Post on 20-Oct-2019
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fazni prijelazi« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 27. veljače 2017.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pregled predavanja
Fluktuacije oko faznog prijelaza
Landauova teorija faznih prijelaza
Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda
Ginzburg-Landauova teorija
Spinski modeli
Isingov model u 1d
Ekvivalencija/sličnost između GL modela i Isingovog modela utransverzalnom polju
Aproksimacija srednjeg polja
Topološki fazni prijelaz
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fazni prijelazi
▶ Promjenom vanjskih uvjeta (npr. temperatura, tlak, magnetskopolje) tvari mijenjaju stanje u kojem se nalaze.
▶ Promjena stanja podrazumijeva promjenu simetrije:Na višim temperaturama sustav ima veću simetriju i većuentropiju od one na nižim temperaturama. (postoje izuzetci!)
▶ Postoje dva različita pristupa proučavanju faznih transformacija:• Pristup blizak fizici kondenzirane tvari:Istražuje se mikroskopska priroda fazne promjene - zašto dofaznog prijelaza dolazi?
• Pristup bliži statističkoj fizici:Istražuje se kompleksnost pojave faznog prijelaza.
Fazni prijelazi su složeni procesi. Međutim, složenost procesa je vrloslična u svim sustavima u kojima se događaju.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Stanje razbijene simetrije
Uređena faza na niskim temperaturama predstavlja jedno odmogućih stanja sustava.
Na temperaturama ispod faznog prijelaza:▶ …postoji konačno ili beskonačno potpuno ekvivalentnihmogućih stanja u kojima se sustav može nalaziti.
▶ Sustav se opredjelio da bude u samo jednom od tih stanja.
▶ Simetrija sustava mogla bi se povratiti ako bi sustav nekimprocesom vremenski evoluirao iz jednog mogućeg stanja udrugo.
▶ Međutim, vrijeme potrebno da bi se takav proces dogodio jebeskonačno veliko.
▶ Kažemo da je to stanje razbijene simetrije.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fluktuacije oko faznogprijelaza
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Područje temperatura oko faznog prijelazaU području temperatura oko faznog prijelaza pojavljuju se jakefluktuacije oko ravnotežne faze.
▶ Fluktuacije se pobuđena stanja sustava.▶ Pobuđenja mogu biti mali poremećaji oko ravnotežne faze.(uvijek postoje za T > 0)
▶ Fluktuacije mogu biti i male domene novog ravnotežnog stanjakoje se pojavljuje s druge strane faznog prijelaza.
▶ Fluktuacija može biti i pojava druge energijski ekvivalentne fazerazbijene simetrije.
▶ Fazni prijelazi su karakteristični u tome da fluktuacije više nisumali poremećaji.
▶ Te domene nisu statičke, nego se pojavljuju i nestaju.▶ Prosječna veličina domena ovisi o blizini faznog prijelaza.▶ Što je sustav bliži faznom prijelazu to je veličina fluktuacijskihdomena veća.
Ovakvo prostorno nehomogeno stanje ima povišenu energiju zboggraničnog područja između različitih faza.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Rast fluktuacijskih domena s približavanjem faznomprijelazu
Prikaz pojave fluktuacijskih do-mena u blizini prijelaza. Do-mene nisu statičke nego se mi-jenjaju u vremenu: nastaju inestaju, te mijenjaju oblik, di-menziju i položaj. Što je sus-tav bliži faznom prijelazu veli-čina domena raste.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Smanjivanje fluktuacijskih domena s udaljavanjem odfaznog prijelaza
S druge strane faznog prije-laza imamo sličnu zrcalno si-metričnu situaciju. Veličina do-mena može se opisati karak-terističnom korelacijskom duži-nom, ξ(T) koja divergira nafaznom prijelazu.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Područje temperatura oko faznog prijelaza
▶ Veličinu fluktuacijskih domena možemo opisati karakterističnomkorelacijskom dužinom, ξ(T).
▶ Korelacijska dužina je temperaturno ovisna.▶ Na samom faznom prijelazu kada domene postaju makroskopskivelike, korelacijska dužina divergira:
ξ(T → Tc) ∼ |T− Tc|−ν → ∞
▶ Područje temperatura oko faznog prijelaza nazivamofluktuacijsko ili kritično područje.
