E LN Ú M E R O

D EO R O

Federico Riquelme RiquelmeIES BADIA DEL BAVER (ALACANT)

E L N Ú M E R O D E O R O Φ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

• El hombre de Vitruvio• El Pentagrama místico• La Sucesión de Fibonacci

EL HOMBRE DE VITRUBIO (LEONARDO DA VINCI)

• En el libro de Luca Pacioli LaDivina Proporción editado en 1509 se propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas.

• Resulta que el cociente entre la altura o la envergadura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo al suelo o a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo Φ.

LA PROPORCIÓN ÁUREA

• Aunque los egipcios ya conocían esta proporción, aparece formulada por primera vez en los Elementos de Euclides (s. III a.C.), en la construcción División de un segmento en media y extrema razón.

• La sección áurea fue empleada por filósofos, científicos y artistas que terminaron llamándola en el Renacimiento la Divinaproporción.

• Se trata de dividir un segmento en dos partes a y b tal que la razón o proporción entre la mayor a y la menor b sea igual a la razón entre el total a+b y la mayor a

CÁLCULO DE LA PROPORCIÓN ÁUREA

Φ==ABBC

BCAC

Tomamos BC = x AB =1, resolvemos la ecuación y nos saldrá para x el valor exacto de Φ

Φorodenúmeroeles.....6180339'12

51xpositivasoluciónLa2

411x

01x2x1x2x1x

x1xxBC y 1 ABTomando

=+

=+±

=

=−−⇒+=⇒=+

⇒==

LA PROPORCIÓN ÁUREA EN LA PIRÁMIDE DE KEOPS

• El número de oro aparece hasta tres veces en la pirámide de Keops:

• Los egipcios ya conocían esta proporción y la emplearon en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.)

• La clave es el hecho de que el área del cuadrado formado sobre la altura coincide con el área de cualquier cara lateral (h2 = a · l / 2)

Φ=Φ=Φ=base

lateral

lateral

total

AA

AA

2la

01aa1aa donde de,)2l(ha PitágorasPor

aa·1h en convierte se 2

a·lh igualdad la1,2l tomamos Si

22222

22

=−−⇒+=+=

====

CONSTRUCCIÓN DE LA SECCIÓN ÁUREA

• Para hallar la Sección Áurea del segmento AB se levanta en un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. A la hipotenusa se le resta el cateto menor (arco de la derecha) y la diferencia Aφ, que llevamos sobre el segmento AB con otro arco, es sección áurea de éste.

EL NÚMERO DE ORO EN EL HOMBRE DE VITRUBIO

La distancia del ombligo al suelo (radio del círculo) es sección áurea de la altura del hombre (lado del cuadrado)

HERMES DE PRAXÍTELES Y EL NÚMERO

NÚMERO DE ORO EN LA ESCULTURA

Venus de Milo Artemis (Diana cazadora ) Cariátides del pórtico del Erecteión

EL RECTÁNGULO DE ORO

• Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, deducimos (por teorema de Pitágoras) el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo y, por construcción, el lado mayor del rectángulo que vale 1+√5

• Por lo tanto la proporción entre los dos lados del rectángulo es exactamente el número áureo

EL NÚMERO DE ORO EN EL DNI

EL PARTENÓN (447 – 432 a.C.)

RECREACIÓN DE LA PORTADA DEL PARTENÓN

EL NÚMERO DE ORO EN EL PARTENÓN

• En la figura se puede comprobar que AB / CD = Φ.• Otros cocientes que también dan el número áureo son:

CD / CA = CA / AD = Φ y DA / DE = DE / EA = Φ

RECTÁNGULOS ÁUREOS EN NOTRE DAME

Múltiples rectángulos áureos de diversos

tamaños

LA ANUNCIACIÓN, 1473-75(LEONARDO DA VINCI)

Cuadrado central y dos rectángulos de proporción aúrea en los extremos que nos sitúan al Arcángel Gabriel a la izquierda y a la Virgen María en la derecha

NACIMIENTO DE VENUS, 1484 (BOTICELLI)

NACIMIENTO DE VENUS (BOTICELLI)

ENTIERRO DEL CONDE DE ORGAZ, 1586 (EL GRECO)

• Las llamas de los cirios sobre el friso de rostros delimitan el rectángulo áureo grande.

