −= ⊕ − ( ), 1 , 0p q x x− > 2
Pero implica,
2.22.3.2)
1pq ≠ −
( ), 1p q x− = ( )q 1, 1 p(1)p , q 1 (x ) 1 −
− + ( ),p q x
1 (1 ) (1 )p p qx x pq−= ⊕ + ⊕ ( ),p q x
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
161
Luego,
.22.3.3)
p q 1 1 p p qp , q (x) x(1 x ) x (1 x ) (1 pq)− −= ⊕ − ⊕ − ⊕ ( ),p q x 2
p q 1 p q 1 p qx (1 x ) x((1 x ) (1 x ) ) (1 pq)− −= ⊕ − ⊕ − ⊕ − ⊕ ( ),p q x ,
0x >
p qx (1 x ) (1 pq)= ⊕ − ⊕ ( ),p q x
2.22.4.-Teorema.- Si , entonces
0q ≥ p , q admite una extensión continua a
= y además, 0 p,x q 0 . (0) =
mostración.- al Teor. (2.22.3) se tiene,
.22.4.1)
De Con arreglo
p qp, q (x) x(1 x ) (1 pq)= ⊕ − ⊕ ( ), , 0p q x x > 2
Ahora bien, ra 0q ≥ , , (0) 0p q = pa . Luego, el segundo miembro de la
ualdad (2.22.4.1) define una función continua, definida en ig 0x = y además, se anula
para ese valor de la variable.
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
162
2.22.5.-Teorema.- Si 0q ≥ , entonces,
p , q 11(x)
1 pq+ =+
( ), , 0p q x x ≥ p , (x ) −q
ostración.- La diferencia de funciones Dem p, q − p , q 1+ es una función
continua en y además, 0x =
p , q (0) − p , q 1 (0) 0 ,+ =2.22.5.1) (Teor. 2.22.4)
11 pq
=+
( ), 0 ,p q q ≥ 0
or otra parte,
2.22.5.2)
P
(ddx p , q (x ) − p q p q 1
p, q 1 (x)) (1 x ) (1 x ) , x 0++ = ⊕ − ⊕ >
p p q 1x (1 x )− += ⊕
d 1(dx 1 pq
=+
( ), )p q x
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
163
2.23.- Integración de las Funciones Contráctiles
.23.1.-Teorema.- Si
, ,q r α son números reales tales que, 0, 0,q rα ≥ > , 2
entonces,
0
α
∫ ( ),r
p q x dx α= ( ), (1 )rp q rα − ⊕ ( )1
(1 ),r
p r q α +⊕
mostraci .- Integrando por partes se tiene, De ón
0
α
∫ ( ),r
p q x dx α= ( ) 1,
0
(1 ) (1 )r r pr prp q r pq x x d
α
α − +− + ⊕∫ 2.23.1.1) q x
α= ( ) 1,
0
(1 ) ((1 ) (1 ) )r r pr q prp q r pq x x x d
α
α +− + ⊕ − ⊕∫ q x
α= ( ),(1 ) (
1r
p qr pq
rα +
−+
r 1pr , q
r 1
( )+
+
α − r 1pr , q 1
r 1
( )+
++
α )
α= ( ), (1 )(1 )(rp q r pqα − ⊕ + r 1
p (1 r ), q ( )+⊕ α − r 1
p(1 r), q 1( )+⊕ + α )
α= ( ), (1 )rp q rα − ⊕ ( )1
(1 ),r
p r q α +⊕ , (Teor. 22.5)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
164
2.23.2- Teorema.- Si , ,q r α son números reales tales que, 0, 0,q rα ≥ > ,
entonces,
0
α
∫ ( ),r
p q x dx α= ( ), (1 )rp q rα − ⊕ ( )1
(1 ),r
p r q α +⊕
ostración.- Integrando por partes se tiene,
.23.2.1) ∫
Dem
α
( ),r
p q x dx α= ( ),0
(1 )r r pr qp q r x x dx
α
α − ⊕∫ 20
α= ( ), 1r
p q rα −
r+
( )1
,1
rpr q
r
α +
+
α= ( ), (1 )rp q rα − ⊕ ( )1
(1 ),r
p r q α +⊕
.23.3 Aplicaciones a la Integración Numérica.
2
( )1 17
7 66
0 0 0 0
11
y yx dx dy x x dx dyx
−= ⊕+∫ ∫ ∫ ∫ 2.23.3.1)
( )1
6
0 0
1y
x x dx dy= ⊕∫ ∫
1
0
1(2
= ∫ ( )23,1 0
)x y
xx dy
=
=
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
165
1
0
12
= ∫ ( )23,1 y dy
1 (2
= ( )3,1213
− ( )2,1 1 ) , (Teor. 2.22.4)
1 (12
= − 32(1) (13
− − ( )2 1 )
1 1 2(2 3 3
= + ( )2 1 − 3 (1))
o: ( )2 14π
= Per , (2.14.3.10)
( )33 21
9 3Lnπ
= + , (2.14.3.16)
De donde,
.23.3.2)
( )1 7
60 0
2 3 31 21 6 36
y
6x Lndx dy
x
π−= − −
+∫ ∫ 2
1 12 2
3 3
0 0
1 (1+x dx+ =∫ ∫ ( )23,3
)x dx 2.23.3.3)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
166
1 12 2
= + 23,3
1 12 2
⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
3 2,2 3
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 (12
= + 23,3
1 1)2 2
⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
3 2,2 3
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
31 112 8
= + 12
− 3 2,2 3
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, (Prop. 2.22.2)
ien,
Ahora b
( )2332
3 2,2 3
(1 ) (1 1)x x x= ⊕ − ⊕ ( )3 2,2 3
x 2.23.3.4)
luego,
.23.3.5)
23
3 2,2 3
1 1 1 12
(1 )4 4 8
⎛ ⎞ = ⊕ −⎜ ⎟⎝ ⎠
3 2,2 3
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
De (2.23.3.3) y (2.23.3.5) se tiene,
.23.3.6)
12 3
3 3
0
17 9 1172 4
x dx+ = +∫ 3 2,2 3
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
Pero,
3 2,2 3
1 24
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 2,
2 3
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2.23.3.7)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
167
5 2 3,3 3 2
0
12 1 .18
k k
k
⎛ ⎞+∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
550 33
1 5 22 ,3 39
kkkτ
∞
+=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
3
51 3
2 9 1 7(1 , )81 9 3k
kkτ
∞
=
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
3
1
2 9 5.8.11. .(2 3 )(1 )81 9 .7.10.13. (4 3 )k
k
kk
∞
=
+= +
+∑ L
L
Sustituyendo (23.3.7) en (23.3.6) queda:
.23.3.8)
12 3 9 157 5.8.11. .(2 3 )k∞ +L3 3
10
1 ( )162 4 9 .7.10.13. (4 3 )k
kx dx
k=
+ = ++∑∫ L
2
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
168
2.24.- Función Contráctil Complementaria p , q
Definición.- Para cada par de números reales tales que
se entenderá por “Función Contráctil Complementaria” la función:
2.24.1.- ,p q
1, 1,p pq> >
p , q1(x)
pq 1=
−1 p
p , q 1p 1
(x ) , x 0−
−−
>
algunas asiones,Nota: En oc p , q será referida como “Complemento Contráctil” de
p , q .
Obsérvese que si , entonces 1q = p , q se reduce al complemento contráctil de
p , p 1> , definido en (2.18.1).
En efecto,
p , 11(x)
p 1=
− ( )1 pp , 0
p 1
x ,−
−
(2.24.1)
11 ( )1 p
pp 1
x −
−
p
=−
= p (x ) (2.18.1)
,
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
169
2.24.2 Teorema.-
limx→∞ p ,q (x ) 0=
Demostrac Bión.- asta probar que,
2.24.2.1
limx→∞
1 pp , q 1
p 1
(x ) 0 , p 1, pq 1−
−−
= > >
Tenemos que,
.24.2.2
limx→∞
1 pp x, q 1
p 1
(x ) lim (x−
→∞−−
= 11
1
, ( )pp q
p
x −−
−
)
2
( )1,
1
0lim( 1 .1 )
pq kq k pp
x kx x
⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟+ −− ⎝ ⎠
→∞=
= ⊕∑
( ) ( )1,
1
0lim( 1 1 .1 )
pq kq k pp p
x kx x x
⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠
→∞=
= ⊕ ⊕∑
( ) ( )1,
11
1lim( 1 (1 1 .1 )
pq kq k ppq p p
x kx x x
⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠
→∞=
= ⊕ + ⊕∑
0 ,= puesto que 1pq >
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
170
2.24.3 Teorema.-
ddx
p qp ,q (x) (1 x ) , x 0−= − ⊕ >
Derivando directamente a partir de la Def. (2.24.1) se
.24.3.1)
Demostración.-
tiene,
ddx
p p qp ,q
1 p(q 1)(x) (1 x (1 x ) (1 p)x )pq 1 p 1
− − p q−= + ⊕ −
− − 2
.24.4.- Teorema.- Para cada trío de números reales q
(1 )p qx−= − ⊕
2 p, ,α tales que,
0, 1,pα > > 1.pq >
(1 )p q
dxxα
∞
=+∫ p ,q ( )α
Demostración.-
lim(1 ) (1 )
t
p q p qt
dx dxx xα α
∞
→∞=
+ +∫ ∫ 2.24.4.1)
lim(t→∞
= − tp ,q (x ) ) ,
α(Teor. 2.24.3)
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
171
lim(t→∞
= − p ,q ( t ) + p ,q ( ))α
= p ,q ( )α , (Teor. 2.24.2)
.24.5.- Corolario del Teor. (2.24.4).- Si y entonces,
2 1 0p r> + > 1,pq r> +
( )1
11
r
qp
x dxrxα
∞
=++
∫ r 1p ,q
r 1
( ) ,+
+
0α α >
Demostración.- Es suficiente hacer el cambio de variable y
aplicar el Teor. (2.24.4).
2.24.6.- Aplicaciones del Teor. (2.24.4) y del Corolario (2.24.5).
2.24.6.1)
1rt x +=
( )231 1
dx
x
∞
=+
∫ 3,2 (1) , (Teor. 2.24.2)
15
= 3 , 12
(1)
Pero 3 , 12
5(1) (3
= 32
1(1) )2
−
Luego
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
172
2.24.6.2) ( )23
1
1 (31
dx
x
∞
=+
∫ 32
1(1) )2
−
Por otra parte, 32
(1) está relacionado con 3 (1) , con arreglo a la Def.
