Post on 09-Dec-2015
description
1
Universitas Indonesia
BAB 1
PERANCANGAN ELEMEN BALOK
1.1 Teori Balok Bernoulli – Euler - Navier
Pada dasarnya, terdapat dua macam teori balok yang sering digunakan
dalam praktek, yaitu teori balok Euler-Bernoulli dan teori balok Thimosenko.
Dalam teori balok Euler-Bernoulli, ketika balok mengalami lendutan ke bawah
akibat gaya ataupun beratnya sendiri, bidang datar pada balok tersebut yang
bearah normal terhadap garis netral tetaplah merupakan suatu bidang datar dan
berarah normal terhadap garis netralnya sebelum dan sesudah pembebanan.
Asumsi ini memberikan suatu keadaan di mana regangan geser balok Bernoulli-
Euler dapat diabaikan dan dianggap bernilai 0.
Elemen balok Bernoulli-Euler-Navier mempunyai dua derajat kebebasan
pada setiap nodalnya, yaitu peralihan vertikal arah y yaitu v dan rotasi sudut arah
sumbu z yaitu . Pada setiap derajat kebebasan nodal yaitu vi dan i bekerja gaya
geser fyi dan gaya momen fmi dimana keduanya dinamakan gaya nodal. Pemilihan
elemen ini berdasarkan syarat balok Bernoulli apabila L/h>20. Gambar 1.1
menunjukan elemen balok lurus dengan penampang simetris.
Gambar 1.1 Elemen Balok Bernoulli – Euler – Navier
Hubungan regangan dan pepindahan pada elemen lentur, adalah :
2
2x
vy
y
(
(1.1)
2
Universitas Indonesia
Asumsi fungsi peralihan kuadrat, dari fungsi peralihan tersebut dapat
dibentuk fungsi bentuk dengan gambar sebagai berikut :
Gambar 1.2 Fungsi Bentuk Elemen Balok
Fungsi peralihan tersebut diperoleh dari fungsi bentuk sebagai berikut,
1
1
2
2
2 3
2 3
2 3
2
2 3
2 3
2 3
2
1 3 2
2
3 2
v
v
x x
L LN x
x xxN x L L
N yN x x x
L LN x
x x
L L
(1.2)
Dan hubungan perpindahan pada elemen yang dimaksud adalah,
1 1 2 2
1
1
1,4 2
2
iu i v v
i
v
v x N u N N N Nv
(1.3)
Matriks B diferensial dari fungsi bentuk dinyatakan sebagai:
3
Universitas Indonesia
1
1
1
1
2 3
,
2,
,
2 3
,
2
612
46
612
26
v xx
xx
v xx
xx
x
L LN x
xN x L L
B yxN x
L LN xx
L L
(1.4)
Persamaan kekakuan elemen balok dapat dihasilkan dengan
menggunakan teorema Castigliano, yaitu:
0e
nu
(1.5)
Dimana:
2
0
1 1
2 2
e e e
int ext
e
ext n n
L
e
int n n
u f
EI dx u k u
(1.6)
Selanjutnya, matriks kekakuan elemen dinyatakan sebagai:
2 2
3
0
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
L
b b
L L
L L L LEIk EI B B dx
L LL
L L L L
(1.7)
n nf k u
1 1
2 2
1 1
3
2 2
2 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
y
m
y
m
f vL L
f L L L LEI
f vL LL
f L L L L
(1.8)
1.2 Teori Balok Timoshenko
Dalam teori balok Thimosenko, nilai regangan geser diperhitungkan di
mana asumsi dasar untuk teori balok Thimosenko adalah bahwa bidang datar tetap
datar setelah mengalami lendutan tetapi tidak selalu berarah normal terhadap garis
netralnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam gambar dibawah ini.
4
Universitas Indonesia
Gambar 1.3 Elemen Balok Timoshenko
Dalam hal ini, nilai regangan geser transversalnya adalah γxz tidaklah
bernilai nol, sehingga rotasi dari garis melintang bidang normal disekitar sumbu z
tidaklah sama dengan dv
/dx (yang digunakan oleh asumsi teori balok Euler-
Bernoulli), melainkan ada pertambahan regangan gesernya sebesar -γxz dalam
rotasinya. Teori balok Thimosenko ini juga dikenal sebagai teori balok deformasi
geser. Disamping memperhitungkan deformasi geser, teori balok Thimosenko
juga memperhitungkan inersia rotasi. Untuk perbandingan lebih jelas antara teori
balok Euler-Bernoulli dengan teori balok Thimosenko, dapat dilihat pada tabel
berikut:
Gambar 1.4 Perbedaan Elemen Balok Bernoulli dan Timoshenko
Pada teori balok Thimosenko, parameter penting yang digunakan adalah
shape function atau shear correction factor (Han et al. 1999). Parameter shape
function timbul karena geser (shear) bernilai tidak konstan di sepanjang
penampang balok. Parameter shape function merupakan suatu fungsi poisson’s
ratio dan frekuensi getaran pada sepanjang balok. Dengan menggunakan metode
selectictive reduce integration dimana integrasi numeric Gauss Quadrature tidak
dilakukan secara penuh sehingga menghasilkan matriks kekakuan geser.
5
Universitas Indonesia
Matriks kekakuan elemen balok Timoshenko diperoleh dengan cara yang
sama pada elemen Bernoulli, hasilnya yakni :
2 2
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
b s
L L
L L L LEIk k k
L LL
L L L L
(1.9)
Dimana ϕ = 12 EI / k G A, dan L = panjang elemen. Dapat dilihat bahwa
semakin tipis balok, makan nilai ϕ akan semakin kecil. Nilai kekakuan geser akan
menjadi dominan dan menciptakan kekakuan parasit geser atas lentur yang
bernama shear locking.
1.3 Elemen Discrete Shear Beam
Dalam matriks kekakuan elemen balok Timoshenko, dapat dilihat bahwa
semakin kecil nilai ϕ yang mana terjadi pada balok tipis, matriks kekakuan akan
mengarah menjadi tak terhingga. Masalah inilah yang dinamakan kekakuan
parasit atau shear locking, mengakibatkan jika balok tipis dianalisa dengan
elemen balok Timoshenko, hasil analisa menjadi sangat tidak akurat. Pada kasus
ini, kita perlu memecah elemen balok yang dianalisa menjadi elemen-elemen yang
sangat pendek sehingga akan tercipta balok tinggi dan hasil yang diberikan
menjadi akurat.
Berangkat dari masalah tersebut, para peneliti ingin menciptakan sebuah
elemen balok yang dapat digunakan baik untuk balok tipis maupun balok tinggi,
tanpa menghasilkan masalah shear locking di dalamnya. Fungsi peralihan verikal
v dapat diaproksimasi dengan dengan menggunakan fungsi peralihan linier,
kuadratik, dan kubik, sedangkan fungsi rotasi θ diaproksimasi secara kuadratik
dimana rotasi θ diaproksimasi menggunakan interpolasi linier terhadap rotasi pada
nodal 1 dan 2 ditambah interpolasi kuadratik pada rotasi nodal tengah elemen
(nodal 3). Hal ini dilakukan dengan harapan perilaku elemen terhadap efek rotasi
dapat termodelisasi dengan lebih baik.