▶ Fluktuacijsko područje ovisi o sustavu koji se promatra, može bititemperaturno jako usko (eksperimentalno se ne može opaziti) ilimože biti jako široko.
▶ Fluktuacije u blizini faznog prijelaza mogu potisnuti fazni prijelazna niže temperature.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Landauova teorija faznihprijelaza
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Landauova teorija faznih prijelaza
▶ Nisko-temperaturna faza slomljene simetrije karakterizirana jeveličinom koju zovemo parametar uređenja.
• U feromagnetskim sustavima parametar uređenja jemagnetizacija.
• U feroelektričnim sustavima to je polarizacija.• U strukturnim faznim prijelazima to je deformacija rešetke.• U supravodičima to je valna funkcija parova elektrona.
▶ Na temperaturama iznad faznog prijelaza parametar uređenja jejednak nuli, a na temperaturama ispod faznog prijelazaparametar uređenja je različit od nule.
▶ U Landauovoj teoriji parametar uređenja ne ovisi o prostoru: istije u cijelom sustava.
▶ Fluktuacije u blizini faznog prijelaza se zanemaruju.
Postoji poopćena Ginzburg-Landauova (GL) teorija, u kojoj sefluktuacije oko faznog prijelaza se uzimaju u obzir. U GL teorijiparametar uređenja je prostorno ovisna veličina.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Parametar uređenja
▶ Parametar uređenja može biti skalar (broj), kompleksni broj,vektor ili višedimenzionalni vektor.
▶ Broj komponenti parametra uređenja (dimenzionalnostparametra uređenja) označavamo s n.Za supravodiče valna funkcija je kompleksni broj pa je n = 2. Uferomagnetskim i feroelektričnim sustavima parametar uređenja jevektor, dakle n = 3.
▶ Sam sustav koji se promatra ima svoju dimenzionalnost kojuoznačavamo s d.Za 3d sustav d = 3. U lančastim 1d sustavima d = 1, a za površined = 2.
Fluktuacijsko područje ovisno je o dimenzionalnosti sustava idimenzionalnosti parametra uređenja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Slobodna energija u Landauovoj teoriji
Stanje sustava pri danoj temperaturi i volumenu dano je sminimumom slobodne energije F(T,V)(ili Gibbsove energije ako su temperatura i tlak zadani).
▶ Slobodna energija (ili Gibbsova energijom) ovise o parametruuređenja.
▶ Za temperatura oko faznog prijelaza može se pretpostaviti da jeparametar uređenja mali.
▶ Ako je parametar uređenja mali, slobodnu energija možemorazviti u Taylorov red po parametru uređenja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Slobodna energija u Landauovoj teoriji
Npr. u feroelektričnom kristalu slobodna energija se razvija popolarizaciji P:
F(T,V) = F0 + g1 |P|+1
2g2 |P|2 + . . .
Koeficijenti u razvoju ovise o simetriji kristala.▶ Linearni član je jednak nuli ako nema vanjskog polja, arazličit od nule ako električno polje postoji.
▶ I svi neparni članovi u razvoju jednaki nuli ako je kristalsimetričan na inverziju koordinata (r → −r).
Slobodna energija razvijena po parametru uređenja:
F(T,V) = F0 +1
2g2 P2 +
1
4g4 P4 +
1
6g6 P6 + . . .
(P = |P|)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Osnovno stanje u Landauovoj teoriji
Ravnotežna vrijednost polarizacije izlazi iz minimuma slobodneenergije:
∂F∂P
= 0 ⇒ P · (g2 + g4 P2 + g6 P4 + . . . ) = 0
⇒ g2 + g4 P2 + g6 P4 + · · · = 0 ili/i P = 0
▶ U blizini faznog prijelaza viši članovi u razvoju se moguzanemariti. (P je mali ili je jednak nuli)
▶ Neka je član g4 pozitivan!Da bi jednadžba imala rješenje različito od nule za T < Tc i jednakonuli za T > Tc, kvadratni član u razvoju treba mijenjati predznak natemperaturi prijelaza:
g2 = |a| · (T− Tc) =
{> 0 za T > Tc< 0 za T < Tc
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Osnovno stanje u Landauovoj teoriji
Zanemarujući više članove u razvoju po P, dobiva se:
P =
0 za T > Tc
±√
|g2|g4 za T < Tc
odnosno za T < Tc:
P ∼
√|a|g4
(Tc − T) ∼ (Tc − T)β
U Landauovom modelu parametar uređenja ide u nulu na faznomprijelazu s kritičnim eksponentom β = 0.5.