(2.18.1).Así se obtiene,
2.24.6.3) 32
4 3(1) 29π
= − 3 (1)
Ahora bien,
2.24.6.4) 33 ln 2(1)
9 3π
= + , (2.14.3.16)
Entonces,
2.24.6.5) 32
2 3 2 ln 2(1)9 3π
= −
Para la integral se tiene,
2.24.6.6) ( )23
1
2 3 2 2 127 9 61
dx Ln
x
π∞
= − −+
∫
2.24.6.7) ( ) ( ) ( )
1
2 2 24 4 40 0 11 1 1
x x xdx dx dxx x x
∞ ∞
= −+ + +
∫ ∫ ∫
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
173
1 1 3 1,4 2 2 2β ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
2,2 (1) , (2.24.5)
( )12
1 1 1 1, 1,14 2 2 6β τ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
2,1 (1)
1 3 38 6 8 4π π⎛ ⎞= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
216π +
=
2.24.6.8) ( )25
2
121
x dxx
∞
=+
∫ 5 ,22
(4)
18
= 5 , 13
1( )8
12
= 5 , 13
1( )8
51,
2 3
0
1 1(1 ) .12 32
kk
k
⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
=
= ⊕∑
220
1 1 32 ,2 33 5k
k
kτ∞
+=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
174
220
1 1 13( , )2 33 5k
kkτ
∞
+=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
1
1 5 ( 1)!(1 )2178 33 13.18. .(8 5 )
k
k
kk
∞
=
+⎛ ⎞= + ⎜ ⎟ +⎝ ⎠∑
L
0.0004701168975≈
Esto es,
2.24.6.9) ( )25
2
0.00047011689751
x dxx
∞
≈+
∫
2.24.6.10) ( )24
0 01y
dx dy
x
∞ ∞ ∞
=+
∫ ∫ ∫ 4 ,2 (y) dy
0
17
∞
= ∫ 34 ,13
(y ) dy−
0
17
y∞
= ∫ 34 ,13
(y ) dy−
41,
4 2 3
00
1 ( (1 ) .1 )7
kk
k
y y dy⎛ ⎞∞ ∞ ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠
=
= ⊕∑∫
24 20 0
1 3( ) 2 ,7 (1 ) 4k
k
y dy ky
τ∞∞
+=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∑ ∫
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
175
20
1 1 1 3 11( , ) ,7 4 2 2 4k
k kβ τ∞
=
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
( )3 20 2
1 1 3 11( , ) 2, , ,28 2 2 4k
k kβ τ τ∞
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ (2.12.5)
30 2
1 1 3 11( , ) , ,28 2 2 4k
kβ τ∞
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ (2.12.10)
74. ,11 356 1
4 2
π=
− −(2.12.15.6)
8π
=
Esto es,
2.24.6.11) ( )24
0 81y
dx dy
x
π∞ ∞
=+
∫ ∫
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
176
2.25.- Sobre la diversidad de formas que adopta la Función Contráctil
2.25.1.- 0, 1( ) , 02q q
xx x+= ≥
2.25.2.- 11, 1( ) , 0 , 0x x xα
α α−+ − = ≥ >
2.25.3.- 1, 1( ) , 0 , 0x x xαα α−+ − = ≥ >
2.25.4.- 1, 1( ) 1 , 0x x− = ≥
2.25.5.- , ( ) 1 , 0, 1, 0p q x p pq x= > = − ≥
2.25.6.- 1( ) (1 ) , 0x Ln x x= + ≥
2.25.7.- 11,2
( ) ( 1 ) , 0x Ln x x x−
= + + ≥
2.25.8.- 11,2
( ) 3( ( 1 ) 1 ) , 0x Ln x x x x= + + − ⊕ ≥
2.25.9.- 1 1,2 2
3( ) ( 1 1 ( 1 )) , 02
x x x x Ln x x x−
= ⊕ + ⊕ − + + ≥
2.25.10.- 22 ( ) 1 , 0x Arcsen x x= ⊕ ≥
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
177
2.25.11.- 2 ( ) , 0x ArcTan x x= ≥
2.25.12.- 1(2 ) (1 ) , 0x ArcTanh x x= ⊕ ≥
2.25.13.- 12
( ) 2 2 (1 ) , 0x x Ln x x= − + ≥
2.25.14.- 3 2 3 313
3( ) ( 2 2 (1 )) , 02
x x x Ln x x= − − + ≥
2.25.15.- 3 323
( ) 3 3 , 0x x ArcTan x x= − ≥
2.25.16.- 5 3 5 525
5( ) ( 3 3 ) , 03
x x x ArcTan x x= − + ≥
2.25.17.- 1( 1) , , 1xy Lnx Lny x y− = + ≥
2.25.18.- 31( )6
x = 1 2
3 3 2 1 3( ) ( ) , 01 3 183
x xArcTan xx x
π−+ + ≥
− +
2.25.19.-
2 3 41 1 5 5 55 5
15
( ) 5( (1 ) ) , 02 3 4x x xx Ln x x x= + − + − + ≥
2.25.20.-
3 51 17 77 7
27
( ) 7( ( )) , 03 5x xx x ArcTan x x= − − − ≥
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
178
2.25.21.- 2 ( )x + 2 ( )y π= − 2 ( ) , , 11
x y x yxy+
>−
2.25.22.- 21( )x+ 2
1( )y
= 2 ( ) , , 11
x y x yxy+
>−
2.25.23.- 2 21
1 4( ) ( , ) ( ) , 04 1
k
kk kα β α
α α
∞
=
= >+∑
2.25.24.- 11
( )k n
k
n=
=
= ∑ 11( ) , 1, 2,...nk
=
2.25.25.- 11
1 1 1 1( ) ( ... ) , 1, 2,...( 1) 1.2 2.3 .( 1)n k k k
kn H n
k k n n
∞
=
= − + + + =+ +∑
Donde nH es el número armónico, 1
1k n
nk
Hk
=
=
= ∑
2.25.26.- 11
1 1 1 1( 1) ( ... ) , 2,3,...2 3k k k
k
n nk n
∞
=
− = + + + =∑
2.25.27.- 1( ) (1p x x p−= − ( )1 p1 p ,1 x ) , p 0, x 0− −+ + > >
Donde ( )p,α es la función beta contractiva,
( ) ( )k
k 1
p,kp, , p, , p, 1
∞
=
βα = α∈ α ≥
α∑
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
179
Además, p y α no toman simultáneamente el valor 1.
2.25.28.- 1( ) (1x x= − ( )12,1 x ) , x 0−+ >
2.25.29.- Si p 0, q 1,> > −
11 , ( ) (1 ( 1))p
p q x p q+⊕ = + + , 1( ) , 0p q x x+ ≥
2.25.30.- Si p 0, q 1,> > −
11 , ( ) (1 ( 1)) ( (1 )p p
p q x p q x x+⊕ = + + ⊕ − , ( )) , 0p q x x ≥
2.25.31.- Si p 0, p 1,> ≠
1 1,
1( ) (1 ) , 01
(1 )p ppp p p
px xp
x− −= − ≥
−+
2.25.32.- 1 22,2
1( ) 2(1 ) , 01
x xx
= − ≥+
2.25.33.- 231, 23
1( ) ((1 ) 1) , 02
x x x−
= + − ≥
2.25.34.- Si p 0, p 1,> ≠
11 ,1
1( ) ((1 ) 1) , 01
p p
pp
x x xp
−
−= + − ≥
−
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
180
2.25.35.- 11, 2 ( ) (1 ) , 0x x Ln x x−− = ⊕ − >
2.25.36.- 1 21, 3( ) 2(1 ) (1 ) 2 , 0x x x Ln x x− −− = ⊕ + ⊕ − >
2.25.37.-
41( ) (2
4 2x = 2 ( 2 1) 2 ( 2 1)x ArcTan x+ + − +
2
2
1 2( ))1 2
x xLnx x
+ +− +
2.25.38.-
61( )3
x = 21( )6
x + 21 3(2 3) (2 3)6 12
x ArcTan x+ + − + 1 2
2 3( )1 3
xx x− +
2.25.39.- Si p(q 1) 1, p 0,+ = − >
, ( ) (1 )p qp q x x x= ⊕ − 1, ( ) , 0p
q x x− >
2.25.40.- 3 2 11, 32
( ) (1 ) (1 ) 2(1 ) 2 , 0x x x x x Ln x x− − −
−= ⊕ + ⊕ − ⊕ + >
2.25.41.- 21, 2 ( ) (1 )x x x −− = ⊕ − 1
1, 2 ( ) , 0x x−− >
2.25.42.- 3
2 232,2
( ) (1 )x x x−
−= ⊕ − 2
31,2
( ) , 0x x−
−>
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
181
2.25.43.- 14,2
( ) 2x = 14,2
(1) − 114,2
( ) , 0x x− >
2.25.44.- Si p 1, p r 1 0,> > + >
,
( )rpp
x =,
1(1) (1rp
p
rp+
+− ,
( 1)
(1)p rp r p− +
− 1
,( 1)
( ))r pp r
p r p
x + −
− +
2.25.45.- 35,5
( ) 2x = 35,5
(1) − 135,5
( ) , 0x x− >
2.25.46.- 13,3
( ) 2x = 13,3
(1) − 113,3
( ) , 0x x− >
2.25.47.- Si p 0, q 1,> > −
, ( )p q x = ( ),( ), ( ) 1 q n pn
p q x + , ( ) , 0 , 1, 2,...p q n x x n+ > =
Donde, ( ) 1, ( )n p
p q x x −= ( ), ( )n
p q x y ( )1
,( ) 1,
0
( ) (1 ) .1k n
q k pn p q kp q
k
x x= −
+ +
=
= ⊕∑
2.25.48.- Si p 0, pq 1,> > −
( ), 10
( ) 1 , 0(1 )
x pq
p q p q
tx pq dt xt += + ≥
+∫
Nota: La fórmula (2.25.48) es una “Forma Integral” para la función contráctil
, ( ),p q x 0, 1p pq> > − .