Ternyata bila v didefinisikan baik secara linier, kuadratik, maupun kubik,
kita akan memperoleh nilai Δθ3 yang sama yakni
Δθ
( ϕ) (v -v ) -
⁄ (θ θ ) (1.10)
6
Universitas Indonesia
Nilai bending strain dan shear strain yakni :
* +
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
* + ϕ
ϕ
-
-
-
(1.11)
Berdasarkan hukum energi potensial internal akibat curvature, matriks
kekakuan bending [kb] dan matriks kekakuan geser [ks] dapat dihitung dengan
formula sebagai berikut :
, - ∫
n , - ∫
Matriks kekakuan elemen balok Discrete Shear Beam menjadi :
, - , - , -
ϕ
[ -
ϕ - -ϕ
- - -
-ϕ - ϕ ]
(1.12)
1.4 Perhitungan Elemen Balok Discrete Shear dengan Program MATLAB
Berikut dapat dilihat algoritma pemrograman analisa balok discrete shear
dengan bantuan program MATLAB.
7
Universitas Indonesia
Displacement Solution Un=Ks(activeDof,activeDof)\Fn(activeDo
f)
Modal Input Data (Pre-processor)
Node coordinates (xn, yn)
Element conectivities and material
material properties (No, near node,
far node, E, I, A, v, G, k)
BNE (element, fy, fm1, fy2, fm2)
GIE (element, fy, fm1,fy2, fm2)
Boundary conditions (No, nodes, fx, θ
Data Inisiasi
Jumlah DOF (GDof)
Jumlah perletakan (nR)
Jumlah BNE (nF)
Jumlah nodal (nN)
Jumlah beban terpusat (nP)
Jumlah GIE (nG)
Jumlah Jumlah elemen (nE)
Computation of stiffness matrix
Kekakuan total-> Reduksi
berdasarkan DOF aktif
Boundary Condition
Menentukan DOF aktif
(active DOF) berdasarkan
perletakan (restraint)
Computation of load and
BNE structure
Menggabungkan BNE dan
gaya luar pada element
menjadi BNE dan gata total
pada struktur.
Force Reaction
ForceReaction=Ks(prescribedDof,activ
eDof)*Un-Fn(1,prescribedDof)'
Computation of Internal Forces
FINISH
8
Universitas Indonesia
Berikut ini penjelasan dari algoritma Balok:
a. Model Input Data
Pada fase ini, memasukkan secara manual data – data struktur kedalam
MATLAB. Data yang dimasukkan antara lain sebagai berikut :
1. Koordinat nodal ( xn, yn).
2. Konektivitas dan properti material (No, near node, far node, E, I,
A, v, G, k ).
3. BNE (element, fy, fm1,fy2,fm2).
4. GIE (element, fy, fm1,fy2, fm2).
5. Kondisi batas No, no e , f , θ)
b. Data Inisiasi
Fase berikutnya mengidentifikasi jumlah DOF, perletakan, BNE, nodal,
beban terpusat, GIE dan jumlah elemen. Data tersebut sebagai data awal
yang dipersiapkan untuk perhitungan matriks kekakuan, matriks gaya, dan
matriks peralihan global.
c. Gaya Struktur , BNE, dan GIE
Gaya – gaya yang bekerja pada struktur, BNE serta GIE pada awalnya
diidentifikasi bekerja pada elemen, lalu dilakukan penyusunan sehingga
dapat terbentuk gaya struktur global.
d. Identifikasi Derajat Kebebasan (d.k.)
Derajat kebebasan struktur telah ditentukan dengan mencari nodal yang
terkekang dan tidak terkekang. Hal ini membantu dalam mereduksi matriks
kekakuan struktur global melalui aplikasi kondisi batas untuk mendapatkan
peralihan dan reaksi perletakan.
e. Kekakuan Struktur
Kekakuan struktur diidentifikasi terlebih dahulu dalam matriks kekakuan
elemen lalu ditrasnformasikan dalam matriks kekakuan global dan
digabungkan dalam matriks kekakuan global struktur.
f. Peralihan ≠ 0
Kemudian gaya struktur, kekakuan global struktur direduksi dengan d.k.
tidak sama dengan nol maka akan didapatkan displacement.
g. Reaksi Perletakan dan Gaya Dalam
9
Universitas Indonesia
Dari data displacement yang didapatkan, maka akan bisa didapatkan reaksi
perletakan dan gaya dalam pada masing – masing elemen.
1.5 Contoh Soal
Berikut akan dilakukan analisa terhadap sebuah balok discrete shear
dengan menggunakan program MATLAB dan SAP 2000 untuk validasi. Problem
balok yang ada adalah sebagai berikut :
Gambar 1.5 Masalah Balok Discrete Shear
Gaya dalam dan peralihan yang terjadi pada struktur balok diatas yakni :
Gambar 1.6 Peralihan dan Gaya Nodal Elemen Balok Discrete Shear
Diketahui sebuah balok dengan 3 bentangan (plus kantilever) memiliki
modulus elastisitas (E) sebesar 27000 kN/m2, v sebesar 0,25, k = 5/6. Penampang
balok berbentuk persegi panjang berukuran (300 x 600) mm2 dengan pembebanan
seperti yang ditunjukkan pada gambar diatas. Selanjutnya displacement, reaksi
perletakan dan gaya dalam dari setiap elemen tersebut dapat dicari.