Fluktuacije oko faznog prijelaza mogu modificirati vrijednost kritičnogeksponenta β!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Landauova teorija faznih prijelaza
TC
Parametar uredjenja kao funkcija temperature Slobodna energija kao funkcija parametra uredjenjaT=T1 >Tc
T=Tc
T=T2 <Tc
T=T3 <T2 <Tc
Parametar uređenja kao funkcija tem-perature. Za temperature manje odTc, parametar uređenja je različit odnule. Kontinuirano se mijenja odP(T = Tc) = 0 prema nižim tempe-raturama.
Slobodna energija kao funkcija para-metra uređenja za četiri različite tem-perature. Na temperaturama većimili jednakom Tc slobodna energija imaminimum na P = 0, dok na tempe-raturama T < Tc, slobodna energijaimam minimum za P = 0. Minimumse kontinuirano pomiče od P = 0prema višim vrijednostima.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fazni prijelazi 2. reda
▶ Postoji uvijek samo jedan lokalni minimum u slobodnoj energiji.(Ili je P = 0 ili je P = 0).
▶ Parametar uređenja se kontinuirano mijenja od P = 0 na T = Tcna konačne vrijednosti za T < Tc.
▶ Ovo su karakteristike faznih prijelaza 2. reda.
▶ Za fazne prijelaze 2. reda, slobodna energija u razvoju poparametru uređenja
• ima kvadratični član koji mijenja predznak na temperaturi faznogprijelaza: g2 = a(T− Tc).
• te ima pozitivni kvartični član: g4 > 0.
▶ Slobodna energija ima skok u drugoj derivaciji po temperaturi.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Feromagnetizam u niklu
Landauova teorija se možeprimijeniti i na feromagne-tizam, supravodljivost, od-nosno ostale vrste faznih pri-jelaza.
Na slici je prikazana mag-netizacija u niklu kao funk-cija temperature. Puna li-nija predstavlja teorijsko pre-dviđanje (aproksimacija sred-njeg polja i Landauova te-orija), a kružići su izmjereneveličine. Iz rada P. Weiss iR. Forrer, Ann.Phys. (Paris)5 (1926) 153.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Procijep u elektronskom spektru u supravodičima
Supravodljivi (reducirani) procijep u elektronskom spektru kao funkcijareducirane temperature (T/TC) za In, Sn i Pb.
Posuđeno iz I. Giaever i K. Megerle, Phys. Rev. 122 (1961) 1101.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Polarizabilnost (linearni odgovor)
Ako se na sustav nametne vanjsko električno polje, slobodnu energijutreba nadopuniti dodatnim članom - vezanjem električnog polja ipolarizacije:
F(T,V) = F0 − EP+1
2g2 P2 +
1
4g4 P4 + . . .
U prisustvu električnog polja, polarizacija je različita od nule iproporcionalna polju:
P = αE
i na temperatura većim od Tc.Faktor proporcionalnosti, α, je polarizabilnost sustava.
Budući da je polarizacija, P, mala u razvoju slobodne energijemožemo zadržati samo članove najnižeg reda (linearni i kvadratični):
F(T,V) ≈ F0 − EP+1
2g2 P2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Polarizabilnost
Slobodna energija (za T ≥ Tc):
F(T,V) ≈ F0 − EP+1
2g2 P2
Iz uvjeta da slobodna energija ima minimum izlazi da je:
P =1
g2E ⇒ α(T) =
1
g2∼ (T− Tc)
−1 = (T− Tc)−γ
Polarizabilnost sustava divergira na temperaturi prijelaza. Eksponentdivergencije je jednak γ = 1. Slični izraz za polarizabilnost se dobiva iza T < Tc.