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
182
2.25.49.-
1 6 22 , 3
1 1( ) 2 1[ 3,1 3,1 3, ], 02 2
x x Hypergeometric F x x+= + + + + − ≥
2.25.50.-
11 2 4213 3 3
1 15 1 15,3 7 3 7
3( ) ( 38280 81345 45617 1740 420490(1 )
xx x x x xx
= − − − − ++
1 15 13 7 31 1 838280(1 ) 2 1[ , , , ]) , 0
7 7 7x Hypergeometric F x x+ + − ≥
2.25.51.-1 1 13 3 3
1, 33
3 3( ) ( (2 3) 2 1[1 3, 3, 2 3, ]5 3 3
x x Hypergeometric F x++
= − + + + −+
13(2 3) 2 1[1 3,1 3,2 3, ]Hypergeometric F x+ + + + + − +
1 13 3(1 3) 2 1[2 3, 3,3 3, ]) , 0x Hypergeometric F x x+ + + − ≥
2.25.52.-
1(3 5 )6
1 5,2 3
6 5 5 5 5( ) ( 2 1[1 , , 2 , ])3 3 33 5
x x Hypergeometric F x++
= + + −+
, 0x ≥
2.25.53.-
1 2 10 22,1 5
1 1( ) ( 2 1[1 5,2 5,2 5, ])2 2
x x Hypergeometric F x+ ++
= + + + + + −
, 0x ≥
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
183
2.25.54.- 1 12 2 ,2 22 2
1( ) 2(1 ) , 0(1 )
x xx
++
= − >+
2.25.55.- 3 2, 3 2( ) 1 , 0x x
+ −= >
2.25.56.- Si p 0, q 0,> ≥
( )1, 1
1( ) 1(1 )
pq p q
x
x p q dtt t
∞−
+= ++∫
Nota: La fórmula (2.25.56) constituye una “Forma Integral” para la función
contráctil 1, ( ) ,pq x− 0, 1p pq> > − .
2.25.57.- 1(1) (2)Ln=
2.25.58.- 2 (1)4π
=
2.25.59.- 33 (2)(1)
9 3Lnπ
= +
2.25.60.- 42 (1 2)(1)
4 2Lnπ + +
=
2.25.61.- 51 1(1) (2 10(5 5) 5(4 (2) 5 ( (7 3 5)))
100 2Ln Lnπ= + + + +
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
184
2.25.62.- 62 3 (7 4 3)(1)
12Lnπ + +
=
2.25.63.- 32
2 3 18 (2)(1)27
Lnπ −=
2.25.64.- 31 3 3 (3)( )2 18
Lnπ −=
2.25.65.- 13,2
5 3 11(1) 2 1[ , , , 1]6 2 6
Hypergeometric F= −
2.25.66.- 2
2 2 1[0, ] [0, ]4 2 2(1)
2 2
PolyGama PolyGama+−
=
2.25.67.- 51 2,3 5
119 2 2 7(1) (12 2 1[ , , , 1] 7 8)100 5 5 5
Hypergeometric F= − −
2.25.68.- Si p 0,>
1 1[0, ] [0, ]2 2(1)
2p
pPolyGama PolyGamap p
p
+−
=
2.25.69.- 2 , 3
1 1(1) 2 1[ 3,1 3,1 3, 1]2 2
Hypergeometric F= + + + + −
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
185
2.25.70.-
3223,3
1 22(1) (1 )(3 4(17290420 9441561 3)97377280(3 3) 3
= + − −+
1 1 1 4 11104(83679 46130 3) 2 1[ , , , 1]3 3 33 3
Hypergeometric F+ + + −
2.25.71.- Si p 0, pq 1,> > −
,
1 12 1[1 , ,1 , 1](1)
1p q
Hypergeometric F q q qp p
pq
+ + + + −=
+
2.25.72.- 22
1 1(2) 2 2 1[ ,1,1 , 2 ]2 2
Hypergeometric F= + −
2.25.73.- 13,2
5 3 11(2) 4 2 2 1[ , , , 8]6 2 6
Hypergeometric F= −
2.25.74.-
3 33
23 5
1 2 15,3 5
2 2 7 42 12 2 5 417(42 2 1[ , , , 2] )5 5 5
(1 2)(2)25 8192
Hypergeometric F + +− −+=
2.25.75.- Si p 0,>
1 1(2) 2 2 1[1, ,1 , 2 ]pp Hypergeometric F
p p= + −
Capítulo II: Fundamentos Teóricos
186
2.25.76.-
1 6 22 , 3
1 1(2) 2 2 1[ 3,1 3,1 3, 2 ]2 2
Hypergeometric F+= + + + + −
2.25.77.- Si p 0, pq 1,> > −
1,
1 12 1[1 , ,1 , 2 ](2) 2
1
p
pqp q
Hypergeometric F q q qp p
pq+
+ + + + −=
+
2.25.78.- 22
1 1 1 1( ) 2 1[ ,1,1 , 2 ]2 2 2 2
Hypergeometric F −= + −
2.25.79.-
1, 23
3 2(1) ( (2 2) 2 1[1 2, 2, 2 2, 1]4 3 2
Hypergeometric F+= − + + + −
+
(2 2) 2 1[1 2,1 2, 2 2, 1]Hypergeometric F+ + + + + −
(1 2) 2 1[2 2, 2,3 2, 1])Hypergeometric F+ + + + −
2.25.80.-1 26 3
6 31, 23
(2 2)(3 2) 2(2) ( 2 2 1[1 2, 2,2 2, 2]4 3 2
Hypergeometric F+
+ += + + −
+
6 32 2 1[1 2,1 2, 2 2, 2]Hypergeometric F− + + + −
32 1[2 2, 2,3 2, 2])Hypergeometric F− + + −
( ), ,n
p q rf
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
187
3.1.- Solución del Problema de Valor Inicial 1
( )( ) 1
1, , 0, 0, 0
1
lim 0
r
qp
x
q p xxy ry p r q x
x
y
+
→∞
⎧ +′ = − > ≥ >⎪⎪ +⎨
⎪ =⎪⎩
(3.1)
- Determinaremos primero la solución general de la ecuación diferencial 3.1
aplicando el método de variación de parámetros (Método de Lagrange).
Consideremos la ecuación diferencial homogénea.
0 , 0dy r y xdx x
− = > (3.2)
Luego,
, 0dy dxr xy x= > (3.3)
La solución general de la ecuación 3.3 es:
constante (3.4) ,rhy C x C= :
Reemplazaremos ahora la constante en (3.4) por una función , de
tal modo que la función obtenida sea una solución particular de la
ecuación diferencial (3.1).
C ( )u u x=
( ) rpy u x x=
Derivando respecto de la variable e introduciendo en la ecuación
(3.1) se obtiene:
py x ,py
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
188
1
( 1) ,(1 )p q
du p q xdx x x + 0+
= −+
> (3.5)
Una solución particular para (3.5) es:
( )u x = 1, ( ) ,pq x x− > 0 (3.6)
Luego, la función
rpy x= 1, ( ) ,p
q x x− > 0 (3.7)
es una solución particular de la ecuación diferencial (3.1).
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial (3.1) puede
expresarse en la forma siguiente:
r ry C x x= + 1, ( ) , 0 ,pq :x x− > C constante (3.8)
Antes de determinar la solución particular que satisface la condición inicial
, es necesario demostrar previamente, algunas proposiciones. lim 0x
y→∞
=
3.2.- Proposición.- Si , entonces 0, 0p q> ≥
limx→∞ 1, ( )p
q x− 0=
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
189
Demostración.-
limx→∞ 1, ( ) limp
q xx−
→∞= 1, ( p
q )x−
( ) ( )1 , 1
0lim 1 .1
q k q kp
x kx
∞ + +−
→∞=
= ⊕∑
0=
3.3.- Proposición.- Si entonces, , 0, 0p r q> ≥ ,
3.3.1.- ( 1) lim r
xr p q x
→∞< + ⇒ 1, ( )p
q x− 0=
3.3.2.- ( 1) lim r
xr p q x
→∞= + ⇒ 1, ( )p
q x− 1=
3.3.3.- ( 1) lim r
xr p q x
→∞> + ⇒ 1, ( )p
q x− = ∞
Demostración.-
3.3.4.- lim r
xx
→∞ 1, ( ) limpq x
x−
→∞= 1
rx− 1, ( pq )x−
( ) 1 1
1
1 (1 ) ( )lim
p p q
rx
q x x p xr x
− + − −
− −→∞
+ ⊕ −=
−
p
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
190
( ) 11 (1 )lim
p q
rx
p q xr x
− +
−→∞
+ ⊕=
De donde,
3.3.5.- lim r
xx
→∞
( 1) 11,
( 1)( ) lim (1 )p r p qq x
p qx xr
− − +
→∞
p qx ++= ⊕
De la igualdad (3.3.5) se prueba la Prop. (3.3).
De la Prop. (3.3) se deduce que para ( 1r p q )< + la solución particular de la
ecuación diferencial (3.1), que tiene la forma rpy x= 1, ( )p
q x− ,
→∞ →∞> ⇒ = +
satisface la
condición inicial . lim 0x
y→∞
=
Probaremos que a partir de la solución general (3.8) no se obtienen otras
soluciones que satisfagan esta condición inicial.
En efecto, considerando la constante C en (3.8) se tienen las siguientes
relaciones:
3.3.6.- 0 lim lim( r r
x xC y Cx x 1, ( ))p
q x− = ∞
→∞ →∞< ⇒ = +
3.3.7.- 0 lim lim( r r
x xC y Cx x 1, ( ))p
q x− = −∞
→∞ →∞= ⇒ = +
3.3.8.- 0 lim lim( r r
x xC y Cx x 1, ( ))p
q x−
lim r
xx
→∞= 1, ( )p
q x− 0=
Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial (3.1) tiene la forma
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
191
3.3.9.- ry x= 1, ( ) , , 0, 0, ( 1)pq x p r q r p q− > ≥ < +
Las siguientes proposiciones están referidas a funciones que tienen la forma
(3.3.9 ).
3.4.- Proposición.- Si entonces, 0, 0,p q> ≥
0limx +→
1, ( )pq x− = ∞
Demostración.-
3.4.1.- 0
limx +→
1,0
( ) limpq
xx
+
−
→= 1, ( )p
q x−
( ), 11
0 0
lim (1 ) .1 q kp q k
x k
x+
∞− + +
→ =
= ⊕∑
( ), 1
0
1 q k
k
∞
=
=∑
= ∞
3.5.- Proposición.- Si entonces, , 0, 0p r q> ≥ ,
0
lim r
xx
+→1, ( )p
q x− 0=
Demostración.-
3.5.1.- 0
lim r
xx
+→1,
0
1( ) limpq rx
xx+
−−→
= 1, ( )pq x−
1 1
10
(1 ) (1 ) ( )limp p q
rx
q x x p xr x+
p− + −
− −→
+ ⊕ −=
−
−
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
192
1
0
(1 )lim (1 )r p
x
p q x xr+
q− +
→
+= ⊕
0=
De la Prop. (1.5) se deduce que las funciones que tienen la forma 3.3.9 gozan
de la siguiente propiedad:
3.5.2.- 0
lim 0x
y+→
=
Luego, tales funciones admiten una extensión continua a , definiendo
.