Dengan melakukan input properti material elemen dan pembebanan yang
terjadi dalam perhitungan fungsi dalam program MATLAB, maka diperoleh hasil
output sebagai berikut:
Peralihan ≠ 0 (θ2, θ3, v4, θ4) dan reaksi perletakkan (fy1, fm1, fy2, fy3)
menurut program MATLAB :
10
Universitas Indonesia
Dan gaya dalam tiap elemen (Tn, Mn, Tn+1, Mn+1) (n = nomor nodal)
menurut program MATLAB adalah :
Selain dengan program MATLAB, kita juga memodelkan balok pada
program SAP 2000 untuk kemudian dilihat perbandingan hasilnya. Permodelan
SAP dapat dilihat pada gambar-gambar dibawah :
11
Universitas Indonesia
Hasil perhitungan dengan program SAP yakni :
Peralihan nodal :
E = 27000 Kpa
dan v = 0,25
b = 300 mm
dan h = 600
mm
Karakteristik yang harus
digunakan untuk Discrete
Shear Beam
12
Universitas Indonesia
Reaksi perletakkan :
Gaya-gaya dalam :
TABLE: Element Forces - Frames
Frame Station OutputCase CaseType P V2 V3 T M2 M3
Text m Text Text KN KN KN KN-m KN-m KN-m
1 0 DEAD LinStatic 0 -0.559 0 0 0 -1.4792
1 8 DEAD LinStatic 0 -0.559 0 0 0 2.9961
2 0 DEAD LinStatic 0 11.498 0 0 0 2.9961
2 2 DEAD LinStatic 0 31.498 0 0 0 -40
3 0 DEAD LinStatic 0 -20 0 0 0 -40
3 2 DEAD LinStatic 0 -20 0 0 0 7.105E-15
1.6 Perbedaan hasil program MATLAB dan SAP 2000 :
Peralihan nodal :
Nodal MATLAB SAP % diff
u v θ u v θ u v θ
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0.042 0 0 -0.042 0 0 0.041
3 0 0 -0.167 0 0 0.166 0 0 0.026
4 0 -0.723 -0.441 0 -0.723 0.441 0 0.001 0.001
Reaksi perletakkan :
Nodal MATLAB SAP % diff
Fy Fm Fy Fm Fy Fm
1 0.5594 1.4792 0.559 -1.4792 0.071505 0
2 -12.0575 0 -12.057 0 0.004147 0
3 51.4981 0 51.498 0 0.000194 0
Gaya-gaya dalam :
Elemen Nodal MATLAB SAP % diff
T M T M T M
1 1 -0.5594 1.4792 -0.559 -1.4792 0.071505 0
2 -0.5594 -2.9961 -0.559 2.9961 0.071505 0
2 2 11.4981 -2.9961 11.498 2.9961 0.00087 0
3 31.4981 40 31.498 -40 0.000317 0
3 3 -20 40 -20 -40 0 0
13
Universitas Indonesia
4 -20 0 -20 0 0 0
Proses perhitungan yang diterapkan dalam perhitungan struktur balok
dengan menggunakan metode elemen hingga secara manual dengan menggunakan
alat bantu program MATLAB serta validasi dengan program SAP2000 telah
tercapai dengan baik. Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa balok discrete shear
dapat dimodelkan secara baik di program SAP 2000 dan mencapai akurasi yang
hampir sempurna jika dibandingkan dengan penghitungan manual.
14
Universitas Indonesia
BAB 2
PERANCANGAN ELEMEN RANGKA
Elemen berikut yang akan dianalisa ialah elemen rangka. Karakteristik
dari elemen ini ialah hanya mengalami gaya dalam aksial tarik atau tekan dan
tidak memiliki gaya dalam momen dan geser. Teori elemen rangka ditinjau dari
segi metode elemen hingga dapat dilihat sebagai berikut :
2.1 Teori Rangka Bidang
Struktur rangka bidang adalah gabungan dari elemen rangka yang dapat
berkoloborasi pada kedua ujungnya dan hanya mentransmisikan gaya-gaya
translasi (aksial) pada nodal-nodal gabungannya. Elemen dengan dua nodal di sini
didefinisikan dalam koordinat lokal (x-y) untuk selanjutnya didefinisikan dalam
koordinat global (X-Y). Walaupun tidak digambarkan sumbu Z selalu tegak lurus
bidang struktur, sehingga membentuk sistem koordinat kaidah tangan kanan.
Sedangkan sumbu x-x adalah sistem koordinat lokal elemen, yang hanya berlaku
untuk elemen tersebut saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen
yang bersangkutan.
Setiap elemen rangka atau dapat disebut sebagai truss akan selalu
memiliki 2 titik nodal ujung. Orientasi elemen secara global dapat diketahui
dengan sudut α, yang dibuat oleh sumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan
sumbu X global dari struktur. Sudut α bertanda positif berdasarkan kaidah tangan
kanan yaitu diukur dari sumbu X global berputar menuju sumbu x elemen dengan
poros sumbu-Z positif.
Sebuah elemen rangka dengan panjang L, modulus elastisitas E dan luas
penampang A, diletakkan sejajar dengan sumbu lokal. Kedua ujung atau buhul
dianggap sebagai nodal, masing-masing diberi nomer 1 dan 2. Gaya fx1 dan fx2
bekerja dalam arah x lokal masing-masing pada nodal 1 dan 2. Searah dengan dua
gaya nodal tersebut, terdapat masing-masing peralihan u1 dan u2 yang sering
disebut sebagai derajat kebebasan (degree of freedom). Sehingga terdapat 2 (dua)
derajat kebebasan untuk elemen rangka ini.
15
Universitas Indonesia
Gambar 2.1 Elemen Rangka dengan Dua Derajat Kebebasan
Pada gambar 2.1 terdapat gaya fx1 dan fx2 dengan peralihan u1 dan u2 yang
diekspresikan dalam bentuk matriks untuk digabungkan. Penurunan tersebut dapat
dilakukan dengan suatu pendekatan energi atau pendekatan keseimbangan
tegangan-regangan. Pendekatan energi lebih umum dan lebih tepat, khususnya
untuk tipe-tipe elemen hingga yang rumit. Pendekatan keseimbangan tegangan-
regangan adalah sederhana dan jelas secara fisik, namun ini dapat diterapkan
hanya pada elemen hingga sederhana. Untuk menggunakan pendekatan energi,
pertama-tama kita harus mendefinisikan sebuah fungsi peralihan untuk elemen.
2.2 Formulasi Matriks Kekakuan
2.2.1 Fungsi Peralihan dan Fungsi Bentuk
Untuk sebuah elemen dengan tegangan atau regangan aksial konstan,
peralihan aksial u(x) pada sebuah jarak x dari nodal 1 dapat dinyatakan dalam
bentuk persamaan polinominal dan diasumsikan bervariasi secara linier terhadap
x, yaitu:
1
1 2
2
1 n
au x a a x x P a
a
(2.1)
dimana a1 dan a2 adalah dua konstanta yang tergantung pada kondisi dua
nodal tersebut.
0 0 1 0
1
n
n
x u x u a
x L u x u L L a
(2.2)
Dan dapat disusun menjadi bentuk matriks:
1 1
2 2
1 0
1n n
u au P a
u aL
(2.3)
Relasi invers memberikan:
1
n na P u
(2.4)
16
Universitas Indonesia
Dengan mensubstitusikan hasil-hasil untuk a1 dan a2 dalam persamaan
(2.1) dan menyusun kembali persamaan tersebut maka memberikan bentuk akhir
dari fungsi peralihan:
1 2 1 2
1
1 2
1,2 2iu i u u u u
i
uu x N u N N N x u N x u
u
(2.5)
Dengan:
1 2
1 & u u
x xN x N x
L L (2.6)
1uN x dan
2uN x menggambarkan distribusi atau bentuk dari
peralihan dihubungkan dengan masing-masing derajat kebebasan u1 dan u2
disebut juga sebagai fungsi bentuk (shape functions).
N adalah matriks fungsi bentuk peralihan yaitu:
1 2
1-u u
x xN N N
L L
(2.7)
Fungsi peralihan tersebut dapat dibentuk dengan gambar sebagai berikut :
L
xNu 1
1
L
xNu
2
dari persamaan :
iix uBux
N
x
u
dimana matriks B adalah matriks diferensial dari fungsi bentuk adalah:
11:
1
Lx
NB
(2.8)
2.2.2 Persamaan Kekakuan
Deformasi aksial pada rangka didefinisikan sebagai :
2x
ue a
x
(2.9)
Untuk elemen rangka, deformasi aksial dapat diperoleh dengan cara
mensubstitusikan dua persamaan berikut :
1 2
1
1 2
1
17
Universitas Indonesia
2xe a (2.9a)
atau :
1 2
1 2
u u
x a n
N Nue u u B u
x x x
(2.9b)
dimana:
1 2, ,
1 1a u x u xB N N
L L
(2.10)
Persamaan (2.9a) menyatakan bahwa regangan tersebut merupakan suatu
konstanta.