Fluktuacije oko faznog prijelaza mogu modificirati vrijednost kritičnogeksponenta γ!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dielektrična funkcija u paraelektričnoj fazi
Dielektrična konstanta kao funkcija (T − Tc)−1 u paraelektričnoj fazi, T > Tc,
za nekoliko perovskitnih kristala u kojima postoji feroelektrični prijelaz.Iz rada G. Rupprecht i R.O. Bell, Phys.Rev. 135 (1964) A748.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dielektrična funkcija i fononska frekvencija
Do faznog prijelaza dolazikada frekvencija infracrvenoaktivnog fononskog pobuđe-nja ide u nulu.
Na slici su prikazani kvadrat ω2T za SrTiO3 dobiven iz neutronskih mjerenja
(posuđeno iz rada R.A. Cowley Phys.Rev. 134 (1964) A981) i dielektričnakonstanta iz mjerenja T. Mitsui i W.B. Westphal, Phys.Rev. 124 (1961) 1354.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Magnetska susceptibilnost nikla
Recipročna vrijednost mag-netske susceptibilnosti niklau području oko feromagnet-skog uređenja na T = 358oC.Crtkana linija je ekstrapolacijasusceptibilnosti iz područja vi-sokih temperatura. Iz rada P.Weiss i R. Forrer, Ann.Phys.(Paris) 5 (1926) 153.
Temperatura pravog faznog prijelaza je nešto manja od one koje predviđateorija srednjeg polja odnosno Landauova teorija. To se može pripisatifluktuacijama magnetizacije u području oko faznog prijelaza.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Toplinski kapacitet
Entropija:
S = −(∂F∂T
)V= S0−P2
(∂g2∂T
)=
S0 za T > Tc
S0 − a2g4 (T− Tc) za T < Tc
Toplinski kapacitet:
Cp = T(∂S∂T
)p=
Cp0 za T > Tc
Cp0 +a2g4 T za T < Tc
Na temperaturi faznog prijelaza Cp ima skok u vrijednosti:
Cp(Tc + 0)− Cp(Tc − 0) = −a2
g4Tc
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Toplinski kapacitet
Tc
Toplinski kapacitet kao funkcija temperature
Na temperaturno ponašanje toplin-skog kapaciteta superponiran je diokoji dolazi zbog faznog prijelaza i kojiima skok na temperaturi prijelaza.
Fluktuacije oko faznog prijelaza modificiraju ponašanje toplinskog kapacitetapa se pojavljuje jedan dodatni divergentni član. Ovu je divergenciju čestoteško uočiti eksperimentalno.
CV ∼ |T− Tc|−α
U Landauovoj teoriji (i teorijama srednjeg polja) kritični eksponent α = 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Toplinski kapacitet feromagneta
Toplinski kapacitet Pr0.6Sr0.4MnO3. Sustav prelazi u feromagnetsku fazu natemperaturama ispod 297 K.
Posuđeno iz rada Rößler at al., Phys. Rev. B 84 (2011) 184422.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Toplinski kapacitet tekućeg helija
Specifična toplina tekućeg helija oko λ-točke. Točka faznog prijelaza nazivase λ-točka zbog izgleda specifične topline u blizini prijelaza.
Posuđeno iz rada M.J. Buckingham i W.M. Fairbank, ”The Nature of theLambda Transition”, in Progress in Low Temperature Physics III, 1961.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Landauova teorija faznogprijelaza 1. reda
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Landauova teorija faznog prijelaza 1. vrste
U razvoju slobodne energije po parametru uređenja pretpostavitćemo da je:
▶ kvartični član negativan!▶ Da bi sustav bio stabilan potrebno je uzeti u obzir i član 6-togreda. Uvjet stabilnosti zahtijeva da je g6 > 0.
Daljnje članove u razvoju zanemarujemo. Dakle:
F(T,V) = F0 +1
2g2 P2 +
1
4g4 P4 +
1
6g6 P6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda
S obzirom na veći broj članova u razvoju, slobodna energija energijamože imati složeno ponašanja kao funkcija parametra uređenja.