0x =
(0) 0y =
Las siguientes funciones constituyen una extensión de las funciones de la
forma (3.3.9 ).
3.6.- Definición de las funciones ( , )r p qϕ
Para cada trío de números reales tales que,
se define la función
p, q, r , 0, 0, ( 1p r q r p q> ≥ < + )
( , ) :r p qϕ 0+ → , del siguiente modo:
Si 0x > , ( , )( ) rr p q x xϕ = 1, ( p
q )x− , y para x = 0, ( , )( ) 0r p q xϕ = . (3.9)
Las funciones ( , )r p qϕ tienen las siguientes propiedades:
3.6.1.- ( , )r p qϕ es una solución particular de la ecuación diferencial (3.1).
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
193
3.6.2.- ( , )r p qϕ es continua en 0+ .
3.6.3.- ( , )( ) 0 , 0r p q x xϕ ≥ ≥
3.6.4.- lim ( , )( ) 0rxp q xϕ
→∞=
3.6.5.- 0
lim ( , )( ) 0rx
p q xϕ+→
=
3.6.6.- ( , )r p qϕ alcanza su valor máximo en 0+ .
Ejemplos de funciones ( , )r p qϕ para algunos valores de p, q, r:
3.6.7.- ( ,0)( ) rr p x xϕ = 1,0 ( ) ,px x− > 0
>
0
(1 ) , 0r px Ln x x−= +
De donde,
3.6.8.- Si ( (1 ) ) , 0
( ,0)( )0 ,
r p
rx Ln x p Lnx x
p xx
ϕ⎧ + − >
= ⎨=⎩
3.6.9.- 11(2, )( )2
x xϕ = 211,2
( ) ,x x− > 0
Pero, 2 21 21,2
1( ) 3( (1 1 ) ) ,1
x Ln x Lnx xx
− = + + − −+
0>
Luego,
3.6.10.- 21 2
1 1(2, )( ) 3 ( (1 1 ) ) , 02 1
x x Ln x Ln x xx
ϕ = + + − −+
>
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
194
Las siguientes figuras representan las gráficas de algunas funciones
( , )r p qϕ para valores específicos de , , .p q r
Figura 3.1: Gráfica de 2 (1,3)ϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 3.2: Gráfica de 5 (1,5)ϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
195
Figura 3.3: Gráfica de 32
3( , 2)2
ϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 3.4: Gráfica de 1
1( 2 , )2
ϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
196
Figura 3.5: Gráfica de 2( 5, 3)ϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
197
Las siguientes figuras representan las gráficas de algunas funciones
( , )r p qϕ para valores específicos de ,p r cuando q varía desde hasta . 0q = 5q =
Figura 3.6: Gráfica de 2 (1, )qϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 3.7: Gráfica de 1(1, )qϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
198
Figura 3.8: Gráfica de 1(2, )qϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 3.9: Gráfica de 1(3, )qϕ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
199
Figura 3.10: Gráfica de 2 (2, )qϕ
Fuente: Elaboración Propia.
3.7.- Teorema.- Si , ,p q r son números reales tales que,
entonces,
0,q ≥ , 0p r > ,
)1 ( 1r p q+ < +
0
1 1( , )( ) , 11r
q r rp q x dx qr p
ϕ β∞ ⎛ 1
p⎞+ +
= +⎜+ ⎝ ⎠∫
+− ⎟ (3.10)
Demostración.-
3.7.1.- 0 0
( , )( ) rr p q x dx xϕ
∞ ∞
=∫ ∫ 1, ( )pp x dx−
0
rx∞
= ∫ 1, ( )pq x dx−
( ), 11
00
( (1 ) .1 )q kr p q k
k
x x d∞ ∞
− + +
=
= ⊕∑∫ x
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
200
( ), 11
0 0
( )(1 )
rq k
p q kk
x dxx
∞∞
+ +=
=+∑ ∫ 1
10
1 1 1( , 1 ) ( 1 ,qk
r rq k q kp p pβ τ
∞
+=
+ += + + − +∑ 1)+
1 110
1 1 1( , 1 ) ( 1, ) ( 2, )r qqk p
r rq q kp p p
β τ τ∞
+ ++ −=
+ += + − +∑ q k+
110
1 1 1( , 1 ) ( 2,rqk p
r rq qp p pβ τ
∞
++ −=
+ += + − +∑ )k
1 1 1 1( , 1 ) 12 ( 1 ) 1
r r qq rp p p q qp
β + + += + −
++ − + − −
1 1( , 11
q r rqr p
β 1)p
+ + += +
+−
Ejemplos.-
3.7.2.- 2 6 2 6
0 0
( (1 ) 6 ) (1 )x Ln x Ln x dx x Ln x dx∞ ∞
−+ − = +∫ ∫
2
0
x∞
= ∫ 61,0 ( )x dx− , (3.6.6)
( )( )20
6,0 x dxϕ∞
= ∫ , (3.6)
1 1 1( ,1 )3 2 2β= − , Teor. 3.7
1 1 1( , )3 2 2β=
3π
=
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
201
3.7.3.- 2 40 0(1 ) 8y
y ydx dyx x
∞ ∞ ∞
=+∫ ∫ ∫ 2
1,3 ( )y d− y
10
1 (2,3)( )8
y dyϕ∞
= ∫
( )1 .2 1,38
β= , Teor. 3.7
112
=
Nota: Si , entonces, ,p q > 0
3.7.4.- 1(1 )p q
dxx x pqα
∞
=+∫ 1, 1( p
q α−− ) , 0α > (3.11)
3.8.- Evaluación numérica de la Función Beta usando la Función Contráctil
3.8.1.- Teorema.- Para cada par de números reales tales que
,u v
0 1 , 0u v< < < <1,
( ) 1,u vu
β = 1 , 11
1(1)u v
v v+ −−
+ 1 , 11
(1)u v
u+ −
−
(3.12)
Demostración.-
3.8.1.1.- ( ) ( )1
11
0
, 1 vuu v t t dtβ −−= −∫
Haciendo el cambio de variable 1t x= ⊕ se tiene,
3.8.1.2.- ( ) ( )(1 )
0
, 1 u vvu v x x dxβ∞
+− += ⊕∫
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
202
( ) ( )1
(1 ) (1 )
0 1
1 1u v u vv vx x dx x x d∞
+ +− + − += ⊕ + ⊕∫ ∫ x
( ) ( )( )
1 11
0 1
( 1 1 )1
uu v u vv
u vxx x x dx
x
∞ −+ − +−
+= ⊕ − ⊕ ++∫ ∫ dx
11 v
=− 1 , 1
1
1(1)1u v
v v+ −−
−− 1 ,
1
1(1)u v
v v+−
+ 1 , 11
(1)u v
u+ −
−
1 1. 11 11
u vvv
=+ −− +−
1 , 11
(1)u v
v+ −
−
1v
+ 1 , 11
(1)u v
u+ −
−
1u
= 1 , 11
(1)u v
v+ −
−
1v
+ 1 , 11
(1)u v
u+ −
−
Observación.- Si y , 0u v > 1u v+ = , entonces con arreglo al Teorema 3.8 se
tiene,
1( , )u vu
β = 1 (1)u
1v
+ 1 (1)v
(3.13)
3.8.2.- Teorema.- Si son números reales tales que 0 1,u v , 0 1u v< < < < ny es
un número entero positivo, entonces
( ) 1, (u v nu
β + = 1 , 11
1(1)u v
v v+ −−
+ 1 , 11
(1)) ( , )vu vu
u v nτ+ −
−
+ (3.14)
Demostración.-
3.8.2.1.- ( ) ( ) ( ), , vu v n u v u v nβ β τ+ = + , Teor. de factorización
1(u
= 1 , 11
(1)u v
v+ −
−
1v
+ 1 , 11
(1)) ( , )vu vu
u v nτ+ −
−
+ Teor.3.8
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
203
3.8.3.- Teorema.- Si son números reales tales que, ,u v 0 1u< < y y
son números enteros positivos, entonces,
0 1v< < ,k n
( ) 1, (u k v nu
β + + = 1 , 11
1(1)u v
v v+ −−
+ 1 , 11
(1) ) ( , ) ( , )u vu vu
u v k u v k nτ τ+ −
−
+ + + (3.15)
Demostración.-
3.8.3.1.- ( ) ( ) ( ), , vu k v n u k v u v k nβ β τ+ + = + + + ,
( ) ( ) ( ), ,u vu v u v k u v k nβ τ τ= + + ,+
1(u
= 1 , 11
1(1)u v
v v+ −−
+ 1 , 11
(1) ) ( , ) ( , )u vu vu
u v k u v k nτ τ+ −
−
+ + +
Los Teoremas (3.8.1), (3.8.2) y (3.8.3) constituyen fórmulas de evaluación
para la función beta a través de la función contráctil, con alta precisión.
Ejemplos.-
3.8.4.- 1 1, 22 2
β ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 (1) 2+ 2 (1) , Teor. 3.8
4= 2 (1)
π=
3.8.5.- 4 8 4 2, ,5 3 5 3
β β⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
2⎞⎟⎠
5(4
= 73,15
3(1)2
+ 7 25,15 3
22(1) ) ( , 2)15
τ , Teor. 3.9
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
204
125 5(407 4
= 73,15
3(1)2
+ 75,15
(1) )
0.54 67 21663038260898157312031438≈
3.8.6 ( ) ( )71, 37 71 8 8, 37 6 6β β= − + − +
1(71 8
=− 1 , 37 71 15
7 37
1(1)37 6+ −
−
+− 1 , 37 71 15
9 71
(1) ) *+ −
−
71 8 37 6
( 37 71 14,8)* ( 37 71 6,6)τ τ− −
+ − + − Teor. 3.10
0.0000 70 423410 4324666549930542 236691≈
3.9.- Calculo de la constante K. para que ( ), , ( )n
p q rf x sea una función de densidad
de probabilidad.
Consideremos ahora la constante K, definida como sigue:
1 1 1 1, 11
q r rK qr p p
β− ⎛+ + += + −⎜+ ⎝ ⎠
,⎞⎟
)
(3.16)
, 0, 0, 1 ( 1p r q r p q> ≥ + < + .
La función ( , )( )r p q xϕ induce la función:
( ), , ( ) ( , )( )n
p q r rf x K p q xϕ= (3.17)
donde / 0, 1 ( 1)n máx k k r k p q= ∈ ≥ + + < + .