Berdasarkan hukum Hooke untuk material linier, elastis, isotrop, dan
homogen, tegangan dapat dinyatakan sebagai:
x x
uEe E
x
Gaya internal yang bekerja secara aksial pada sumbu batang adalah:
1 2 1, 1 2, 2x u x u x a nN A EA N u N u EA B u
Secara teoritis N adalah gaya internal yang berpasangan dan bekerja pada
suatu elemen diferensial dx. Nilai positif berarti N adalah gaya internal mengalami
tarik dan nilai negatif berati nilai N adalah gaya internal menerima tekan.
Gambar 2.2 Gaya Internal Aksial Batang N dan Gaya Nodal Elemen
Persamaan energi internal pada setiap elemen balok rangka dengan
mengabaikan tegangan inisial:
int
0
1 1
2 2
L
e
n a a n n nEA u B B u dx u k u (2.11)
Dengan
0
1 11
1 12
L
a a
EAk EA B B dx
L
(2.12)
Persamaan energi eksternal pada setiap elemen balok rangka:
18
Universitas Indonesia
1
2
1 2
xe
ext n n
x
fu f u u
f
(2.13)
Dengan demikian, persamaan energi elemen dapat dinyatakan sebagai:
int
1
2
e e e
a ext n n n nu k u u f (2.14)
Dengan menerapkan teori Castigliano, yaitu:
int0
e eeexta
n nu u
(2.15)
Maka diperoleh:
n nf k u
Atau dalam bentuk matriks persamaan elemen dapat dinyatakan:
1
2
11 12 1
21 22 2
x
x
f k k u
k k uf
(2.16)
Dimana , - disebut matriks kekakuan elemen, dan koefisien kekakuan
didefinisikan sebagai:
, ,0 i j
L
ij u x u xk EA N N dx
Dengan i=1 sampai 2 dan j=1 sampai 2.
Dengan mensubsitusikan fungsi bentuk diperoleh persamaan
kekakuan elemen dari Persamaan 2.12c, sebagai berikut:
1
2
1
2
1 1
1 1
x
x
f uEA
uf L
EA/L adalah kekakuan aksial dari elemen. Elemen tersebut berperilaku
seperti pegas, dengan konstanta pegas s=EA/L dalam satuan kN/m
Gaya fx1 dan fx2 akan dihubungkan oleh suatu matriks dengan peralihan u1
dan u2. Dengan menggunakan fungsi peralihan u(x) dan fungsi bentuk seperti
ditunjukan pada gambar berikutnya, kita dapat menghitung besarnya matriks yang
menghubungkan dua gaya dan dua peralihan di atas.
19
Universitas Indonesia
Gambar 2.3 Fungsi Peralihan dan Fungsi Bentuk Elemen Rangka
Dengan menggunakan metode pendekatan dapat diperoleh besarnya
matriks kekakuan dari persamaan
1 1
2 2
1 1
1 1
x
x
f k x
f uEA
f uL
Dapat dikatakan bahwa adalah kekakuan aksial dari elemen.
Elemen berperilaku seperti pegas dengan konstanta pegas dalam satuan
N/m.
Rangka yang telah disebutkan sebelumnya adalah elemen rangka dalam
sistem koordinat lokal yaitu sumbu xy dan koordinat global adalah XY. Sumbu x
meng r h p u ut φ n ernil i po itif ila dihitung berlawanan arah jarum
jam dari sumbu X menuju sumbu x. Dalam sistem koordinat global, setiap nodal i
memiliki gaya horizontal fXi , gaya vertikal fYi, peralihan horizontal Ui dan
peralihan vertikal Vi, Jadi setiap elemen memiliki empat derajat kebebasan, U1,
V1, U2 dan V2. Dari gambar 2.5. Kita memahami transformasi dk dari sistem lokal
ke sistem global pada nodal 1 dan nodal 2, sebagai berikut:
1 1 1 2 2 2cos sin ; cos sinu U V u U V
(2.17)
20
Universitas Indonesia
Gambar 2.4 Sistem Koordinat Lokal dan Global untuk Elemen Rangka
Jika kita ,menggunakan simbol-simbol : ϕ dan ϕ
Persamaan (2.17) dapat ditulis sebagai:
1
1 1
2 2
2
0 0
0 0lokal
global
U
u VC S
u UC S
V
(
secara simbolis :
n nlokal globalu T u
(
Kekakuan elemennya diperoleh :
2 21 1
2 21 1
2 22 2
2 22 2
X
Y
X
Y
f UC CS C CS
f VCS S CS SEA
f UL C CS C CS
f VCS S CS S
(
(2.18)
2.2.3 Karakteristik Persamaan Kekakuan Elemen
Keseimbangan. Elemen rangka bidang dianggap sebagai benda bebas
(free body). Persamaan kekakuan untuk elemen ini terdapat pada Persamaan
(2.17). Dalam matriks kekakuan bahwa koefisien-koefisien dalam baris pertama
sama namun berlawanan tanda dengan koefisien-koefisien dalam baris ketiga.
Hubungan yang sama terjadi antara baris kedua dan keempat. Jika kita
mengalikan persamaan matriks, maka ditemukan:
21
Universitas Indonesia
fx1 = fx2 dan fy1 = fy2
Jadi keseimbangan dalam arah x dan y untuk benda bebas (free body)
terpenuhi. Berdasarkan kondisi tersebut maka momen pada nodal 1 sebesar :
1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 0
X YM f LS f LC
EA C S C S U CS CS V C S C S V
Yang juga memenuhi keseimbangan momen.
Singularitas. Dalam matriks kekakuan k , baris pertama dan ketiga
adalah sama, tetapi berlawanan tanda, demikian juga dengan baris kedua dan
keempat. Karena itu k adalah matriks singular. Secara matematis, matriks yang
singular tidak dapat diinvers sehingga tidak mungkin mencari pemecahan
persamaan 2.17. Matriks kekakuan singular berarti bahwa elemen tersebut, tidak
terdapat perletakan, adalah free body yang tidak stabil. Elemen tersebut dapat
menjadi stabil dan matriks kekakuan tersebut dapat menjadi tidak singular jika
elemen tersebut diberikan kondisi batas yang cukup.
2.2.4 Persamaan Perpindahan
Elemen rangka dua dimensi tersebut memiliki empat buah derajat
kebebasan. Apabila ditambahkan gaya fy semu dan sebuah peralihan v dalam arah
y pada tiap nodal, dapat menghubungkan keempat derajat kebebasan dalam arah
koordinat lokal tersebut dengan derajat kebebasan yang berada pada arah
koordinat global, sebagai berikut:
1 1
1 1
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
u UC S
v VS C
u UC S
v VS C
(2.19)
Atau secara simbolik :
n nlokal globalu T u
22
Universitas Indonesia
2.2.5 Persamaan Gaya Dalam
Dalam peralihan nodal untuk elemen rangka, gaya aksial dapat diperoleh
dari persamaan (2.18).