Slobodna energija kao funkcija parametra uredjenjaT=T1
T=Tc1
T=T2
T=Tc
T=Tc2
T=T3
▶ za T > Tc1 postoji samo jedanlokalni minimum: P = 0
▶ za Tc1 > T > Tc2 postoje dvalokalna minimuma, P = 0 i P = 0.P = 0 je globalni minimum.
▶ P = 0 postaje globalni minimumza T < Tc.
▶ Za T < Tc2 < Tc postoji samo jedanlokalni minimum P = 0.
Temperatura prijelaza je ona na kojoj oba lokalna minimuma imajuistu slobodnu energiju:
F(P = 0,Tc) = F(P = 0,Tc)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda
Tc2 Tc Tc1
Parametar uredjenja kao funkcija temperature
▶ Postojanje dvaju minimuma u slobodnoj energiji implicira na mogućnostpostojanja dvaju prostorno razdvojenih faza.
▶ Temperaturni tretman sustava može dovesti do pojave histereze.Sustav se može naći u lokalnom minimumu (metastabilno stanje) kojinije globalni minimum (pothlađeno-pregrijano stanje).
▶ Parametar uređenja skokovito mijenja vrijednost.▶ Ove fazne prijelaze nazivamo faznim prijelazima 1. reda.▶ Slobodna energija ima skok u prvoj derivaciji.▶ Postoji latentna toplina
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda
Primjeri:▶ Plin-tekućina je fazni prijelaz 1. reda.
▶ Tekućina-krutnina je fazni prijelaz 1. reda.(postoje neparni članovi u Landauovom razvoju!).
Misterij BCC: analizom prijelaza tekućine u različite kristalnerešetke, izlazi da prijelaz u BCC rešetku je najpovoljniji (imanajnižu temperaturu prijelaza).
▶ Tekući kristali: izotropno stanje-nematsko stanje prijelaz.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ginzburg-Landauova teorija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ginzburg-Landauova teorijaU Ginzburg-Landauovoj teoriji se uzimaju u obzir prostorne varijacijeparametra uređenja. Uvodimo Ginzburg-Landauov funkcional:
f[P(r)] =1
V
∫dr
{g22P2(r) +
g44P4(r) + · · ·+ gr
2|∇rP|2
}Particijska funkcija:
Z =∑
različita stanja
e−βf[P(r)] =
∫DP e−βf[P(r)] = e−βF
DP označava integraciju po putovima (path integral), multidimenzionalnuintegraciju po polarizacijama u različitim prostornim točkama:∫
DP →∫
dP(r1) dP(r2)dP(r3) . . . dP(rN−1) dP(rN)
pri čemu je volumni integral u eksponentu diskretiziran:∫dr f(r) →
∑r=r1 ,r2,...,rN
∆V f(ri)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Teorija harmoničkih fluktuacija
Najveći doprinos integralu po putovima dolazi od onog stanja kojeminimizira funkcional slobodne energije:
δfδP(r)
= 0 ⇒ g2 P0 + g4 P30 + . . .︸ ︷︷ ︸
Landauova teorija
−∇2P0 = 0
U GL-teoriji uzimaju se u obzir i fluktuacije oko minimuma funkcionalaslobodne energije.Harmonička (Gaussova) aproksimacija:
▶ Promatraju se male fluktuacije oko minimuma: P(r) ≈ P0 + δP(r)▶ Funkcional slobodne energije se razvije do članova drugog redau fluktuacijama δP(r).
▶ Dobiveni funkcional je kvadratičan i jednostavno ga je izračunati.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Renormalizacijska grupa
Aproksimacija harmoničkih fluktuacija ne daje dobre rezultate usustavima male dimenzionalnosti (d < 4). Bolji rezultati se dobivaju izteorije renormalizacijske grupe.