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
205
Algunas propiedades de ( ), , ( )n
p q rf x son:
3.9.1.- ( ), , ( ) 0 , 0n
p q rf x x≥ ≥
3.9.2.- ( ), , (0) 0n
p q rf =
3.9.3.- ( ), ,
0 0
( ) ( , )( ) , 1 ( 1)np q r rf x dx K p q x dx r n p qϕ
∞ ∞
= + +∫ ∫ < +
0
( , )( )rK p q x dxϕ∞
= ∫
1 1, 11
q r rK qr p p
β⎛ ⎞+ + +
= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
1−
1K K −=
1=
Las propiedades (3.9.1), (3.9.2), y (3.9.3) muestran que ( ), , ( )n
p q rf x es una
función de densidad de probabilidad.
3.10.- Teorema.- La función de densidad de probabilidad ( ), , ( )n
p q rf x admite
momentos de orden para cada numero entero tal que, ,s ,s 0 s n.≤ ≤ Además,
1 1( ) , 11
s q s r s rE x K qs r p p
β⎛ 1⎞+ + + + +
= +⎜+ + ⎝ ⎠− ⎟ (3.18)
Demostración.-
( ), ,
0
( ) ( )s s np q rE x x f x
∞
= ∫ dx
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
206
0
( ) ( , )( ) , 1 ( 1)s srE x x K p q x dx r n p qϕ
∞
= + + < +∫
0
s rK x x∞
= ∫ 1, ( )pq x dx−
0
r sK x∞
+= ∫ 1, ( )pq x dx−
0
( , )( ) , 1 ( 1)r sK p q x dx s r p qϕ∞
+= + + < +∫
1 1, 11
q s r s rK qs r p p
β⎛ ⎞1+ + + + +
= +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠− Teor. 3.7
3.10.1.- Evaluación de los cuatro primeros momentos ordinarios para ( ), , ( )n
p q rf x :
3.10.1.1.- Si , 2 ( 1r p q+ < + )
11 2( ) . , 12
q r rE x K qr p
µ β⎛ ⎞+ + +
= = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
2p
2 2, 112 1 1, 1
r rqpr
r r rqp p
β
β
⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=+ ⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
p ⎠ (3.19)
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
207
3.10.1.2.- Si , 3 ( 1r p q+ < + )
22
1 3( ) . , 12
q r rE x K qr p
µ β⎛ ⎞+ + +
= = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
3p
3 3, 11 .3 1 1, 1
r rqp pr
r r rqp p
β
β
⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=
+ ⎛ ⎞⎠
+ ++ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3.20)
3.10.1.3.- Si , 4 ( 1r p q+ < + )
33
1 4( ) . , 14
q r rE x K qr p
µ β⎛ ⎞+ + +
= = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
4p
4 4, 11 .4 1 1, 1
r rqp pr
r r rqp p
β
β
⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=
+ ⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎠
)
(3.21)
3.10.1.4.- Si , 5 ( 1r p q+ < +
44
1 5( ) . , 15
q r rE x K qr p
µ β⎛ ⎞+ + +
= = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
5p
5 5, 11 .5 1 1, 1
r rqp pr
r r rqp p
β
β
⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=+ ⎛ ⎞+ +
+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎠ (3.22)
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
208
3.10.2.- Cálculo de la varianza, coeficiente de asimetría y coeficiente de
kurtosis para ( ), , ( )n
p q rf x :
3.10.2.1.- La varianza se calcula aplicando el teorema citado en el libro “Estadística
Matemática con aplicaciones” de Freund-Walpole, página 152, Prentice Hall, 1987:
2 2( ) ( ) ( ( ))V x E x E xσ = = − 2
Luego, 2
2
3 3 2, 1 , 11 1( ) .3 21 1 1 1, 1 , 1
r r r rq qp p p pr rV x
r rr r r rq qp p p p
β βσ
β β
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + ++ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟= = −
⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ++ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2 ⎞⎟⎠
)
, (3.23)
3 ( 1r p q+ < +
3.10.2.2.- El coeficiente de asimetría se halla usando la definición:
33 3
µασ
= , (Freund-Walpole, 1987)
Luego,
3 32 2
4 4( 1) , 1
1 1( 4) , 1
3 3 2 2, 1 , 11 1.3 21 1 1 1, 1 , 1
r rr qp p
r rr qp p
r r r rq qp p p pr r
r rr r r rq qp p p p
β
βα
β β
β β
⎛ ⎞+ ++ + −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞+ +
+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎞⎟⎠
)
, (3.24)
4 ( 1r p q+ < +
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
209
3.10.2.3.- El coeficiente de kurtosis se calcula mediante la definición:
44 4
µασ
= , (Freund-Walpole, 1987)
Por lo tanto,
4 22
5 5( 1) , 1
1 1( 5) , 1
3 3 2 2, 1 , 11 1.3 21 1 1 1, 1 , 1
r rr qp p
r rr qp p
r r r rq qp p p pr r
r rr r r rq qp p p p
β
βα
β β
β β
⎛ ⎞+ ++ + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ +
+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎞⎟⎠
)
, (3.25)
5 ( 1r p q+ < +
3.11.- Cálculo del s-ésimo momento centrado para ( ), , ( )n
p q rf x , 1 (s r p q+ + < +1) :
( ), ,
0
( ) ( ) ( )s s ns p q rE x x fµ µ µ
∞
⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ∫ x dx
( )
( ) ( ), ,
00
1i s
i s i i np q r
i
sx f x d
iµ
∞ =−
=
⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠∑∫ x
( )
( ) ( ), ,
0 0
1i s
i i s i np q r
i
sx f x d
iµ
∞=−
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ x
( )
( )0 0
1 ( , )i s
i i s ir
i
sx K p q x d
iµ ϕ
∞=−
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ x
i
s
( )0 0
1i s
i i s i rK x xi
µ∞=
−
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ 1, ( )p
q x dx−
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
210
( )0 0
1i s
i i s r i
i
sK x
iµ
∞=+ −
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ 1, ( )p
q x dx−
( )0 0
1 ( , )( )i s
i ir s i
i
sK p q x dx
iµ ϕ
∞=
+ −=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ , 1 ( 1)s r p q+ + < +
( )0
1 11 , 11
i si i
i
s q r s i r s iK qi r s i p p
µ β=
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + + − += − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ 1 Teor. 3.7
3.12.- Función de Distribución Acumulativa para ( ), , ( )n
p q rf x
En el análisis de la Función de Distribución Acumulativa para ( ), , ( )n
p q rf x
distinguiremos tres casos:
1º) 1 ( 1) , 1r p q r p+ < + + <
2º) 1 ( 1) , 1r p q r p+ < + + >
3º) 1 ( 1) , 1r p q r p+ < + + =
Primer caso:
Evidentemente, . En tal caso para la función de
distribución acumulativa se tiene,
1 (r p p q+ < < +1)
( ), , ( )n
p q rF x
( ) ( ), , , ,
0 0
( ) ( ) ( , )( )x x
n np q r p q r rF x f t dt K p q tϕ= =∫ ∫ dt
)
0
( ( , )( ) ( , )( )r rx
K p q t dt p q t dtϕ ϕ∞ ∞
= −∫ ∫
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
211
1( ( , )( )rx
)K K p q tϕ∞
−= − ∫ dt
)
1 ( , )( )rx
K p q t dtϕ∞
= − ∫
Integrando por partes la integral del segundo miembro queda,
( )( ), rr
x x
p q t dt tϕ∞ ∞
=∫ ∫ 1, ( )pq x dx−
1 1
1 ( 1)( , )( )1 1 (1
r
r p qx
p q tp q x dtr r
ϕ∞
+ +
+= − +
+ + +∫ )t
11 ( 1) 1
1)( , )( ) .
1 1 (rp qp q x
r r p qϕ + ( 1)r
+= − +
+ + + − +1
,( 1)
( )r pp q
p r
x + −
− +
, 1 (r p p q+ < < +1)
Luego, para la función de distribución acumulativa se tiene,
( ), , 1
( 1)( ) 1 ( ( , )( )1 ( 1) ( 1)r
np q r r
K p qF x p q xr p q
ϕ ++
= + ++ + − +
1
,( 1)
( r pp q
p r
x + −
− +
) ) (3.26)
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
212
Segundo caso:
( ) ( ), , , ,
0 0 0
( ) ( ) ( , )( )x
n np q r p q r r
rF x f t dt K p q t dt K tϕ∞ ∞
= = =∫ ∫ ∫ 1, ( )pq t d− t
Integrando por partes la integral del segundo miembro:
0
rt∞
∫ 11, 1
0
1 ( 1)( ) ( , )( ) (1 )1 1
xp r
q rp qt dt p q x t t d
r rϕ− −
+
+= + ⊕
+ + ∫ p q t+
( 1) 11
0
1 ( 1)( , )( ) (1 )1 1
xr p q p q
rp qp q x t t dt
r rϕ − + +
+
+= + ⊕
+ + ∫
( 1) 11
0
1 ( 1)( , )( ) . (1 )1 1
xr p q mp mp p q
rp qp q x t t t dt
r rϕ − + + − +
+
+= + ⊕
+ + ∫
donde m es un número entero tal que , 0 1m q ε ε= + ≤ <
)
.