2
2
2 1 2 1X
EAf C U U CS V V
L
2
2
2 1 2 1Y
EAf CS U U S V V
L
Jika menggunakan N untuk menunjukkan gaya aksial tarik, maka:
2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
X YN f C f S
EAC S C U U S V V
L
EAC U U S V V
L
Dalam bentuk matriks, gaya aksial tarik ditulis sebagai:
1
1
2
2
U
VEAN C S C S
UL
V
(2.20)
Jika nilai N yang diperoleh negatif, berarti gaya aksial tersebut adalah
tekan. Perhitungan gaya internal elemen bersdasarkan prinsip keseimbangan
antara gaya nodal dan gaya internal. Gaya internal elemen dapat diturunkan secara
teoritis sebagai berikut:
1 1
1 1
a n lokal
n lokal
n global
N EA B u
EA uL L
EA T uL L
23
Universitas Indonesia
Gambar 2.5 Gaya Internal Elemen N dan Gaya Nodal fXi dan fYi dalam
Koordinat Global (i=1,2)
2.3 Aplikasi Program MATLAB Untuk Problem Rangka 2D dan Verifikasi
dengan Program SAP 2000
Gambar 2.6 Problem Rangka Bidang
Input pada program MATLAB dapat dilihat pada gambar berikut :
24
Universitas Indonesia
Hasil dari program MATLAB :
25
Universitas Indonesia
Verifikasi dengan program SAP :
26
Universitas Indonesia
Hasil dari program SAP :
Displacement :
E = 1,99x108
b = 0,06 m dan h = 0,06
m. A = b x h =
0,0036m2
Release M22 dan M33 agar
yang tertransmisi hanyalah
gaya aksial saja.
27
Universitas Indonesia
Reaksi Perletakkan :
Gaya-gaya Dalam :
TABLE: Element Forces - Frames
Frame Station OutputCase CaseType P
Text m Text Text KN
1 0 DEAD LinStatic 66.667
1 2 DEAD LinStatic 66.667
2 0 DEAD LinStatic 83.333
2 2 DEAD LinStatic 83.333
3 0 DEAD LinStatic -16.667
3 2 DEAD LinStatic -16.667
4 0 DEAD LinStatic -133.333
4 2 DEAD LinStatic -133.333
5 0 DEAD LinStatic -116.667
5 2 DEAD LinStatic -116.667
6 0 DEAD LinStatic -233.333
6 2 DEAD LinStatic -233.333
7 0 DEAD LinStatic -233.333
7 2 DEAD LinStatic -233.333
8 0 DEAD LinStatic -216.667
8 2 DEAD LinStatic -216.667
10 0 DEAD LinStatic -12.5
10 1.5 DEAD LinStatic -12.5
11 0 DEAD LinStatic -100
11 1.5 DEAD LinStatic -100
12 0 DEAD LinStatic -87.5
12 1.5 DEAD LinStatic -87.5
13 0 DEAD LinStatic -87.5
13 1.5 DEAD LinStatic -87.5
14 0 DEAD LinStatic 20.833
14 2.5 DEAD LinStatic 20.833
15 0 DEAD LinStatic 20.833
28
Universitas Indonesia
15 2.5 DEAD LinStatic 20.833
16 0 DEAD LinStatic 145.833
16 2.5 DEAD LinStatic 145.833
17 0 DEAD LinStatic 145.833
17 2.5 DEAD LinStatic 145.833
2.4 Hasil perbandingan antara MATLAB dan SAP 2000
Displacement :
Joint MATLAB SAP % diff
u v u v u v
1 0 0 0 0 0 0
2 0.000186 -0.002388 0.000185 -0.002377 0.591 0.461
3 0.000419 -0.003660 0.000417 -0.003643 0.430 0.464
4 0.000372 -0.002016 0.000370 -0.002007 0.591 0.446
5 0 0 0 0 0 0
6 -0.000366 -0.000183 -0.000365 -0.000182 0.382 0.655
7 -0.000041 -0.002199 -0.000041 -0.002189 -0.712 0.455
8 0.000611 -0.003870 0.000608 -0.003851 0.442 0.491
9 0.001262 -0.002415 0.001256 -0.002403 0.475 0.497
10 0.001867 -0.000026 0.001858 -0.000026 0.482 0.650
Reaksi Perletakkan :
Joint MATLAB SAP % diff
Rx Ry Rx Ry Rx Ry
1 -66.67 12.50 -66.67 12.50 0 0
5 -133.33 87.50 -133.33 87.50 0 0
Gaya-gaya Dalam :
Elemen MATLAB SAP % diff
P P P
1 66.667 66.667 0
2 83.333 83.333 0
3 -16.67 -16.67 0
4 -133.33 -133.33 0
5 -116.67 -116.67 0
6 -233.33 -233.33 0
7 -233.33 -233.33 0
8 -216.67 -216.67 0
9 -12.5 -12.5 0
29
Universitas Indonesia
10 -12.5 -12.5 0
11 -100 -100 0
12 -87.5 -87.5 0
13 -87.5 -87.5 0
14 20.833 20.833 0
15 20.833 20.833 0
16 145.83 145.83 0
17 145.83 145.83 0
2.5 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penghitungan elemen rangka dengan menggunakan
program MATLAB dan SAP 2000, didapatkan hasil yang hampir sama 100% baik
untuk displacement, reaksi perletakkan, dan gaya-gaya dalam aksial batang. Hal
ini menunjukkan bahwa analisa menggunakan metode elemen hingga dengan
bantuan program MATLAB cukup akurat dan program SAP telah memfasilitasi
analisa sejenis untuk elemen rangka.
30
Universitas Indonesia
BAB 3
PERANCANGAN ELEMEN PORTAL BIDANG
Struktur portal didefinisikan secara fisik sebagai penyusunan pada bidang
dua dimensi (X-Y) dari elemen lurus yang saling berhubungan pada simpul kaku.
Oleh karena itu, simpul ini dapat mentransmisikan semua gaya yakni aksial, geser,
dan momen. Dengan mudah kita dapat mengetahui bahwa pada tiap nodal elemen
portal terdapat 3 DOF yakni u, v, dan θ. Semua elemen struktur terletak pada
sebuah bidang dan gaya juga bekerja pada bidang itu. Elemen pada portal bidang
terdiri dari dua jenis elemen yang saling independen yaitu elemen aksial dan
elemen lentur. Elemen aksial analog dengan elemen rangka sedangkan elemen
lentur analog dengan elemen balok.
3.1 Formulasi Matriks Kekakuan
Dapat kita ingat kembali bahwa matriks kekakuan untuk elemen rangka
ialah
2 21 1
2 21 1
2 22 2
2 22 2
X
Y
X
Y
f UC CS C CS
f VCS S CS SEA
f UL C CS C CS
f VCS S CS S
Dimana matriks kekakuan diatas sudah berada di dalam koordinat X dan
Y global. Kita juga sudah mengetahui matriks kekakuan elemen balok (Bernoulli)
yakni :
2 2
3
0
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
L
b b
L L
L L L LEIk EI B B dx
L LL
L L L L
Elemen portal bidang merupakan gabungan antara elemen aksial dan
elemen lentur, matrik kekakuan dapat diekspresikan sebagai berikut :
31
Universitas Indonesia
(3.1)
Untuk dapat menjumlahkan gaya-gaya pada nodal pada elemen-elemen
yang berhubungan diperlukan suatu transformasi dari bentuk sumbu lokal ke
sumbu global.