Renormalizacijska grupa:▶ Služeći se izrazom za particijsku funkciju izintegriraju se
fluktuacije male valne dužine.▶ Kao rezultat se dobiva novi GL funkcional koji ima strukturu kaopočetni ali s renormaliziranim (promijenjenim) koeficijentima:
g⋆2 = g⋆2(g2,g3,gr, . . . )g⋆4 = g⋆4(g2,g3,gr, . . . )g⋆r = g⋆r (g2,g3,gr, . . . )
koji su funkcije starih koeficijenata.Istražujući svojstva dobivene transformacije dobivaju se rezultati boljiod onih u harmoničkoj aproksimaciji.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nobelova nagrada 1982
Kenneth G. Wilson - Nobelova nagrada1982 za teoriju renormalizacijske grupei kritičnih pojava.
Renormalizacijska grupa služi i za is-traživanje jako koreliranih sustava u ko-jima račun smetnje nije dobar.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Spinski modeli
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Spinski modeli
Magnetsko uređenje prirodno je opisivati pomoću rešetke spinova.Smjer magnetizacije na nekom čvorištu zadan je sa spinskimoperatorom u toj točci prostora.
▶ Radi se o kvantnomehaničkom problemu u kojem postoje samospinski stupnjevi slobode.
▶ Spinsko/magnetsko uređenje nastaje kao rezultatmeđudjelovanja susjednih spinova.
▶ Postoji nekoliko različitih modela mađudjelovanja:
• Heisenbergov (izotropni) model: V12 = J12 S1 · S2
• Isingov model: V12 = J12 Sz1 · Sz
2
• XY-model: V12 = J12 (Sx1 · Sx
2 + Sy1 · S
y2)
• …
▶ Hamiltonijam može sadržavati i član s magnetskim poljem:
• Magnetsko polje: Hh = h · S = hz Sz
• Magnetsko polje u transverzalnom polju: Hh = hx Sx
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Spinski modeli
Spinski modeli su zanimljivi jer za neke od njih postoje egzaktnarješenja.
▶ Heisenbergov model u d=1: valna funkcija može se konstruiratipomoću Bethe ansatza.
▶ Isingov model u d=1 može se riješiti na više različitih načina.
▶ Isingov model u d=2 može se točno riješiti (L. Onsager,Phys.Rev. 65 (1944) 117)
▶ XY-model u d=1 može se riješiti pomoću Jordan–Wignerovetransformacije.
▶ …Postoje transformacije/procedure pomoću kojih se može pokazati dasu neki modeli međusobno ekvivalentni.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Isingov model u 1d
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Isingov model
Promatra se sustav spinova (s = 12 ) na rešetci. Susjedni spinovi
međudjeluju:
E12 = 4Jσz,1σz,2 =
{+J za σz,1 = σz,2 = ± 1
2−J za σz,1 = −σz,2 = ± 1
2
gdje je σz z-projekcija spinskog operatora.
Hamiltonijan sustava spinova:
H = 2J∑i,δ
σi σi+δ
Particijska funkcija:
Z =∑
σ1=± 12
∑σ2=± 1
2
∑σ3=± 1
2
. . . e−β H = e−β F
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Isingov model u 1dParticijska funkcija može se napisati:
Z = Tr[TN] (za periodične rubne uvjete)
gdje je
T(σ1, σ2) = e−4β Jσ1σ2 =
(e−βJ e+βJ
e+βJ e−βJ
)Pretpostavljamo da je J < 0. ⇒ Osnovno stanje je kada su svi spinovi uistom smjeru.Pobuđena stanja su stanja u kojima je dio spinova preokrenut. Neka je M brojveza koje razdvajaju dvije različite spinske faze.
▶ Energija takvog pobuđenja je E(M) = -N J + 2 MJ▶ Broj takvih pobuđenih stanja je:
g(M) =N!
M!(N−M)!
Tada je particijska funkcija:
Z =∑
M=0...N
g(M)e−βE(M) = [2 coshβJ]N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Isingov model u 1d
Ne postoji uređena faza u 1d Isingovom modelu na konačnojtemperaturi!.
Razlog tome su pobuđenja koja razbijaju dugodosežno uređenje.Proizvoljno mala koncentracija pobuđenja u jednoj dimenziji dovoljnaje da se dugodosežno uređenje uništi.