Obsérvese que ( 1) ( 1) (r p q mp r p q p q ε− + + = − + + +
r p pε= − +
1 pε> − +
1> −
Por otra parte,
0
xrt∫ ( 1) 1 ( )
1, 100
1 ( 1)( ) ( , )( ) ( ( 1) (1 ) )1 1
x i mp r p q mp i
q ri
mp qt dt p q x t t dir r
ϕ=
− − + ++
=
⎛ ⎞+= + − ⊕⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
∑∫ p q m i t+ − −
( ) ( 1) 1 ( )1
0 0
1 ( 1)( , )( ) 1 (1 )1 1
xi mi r p q mp p q m i
ri
mp qp q x t t dtir r
ϕ=
− + + + − −+
=
⎛ ⎞+= + − ⊕⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
∑ ∫
Nótese que para cada , 0 , 1 ( ) 0,i i m q m i≤ ≤ + − − ≥
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
213
Luego,
0
xrt∫ 1, 1
0
1 ( 1) 1( ) ( , )( ) ( 1)1 1 ( ( 1) 1)
i mp i
q ri
mp qt dt p q xir r r p q
ϕ=
−+
=
⎛ ⎞+= + −⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠
∑ mp+ +
* ( 1) 1
0, 1 ( )( 1) 1
( )xr p q mp
p q m ir p q mp
t − + + +
+ − −− + + +
Pero, para cada , 0 ,i i m≤ ≤, 1 ( )
( 1) 1
(0) 0p q m ir p q mp
+ − −− + + +
=
Por lo tanto,
0
xrt∫ 1, 1
0
1 ( 1)( ) ( , )( ) ( 1)1 ( 1)( ( 1) 1)
i mp i
q ri
mp qt dt p q xir r r p q mp
ϕ=
−+
=
⎛ ⎞+= + ⎜ ⎟+ + − + + + ⎝ ⎠
∑ −
* ( 1) 1
, 1 ( )( 1) 1
( )r p q m pp q m i
r p q mp
x − + + +
+ − −− + + +
(3.27)
( ), , 1
0
( 1)( ) ( ( , )( ) ( 1)1 ( 1) 1
i mn i
p q r ri
mK p qF x p q xir r p q mp
ϕ=
+=
⎛ ⎞+= + ⎜ ⎟+ − + + + ⎝ ⎠
∑ −
* ( 1) 1
, 1 ( )( 1) 1
( r p q m pp q m i
r p q mp
x − + + +
+ − −− + + +
)) (3.28)
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
214
Tercer caso:
Puesto que en este caso, 1r p+ = ,
1 1 1, 11
q r rK qr p
β− ⎛ ⎞1p
+ + += +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
−
( )1 1,q qp
β+=
1qpq+
=
De donde,
1pqK
q=
+
Luego,
( )( ) ( ), , , ,
0 0
( ) ( ) , ( )x x
n np q r p q r rF x f t dt K p q t dtϕ= =∫ ∫
0
xrK t= ∫ 1, ( )p
q t d− t
1
0
xpK t −= ∫ 1, ( )p
q t d− t
Aplicando integración por partes, tenemos:
1
0
xpt −∫ 1 1
1,0
1( ) ( , )( ) ( 1) (1 )x
p pq pt dt p q x q t t d
pϕ− −= + + +∫ p q t− −
Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rf x
215
( )
1 1( , )( ) 11
p qp
qp q xp pq tϕ
⎛ ⎞+ ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠
1
Por lo tanto, si 1 ( 1) , 1r p q r p+ < + + = , la Función de Distribución
Acumulativa de ( ), , ( )n
p q rf t viene dada por:
( ), ,
1( ) ( , )( )1 (
np q r p p q
qF x p q xq xϕ= −
+ +1 ) (3.29)
( )
, ,n
p q rg
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
217
4.1.- Solución del Problema de Valor Inicial 2
( )( )
1
1
1, , , 0, 0
1
lim 0
r p
qp
x
pq xxy ry p q r x
x
y
+ −
+
→∞
⎧ +′ = − > >⎪⎪ +⎨
⎪ =⎪⎩
(4.1)
Para determinar la solución general de la ecuación diferencial (4.1) se aplicará
el método de variación de parámetros, (método de Lagrange).
Consideremos la ecuación diferencial homogénea,
, 0 , 0ry y xx
− = > (4.2)
Luego,
, 0dy dxr xy x= > (4.3)
La solución general de 4.3 es,
constante (4.4) ,rhy C x C= :
Reemplazaremos ahora la constante en (4.4) por una función , de
tal modo que la función obtenida sea una solución particular de la
ecuación diferencial (4.1).
C ( )u u x=
( ) rpy u x x=
Derivando respecto de la variable e introduciendo en la ecuación
(4.1) se obtiene:
py x ,py
2
1
(1 ) , 0(1 )
p
p q
du pq x xdx x
−
+
+= −
+> (4.5)
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
218
Una solución particular para la ecuación diferencial (4.1) es:
4.1.5 ( )u x = 1, ( ) , 0p q x x− > (4.6)
Luego, la función
4.1.6 rpy x= 1
, ( ) , 0p q x x− > (4.7)
es una solución particular de la ecuación diferencial (4.1).
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial 4.1 puede
expresarse en la forma siguiente:
4.1.7 r ry C x x= + 1, ( ) , 0,p q :x x C− > constante (4.8)
Antes de determinar la solución particular que satisface la condición inicial
, es necesario demostrar una proposición. lim 0x
y→∞
=
4.2.- Proposición.- Si , entonces, , , 0,p q r >
4.2.1.- 1 lim r
xr pq x
→∞< + ⇒ 1
, ( ) 0p q x− =
4.2.2.- 1 lim r
xr pq x
→∞= + ⇒ 1
, ( )p q x− 1=
4.2.3.- 1 lim r
xr pq x
→∞> + ⇒ 1
, ( )p q x− = ∞
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
219
Demostración.-
4.2.4.- lim r
xx
→∞
1, ( ) limp q x
x−
→∞= 1.r px x − 1
, ( )p q x−
( ),1 1
0lim (1 ) .1 q k pr p p q k
x kx x
∞+ − − + +
→∞=
= ⊕∑
( ),1 1
1
lim (1 ) (1 (1 ) .1 )q k pr p p q p k
x k
x x x∞
+ − − + −
→∞=
= ⊕ + ⊕∑
0 11 1
1
si r pqsi r pqsi r pq
< +⎧⎪= =⎨⎪∞ > +⎩
+
De la Prop. 4.2 se deduce que para 1r pq< + la solución particular de la
ecuación diferencial 4.1, que tiene la forma rpy x= 1
, ( )p q x− , satisface la
condición inicial . lim 0x
y→∞
=
Probaremos que bajo la hipótesis 1r pq< + , no se obtienen otras soluciones
particulares que satisfagan esta condición inicial; a partir de la solución general (4.8).
En efecto, considerando la constante C en (4.8) se tienen las siguientes
relaciones:
4.2.5.- 0 lim lim( r r
x xC y Cx x
→∞ →∞> ⇒ = + 1
, ( ))p q x− = ∞
→∞ →∞< ⇒ = +
4.2.6.- 0 lim lim( r r
x xC y Cx x 1
, ( ))p q x− = −∞
→∞ →∞= ⇒ = +
4.2.7.- 0 lim lim( r r
x xC y Cx x 1
, ( ))p q x−
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
220
lim r
xx
→∞= 1
, ( ) 0p q x− =
Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial (4.1) tiene la forma
4.2.8.- ry x= 1, ( ) , , , 0, 1p q x p q r r pq− > < +
Las siguientes proposiciones están referidas a funciones que tienen la forma
4.2.8.
4.3.- Proposición.- Si entonces, , , 0p q r >
4.3.1.- 0
1 lim r
xr p x
+→+ > ⇒ 1
, ( ) 0p q x− =
4.3.2.- 0
1 lim r
xr p x
+→+ = ⇒ 1
,1( )p q
pqxr
− +=
4.3.3.- 0
1 lim r
xr p x
+→+ < ⇒ 1
, ( )p q x− = ∞
Demostración.-
Distinguiremos dos casos:
4.3.4.- 0
limx +→
1, ( ) ,p q x l l− = ∈
En este caso, es evidente que,
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
221
4.3.5.- 0
lim r
xx
→
1, ( ) 0p q x− =
4.3.6.- Si 0
limx +→
1, ( )p q x− = ∞ , entonces,
4.3.7.- 0
lim r
xx
+→
1,
0
1( ) limp q rxx
x+
−−→
= 1, ( )p q x−
1 2
10
(1 ) (1 ) ( 1 )limp p q
rx
pq x x xr x+
− + −
− −→
+ ⊕ −=
−
1 1
0
1lim (1 )r p p q
x
pq x xr+
+ − −
→
++= ⊕
0 , 11 , 1
, 1
r ppq r p
rr p
+ >⎧⎪ +⎪= +⎨⎪
∞ + <⎪⎩
=
Consideremos nuevamente la solución del problema de valor inicial 4.1 que tiene la
forma:
ry x= 1, ( ) , , , 0, 1p q x p q r r pq− > < + (4.9)
Obsérvese que si 1r p+ > , con arreglo a la proposición (4.3) debe tenerse, que
0lim 0x
y+→
= permitiendo la extensión continua de ry x= 1, (p q )x− a los números
reales no negativos, definiendo (0) 0y = .
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
222
4.4.- Definición de la función ( , )r p qψ
Introduciremos ahora, la siguiente función:
( , ) : , , , 0, 1 , 1r p q p q r r pq r pψ + → > < + + > , definida como sigue:
Si 0x > , ( , )( ) rr p q x xψ = 1
, (p q )x− , y para x = 0, ( , )( ) 0r p q xψ = . (4.10)
Las funciones ( , )r p qψ tienen las siguientes propiedades:
4.4.1.- ( , )r p qψ es una solución particular de la ecuación diferencial (4.1).
4.4.2.- ( , )( )r p q xψ es continua en 0+ .
4.4.3.- ( , )( ) 0 , 0r p q x xψ ≥ ≥
4.4.4.- lim ( , )( ) 0rxp q xψ
→∞=
4.4.5.- 0
lim ( , )( ) 0rx
p q xψ+→
=
4.4.6.- ( , )( )r p q xψ alcanza su valor máximo en 0+ .
Ejemplos de funciones ( , )( )r p q xψ para algunos valores de p, q, r:
4.4.7.- 1(2,1)( )x xψ = 12,1( ) , 0x x− >
1 23 ( ( ) (1 )) ,2
x ArcTan x x x−= − ⊕ 0>
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
223
De donde,
4.4.8.- Si 1 2
1
3 ( ( ) (1 ))(2,1)( ) 2
0 0
x ArcTan x x si xx
si x
0ψ
−⎧ − ⊕ >⎪= ⎨⎪ =⎩
4.4.9.- 13
13
1(2, )( )2
x xψ = 112,2
( ) ,x x− > 0
232 (1 1 ) ,x x x= − ⊕ 0>
Luego,
4.4.10.- 2313
1(2, )( ) 2 (1 1 ) , 02
x x x xψ = − ⊕ ≥
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
224
Las siguientes figuras representan las gráficas de algunas funciones
( , )( )r p q xψ para valores específicos de , , .p q r
Figura 4.1: Gráfica de 1(2,1)ψ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
225
Figura 4.2: Gráfica de 13
1(2, )2
ψ
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 4.3: Gráfica de 517 3( ,3 2
)ψ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
226
Figura 4.4: Gráfica de 132
(5, 11)ψ
Fuente: Elaboración Propia.
Las siguientes figuras representan las gráficas de algunas funciones
( , )( )r p q xψ para valores específicos de ,p r cuando varía desde hasta q 0q = 5q = .
Figura 4.5: Gráfica de 1(2, )qψ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
227
Figura 4.6: Gráfica de 13
(2, )qψ
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 4.7: Gráfica de 517( ,3
q)ψ
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
228
Figura 4.8: Gráfica de 132
(5, )qψ
Fuente: Elaboración Propia.