• El manípulo que cuelga del brazo del sacerdote de la derecha y su mano marcan el segundo y el tercero.

REGLA DE LOS TERCIOS Y RECTÁNGULOS ÁUREOS

• En vertical los puntos B y C marcan la sección áurea del segmento AD en ambos sentidos. En horizontal los puntos H y L son las secciones áureas del segmento DO.

• Los rectángulos grandes verticales ADLI y EHOM son áureos, así como los horizontales ACÑM y BDON. Las intersecciones de ambos dan lugar a la cruz.

• También son áureos los cuatro verticales y cuatro horizontales intermedios, así como los cuatro pequeños que forman los brazos de la cruz griega.

MARTIRIO DE SAN FELIPE, 1639 (RIBERA)

PIET MONDRIAN (1872-1944)

AD PARNASSUM, 1932 (PAUL KLEE)

El lienzo es un rectángulo doble áureo, la puerta define un rectángulo áureo adosado a la división áurea del lienzo

RECTÁNGULOS ÁUREOS Y ESPIRAL

CONCHA DEL NAUTILUS (ESPIRAL LOGARÍTMICA)

SEMITAZA GIGANTE VOLANTE, CON ANEXO INEXPLICABLE DE CINCO METROS DE LONGITUD (SALVADOR DALÍ)

PENTAGRAMA PITAGÓRICO

PENTAGRAMA PITAGÓRICO

• Todos los segmentos que aparecen en la estrella pentagonal corresponden a uno de esos cuatro tamaños.

• Dos cocientes cualesquiera entre ellos tienen relación con el número de oro Φ. (1/Φ3 , 1/Φ2 , 1/Φ , 1 , Φ , Φ2 , Φ3)

• Los pitagóricos utilizaban como símbolo de identificación la estrella pentagonal o pentagrama místico, dotado de bellísimas propiedades geométricas y numéricas como la unicursalidad y las proporciones áureas)

PENTAGRAMA PITAGÓRICO

• Llamando 1 a la base y x al lado del triángulo azul, la base y el lado del triángulo gris son respectivamente x y x+1

• Aplicando la semejanza de los triángulos gris y azul, obtenemos:

• Los tres tamaños de triángulos isósceles que aparecen sombreados son semejantes porque sus ángulos coinciden: 36º, 72º y 72º

Φes.....618'12

51xsolucióncuya0,1x2x1x2x1x

x1x

=+

==−−⇒+=⇒=+

CASTEL DEL MONTE (BARI)

CASTEL DEL MONTE (BARI)• Obra de Federico II. edificio

construido entre 1229-1240. • Refleja la obsesión por el número

ocho: planta octogonal, posee un patio octogonal, y ocho torres octogonales saliendo de cada vértice.

• En la portada, se evidencia otra clara referencia geométrica

SAGRADA FAMILIA, 1508 (MIGUEL ANGEL)

SAGRADA FAMILIA (MIGUEL ANGEL)

• Cuando el pentágono ABYXZ se inscribe dentro de un círculo, las diagonales forman una estrella pentagonal inscrita.

• Las proporciones derivadas de ello son todas de sección áurea:

ΦGHGX

GXAG

AGAX

===

LEDA ATÓMICA (SALVADOR DALÍ, 1949)

Representación de la de la figura mitológica de Leda, mortal seducida por Zeus disfrazado de cisne.

Fruto de esta relación fue el huevo de donde salieron los gemelos Cástor y Pólux (inmortalizados en la constelación de Géminis).

LEDA ATÓMICA (SALVADOR DALÍ, 1949)

• En el bocetosuperpuestorealizado en 1947 se advierte la precisión del diseñogeométricobasado en el pentagramamísticopitagórico

EL SACRAMENTO DE LA ÚLTIMA CENA (SALVADOR DALÍ, 1955)

NÚMERO DE ORO EN EL DODECAEDRO

• En el Dodecaedro, la arista es sección áurea de la diagonal de cara, y ésta lo es de la distancia entre aristas opuestas.