3.1.1 Transformasi Koordinat Matriks Kekakuan
Untuk mentransformasi diperlukan matriks yang dapat mentransformasi
kondisi lokal ke koordinat global. Matriks transformasinya adalah :
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
n nlokal global
x X
y Y
m m
x X
y Y
m m
f T f
f fC S
f fS C
f f
f C S f
S Cf f
f f
Dengan : cosC dan sinS
Hubungan persamaan gaya nodal elemen pada sumbu lokal kepada
sumbu global:
globalilokali fTf
(
Transformasi perpindahan keenam derajat kebebasan dari sumbu lokal ke
sumbu global :
globalilokali uTu
(
32
Universitas Indonesia
Matriks transformasi ini merupakan matriks orthogonal, yang dapat
diekspresikan:
TTT 1
Persaman dalam system koordinat lokal, dapat dibentuk:
globalnglobaln uTkfT
dengan menggunakan sifat orthogonal matriks [T], dihasilkan:
globalnglobalglobaln ukf
(
dimana :
TkTkT
global
(
Dengan metode energi dapat diperoleh :
BNE
n n nlokal lokal lokallokalf k u f
(
1
1
1
2
2
2
3 2 3 2 1
1
2 21
2
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 4 6 20 0
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 2 6 40 0
x
y
m
x
y
m
EA EA
L L
EI EI EI EIfu
L L L Lf vEI EI EI EIf L L L L
uf EA EA
L LfEI EI EI EI
fL L L L
EI EI EI EI
L L L L
1
1
1
2
2
2
2
2
BNE
x
y
m
x
y
m
f
f
f
f
v f
f
(
Sehingga matriks kekakuan dalam koordinat globalnya adalah :
T
global lokalk T k T
33
Universitas Indonesia
3.2 Persamaan Gaya Internal N, T, dan M
Perhitungan gaya internal pada nodal dapat dilakukan bila d.k elemen
sudah diketahui, yaitu :
3 3 2 3 3 21
1
2 2 2 21
2
2
23 3 2 3 3 2
2
0 0
12 12 6 12 12 6
6 6 4 6 6 2
0 0
12 12 6 12 12 6
6 6
EA EA EA EAC S C S
L L L L
EI EI EI EI EI EIS C S CN
L L L L L LT EI EI EI EI EI EI
S C S CM L L L L L L
N EA EA EA EAC S C S
L L L LT
EI EI EI EI EI EIM S C S CL L L L L L
EIS
L
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2 22 6 6 4
GIEU N
V T
M
U N
V T
M
EI EI EI EI EIC S C
L L L L L
Sebagai contoh, untuk beban merata –f0 dalam arah y lokal :
Pada nodal i gaya internal N, T, dan M untuk setiap nilai positif atau
negatif dan pengaruhnya terhadap elemen diferensial dx adalah sebagai berikut :
34
Universitas Indonesia
Gambar 3.1 Arah Positif untuk Gaya-Gaya Dalam pada Elemen Portal
3.3 Aplikasi program MATLAB Struktur Rangka 2D dibandingkan dengan
program SAP2000
Berikut adalah problem portal bidang yang kemudian dihitung dengan
program MATLAB dan SAP 2000.
Gambar 3.2 Problem Portal Bidang
Input program MATLAB dapat dilihat pada gambar berikut :
35
Universitas Indonesia
Hasil dari program MATLAB :
36
Universitas Indonesia
Displacement :
Gaya-gaya Dalam :
Berurutan dari elemen 1 sampai 10 : (Nn, Tn, Mn, Nn+1, Tn+1, Mn+1)
dimana n = nomor nodal.
Elemen 1 Elemen 3 Elemen 2 Elemen 4
37
Universitas Indonesia
Reaksi Perletakkan : (horizontal – vertikal tiap perletakkan)
3.3.1 Verifikasi dengan SAP 2000
Elemen 5 Elemen 8 Elemen 7
Elemen 9 Elemen 10
Elemen 6
Modulus Elastisitas Material
38
Universitas Indonesia
Hasil program SAP 2000
Displacement :
Penampang 1 dan penampang 2
Permodelan balok Bernoulli
39
Universitas Indonesia
Gaya-gaya Dalam :
TABLE: Element Forces - Frames
Frame Station OutputCase P V2 M3
Text m Text KN KN KN-m
1 0 DEAD 27.998 21.636 0
1 4 DEAD 27.998 21.636 -86.5439
2 0 DEAD -28.364 27.998 86.5439
2 6 DEAD -28.364 27.998 -81.4432
3 0 DEAD -84.052 -28.381 -113.524
3 4 DEAD -84.052 -28.381 0
4 0 DEAD -24.933 25.529 76.6568
4 6 DEAD -24.933 25.529 -76.5147
5 0 DEAD -115.889 -28.348 -113.391
5 4 DEAD -115.889 -28.348 0
6 0 DEAD -21.635 28.056 81.7971
6 6 DEAD -21.635 28.056 -86.5409
7 0 DEAD -28.056 -21.635 -86.5409
7 4 DEAD -28.056 -21.635 -2.8E-14
8 0 DEAD -81.583 24.95 44.5762
8 4 DEAD -81.583 24.95 -55.2255
9 0 DEAD -25.05 18.417 55.2255
9 6 DEAD -25.05 18.417 -55.2779
10 0 DEAD -118.417 -25.05 -55.2779
10 4 DEAD -118.417 -25.05 44.9204
Reaksi Perletakkan :
3.4 Perbandingan Hasil MATLAB dengan SAP 2000
Displacement :
Joint MATLAB SAP % Diff
U1 U2 θ U1 U2 θ U1 U2 θ
1 0 0.00E+00 -0.00306 0 0 0.00306 0 0 0
2 0.01047 1.79E-05 -0.00173 0.010466 0.000018 0.00173 0.038204 -0.44643 0
3 0.01042 -5.38E-05 -0.001443 0.010423 -5.4E-05 0.001443 -0.02879 -0.39041 0
4 0 0.00E+00 -0.003187 0 0 0.003187 0 0 0
5 0.01039 -7.42E-05 -0.001435 0.010386 -7.4E-05 0.001435 0.038499 0.229203 0
40
Universitas Indonesia
6 0.01035 -1.80E-05 -0.001702 0.010354 -1.8E-05 0.001702 -0.03865 -0.22272 0
7 0 0.00E+00 -0.003177 0 0 0.003177 0 0 0
8 0 0.00E+00 -0.003031 0 0 0.003031 0 0 0