4.5.- Teorema.- Si , ,p q r son números reales positivos, tales que ,
entonces,
r pq<
0
1( , )( ) (1 , )( 1)r
pq r rp q x dx qp r p p
ψ β∞ +
= ++∫ − (4.11)
Demostración:
4.5.1.- 0 0
( , )( ) rr p q x dx xψ
∞ ∞
=∫ ∫ 1, ( )p q x−
1
0
r px x∞
−= ∫ 1, ( )p q x dx−
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
229
( ),1 1
00
(1 ) .1 q k pr p p q k
k
x x∞ ∞
+ − − + +
=
= ⊕∑∫
( )1
,1
0 0
( )(1 )
r pq k p
p q kk
x dxx
∞ + −∞
+ +=
=+∑ ∫ 1
Ahora bien, la integral impropia
4.5.2.- 1
10 (1 )
r p
p q k
x dxx
∞ + −
+ ++∫
converge para cada valor 0,1, 2,...k = si r pq< . En tal caso, se tiene,
4.5.3.- 100
1 1( , )( ) , 1 (1 , )r qk
r p r pp q x dx q k q kp p p
ψ β τ∞ ∞
+=
⎛ ⎞+ += + + − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑∫ p
10
1 11, (1 , )qk
r rq k qp p p p
β τ∞
+=
⎛ ⎞= + − + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ k
10
1 11, ( 1, ) (1 , )r qqk p
r rq q k qp p p p
β τ τ∞
+−=
⎛ ⎞= + − + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ k
0
1 11, (1 , )rqk p
r rq qp p p pβ τ
∞
−=
⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ k
11 1 , 11 (
qr r pq rp p p q q
p p
β+
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠ ) 1+ + − − −
1 1 ,( 1)
pq r q rp r p
β⎛ ⎞+
= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠p−
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
230
4.6.- Calculo de la constante K. para que sea una función de densidad
de probabilidad
( ), , ( )n
p q rg x
Consideremos ahora la constante K, definida como sigue:
1 1 1 ,( 1)
pq r rKp r p p
β− ⎛ ⎞+= + −⎜+ ⎝ ⎠
q ⎟ (4.12)
, , 0, 1,p q r r p r pq> + > < .
4.7.- La función ( , )( )r p q xψ induce la función:
(4.13) ( ), , ( ) ( , )( )n
p q r rg x K p q xψ= 0x ≥
donde / 0,n máx k k r k pq= ∈ ≥ + < .
Algunas propiedades de son: ( ), , ( )n
p q rg x
4.7.1.- ( ), , ( ) 0 , 0n
p q rg x x≥ ≥
4.7.2.- ( ), , (0) 0n
p q rg =
4.7.3.- ( ), ,
0 0
( ) ( , )( ) ,np q r rg x dx K p q x dx r n pqψ
∞ ∞
= +∫ ∫ <
0
( , )( )rK p q x dxψ∞
= ∫
1 1 ,( 1)
pq rK q rp r p
β⎛ ⎞+
= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠p−
1K K −=
1=
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
231
Las propiedades 4.7.1, 4.7.2, y 4.7.3, muestran que es una función de
densidad de probabilidad.
( ), , ( )n
p q rg x
4.8.- Teorema.- La función de densidad de probabilidad admite
momentos de orden para cada numero entero tal que,
( ), , ( )n
p q rg x
,s ,s 0 s n.≤ ≤ Además,
1( ) 1 ,( 1)
s pq r s rE x K q sp r s p p
β⎛ ⎞+ + +
= +⎜+ + ⎝ ⎠− ⎟ (4.14)
Demostración.-
( ), ,
0
( ) ( ) ,s s np q rE x x g x dx r n pq
∞
= ∫ + <
0
( ) ( , )( )s srE x x K p q xψ
∞
= ∫ dx
0
r sK x∞
+= ∫ 1, ( )p q x dx−
0
( , )( ) ,r sK p q x dx r s pqψ∞
+= +∫ <
1 1 ,( 1)
pq r s rK q sp s r p p
β⎛ ⎞+ + +
= +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠−
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
232
4.8.1.-Evaluación de los cuatro primeros momentos ordinarios para : ( ), , ( )n
p q rg x
4.8.1.1.- Si 1r pq+ < ,
11 1( ) . 1 ,
2pq r rE x K q
r pµ β
⎛ ⎞+ += = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
1p+
1 11 ,12
1 ,
r rqp pr
r r rqp p
β
β
⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=
+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎠ (4.15)
4.8.1.2.- Si 2r pq+ < ,
22
1 2( ) . 1 ,3pq r rE x K q
r pµ β
⎛ ⎞+ += = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
2p+
2 21 ,1 .3
1 ,
r rqp pr
r r rqp p
β
β
⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=
+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎠ (4.16)
4.8.1.3.- Si 3r pq+ < ,
33
1 3( ) . 1 ,4pq r rE x K q
r pµ β
⎛ ⎞+ += = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
3p+
3 31 ,1 .4
1 ,
r rqp pr
r r rqp p
β
β
⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=
+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎠ (4.17)
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
233
4.8.1.4.- Si 4r pq+ < ,
44
1 4( ) . 1 ,5pq r rE x K q
r pµ β
⎛ ⎞+ += = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
4p+
4 41 ,1 .5
1 ,
r rqp pr
r r rqp p
β
β
⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=
+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎠
2
(4.18)
4.8.2.- Cálculo de la varianza, coeficiente de asimetría y coeficiente de kurtosis para
: ( ), , ( )n
p q rg x
4.8.2.1.- Varianza:
, (Freund-Walpole, 1987) 2 2( ) ( ) ( ( ))V x E x E xσ = = −
Luego,
2
2
2 2 1 11 , 1 ,1 1( ) .3 2
1 , 1 ,
r r r rq qp p p pr rV x
r rr r r rq qp p p p
β βσ
β β
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + ++ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟= = −⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎞⎟⎠ , (4.19)
2r pq+ <
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
234
4.8.2.2.- El coeficiente de asimetría se halla usando la definición:
33 3
µασ
= , (Freund-Walpole, 1987)
Luego,
3 32 2
3 3( 1) 1 ,
( 4) 1 ,
2 2 1 11 , 1 ,1 1.3 21 , 1 ,
r rr qp p
r rr qp p
r r r rq qp p p pr r
r rr r r rq qp p p p
β
βα
β β
β β
⎛ ⎞+ ++ + −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎞⎟⎠
, (4.20)
3r pq+ <
4.8.2.3.- El coeficiente de kurtosis se calcula mediante la definición:
44 4
µασ
= , (Freund-Walpole, 1987)
Por lo tanto,
4 22
4 4( 1) 1 ,
( 5) 1 ,
2 2 1 11 , 1 ,1 1.3 21 , 1 ,
r rr qp p
r rr qp p
r r r rq qp p p pr r
r rr r r rq qp p p p
β
βα
β β
β β
⎛ ⎞+ ++ + −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟
⎝ ⎠=⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎞⎟⎠
)
, (4.21)
5 ( 1r p q+ < +
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
235
4.9.- Cálculo del s-ésimo momento centrado para : ( ), , ( )n
p q rg x , s r pq+ <
( ), ,
0
( ) ( ) ( )s s ns p q rE x x gµ µ µ
∞
⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ∫ x dx
( )
( ) ( ), ,
00
1i s
i s i i np q r
i
sx g x d
iµ
∞ =−
=
⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠∑∫ x
( )
( ) ( ), ,
0 0
1i s
i i s i np q r
i
sx g x d
iµ
∞=−
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ x
( )
( )0 0
1 ( , )i s
i i s ir
i
sx K p q x d
iµ ψ
∞=−
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ x
i
s
( )0 0
1i s
i i s i rK x xi
µ∞=
−
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ 1
, ( )p q x dx−
( )0 0
1i s
i i s r i
i
sK x
iµ
∞=+ −
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ 1
, ( )p q x dx−
( )0 0
1 ( , )( )i s
i ir s i
i
sK p q x dx
iµ ψ
∞=
+ −=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ , s r pq+ <
( )0
11 1 ,1
i si i
i
s pq r s i r sK qi r s i p p
µ β=
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − += − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ i−
> <
t
4.10.- Función de Distribución Acumulativa ( ), , ( )n
p q rG x
Por definición se tiene,
( ) ( ), , , ,
0
( ) ( ) , , , 0, 1,x
n np q r p q rG x g t dt p q r r p r pq= > +∫
Luego,
( ), ,
0
( ) ( , )( )x
np q r rG x K p q t dψ= ∫
0
xrK t= ∫ 1
, ( )p q t d− t
Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )
, , ( )np q rg x
236
Integrando por partes la integral del segundo miembro se tiene,
0
xrt∫ ( ) 11 1
, 10
1 1( ) ( , )( ) 11 1
xqr p p
p q rpqt dt p q x t t d
r rψ
+− ++
+= + ⊕
+ + ∫ t− −
( ) 111
0
1 1( , )( ) 11 1
xqr pq p
rpqp q x t t dt
r rψ
+− −+
+= + ⊕
+ + ∫
( ) 111
0
1 1( , )( ) 11 1
xqr pq mp mp p
rpqp q x t t dt
r rψ
+− − + −+
+= + ⊕
+ + ∫
donde m es un número entero tal que m q ε= + , 0 1ε≤ < .
Luego,
0
xrt∫ ( ) ( ) 1 ( )1 1
, 100
1 1( ) ( , )( ) ( 1 1 )1 1
x i m q m iir pq mp pp q r
i
mpqt dt p q x t t dir r
ψ= + − −− − − +
+=
⎛ ⎞+= + − ⊕⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
∑∫ t
( ) ( ) 1 ( )11
0 0
1 1( , )( ) 1 ( 1 )1 1
xi m q m ii r pq mp pr
i
mpqp q x t t dtir r
ψ= + − −− − +
+=
⎛ ⎞+= + − ⊕⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
∑ ∫
( )10
1 1 1( , )( ) 11 1 (
i mi
ri
mpqp q xir r r p
ψ=
+=
⎛ ⎞+= + −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
∑ )m q−( )
, 1 ( )( )
( )r p m qp q m i
r p m q
x − −
+ − −− −
( )10
1 1( , )( ) 11 ( 1)( ( ))
i mi
ri
mpqp q xir r r p m q
ψ=
+=
⎛ ⎞+= + −⎜ ⎟+ + + − ⎝ ⎠
∑ ( )
, 1 ( )( )
( )r p m qp q m i
r p m q
x − −
+ − −− −
Para la función de distribución acumulativa se tiene,
( )( ), , 1
0
1( ) ( ( , )( ) 11 ( )
i min
p q r ri
mK pqG x p q xir r p m q
ψ=
+=
⎛ ⎞+= + −⎜ ⎟+ + − ⎝ ⎠
∑ ( )
, 1 ( )( )
( ) )r p m qp q m i
r p m q
x − −
+ − −− −
(4.22)
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
239
5.- La Familia de Funciones de Probabilidad Omega-r ( rΩ )
5.1.-Definición
La siguiente definición constituye una síntesis de los resultados obtenidos a partir la
solución de los problemas de valor inicial 1 y 2.