• Si lo colocamos sobre una cara, las alturas de los vértices intermedios seccionan la altura total en proporción áurea en ambos sentidos.

• Desde arriba, los radios de la circunferencias que pasan por los vértices de la base y por los vértices intermedios, están en razón áurea.

SUCESIÓN DE FIBONACCI• Consideremos la siguiente sucesión de

números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

• Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos precedentes: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, …

• Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa 1170-1240)

LIBER ABACI: UN PROBLEMA DE CONEJOS

• Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos.

• ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."

SUCESIÓN DE FIBONACCI: PROPIEDADES

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

• Cada término, a partir del tercero, se obtiene si sumamos los dos precedentes (an + an+1 = an+2):1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, …

• La suma desde a1 hasta an es igual a an+2 – 1:1+1+2+3 = 7 = 8-1, 1+1+2+3+5+8+13+21 = 54 = 55-1

• Si tomamos tres términos seguidos cualesquiera, el producto de los extremos es igual al cuadrado del central más 1 o menos 1 (an x an+2 = an+1

2 ± 1):3x8 = 24 = 52-1, 5x13 = 65 = 82+1, 8x21 = 168 = 132-1

SUCESIÓN DE FIBONACCI Y EL NÚMERO DE ORO

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Los cocientes (razones) entre dos términos consecutivos de la sucesión, se aproximan más y más al número áureo (1'61803398...)

1

2a

a2

3a

a3

4a

a 4

5a

a 5

6a

a6

7a

a7

8a

a 8

9a

a 9

10a

a 10

11a

a11

12a

a12

13a

a13

14a

a14

15a

a

1 2 1’5 1’66666.. 1’6 1’625 1’61538.. 1’61904.. 1’61764.. 1’61818.. 1’61797.. 1’61805.. 1’61802.. 1’61803..

SUCESIÓN DE FIBONACCI ESPIRAL DE DURERO

• Una manera práctica de dibujar una espiral es mediante la construcción rectangular en las espirales de cuadrados; se trata de dibujar el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada.

SUCESIÓN DE FIBONACCI• Las escamas de una piña aparecen en espiral

alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci.

• Esta sucesión también aparece en la distribución de las ramas y hojas de las plantas (filotaxis), en la formación de la concha de algunos moluscos ...

Siempre que en la Naturaleza nos encontremos con un fenómeno que comparta una rotación y una dilatación o contracción, aparecerá una espiral de Fibonacci

FIBONACCI EN LA NATURALEZA

• En borrascas y tornados• Y en muchas de las Galaxias

Las galaxias son concentraciones de estrellas unidas por fuerzas gravitatorias que las obligan a girar sobre su centro, pero como la velocidad es mayor en el centro que en los bordes se producen las magníficas espirales

ESPIRALES DE FIBONACCI

5 espirales en sentido horario (dextrógiras)

SUCESIÓN DE FIBONACCI

5 espirales levógiras (amarillas) y 8 espirales dextrógiras (rojas)

SUCESIÓN DE FIBONACCI

Ocho espirales dextrógiras y trece espirales levógiras

SUCESIÓN DE FIBONACCI

13 espirales dextrógiras y 21 espirales levógiras

SUCESIÓN DE FIBONACCI

En este girasol se pueden contar 21 espirales en un sentido y 34 en el otro

SUCESIÓN DE FIBONACCI

• Echinacea purpurea, con 34 espirales levógiras y 55 dextrógiras

FLORES DE FIBONACCI

Cala , lirio de agua (Zantedeschia aethiopica) Espina de Cristo (Euphorbia splendens).

Trillium blanco (Trillium grandiflorum) Adelfa (Nerium oleander).

FLORES DE FIBONACCI

Sanguinaria (Sanguinaria canadensis) Rudbeckia ojo negro (Rudbeckia hirta)

Margarita del shasta Margaritas de campo

A LA DIVINA PROPORCIÓNA TI, maravillosa disciplina,

media, extrema razón de la hermosuraque claramente acata la clausuraviva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,áurea sección, celeste cuadratura,

misteriosa fontana de mesuraque el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,flor de las cinco formas regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

Rafael Alberti (1946)