9 0.01789 -1.35E-04 -0.001044 0.017893 -0.00014 0.001044 -0.01677 0.295421 0
10 0.01786 -1.93E-04 -0.001047 0.017856 -0.00019 0.001047 0.022396 -0.20768 0
Gaya-gaya Dalam :
Frame Station SAP MATLAB % Diff
P V2 M3 P V2 M3 P V2 M3
Text m KN KN KN-m KN KN KN-m KN KN KN-m
1 0 27.998 21.636 0 27.9979 21.636 0 0.000357 0 0
1 4 27.998 21.636 -86.5439 27.9979 21.636 -86.5439 0.000357 0 0
2 0 -28.364 27.998 86.5439 -28.364 27.9979 86.5439 0 0.000357 0
2 6 -28.364 27.998 -81.4432 -28.364 27.9979 -81.4432 0 0.000357 0
3 0 -84.052 -28.381 -113.524 -84.052 -28.381 -113.5238 0 0 0
3 4 -84.052 -28.381 0 -84.052 -28.381 0 0 0 0
4 0 -24.933 25.529 76.6568 -24.933 25.529 76.6568 0 0 0
4 6 -24.933 25.529 -76.5147 -24.933 25.529 -76.5147 0 0 0
5 0 -115.889 -28.348 -113.391 -115.89 -28.348 -113.3914 -0.00043 0 0
5 4 -115.889 -28.348 0 -115.89 -28.348 0 -0.00043 0 0
6 0 -21.635 28.056 81.7971 -21.635 28.056 81.7971 0 0 0
6 6 -21.635 28.056 -86.5409 -21.635 28.056 -86.5409 0 0 0
7 0 -28.056 -21.635 -86.5409 -28.056 -21.635 -86.5409 0 0 0
7 4 -28.056 -21.635 -2.8E-14 -28.056 -21.635 0 0 0 0
8 0 -81.583 24.95 44.5762 -81.583 24.9504 44.5762 0 -0.0016 0
8 4 -81.583 24.95 -55.2255 -81.583 24.9504 -55.2255 0 -0.0016 0
9 0 -25.05 18.417 55.2255 -25.05 18.4172 55.2255 0 -0.00109 0
9 6 -25.05 18.417 -55.2779 -25.05 18.4172 -55.2779 0 -0.00109 0
10 0 -118.417 -25.05 -55.2779 -118.417 -25.0496 -55.2779 0 0.001597 0
10 4 -118.417 -25.05 44.9204 -118.417 -25.0496 44.9204 0 0.001597 0
Reaksi Perletakkan :
41
Universitas Indonesia
Dapat dilihat dari kedua gambar diatas bahwa nilai reaksi perletakkan
yang ada bisa dikatakan sama 100%. Sedikit perbedaan terjadi karena MATLAB
mengambil 4 angka di belakang koma sedangkan SAP pada umumnya hanya 3
angka di belakang koma.
3.5 Kesimpulan
Dari hasil perhitungan elemen portal dengan bantuan program MATLAB
dan verifikasi dengan program SAP 2000, dapat diambil kesimpulan bahwa
program SAP telah memfasilitasi analisa struktur dengan metode elemen hingga
dengan sangat baik. Program MATLAB juga merupakan program yang powerful
dalam permodelan analisa struktur dengan metode elemen hingga. Kedua program
ini memberikan hasil yang satisfied dan akurat.
42
Universitas Indonesia
BAB 4
PERANCANGAN ELEMEN GRID
4.1 Teori Sederhana
Grid adalah struktur satu dimensi yang merupakan bentukan dari
gabungan balok-balok yang terhubung menyilang dan secara kaku pada nodal, di
mana seluruh balok dan nodal tersebut berada pada bidang X-Y yang sama. Arah
beban bekerja tegak lurus pada bidang. Parameter inilah yang membedakanya
dengan portal bidang. Peralihan yang terjadi pun tegak lurus pada bidangnya.
Pada elemen grid, terdapat efek lentur terhadap sumbu horizontal penampang dan
juga terdapat efek puntir terhadap sumbu batang, yang berarti menahan momen
torsi. Dengan demikian, terdapat 3 derajat kebebasan dalam tiap nodal untuk
struktur grid yakni displacement transversal arah vertikal z dan dua rotasi: iw , ix
dan iy .
4.2 Formulasi Matriks Kekakuan
Sebelum mendapatkan matriks kekakuan, kita perlu mencari matriks
transformasi dari elemen grid. Fungsinya untuk mentransformasikan matriks
kekakuan elemen yang mengacu pada koordinat lokal ke dalam sistem koordinat
global.
Gambar 4.1 Koordinat Global (X-Y) dan Koordinat Lokal (x-y)
Matriks transformasi :
43
Universitas Indonesia
Kekakuan Elemen
Matriks kekakuan elemen dalam sumbu lokal :
2 2
2 2
3 2 2
2 2
0 0 0 0
0 4 6 0 2 6
0 6 12 0 6 121
0 0 0 0
0 2 6 0 4 6
0 6 12 0 6 12
GJL GJL
EIL EIL EIL EIL
EIL EI EIL EIk
L GJL GJL
EIL EIL EIL EIL
EIL EI EIL EI
(
Matriks kekakuakan elemen dalam sumbu global :
T
global lokalk T k T
(
Sehingga matriks kekakuan dalam sumbu global :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2
4 4 6 2 2 6
4 4 6 2 2 6
6 6 12 6 6 121
2 2
GJL C EIL S GJL SC EIL SC EILS GJL C EIL S GJL SC EIL SC EILS
GJL SC EIL SC GJL S EIL C EILC GJL SC EIL SC GJL S EIL C EILC
EILS EILS EI EILS EILS EIk
L GJL C EIL S GJL SC EI
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 4 4 6
2 2 6 4 4 6
6 6 12 6 6 12
L SC EILS GJL C EIL S GJL SC EIL SC EILS
GJL SC EIL SC GJL S EIL C EILC GJL SC EIL SC GJL S EIL C EILC
EILS EILS EI EILS EILS EI
Pada kondisi ini besarnya displacement elemennya [u] adalah
1 1 2 21 2
T
x y x yu w w
(
Gaya Internal T dan M
Perhitungan gaya internal elemen pada nodal 1 dan 2 dapat diperoleh
dengan memasukkan nilai x = 0 untuk Mx1, My1, T1 dan x = L untuk Mx2, My2, T2.