Korelacijska funkcijaKorelacijska funkcija dvaju spinova udaljenih za n konstanti rešetke:
⟨σiσi+n⟩ = 0.25 ⟨(−1)m⟩
gdje je m broj pobuđenja unutar područja između spina i i i+ n.
Korelacijsku funkciju (srednja vrijednost) može se izračunati služećise istom logikom kojom smo izračunali particijsku funkciju. Pri tometreba imati u vidu da je najveći broj pobuđenja unutar područjaizmeđu dvaju spinova jednak n.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Isingov model u 1d
Dakle:
⟨σiσi+n⟩ = 0.25⟨(−1)m⟩ = 0.25
∑m=0...n
n!(n−m)!m! p
m(−1)m∑m=0...n
n!(n−m)!m! pm
= 0.25
(1− p1 + p
)n
= 0.25e−n/ξ(T)
gdje je:p = e−2βJ
Odavde izlazi da je korelacijska dužina:
ξ(T) =[ln
(1 + p1− p
)]−1
≈ 0.5e2βJ −→ ∞ za T → 0.
divergira tek na apsolutnoj nuli.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2d Isingov model
Rezultati dobiveni točnim rješavanjem Isingovog modela za d=2.
Na temperaturama T < Tc dolazi do spinskog uređenja, gdje je:
Tc =2
ln(1 +√2)
JkB
= 2.269JkB
Kritični eksponenti:
α = 0 (logaritamska divergencija!)
β =1
8
γ =7
4ν = 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2d Isingov model
Specifična toplina Rb2CoF4, slojas-tog antiferomagnetskog sustava. Po-suđeno iz rada P. Nordblad at al.,Phys.Rev. B 28 (1983) 278.
Specifična toplina Isingovog modela.Isprekidana linija s točkama odgo-vara izotropnom 2d Isingovom mo-delu, puna linija je anizotropni Isingovmodel u kojem je J1 = 100J2, Crt-kana linija odgovara 1d Isingovommo-delu. Posuđeno iz rada L. Onsager,Phys.Rev. 65 (1944) 117.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ekvivalencija/sličnost između GL modela iIsingovog modela u transverzalnom polju
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ginzburg-Landauov model u 1d
GL funkcional slobodne energije:
F =
∫dx
[g2
2u2 +
g4
4u4 +
gx2
(dudx
)2]
▶ Ako se parametar uređenja u promatra kao klasična veličina, onda će ubiti konstantan u cijelom prostoru te će tako minimizirati i Landauovpotencijal i gradijentni član u funkcionalu F.
▶ Ako je u kvantnomehanička varijabla (pomak atoma npr.) tada jeenergijski povoljnije stanje u kojem parametar u oscilira između dvajujama.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ginzburg-Landauov model u 1d▶ Energijski spektar i valne funkcije
mogu se dobiti rješavanjemSchrödingerove jednadžbe upotencijalu s dvije jame kakav jeLandauov.
▶ Kao osnovno stanje dobiva sesimetrična kombinacija valnihfunkcija kada je parametar ulokaliziran u jednoj odnosnodrugoj jami.
Ako zanemarimo viša kvantna stanja, te se zadržimo samo na prva dva,kvantnomehanički problem gibanja čestice u dvostrukoj potencijalnoj jamimože se aproksimirati spinskim hamiltonijanom s dva stanja:
H =∆E2
(0 11 0
)=
∆E2
σx
gdje je ∆E = E1 − E0 cijepanje energija između pobuđenog i osnovnogstanja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ginzburg-Landauov model u 1d
▶ Dobiveni hamiltonijan opisuje gibanje čestice (atoma) na jednomčvorištu (ili jednoj jediničnoj ćeliji).
▶ Hamiltonijan za cijelu rešetku je:
∆E2
∑i
σx,i (sumira se po čvorištima rešetke)
▶ U ovom hamiltonijanu nedostaje gradijentni član.Gradijentni član podiže energiju ako se čestice na susjednimčvorištima nalaze u različitim potencijalnim jamama, a ima minimalnuvrijednost ako su u istim potencijalnim jamama. Takav efekt uspinskom hamiltonijanu se postiže vezanjem kakvo postoji uIsingovom modelu u kojem je J < 0. Ono preferira da su svi spinovi uistom smjeru, u našem slučaju, sve čestice na rešetci u istoj jami.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ginzburg-Landauov model u 1d
Konačni spinski hamiltonijan:
H =
hx︷︸︸︷∆E2
∑i
σx,i + 2J∑i,δ
σz,iσz,i+δ
Postoji preslikavanje između kvantnomehaničkog GL funkcionala iIsingovog modela u transverzalnom polju.
