スペクトル解析 (Spectrum analysis)

5.1 フーリエ級数 Fourier series 5.2 フーリエ変換 Fourier transform 5.3 パワースペクトル Power spectrum 5.4 離散データのフーリエ展開 For discrete time series

– ナイキスト周波数とエイリアジング Nyquist frequency and aliasing

5.5 スペクトルと相関関数 Spectrum and correlation function 5.6 クロススペクトルとコヒーレンス Cross-spectrum and coherency 5.7 スペクトルの推定法と推定誤差 Estimation of spectrum and its error 5.8 スペクトル解析の例 applications

1

5.3 パワースペクトル (power spectrum）

離散スペクトル 波に分解→それぞれの振幅

フーリエ変換の強度 フーリエ変換

フーリエ 逆変換

2

連続スペクトル

周期信号 非周期信号

フーリエ級数展開 フーリエ変換（積分） 離散スペクトル 連続スペクトル

周期無限大

3

パワースペクトル (power spectrum)

パワースペクトル密度 Power spectrum density

エネルギースペクトル

単位時間当たり

C(f)

4

5.4 離散データのフーリエ変換 Fourier transform for discrete data series

フーリエ変換（級数）は連続的な関数を対象にしているが、我々が扱うデータは、気温、風速などの離散データ

5

Newland (1984)

この間は関数が一定であるとして 積分を和で置き換える

i

Δt

エイリアジング (aliasing) （離散化によって起こる問題）

Δt のサンプリングで表現 できる最も短い周期は 2Δt ナイキスト振動数 (Nyquist frequency) fn = 1/ 2Δt ωn=2πfn =π/Δt

2Δt

t 0

6 Wagon Wheel Effect www.michaellback.de/ot/mot_wagonWheel/index.html

エイリアジング

7

日野 (1977)

サンプル間隔が 0.2 s なので、ナイキスト周波数 fN は fN = 1/ 2Δt = 1/(2*0.2) = 2.5 Hz

よって、f = 4 Hz（周期 0.25 s）の波は解像できず、エイリアジングが起こる。

8

Emery and Thompson

(2001)

9

エイリアジング

Emery and Thompson (2001)

エイリアジングを避けるには、 1. 出来るだけ頻繁にデータを記録 2. データにフィルターを適用

上図：十分に短い間隔で記録された風波のデータに基づく真のスペクトル 下図：同じ風波データを粗い間隔で記録した場合にエイリアジングが生じたスペクトル fN = 0.13 Hz を超える高い周波数の

エネルギーが低周波数の部分を汚染している

fN 2fN 3fN

エイリアジング周期

例： T0 = 1.2の波をΔt = 1 でサンプルしたら？

上記の1番目の式を適用

上記の1番目の式で n = 1 として Ta = 6 10

海洋潮汐： 潮汐成分を含むデータ をΔt = 24hで読み取る 場合、 2Δt ＝ 48h以下の 周期の信号はエイリア ジングを起こす。 読み取る前にフィルター をかけて潮汐成分を取り 除く必要あり

エイリアジングの例

11.97 199.5

小樽での2013年6月1日から15日にかけての1時間毎の潮位予測 （気象庁HPで作成）

11

柳 (1984) より

ウィーナー・ヒンチンの関係 Wiener-Khinchin relation

5.5 スペクトルと相関関数

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自己相関関数 スペクトル （パワースペクトル密度関数）

フーリエ変換

フーリエ逆変換 Auto-correlation function spectrum

Fourier transform

時間領域 周波数領域

両側スペクトルと片側スペクトル

伊藤・見延 (2010)

スペクトル S(f) は (-∞, ∞) で定

義されたが、実際には定義域を (0, ∞) に限る方が自然である。よって、普通に言うスペクトルは、S(f) を 2 倍して、正の周波数のみ

で定義された片側スペクトルである。

偶関数

14 日野(1977)

自己相関 関数

スペクトル

フーリエ変換

5.6 クロススペクトルとコヒーレンス cross-spectrum and coherence

相互共分散 関数

クロス・スペクトル

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Auto-correlation spectrum Cross-correlation cross-spectrum

相互相関 関数

フーリエ逆変換

クロススペクトルと コヒーレンス

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位相：どちらの変動 がリードしているか

生データ

Raw data

相関 correlation

複素フーリエ成分 Fourier component

スペクトル spectrum

直接法の手法として、 Fast Fourier Transform (FFT)を用いる (Cooley-Tukey法)。

Blackman-Tukey法

Maximum Entropy Method : MEM ・スペクトルの周波数分解能と推定精度の向上が同時に図れる。 （直接法や相関法では不可能） ・最近まで標準的な有意性検定方法が提案されていなかった。

5.7 スペクトルの推定法と推定誤差 Estimation of spectrum

相関法

直接法

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直接法（FFTを用いる）による スペクトル解析の手順（概略）

1. データ数の決定 FFT (Fast Fourier Transform) を用いる場合には、

一般にデータ数を 2 のべき乗にしなければならない データの一部を削るか、後ろに値が 0 のデータを加えるか（ゼロパッディング）する

2. トレンドなどの除去（必要なら） 3. データウインドウの適用（必要なら） cos20、Hanning、Hamming テーパーなど 4. FFT を用いて生のスペクトルを計算 5. 周波数空間で平滑化 最終的なスペクトル 6. スペクトルの推定誤差を評価

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(Gaberson, 2006)