Definición.- Sea r un número real positivo.
Se dice que una función de densidad de probabilidad , es de tipo
Omega-r, si satisface a lo menos una de las siguientes condiciones:
0:f + →
5.1.1.- Existen números reales tales que, ,p q ( ), ,0, 0, 1 ( 1), n
p q rp q r p q f f> ≥ + < + = .
5.1.2.- Existen números reales tales que, . ,p q ( ), ,, 0, 1, , n
p q rp q r p r pq f g> + > < =
Nota: Si una función de densidad de probabilidad es de tipo Omega-r, se escribirá:
rf ∈Ω
5.2.- Ejemplos de funciones Omega-r
5.2.1.- Primer ejemplo: Sea una función tal que, 0:h + →
63 ( (1 ) 6 ) , 0( )
0 ,
x Ln x Ln x xh xx
π⎧
+ − >⎪= ⎨⎪ =⎩ 0
Probaremos que h es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r.
En efecto,
( )h x = 63 (1 ) , 0x Ln x xπ
−+ >
3 xπ
= 61,0 ( ) , 0x x− >
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
240
Tomando ahora, se tiene: 1, 6, 0r p q= = =
1 1 1( , 11
q r rK qr p
β− + + += +
+1)
p−
Es decir,
1 1 1 2( , )2 3 3
K β− =
( )2 3
Cscπ π=
3π
=
De donde, 3Kπ
=
Luego, la función tiene la forma: h
( ) rh x K x= 1, ( )pq x−
( , )( )rK p q xϕ=
con 3Kπ
= , 1, 6, 0, 1 ( 1)r p q r p q= = = + < +
Esto es, (4)6,0,1( ) ( )h x f x=
donde 4 / 1 (máx k r k p q= ∈ + + < +1)
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
241
Luego, h es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r, para 1r = .
Esto es, . 1h∈Ω
Figura 5.1: Gráfica de ( )h x
Fuente: Elaboración Propia.
5.2.2.- Segundo ejemplo: Sea una función tal que, 0:i + →
2
12 2 2 2 3 2 4
315 2 8 16( )( ) 16 1 3(1 ) 15(1 ) 35(1 )
0 ,
x x x x xArcTan x xi x x x x x
x
−⎧− − − − >⎪= + + + +⎨
⎪
, 0
0=⎩
Probaremos que i es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r.
Tenemos:
1 12,4 2 2 2 2 3
315 2 8 16( ) (128 1 3(1 ) 15(1 ) 35(1 )
x x x xx ArcTan xx x x x
− −= − − − −+ + + + 2 4 )
Luego,
2( ) 8i x x= 12,4 ( )x−
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
242
Esto es,
( ) ( , )( )ri x K p q xψ=
donde, 8, 2, 2, 4, 1,K r p q r p r pq= = = = + > <
Por lo tanto, (5)2,4,2( ) ( )i x g x=
Obsérvese que, 5 /máx k r k pq= ∈ + <
Por lo anterior, es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r, para
. Esto es,
i
2r = 2i∈Ω
Figura 5.2: Gráfica de ( )i x
Fuente: Elaboración Propia.
5.2.3.- Tercer ejemplo: Sea una función tal que, 0:j + →
4 4 4
44 9 14
5 5 55 5 5
5 5 9( ) 10 ( ) , 04 4(1 ) (1 ) 10(1 )
x x xj x x xx x x
= − − −+ + +
≥
Probaremos que j es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r.
Tenemos que,
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
243
4 4 4
114 4 95, 5 5 55 5 5
25 5 5 9( ) (21 4 4(1 ) (1 ) 10(1 )
x x xxx x x
− = − − −+ + +
145
)
luego,
442( )5
j x x= 1145,5
( ) , 0x x− >
(0) 0j =
Por lo tanto, la función ( )j x tiene la forma
( ) ( , )( )rj x k p q xψ=
donde, 42 14, 4, 5, , 1,5 5
k r p q r p r= = = = + > < pq
Otra forma para la función j .es
( ) (9)145, ,45
( )j x g x=
donde 9 /máx k r k pq= ∈ + <
Mostrando que la función j es una función de densidad de probabilidad de
tipo Omega-r, para . Esto es, 4r = 4j∈Ω .
Figura 5.3: Gráfica de ( )j x
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
244
5.2.4.- Cuarto ejemplo: Sea una función tal que, 0:l + →
16 1 1 2 3 2 3( ) ( [ ] ( [ ] [ ])3 6
x xl x x ArcTan x ArcTan ArcTanx xπ
− + −= + + +
2 5
52
3 3 1[ ] ) ,12 13 1
x x xLog xxx x
+ + 0− >+− +
(0) 0l =
Probaremos que l es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r.
Tenemos que,
1 16,1
7 1 1 2 3 2 3( ) ( [ ] ( [ ] [ ])6 3 6
x xx ArcTan x ArcTan ArcTanx x
− − + −= + + +
2 5
52
3 3 1[ ]12 13 1
x x xLog )xx x
+ +−
+− +
luego,
( )l x Kx= 16,1( ) , 0x x− ≥
donde,
367
Kπ
=
Esto es,
( ) 136 (6,1)( )7
l x xψπ
=
Por lo tanto,
( ) (4)1,6,1( )l x g x=
donde 4 /máx k r k= ∈ + < 6
Lo anterior muestra que es una función de densidad de probabilidad de tipo
Omega-r, para . Esto es,
l
1r = 1( )l x ∈Ω .
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
245
Figura 5.4: Gráfica de ( )l x
Fuente: Elaboración Propia.
5.2.5.- Quinto ejemplo: Sea una función tal que, 0:m + →
10
222
1
1( , )6 235 515 1 2( ) (2 ( ) ) , 0131072 (1 )1
k
kk
km x x ArcSen x x
xx
β=
=
= −++
∑ ≥
La función m(x) puede escribirse en la forma siguiente:
2180( )7
m x x= 12,10 ( ) ,x x− > 0
(0) 0m =
Esto es,
2180( ) (2,10)( ) , 0
7m x x xψ= ≥
Por lo tanto,
donde (17)2,10,2( ) ( )m x g x= 17 / 2 20máx k k= ∈ + <
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
246
luego, m es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r, para . 2r =
Es decir, . 2m∈Ω
Figura 5.5: Gráfica de ( )m x
Fuente: Elaboración Propia. La función mostrada en el quinto ejemplo, constituye un caso particular,
en la familia de funciones de densidad de probabilidad de tipo Omega-r que tienen la
forma siguiente:
( )m x
2
221
1( , )6 ( 1) 1 2( ) (2 )1 (1 )1(1 2 ) ( , 1)2
k q
q kk
kq q xm x ArcSen xxxq q
β
β
=
=
⎛ ⎞−= −⎜ ⎟ ++⎝ ⎠+ +
∑
2,3,... , 0q x= ≥
Obsérvese que la función del quinto ejemplo es: ( )m x
10( ) ( )m x m x=
La función puede escribirse en la forma que sigue: qm
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
247
26 ( 1)( )(1 2 )qq qm x x
q−
=+
12, ( ) , 2,3,... , 0q x q x− = >
(0) 0qm =
Esto es, 2, ,26 ( 1)( ) ( ) , 2,3,... , 0(1 2 )q qq qm x x q x
qψ−
= =+
≥
≥
Por lo tanto,
( )2, ,2( ) ( ) , 2,3,... , 0n
q qm x g x q x= =
donde / 2 2n máx k k q= ∈ + <
mostrando que , es en efecto una f.d.p. de tipo Omega-r,
para .
( ), 2,3,... , 0qm x q x= ≥
2r =
Es decir, 2 , 2,3,...qm q∈Ω =
La Familia de funciones 2q q
m∞
= proporciona un conjunto infinito contable de
f.d.p. de tipo Omega-r, para 2.r =
Observación:
Los cinco ejemplos anteriores ilustran las variadas formas que pueden adoptar
las funciones de densidad de probabilidad Omega-r.
Las gráficas mostradas a continuación ilustran dos ejemplos de la subfamilia
de f.d.p. .para los casos qm 2q = y 3q = .
Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r
248
Figura 5.6: Gráfica de 2 ( )m x
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 5.7: Gráfica de 3( )m x
Fuente: Elaboración Propia.
Capítulo VI: Conclusiones y Recomendaciones
252
6.1- CONCLUSIONES
• El Cálculo Contractivo aportó conceptos, operadores y métodos que
permitieron la solución de las ecuaciones diferenciales planteadas en los
problemas de valor inicial 1 y 2.
• Los métodos del Cálculo Contractivo permitieron realizar el análisis de las
condiciones que debían satisfacer los parámetros de las ecuaciones
diferenciales, planteadas en los problemas de valor inicial 1 y 2, para generar,
a partir de ellas, soluciones que fueran funciones de densidad de probabilidad.
• La Familia de Funciones Omega-r constituye un conjunto infinito, no contable
de funciones de densidad de probabilidad que pueden adoptar una diversidad
de formas expresable en términos de combinaciones no lineales de funciones
elementales y/o de funciones especiales.
• Cada una de las diversas formas que adoptan las funciones de densidad de
probabilidad Omega-r puede ser analizada mediante el Cálculo Contractivo.
Capítulo VI: Conclusiones y Recomendaciones
253
6.2-RECOMENDACIONES
• Considerando que el Cálculo Contractivo proporciona conceptos, operadores
y métodos matemáticos que posibilitan el análisis y la evaluación de
combinaciones no lineales de funciones elementales y/o funciones
trascendentales superiores, recomendamos promover el estudio del material,
contenido en esta tesis, a nivel de estudiantes de pregrado, especialmente, a
aquellos que estudian Licenciatura en Estadística.
• Considerando que la Familia de funciones Omega-r constituye un conjunto
infinito, no contable, de funciones de densidad de probabilidad, se recomienda
promover su aplicación al modelado de datos en áreas de la estadística
aplicada, tales como: Estadística Computacional, Estadística Bayesiana,
Econometría , Biometría y otras .
Bibliografía
255
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1
1
3 n k
k
kk x
k
−∞−
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
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