Može se također pokazati da postoji preslikavanje između 1dIsingovog modela u transverzalnom polju i 2d klasičnog Isingovogmodela.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija srednjegpolja
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija srednjeg polja
▶ Međudjelovanje spinova ima efekt kao da se spin na nekomčvorištu nalazi u efektivnom polju koje stvaraju susjedni spinovi.
▶ U aproksimaciji srednjeg polja međudjelovanje spinovazamjenjuje se efektivnim srednjim poljem koji susjedni spinovistvaraju:
σiσj −→ σi σ + σ σj − σ σ + (σi − σ)(σj − σ)︸ ︷︷ ︸zanemaruje se
Dakle:
2J∑i,δ
σiσi+δ −→ HMFA = zJσ︸︷︷︸heff
∑i
σi −N2zJσ2
gdje je z broj prvih susjeda.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija srednjeg poljaParticijska funkcija:
ZMFA = e−N βzJσ2/2 [2 coshβzJσ]N
Slobodna energija po čvorištu:
f =FN
=1
2zJσ2 − kBT ln [2 coshβzJσ]
Minimum slobodne energije (ravnotežno stanje):
∂f∂σ
= 0 ⇒ σ = tanhβzJσ
Dobivena je samosuglasna jednadžba za prosječnu vrijednostspina. Jednadžba ima rješenje:
σ =
≡ 0 za T > zJ/kB = Tc
= 0 za T < zJ/kB = Tc
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija srednjeg polja
Za temperature oko Tc, prosječna vrijednost spina, σ, je mala pa sefunkcija tanh može razviti u Taylorov red. Za T ≤ Tc:
σ =
(Tc
T
)σ − 1
3
(Tc
T
)3
σ3 + . . . ⇒
σ ≈ TTc
√3
(1− T
Tc
)∼
√Tc − T
Aproksimacija srednjeg polja ekvivalentna je Landauovoj teoriji.Fluktuacije su zanemarene.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Topološki fazni prijelaz
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kosterlitz–Thoulessov prijelaz
▶ Radi se XY-model u 2d sustavu.▶ Ne postoji dugodosežno uređenjeza T > 0.
▶ ali postoji prijelaz na konačnojtemperaturi.
▶ To nije prijelaz koji razbija simetriju.▶ Topološki fazni prijelaz.
▶ Postoje dvije vrste virova/vrtloga koji se ponašaju kao nabijenečestice različitog naboja.
▶ Na temperaturama ispod faznog prijelaza dolazi do sparivanjavirova suprotnog naboja te njihove kondenzacije.
J.M. Kosterlitz & D.J. Thouless, J.Phys.C (Solid State Phys.) 6 (1973) 1181
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kosterlitz–Thoulessov prijelaz
Na slici je prikazan skok u gustoći mase kao funkcija temperature prijelaza za2d He4 film na podlozi. Puna linija je predviđanje Kosterlitz–Thoulessoveteorije. Iz rada D.J. Bishop i J.D. Reppy, Phys.Rev.Lett. 40 (1978) 1727.
Na temperaturi prijelaza do-lazi skokovite promjene ugustoći mase supratekućihčestica pri čemu je:
ρs(na Tc) = 8πkB(mh
)2
︸ ︷︷ ︸ Tc
Faktor proporcionalnosti jeuniverzalna konstanta! Tem-peratura prijelaza je funkcijadebljine filma.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nobelove nagrade iz fizike za 2016.
David J. Thouless F. Duncan M. Haldane J. Michael Kosterlitz
NN 2016. za teorijsko predviđanje (otkriće) topoloških faza itopoloških faznih prijelaza u tvarima.