44
Universitas Indonesia
2 21
1
2 2 3 2 2 31
3
2
2
22 2
2 2
0 0
4 4 6 2 2 6
6 6 12 6 6 12
1
0 0
2 2 6 4 4 6
6 6 1
x
y
x
y
GJ GJ GJ GJC S C S
L L L L
EI EI EI EI EI EIS C S CM
L L L L L LM EI EI EI EI EI EI
S C S CT L L L L L L
M GJ GJ GJ GJLC S C S
L L L LM
EI EI EI EI EI EIT S C S CL L L L L L
EI EIS C
L L
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
3 2 2 3
2 6 6 12
GIE
X x
Y y
X x
Y y
M
M
w T
M
M
w T
EI EI EI EIS C
L L L L
4.3 Aplikasi program MATLAB Struktur Grid dibandingkan dengan
program SAP2000
4.3.1 Input Program MATLAB
3 m
4 m
3 m
3 m
3 m
45
Universitas Indonesia
4.3.2 Hasil program MATLAB
Displacement :
46
Universitas Indonesia
Gaya-gaya Dalam :
Reaksi Perletakkan :
47
Universitas Indonesia
48
Universitas Indonesia
4.3.3 Input Program SAP
E = 2.7 E6 Kpa ; v =
0,15 ; G = 1.174 E7
Kpa
I = 1.067E-3 m4 ; J =
7,324E-4 m3
49
Universitas Indonesia
4.3.4 Hasil Program SAP
Displacement :
Gaya-gaya Dalam :
TABLE: Element Forces - Frames
Frame Station OutputCase CaseType P V2 V3 T M2 M3
Text m Text Text KN KN KN KN-m KN-m KN-m
1 0 DEAD LinStatic 0 -104.455 0 6.521 0 -215.964
1 3 DEAD LinStatic 0 -104.455 0 6.521 0 97.4023
2 0 DEAD LinStatic 0 -2.8E-14 0 1.78E-15 0 88.9214
2 4 DEAD LinStatic 0 -2.8E-14 0 1.78E-15 0 88.9214
3 0 DEAD LinStatic 0 104.455 0 -6.521 0 97.4023
3 3 DEAD LinStatic 0 104.455 0 -6.521 0 -215.964
4 0 DEAD LinStatic 0 -51.946 0 10.463 0 -108.793
4 3 DEAD LinStatic 0 -51.946 0 10.463 0 47.046
5 0 DEAD LinStatic 0 1.42E-14 0 -5.3E-15 0 46.3099
5 4 DEAD LinStatic 0 1.42E-14 0 -5.3E-15 0 46.3099
6 0 DEAD LinStatic 0 51.946 0 -10.463 0 47.046
6 3 DEAD LinStatic 0 51.946 0 -10.463 0 -108.793
50
Universitas Indonesia
7 0 DEAD LinStatic 0 -43.598 0 -9.2169 0 -100.445
7 3 DEAD LinStatic 0 -43.598 0 -9.2169 0 30.3504
8 0 DEAD LinStatic 0 -43.598 0 9.2169 0 -100.445
8 3 DEAD LinStatic 0 -43.598 0 9.2169 0 30.3504
9 0 DEAD LinStatic 0 4.455 0 8.4808 0 19.8874
9 3 DEAD LinStatic 0 4.455 0 8.4808 0 6.521
10 0 DEAD LinStatic 0 4.455 0 -8.4808 0 19.8874
10 3 DEAD LinStatic 0 4.455 0 -8.4808 0 6.521
Reaksi Perletakkan :
4.3.5 Perbandingan Antara Hasil MATLAB dan SAP
Displacement :
Joint
SAP MATLAB % Diff
m rad rad m rad rad m rad rad
v θx θy v θx θy v θx θy
1 -0.01742 0.002275 0.006175 -0.01742 0.002275 0.006173 0 0 -0.0324
2 -0.01742 0.002275 -0.00618 -0.01742 0.002275 -0.006173 0 0 -0.0324
3 -0.00888 0.003651 -0.00322 -0.00888 0.00365 -0.003215 0 -0.0274 -0.0311
4 -0.00888 0.003651 0.003216 -0.00888 0.00365 0.003215 0 -0.0274 -0.0311
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Gaya-gaya Dalam :
Nodal
SAP MATLAB % Diff
T M3 V2 T M3 V2 T M3 V2
KN-m KN-m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m KN
1 1.78E-15 88.9214 -2.8E-14 0 88.9232 0 0 -0.00202 0
1 1.78E-15 88.9214 -2.8E-14 0 88.9232 0 0 -0.00202 0
2 8.4808 19.8874 4.455 8.4789 19.8881 4.4562 0.022409 -0.00352 -0.02693
2 8.4808 6.521 4.455 8.4789 6.5196 4.4562 0.022409 0.021474 -0.02693
51
Universitas Indonesia
3 -5.3E-15 46.3099 1.42E-14 0 46.3102 0 0 -0.00065 0
3 -5.3E-15 46.3099 1.42E-14 0 46.3102 0 0 -0.00065 0
4 -8.4808 19.8874 4.455 -8.4789 19.8881 4.4562 0.022409 -0.00352 -0.02693
4 -8.4808 6.521 4.455 -8.4789 6.5196 4.4562 0.022409 0.021474 -0.02693
5 6.521 -215.964 -104.455 6.5196 -215.9644 -104.456 0.021474 -9.3E-05 -0.00115
5 6.521 97.4023 -104.455 6.5196 97.4021 -104.456 0.021474 0.000205 -0.00115
6 -6.521 97.4023 104.455 -6.5196 97.4021 104.4562 0.021474 0.000205 -0.00115
6 -6.521 -215.964 104.455 -6.5196 -215.9664 104.4562 0.021474 -0.00102 -0.00115
7 -10.463 47.046 51.946 -10.4604 47.0459 51.9462 0.024856 0.000213 -0.00039
7 -10.463 -108.793 51.946 -10.4604 -108.7928 51.9462 0.024856 -0.00028 -0.00039
8 10.463 -108.793 -51.946 10.463 -108.7928 -51.9462 0 -0.00028 -0.00039
8 10.463 47.046 -51.946 10.463 47.0459 -51.9462 0 0.000213 -0.00039
9 -9.2169 -100.445 -43.598 -9.2145 -100.4442 -43.5976 0.026046 0.000498 0.000917
9 -9.2169 30.3504 -43.598 -9.2145 30.3486 -43.5976 0.026046 0.005931 0.000917
10 9.2169 -100.445 -43.598 9.2145 -100.4442 -43.5976 0.026046 0.000498 0.000917
10 9.2169 30.3504 -43.598 9.2145 30.3486 -43.5976 0.026046 0.005931 0.000917
Reaksi Perletakkan :
Joint
SAP MATLAB % Diff
Fz Mx Mz Fz Mx Mz Fz Mx Mz
KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m
5 104.455 -6.521 -215.964 104.4562 -6.5196 -215.9664 -0.00115 0.021474 -0.00102
6 104.455 -6.521 215.9642 104.4562 -6.5196 215.9664 -0.00115 0.021474 -0.00102
7 51.946 -10.463 108.7925 51.9462 -10.4604 108.7928 -0.00039 0.024856 -0.00028
8 51.946 -10.463 -108.793 51.9462 -10.4604 -108.7928 -0.00039 0.024856 -0.00028
9 43.598 -100.445 -9.2169 43.5976 -100.4442 -9.2145 0.000917 0.000498 0.026046
10 43.598 -100.445 9.2169 43.5976 -100.4442 9.2145 0.000917 0.000498 0.026046
4.4 Kesimpulan
Dari hasil perhitungan elemen grid dengan bantuan program MATLAB
dan verifikasi dengan program SAP 2000, dapat diambil kesimpulan bahwa
program SAP telah memfasilitasi analisa struktur dengan metode elemen hingga
dengan sangat baik. Program MATLAB juga merupakan program yang powerful
dalam permodelan analisa struktur dengan metode elemen hingga. Kedua program
ini memberikan hasil yang satisfied dan akurat.